Matematik på 9. og 10. klassetrin

Matematik på 9. og 10. klassetrin Hayati Balo, AAMS, Forår 2013 Baseret på 9. klasse og 10. klasse udvidet kursus (Sigma), 1. udg. 8. oplæg 1986 og 1. udg. 6. oplæg 1986, af Henry Schultz, Johan Jacobsen, Knud Leth- Nissen, Paul-Erik Rasmussen, Malling Beck A/S 1

2

1 Koordinatsystemet, funktioner og grafisk afbilding Koordinatsystemet Koordinsystemet består af to tallinier, der normalt står vinkelret på hinanden. Tallinierne kaldes koordinatsystemets akser. Den vandrette akse kaldes den første-aksen eller x-aksen mens den lodrette akse kaldes anden-aksen eller y- aksen. Hvert punkt i koordinatsystemet svarer til et ordnet par som f.eks. vises i grafen som et punkt A = (x = 3,y = 2). Øvelse 1.1 Tegn et rektangel i et koordinatsystem. Tre af vinkelspidserne skal ligge i (4, 2), ( 2,2), og (4, 1). a) Hvilket koordinatsæt har den fjerde vinkelspids? b) Beregn rektanglets areal. 3

Øvelse 1.2 Tegn en retvinklet trekant i et koordinatsystem. Trekantens vinkelspidser ligger i (3,1), (3,4) og ( 1,1). a) Find trekantens omkreds. b) Find trekantens areal. Øvelse 1.3 Hvor stor er afstanden mellem følgende punkter: a) ( 4,4) og ( 4, 1) c) (2, 6) og ( 3, 6) b) ( 2,2) og (4,2) d) ( 4,8) og ( 4,0) Funktioner I matematikken indgår funktioner næsten overalt, idet en lang række sammenhænge kan beskrives ved hjælp af funktioner. En funktion er en mængde af ordnede talpar(punktmængde), hvor der ikke er to ordnede talpar, der har samme x-komponent. Følgende mængde af talpar viser en funktion ved navnet f f = {(0, 2),(1,2),(2,6),(3,10)} Man kan tegne et billede af en funktion i et koordinatsystem. Vi kan f.eks.vha. GeoGebra skitsere(tegne) denne funktion ved at definere punktmængden først og bagefter bruge kommandoen Polynomial[list1] på følgende måde; 4

Ofte får man opgivet funktions-forskriften samt en besked om, hvilke x-komponente der må bruges. Denne mængde kaldes definitionsmængden Dm f. Mængden af y- komponenten kaldes værdimængden, V m f. Vi har forskriften for følgende funktion: f (x) = x 1 Dm f = {3,4,6} Ud fra definitionsmængden (x-værdier) kan vi regne y-værdier som vil være værdimængden. f (3) = 3 1 = 2 f (4) = 4 1 = 3 f (6) = 6 1 = 5 Dvs. vi har ud fra forskriften følgende punktmængde for funktionen 5

f (x) = {(3,2),(4,3),(6,5)} V m f = {2,3,5} I de følgende tre øvelser (1.3,1.4 og 1.5) er definitionsmængden { 5, 4, 3,...4, 5}. Hver funktion skal tegnes i sit eget koordinatsystem og værdimængden skal skrives på listeform. Du kan evt. bruge GeoGebra på følgende måde: Function[3x, 5, 5] Øvelse 1.3 a) f (x) = y = 3x b) f (x) = y = 2x c) f (x) = y = 2x Øvelse 1.4 a) f (x) = y = 3x 2 b) f (x90y = 2x+2 c) f (x) = y = 2x 2 Øvelse 1.5 a) f (x) = y = x + 8 b) f (x) = y = 1 x + 3 c) f (x) = y = x + 4 2 I det følgende vil vi mest arbejde med funktioner, hvis definitionsmængde er alle de reelle tal R. De grafiske billeder vil være sammenhængende linier eller kurver i stedet for enkelte punkter, givet som mængder. Tegn det grafiske billede af følgende funktioner. Angiv for hver af graferne, i hvilket punkt de skærer x- og y-aksen. Øvelse 1.6 a) f (x) = y = 2x + 4 b) g(x) = y = 1 2 x + 4 c) h(x) = y = 1 x + 1 d) i(x) = y = 2x + 4 3 6

Øvelse 1.7 a) f (x) = y = 2x + 4 b) g(x) = y = 1 2 x + 4 c) h(x) = y = 1 x + 1 d) i(x) = y = 2x + 4 3 Øvelse 1.7 a) f (x) = y = x + 2 b) g(x) = y = 1 2 x 3 c) h(x) = y = x 1 d) i(x) = y = 2x 6 Ved en funktion f s definitionsmængde forstås mængden af x-værdier som funktionen er defineret indenfor og skrives som Dm f. Ved en funktion f s værdimængde forstås mængden af y-værdiersom funktionen er defineret indenfor og skrives som V m f. Øvelse 1.8 Beregn definitions- og væerdimængderne af følgende funktioner. a) f (x) = y = 4x 8 b) f (x) = y = x c) f (x) = y = 240 d) f (x) = y = x 2 x e) f (x) = y = 3 x f) f (x) = y = x 12 Lineære funktioner - førstegradsfunktioner En funktion, hvis grafiske billede er en ret linie, har forskriften f (x) = y = ax + b hvor a er liniens hældningstal og bangiver liniens skæring med y-aksen. 7

Hældningstallet angiver, hvor meget y-værdien vokser med, når x-værdien vokser med én enhed. Jo større a er, jo stejlere hælder linien. Hvis a er positiv, går linien opad og nedad hvis negativ. Funkrion, ordnede par i en mængde, forskrift og billede af en funktion er matematiske begreber men de bruges også i hverdagen uden at vi nødvendigvis tænker på det. Forestil dig sammenhængen mellem benzinpris og antal liter som er givet som ordnede talpar: f (x) = {(10,120),(20,,240),(30,360)} På tankstationen kan vi få at vide, hvad en liter benzin koster. Og så ved vi godt, hvordan vi skal regne prisen ud på 10, 20 og liter. Vi kender med andre ord forskriften når literprisen er 12 kr. f (x) = y = 12x Øvelse 1.9 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem: 8

a) ( 3, 1) og (2,4) b) (1,6) og ( 2, 3) c) ( 1,1) og (1, 3) d) ( 2,5) og (8,0) e) (2,4) og ( 2, 6) f) (1, 5) og ( 5,1) g) ( 3,3) og (7, 2) h) (0,4) og ( 2,0) Øvelse 1.10 Tegn, (skitser eller afbild) linien l : y = 4 x + 4 og beregn arealet af den trekant, 5 der dannes af l, x-aksen og y-aksen. (facit:10) Øvelse 1.11 Tegn de tre linier: l : y = 4 3 x + 1 m : y = 3 n : x = 3 a) Hvilken figur danner de tre linier? b) Find omkredsen af figuren c) Find arealet af figuren. (Facit:15) Øvelse 1.12 Tegn linierne l, m og n. l : y = 1 2 x + 9 2 m : y = 2x + 7 n : y = 1 Linierne danner en retvinklet trekant. a) Beregn trekantens areal.(facit:20) Øvelse 1.13 En linie har forskriften y = 2x + b. Linien går gennem punktet ( 2, 1). Beregn værdien af b. (Facit:3) 9

Øvelse 1.14 En linie har forskriften y = x + b. Linien går gennem punktet (3,5). Beregn værdien af b. Proportionalitet En funktion, hvis forskrift er y = a x kaldes en ligefrem proportionalitet. Hvis x-værdien bliver n gange større, så bliver y-værdien også n gange større. a er en konstant, som kaldes proportionalitetsfaktoren. Øvelse 1.15 Over en modstand på 5 ohm lægges forskellige spændingsforskelle (volt), og strømstyrken (ampere) måles. Efter Ohm s lov gælder: Spændings f orskel = Modstand Str/omstyrke U = R I model. Da modstanden er 5 ohm kan vi opstille følgende funktion eller matematisk U = 5 I Eller matematisk 10

y = 5 x når x er strømstyrken og yer spændingsforskel. Dvs. spændingssforskellen er ligefrem proportionalt med strømstyrken. a) Er strømstyrken ligefrem proportionalt med spændingsforskel? b) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellen spænding og strøm. Beregn eller aflæs på grafen den manglende værdi i følgende ordnede par: c) (20,y), (x,20), (10,y), (x,10) Øvelse 1.16 På den følgende graf ser man temperatursvingningerne, mens 1 kg. is smelter. Isen ligger i almindelig vand. Det ses, at den føeste temperaturmåling gav resultatet 9 0. Derefter stiger temperaturen jævnt indtil den når isens smeltepunkt. Isen smelter ikke før denne temperatur er nået. Så længe isen smelter er temperaturen den samme. Der bruges enormt meget energi til selve is-smeltningen. 11

Det er derfor, at temperaturen ikke stiger selv om der hele tiden tilføres energi. Først når al isen er smeltet, stiger temperaturen igen. a) Hvad er isens smeltepunkt? b) Hvornår kræves der mest energi for at få temperaturen til at stige 1 0 -før eller efter isens smeltning? Hvordan kan man se det på grafen? Mange af dagligdagens problemer løses uden matematik - men andre kan kun løses ved hjælp af matematik, hvad enten man kalder det matematik eller ej. Rn af matematikkens vigtigste anvendelser er netop beskrivelsen og løsningen af almindelige dagligdags problemer. Imidlertid er det med matematik som med så meget andet nødvendigt at beherske nogle teknikker, inden man kan bruge sin viden. Øvelse 1.17 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem følgende punktpar: a) ( 3, 1) og (2, 4) b) (1, 6) og ( 2, 3) c) ( 1, 1) og (1, 3) d) ( 2, 5) og (8, 0) Øvelse 1.18 Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem følgende punktpar: a) (2, 4) og ( 2, 6) b) (1, 5) og ( 5, 1) c) ( 3, 3) og (7, 2) d) (0, 4) og ( 2, 0) Øvelse 1.19 Tegn linjen ved hjælp af GeoGebra l : y = 4 5 x + 4. a) Beregn arealet af den trekant, der dannes af l, x aksen og y aksen. 12

Intervaller og uligheder Øvelse 1.20 Teg de tre linjer vha. GeoGebra l : y = 4 3 x + 1 m : y = 3 n : x = 3 a) Hvilken figur danner de tre linier? b) Find omkredsen af figuren. c) Find arealet af figuren. Øvelse 1.21 Tegn linierne ved hjælp af GeoGebra. l : y = 1 2 x + 9 2 m : y = 2x + 7 n : y = 1 Linjerne danner en retvinklet trekant. a) Beregn trekantens areal.(facit:20) To Ligninger med to ubekendte - grafisk og analytisk løsning y = 2x 4 og y = x + 5 Ovenfor ses to ligninger, hvor både x og y er ubekendte. Når man skal løse de to ligninger, skal man finde det eller de ordnede talpar, der tilfredstiller begge ligningerne samtidig. Det vil sige, at det ordnede talpar skal gøre begge ligningerne tol sande udsagn, når man indsætter x og y dvs. det ordnede talpar i ligningerne. Når man løser ligningssættet grafisk, opfatter man hver af ligningerne som en forskrift for en funktion: Eksempel 1: Løs ligningssytemet 13

y = 3x + 3 og y = 1 2 x 2 At løse ligningssystemet vil sige at finde det ordnede talpar, (x,y), som indsat i begge ligningerne tilfredstiller dem - gør dem til sande udsagn. Vi vil løse ligningssytemet både grafisk vha. GeoGebra ved at tegne linierne i et koordinatsystem og aflæse deres skæringspiunkt. og analytisk vha. alternativt lige store koefficienters metode. Løsningsmængden bliver altså: L = {(2, 3)} Analytisk løsning vha. lige store koefficienters metode som går ud på at sætte de to udtryk lige med hinanden - for at eliminere y i første omgang. y = 3x + 3 og y = 1 2 x 2 3x + 3 = 1 2 x 2 3x + 1 2 x = 2 3 14

6x + x = 5 2 5x = 10 x = 2 Indsættes denne værdi i én af ligninger fås y = 3. Prøv selv. Øvelse 1.22 Løs følgende ligningssystemer vha. begge metoder som eksemplet ovenfor. a) y = 1 2 x 2 og y = 5 2 x 6 b) y = 2 x + 6 og y = x 4 3 c) y = 3x 1 og y = x + 3 d) y = 1 x 1 og y = x 3 2 e) y = 2x 1 og y = x 4 f) y = 1 2 x + 1 og y = x 5 g) y = 2 3 x + 3 og y = 2x 5 h) y = 1 2 x + 1 og y = x + 4 Øvelse 1.23 Løs følgende ligningssystemer vha. begge metoder som eksemplet ovenfor. a) y = 2 3 x + 1 og y = 1 x + 7 b) y = 3x + 1 og y = x + 5 3 c) y = 1 2 x 4 og y = 3 2 x + 4 d) y = x + 3og y = 1 2 x 3 e) y = 1 3 x + 4 og y = x 4 f) y = x + 5og y = 1 2 x 3 g) y = 2x og y = 4x + 2 h) y = 2x + 4 og y = x + 7 Eksempel 2: Løs ligningssytemet x y = 3 og y + 2x + 3 = 0 15

Når ligningerne står på denne form, kan det tit betale sig at omskrive dem til formen y = ax + b eller y = αx + q. x y = 3 og y + 2x + 3 = 0 y = x + 3 og y = 2x 3 Nu kan vi igen indsætte ligningerne lig med hinanden ligesom før x + 3 = 2x 3 3x = 6 x = 2 Vi finder y-værdien ved at indsætte x-værdien i en af de ligninger y = 2 + 3 = 1 Dvs. skæringspunktet eller løsningsmængden er L{( 2,1)} Vi løser ligningerne vha. GeoGebra ved at indtaste dem direkte i inputfeltet 16

Øvelse 1.24 Løs følgende ligningssystemer vha. begge metoder som vist ovenfor: a) x + y = 5 og y + 1 = x b) 2y x =6 og x = y 5 c) 2x + y + 1 = 0 og 2y = x 12 d) 5y 2x = 15 og y + 4 = x e) 2 = 2x + y og 2y 19 = x f) 1 y = x + 1 og 2x = y 5 3 Øvelse 1.25 Løs følgende ligningssytemer vha. begge metoder som vist ovenfor: a) 4y + 4 x = 0 og y = x + 3 2 b) 2y + x 9 = 0 og 2y + 3 x = 0 c) 2y + x + 6 = 0 og 2x 4y 8 = 0 d) 2y x 3 = 0 og x y 3 = 0 e) x 1 y + 2 = 0 og 3y + x + 9 = 0 f) 3y x + 2 = 0 og 2x = 6x + 12 2 g) y 2x = 10 og y + 2x = 6 h) y 3 = 2x og x 1 2 y = 1 Lineære uligheder - grafisk og analytisk løsning Teg vha. GeoGebra linien: l : y = 1 2 x + 1 2 samt linien: m : y = x + 5 For hvilke x-værdier ligger linien l over linien m? De to linier skitseres i et koordinatsystem og deres skæringspunkt aflæses: 17

Skæringspunkt: (3, 2) Når x-værdierne er større end 3 - i det farvede område -, ligger linien l over linien m. Eller med andre ord: 1 2 x + 1 > x + 5 når x > 3 2 dvs. løsningsmængden er: L = [3; [ Analytisk løsning går ud på at skrive ligningerne sådan at l > m. Dvs. l > m 1 2 x + 1 2 > x + 5 Vi løser uligheden som en ligning ved at samle x-erne og tallene hver for sig 1 2 x + x > 5 1 2 x + 2x 2 > 10 1 2 Ganges begge sider af ulighedstegnet med tallet 2 18

3x > 9 Divideres begge sider med tallet 3 x > 3 Altså løsningsmængden bliver: L = [3; [ Øvelse 1.26 For hvilke x-værdier ligger l over m? a) l : y = 1 2 x + 3 og m : y = x 3 b) l : y = 2x + 8 og m : y = 1 3 x + 1 Øvelse 1.27 For hvilke x-værdier ligger l under m? a) l : y = 2x 4 og m : y = x 1 b) l : 1 2 x 1 og m : y = 1 2 x + 2 Eksempel 1: Løs uligheden 1 x + 2 > 2x 3 både grafisk og analytisk -dvs. ved beregning. 2 Grafisk løsning er lige ud af landevejen. GeoGebra finder løsningen som det farvede område: 19

Analytisk eller ved beregning 1 2 x + 2 > 2x 3 1 x 2x > 3 2 2 x 4x 2 > 5 Ganges begge sider af ulighedstegnet med tallet 2 5x > 10 Divideres begge sider med tallet -5 og husk at vende ulighedstegnet! x < 2 Øvelse 1.28 Løs følgende uligheder: a) x 2 > 1 x + 4 b) x + 1 > 2x + 7 2 20

c) 2x + 4 > 1 x 2 d) 2x 3 < x 1 2 e) x + 1 1 2 x + 4 f) 2x + 5 1 3 x 2 g) 1 2 x 4 3 2 x + 1 h) 1 2 x 4 > 1 2 x + 2 En punktmængde er bestemt ved ulighederne: 2 < x 4 og 3 y < 5. Bestem de punkter, der er indeholdt i punktmængden. Den første ulighed betyder, at x-værdierne skal ligge mellem 2og 4. x- værdierne skal altså ligge i intervallet: ]2;4]. At linien x = 2er stiplet betyder, at netop værdien 2ikke er med i punktmængden. Det farvede område i figuren er den punktmængde, der opfylder den første ulighed. Den anden ulighed angiver y-værdier, der ligger mellm 3 og 5. y-værdierne skal ligge i intervallet: [3;5[ 21

Den farvede punktmængde i figuren opfylder denne ulighed. Punktmængden, der tilfredstiller begge ulighederne, må ligge i det kraftigst farvede område i figuren nedenunder. figur: Du kan prøve at skrive i GeoGebra følgende i iputfeltet for at få ovenstående 2 < x 4 3 y < 5 22

Øvelse 1.29 En punktmængde er bestemt ved ulighederne: y x 5 og x 3 og y < 2. Beregn arealet af den figur der fremkommer. Øvelse 1.30 En punktmængde begrænses af x-aksen og følgende tre linier: y = x 4 og y = 4 og x = 8 a) Beregn arealet af punktmængden. Ligefrem og omvendt proportionalitet På varer, der sælges i Danmerk, lægges der moms, der udgør 25%. På nedenstående graf, kan man se moms-beløbet som en funktion af varens pris -excl moms. 23

Funktionens forskrift er: f (x) = y = 0.25 x Nu kan vi hurtigt beregne/aflæse moms-beløbet for en vare der koster f.eks. 400 kroner. Moms-beløbet udgør således 100 kr. ifølge grafen. Det kan også beregne af forkriften på følgende måde: y = 0.25 400 = 100 Øvelse 1.31 Beregn en vares samlede pris, når prisen excl. moms er: a) 50 kr b) 100 kr. c) 200 kr d) 300 kr. Tegn en graf, der viser varens samlede pris - incl moms) soom en funtion af varens pris uden moms. 24

e) Hvad er prisen incl. moms for en vare, som excl. moms koster 350 kr? f) En vare koster 600 kr incl. moms. Hvor meget koster samme vare excl. moms? g) Hvad er forskriften for funktionen i spørgsmål e? Som ses af ovenstående forskrift af momsbeløbet y = 0.25x bliver y-værdien fordoblet, når x fordobles, etc. Man siger, at x og y er ligefrem proportionale. Ligefrem proportionale funktioner har altså en forskrift af formen: y = a x og denne kunne i et koordinatsystem afsættes som punkter, der lå på en ret linie, der gik gennem origo (0, 0)og havde hældningstallet a. Tallet a kaldes også proportionalitetsfaktoren. Øvelse 1.32 I de følgende øvelser opgives nogle ordnede talpar. Afgør vha. GeoGebra hvert tilfælde om der er tale om ligefrem proportionalitet elller ikke. a) {(3, 21 2 ),(5, 35 2 ),(2,7),(6,21),(4,14)} b) {(6, 17 2 ),(4,6),(3, 9 2 ),(7, 21 2 ),(5, 15 2 )} c) {(8,1),(2,1),(4,2),(6,3),(16, 1 )} d) {(4,2),(2,4)} 2 Luftens tryk er ca. 1 atm (atmosfære) ved jordoverfladen. Menneskekrop er altså vant til et tryk på ca. 1 atm. 1 atm svarer til et tryk på ca. 10 Newton pr. cm 2 I vand stiger trykket, jo dybere man kommer ned. For hver 10 m, man dykker, stiger trykket med 1 atm.i en dybde af 10 m er der altså et tryk på 2 atm. 25

Øvelse 1.33 Tegn en graf, der viser trykket som en funktion af vand-dybden. (Brug evt. y = 0.1 x + 1 som forskrift og GeoGebra) a) Hvor stort er trykket i en dybde af 20 m? 40m? b) I hvilken dybde er trykket 10 atm? Øvelse 1.34 Moderne U-både kan sejle i en dybde af 300 m. Hvor stort tryk skal skroget kunne modstå i denne dybde? Øvelse 1.35 Følgende tabel viser sammenhængen mellem vægt og højde af mænd af middel bygning- ideal-vægte. Højde(cm) 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 190 Vægt(kg) 56 58 59 61 62 64 65 67 68 70 71 72 74 75 77 78 80 81 a) Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem idealvægt og lgemshøjde. - GeoGebra giver sammenhængen y = 1.3687 + 78.8651 hvor y er højden - b) Er der tale om ligefrem proportionalitet? c) Hvor meget bør man veje, hvis man er 2 m høj? Tegn vha. GeoGebra det grafiske billede af funktionen x y = 24 26

Vi kunne også skitsere det grafiske billede vha. programmet Graph af følgende tabel i stedet, hvis vi ikke kendte forskriften- GeoGebra har ikke hyperbel model! x -8-6 -4-3 -2-1 1 2 3 4 6 8 y -3-4 -6-8 -12-24 24 12 8 6 4 3 Ovenstående grafer kaldes en hyperbel. 27

Bemærk: a) Grafen ligger i to kvadranter - første og tredie b) Der eksisterer ingen y værdi til x værdien nul c) Der eksisterer ingen x værdi til y-værdien nul Både definitionsmængden og væedimængden består af alle de reelle tal, R, bortset fra tallet nul, dvs. Dm f = R\0 Når en funktion har forskriften x y = k eller y = k 1 x hvor k er en konstant, siges x og u at være omvendt proportionale. Fra Århus til Silkeborg er der ca. 50 km. Hvor lang tid vil det tage en cyklist, en knallert og en bilist at gennemføre turen, når gennemsnitsfart for en cyjkel er 15 km/t, for en knallert 30 km/t og for en bil 100 km/t? Vi ved at hastighed tid = ve jlængde eller strækning v t = s eller t = s v Cykel : t = 50 = 3.33 timer 15 Knallert : t = 50 30 = 1.67timer Bil : t = 50 = 0.5 timer 100 28

Øvelse 1.36 Ohm s lov: U = R I U : spændingsforskel - måles i volt R : modstsnd - måles i ohm I : strømstyrke - måles i ampere Den normale spændingsforskel i husholdningerne er 220 volt. For de fleste el-apparater i husholdningen gælder: 220 = R I Groft sagt skal et el-apparat briuge større strømstyrke (I) for at give større arbejde. 60 Watt el-pære ca. 0.3 Ampere 100 Watt el-pære ca. 0.5 Ampere Båndoptager Radio Kaffemaskine Køleskab ca. 0,1 Ampere ca. 0.6 Ampere ca. 3.4 Ampere ca. 0.8 Ampere a) Beregn i hvert af de seks tilfælde, hvor stor modstanden er. b) Er modstand og strømstyrke ligefrem eller omvendt proportionale -ved konstant spænding? c) Er modstand og spændingsforskel ligefrem eller omvendt proportionale - ved konstant strømstyrke? 29

Øvelse 1.37 På el-apparater angives sjældent den nødvendige strømstyrke, men derimod effekt som måles i Watt. P = I U hvor P er effekt i Watt, U er spændingsfald i Volt I er strømstyrken i Ampere. a) Er effekt og strømstyrke ligefrem eller omvendt proportionale ved konstant spænding? b) Beregn effekten i hvert af de seks apparater i øvelse 1.36 Øvelse 1.38 Newton s 2. lov fortæller om acceleration, når et legeme med massen m påvirkes af en kraft på F Newton. F = m a De tre størrelser to og to proportionale når den tredje er konstant.afgør om de er ligefrem proportionale: a) Kraft og masse -acceleration er konstant b) Kraft og acceleration - massen er konstant c) Masse og acceleration - kraften er konstant Øvelse 1.39 Afgør om de ordnede talpar tilhører en funktion, der er ligefrem proportional, omvendt proportional eller slet ikke proportional. 30

a) {( 3, 6),( 1, 2),(1,2),(3,6)} b) {(8,2),(2,8),(4,4),(16,1)} c) {(2,4),(1,2),(8,4),(6,12)} d) {(15, 15 2 ),(10,5),(5, 5 2 ),(20,10)} e) {(14,56),(2,8),(6,24),(5,20)} f) {(36,6),(18,12),(12,18),(24,9)} g) {( 2, 5),(4,10),( 4, 10),( 1, 5 2 )} h) {(1, 5 2 ),(2,5),(5, 25 2 ),(3, 17 2 )} Øvelse 1.40 Lyset består -ligesom radio og TV-bølger- af bølger med forskellige bølgelængder. I figuren nedenunder er der tale om bølgelængde på 2π.Bølgerne svinger op og ned. Antallet af svingninger pr. sekund kaldes frekvensen. Frekvens gange bølgelængde er lig med lysets hastighed. λ f = c λ : lysets bølgelængde f : lysets frekvens c : lysets hastighed 31

a) Er lysets bølgelængde og frekvens ligefrem eller pmvendt proportionale? Øvelse 1.41 Boyle-Mariottes lov: Produktet af en indespærret luftmasses tryk (p) og volumen (V ) er konstant - forudsat at temperaturen er uforandret. a) Prøv at formulere en forskrift, der udtrykker sammenhængen mellem tryk og rumfang. b) Er p og V omvendt proportionale? Øvelse 1.42 I et fysik-forsøg blev 20cm 3 luft spærret inde i en pumpe. Da var trykket 1 atm. a) Hvor stort blev trykket, da stemplet blev trykket ind, så det nye rumfang var 13 2 cm3. b) Derpå blev stemplet trukket ud og lufttrykket målt til 0.8atm. Hvor stort var rumfanget så? 32

Øvelse 1.43 Grafen nedenunder viser et resultat fra nogle studerendes forsøg med Boyle-Mariottes lov. a) Opstil en forskrif for forsøget vad at nruge programmet Graph. 2 Algebra, ligninger og funktioner Reduktion At reducere et udtryk vil sige at skrive det kortere. Mange af de ligninger eller andre udtryk, vi møder, kan med fordel reduceres. Derved bliver udtrykkene nemmere at overskue og lettere at regne med. Reducér udtrykket 33

a + 2a + 4a 3a Udtrykket er det samme som 1 a + 2 a + 4 a 3 a = 4a Øvelse 2.1 Reducér følgende udtryk: a) 2x + 4x 3x + 6x b) 4b + 2b 3b 7b c) 6a 8a + 3a d) 8y 4y + 3y 7y e) 3 2x 4x + 8x f) 3x 8x 4x + 8x g) 12y 4 2y + 5y h) 8a 4 3a 2a Reducér udtrykket 3x + 4y 5x + 2y x værdier og y værdier samles hver for sig: 3x + 4y 5x + 2y = 3x 5x + 4y + 2y = 2x + 6y Øvelse 2.2 Reducér følgende udtryk: a) 14x 8y + 3y 6x b) 9a 4b + 3a + 4b 12a c) 8a + 3a 4b 6b + 8b d) 6k 3m + 8k + 8m 6k 34

e) 8x 3y + 8y 5x f) 9x 8y + 3x y + x g) 3a + 8b 5a 2b 3b h) 6y 8z + 3y + 4z + 3y En plus-parantes kan hæves eller sættes uden videre. En minus-parantes kan hæves eller sættes, hvis man samtidig skifter alle fortegn i parantesen. Rreducér udtrykket (2x 3y) (5x 3y) Foran den første parantes står der intet fortegn, så der der er underforstået et plus fortegn. Foran 2x og foran 5x er der ligeledes underforstået et plus fortegn. Den anden parantes hæves som normalt for en minus-parantes. (2x 3y) (5x 3y) = 2x 3y 5x + 3y = 3x Øvelse 2.3 Reducér følgende udtryk: a) 2x (8x 3y) + 4y b) (4x 3y) + 8x (3x 3y) c) 6x + 3y (2x 2y) d) (4 + 8a) 3 + (6a + 7) 35

e) 4b 3a + (8a b) f) 8 3x (5 + 2x) + (3x 8) g) 6x 8 + 3y + ( 3 5x) h) 6x 3y (4x 2y) 2x Den distributive lov a (x + y) = a x + a y a (x y) = a x a y Man ganger et tal, a, med en fler-leddet størrelse ved at gange tallet med hvert af leddene. 1. 3 (4x + 2) = 3 4x + 3 2 = 12x + 6 2. 2a (b 5) = 2a b 2a 5 = 2ab 10a 3. 3 (2x 8) = (6x 24) = 6x + 24 Øvelse 2.4 Gang paranteserne ud af følgende udtryk. a) 5 (8 3x) b) (3x 4) 2 c) 7 (3x 1 2 ) d) 6 ( 2 + 5a) e) (7a + 3b) 4 f) 4 (x 3 2 ) g) 4 (3x + 2) h) (8 2x) ( 4) i) 1 (8 12z) 2 j) 6 (5x 3) k) (3 + 8x) ( 5) l) 13 2 (8 + 2a) Løs ligningen ved at gange paranteserne ud 2x(6 3x) 36

Dvs. Mellem 2x og parantesen har man lov til at undlade at skrive gange-tegnet. 2x(6 3x) = 12x + 6x 2 Øvelse 2.5 Gang paranteserne ud: a) 8a(3 4a) b) (8x 5y)2x c) 1 a(8 4a) 2 d) 6(2a 8) e) (4a + 6)( 3a) f) 7x( 3 x) g) (14 2x)3x h) 9 a(20 16a) i) 3(9x 4) 2 j) (16 + 20x) 1 4 x k) 8u(u 1 ) l) 2b(8 + b) 4 Reducér udtrykket 14 2a(a + 8) + 10a 14 2a(a + 8) + 10a =14 (2a 2 16a) + 10a = 14 2a 2 16a + 10a = 2a 2 6a + 14 Øvelse 2.6 Reducér følgende udtryk: a) (9a b)6 3(b + 18a) b) 5 (8 4y) + 3(y 7) 2 c) 8 3(x + 4) 4(6 2x) d) 4a(6 a) (12a 2)2 e) 13 2 (6 12x) 2 (6x 12) 3 f) 12(16 + 2y) 3(8y + 48) g) 3a(20 x) + x(x 3a) h) (6x 3) + 4(1 + 2x) 1 37

Man ganger to to-leddede størrelser med hinanden ved at gange hvert led i den ene oarantes med hvert led i den anden parentes. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Et produkt af to faktorer med samme fortegn er positivt. Et produkt af to faktorer med forskellige fortegn er negativt. (5 x)(8 2x) = 5 8 5 2x x 8 + x 2x = 40 10x 8x + 2x 2 = 2x 2 18x + 40 Øvelse 2.7 Reducér følgende udtryk: a) (3 + 8x)(4 2x) b) (12 1 x)(4 + 2x) 2 c) (16x 1 )(4 6x) 2 d) (16 + x)(16 x) e) 4(3x 2)(x + 5) f) (x 3)(4)(x + 3) g) 1 (x + 3)(6x 4) h) 2(x + 3)(x + 3) 2 Ligninger En ligning består af to størrelser med lighedstegn imellem: x + 4 = 7 38

At løse ligningen vil sige at finde det/de tal, som - indsat i ligningen på x s plads - gør ligningen til et sandt udsagn. Løsningsregler for ligninger: Løsningsregler for ligninger: 1. Man har lov til at trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 2. Man har lov til at lægge samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 3. Man har lov til at dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet. 4. Man har lov til at gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Når man hhar fundet løsningen/løsningerne, skal man gøre prøve. Ved prøven undersøger man, om man får et sandt udsagn, når man indsætter det fundne tal i den oprindelige ligning. Hvis prøven ikke stemmer hvis venstre side af lighedstegnet ikke bliver lig med højre side - er der lavet en fejl. Enten i prøven eller da ligningen blev løst. Løs ligningen 5x (x 4)(2x + 4) = x(2x 5) 5x (x 4)(2x + 4) = x(2x 5) 5x (2x 2 + 4x 8x 16) = 2x 2 + 5x 5x 2x 2 4x + 8x + 16 = 2x 2 + 5x 9x 2x 2 + 16 = 2x 2 + 5x 39

9x 2x 2 + 16 + 2x 2 = 2x 2 + 5x + 2x 2 9x + 16 = 5x 9x + 16 16 5x = 5x 16 5x 4x = 16 4x 4 = 16 4 x = 4 Prøve: Venstre side Højre side 5x (x 4)(2x + 4) x(2x 5) 5( 4) ( 4 4)(2( 4) + 4) ( 4)(2( 4) 5) 20 ( 8)( 4) 20 32 4( 13) 52 52 Altså er løsningsmængden: L = { 4} Alternativ løsningsmetode: Samle x erne og tallene hver for sig i hver sin side: 5x (x 4)(2x + 4) = x(2x 5) 5x (2x 2 + 4x 8x 16) = 2x 2 + 5x 5x 2x 2 4x + 8x = 2x 2 + 5 40

9x 2x 2 + 16 = 2x 2 + 5x 9x 5x 2x 2 + 2x 2 = 16 4x = 16 x = 4 Øvelse 2.8 Løs følgende ligninger: 1) 16 3(4 2x) (4x + 8) = x + 6 2) (x + 2)( 4) + 3(2x 8) = 5 2 ( 4x 4 5 ) 3) 2(x 8) (4 + 8x) = 4(5 + 3x) 4) 20 4(x + 3 ) + 3(12 2x) = 0 2 5) (x + 3)(4x 2) 5x = 2x(6 + 2x) x 6) 24 (x + 2)(x 2) = (12 + x)(4 x) 8 7) 15x 2 (3x + 2)(4x 5) = 2(x + 6)( 3 2 x + 2) + 1 8) (x + 3)( x + 4) 3(x + 8) = (4 + x)(4 x) 9) (4x 2)(3 + 8x) (2x + 6)(6x + 4) = (4x 6)(. 3 + 5x) 10) 9x 2 + (3 x)(8 + 2x) 3(x + 4) = x 2 (4 2x)(4 + 3x) 11) 2x(4 x)(3 + 2) = (2x 8)(2 + 5x) 4 15 20x 2 12) 0 = 24x 2 (6x + 8)(4x 1 2 ) 4 13) 20 = 3(3 x)(x 3) + (12 x)(3x + 4) 14) 16 + (3x 4)(x + 8) = (x 4)(4 + x) + 2x 2 15) (x + 4)(2 + 4)(x 3) = (3x + 1)(2x + 1) 16) 0 = 16 + (2x 3)(x + 4) (5x + 4) 41

Kvadrattal og kvadratrødder Når et naturligt tal bliver ganget med sig selv, kaldes prooduktet et kvadrattal. 6 6 = 6 2 = 36 36 er kvadratet på tallet 6. Øvelse 2.9 Beregn følgende produkter og kvotienter a) 4 2 6 2 b) 5 2 11 2 c) 3 2 8 2 d) 7 2 2 2 e) 4 2 3 2 f) 6 2 15 2 g) 122 3 2 h) 152 5 2 i) 202 4 2 j) 102 2 2 k) 142 7 2 l) 162 4 2 Øvelse 2.10 Hvilke af følgende udsagn er sande? a) 4 2 3 2 = 12 2 b) 5 2 + 3 2 = 8 2 c) 5 2 4 2 = 20 2 d) 162 8 2 = 22 e) 12 2 4 2 = 8 2 f) 182 3 2 = 62 g) 202 5 2 = 42 h) 4 2 + 6 2 = 10 2 i) 18 2 8 2 = 10 2 j) 6 2 5 2 = 30 2 k) 8 2 7 2 = 56 2 l) 122 4 2 = 32 m) a 2 b 2 = (a b) 2 n) m2 n 2 = (m n )2 o) x 2 y 2 = (x y) 2 Nogle potensregler: a 2 b 2 = (ab) 2 a 2 b 2 = (a b )2 Men husk følgende: a 2 + b 2 (a + b) 2 a 2 b 2 (a b) 2 42

Løs ligningen: x 2 = 16 Her skal vi finde det/de tal, der ganget med sig selv bliver 16. Der er to tal, der gør udsagnet sandt. x 2 = 16 x =4 x = 4 Løsningsmængden bliver: L = { 4,4} Alternativt kan vi kvadrere begge sider af lighedstegnet: x 2 = 16 x 2 = 16 x = ±4 L = { 4,4} Løs ligningen: (x + 3)(x 4) = 13 x (x + 3)(x 4) = 13 x x 2 4x + 3x 12 = 13 x x 2 x 12 = 13 x 43

x 2 x + x = 13 + 12 x 2 = 25 x =5 eller x = 5 x = 5 x = 5 L = {5, 5} Løs ligningen: x 2 = 2209 Her er det ikke umiddelbart til at se hvilke tal, x, der ganget med sig selv bliver 2209. Derfor bruger vi GeoGebra eller lommeregner. solve[x 2 = 2209] giver {x = 47,x = 47} L = {47, 47} Øvelse 2.11 Løs følgende ligninger: 1) x 2 = 36 2) 2x 2 = 242 3) 5 2 x2 = 360 4) x 2 = 144 5) 3x 2 = 192 6) 4x 2 = 324 7) x 2 = 121 4 8) x 2 = 56.25 9) 4x 2 = 289 10) x 2 = 38.44 11) 100x 2 = 1764 12) 8x 2 = 162 44

Øvelse 2.12 Løs følgende ligninger: a) (x 3)(x + 4) = 4 + x b) (x + 3)(x 3) = (2x + 4)(2x 4) 20 c) 6x(x 4) = (x 10)(x 14) 15 d) x 2 + (3x 4)(x + 2) = 1 x(2x + 4) + 4 2 Løs ligningen: x 2 = 4 25 Vi starter med at kvadrere begge sider af lighedstegnet: x 2 = 4 25 4 x 2 = 25 x 2 = ( 2 5 )2 x = ± 2 5 Øvelse 2.13 Løs følgende ligninger: 1) x 2 = 1 2) x 2 = 1 3) x 2 = 4 9 16 4) x 2 = 4 5) x 2 = 49 6) x 2 = 9 9 81 25 7) x 2 = 0.36 8) x 2 = 0.09 9) x 2 = 0.0025 10) x 2 = 0.25 11) x 2 = 0.16 12) x 2 = 0.04 Kvadratrod: 45

At beregne et tal i anden kaldes at kvadrere tallet. Når man gør det modsatte, finder man kvadratroden af tallet. Kvadratroden af 16 er 4: 16 = 4 Kvadratroden af 25 er 5: 25 = 5 Kvadratroden af et tal a, er det positive tal x, der ganget sig selv er a. a = x hvis x 2 = a Bemærk, at kvadratroden af et tal ikke kan være negativ. Arealet af et kvadrat er lig med 144 cm 2. Beregn sidelængden Arealet af kvadratet er lig med sidelængden i anden potens. A = x 2 144 = x 2 x = ± 144 46

x = 12 eller x = 12 x = 12 x = 12 Da sidelængden ikke kan være negativ vil løsningsmængden -dvs. sidelængden være L = {12} Eksempel : Løs ligningen: x 2 = 81 x 2 = 81 Vi kan nu flytte 81 til venstre side ved at skifte fortegn. x 2 81 = 0 x 2 9 2 = 0 Første kvadratsætning sider a 2 b 2 = (a b)(a + b) x 2 9 2 = (x 9)(x + 9) = 0 x = 9 eller x =-9 Løsningsmængden er L = { 9,9} I dette tilfælde er begge løsninger svar på det stillede spørgsmål. Ligningen handler ikke om noget fra virkeligheden, der kunne udelukke den ene løsning som svar. 47

Øvelse 2.14 Hvilke af følgende udsagn er sande? 1) 16 + 9 = 25 2) 25 16 = 9 3) 144 + 25 = 169 4) 169 144 = 25 5) 16 4 = 64 6) 36 4 = 144 7) 9 25 = 225 8) 25 100 = 2500 100 9) = 144 25 10) = 4 4 36 11) 36 4 = 9 12) 36 9 = 4 13) a + b = a + b 14) a b = a b 15) a b = a a a b 16) = b b Nogle regler for kvadratrødder: a b = a b eller a b = a b a a a a = b b eller b = b Derimod gælder der ikke tilsvarende regler for addition og subtraktion: a + b a + b og a + b a + b a b a bog a b a b Øvelse 2.15 Beregn følgende uden brug af lommeregner: 1) 5 2 2) 10 2 3) 9 2 4) 36 2 5) 4 2 6) 8 2 7) 16 2 8) 0.5 2 48

Kvadratsætningerne Øvelse 2.16 Gang paranteserne ud af følgende udtryk: 1) (x + 2)(x 2) 2) (y + 4)(y 4) 3) (a + 6)(a 6) 4) (a + 3)(a 3) 5) (z + 5)(z 5) 6) (x + 7)(x 7) Første kvadratsætning: (a + b)(a b) = a 2 b 2 To tals sum, (a+b), gange de samme to tals differens, (a b), er lig med kvadratet på første led, a 2, minus kvadratet på andet led b 2. (3x + 4y)(3x 4y) = (3x) 2 (4y) 2 = 9x 2 16y 2 Øvelse 2.17 Gang paranteserne ud: 1) (x + 8)(x 8) 2) (z + 9)(z 9) 3) (x a)(x + a) 4) (a 10)(a + 10) 5) (4 + x)(4 x) 6) (z + a)(z a) 7) (3a 5)(3a+5) 8) ( 1 2 +a)(1 a) 2 9) (a+0.5)(a 0.5) 10) (8x 4)(8x +4) 11) (2x +3y)(2x 3y) 12) (8+a 2 )(8 a 2 ) Esempel: Reducér udtrykket: 20 (a + 5)(a 5) 20 (a + 5)(a 5) = 20 (a 2 5 2 ) = 49

20 a 2 + 25 = 45 a 2 Øvelse 2.18 Reducér følgende udtryk: 1) (a + 2)(a 2) (a + 2)(a 2) 2) (3 + x)(3 x) 3(x + 3) 3) (a + 2)(a 2) + (a + 2)(a 2) 4) (4 + 2x)(4 2x) 2(8 2x) 5) (2x + 4)(2x 4) + x 2 10 6) (3a + 4)(3a 4) 10a 2 + 16 7) 2a 2 (a + 4)(a 4) + 16 8) (7x + 2)(7x 2) + 50x 2 9) (x + 4)(x 4) + (4 + x)(4 x) 10) 15x 2 (4x + 3)(4x 3) 10 11) (3y 7)(3y + 7) (7 + 3y)(7 3y) 12) (x + 6)(x 6) (2x + 3)(2x 3) 13) (a 8)(a + 8) a(a + 8) 14) (2x + 8)(2x 8) (3 + 2x)(3 2x) 15) 6(x +3)(x 3) (2x +1)(3x +1) 16) (4x +3)(4x 3) 2(2x +1)(2x 1) 17) (a + 3)(a + 3) 18) (x + 5)(x + 5) 19) (2x + 1)(2x + 1) 20) (a + 8)(a + 8) Anden kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Kvadratet på en to-ledet sum, (a + b), er lig med kvadratet på første led, a 2, plus det dobbelte produkt, 2ab, plus kvadratet på andet led, b 2. Øvelse 2.19 Beregn/reducér følgende udtryk: 1) (x + 3) 2 2) (a + 4) 2 3) (x + 11) 2 4) (y + 8) 2 5) (b + 7) 2 6) (a + 15) 2 7) (2x + 4) 2 8) (4x + 2) 2 9) (16 + 3x) 2 50

10) (3a + 5) 2 11) (20 + 5y) 2 12) (12y + 17) 2 13) ( 1 2 + 2x)2 14) ( 2 3 + x)2 15) (3x + 5 6 )2 16) ( 1 4 + 4a)2 17) (5 + 1 2 x)2 18) (2a + 3 2 )2 19) 3 (x + 1 3 )2 20) 8 (3x + 1 4 )2 21) 5 (2a + 1 5 )2 22) 5 (x + 4) 2 23) 16 (4a + 3 4 )2 24) 7 (3x + 4 7 )2 25) (x + 2) 2 (x + 1) 2 26) (2x + 4) 2 + (3x + 3) 2 27) (3a + 4) 2 + (4a + 3) 2 28) (x + 8) 2 (8 + x) 2 29) (x + 2) 2 (x + 2)(x 2) 30) (16 + 8a) 2 (16 + 8a) 2 31) (3x + 4)(3x 4) + (3x + 4) 2 32) (15 + 2x) 2 + (2x + 15) 2 33) (a 5)(a 5) 34) (2x 7)(2x 7) 35) (x 3)(x 3) 36) (5a 13)(5a 13) Tredje kvadratsætning: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Kvadratet på en to-ledet differens, (a b), er lig med kvadratet på første led, a 2, minus det dobbelte produkt, 2ab, plus kvadratet på andet led, b 2. Øvelse 2.10 Beregn/reducér følgende udtryk: 1) (x 3) 2 2) (a 4) 2 3) (x 11) 2 4) (y 8) 2 5) (b 7) 2 6) (a 15) 2 7) (2x 4) 2 8) (4x 2) 2 9) (16 3x) 2 10) (3a 5) 2 11) (20 5y) 2 12) (12y 17) 2 13) ( 1 2 4x)2 14) ( 3 4 x 16)2 15) (6x 1 3 )2 16) ( 1 4 2y)2 17) (4a 1 2 )2 18) (2a b) 2 19) (a + 4) 2 (2a 3) 2 20) (x 3) 2 (x + 3) 2 51

21) (x+4)(x 4)+(x+ 1 2 )2 22) (11 a) 2 +(11+a)(11 a) 23) (x 3) 2 +(2(3x+4) 24) 20 3(x+2) 2 +x(3x 12) 25) (6x + 3y) 2 2x(4 + 18y) 26) (x a) 2 (x + a) 2 27) 2x 2 (x +4) 2 (x 3) 2 28) (x a)(x +a) (x 2a) 2 52

To ligninger med to ubekendte- grafisk og analytisk løsning Grafisk løsning: Løs ligningssystemet: y = x + 2 og y = 2x + 8 At løse de to ligninger vil sige at finde dét/de ordnede talpar, (x,y)som indsat i begge ligninger gør dem til sande udsagn. De ordnede talpar skal tilfredstille ligningerne. Vi løser dette ligningssystem vha. GeoGebra. S løsningsmængden bliver: L = {(2,4)} Øvelse 2.11 Løs følgende ligningssystem grafisk vha. GeoGebra: 1) y = x + 5 og y = 1 2 x + 2 2) y = 2x + 4 og y = 1 3 x 3 53

3) y = 1 2 x 1 og y = x 4 4) y = 1 2 x + 3 2 og y = x + 6 5) y = 1 2 x + 1 2 og y = 2 3 x + 4 6) y = 1 x og y = 2x 5 3 7) y = 1 2 x + 5 og y = x + 7 8) y = 2 x 2 og y = x + 5 5 Det er ikke altid, man er så heldig at få ligningerne opgivet på formen y = 2 x 2 og y = x + 5. Nogle gange vil du også få opgivet på følgende from som 5 er det samme som før. 2x 5y 10 = 0 og x + y 5 = 0 Løs ligningssystemet: 2x 5y 10 = 0 og x + y 5 = 0 Som regel er det en god ide at omskrive ligningerne, så de kommer på formen y = ax + b eller y = αx + q 2x 5y 10 = 0 og x + y 5 = 0 2x 10 = 5y og y = x + 5 y = 2 x 2 og y = x + 5 5 GeoGebra er faktisk ligeglade med hvordan vi indtaste ligningerne: 54

Løsningsmængden er koordinaterne til skæringspunktet: L = {(5,0)} Øvelse 2.12 Løs følgende ligningsæt grafisk vha. GeoGebra: 1) 2x = 4 y og x = 3y + 9 2) 5x = (9 + 3y) og 3y = x + 3 3)2y + 3 = 3x og x + y = 4 4) x 2y = 2 og y + 9 = 3x Analytisk løsning: Analytisk betyder ved hjælp af beregninger. Man kan med fordel løse både vha. grafisk - og anaytisk for en ekstra kontrol. Løs ligningssættet: y = 3x 2 og y = 1 2 x + 5 analytisk At løse ligningssættet vil sige at finde det ordnede talpar, (x,y), som indsat i bege ligninger gør dem til sande udsagn. I de to ligninger er de to venstre-sider ens - der er tale om samme y-værdi. Da må de to højre-sider også være ens: 3x 2 = 1 2 x + 5 Vi samler nu x erne og tallene hver for sig på begge sider af lighedstegnet: 3x 1 2 x = 5 + 2 6x x 2 55 = 7

7x 2 = 7 Ganges over kors: 7x = 14 x = 2 y-værdien findes ved at indsætte denne værdi i en af de ligninger: y = 3x 2 y = 3( 2) 2 = 6 2 = 4 Løsningsmængden er skæringspunktet: L = {( 2,4)} Som kontrol kan du indsætte disse to ligninger i GeoGebra 56

Øvelse 2.13 Løs følgende ligningssæt både grafisk vha. GeoGebra og analytisk ved beregning: 1) y = x 12 og y = 3 2 x 2 2) y = 2x 1 og y = 4 3 x 1 3) y = 1 2 x + 9 og y = 2x 1 4) y = x + 7 2 og y = 2 3 x + 5 6 5) y = 1 2 x +2og y = 1 2 x +3 6) y = x +1og y = 2x + 9 2 7) y = 2 3 x + 1 2 og y = 1 2 x 3 8) y = 3 2 xog y = 1 2 x 2 9) x + y = 5 og 3y = 4x + 1 10) 1 = x + y og 3x = 2y + 8 11) 6y 4x 12 = 0og 1 = x+2y 12) y = 1+2x og 2y = 7+x 13) 2x +y = 2 og 2x +8 = 2y 14) y = 3 4 x + 27 4 og x = 1 3 y 15) y = 2x + 1 og 3y = 2x 9 16) x = y + 6 og y = x + 7 Løs ligningssystemet: 2y = 6x 4 og y 1 = 3x Begge ligningerne regnes om til formen y = ax + b 2y = 6x 4 og y 1 = 3x y = 3x 2 og y = 3x + 1 De to venstre-sider er ens, altså er de to højre-sider også ens: 3x 2 = 3x + 1 Vi samler x erne og tallene hver for sig på begge sider af lighedstegnet: 3x 3x = 1 + 2 0 = 3 57

Da nul ikke kan være lig med nul er denne udsagn en falsk udsagn. Løsningsmængden er den tomme mængde. L = /O Vi løser ligningssystemet vha. Geogebra: Som ses af ovenstående graf skærer de to linijer ikke hinanden altså ingen løsning. Løs ligningssystemet- brug både grafisk dvs. GeoGebra og analytisk metode dvs. ved beregning: y = 2x + 3 4x = 6 2y Begge ligninger kan indtastes direkte ind i GeoGebras inputfelt: 58

Som ses af figuren er de to ligninger ens da deres billeder er ens og de ligger oven på hinanden! Lad os prøve ved beregning: y = 2x + 3 og 4x = 6 2y y = 2x + 3og 2y = 6 4x y = 2x + 3og y = 2x + 3 De to l igninger viser sig at være ens. Det vil sige, at uanset hvilket ordnet talpar man indsætter, så vil begge enten være falske eller begge vil være sande. Løsningsmængdeb vil således bestå af uendeligt mange ordnede talpar, der alle tilfredstiller ligningen: y = 2x + 3. 59

Øvelse 2.14 Løs følgende ligningssæt både geometrisk og analytisk: 1) 3x = y + 1 og 2y + 2 = x 2) 2x + y = 10 og 1 2 x = y + 5 3) 1 = 1 2 y 1 x og 2y + 16 = x 4 4) y 1 = 2x og 2x + 2y = 14 5)2y = x + 4 og 6y + 8x = 10 6) 2y x = 11 og 3y 14 = x 7) 3y x = 8 og y + 2x = 2 8) x + y = 10 og 3y = x + 4 2 Uligheder - løsningsregler for uligheder Man kan løse en ulighed på samme måde, som man løser en ligning. De fire uligheds-tegn: < : mindre end > : større end : mindre end eller lig med : større end eller lig med Eksempler: 8 < 10 : udsagnet er sandt 8 5 < 10 5 3 < 5 : udsagnet er sandt4 Man har lov til at rrække samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet. Løs uligheden: x + 8 < 19 x + 8 < 19 Vi sørger for at x erne og tallene er på hver deres side af ulighedstegnet og husk at vende fortegnet 60

x < 19 8 L: x < 11 Løs uligheden: 3x + 5 2x + 21 3x + 5 2x + 21 3x 2x 21 5 x 16 L : x 16 Øvelse 2.15 Løs følgende uligheder: 1) x + 27 < 34 2) 4x + 16 3x + 20 3) x + 18 12 4) 10x + 12 > 4 + 9x Et sandt udsagn: 8 < 10 Tallet 5 løgges til på begge sider af ulighedstegnet: 8 + 5 < 10 + 5 Udsagnet er stadig sandt: 13 < 15 Man har lov til at lægge samme tal på begge sider af ulighedstegnet. 61

Løs uligheden: x 13 20 x 13 20 x 13 + 13 20 + 13 x 7 L : x 7 Vi kan også løse en ulighed ved at samle x erne og tallene hver for sig: Løs uligheden: 4x + 3 < 5x 4x + 3 < 5x 3 < 5x 4x 3 < x L : x > 3 Øvelse 2.16 Løs følgende uligheder: a) 7x 16 6x+3 b9 4x > 3x c) 2x+12 3+x d) 16 x > 4 62

Et sandt udsagn: 24 > 8 Divideres begge sider med tallet 4 Udsagnet er blevet falsk 24 8 > 8 4 6 > 2 Man har lov til at dividere med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet. Man har lov til at dividere med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet - når man samtidig vender ulighedstegnet. Løs uligheden: 16 2x > 24 16 2x > 24 Vi samler x erne og tallene hver for sig på begge sider af ulighedstegnet 2x > 24 16 2x > 8 Vi dividerer begge sider med -2 og husker at vebde ulighedstegnet samtidig 63

2x 2 > 8 2 x < 4 Løsningsmængden bliver L : x < 4 Øvelse 2.17 Løs følgende uligheder: 1) 14 3x 16 2) 5 8 < 2 5x 3) 6 2x < 4 4) 12 1 2 x 16 5) 2x 4x + 14 6) 2x + 14 < x 7) 12 3x < 2x 18 8) 14 4x x + 20 Et sandt udsagn : 9 3 > 2 9 3 > 2 Gang med -3 på begge sider af ulighedstegnet Udsagnet er blevet falsk. 9 ( 3) > 2 ( 3) 3 9 > 6 Man har lov til at gange med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet. Man har lov til at gange med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet - når man samtidig vender ulighedstegnet. 64

Løs uligheden: 16 x 3 18 16 x 3 18 Vi samler x erne og tallene på hver sin side af ulighedstegnet x 18 16 3 x 3 2 Ganges nu begge sider af ulighedstegnet med 3 og vi husker at vende ulighedstegnet x ( 3) 6 3 x 6 Løsningsmængden bliver L : x 6 måde: Vi kan huske at man også løser denne ulighed vha. Geogebra på følgende 65

Løs uligheden: x 10 > 3 2 x + 5 x 10 > 3 2 x + 5 x + 3 2 x > 5 + 10 2x + 3x 2 > 15 Divideres begge sider med 5 og vi husker at vende ulighedstegnet x > 30 Løsningsmængden bliver: L : x > 30 Vi læser opgaven vha. GeoGebra grafisk 66

Øvelse 2.18: Løs følgende uligheder både grafisk vha. GeoGebra og ved beregning 1) 20 + 1 x 24 2) 16x 29 > 8x 5 3 3) 40 7 13 x < 33 4) 38 + 2 2 x 4x 7 5) 32 4x < 2x + 2 6) 21 + 8x 9 2 x 7) 4x + 8 > 6x 3 8) 0 < 7x + 49 2 Løsningsregler for uligheder: Man har lov til at lægge samme tal til eller trække samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet. Man har lov til at dividere eller gange med samme tal på begge sider af ulighedstegnet. Hvis tallet er negativt, skal ulighedstegnet vendes samtidig. 67

Andengradsfunktioner Tegn en graf, der viser hvor langt et legeme med en konstant acceleration på 4 m/s 2 er kommet efter 4 sekunder. Fysik-formlen for et legeme der bevæger sig med konstant acceleration er: s = 1 2 a t2 Vi kan skrive formlen om, idet vi lader tiden t (sekunder) være x-værdier og strækningen s(strækning) være y-værdier. Dvs. vi kan skrive formlen om til et matematisk udtryk y = 1 2 a x2 Nu har vi forskriften så vi kan skitsere funktionen y = 2x 2 vha. GeoGebra på følgende måde- vi skitserer kun for positive acceleration: Function[a x 2,0,10] 68

Grafen er ikke en ret linje. Da x 2 indgår i forskriften, kaldes funktionen en andengrads-funktion. Tegn grafen for andengradfunktionen: y = 1 2 x2 og y = x 2 Øvelse 2.19 Skitsér følgende funktioner a) y = 1 3 x2 b) y = 2x 2 c) y = 3 2 x2 d) y = 1 2 x2 e) y = 2x 2 f) y = 3 2 x2 Den type andengrads-funktioner, vi nu har set på, har haft standartformlen: y = a x 2 Det grafiske billede af y = a x 2 kaldes en parabel, der har toppunkt i (0,0) Øvelse 2.20 Tegn grafen y = x 2 + 2x a) Aflæs toppunktets koordinatsæt b) Hvor skærer grafen x-aksen? Øvelse 2.21 Tegn grafen y = x 2 + 2x a) Aflæs grafens toppunkt b) Hvor skærer grafen x-aksen? 69

Når x optræder både i anden potens -f.eks. som 2x 2, i første potens - f.eks. 3x, og nul te potens - f.eks. 5, idet 5 x 0 = 5 1, ser forskriften således ud: y = A x 2 + B x +C y = x 2 3x + 2 hvor A = 1, B = 3 og C = 2 For at få en ide om hvad A, B og C betyder for grafen kan vi på følgende måde illustrere det vha. GeoGebra Øvelse 2.22 I de følgende øvelser, skal du tegne de parabler vha. GeoGebra og aflæse toppunkt og skæring med x-aksen 70

1) y = x 2 5x + 6 2) y = x 2 + 2x + 8 3) y = x 2 11 2 x 15 4) y = x2 2x + 3 5) y = x 2 6x + 8 6) y = 4x 2 12x + 9 7) y = x 2 3x + 28 8) y = 2x 2 + 2x + 12 Tegn graferne y = x 2 og y = x 2 + x 6 og aflæs deres skæringspunkter 71

Øvelse 2.23 Tegn graferne og aflæs deres skæringspunkter. 1) y = x 2 +2x+8 og y = x+6 2) y = x 2 +10x 21 og y = 2x 9 3) y = 2x +7 og y = x 2 +8x +15 4) y = x +8 og y = 1 2 x2 5x +8 5) y = x 2 6x + 9 og y = 3x 9 6) y = x + 6 og y = x 2 + 4 Beregning af nulpunkter I parablernes nulpunkter er y værdien nul: Når y = 0indsættes i parablens ligning fås: 0 = Ax 2 + Bx +C eller Ax 2 + Bx +C = 0 Det er nu en andengrads-ligning med én ubekendt. Bevis: Ax 2 + Bx +C = 0 Vi dividerer alle led med koefficienten A for at skaffe en koefficient til x 2 på 1: x 2 + B A x + C A = 0 De to første led skrives om til kvadratet på (x + B A ), dvs. (x + B A )2. Det led, der derved bliver tilføjet-kvadratet på andet led: derfor ( B 2A )2 : x 2 + B A x + ( B 2A )2 ( B 2A )2 + C A = 0 72 B ), må straks trækkes fra igen, 2A

(x + B 2A )2 ( B 2A )2 + C A = 0 (x + B 2A )2 ( B2 4A 2 C A ) = 0 De sidste to led sammenskrives på en fælles brøkstreg: (x + B 2A )2 ( B2 4AC 4A 2 ) = 0 Sidste led skrives som et kvadrat: ( ) 2 (x + B B 2A )2 2 4AC = 0 2A Differensen mellem to kvadrater kan skrives om vha. første kvadratsætning: ( x + B ) ( B 2A + 2 4AC x + B ) B 2A 2A 2 4AC = 0 2A ( x + B + B 2 4AC 2A ) ( x + B B 2 4AC 2A ) = 0 Et produkt er lig med nul når mindst én af faktorerne er lig med nul: x = B + B 2 4AC 2A eller x = B B 2 4AC 2A Eller kortere skrevet: x = B ± B 2 4AC 2A Hvor D = B 2 4AC kaldes diskriminanten. Løsningerne i en andengradsligning (beregning af nulpunkter) kan beregnes ved hjælp af formlen: hvor D = B 2 4AC x = B ± D 2A 73

Beregn nulpunkterne i parablen y = x 2 4x 21 I parablens nulpunkt er y-værdien nul: x 2 4x 21 = 0 A = 1 B = 4 C = 21 Dikriminanten beregnes: D = B 2 4AC D = ( 4) 2 4 1 ( 21) = 100 x = B ± D ( 4) ± 10 7 = = 2A 2 3 Parablens nulpiunkter: (7,0) og ( 3,0) Skitsering vha. GeoGebra viser også nulpunkterne som vist nedenunder: 74

Beregn nulpunkterne i parablen y = 2x 2 + 10x 48 2x 2 + 10x 48 = 0 A = 2 B = 10 og C = 48 D = B 2 4AC = 10 2 4 2 ( 48) = 484 x = B ± D 10 ± 22 3 = = 2A 4 8 Nulpunkter: (3, 0) og ( 8, 0) Øvelse 2.24 Beregn nulpunkterne i følgende parabler: a) y = x 2 6x + 8 b) y = 2x 2 + 36x + 160 c) y = x 2 + 3x 28 d) y = 4x 2 12x + 9 Beregning af parablens toppunkt En parabels toppunkt ligger på parablens symmetriakse. Det betyder, at toppunktets x-koordinat ligger midt mellem de to nulpunkters x-koordinater - hvis der er to nulpunkter. Ved at beregne middelværdien af nulpunkternes x-koordinter, får vi toppunktets x-komponent: Parablens forskrift: y = Ax 2 + Bx +C Det ene nulpunkt har værdien: B + D 2A 75

Middelværdien findes: Det andet nulpunkt har værdien: B D 2A B + D 2A + B D 2A 2 = ( B + D) + ( B D) 4A 2B 4A = B 2A = B + D B D 4A = Hvis parablen har ét eller ingen nulpunkter, giver ovenstående beregning ikke uden videre nogen mening. Men enhver parabel kan paralelforskydes i y-aksens retning, så den får to nulpunkter. Ved en sådan parallelforskydning i lodret retning, ændres kun C- værdien i forskriften. Symmetriaksen forbliver ved en sådan paralllelforskydning den samme. Vi kan derfor slutte, at hverken forskriftens C værdi eller diskriminanten har nogen indflydelse på toppunktets x-komposant. Uanset om parablen har to, ét eller ingen nulpunkter vil toppunktets x-komposant være: x = B 2A. Toppunktets y-komposant kan beregnes ved at indsætte værdien x = B 2A i parablens forskrift: y = Ax 2 + Bx +C y = A ( B 2A )2 + B ( B 2A ) +C y = A B2 4A 2 B2 2A +C y = A B2 2A B2 4 A2 4 A 2 + 4 A2 C 4 A 2 y = AB2 2AB 2 + 4A 2 C 4A 2 76

y = A(B2 2B 2 + 4AC) 4A 2 y = B2 + 4AC 4A = (B2 4AC) 4A = D 4A En parabels nulpunkter og toppunkt: En parabel med forskriften y = Ax 2 + Bx +C har diskriminanten D = B 2 4AC ( B Parablens toppunkt: 2A, D ) 4A Parablens nulpunkter: B ± D 2A Alt efter værdien af D vil parablen have to, et eller ingen nulpunkter: D > 0 :to nulpunkter D = 0 :et nulpunkt. D < 0 :ingen nulpunkter Øvelse 2.25 Tegn parablen y = x 2 2x 15 vha. GeoGebra a) Beregn parablens nulpunkter og kontrollér ved aflæsning. b) Bestem parablens toppunkt c) Bestem parablens symmetriakse. Øvelse 2.26 Beregn nulpunkterne i følgende parabler: a) y = 2x 2 + 3x 20 b) y = 3x 2 + x + 2 Øvelse 2.27 Tegn parablen y = x 2 + 6x + 9 77

a) Bestem parablens toppunkt. b) Beregn grafens skæring med x-aksen. c) Hvor mange nulpunkter har parablen? Øvelse 2.28 Beregn toppunktets koordinatsæt for hver af følgende parabler: a) y = x 2 + 8x + 12 b) y = 1 2 x2 + 4x + 3 c) y = 5 2 x2 10x + 1 b) Bestem forskriften for symmetriaksen for hver af de tre parabler Øvelse 2.29 Tegn parablen y = 2x 2 + 4x + 2 a) Beregn parablens toppunkt. b) Beregn parablens nulpunkter. Øvelse 2.30 Tegn parablen y = 2x 2 + 6x + 5 2 a) Bestem parablens nulpunkter, toppunkt og symmetriakse. Øvelse 2.31 Tegn parablen y = x 2 x + 2 a) Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem parablens toppunkt og et af nulpunkterne. 78

Øvelse 2.32 Tegn parablen y = 1 2 x2 x 4 for x-værdier i intervallet [ 2;4]. Gennem punktet ( 5, 6) går en ret linie med forskriften y = ax + b. a) Bestem efter aflæsning de værdier af a for hvilke linien har et eller flere punkter fælles med parablen. Øvelse 2.33 Tegn parablen y = 4x 2 12x + 5 a) Beregn parablens toppunkt. b) Beregn parablens nulpunkter. c) Angiv funktionens værdimængde. d) Angiv efter aflæsning de værdier af x, for hvilke 4x 2 12x + 5 3 Øvelse 2.34 Tegn parablen y = 2x 2 + 3x 1 a) Hvor stor er afstanden mellem parablens nulpunkter? 3 Algebra og formler Opløsning i faktorer Et heltal kan opløses i faktorer. Et eksempel er tallet 12 som kan opløses i sine (prim)faktorer på følgende måde: 12 = 2 2 3 79

På samme måde som heltallene kan vi også opløse matematiske udtryk i faktorer. Vi kan på samme måde prøve at faktoropløse tallet 13. Kan det lade sig gøre?? a(2 + 3a) = 2a + 3a 2 Hvis man læser ovenstående udtryk fra venstre mod højre er a ganget ind i parantesen. Hvis man læser udtrykket fra højre mod venstre er a sat uden for en parantes: 2a + 3a 2 = a(2 + 3a) Man siger, at den fælles faktor, her a, er sat udenfor parantes - eller at man har opløst udtrykket 2a + 3a 2 i faktorewr a og 2a + 3a. Opløs udtrykket 4 + 12x + 8y i faktorer. Her er der en fælles faktoe, nemlig 4. Dvs. at 4 går op i alle tre led. Udtrykket kan derfor omskrives således: 4 + 12x + 8y = 4 1 + 4 3x + 4 2y = 4(1 + 3x + 2y) 80

Den tre leddede størrelse er blevet opløst i de to faktorer 4 og (1 + 3x + 2y).Man siger også, at 4 er blevet sat uden for en parentes. Man kan lave kontrol ved igen at gange tallet 4 ind i parentesen: 4 (1 + 3x + 2y) = 4 + 12x + 8y Især ved reduktion af brøk-udtryk kan det ofte betale sig at sætte en fælles faktor uden for en parentes. Det kan være, at man derved kan forkorte brøken. 2x 10 Reducár udtrykket: 3x 15 I tælleren kan tallet 2 sættes udenfor en parentes: 2x 10 = 2(x 5) I nævneren kan tallet 3 sættes udenfor en parentes: 3x 15 = 3(x 5) (2x 10) 2(x 5) = (3x 15) 3(x 5) Herefter kan brøken forkortes med (x 5).Hele reducerinen ser således ud: (2x 10) 2(x 5) = (3x 15) 3(x 5) = 2 3 I hver af de følgende øvelser skal du finde et ta, der går op i alle leddene. Det største tal, der går op i alle leddene, sættes udenfor en parentes. Øvelse 3.1 Opløs følgende fler-leddede størrelser i faktorer: 1) 16 8x 2) 20 + 10a 3) 12x 18 81

4) 10y + 25 5) 30b 24 6) 22a + 44b 6) 12x 20 + 24y 7) 18x + 36y + 27 8) 45x 30 15x 9) 24a + 40b 16 10) 35 + 14a + 42b 11) 12a + 24b + 48 12) 54a 36b + 18 13) 36 72x + 18y 14) 45 + 60a 30b 15) 14x + 42 28y 16) 121 22x + 55z 17) 12k 18m + 60 Opløs udtrykket 6x + 10x 2 i faktorer. Udtrykkets største fælles faktor er 2x som sættes udenfor parentes. 6x + 10x 2 = 2x(3 + 5x) Øvelse 3.2 Opløs følgende i faktorer: 1) 6x 2 24x 2) 55y + 10y 2 3) 8x 2 20 4) 14a 2a 2 5) 16x 2 64x 6) 3x 2 + 12x 3 7) 6a 2 16a 8) 4x 4 + 8x 2 9) 6x 2 + 48x 10) 2b 3 8b 2 11) 2a 4 + 8a 3 4a 12) 2y 4 + 2y 3 4y 2 + 10y Forkort brøken 8x + 24 8 + 12x mest muligt. 8x + 24 8 + 12x = 8(x + 3) 4(2 + 3x) 82

Brøken kan ikke forkortes mere. 2(x + 3) = 2 + 3x Øvelse 3.3 Fortkort følgende brøker mest muligt: 5x 10 15x 120 1) 2) 30 + 10x 15 + 5x 3) 30x 60 60 + 45x 4) 12x + 30 6 + 48x 5) 120x 120 24 + 72x 6) 12x 12 96x + 48 7) 20a 160 15a + 15 8) 36a 144 48 + 48a 9) 60a 120b 45a + 90b 10) 42x 14 21x + 42 24x 36 13) 12x 18 25a 75b 16) 10a 30b 11) 20x 60 120 + 60x 8x + 64 14) 128 + 16x 20y + 60x 17) 45x + 157 12) 32x 16 60 + 20x 32a 64b 15) 8a 16b 6x + 90 18) 180 + 12x I visse tilfælde kan fler-leddede størrelser omskrives til produkt ved hjælp af kvadratsætningerne. a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 83

Opløs udtrykket 9x 2 4y 2 i faktorer 9x 2 4y 2 = (3x) 2 (2y) 2 = (3x + 2y)(3x 2y) Skriv om til produkt: x 2 + 4 + 4x x 2 + 4 + 4x = x 2 + 2 2 + 2 (2x) = (x + 2) 2 Øvelse 3.4 Opløs følgende udtryk i faktorer: 1) x 2 9 2) 144 a 2 3) 4x 2 100 4) 36x 2 64 5) 49 64a 2 6) 9a 2 25y 2 Øvelse 3.5 Skriv følgende størrelser om til produkter: 1) x 2 + 16 + 8x 2) 9a 2 + 48ab + 64b 2 3) 4x 2 + 9 + 12x 4) 25 + 1 4 x2 + 5x 5) x 2 + 36 12x 6) 9a 2 + 16b 2 24ab 7) 144 24x + x 2 8) 196x 2 56xy + 4y 2 9) 9x 2 + 16y 2 + 24xy 10) 256 + 169a 2 416a 11) 16a 2 144a + 324 12) 36x 2 + 81y 2 108xy 84

3x 12 Forkort brøken: x 2 8x + 16 I tælleren kan tallet 3 sættes udenfor parentes: 3x 12 = 3(x 4) I nævneren er der to kvadrattal (x 2 og 16) så nævneren kan måske skrives om til kvadratet på en toleddet størrelse - hvis det debbelte produkt passer: x 2 8x + 16 = x 2 2(4x) + 4 2 = (x 4) 2 3x 12 3(x 4) x 2 = 8x + 16 (x 4) 2 Denne brøk kan forkortes med (x 4) Øvelse 3.6 3x 12 x 2 8x + 16 3(x 4) 3(x 4) = = (x 4) 2 (x 4)(x 4) = 3 (x 4) Forkort følgende brøker mest muligt: 1) x2 + 9 + 6x 18 + 6x 2) 2x 2y x 2 y 2 8x 12 3x 6 3) 4x 2 4) 12x + 9 x 2 + 4 4x 5) 25 + 20x + 4x8x + 202 24 + 6x 6) 2x 2 + 32 + 16x 7) 4x2 + 9 + 12x 4x 2 9 9) 42x 2 15x 196x 2 + 25 140x 8) 48a 2 3b 2 16a 2 8ab + b 2 10) 56x2 84x 16x 2 36 11) a3 + ab 2 2a 2 b a 3 ab 2 12) 6a2 54 9 a 2 85

Ligninger Løs ligningen: 8x + 4 2 + 2x = 3x 4 I brøken opløses tæller og nævner i faktorer og man forkorter: 8x + 4 2 + 4x = 3x 4 4(2x + 1) 2(2x + 1) = 3x 4 4 2 = 3x 4 2 = 3x 4 2 + 4 = 3x 6 = 3x 2 = x L = {2} 3 Løs ligningen: x + 4 = 3 Her bruger vi en metode som vi også senere kommer til at bruge. Vi opfatter tallet il højre for lighedstgnet nemlig tallet 3 som en brøk og ganger vi over kors: 3 (x + 4) = 3 1 3 1 = 3 (x + 4) 86

3 = 3x + 12 Vi samler tallene og x erne hver for sig 3 12 = 3x 15 = 3x 5 = x Løsningsmængden bliver: L = { 5} Øvelse 3.7 Løs følgende ligninger: 1) 8 + 2x = 3) 48 + 16x 8 12x + 36 2) 9x + 6 6 + 2x 3 = 18 4) 12x 2 = 12x 36 x 3 4x 32 x 8 2x = 16x + 32 2x + 4 Grundmængde 4x + 28 Løs ligningen: 4 + x = 12 x + 4 Grundmængden findes ved at sikre at brøkens nævner ikke bliver nul! Dvs. 4 + x 0 x 4 Vi finder nu løsningsmængden ved at gange over kors (4x + 28)(x + 4) = (4 + x)12 Da (x + 4) = (4 + x) fjernes disse og vi får 87

4x + 28 = 12 4x = 12 28 4x = 16 x = 4 Men vi ved fra grundmængden at x 4. Så må løsningsmængden være nulmængden, dvs. L = /O 2 Løs ligningen: x 5 = 1 Vi finder altid grundmængden og bagefter løsningsmængden brøk Nævneren må ikke være nul. Dvs. x 5 0 x 5 Løsningsmængden findes ved at opfatte højre side af lighedstegnet som en Ganges over kors: Løsningsmængden bliver: 2 x 5 = 1 1 2 1 = 1 (x 5) 2 = x 5 2 + 5 = x L = {7} 88

Øvelse 3.8 Bestem grundmængden og løsningsmængden af følgende ligninger 4 15 1) = 2 2) 1 = x 3 2x + 3 3) 20 x + 8 = 5 20 4) 4 = 4x + 3 5) 8x 2x + 1 = 2 6) x 3 x + 2 = 5 7) 6x + 2 2x 6 = 2 8) 4 2 10 4x = 8 9) 2x + 15 x + 8 = 3 10) 18x 2x + 15 = 6 11) x + 2 = 2x2 2x 5 12) x(x 8) x 2 = x + 2 13) 60 40 2x = 2 14) 48 15 x = 8 15) 9 = 72 3x 1 17) 2x + 4 = 3x 1 2 16) x 3 x 18) 5x + 7 2 = 4 = x 4 19) 8 x + 2 6 2x + 4 = 1 20) x 2 + 3 = 3x + 2 2 21) x 2 + 4 = 3x + 5 2 22) (x + 2) 2 (x + 2)(x 2) = 20 89

23) 4x + 6 = 2(x + 4) 24) (2x 3) 2 = 4x(8 + x) 35 3 25) 2x 15 4 = 2(x 3) 26) (x + 8)(x 3) = (x + 2) 2 27) x2 + 16 + 8x 3x + 12 = 3 28) x2 81 8x 72 = 3 29) 64 16x + x2 24 + 3x = 2 30) 4x 2 9 9 + 4x 2 12x = 1 Potensregning 3 2 = 3 3 = 9 5 2 = 5 5=25 a 2 = a a 3 3 = 3 3 3 = 27 5 3 = 5 5 5 = 125 a 3 = a a a a 4 = a a a a a 5 = a a a a a a a n = a a a a a n kaldes en potens a kaldes roden n kaldes eksponenten 90

Øvelse 3.9 Skriv som potenser og beregn følgende udtryk: 1) 5 5 5 5 5 2) 9 9 9 9 3) 12 12 12 4) 8 8 8 5) 4 4 4 4 4 4 6) 2 2 2 2 2 2 2 Beregn : 3 5 3 2 Løsning: 3 5 3 2 = (3 3 3 3 3) (3 3) = 3 3 3 3 3 3 3 = 3 7 3 5 3 2 = 3 5+2 = 3 7 8 5 8 7 = 8 5+7 = 8 12 Man ganger to potenser med samme rod ved at beholde roden og kægge eksponenterne sammen. a n a m = a n+m Øvelse 3.10 Skriv som en potens: ( ) 1 4 ( ) 1 2 1) 3 2 3 8 2) 5 6 5 1 3) 4) 4 3 4 5 2 2 5) 5 2 5 3 5 4 6) 2 5 2 3 2 7) a 1 a 5 8) x 3 x x 3 9) x 4 x 2 10) a 6 a a 2 11) b 2 b 6 b 2 12) y 3 y y y 91

Beregn 85 8 2 8 5 Beregn 36 3 4 3 6 Øvelse 3.11 Bregn følgende: 8 2 = 8 8 8 8 8 8 8 3 4 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 8 8 8 1 = 8 3 = 3 3 1 = 32 1) 59 5 4 2) 66 6 2 3) 210 2 7 4) 38 3 6 5) 74 7 2 6) 85 8 7) 128 12 4 8) 89 8 8 9) 93 9 10) 67 6 2 11) 48 4 12) 73 7 3 Reducér udtrykket a7 a 3 Løsning: a 7 a 3 = a a a a a a a = a a a a = a 4 a a a 1 Øvelse 3.12 Reducér følgende udtryk: 1) a6 a 3 2) y8 y 3 3) x3 x 3 92

4) x10 x 4 5) a6 a 5 6) b10 b 7) (x3 x 2 ) x 4 8) (y2 y 8 ) y 10 9) (c6 c) c 4 10) (a6 a 3 ) a 4 11) (b3 b 2 ) b 3 12) (x x3 ) x 2 a 8 13) (a 2 a 3 ) x 6 y 5 14) (y y 3 ) 17) (y3 y 4 ) 15) (a3 a) (a 2 a 2 ) 18) (x6 x) x 3 16) (x 2 x) (y 2 y) Man dividerer to potenser med samme rod ved at beholde roden og trække eksponenterne fra hinanden: a n a m = an m Øvelse 3.13 Afgør om følgende udsagn er sande eller falske: 1) x8 x 5 = x3 4) a6 a 9 = a3 Skriv som en potens: x5 x 3 = x5 3 = x 2 2) x4 x 2 = x6 3) (a3 a 2 ) = a 4 a 5) y8 y 2 = y6 6) (x2 x 3 ) = x 4 x Skriv som en potens: x8 x 2 = x8 2 = x 6 Skriv som en potens: x5 x 5 = x5 5 = x 0 93

Øvelse 3.14 Skriv som en potens og beregn: 1) 83 8 2 2) 67 6 3 3) 89 8 6 4) 88 8 5 5) 93 9 6) 92 9 7) 57 5 7 8) 88 8 8 9) 46 4 6 10) 85 8 5 11) 34 3 4 12) 66 6 6 a n a n = an n = a 0 Da ethvert tal divideret med sig selv er lig med 1, vil det sige, at a jn a n = a0 = 1 Enhver potens, hvor eksponenten er nul, er 1 a 0 = 1 Skriv som en potens: a5 b 5 a 5 b 5 = a a a a a b b b b b = a b a b a b a b a ( a ) 5 b = b Man dividerer to potenser med samme eksponent ved at dividere rødderne og beholde eksponenten. a n ( a ) n b n = b Skriv som en potens og beregn: 23 5 3 = ( ) 2 3 = 8 5 125 94

Øvelse 3.15 Skriv som en potens og beregn følgende udtryk: 1) 27 10 7 2) 35 2 5 3) 15 3 5 4) 26 4 6 5) 16 2 6 6) 34 5 4 ( ) 2 4 Skriv som en potens og beregn: = 2 5 5 2 5 2 5 2 5 = 24 5 4 Man opløfter en brøk til en potens ved at opløfte tæller og nævner hver for sig. ( a n a = b) n Øvelse 3.16 b n Beregn følgende udtryk: 1) ( ) 4 2 2) 9 ( ) 1 5 3) 3 Skriv som en potens og beregn: ( 3 2) 3 ( ) 5 0 4) 9 ( ) 1 10 5) 2 ( ) 2 4 6) 3 ( ) 5 1 6 ( 3 2 ) 3 = 32 3 2 3 2 = 3 2+2+2 = 3 6 = 729 Man opløfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og gange eksponenterne. (a n ) m = a n m 95

Øvelse 3.17 Skriv som en potens og beregn: 1) ( 2 3) 3 2) ( 4 3) 4 3) ( 4 8) 0 4) ( 6 2) 3 5) ( 6 0) 3 6) ( 5 2) 3 7) ( 5 2 5 2) 4 8) ( 6 2 6 4) 2 9) ( 2 3 2 6) 3 10) ( 3 4 3 1) 2 11) ( 4 5 4 ) 2 12) ( 6 8 6 2) 0 13) ( ) 1 2 ( ) 1 3 2 2 14) 3 3 15) a n = a a a... a a 5 = a a a a a a 4 = a a a a a 3 = a a a a 2 = a a a 1 = a a 0 = 1 ( (1 ) ) 2 2 ( (1 ) ) 3 3 16) 2 3 a 1 = 1 a a 2 = 1 a 2 a 3 = 1 a 3 a n = 1 a n 96

4 3 = 1 4 3 = 1 64 5 2 = 1 5 2 = 1 25 0.01 = 1 100 = 1 10 2 = 10 2 Øvelse 3.18 Beregn følgende potenser: 1) 4 2 2) 8 2 3) 6 2 4) 8 3 5) 5 3 6) 10 1 7) 4 1 8) 5 1 9) 2 1 10) 2 3 11) 2 5 12) 2 7 13) 2 2 14) 2 4 15) 2 8 Kubikrødder Kubikroden af et tal a er det tal x,der opløftet til tredie potens bliver a. Dvs. 3 a = x når x 3 = a 3 27 = 3 fordi 3 3 = 3 3 3 = 27 3 8 = 2 fordi ( 2) 3 = ( 2)( 2)( 2) = 8 Bemærk at man godt kan uddrage kubikroden af negative tal. Kubikroden ar et negativt tal er selv negativt. 97

Øvelse 3.19 Kontroller følgende beregninger: 1) 48 = 16 3 = 16 3 = 4 3 2) 3 16 = 3 8 2 = 3 8 3 2 = 2 3 2 3) 9 9 4 = = 3 4 2 4) 3 7 = 9 7 = 9 7 = 63 5) 5 2 = 25 2 = 25 2 = 50 6) 2 3 3 = 3 2 3 3 3 = 3 8 3 = 3 24 7) 27 = 3 3 2 = 3 3 8) 3 32 = 3 4 2 3 = 2 3 4 9) 2 2 2 25 = = 25 5 10) 2( 3 + 5) = 2 3 + 2 5 11) 3 ( 2 5) = 6 15 98

12) ( 2 + 5)( 3 + 7) = 6 + 14 + 15 + 35 13) ( 5 2 3)( 5 3) = 5 15 2 15 + 6 = 11 3 15 14) 15) 1 = 1 2 2 = 2 2 2 2 1 2 + 2 = 1 2 + 2 2 2 2 2 = 2 2 4 2 = 2 2 2 = 1 5 3 5 3 16) 2 5 = 2 5 2 + 5 2 + 5 = 2 5 + 5 6 3 5 = 1 5 4 5 2 2 17) 3 27 = 3 ( 3)( 3)( 3) = 3 18) 16= /O 19) 4 16 = /O 20) 3 64 = 3 (4) 3 = 4 21) 4 16 = /O 22) 5 32 = 5 (2) 5 = 2 23) 3 ( 10) 3 = 10 99

4 Statistik Ugrupperede observationer En måde at virke overbevisende på i en diskussion er ved at fremlægge tal som beviser. Mere eller mindre tydligt lægger man op til, at tal er hele sandheder. Det er de selvfølgelig ikke. Det spiller en stor rolle, hvordan tallene er fremkommet og hvordan de bliver brugt. Man skal altså være kritisk, når man møder eller bruger indsamlede talmateriale i en debat. Statsitik kan beskrives ved indsamling, bearbejdning og præsentation af tal. Kun i meget få tilfælde vil indsamlede data blive videregivet enkeltvis. For at gøre datamængden overskuelig bliver oplysningerne ofte bearbejdet og koncentreret. Når man har en række tal eller data - et observationssæt- kan man beskrive det ved hjælp af en række karakteristiske tal, som kaldes deskriptorer som middeltal, typetal og median. Lad os se på et tilfælde, hvor en person spiller pilespil. I 15 forsøg opnår personen følgende point-tal: 16 22 30 16 7 22 8 22 10 9 31 34 20 8 22 Baseret på ovenstående tal kan vi lave en ny tabel som kaldes en frekvenstabel - hyppighedstabel - 100

Observation x Frekvens/hyppighed h(x) 7 1 8 2 9 1 10 1 16 2 20 1 22 4 30 1 31 1 34 1 sum 15 Middeltallet - som også kaldes gennemsnittet - er summen af alle obsevationerne divideret med antallet af observationet. Det kan udregnes ved at udbygge en ny tabel som vist nednunder. 101

Observation x Hyppighed h(x) Samlet point-tal x h(x) 7 1 7 8 2 16 9 1 9 10 1 10 16 2 32 20 1 20 22 4 88 30 1 30 31 1 31 34 1 34 Sum 15 277 Middeltallet=x = 277 15 18.5 Typetallet er den observation, der fremkommer flest gange. I dette observationssæt er typetallet 22. Medianen er den midterste observation. I dette observationssæt er medianen 20, hvilket man kan se, hvis man skriver alle observationerne op i rækkefølge: 7 8 8 9 10 16 16 20 22 22 22 22 30 31 34 median = 20 102

Hvis antallet af observationssættet er lige, findes medianen ved at summere to observationssæt og dividere med 2. Variationsbredden er forskellen mellem største observation og mindste observation, dvs. 34 7 = 27 Øvelse 4.1 Dagen efter kaster personen med pile igen, denne gang kaster personen 22 gange.: 4 22 15 6 6 6 22 18 8 15 8 22 35 28 4 18 6 22 18 22 15 22 35 a) Lav en hyppighedstabel/frekvenstabel over observationssættet ovenfor. b) Find typetallet, medianen og middeltallet i observationssættet. Frekvens Frekvensen af en observation fortæller os, hvor stor en del af alle observationerne en bestemt observation udgør. Frekvensen af en observation er lig med observationens hyppighed divideret med det samlede antal observationer. Frekvensen af observationen a kan skrives: f(a) Summeret/kumuleret hyppighed Hvor mange af personens kast resulterede i højst 16 point? Svaret på dette spørgsmål kaldes den summerede hyppighed af 16. Ved den summerede hyppighed for en bestemt observation x, forstås den samlede hyppighed for alle observationer, der er mindre end eller lig med x. 103

Summeret/kumuleret frekvens Ved den summerede frekvens for en bestemt observation x, forstås den samlede frekvens for alle observationer, der er mindre end eller lig med x. Median og kvartiler Medianen i et observationssæt er den midterste værdi når observationerne er skrevet i rækkefølge. Udover at beskrive et observationssæt ved hjælp af medianen, kan man yderligere angive de observationer hvis summerede frekvenser er større end eller lig med 0.25 (25 %) eller 0.75 (75 %). Disse værdier kaldes nedre kvartil og øvre kvartil. Sammen med medianen - 0.5 (50 %) - deles observationssættet således op i kvarte: 1. kvartil = nedre kvartil (25 %) 2. kvartil = medianen (50 %) 3. kvartil = øvre kvartil (75 %) 1.kvartil eller nedre kvartil i et observationssæt er den mindste observation, hvis summerede frekb vens er større end eller lig med 0.25 (25 %) 2.kvartil eller medianen i et observationssæt er den mindste observation, hvis summerede frekvens er større end eller lig med 0.50 (50 %) 2.kvartil eller øvre kvartil i et observationssæt er den mindste observation, hvis summerede frekvens er større end eller lig med 0.75 (75 %) Pilespil som observationssæt 16 22 30 16 7 22 8 22 10 9 31 34 20 8 22 104

a) Lav en hyppighedstabel/frekvenstabel over observationssættet ovenfor. b) Find middeltal, typetal, variationsbredde,median,øvre og nedre kvartil for observationssættet. Løsning: Vi starter med at lave en hyppighedstabel/frekvenstabel over observationssættet: a) Observation x hyppighed h(x) summeret hyppighed H(x) hyppighed/frekvens i pct f(x) summeret frekvens i pct. F(x) x h(x) 7 1 1 0.07 0.07 7 8 2 3 0.13 0.20 16 9 1 4 0.07 0.27 9 10 1 5 0.07 0.33 10 16 2 7 0.13 0.47 32 20 1 8 0.07 0.53 20 22 4 12 0.27 0.80 88 30 1 13 0.07 0.97 30 31 1 14 0.07 0.95 31 34 1 15 0.07 1.00 34 sum 15 277 Middeltallet eller gennemsnittet er summen af alle observationerne divideret med antallet af observationer. x = 277 15 18.5 105

Typetallet er den observation, der fremkommer flest gange. I dette observatuionssæt er typetallet 22. Medianen er den midterste observation. I dette observationssæt er medianen 20. Man kan se hvis man skriver alle observationerne op i rækkefølge. 7 8 8 9 10 16 16 20 22 22 22 22 30 31 34 Hvis observationssættet havde bestået af et lige antal observationer, var medianen den mindste af de to midterste observationer. 1. kvartil er 9 som betyder at 25 % af observationerne ikke var større end 9 3. kvartil er 22 som betyder at de første 75 % af observationerne udgøres af værdier på 22 eller derunder - med andre ord at 25 % er over 22 point. Summerede frekvens kan skitseres vha. et stolpediagram på følgende måde: Kommandoen StickGraph[list of points] kan bruges til at tegne stolpediagrammet. 106

Grupperede observationer Ved mange undersøgelser er der så mange observationsværdier, at man af praktiske grunde og for overskuelighedes skyld, inddeler observationssættet i nogle grupper eller intervaller. I 1977 kom der til Danmark i alt 32740 personer. Aldersmessigt fordelte sig således: Under 15 år:... 7369 15-19 år:... 4185 20-24 år:... 6994 25-29 år:... 4815 30-59 år:... 8793 60 år og derover:... 584 Bemærk at intervallængderne er forskellige! Det er vigtigt, at intervallerne afsættes i indbyrdes rigtig størrelse på 1. aksen. 107

x h(x) H(x) kum f(x) % F(x) % kum [0-15[ 7369 7369 0.23 0.23 [15-20[ 4185 11554 0.13 0.35 [20-25[ 6994 18548 0.21 0.57 [25-30[ 4815 23363 0.15 0.71 [30-60[ 8793 32156 0.27 0.99 [60-90[ 584 32740 0.01 1.00 32740 Histogram: Tabellens første og fjerde kolonne bruges i forbindelse med hitogramkonstruktion vha. GeoGebra: x f(x) 0 0.23 15 0.13 20 0.21 25 0.15 30 0.27 60 0.01 90 - Bemærk at der i der sidste interval intet endepunkt var! Derfor har vi valgt at give dette interval samme længde som det foregående interval. Historammet tegnes først efer man har konstrueret listerne som følger: {0,15,20,25,30,60,90} 108

{0.23, 0.13, 0.21, 0.15, 0.27, 0.01} Disse indtastes direkte som vist i inputfeltet og GeoGebra giver umiddelbart navnene list1 og list2 som vi så skal bruge i følgende kommando for at tegne histogrammet: Histogram[list1,list2] Sumkurve: Ved grafisk afbildning af summeret frekvens brugte vi tidligere et stolpediagram. Det gjorde vi fordi der var tale om enkelt-observationer. x F(x) 0 0 15 0.23 20 0.35 25 0.57 30 0.71 60 0.99 90 1.00 109

Ved grafisk afbildning af den summerede frekvens for grupperede observationer bruges en sumkurve. tabellens første og femte kolonne bruges i forbindelse med sumkurveskitsering. Disse indsættes i GeoGebra s regneark, felterne markeres og med musens højre tast vælges polyline between points. Kvartilsætte kan aflæses direkte af grafen. 110