Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet de store tals love. I dee forbidelse får vi brug for de såkaldte Ottaviais ulighed, der står formuleret i afsittet Maksimal Uligheder. Øvelser: Lad X være p(λ-fordelt for et λ >. Bestem det tilhørede tredie og fjerde momet. Vik: Aved ete de karakteristiske eller de mometfrembrigede fuktio. 2 Gør rede for at alle Biomial-fordeliger, Normal-fordeliger, Γ-fordeliger og Poisso-fordeliger er etydigt bestemt ved de tilhørede mometer. 3 Lad X betege e stokastisk variabel med karakteristiske fuktio ϕ X. Atag ϕ X (t = for et t. Vis at X er diskret. Vik: Vis og udyt lighede E[ cos t X] =. Gælder det også, hvis blot ϕ X (t =? 4 Dee opgave har til formål at berege de karakteristiske fuktio for Gammafordelige, dvs. eftervise fomel (G på side 9 i fordeligskataloget. Sæt for t R, α, β > ϕ(t, α, β := E[e itx ] hvor X Γ(α, β. Overvej at ϕ(t, α, β = ϕ(t/β, α, samt at additiosformle for Gammafordelige viser, at ϕ(t, α + α 2, β = ϕ(t, α, β ϕ(t, α 2, β. Dette ka f.eks. vises ved brug af trasformatiossætige. Vis u ved brug af reglere for differetatio uder itegralteget at d/dt ϕ(t, α, = iα ϕ(t, + α, = iα ϕ(t,, ϕ(t, α,.
Løsigsformle for e.-ordes lieær differetialligig giver derfor, at ( t ϕ(t, α, = exp iα ϕ(s,, ds t R, α >. Me da direkte udregig ved brug af delvis itegratio viser at ( ϕ(t,, = ( it = + t + i t 2 + t = 2 + t 2 ei arcta t, fås ved idsættelse ϕ(t, α, = exp ( t t iα ( ( + s 2 ds + i s/( + s 2 ds = exp ( α( /2 log( + t 2 + i arcta t ( α = e iα arcta t. + t 2 Med god ret ka dette skrives som ϕ(t, α, = ( ( it α = ( it α og dermed ϕ(t, α, β = ϕ(t/β, α, = ( it/β α. 5 Opgave 82. Øvrige meddelelser: E revideret og lettere udgave af afsittet Separatio af edelige Borel mål er vedlagt etudgave af dee ugeseddel. Afleverigsopgave: Lad {(X i i, N} være uafhægige stokastiske variable, så at N po(λ og P (X i = = P (X i = = /2 for i. Sæt S = X i, S = ( X i og S = S i= i= Vis at S N og S N er uafhægige og begge po(λ/2-fordelte. Vik: Bereg de karakteristiske fuktioer ved at vise og udytte, at E[ exp(its N + is S N ] = E[ exp(its + is S, N = ] t, s R. = Sved Erik Graverse 2
Separatio af edelige Borel mål. Givet et metrisk rum (S, d skal vi i dette afsit behadle spørgsmålet om, hvorvidt e delmægde H M(B(S er såkaldt målseparerede for e mægde m af edelige Borel mål på (S, B(S. Dvs. udersøge hvorår der for ethvert par af mål µ, ν m gælder f dµ = f dν f H µ = ν. Et simpelt me vigtigt resultat af dee type er. Sætig 8 bc(s + er målseparerede for mægde af Borel sadsylighedsmål på S. Bevis. Lad µ og ν betege to Borel sadsylighedsmål på S. Ifølge Propositio 2 er det ok at vise, at µ(u = ν(u for alle U S åbe. Me dette fås af Mooto koverges, thi betragt for givet U fuktioere x f (x := ( d(x, U c. f ere er ikke-egative, kotiuerte og begræsede, og da f U overalt har vi µ(u = lim f dµ = lim f dν = ν(u. I specielle rum S ka selv små delmægder af bc(s + være målseparerede. Vi er her iteresseret i flg. resultat, som formuleres i både e é og fler-dimesioal udgave. Vi betragter kusadsylighedsmål, me resltatet gælder uædret for ethvert edeligt mål. Propositio 6 Ethvert sadsylighedsmål µ på (R, B(R er etydigt bestemt ved tallee e (x a2 µ(dx, a R, dvs. fuktioere { x e (x a2, a R } er målseparerede for mægde af Borel sadsylighedsmål på R. 3
Propositio 7 Ethvert sadsylighedsmål µ på (R d, B(R d er etydigt bestemt ved tallee e x a 2 µ(dx, a R d, dvs. fuktioere { x e x a 2, uderliea R d er målseparerede for mægde af Borel sadsylighedsmål på R d. Bevisere, som er idetiske, bygger på flg. lemma, som formuleres for et geerelt d. Lemma 8 For ethvert x R d og f bc(r d er talfølge ( ( d/2 f(y exp( y x 2 λ d (dy koverget med græseværdi f(x og begræset af sup y R d f(y. Bevis. Lad x R d og f bc(r d være givet. Regereglere for lieær substitutio i et Lebesgue itegral sikrer, at ( d/2 f(y exp( y x 2 λ d (dy ( d/2 = f(x + u exp( u 2 λ d (du = d/2 Udyttes u her at f(x + u (2 d/2 exp( u 2 /2 λ d (du for. d/2 exp( u 2 /2 λ d (du = ses let, at tallee er umerisk midre ed de agive kostat. Edvidere fås også græseværdiresultatet, da pr. kotiuitet f(x + u (2 d/2 f(x for alle u R d domieret af sup y R d f(y. 4
Bevis for Propositio 7. (Specialtilfældet d = svarer til Propositio 6 Lad µ være et givet sadsylighedsmål på (R d, B(R d. Ifølge oveståede sætig er det ok at vise, at de aførte tal bestemmer µ-itegralet af ethvert elemet i bc(s +. Me for ethvert f bc(s + ses ved brug af Lemma 8 samt Lebesgue s og Toelli s sætiger, at f dµ = lim { f(y (/ d/2 exp( y x 2 λ d (dy} µ(dx = lim (/ d/2 f(y { exp( x y 2 µ(dx } λ d (dy, hvilket viser det øskede resultat. 5