M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger over, hvilke strålingstryk og kræfter indefra centrum udad på ethvert område af stjernen, der netop vil være i stand til at ophæve tyngdekraften på området indad mod centrum, for der må være en ligevægt mellem kræfterne indad og kræfterne udad, da stjernen (i langt de fleste tilfælde) ser ud til at være stabil. Newtons første lov ( Inertiens lov ) siger, at et legeme, der ikke er påvirket af kræfter, eller hvor den resulterende kraft er 0, vil bevæge sig retlinet med konstant fart. Farten kan eventuelt være 0, så legemet ligger stille. Det omvendte gælder også: Når vi ser et legeme ligge stille eller have en konstant hastighed, er det et tegn på, at den resulterende kraft på legemet netop er 0. Før Newton (Aristoteles verdensbillede) forestillede man sig, at enhver vandret bevægelse krævede, at der virkede en kraft, skrevet på formel noget i retningen af: kraft = modstand. hastighed men her siger Newton altså noget ganske andet. Når vi synes vi skal bruge en stor kraft for at give en vogn en konstant hastighed, er det netop fordi vi skal ophæve en gnidningskraft, der søger at modvirke bevægelsen. Hastigheden bliver konstant når summen af vores kraft og gnidningskraften netop er 0. Det er muligt at frembringe bevægelser næsten uden gnidningskræfter på et luftpudebord eller en luftpudebænk.
Luftpudebænk hvor en vogn med en papirsfane er fotograferet med 1/10 sekunds mellemrum. Fanen er 1 cm bred. Er vognens fart konstant? Hvor stor er dens fart? 2. Den resulterende kraft F res Kræfter, der ikke er parallelle skal lægges sammen ved hjælp af det man kalder kræfternes parallelogram. Det er fordi kræfter i lighed med fx hastigheder er vektorer, altså både har en størrelse og en retning (og ofte en enhed). I modsætning hertil har vi skalarer, som blot er størrelser (også ofte med en enhed), som fx temperatur, tryk, rumfang, masse. I nogle situationer kan det være en god ide at gå den anden vej, at opløse en kraft i to komponenter, som tilsammen giver den oprindelige kraft. Skal man opløse en kraft efter to givne retninger kan man lave konstruktionen til højre: Hvis man vil eksperimentere med reglerne for sammenlægning af kræfter, kan man lave forsøgsopstillinger i lighed med denne til venstre. Punktet i midten bevæger sig ikke, så derfor må summen af de tre kræfter være 0.
OPGAVEARK Konstruer i hvert tilfælde den resulterende kraft og find dens størrelse, idet en tern svarer til 5 N Nedenfor ser du nogle fysiske situationer. I hvert tilfælde kender man en kraft. Find to retninger, som du mener har særlig betydning i den enkelte situation, og opløs kraften efter disse retninger:
3. Acceleration Når et legeme påvirkes af kræfter, der ikke tilsammen er 0, ændrer det sin hastighed. Giver vi slip på en genstand, vi holder i hånden ud af vinduet på 5. sal, vil denne genstand begynde at falde mod jorden, da tyngden trækker i den. Hvis man i detalje undersøger et sådant frit fald, vil man se, at legemets hastighed hele tiden øges. (Vi ser her bort fra luftmodstand). Da hastigheden ændrer sig med tiden, siger man, at bevægelsen er accelereret. Hvis man starter en bil, vil den efterhånden øge sin hastighed fra 0 km/time til 80 km/time på landevejen. Også her ændrer hastigheden sig med tiden, og bevægelsen er accelereret. En bevægelse, hvor hastigheden ændres i tidens løb, siges altså at være accelereret. Hvis der er tale om aftagende hastighed som ved en opbremsning, siger man, at bevægelsen er decellereret, eller at accelerationen er negativ. Eksempel 3.1 Lad os betragte et legeme, der bevæger sig under indflydelse af forskellige kræfter ud ad en ret linie. Vi starter et stopur, når bevægelsen begynder, og kan derefter holde øje med, hvorledes hastigheden ændrer sig i tidens løb. Hastigheden efter t sekunder kalder vi V(t). Lad os antage, at V(4)=12 m/sek og at V(7)=27 m/sek. I løbet af de 3 sekunder, der er gået fra t=4sek til t=7sek, er der sket en hastighedsændring V bestemt ved (3,1) Denne hastighedsændring V har fundet sted i løbet af de 3 sekunder, der er fra t=4sek til t=7sek. I gennemsnit har hastigheden så ændret sig pr. sek. med en størrelse, som vi kalder a, der er bestemt ved (3.2) Denne størrelse a kaldes for accelerationen.
Vi definerer nu helt generelt, at (3.3) Accelerationen er hastighedsændringen pr. sekund. Den måles normalt i enheden m/sek 2 = m. s -2 På figur 3.1 er vist et legeme med massen m, som ligger stille på et fuldstændigt glat underlag. Den lille mand påvirker nu legemet med en konstant kraft F ved at skubbe på det. Det er klart, at når manden begynder at skubbe på legemet, begynder det at bevæge sig. Det ændrer derfor sin hastighed, som bliver større og større. Legemet har altså en acceleration. Denne acceleration kalder vi for a. Vi vil nu prøve at nå til en sammenhæng mellem de tre størrelser: Legemets masse m, kraften F og legemets acceleration a. Det er vel rimeligt at antage, at hvis kraften øges til det dobbelte, vil legemets acceleration også fordobles. Det betyder, at F og a er ligefremt proportionale. Hvis vi nu forestiller os, at den lille mand på fig. 3.1 altid skubber med en konstant kraft, men at legemets masse m nu fordobles, så må det være indlysende, at det nu er sværere at få legemet til at bevæge sig. Accelerationen bliver ikke så stor. Det viser sig, at den netop bliver halveret. Det betyder, at for konstant kraft er m og a omvendt proportionale. Alt i alt kan dette udtrykkes samlet som: (3,4) F = konstant. m. a Hvor konstanten afhænger af hvilke enheder kraften F, massen m og accelerationen a måles i. Man har nu vedtaget, at størrelsen af en kraft på 1N (Newton) fastlægges ved følgende definition: (3,5) En kraft på 1 Newton er den kraft, der giver et legeme på 1 kg en acceleration på 1 m/s 2
Hvis vi nu udnytter oplysningen fra (3,5) i (3,4) når vi frem til (3,6) 1 = konstanten. 1. 1 og heraf ser vi umiddelbart, at konstanten der dukkede op i (3,4) må være lig med 1. Der må altså gælde, at (3,7) F = m. a Hvis legemet på fig.3.1 er påvirket af andre kræfter end den, der stammer fra den lille mand, viser det sig, at relationen (3,7) stadig gælder. Kraften F skal så blot være den samlede kraft F res, som legemet påvirkes med. Resultatet i (3.7) kommer dermed til at gælde helt generelt. Dermed har vi: (3,8) Newtons 2. lov Den samlede kraft på et legeme er lig med legemets masse ganget med dets acceleration : F res = m. a Øvelse 3.1 Et legeme med en masse m på 3 kg, der til at begynde med ligger stille, påvirkes med en konstant kraft F på 21 N. Legemet sættes dermed i bevægelse. a) Bestem accelerationen a. b) Udregn størrelsen af hastigheden v(5) efter 5 sekunders forløb. c) Tegn en graf, der viser hvorledes hastigheden ændrer sig med tiden. d) Hvor stor har den gennemsnitlige hastighed v gns (5) været inden for de første 5 sekunder? e) Hvor langt er det vejstykke s(5), legemet har bevæget sig i løbet af de første 5 sekunder? Øvelse 3.2 En sporvogn, der vejer 2,5 tons, kommer kørende med en fart på 36 km/time. Den bremses nu op med en konstant bremsekraft F, og opbremsningen varer 12 sekunder. a) Hvad svarer farten 36 km/time til i m/sek? b) Bestem accelerationen c) Bestem størrelsen af F d) Tegn hastigheden v som funktion af tiden t i et koordinatsystem e) Bestem den gennemsnitlige hastighed v g under opbremsningen. f) Hvor lang er bremselængden s?
4. Bevægelse med konstant acceleration Lad os betragte et legeme, der ligger stille. Fra tiden t=0 påvirkes det med en konstant kraft F. Ifølge (3.8) vil accelerationen a da være konstant. Da legemets begyndelseshastighed er 0, vil det efter t sekunder have en hastighed v(t) givet ved (4.1) v(t) = a. t da hastigheden vokser proportionalt med den tid, der er gået siden starten. På fig. (4.1) er vist en graf for hastigheden som funktion af tiden. Til det bestemte tidspunkt t 1 er hastigheden (4.2) v(t 1 ) = a. t 1 figur (4.1) I løbet af de første t 1 sekunder har gennemsnitsfarten v gns været (4.3) v gns = ½. a. t 1 Der må da i dette tidsrum være tilbagelagt en vejstrækning s 1 af længden (4.4) s 1 = v. gns t 1 der ved hjælp af (4.3) omskrives til (4.5) s 1 = ½. a. 2 t 1
I det foregående har tidspunktet t 1 været tilfældigt valgt. De fundne resultater må derfor gælde for alle tidspunkter t. Der må altså gælde følgende relationer for en bevægelse forårsaget af en konstant resulterende kraft og med en konstant acceleration, der startes til tiden 0 med hastigheden 0: (4.6) v(t) = a. t s(t) = ½. a. t 2 Hvis et legeme falder frit altså uden luftmodstand i nærheden af jordens overflade har vi, at den resulterende kraft er lig tyngdekraften, dvs. m. a = m. g Dette betyder, at alle legemer der falder frit her, falder med samme acceleration, nemlig tyngdeaccelerationen g. Øvelse 4.1 Et legeme, der falder frit på Jordens overflade, falder med accelerationen g = 10 m/s 2. Vi betragter nu et legeme i højden 2 km, der begynder at falde til tiden t=0. Vi ser bort fra luftmodstand. a) Bestem legemets hastighed og hvor langt det er faldet efter 4 sekunder. b) Hvor lang tid er legemet om at falde de 2 km? c) Med hvilken hastighed rammer det Jorden?
5. Aktion og reaktion Newtons 3. lov drejer sig om vekselvirkningen mellem to legemer. Hvis det ene påvirker det andet med en kraft, så påvirker omvendt det andet legeme det første med en lige så stor men modsatrettet kaft. Kræfter optræder altså altid i par, men på hvert sit legeme. Parret kaldes aktion og reaktion. Jorden trækker i Månen og holder den i sin bane, og omvendt trækker Månen i Jorden og frembringer tidevandet her. (Til venstre): Elektrisk frastødning mellem 3 ladede partikler. Kræfterne opfylder parvis Newtons 3. lov. Øvelse 5.1 Et lod er ophængt i en snor i loftet (til højre): Brug Newtons 2. og 3. lov til at forklare, at de tre kræfter har samme størrelse. Newtons 3. lov siger, at alle kræfter optræder i par af kræfter, der er lige store og modsat rettede. På tegningen er der kun tre. Hvor er den fjerde? Øvelse 5.3 Øvelse 5.2 (Til venstre): Et legeme bevæger sig på et glat skråplan. Indtegn alle kræfterne. Find derefter den resulterende kraft på legemet. En dame står i en elevator, der kører opad med konstant hastighed. Tegn kræfterne på damen.
6. Kinetisk energi Kinetisk energi hedder også bevægelsesenergi. Det er den energi et legeme har, fordi det har fart på. Vi vil udlede en formel for hvor stor en energi en genstand med massen m har, når det har hastigheden v. Vi kan ikke forestille os, at bevægelsesenergien anhænger af andre størrelser (som farve, temperatur..), og vi kan heller ikke forestille os, at to forskellige genstande hver med samme masse m og samme hastighed v, skulle kunne have forskellig kinetisk energi fordi de er kommet i fart på forskellige måder. Når en genstand har en masse m og en hastighed v har den altså en bestemt kinetisk energi uafhængig af hvordan den fik denne hastighed. Vi kan derfor tillade os at regne på det som om den havde fået farten ved at blive accelereret af en konstant kraft. Vi tænker os at legemet starter fra hvile til tiden 0. Her må den have den kinetiske energi 0. Under påvirkningen af den konstante kraft F acceleres den så op til hastigheden v, dette sker over en strækning s. Fra M2 sidste år ved vi, at kraften hermed har udført arbejdet F. s på legemet. Ligeledes ved vi fra sidste år, at dette udførte arbejde nu kan genfindes som energitilvæksten for legemet. Legemet har altså nu en kinetisk energi på E kin = F. s Øvelse 6.1 En bil starter fra en lyskurv. Den resulterende kraft på bilen er konstant lig med 1000 N. Beregn bilens kinetiske energi 200 m efter lyskurven.
Vi ved fra Newtons 2. lov at F = m. a og fra (4.6) at s = a t 2. Dette giver os: E kin = F. s = (m. a). ( a t 2 ) = ½. m. a 2. t 2 = ½. m. (a. t) 2 = ½. m. v 2, hvor vi til sidst udnyttede (4.6): v = a. t. Vi sammenfatter: (6.1) Den kinetiske energi af et legeme med massen m og hastigheden v er givet ved: E kin = ½. m. v 2. Sammenhængen mellem enhederne er: J = kg. m 2 / s 2. Øvelse 6.2 Bilen fra øvelse 1.1 har massen 1000 kg. Beregn bilens hastighed, når den har kørt de 200 m. Øvelse 6.3 En anden bil har også massen 1000 kg, men denne bil har en svagere motor. Den resulterende kraft på bilen er konstant lig med 800 N. a) Hvilken hastighed har denne bil 200 m fra lyskurven? b) Hvilket arbejde er der da udført på bilen? c) Hvis samme mængde energi blev brugt til at sætte en lastbil på 10.000 kg i gang, hvilken fart ville denne så opnå?