Matematikkens filosofi filosofisk matematik
|
|
- Steffen Fog
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Naturvidenskabsfestival, September 2012 Dias 1
2 Et svært spørgsmål Hvad er matematik? Matematik er læren om strukturer og sammenhænge der kan diskuteres på et abstrakt grundlag og via ræsonneren føre til præcise udsagn. Dias 2
3 antydninger af en diskussion abstrakt? Det passer da ikke! Således optræder tallene, f.eks. 2, i matematikken, og det er da noget ganske konkret?...hmmm... men så er matematik ikke en naturvidenskab! for i naturvidenskaberne søger vi sandheden om den fysiske verden, vi er anbragt i. Dias 3
4 Matematik, hvorfor egentlig? Der er to grunde til at beskæftige sig med matematik: som et middel til at opnå erkendelse på andre felter, som erkendelse i sig selv. Dias 4
5 Hvad indgår i matematik? Matematikken har tre bestanddele: Mængdelæren: et sæt genstande, mængder, for vor ræsonneren, Matematisk logik: et regelsæt for vor ræsonneren, Det æstetiske element, skønheden... Vi forlader matematikkens filosofi og ser på et eksempel på matematik, hvor filosofiske betragtninger spiller en stor rolle, filosofisk matematik: Dias 5
6 Dias 6
7 verden og dig Det hele er verden, Ω. Situationer fra verden vedrører Naturen og Iagttager, dig! Naturen har ingen bevidsthed det har du! Naturen er ikke kreativ det er du! Naturen er bærer af sandheden, x, du søger sandheden, men er henvist til tro, y. Med erfaring kommer viden, erkendelse, z. En anden opfattelse af viden: sådan opfatter du sandheden! perception Dias 7
8 eksempler på situationer Naturfænomener: vejret i morgen, kommer tsunamien? Fysik: tilstanden af en gas i et varmebad,... Sundhed: virker pillen? kommer der en epedemi?... Samfund, økonomi: kursernes udsving... Den religiøse sfære: forholdet mellem Vorherre og dig,... Personlige forhold: elsker hun mig?... Litteraturen: Daphne myten... Psykologi: udfyldning, placebo effekt Spil: hvor mange øjne? er terningen ægte?... Dias 8
9 eksempler på verdener Antagelse: Viden afledes af sandhed og tro tilsammen, idet der findes en funktion Π, vekselvirkeren eller interaktoren således, at z = Π(x, y). Eksempler: Den klassiske verden Ω 1 er karakteriseret ved at z = x, det, du ser, er det, der er sandt! Et sort hul Ω 0 er karakteriseret ved at z = y, det, du ser, er det, du tror! Blandinger, f.eks. Ω 3 4 svarende til z = 3 4 x y. Dias 9
10 Dias 10 Score-funktioner I enhver situation (x, y) indebærer det et besvær at nå frem til viden (z). Anden sprogbrug: Vi må betale en pris for at score den viden, der kan opnås i situationen. Lad F(x, y) betegne denne pris. Vi kalder F en score-funktion og siger, at F er en ren score-funktion, hvis besværet er mindst når tro matcher sandhed, dvs. når der for alle x og y gælder, at F(x, y) F(x, x) med lighedstegn kun når y = x. (Iøvrigt: F(x, x) er entropien af x. Så entropi er minimalt besvær.) Hovedopgave: Bestem en ren score-funktion og udtænk en tilhørende score-strategi der sikrer, at besværet (den pris, der skal betales) i en given situation er højst F(x, y). Men hvordan? Det afhænger af den verden, vi befinder os i. Lad os se på verdener, hvor sandhed og tro udtrykkes i sandsynligheder:
11 Dias 11 Verdener baseret på sandsynlighed Verdener, hvor situationer er bestemt ved sandsynligheder over et alfabet. Skematisk: A sandhed tro viden i x i y i z i Husk: z er givet ved (x, y) gennem vekselvirkeren Π. Antag nu, at denne virker lokalt. Så findes en funktion π, den punktvise vekselvirker eller interaktor, som virker på de enkelte punktsandsynligheder og så kan vi ovenfor sætte z i = π(x i, y i ). I den klassiske verden er den punktvise vekselvirker funktionen π 1 givet ved π 1 (s, t) = s og i et sort hul er den punktvise vekselvirker funktionen π 0 givet ved π 0 (s, t) = t.
12 din kreativitet sætter ind! Lys idé: Glem i første omgang det med en score-strategi og fokusér på at det samlede besvær er summen af bidrag fra de enkelte udfald; besværet svarende til et enkelt udfald i er proportional med z i = π(x i, y i ) der er den vægt med hvilken jeg, iagttageren, opfatter udfaldet; ud over denne proportionalitet afhænger besværet svarende til i kun af den troede sandsynlighed y i. Så findes en funktion κ, koderen, så det samlede besvær, score-funktionen, er givet ved F(x, y) = i Aπ(x i, y i )κ(y i ). Dias 12
13 opsummering: F(x, y) = i A π(x i, y i )κ(y i ) A x y z besvær (pris, energi...) i x i y i z i = π(x i, y i ) z i κ(y i ) = π(x i, y i )κ(y i ) Om κ forlanger vi, at κ(1) = 0 (valg af nulpunkt) og at κ (1) = 1 (valg af enhed). κ : [0, 1] [0, ], knytter til en given værdi af t (den sandsynlighed, du tror, et udfald har) det besvær, κ(t), du er villig til, eller nødt til, at acceptere for at finde frem til udfaldet. Anden sprogbrug: κ(t) er den pris, du er villig til at betale for at få information om at en hændelse er indtruffet, som funktion af hændelsens sandsynlighed t. Dias 13 OBS: κ skal bestemmes, så den tilhørende score-funktion F er en ren score-funktion. Lad os se på det:
14 bestemmelse af κ i den klassiske verden Vi gætter! Skal finde κ, så det for alle sandsynlighedsvektorer x og y gælder, at summen F(x, x) er summen F(x, y), se skema: A x y bidrag til F(x, x) bidrag til F(x, y) 1 x 1 y 1 x 1 κ(x 1 ) x 1 κ(y 1 ) 2 x 2 y 2 x 2 κ(x 2 ) x 2 κ(y 2 ) i x i y i x i κ(x i ) x i κ(y i ) sum 1 1 F(x, x) F(x, y) Et trick: Vis i stedet, at summen F(x, x)+1 er summen F(x, y)+1, se skema: Dias 14
15 A x y bidrag til F(x, x)+1 bidrag til F(x, y)+ 1 1 x 1 y 1 x 1 κ(x 1 )+x 1 x 1 κ(y 1 )+y 1 2 x 2 y 2 x 2 κ(x 2 )+x 2 x 2 κ(y 2 )+y 2 i x i y i x i κ(x i )+x i x i κ(y i )+y i sum 1 1 F(x, x)+1 F(x, y)+ 1 Satser på at dette endog gælder ledvist, dvs. at sκ(s)+s sκ(t)+t (1) gælder for alle 0 s 1 og alle 0 t 1. Hold først s fast. Højre-siden i (1) er en funktion af t med mindsteværdi for t = s; derfor er der stationært punkt for t = s, dvs. sκ (s)+1 = 0. Dette gælder alle s og bestemmer dermed en differentialligning. Løsningen med κ(1) = 0 er funktionen κ(t) = ln 1 t. Dias 15
16 ... fortsat... Vi har gættet en κ-funktion og dermed en score-funktion! Men er det en ren score-funktion? Vi checker: Er sκ(s)+s sκ(t)+t? eller: er eller: er s ln 1 s + s s ln 1 t + t? s ln t s t s? JA! det følger af den velkendte ulighed ln x x 1. Vi konkluderer: I den klassiske verden Ω 1 er F givet via κ : t ln 1 t den entydigt bestemte rene score-funktion! Dias 16
17 ...og hvad med score-strategien? Det kan jeg kun antydningsvis komme ind på. En anden gang måske... Det har noget med koder at gøre og også med beskrivelse: Den, der kan beskrive verden, behersker verden! Vores enhed er naturlige enheder, nats. Skifter vi til binære enheder, bits, kan vi beskrive ved hjælp af binære koder, strenge af 0 er og 1 er. Og så kan besvær (pris) måles i antallet af binære cifre der skal til for at beskrive (kode) de enkelte udfald.... Skemaet næste side må være nok som antydning. Dér ser vi på det stokastiske fænomen, der består i tilfældigt at udvælge et bogstav i Dickens roman to byer. Der er vist to strategier, en dårlig (konstant kodeordslængde) og en smart svarende til en ren score-funktion. Dias 17
18 Letter frequency fixed length Huffman code ideal word length word length length a % b % c % d % e % f % g % h % i % j % k % l % m % n % o % p % q % r % s % t % u % v % w % x % y % z % total = % mean = 5.00 mean = 4.19 H = 4.16 Dias 18
19 tabel i uddrag Letter frequency fixed length Huffman code word length word length le a % b % c % d % e % f % g % h % i % j % k % Tak for nu! Dias 19
Om sandhed, tro og viden
Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf
Læs mereu n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n Slide 1/26
Slide 1/26 Faculty of Science Om Sandhed, Tro og Viden i Naturvidenskaberne Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Foredrag under Forskningens Døgn, 23-24
Læs mereDM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design
DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereFormål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1
Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik
Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereEpidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF
Matematik Epidemi Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Denne artikel er skrevet som den matematiske teori til beskrivelse af udvikling af en epidemi i en befolkning. Den matematiske model indeholder
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereJ E T T E V E S T E R G A A R D
BINOMIALT EST J E T T E V E S T E R G A A R D F I P B I O L O G I M A R S E L I S B O R G G Y M N A S I U M D. 1 3. M A R T S 2 0 1 9 K A L U N D B O R G G Y M N A S I U M D. 1 4. M A R T S 2 0 1 9 HVEM
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereKolb s Læringsstil. Jeg kan lide at iagttage og lytte mine fornemmelser 2. Jeg lytter og iagttager omhyggeligt
Kolb s Læringsstil Denne selvtest kan bruges til at belyse, hvordan du lærer bedst. Nedenfor finder du 12 rækker med 4 forskellige udsagn i hver række. Du skal rangordne udsagnene i hver række, sådan som
Læs mereVINCENT HENDRICKS: VI ER NØDT TIL AT DROPPE DET MEGET LEMFÆLDIGE FORHOLD TIL INFORMATION
VINCENT HENDRICKS: VI ER NØDT TIL AT DROPPE DET MEGET LEMFÆLDIGE FORHOLD TIL INFORMATION 08.12.2013 Hvis man har et alt for lemfældigt forhold til sandhed, så har man også et alt for lemfældigt forhold
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt
Læs mereMedicotekniker-uddannelsen 25-01-2012. Vejen til Dit billede af verden
Vejen til Dit billede af verden 1 Vi kommunikerer bedre med nogle mennesker end andre. Det skyldes vores forskellige måder at sanse og opleve verden på. Vi sorterer vores sanseindtryk fra den ydre verden.
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereCitater fra: Af Jes Dietrich
Citater fra: Hjertet og Solar Plexus Erindringens Tale Balancepunktet Af Jes Dietrich Dit liv er en stor proces af valg med det formål at udvikle dig selv og elske dig selv mere. Den dag du ikke behøver
Læs mereVejledning til skema om kompetencebeskrivelse til brug ved lønforhandling og evt. MUS. (HK-kontor)
Vejledning til skema om kompetencebeskrivelse til brug ved lønforhandling og evt. MUS. (HK-kontor) Deadline for indsendelse af skemaet er den 10. april 2007 og skemaet skal sendes til fællestillidsrepræsentant
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereMatematik, dannelse og kompetencer. Mogens Niss, IMFUFA/INM Roskilde Universitet
Matematik, dannelse og kompetencer Mogens Niss, IMFUFA/INM Roskilde Universitet Indledning Begrebet dannelse er endnu dårligere defineret end demokrati. Det bliver ikke nemmere med almendannelse. Enhver
Læs meredagens fokus & formål gør det vigtigste
Daisy Løvendahl Personlig rådgiver dagens fokus & formål gør det vigtigste www.daisylovendahl.dk #1. Vær til stede i hver dag Om dagens fokus og formål Hver morgen begynder en ny dag, som er din til at
Læs mereNordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen
Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater
Læs mereLidt historisk om chancelære i grundskolen
Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Læs mere1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.
NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er
Læs mereSurrealisme - Drømmen om en overvirkelighed
Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed Undervisningsmateriale 8.-10. klasse Malerier på grænsen mellem verdener En gruppe kunstnere i 1920ernes Paris troede fuldt og fast på, at man igennem kunsten
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereRasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling
Rasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling Rasmus Rønlev CV i uddrag 2008: Cand.mag. i retorik fra Københavns Universitet 2008-2009: Skrivekonsulent
Læs mereExcel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008
Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Fredag den 25. januar 2013 kl. 1013 Alle hjælpemidler (computer, lærebøger, notater,
Læs mereMonotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereFortroligt dokument. Matematisk projekt
Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)
Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereKøbenhavns åbne Gymnasium Elevudsagn fra spørgeskemaundersøgelsen i 2q
Københavns åbne Gymnasium Elevudsagn fra spørgeskemaundersøgelsen i 2q 1.7 Overraskelser ved gymnasiet eller hf! Er der noget ved gymnasiet eller hf som undrer dig eller har undret dig? 20 Det har overrasket
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereSandsynlighed og kombinatorik
Sandsynlighed og kombinatorik Simpel sandsynlighed... 94 Kombinatorik... 95 Sandsynlighed og kombinatorik... 97 Kombinatorik og kugletrækning... 97 Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 93 Sandsynlighedsregning
Læs mereDen vanskelige samtale
Den vanskelige samtale Et arbejdsmateriale til den vanskelige samtale 1 Hvorfor er samtalen vanskelig? Din selvtillid Metoden Din fantasi Manglende tro på, at tingene bliver ændret Ingen klare mål for,
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereMIND THE COMPANY Udviklingskonsulent Lisbeth Brix Bøggild Mobil 21 67 85 11
MIND THE COMPANY Udviklingskonsulent Lisbeth Brix Bøggild Mobil 21 67 85 11 Velkommen En appetizer på mindfulness Ikke at smage på et enkelt måltid er ingen katastrofe.. Men det er det til gengæld, hvis
Læs mereGør dine elever aktive i diskussioner på klassen
Susanne Bøgeløv Storm ALLE Gør dine elever aktive i diskussioner på klassen med vurderingsøvelser om forfatteren Susanne Bøgeløv Storm leder og indehaver af Æstetisk Læring Susanne er undervisningskonsulent,
Læs mereAf Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Læs mereTalentCamp Sønderjylland 2015 Kolding Realskole
TalentCamp Sønderjylland 2015 Kolding Realskole 09. - 12. januar 2015 TALENTCAMP SØNDERJYLLAND 2015 TalentCampDK afholder TalentCamp for talentelever i 8. og 9. klasse på Kolding Realskole den 09. 12.
Læs mereTilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereHALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mere#1 Her? MANDEN Ja, det er godt. #2 Hvad er det, vi skal? MANDEN Du lovede, at du ville hjælpe. Hvis du vil droppe det, skal du gå nu.
VENTETIDEN af Sigrid Johannesen Rummet oplyses af lommelygter de to KVINDER og bevæger sig ind på scenen med tændte lommelygter, hviskende og søgende efter et endnu ukendt sted. De når til en mur. Her?
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereSandsynlighed og kombinatorik
Sandsynlighed og kombinatorik Indholdsfortegnelse... 1 Simpel sandsynlighed... 2 Kombinatorik... 4 Sandsynlighed ved hjælp af kombinatorik... 7 Udregningsark... 8 side 1 Simpel sandsynlighed 1: Du kaster
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereDagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Læs mereGuide til lektielæsning
Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs merePå opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik
københavns universitet På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik Rune Johansen Ørsted 14. november, 2018 Dias 1/23 Overblik 1 Eksperimentel matematik? 2 Visualisering
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs mereugepraksis et billede på dit liv
Daisy Løvendahl Personlig rådgiver ugepraksis et billede på dit liv www.daisylovendahl.dk #1. En guide til refleksion og handling Om ugepraksissen Denne ugepraksis er resultatet af megen refleksion og
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereUndervisningsvurdering 2012 Vejstrup Efterskole.
Undervisningsvurdering 2012 Vejstrup Efterskole. Indledning: Da vi i skoleåret 2011/12 har fokuseret ekstra meget på vores boglige profil, har vi valgt at oprette fem boglige linjer. Disse linjer er produktet
Læs mereSTUDIERETNINGER PÅ CG 2018
STUDIERETNINGER PÅ CG 2018 Generelt om CG s studieretninger: CG s ni studieretninger præsenteres på de følgende sider: tre naturvidenskabelige, tre sproglige, to samfundsfaglige og én kunstnerisk. Fælles
Læs mereDygtige pædagoger skabes på uddannelsen
Dygtige pædagoger skabes på uddannelsen Anna Spaanheden Stud.mag. i Læring og Forandringsprocesser Institut for Uddannelse, Læring og Filosofi Aalborg Universitet Abstract Denne artikel vil beskæftige
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Mandag den 11. august 008, kl.
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013
Matematik A Højere handelseksamen hhx133-mat/a-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereAnalyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereBilag til Skrivekulturer i folkeskolens niende klasse
Bilag til Skrivekulturer i folkeskolens niende klasse Bilag 1: Første Observationsskema Dato: Tidspunkt: Klasse: Lærer og fag: Observatør: Hvad? Hvorfor? Hvem? Indhold og emner Formål Publikum/modtager(e)
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereMundtlighed i matematikundervisningen
Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereWORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015
WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere1. Samarbejdsaftale Markér. 2. Dit liv lige nu Markér. 3. Imellem ideal og virkelighed Markér
1a. Forløbspapir Arbejdspapirer, der er udfyldt (sæt /) og drøftet (sæt\) 1. Samarbejdsaftale Markér 1a. Invitation til samarbejde 1b. Aftaleark Problemlister Problemer, der arbejdes med nu Afslutningsaftale
Læs mereScience og matematisk opmærksomhed i pædagogisk praksis. Adjunkt, ph.d. Linda Ahrenkiel, UCL Ph.d.-studerende Stine Mariegaard, SDU
Science og matematisk opmærksomhed i pædagogisk praksis Adjunkt, ph.d. Linda Ahrenkiel, UCL Ph.d.-studerende Stine Mariegaard, SDU Kort om Linda Uddannet cand.scient i kemi Ph.d.-grad inden for naturfagsdidaktik
Læs merePrevalens af navnet Lars i det danske folketing
Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Ege Rubak Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 18. januar 011 Som udgangspunkt oplyses det fra Danmarks Statistik at der er 46.440 personer der
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mere