Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer

Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer Introduktion Undervisningsnote til Mikro A, af Ole Kveiborg og Michael Teit Nielsen Vi har kigget en hel del på, hvordan forbrugeren reagerer på prisændringer - både når indkomsten er eksogen, og når den fremkommer ved privat ejendomsret til nogle ressourcer: Vil forbrugeren vælge at bruge/efterspørge/købe/sælge flere eller færre enheder af varen, når en pris ændrer sig? Vi har, i god neoklassisk tradition, hele tiden været bevidste om, at nyttefunktionerne kun giver mening i ordinal forstand og ikke i kardinal. Så vi kan afgøre, om en prisændring stiller en forbruger værre eller bedre, alt efter om nytten stiger eller falder. Men den absolutte ændring af nytten om den stiger med ½, 17 eller 5.000 - kan vi på grund af den kardinale fortolkning ikke bruge til noget. Men kan vi på en anden måde få et udtryk for, hvor meget værre eller bedre forbrugeren bliver stillet? Det er her, at begreber som forbrugeroverskud samt ækvivalerende og kompenserende variationer kommer ind, fordi de kan give os en ide om velfærdsændringen, ikke målt i nytte, men i kroner (allerede Aristoteles sagde jo: Alt måles i penge ). Formålet med denne note er at give en kort gennemgang af disse begreber, som anvendes i den almindelige mikro-litteratur, og sammenligne dem med Nechybas kapitel 10, idet Nechybas definition af forbrugeroverskud afviger fra den øvrige litteraturs. Kort sagt er forbrugeroverskuddet forskellen mellem det, forbrugeren er villig til at betale, og det beløb, vedkommende faktisk betaler. Den helt centrale forskel mellem Nechyba s definition og den gængse definition er, om man måler betalingsviljen ud fra den (Hicks-)kompenserede efterspørgselsfunktion (Nechyba) eller den ordinære (Marshall) efterspørgselsfunktion (litteraturen). Forbrugeroverskud: Diskret gode og quasi-lineære præferencer Lad os først se på den definition af forbrugeroverskud, som anvendes i de fleste lærebøger (f.eks. Hal Varian: Intermediate Microeconomics ). For at forstå, hvad consumer s surplus er, vil vi prøve at se på tilfældet med en forbruger, der har quasi-lineære præferencer ift. et diskret gode (dvs. et udeleligt gode). Vi lader gode 1 være det diskrete gode og nyttefunktionen have formen u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2. For at gøre tingene simple, lader vi prisen på gode 2 være lig 1 idet vare 2 kan tænkes som aggregeret forbrugsgode eller penge til andet forbrug. Vi lader (uden tab af generalitet) nyttefunktionen have absolut værdi 0 for nul enheder, dvs.: v(0)=0. Vi kan nu opstille to betingelser for, at vores forbruger vælger n enheder af det diskrete gode (hvor n er et positivt naturligt tal), nemlig at nytten er mindst så stor som ved at vælge (n-1) hhv. (n+1): v(n) + m n p 1 v(n 1) + m (n 1) p 1,

og p 1 v(n) v(n 1) v(n) + m n p 1 v(n +1) + m (n +1) p 1, p 1 v(n +1) v(n) Vi kan omskrive og sammenfatte disse betingelser til: v(n +1) v(n) p 1 v(n) v(n 1) eller at hvor vi definerer: r(n+1) p 1 r(n) r(n)=v(n)-v(n-1) idet r(n) er den højeste pris, ved hvilken forbrugeren køber mindst n enheder af vare 1 dvs. reservationsprisen for n enheder. Ved at indsætte finder vi, at vi kan skrive v(n)=r(1)+r(2)+r(3)+ +r(n). Med andre ord kan vi skrive den samlede nytte ved et forbrug på n enheder, når prisen er netop r(n), som: u(x 1,x 2 ) = v(n) + I n r(n) = r(1) + r(2) + + r(n)+i n r(n) Hvis vi illustrerer reservationspriserne som en trinvis funktion, vil nytten derfor kunne findes som arealet fra prislinjen og op til den inverse efterspørgselsfunktion (reservationspris- trappen ). Dette ses i nedenstående illustration. Figur 1. Reservationspriser og Consumer s surplus for diskrete goder.

I figur B udgøres forbrugeroverskuddet af det blå areal, når prisen på vare 1 er p. Dette areal svarer til et beløb i kroner. Det mest relevante for vores velfærdsbetragtninger er dog ikke selve størrelsen af det samlede forbrugeroverskud, men ændringen i dette overskud, når prisen ændres. På grund af de særlige forudsætninger om quasi-lineære præferencer, samt at vare 2 opfattes som alt andet forbrug med prisen 1, kan vi dermed faktisk skabe en forbindelse fra nyttefunktionen (den absolutte nytte samt marginale ændringer i nytten) til kronebeløb. Hvis man i figur B forestiller sig, at prisen falder fra r 3 til p, vil ændringen i forbrugeroverskuddet være, at dette forbrugeroverskud vokser med præcis det areal, der lodret har højden (r 3 - p) og vandret længden (3-0). Forbrugeroverskud: Kontinuert gode og quasi-lineære præferencer Lad os nu gå over til det mere gængse tilfælde, nemlig at vare 1 er et fuldt ud deleligt gode, hvis mængde kan beskrives ved et ikke-negativt reelt tal idet vi kan overføre en stor del af intuitionen fra det diskrete godes tilfælde. Vi antager stadig, at vi kan skrive nyttefunktionen som u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2, idet v nu antages at være to gange differentiabel, med v > 0 og v < 0. Vi antager fortsat, at prisen på vare 2 er 1. Betragt nyttemaksimeringsproblemet i dette særlige tilfælde: Førsteordensbetingelsen bliver: Max v(x 1 ) + x 2 ubb. p 1 x 1 + x 2 = I v (x 1 ) = p 1 Hvoraf vi kan udlede dette udtryk for den Marshallske efterspurgte mængde af vare 1: x 1 = *v + -1 (p 1 ) Vi får ikke overraskende at indkomsten ikke spiller nogen rolle for efterspørgslen efter vare 1; der er jo tale om quasi-lineære præferencer. Af ovenstående kan vi se, at grafen for funktionen v, når man aflæser den fra mængdeaksen, kan opfattes som den inverse (Marshallske) efterspørgselsfunktion. Med andre ord angiver v (x 1 ) den marginale betalingsvillighed: Hvis forbrugeren i forvejen forbruger x 1 enheder af vare 1, hvor meget er forbrugeren da villig til at betale for en ekstra enhed af denne vare? Svaret er: v (x 1 ). Antag, at prisen på vare 1 er p 1 *. Intuitivt kan vi da betragte hver marginal forøgelse af forbruget fra mængden 0 og op til mængden x 1 * = *v + -1 (p 1 * ). Vi kan da for mængden x 1, hvor 0 < x 1 < x 1 *, se på: Hvor meget var forbrugeren villig til marginalt at betale? Svaret er: v (x 1 ). Hvor meget betalte forbrugeren faktisk, marginalt? Svaret er p 1 *. Det marginale forbrugeroverskud er derfor afstanden fra den inverse efterspørgselskurve ned til p 1 *.

Det samlede forbrugeroverskud fås naturligvis ved at integrere; grafisk svarer det til arealet mellem den vandrette linje ved p 1 * og op til *v +-kurven. Og som før vil det relevante være at se på virkningen af prisændringer. Hvis prisen falder 1 kr., forøges forbrugeroverskuddet med det areal, der lodret afgrænses af priserne (p 1 * -1) og p 1 og vandret afgrænses af prisaksen i venstre side og efterspørgselskurven (*v + -1 ) i højre. Som nævnt har vi hele tiden forudsat, at forbrugeren havde quasi-lineære præferencer, sådan at efterspørgslen efter vare 1 var uafhængig af indkomsten I. I dette særlige tilfælde, og når vare 2 var alt andet forbrug til en pris på 1, gav det hele god mening. Forbrugeroverskud: Kontinuert gode og generelle præferencer De fleste økonomer har dog syntes, at der var noget intuitivt tiltalende ved at se på Marshallefterspørgselskurven for en vare og betragte den lodrette afstand fra den inverse efterspørgselskurve ned til prislinjen som et udtryk for marginalt forbrugeroverskud, og dermed ændringer i arealet bag ved efterspørgselskurven når prisen på varen blev ændret som et udtryk for velfærdsændring for forbrugeren, målt i kroner. Det betyder, at i litteraturen bruges begrebet forbrugeroverskud (Consumer s Surplus) således for en forbruger uanset om forbrugeren har quasi-lineære præferencer eller: Hvor s * er markedsprisen på vare i, og x() angiver Marshall-efterspørgslen. Man bruger ofte den inverse efterspørgselsfunktion p i (x i ) og kan derfor også beregne det som Hvor vi altså ser på ændringen fra intet forbrug til det faktiske forbrug. Det mest interessante er dog stadig, når vi vil se på velfærdsændringer som følge af prisændringer: Hvor toptegnene 0 og 1 i integralets grænser angiver prisen før ændringer (0) hhv. efter ændringen (1).

Figur 2. Ændring i Consumer s surplus Intuitionen i ovenstående er naturlig og virker meget overbevisende. Det har også fået økonomerne til at udbrede begrebet fra Consumer s Surplus til Consumers Surplus hvor man skal se godt efter for at finde den subtile forskel! Men pointen er, at hvor vi hidtil har kigget på den partielle Marshall-efterspørgselskurve for én forbruger og betragtet ændringer i arealet bag den individuelle efterspørgselskurve, er økonomer gået til at se på det tilsvarende for den samlede/aggregerede markedsefterspørgselskurve, hvor alle forbrugeres individuelle efterspørgselskurver er blevet adderet vandret. Det er en øvelse, der aldeles ser bort fra det værdipolitiske/etiske i, hvordan vi meningsfyldt prioritere forskellige forbrugeres velfærd i forhold til hinanden noget Arrow med sit umulighedsteorem viste, er en betænkelig affære. Men lad dette emne ligge og lad os igen vende os mod den enkelte forbruger. Her viser det sig nemlig, at hvis præferencerne er sådan, at der er en indkomsteffekt, så er ændringen i forbrugeroverskuddet som det er defineret i litteraturen, nemlig som ændring i arealet bag Marhall-efterspørgselskurven ikke det mest præcise mål for den velfærdsændring, forbrugeren oplever. Lad os derfor introducere nogle mere præcise begreber til at måle velfærdsændringen af en prisændring i pengetermer. Nogle begreber, der faktisk tager højde for indkomstvirkninger og som vil ende med at fortælle os, at velfærdsvirkningen for forbrugeren faktisk alene er knyttet til substitutionsvirkningen af en prisændring! Kompenserende variation og ækvivalerende variation Der er i litteraturen generelt to måder, at gøre dette på: Beregning af enten den ækvivalerende variation (EV) og den kompenserende variation (CV).

De to begreber kan kort defineres som: Kompenserende variation (CV): De ekstra penge, som forbrugeren skal tilføres i indkomst for at kunne opnå samme nytteniveau som inden prisændringen, dvs. ved de gamle priser Ækvivalerende variation (EV): Det beløb, man kunne have taget ud af forbrugerens indkomst ved de oprindelige priser, så han kan opnå samme nytteniveau som ved de nye priser Centralt her er Hicks tanker om, hvordan man billigst muligt kan kompensere forbrugerens indkomst for prisændringer. Med andre ord at udgiftsminimere, idet vi betragter en situation, hvor prissystemet ændres fra p* til p. Lad notationen være, at forbrugeren i udgangspunktet opnår nytten u* = V(p*, I*), og efter prisændringen til p opnår nytten u = V(p, I*) (når indkomsten er uændret, dvs. der ikke er givet nogen kompensation), idet V er den indirekte nyttefunktion. Matematisk set kan CV da defineres som: E(p,u*) I* fordi E(p,u*) er den laveste indkomst, der kan sikre forbrugeren det gamle nytteniveau u, når priserne nu er ændret til p. Forbrugeren råder selv kun over indkomsten I*, så derfor er ovenstående differens nøjagtig det (lavest mulige) beløb, vi skal tilføre forbrugeren, for at denne kan opretholde sin gamle nytte. Tilsvarende kan EV defineres som: I*- E(p*,u) Fordi E(p*,u) er den laveste indkomst, der ville give forbrugeren det nye nytteniveau u ved de gamle priser p* Sammenligning af begreber når præferencer er quasi-lineære Lad os et kort øjeblik vende tilbage til særtilfældet med quasi-lineære præferencer, hvor p 2 hele tiden er 1, og prisændringen sker i prisen på vare 1. Lad os sige, at denne pris stiger fra p 1 * til p 1 > p 1 *. Da vil forbrugeren sænke sit forbrug af vare 1 fra x 1 * = *v + -1 (p 1 *) til x 1 = *v + -1 (p 1 ). Forbruget af vare 2 ændres fra (I* - p 1 * x 1 *) til (I* - p 1 x 1 ). Bemærk, at ved uændrede priser vil ændringer i indkomsten kun påvirke forbruget af vare 2, så en kompensation på a kroner ryger direkte over i en forøgelse på a enheder af vare 2. Derfor vil en kompensation på CV resultere i, at forbruget af vare 2 forøges med CV. Da må CV opfylde følgende lighed i velfærd i to situationer (nyt prissystem samt CV-kompensation hhv. gammelt prissystem og gammel indkomst) :

Hvoraf vi ser, at: v(x 1 ) + I* - p 1 x 1 + CV = v(x 1 *) + I* - p 1 * x 1 * Og EV må tilsvarende opfylde: CV = v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1 Hvoraf vi ser, at: v(x 1 ) + I* - p 1 * x 1 * - EV = v(x 1 ) + I* - p 1 x 1 EV = v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1 I særtilfældet med quasi-lineære præferencer bliver de to begreber CV og EV altså sammenfaldende. Men ikke nok med det vi kan også se på ændringen i CS (forbrugeroverskuddet). Det er i udgangssituationen v(x 1 *) - p 1 * x 1 * og ændres efter prisstigningen til v(x 1 ) - p 1 x 1. Dermed falder forbrugeroverskuddet med: v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1. Derfor får vi alt i alt, i tilfældet med quasi-lineære præferencer: CV = EV = - CS Det bekræfter os i, at når vi er i det særtilfælde, hvor forbrugeren har quasi-lineære præferencer, er ændringen i forbrugeroverskud faktisk et meget præcist mål for velfærdsændringen. Sammenligning af begreber i det generelle tilfælde Lad os nu vende tilbage til det generelle tilfælde med præferencer, der ikke nødvendigvis er quasi-lineære. Lad os betragte begrebet CV, der tager udgangspunkt i situationen, hvor prissystemet er p*, og nytteniveauet er u*. Som vi så, har CV at gøre med ændringer i det Hicks-kompenserede budget. Vi ved fra efterspørgselsteorien, at (på grund af Envelope Theorem): Så den marginale ændring i udgiftsfunktionen, når prisen på vare 1 stiger, svarer til den kompenserede efterspørgsel (Hicks-efterspørgsel). Dermed bliver den samlede ændring i udgiftsfunktionen integralet på et stykke af den kompenserede efterspørgsel, idet vi integrerer fra værdien p 1 * til værdien p 1. Med andre ord kan man aflæse velfærdsændringen for forbrugeren som ændringen i arealet til venstre for den kompenserede efterspørgselskurve. Det er netop dette begreb, som Nechyba betegner som Consumer s surplus, men som resten af litteraturen betegner som kompenserende variationer.

Nedenstående figur kan forhåbentlig bidrage til lidt opklaring af de begreber, som Nechyba hhv. alle andre bruger, når det handler om at måle de velfærdsændringer for en forbruger, som prisændringer forårsager. Ændringer i arealet bag Marshallefterspørgselskurve Ændringer i arealet bag Hickskompenseret-efterspørgselskurve Nechyba Omtales ikke Consumer s Surplus Litteraturen i øvrigt Consumer s Surplus Compensating Variations Det kan godt være, at Nechyba er uenig med andre økonomer om betegnelserne men der er helt sikkert enighed om, at det mest retvisende begreb er at se på ændringer i arealet bag den kompenserede efterspørgselskurve. Hvorfor? Fordi det reelle velfærdstab for forbrugeren ligger i substitutionsvirkningerne eller man kunne sige: Andre indkomst-kompensationsbegreber end Hicks vil overkompensere forbrugeren. Alligevel er det blandt økonomer en kendt og populær løsning blot at se på ændringer i arealet bag Marshall-efterspørgselskurven. Vel blandt andet fordi det er lettere økonometrisk at estimere denne end det mere abstraktive og fiktive begreb kompenseret efterspørgsel. Normale kontra inferiøre goder Vi ved fra dualiteten mellem nyttemaksimering og udgiftsminimering, at vi har x 1 (p *, I * ) = h 1 (p *, u * ) dvs. i udgangspunktet angiver Marshall-efterspørgslen og den kompenserede efterspørgsel samme mængde. Fra Slutsky-ligningen kan vi se, at hvis der er tale om et normalt gode, vil Marshall-efterspørgselskurven have en stejlere hældning, læst fra prisaksen, end den kompenserede efterspørgsel har. Så hvis prisen på vare 1 stiger, vil vi (når vi bruger standard-litteraturens begreber) få, at ændringen i forbrugeroverskud underdriver det reelle velfærdstab for forbrugeren (som er mere reelt udtrykt ved det her numerisk større CV). Omvendt, hvis godet er inferiørt: Da har Marshall-efterspørgselskurven en fladere hældning, læst fra prisaksen, end den kompenserede efterspørgsel. Så hvis prisen på vare 1 stiger, vil vi (når vi bruger standard-litteraturens begreber) få, at ændringen i forbrugeroverskud overdriver det reelle velfærdstab for forbrugeren (som er mere reelt udtrykt ved det her numerisk mindre CV).