Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen
Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning f en vektor efter givne retninger...5 5. Vektorers koordinter...6 6. Stedvektor. Vektors længde....6 7. Drejningsvinkel. Projektion f liniestykke på linie...8 8. Skrlrprodukt...0 9. Projektion f vektor på vektor...3 0. Sklrproduktet udtrykt i koordinter...3. Tværvektor...6. Determinnt for et vektorpr...7 3. Liniens ligning. Afstnd fr punkt til linie...0 4. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte.... 4. Koordinttrnsformtioner...3
Vektorer i plnen. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer En prllelforskydning f en figur i plnen er en opertion, hvor lle figurens punkter flyttes det smme stykke i den smme retning. Prllelforskydningen som fører punktet A over i punktet B kn skrives som A B. En prllelforskydning kn derfor pssende illustreres ved et orienteret liniestykke, tegnet som en pil. Det er indlysende, t to pile med smme længde og smme retning repræsenterer den smme prllelforskydning. Mængden f lle pile med smme længde og retning kldes for en vektor. En enkelt pil kldes en repræsentnt for vektoren. D lle pilene svrer til smme prllelforskydning, vil vi herefter etegne en pil som en vektor i stedet for det mere omstændelige - men korrekte en repræsentnt for vektoren. En vektor, der forinder to punkter A og B i plnen, skrives som AB, men mn kn også skrive en vektor som et enkelt lille fremhævet ogstv eller et lille ogstv med en pil over. Følgende 3 skrivemåder er således ækvivlente: AB Længden f en vektor skrives med to lodrette streger: AB. Længdesymolet må ikke forveksles med det smme symol for numerisk værdi f et tl. Blndt vektorer, findes specielt en som hr længden nul. Den etegnes nulvektoren og skrives o. Nulvektoren tillægges ikke nogen retning. En egentlig vektor er en vektor, som ikke er nulvektoren. En vektor med længden kldes en enhedsvektor. Enhedsvektorer etegnes ofte som e, i, j og k. To vektorer og siges t være prllelle ( skrives ), hvis der findes en repræsentnt for og en repræsentnt for, som er prllelle. To vektorer siges t være ensrettede eller modst rettede, når deres repræsentnter er henholdsvis ensrettede eller modst rettede. To vektorer og siges t være ortogonle eller står vinkelret på hinnden (skrives ), hvis der findes en repræsentnt for og en repræsentnt for, som er ortogonle. Ved en retningsvektor for en linie, forstås en vektor, som er prllel med linien. Ved en normlvektor til en linie, forstås en vektor som er ortogonl til linien.. Sum og differens f to vektorer Ld os ntge t vi foretger en prllelforskydning, svrende til vektoren, og dernæst en prllelforskydning, svrende til vektoren, som vist på figuren nedenfor. Den resulterende prllelforskydning, svrer d til vektoren fr s egyndelsespunkt til s endepunkt. D dette er summen
Vektorer i plnen f de to prllelforskydninger, etegnes vektoren med +. Denne vektor kldes for sumvektoren eller summen f vektorerne og. Bemærk, t + i lmindelighed er side i en treknt med de to ndre sider og. Ifølge trekntsuligheden gælder der, t en side i en treknt ltid er mindre en summen f de to ndre sider. + < +. + + gælder kun, hvis og er ensrettede. Vektorddition er kommuttiv. Der gælder sætningen: (.) + + Hvis mn på smme figur, som er nvendt til t konstruere + Afsætter ud fr s egyndelsespunkt og konstruerer +, vil og udspænde et prllelogrm, d de modstående sider repræsenteret f er lige lnge og prllelle. + og + er egge digonlen i dette prllelogrm og derfor er + +. Denne sætning viser smtidig, t mn kn konstruere sumvektoren + på en nden måde. Hvis mn nemlig fsætter og ud fr smme punkt og konstruerer det prllelogrm, som udspændes f og, vil digonlen være en repræsentnt for +. Denne konstruktion kldes ofte for kræfternes prllelogrm. Vendingen kommer fr fysikken, fordi mn finder resultnten f to kræfter på denne måde. Vektorddition er ssocitiv. Der gælder sætningen: (.) +(+c) (+)+c
Vektorer i plnen 3 På figuren ovenfor er konstrueret de to vektorer: +(+c) og (+)+c. Det ses t summen i egge tilfælde er den vektor, der forinder s egyndelsespunkt med endepunktet f c. For vektorer gælder indskudsreglen: Hvis A, B og C er punkter i plnen gælder der uindskrænket: (.3) AB AC+ CB Dette følger f definitionen på sum f to vektorer. Specielt er 0 AA AB+ BA Ved den modstte vektor til en vektor, forstår mn en vektor med smme længde med modst retning f. Den modstte vektor til skrives, hvilket ofte læses som minus. Den modstte vektor til nulvektoren er nulvektoren. Der gælder i lle tilfælde t + (-) o. Betrgter vi vektorligningen x +, er løsningen åenrt den vektor, som dderet til giver. Denne vektor etegnes differensvektoren mellem og, og skrives (.4) Konstruktionen f er vist ovenfor. Vektorerne og er fst ud fr smme punkt. Det ses, t vektoren, der forinder endepunktet med endepunktet f, netop er differensvektoren. Af den nden figur ses imidlertid t differensvektoren også kn opnås ved t tge summen f og (-). Dette fordi firknten med siderne og (-) er et prllelogrm, så de to ndre sider og +( ) er identiske vektorer. Der gælder ltså: (.5) + ( ) På smme måde, som det er tilfældet med reelle tl, kn vi derfor skrive i stedet for + ( ). En nyttig konsekvens f dette er, t det ligesom for regning med tl gælder: t mn kn flytte en vektor over på den nden side f lighedstegnet ved t skifte fortegn. Dette følger f nedenstående omskrivninger: c + <> c + (-) + + (-) <> c 3. Multipliktion f vektor med et tl Ved vektoren t, hvor er en vilkårlig vektor og t er et reelt tl, forstår mn følgende:
4 Vektorer i plnen Hvis t0, så er t o (nulvektoren) Hvis t>0, så er t en vektor med længden t, som er ensrettet med. Hvis t<0, så er t en vektor med længden t, som er modstrettet med. I lle tilfælde er længden f t lig med t. 3. Eksempel Nedenfor er vist nogle eksempler på multipliktion f vektor med et tl. For multipliktion f vektor med tl gælder der nogle tilsyneldende simple regneregler. Hvis s og t etegner reelle tl og og vilkårlige vektorer gælder. (3.) (s t) s (t ) (s+t) s +t t ( + ) t + t Bevis for den første regneregel: Hvis s0 eller t0 er egge vektorer nulvektoren. Hvis hverken s eller t er 0, vil de to vektorer (s t) og s (t ) hve smme retning eller modst retning f, lt eftersom s t>0 eller s t<0. Endvidere gælder der: (s t) (s t) s t s t s (t ) Den nden regneregel er lidt mere kompliceret t vise. Hvis s og t hr smme fortegn, hr (s+t), s, t og s +t smme retning. Nedenfor ses, t de også hr smme længde, så det er smme vektor. s +t s + t s + t s+t (s+t) Hvis s og t hr modst fortegn, og s+t 0, hr s+t enten smme fortegn som s eller t. Antger vi, t s+t hr smme fortegn som s, hr s+t og t smme fortegn. Vi finder d ifølge ovenstående: s ((s+t) + (-t)) (s+t) +(-t)) (s+t) - t > (s+t) s +t Hvis s+t 0 er t -s og dermed s +t s +(-s) s -s o Hvis og er egentlige ikke prllelle vektorer, kn den sidste sætning kn vises, hvis vi nvender sætningen (eller ksiomet) om t ligednnede treknter er ensvinklede. Nedenfor er vist de to ligednnede treknter der dnnes f vektorerne, og +, smt f vektorerne t, t og t (+). D treknterne er ligednnede er siden, der svrer til + lig med t (+). Ifølge konstruktionen ses, t denne side også er t + t. Altså er t (+) t + t Hvis og er egentlige prllelle vektorer, er t (+) og t + t også prllelle og ensrettede, hvorf sætningen følger trivielt. Hvis enten eller er nulvek-
Vektorer i plnen 5 toren, så er sætningen også triviel. Vi eviser endelig følgende lille sætning. (3.3) Hvis og er to vektorer, hvor o, og enten er nulvektoren eller prllel med, så findes der netop ét tl t, så t. Bevis: Hvis t, så er t og dermed t. Endvidere, hvis er ensrettet med er t>0, og t<0, hvis er modst rettet, og t0, hvis o. I lle tilfælde findes der kun et tl, som opfylder t. At t estemt på denne måde fktisk opfylder t er indlysende, idet de to vektorer hr smme retning og længde. Ud fr (3.3) kn mn specielt estemme en enhedsvektor, som er ensrettet med en given vektor. e Det ses umiddelrt t e og t e er ensrettet med 4. Opløsning f en vektor efter givne retninger Ld der være givet to ikke prllelle linier l og m smt en vilkårlig vektor c AB. Vi tegner linier prllelle med l og m, gennem henholdsvis A og B. Linierne skærer hinnden i punktet C. Ifølge Indskudssætningen gælder: AB AC+ CB Idet vi sætter c l AC og c m CB, gælder åenrt (4.) c c l + c m Vi hr ltså fået skrevet c, som en sum f to vektorer, som er prllelle med henholdsvis l og m. Denne opløsning er entydig. Antg nemlig, t c også kn skrives som en sum f to vektorer l og m, prllelle med henholdsvis l og m, så gælder der: c l + c m l + m <> c l - l m - c m På venstre side står en vektor der er prllel med l og på højre side en vektor der er prllel med m. D l og m er ikke prllelle må de egge være nulvektoren og dermed: c l l og m c m. Formlen (4.) kldes opløsning f en vektor efter to givne retninger. Hvis c c l + c m og og er to vektorer prllelle med henholdsvis l og m, kn vi ifølge (3.3) estemme tl s og t, således t c l s og c m t For to ikke prllelle retninger l og m og to egentlige vektorer og, kn c ltså kun på en måde skrives som en linerkomintion f og. Dette kldes også for opløsningen f c efter og.
6 Vektorer i plnen (4.) c s + t 5. Vektorers koordinter Vi indfører nu et lmindeligt retvinklet koordintsystem med egyndelsespunkt O. Enhedspunkterne på x og y-ksen (,0) og (0,), etegner vi E og F. Vi lder i og j etegne de to ortogonle enhedsvektorer (5.) i OE og j OF Disse to vektorer, kldes for koordintsystemets sisvektorer. D koordintsystemet er fuldstændig fstlgt ved O og de to sisvektorer, etegner vi det med (O, i, j). Ifølge (4.) kn enhver vektor, skrives som en entydigt estemt linerkomintion f de to sisvektorer. (5.) x i + y j (x, y) kldes for koordinterne til vektor. Mn hr trdition for t nvngive koordinterne med det smme ogstv som vektoren, forsynet med indeks og, og i øvrigt skriver mn ofte koordinterne på højknt og nvender lighedstegn mellem koordinterne og vektoren, som vist med eksemplerne nedenfor. 0 (5.3) i + j i j 0 Hvis i + j og i + j, følger det f regnereglerne for ddition f vektorer og multipliktion f vektor med tl: + i + j + i + j ( + ) i + ( + ) j - i + j - ( i + j) ( - ) i + ( - ) j k k ( i + j) (k ) i + (k ) j Herf følger - ikke særlig overrskende - regneregler for koordinter til vektorer. (5.4) + + + - k k k 6. Stedvektor. Vektors længde. Ld der i plnen være givet et koordintsystem (O, i, j). For et vilkårlig punkt P (x,y) i plnen kldes vektoren OP for stedvektoren til P.
Vektorer i plnen 7 Projektionen f P på. og. ksen er Q (x,0) og R (0, y). Ifølge sætning (3.3) gælder der: og dermed (6.) OP OQ x i og OR y j x OQ + OR x i + y j y Vi hr hermed vist, t koordinterne til et punkt er lig med koordinterne til punktets stedvektor. En vilkårlig vektor er stedvektor for punktet A (, ), så OA. Ifølge fstndsformlen gælder der (6.) OA OA + Længden f en vilkårlig vektor er kvdrtroden f kvdrtsummen f dens koordinter. Hvis A og B er to vilkårlige punkter i plnen gælder ifølge indskudssætningen: (6.3) OB OA+ AB og dermed AB OB OA Hvis A (, ) og B (, ) gælder der OA og OB Indsættes dette i (6.3) får mn (6.4) AB Vi hr således vist den vigtige sætning. Koordinterne til den vektor der forinder to vilkårlige punkter A og B er endepunktets koordinter minus egyndelsespunktets koordinter. For længden f AB, finder mn ifølge (6.) en formel, som er identisk med fstndsformlen. (6.5) AB ( ) + ( ) 6.6 Eksempel. Ifølge Indskudssætningen gælder: Mnge små geometriske sætninger kn evises elegnt ved vektorregning. Vi viser først sætningen: Koordinterne til midtpunktet M f liniestykket, der forinder A og B er middeltllet mellem endepunkternes koordinter. Ld A (, ) og B (, ) være vilkårlige punkter i plnen.
8 Vektorer i plnen OM OM (6.7) ) Skrevet ud i koordinter: (6.7) + OM + OA+ AM OA+ ½ AB OA+ ½( OB OA) ½( OA+ OB Det ses herf f midtpunktets koordinter er middeltllet mellem endepunkternes koordinter. 6.8 Eksempel. Vi vil estemme koordinterne til medinernes skæringspunkt S i en treknt A, B og C Ld A (, ) og B (, ) og C (c,c ). Vi ved fr geometrien, t medinen forinder A med midtpunktet f den modstående side, og t medinernes skæringspunkt S deler medinen i forholdet 3:, således t Ifølge sætning (6.7) er OM ½( OA+ OB) så vi får som kn reduceres til AM AS 3 Ifølge indskudssætningen gælder 3 OS OA+ AS OA+ AM OA+ ( OM OA) OS OA+ ( OM OA) OA+ ( ( OC+ OB) OA) 3 (6.9) OS ( OA+ OB+ OC) Skrevet ud i koordinter 3 + + c OS 3 + + c 3 Koordinterne til medinernes skæringspunkt er middeltllet mellem koordinterne til trekntens hjørner. D udtrykket er symmetrisk i A, B og C, er det underordnet, hvilken f trekntens hjørner vi vr gået ud fr. Vi kn herefter ud fr vektorregning slutte, t medinerne går gennem smme punkt. 7. Drejningsvinkel. Projektion f liniestykke på linie. For t indføre sklrproduktet f to vektorer, er det nødvendigt t præcisere nogle små sætninger fr geometrien. 7. eksempel. Liniestykker regnet med fortegn. På en orienteret tllinie (en koordintkse), kn mn med fordel regne liniestykker med fortegn. Et liniestykke, der forinder punkterne A og B, skrives AB. Længden f liniestykket skrives som ekendt AB. AB regnes for positivt, hvis B ligger i den positive retning i forhold til A ellers negtiv. Helt præcist gælder der: Hvis AB AB, så er BA - AB. Om 3 punkter A, B og C på en tllinie gælder der ufhængig f deres indyrdes plcering indskudssætningen: (7.) AB AC + CB 3
Vektorer i plnen 9 Hvis B ligger til højre for A og C ligger mellem A og B, følger det umiddelrt f AB AC + CB. Hvis B ligger til højre for A og C ligger til højre for B gælder der: AC AB + BC <> AB AC - BC <> AB AC + CB Hvis AB - AB, ltså B ligger til venstre for A, og C ligger mellem B og A, gælder der. BA BC + CA <> -AB -CB AC <> AB AC + CB De øvrige tilfælde f indskudssætningen kn vises helt på smme måde. Hvis A og B hr koordinterne og, gælder der i lle tilfælde: AB -. Dette kunne også være nvendt til t evise indskudssætningen. 7. Eksempel. Drejningsvinkel. Hvis mn hr to vektorer eller to orienterede liniestykker, definerer mn vinklen mellem vektorerne, som den numerisk mindste drejning, der fører den ene vektor (eller orienterede liniestykke) over i en vektor (eller orienterede liniestykke), der hr smme retning som den nden. Med denne definition er vinklen mellem to vektorer (eller orienterede liniestykker) ltid mellem 0 og 80 0. Mn hr tidligere indført egreet retningsvinkel for en linie, som en drejningsvinkel, der fører.ksens positive retning over i en retning ensrettet med en hlvlinie l. Hvis v er en retningsvinkel for l, kn smtlige retningsvinkler for linien skrives som v + p 360 0 og v +80 0 + p 360 0, smlet v + p 80 0 hvor p er et helt tl. På figuren er indført et koordintsystem med en enhedscirkel og to linier l og m med retningsvinkler u og v. Vi ønsker t finde vinklen mellem w mellem l og m. På helt smme måde som for punkter på en linie gælder der en indskudssætning for retningsvinkler (som også regnes med fortegn). Af figuren ses umiddelrt med plceringen f l og m: v u + w > w v - u Med rug f indskudssætningen, gælder dette imidlertid ufhængigt f plceringen f l og m, og ufhængigt f fortegnet og størrelsen f u og v. Mn kn sige, t den drejning, der fører l over i m, estår f to drejninger: En på u som fører l over i x-ksen plus en drejning v, som fører x-ksen over i m. I lt en drejning på w u + v v - u Vi kn ltid finde en vinkel mellem to vektorer (eller orienterede liniestykker) med retningsvinkler u og v, som v - u. For t finde vinklen mellem de to vektorer (som defineret) ovenfor, kn det være nødvendigt t skifte fortegn eller ddere et multiplum f 360 0. Det er dog vigtigt for det følgende t notere sig, t cos(v-u) er uforndret ved sådnne opertioner. 7.3 Eksempel. Projektion f liniestykke på en orienteret linie. Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn nedfældning f den vinkelrette. Mn tegner (konstruerer) en (stiplet) linie, gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen P l f P på linien l er skæringspunktet mellem de to linier.
0 Vektorer i plnen Projektionen f et liniestykke AB på en linie l er liniestykket A l B l, som forinder projektionen f A og B på l. Hvis AB er vinkelret på l kn projektionen udrte til et punkt. Hvis mn indfører en orientering på linien l, og lder v, være drejningsvinklen mellem liniernes positive orienteringer, fr l til AB, så gælder der, idet liniestykkerne regnes med fortegn: A l B l AB cos v. Bevis. Hvis vi prllelforskyder AB vinkelret på linien l, så A ligger på l er projektionen f AB uforndret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 90 0, ses ud fr den retvinklede treknt A l B B l, t A l B l AB cos v og dermed A l B l AB cos v. Hvis 90 0 < v < 80 0, vil der gælde: A l B l AB cos (80 0 -v). Idet A l B l - A l B l, gælder som før: A l B l AB cos v. For et rudt liniestykke, AC og CB, som vist på figuren, vil der gælde, t summen f den med fortegn regnede projektion f AC og CB vil være lig med projektionen f AB. Hvis drejningsvinklerne til AC og CB egge er mindre end 90 0, (eller egge er mellem 90 0 og 80 0 ), følger dette umiddelrt f figuren. I ndre tilfælde, følger sætningen ved t nvende indskudssætningen for A l, C l og B l, som er projektionen f A, C og B på l. Dette kn generliseres til følgende sætning: (7.4) Projektionen f en rudt linie på en linie er lig med projektionen f den linie, som forinder den rudte linies endepunkter. 8. Skrlrprodukt. Resultterne fr eksempel 7. og 7.3, kn direkte overtges til t gælde for vektorer. Et orienteret liniestykke, kn nemlig opfttes som en repræsentnt for en vektor, så vinklen mellem to vektorer og for projektion f vektor på vektor hr smme etydning som for deres repræsentnter. Dette fører umiddelrt til sætningen: (8.) Summen f projektionerne f to vektorer og på en vektor c, er lig med projektionen f sumvektoren +. Betegner vi projektionen f en vektor på c med c, gælder der ltså. c + c ( + ) c Vi vil nu indføre sklrproduktet f to vektorer. En sklr etyder et tl i modsætning til en vektor. Vi indfører sklrproduktet geometrisk, dvs. ufhængigt f et vlgt koordintsystem. Ved sklrproduktet mellem to egentlige vektorer forstår mn produktet f deres længder gnge cosinus til vinklen imellem dem. Sklrproduktet med en nulvektor er nul. Skrlrproduktet skrives med en prik og det etegnes også som prikproduktet. (8.) cos v, hvor v / (, ) er vinklen mellem og. Det er vigtigt t notere sig, t cos v er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på et liniestykke med smme orientering som. Tilsvrende er cos v er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på et liniestykke med smme orientering som. For regning med sklrprodukt gælder der nogle vigtige sætninger. (8.3) (Kommuttive lov)
Vektorer i plnen (8.4) (8.5) c ( + ) c + c (Distriutive lov) (8.6) (k ) (k ) k( ) (8.7) 0 o o (8.3) følger umiddelrt f definitionen. (8.4) følger f cos 0 + Hvis vi sætter u (, c), v (, c) og w (, c ), så kn (8.5) vises ved følgende omskrivning: c + c c cos u + c cos v c ( cos u + cos v) c ( c + c ) c ( + ) c c + cos w c ( + ) Vi hr her som tidligere med c, c og ( + ) c etegnet de med fortegn regnede projektioner f en repræsentnt for, og + på et liniestykke orienteret på smme måde som c, og nvendt sætning (7.4). Sætning (8.6) følger f, t hver f de 3 udtryk kn opfttes som længden f gnge k gnge projektionen f på. (8.7) følger umiddelrt f definitionen og nulreglen, idet Herf følger den vigtige 0 <> cos v 0 <> 0 0 cos v 0 0 <> o o v 90 0 Sætning: To egentlige vektorer, er ortogonle, hvis og kun hvis deres sklrprodukt er 0. 0 o o Med regnereglerne for sklrproduktet, gælder mnge f de regneregler vi kender for regning med reelle tl, hvor ddition er erstttet f vektorsum og multipliktion f sklrprodukt. For det første hr mn trdition for t sætte. (Men det kn ikke nvendes på højere potenser nturligvis). Vi vil herefter vise kvdrtsætningerne ved nvendelse f regnereglerne (8.)- (8.7) Helt tilsvrende får mn ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + + + ( + ) + + ( - ) ( + ) ( + ) - ( + ) + - -
Vektorer i plnen Endelig emærker vi t ( - ) ( + ) - cos v, d cosinus til en vinkel ltid er numerisk mindre end. 8.9 Eksempel. Om to vektorer og gælder :, 3 og + 3 Bestem grdtllet mellem og. Vi finder først sklrproduktet ud fr oplysningerne. + 3 > + 9 > ( + ) 9 <> + + 9 <> + + 9 <> - cos v v 09,47 6 0 8.0 Eksempel Vi vil evise sætningen om t i en vilkårlig treknt skærer højderne hinnden i smme punkt. På figuren er vist en treknt ABC, der er tegnet højderne fr A og B, som skærer hinnden i punktet P. Endvidere er tegnet vektoren c Idet PA og PB gælder der Tilsvrende er BC PC - AB PB - PB c PC. Vi vil vise, t c AB. PA og AC PC - PA c Ifølge konstruktionen gælder: c og c, hvorf følger (c ) 0 og (c ) 0 <> c og c > c c <> c - c 0 <> ( ) c 0 <> c ( ) <> c AB I en treknt skærer højderne hinnden i smme punkt. Bemærk, t vi hr regnet eksempel 8.0 rent geometrisk uden nvendelse f koordintsystem. Vi vil nu vise, hvorledes mn simpelt kn udlede cosinus-reltionen uden nvendelse f koordintsystem. 8. Eksempel. Cosinus-reltionen. På figuren er vist en treknt ABC. Vi sætter c AB, AC og hermed BC AC AB c Det er klrt t trekntens sider hr længderne
Vektorer i plnen 3 c c, og - c. Vi udregner d. - c ( c) + c c + c c cos A (8.) + c c cos A På helt tilsvrende vis, kn de to ndre cosinus-reltioner udledes. 9. Projektion f vektor på vektor Vi hr tidligere vist, t sklrproduktet cos v, hvor v (, ), kn fortolkes som gnge, hvor er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på en linie som er ensrettet med. Gnger vi denne projektion med en enhedsvektor, som er ensrettet med, så finder vi projektionen f på. ( cos v) e Herf finder mn formlen for projektion f vektor på vektor. (9.) e For længden f projektionen får mn ved t tge længden på højre side f det første udtryk (9.) 0. Sklrproduktet udtrykt i koordinter Vi indfører nu et koordintsystem (O, i, j) i plnen. D i og j er ortogonle enhedsvektorer gælder der (0.) i i i, j j j og i j j i 0 Ld og hve koordinterne og. Der gælder således: i + j og i + j Vi udregner nu sklrproduktet ved hjælp f regnereglerne for sklrprodukt og (0.) ( i + j) ( i + j) i + i j + j i + j +
4 Vektorer i plnen Vi hr d fundet følgende vigtige udtryk for sklrproduktet udtrykt i koordinter (0.) + 0.3 Eksempel Vi vil estemme et koordintudtryk for projektionen f ( ) ( ) på 4 Ifølge (9.) gælder: For vinklen hr vi ifølge definitionen f sklrproduktet: ( 4+ 5 ( 3) 4 + ( 3) 5 ), smt vinklen mellem de to vektorer. 3 ( ) ( ) 8 4 7 4 5 3 5 3 5 4 3 5 7 cos v v 05,07 4 + ( 3) + 5 5 9 0 0.4 Eksempel. Additionsformlerne. Additionsformlerne er fællesnvnet for nogle formler til eregning f cos(u-v), sin(u-v), cos(u+v) og sin(u+v). Ld e u (cos u, sin u) og e v (cos v, sin v) være to enhedsvektorer, svrende til retningsvinklerne u og v. Vinklen imellem dem er (på nær fortegn og et multiplum f 360 0 som lder cosinus uforndret) er u-v. Tger vi sklrproduktet f de to enhedsvektorer, får vi ifølge definitionen: e u e v e u e v cos(u-v) cos(u-v) cos(u-v) Udregner vi derimod sklrproduktet i koordinter får mn e u e v cos u cos v + sin u sin v Herf fås den første f dditionsformlerne (0.5) cos(u-v) cos u cos v + sin u sin v Ersttter vi v med v finder mn cos(u+v) cos u cos(-v) + sin u sin(-v) cos u cos v - sin u sin v (0.6) cos(u+v) cos u cos v - sin u sin v Ersttter vi i (0.6) u med 90-u, finder mn som giver cos(90-(u-v)) cos(90 u) cos v sin(90 u) sin v (0.7) sin(u-v) sin u cos v cos u sin v Og endelig, hvis mn ersttter v med v i (0.7) får mn (0.8) sin(u+v) sin u cos v + cos u sin v Det skl emærkes, t dditionsformlerne ligesom cosinusreltionen følger meget elegnt f vekktoregning. Den geometriske udledning f dditionsformlerne er meget tungere.
Vektorer i plnen 5 0.9 Eksempel. Cosinus og sinus til den doelte og hlve vinkel. Hvis vi i (0.6) og (0.8) sætter u v x, får mn reltionerne, cos(x+x) cos(x) cos x cos x - sin x sin x cos x - sin x sin(x+x) sin(x) sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Anvender mn grundreltionen cos x + sin x med omskrivningerne cos x - sin x <> sin x - cos x på formlen for cos(x), får mn følgende formler: (0.0) cos(x) cos x - sin x cos x - sin x (0.) sin(x) sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Ersttter mn x med ½x i (0.0) får mn formler for cos(½x) og sin(½x). cos(x) cos x > cos x cos (½x) Løses denne ligning med hensyn til cos(½x) får mn: (0.) x + cos x cos ± (Anvend plus, når ½x ligger i. eller 4. kvdrnt, ellers minus) Tilsvrende får mn fr cos(x) - sin x 0.3 Eksempel x cos x sin ± (Anvend plus, når ½x ligger i. eller. kvdrnt, ellers minus) De logritmiske formler for ddition f sinus og cosinus. Ved t ddere de to dditionsformler (0.5) og (0.6) får mn cos(u-v) + cos(u+v) cos u cos v + sin u sin v + cos u cos v - sin u sin v cos u cos v. Indfører vi nu x u-v og y u+v og løser med hensyn til u og v, får mn u ½(x + y) og v ½ (x - y) Indættes dette ovenfor får mn den første f de logritmiske formler (0.4) x+ y x y cos x+ cos y cos cos Formlerne kldes for logritmiske fordi mn ersttter en ddition med en multipliktion. På helt tilsvrende vis, får mn de øvrige logritmiske formler. (0.5) (0.6) (0.7) x+ y x y cos x cos y sin sin x+ y x y sin x + sin y sin cos x+ y x y sin x sin y cos sin
6 Vektorer i plnen. Tværvektor For en vilkårlig vektor, definerer mn tværvektoren til, som den vektor der fremkommer ved t dreje en vinkel 90 0 i positiv omløsretning. Af definitionen følger, t Endvidere ses det, t og 0 0, i j, j - i Der gælder nogle små sætninger for regning med tværvektorer (.) k k + + Af figuren nedenfor fremgår det, t vektorerne k og vil være ensrettede eller modst rettede eftersom k og er det. Endvidere hr k og k smme længde, idet k k k k k Hvorf følger k k. Idet og er vilkårlige vektorer etrgter vi treknt OAB, hvor OA, AB og OB +. Ved en drejning på 90 0 omkring O føres A over i A, B føres over i B. der gælder derfor: ^ ^ OA, B og A OB +. Idet OB OA + A B, ses, t der gælder + + Ld en vilkårlig vektor i et koordintsystem (O, i, j). Ved nvendelse f regnereglerne for tværvektor, finder mn i + j.
Vektorer i plnen 7 i + j i+ j i+ j j i Herf ses, t tværvektoren til hr koordinterne (.).3 Eksempel I et koordintsystem er givet vektoren Bestem koordintsættet for. Vi sætter ( ) 4 hvor med ( ). Om en vektor oplyses, t 3 og 9-3 4 og (- ) - 3-9 <> -3 4 og 3 + - 9 5 Ved t løse disse to ligninger mht. og får mn ( ) og opskriver de to sklrprodukter i koordinter. Determinnt for et vektorpr For to vilkårlige vektorer og, definerer mn determinnten det(, ) for vektorprret som (.) det(, ) Hvis, og og udregnes determinnten i koordinter finder mn det(, ) (- ) + - (.) det(, ) - Ud fr koordintudtrykket, ses t det(, ) - det(, ), idet det(, ) (- ) + -( - ) - det(, ) Determinnten skrives ofte ved hjælp f et determinntsymol, som er to lodrette streger, hvor koordinterne oftest skrives på højknt.
8 Vektorer i plnen (.3) det(, ) Som en udregning viser, kn koordinterne også skrives rækkevis. det(, ) - For egentlige vektorer og gælder t er prllel med, hvis og kun hvis determinnten f vektorprret (, ) er nul. (.3) <> det(, ) 0 Dette følger f det(, ) 0 0 Der gælder følgende geometriske sætning: For egentlige vektorer og gælder, t det(, ) er relet f det prllelogrm som udspændes f og. Ld der være givet to egentlige vektorer og, smt punkter O, A og B således t OB. Vi minder om formlen for længden f projektionen f vektor på vektor. OA og Formlen udtrykker, t den numeriske værdi f sklrproduktet er lig med længden f den ene vektor gnge længden f projektionen f den nden vektor på den første. Anvender vi dette på determinnten f vektorprret (, ) får mn: (.4) det( ) ' '
Vektorer i plnen 9 er længden f, og ' er længden f s projektion på. Som det fremgår f figuren ovenfor, er ' netop højden i det prllelogrm, som hr, som det ene sæt prllelle sider og som det ndet. Dette gælder, hvd enten ' er ensrettet med eller modst rettet. Herf følger: (.4) det(, ) Arelet f det prllelogrm, der udspændes f og..5 Eksempel Arelet f en treknt, udspændt f to vektorer. Ld en treknt være givet ved punkterne A(-3,), B(4,5) og C(7,0). Arelet f treknten er hlvdelen f relet f det prllelogrm, der udspændes f vektorerne AB og AC AB 4 3 7 5 3 7 3 0 AC 0 7 0 Arelet f treknten er derfor: T ½ det( AB, AC) ½ ½ 7 ( ) 3 0 3 Mn definerer omløsretningen for vektorprret (, ), som positiv, hvis den mindste drejning, der fører over i er den positive omløsretning. Det ses endvidere på figuren, t ' er ensrettet med, når omløsretningen for vektorprret (, ) er positiv, og negtiv når ' er modst rettet. Herf ses, t fortegnet for omløsretningen er den smme, som fortegnet for determinnten det(, ) udtrykt ved sklrproduktet. Ved retningsvinklen for en vektor, forstår mn retningsvinklen for en hlvlinie, som er ensrettet cosv med. Hvis P er retningspunkt for en vinkel v, så gælder der t enhedsvektoren e OP ( ) cosv Vektor med retningsvinkel v kn derfor skrives sin v Det er herefter muligt, t opskrive et udtryk for det(, ), svrende til det vi kender for sklrproduktet. Sklrproduktet er ufhængig f vlget f koordintsystem, så ved udregning f et sklrprodukt, kn vi vælge koordintsystemet som vi ønsker. Vi vælger d. ksen, så den er ensrettet med. Hvis vinklen mellem og er v, er denne vinkel retningsvinkel for. Herf følger: sin v. cosv og 0 sin v og hermed cosv (.6) det(, ) sin v 0 sin v > det(, ) sin v
0 Vektorer i plnen.7 Eksempel. Sinusreltionerne. Ld os tænke os en treknt ABC udspændt f to vektorer CB og CA, så svrer til siden, til siden og den mellemliggende vinkel er C. Ifølge formlen ovenfor kn mn finde relet f treknten som T ½ det(, ) ½ sinc Helt tilsvrende får mn formlerne T ½ c sina og T ½ c sinb. Ved t sætte ½ c sina ½ c sinb ½ sinc og dividere igennem med ½ c genfinder mn sinusreltionerne: sin A sin B sinc c 3. Liniens ligning. Afstnd fr punkt til linie. Ld en linie l i plnen være fstlgt ved et punkt P 0 (x 0,y 0 ) og en normlvektor til linien n ( ). Vi kn d udtrykke følgende: Punktet P(x,y) ligger på linien, hvis og kun hvis vektorerne n og P P0 er ortogonle, ltså hvis n P0 P 0 (x-x 0 ) + (y-y 0 ) 0 x + y x 0 - y 0 0 (3.) x + y +c 0 hvor vi hr st c -x 0 - y 0. Det emærkes, t ligningen også er opfyldt, når P P 0, idet P o. 0 P 0
Vektorer i plnen Afstnden d dist(p,l) fr punktet P til linien l, kn på smme måde findes ved t udtrykke, t d er lig med længden f projektionen f vektoren P 0 på n. For projektionen f f en vektor på en vektor, og for med længden f denne projektion, hr vi de to udtryk. P (3.) Herf fås: (4.3) d dist( l, P) n P P 0 ( x ) x0 ) + ( y y0 n + x + y + c + Det sidste udtryk svrer til det, vi tidligere hr udledt uden rug f vektorer. 4.4 Eksempel: ) En linie l hr normlvektoren n (3,4) og linien går gennem P(-,). Bestem en ligning for linien. Vi indsætter i (x-x 0 ) + (y-y 0 ) 0 og får: 3(x + ) + 4(y ) 0 <> 3x + 4y 0 Bestem fstnden fr linien til punktet A(4, -5). 3 4 4 5 Ved indsættelse i (4,3) fås: d 3 + 4 ) En linie hr retningsvektor r (,-) og går gennem (-4, ). Bestem en ligning for linien. Tværvektoren til r, vil være en normlvektor til linien. n (-, -4). Herf estemmes linien ligning som før -(x + 4) - 4(y ) 0 <> -x - 4y 0 4. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte. Når mn skl løse to ligninger med to uekendte, skrives det i lmindelighed op på følgende måde: x + y c x + y c Dette kn opfttes som ligningen for to linier, (hvor c er flyttet over på den nden side f lighedstegnet). En løsning (x, y) svrer til et koordintsæt, der tilfredsstiller egge ligninger, og som dermed er liniernes skæringspunkt. c Ligningssystemet kn imidlertid også opfttes som en vektor c, der er skrevet som en linerkomintion f vektorerne og. Opfttet på denne måde får ligningssystemet c udseendet:
Vektorer i plnen (3.) + c y x Pointen er nu den, t opfttet som en vektorligning, kn ligningssystemet løses ved ren vektorregning. Multiplicerer vi nemlig ligningen sklært med tværvektoren, finder mn + c y x 0, d de er ortogonle ifølge definitionen på tværvektor. Hvis 0 ), det( 0 og ikke er prllelle, så hr ligningssystemet, netop en løsning y. (3.) ), det( ), det( c c y På helt tilsvrende måde, ved t multiplicerer ligningen sklært med tværvektoren til. + c y x ), det( ), det( ), det( ), det( ), det( ), det( c c c c y det(, ) kldes for ligningssystemets determinnt. Hvis determinnten er forskellig fr 0, hr ligningssystemet netop løsning, givet ved udtrykkene ovenfor. Opskrives løsningen ved hjælp f koordinter giver det x + y c x + y c Ligningssystemets determinnt D. Hvis D 0, hr ligningssystemet netop en løsning: c c y c c x At løse to ligninger med to uekendte på denne måde etegnes som determinntmetoden.
Vektorer i plnen 3 Eksempel. To ligninger med to uekendte Ld der være givet de to ligninger x -3y -4 -x +5y 7 3 Ligningssystemets determinnt er D 7 0, så ligningssystemet hr netop en løsning 5 4 3 7 5 x y 7 7 4 7 7 0 7 4. Koordinttrnsformtioner Vi vil se på koordinttrnsformtioner ved rottioner i plnen. Nedenfor er vist to koordintsystemer med smme egyndelsespunkt, men hvor det ene koordintsystem er drejet en vinkel θ i forhold til det ndet. Bsisvektorerne i de to koordintsystemer fremgår f figuren. y y x j j i θ i x D i er en enhedsvektor med retningsvinkel θ, hr den koordinterne i (cosθ, sinθ). j er tværvektoren til i, så j (-sinθ, cosθ). Der gælder ltså i j cosθ i + sinϑ j sinθ i + cosϑ j I det lmindelige koordintsystem hr punktet P og dermed stedvektoren mens P i det roterede koordintsystem hr koordinterne (x,y ). OP koordinterne (x,y), OP Indsættes udtrykkene for i til i og j finder mn x i + y j og OP x i + y j og j i den sidste f ligningerne, og smles leddene med hensyn
4 Vektorer i plnen OP ( x x x cosϑ y cosϑ y sinϑ) i + ( x sinϑ og y x sinϑ + y sinϑ + y cosϑ) j cosϑ Hvorf fremgår Hvis ligningerne løses på sædvnligvis med hensyn til x og y får mn til slut de ønskede trnsformtionsformler (4.) x x cosϑ + y sinϑ og y x sinϑ + y cosϑ Mn hr trdition for t skrive trnsformtionsformlerne på mtrixform. Førstekoordinten i søjlen til venstre får ved t gnge (som ved et sklrprodukt) første række i mtricen med søjlen til højre, og sådn fremdeles. x cosϑ sinϑ x (4.) y sinϑ cosϑ y
Vektorer i plnen 5 Indeks. Determinnt for et vektorpr...7 Additionsformlerne...4 relet f prllelogrm...8 ssocitiv... sisvektorer...6 Cosinus og sinus til den doelte og hlve vinkel...5 Cosinus-reltionen... determinntmetoden... differensvektoren...3 Drejningsvinkel...8 egentlig vektor... enhedsvektor... ensrettede vektorer... For multipliktion f vektor med tl regneregler...4 indskudsreglen...3 kommuttiv... koordinttrnsformtioner...3 Liniers skæring... Længde f vektor... medinernes skæringspunkt...8 normlvektor... nulvektor... opløsning f en vektor efter to givne retninger...5 ortogonle enhedsvektorer...6 ortogonle vektorer... prllelforskydning... pil... Projektion f liniestykke på linie....8 Projektion f vektor på vektor...3 repræsentnt... retningsvektor... rottioner i plnen...3 Skrlrprodukt...0 stedvektor...6 sumvektor... To ligninger med to uekendte... trnsformtionsformlerne...4 trekntsuligheden... Tværvektor...6 vektor... Vektorers koordinter...6 Vektors længde...6