Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik"

Transkript

1 Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde, samt hvordan man beregner sandsynligheden for at noget indtræffer. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale principper og idéer til hvordan man løser kombinatorikopgaver med fokus på 1. runde af. For at blive god til 1. runde er det allervigtigste at løse mange opgaver, og derfor er der også en masse opgaver hvor mange har været stillet som opgaver til 1. runde. Til 1. runde af er de første ti opgaver multiple choice-opgaver med fem svarmuligheder, mens de sidste ti opgaver skal besvares med et positivt helt tal. Derfor er opgaverne her en blanding af multiple choice-opgaver og opgaver hvor facit er et positivt helt tal. Der er løsningsskitser til alle opgaver bagerst. Multiplikationsprincippet Hvis man for at vælge noget først har n valgmuligheder, og derefter for hvert af disse yderligere har m valgmuligheder, så har man samlet n m valgmuligheder. Man ganger altså antallet af valgmuligheder sammen. Det samme princip gælder hvis man har flere end to delvalg. Eksempel Hvis man hver dag til morgenmad har tre forskellige slags morgenmadsprodukter at vælge imellem, så skal man i løbet af en uge træffe syv valg hvor man hver gang har tre valgmuligheder. Der er altså i alt 3 7 forskellige kombinationer af ugens morgenmad. Eksempel I et blomsterbed skal der plantes fem blomster på række, og der er tre forskellige slags blomster at vælge imellem. Hvor mange forskellige muligheder er der for at vælge de fem blomster, når man ikke kun må plante den samme slags? For hver af de fem blomster der skal plantes, er der tre valgmuligheder. Dvs. hvis vi ser bort fra at vi ikke kun må plante en slags blomster, så er der 3 5. I tre af kombinationerne er der kun en slags blomster, dvs. svaret er = 20. Tællestrategi Når man skal tælle hvor mange blandt nogle kombinationer der opfylder en bestemt betingelse, skal man altid overveje om det er nemmest at tælle dem der opfylder betingelsen, eller dem der ikke gør. Eksempel Til en multiple choice-konkurrence er der ti spørgsmål hver med svarmulighederne A, B, C, D og E. På hvor mange måder kan man svare på de ti spørgsmål så der er mindst to spørgsmål i træk hvor man har sat kryds ved samme svarmulighed? Her er det meget nemmere at tælle på hvor mange måder man kan sætte krydserne, så man ikke har svaret det samme på to spørgsmål i træk, og derefter trække det fra det samlede antal svarmuligheder. Der er 5 10 svarmuligheder i alt, og der er 5 9 kombinationer hvor der ikke svares det samme på to på hinanden følgende spørgsmål, fordi vi har fem muligheder for at svare på spørgsmål 1, og derefter fire muligheder for at svare på hvert af de følgende spørsmål, da vi blot ikke må svare det samme som på det foregående. Dermed er der i alt måder at svare på de ti spørgsmål så at der findes to på hinanden følgende spørgsmål hvor man har svaret det samme. Opgave 1. På hvor mange måder kan nedenstående skema fyldes ud med kryds og boller? Eksempel: A) B) 2 9 C) 2 9 D) 9 2 E)

2 Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Opgave 2. En perleplade består af 8 8 perler. Anders har fem forskellige farver perler. Hvor mange forskellige perleplader kan Anders lave når han vil have at den yderste kant er ensfarvet? A) 5 37 B) 37 5 C) D) 3 5 E) Opgave 3. En eller flere af de kedelige grå fliser i det viste område skal hver især erstattes med en gul eller en sort flise. Hvor mange forskellige muligheder er der for det nye udseende af fliseområdet? A) 1 15 B) C) D) E) 31 Opgave. Hvor mange forskellige syvcifrede positive heltal findes der som ikke indeholder cifferet 7? A) 9 7 B) C) 8 9 D) 10 7 E) Opgave 5. Hvor mange forskellige trecifrede positive heltal findes der som indeholder cifferet 7? Opgave. Ved et binært ord af længde n forstås en serie på n cifre som hver er enten 0 eller 1. Ved afstanden mellem to binære ord af samme længde forstås antallet af pladser hvor de to ord afviger. Eksempelvis er afstanden mellem de to ord og lig med 3. Hvor mange binære ord af længde seks har afstanden højst fra ordet ? I kombinatorik ønkser man ofte at bestemme antallet af måder man kan udtage noget på i en bestemt rækkefølge. Eksempel Til et stævne er der 1 hold der kæmper om guld, sølv og bronze. Når man skal bestemme på hvor mange forskellige måder medaljerne kan fordeles, har man 1 muligheder for at uddele guld, 13 for sølv og 12 for bronze, dvs. der er i alt måder at fordele medaljerne på ifølge multiplikationsprincippet. Generelt kan man stille n ting i rækkefølge på n (n 1) (n 2) måder da man først har n muligheder for at vælge hvad der skal først, derefter n 1 muligheder for at vælge det næste, osv. Opgave 7. Seks børn leger En stol for lidt hvor der står fem stole på række, og børnene skal skynde sig at sætte sig på en stol så snart musikken stopper. På hvor mange forskellige måder kan børnene sidde på stolene når der sidder præcist et barn på hver stol? Opgave 8. Som password til et diskussionsforum om datasikkerhed har en person brugt de ni bogstaver GEORGMOHR, dog i en anden rækkefølge - som han desværre har glemt. Han husker kun at M var det første bogstav, at H var det sidste, og at ens bogstaver stod lige efter hinanden. Hvor mange muligheder giver det? Sandsynlighed Hvis man skal beregne sandsynligheden for at trække et tal der er deleligt med når man trækker et tilfældigt tal blandt tallene 1, 2, 3,..., 17, så ved at man at de 17 udfald alle er lige sandsynlige, og at man kun er interesseret i af dem (nemlig, 8, 12, 1), og dermed at sandsynligheden er. 17 Når man har en række lige sandsynlige udfald og skal bestemme sandsynligheden for at få nogle bestemte af disse, så er sandsynligheden altså antal gunstige antal mulige. 2

3 Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Hvis man derimod skal beregne sandsynligheden for først at få en 1 er og derefter et lige tal når man kaster en sekssidet terning to gange, så er der først 1 sandsynlighed for at slå en 1 er, og derefter er sandsynlighed for at det næste slag er lige 3 = 1, dvs. den samlede 2 sandsynlighed er 1 1 = 1. Her ganger vi altså sandsynlighederne 2 12 sammen da vi både skal have en 1 er og derefter et lige tal. Opgave 9. De syv tal 3, 2, 1, 0, 1, 2 og 3 anbringes tilfældigt i de syv ringe. Hvad er sandsynligheden for at summen af tallene i de seks yderste ringe er 3? Eksempel Marie går ind i labyrinten ved, og ved hver forgrening slår hun plat og krone om hvilken gren hun skal vælge. Hvad er sandsynligheden for at hun kommer ud ved? For at bestemme sandsynligheden bemærker vi at Marie for at komme ud ved må have slået plat og krone fire gange, og at der for hver gang er sandsynlighed 1 for at hun vælger den rigtige vej. Da 2 vi i hvert af de fire kast skal slå noget bestemt, bliver den samlede sandsynlighed = A) 1 3 B) 1 C) 1 7 D) 1 9 E) 3 9 Opgave 10. Otte små almindelige terninger limes sammen til en større terning. Hvad er sandsynligheden for at ingen 1 ere er synlige? A) 1 8 B) 1 25 C) D) E) 1 3 Opgave 11. En mønt med diameter 1 kastes på et uendeligt kvadratnet bestående af kvadrater med sidelængde 1. Hvad er sandsynlig- 2 heden for at mønten lander helt inden for et af kvadraterne? Eksempel Hvis man skal beregne sandsynligheden for at få mindst en er hvis man kaster en almindelig sekssidet terning tre gange, er det nemmere at finde den modsatte sandsynlighed og trække den fra 1. Lidt ligesom vi før nogle gange talte det modsatte af det vi ønskede at tælle. Sandsynligheden for ikke at få en er i et kast er 5. Sandsynligheden for ikke at få en er i nogen af de tre kast er derfor 3 5 = 125, 21 og sandsynligheden for at få mindst en er i de tre kast er altså = A) 1 2 B) 1 C) 3 D) π E) π 2 Opgave 12. En skødesløs dansklærer og en ryggesløs matematiklærer giver karaktererne 3, 00, 02,, 7, 10 og 12 helt tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for at ingen i klassen (21 elever) får samme karakter i dansk og matematik? A) B) 9 C) D) E)

4 Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Opgave 13. De tre skiver snurres rundt uafhængigt af hinanden. Der er gevinst hvis en (eller, som i det viste eksempel, flere) af dem stopper ved M. Hvad er sandsynligheden for at der er gevinst? A) 1 3 M R O H B) 1 O H M R C) 3 D) 27 R M O H E) 37 Opgave 1. Ni små papbrikker nummereres med tallene 1, 2, 3,..., 9 og lægges i en pose. Posen rystes, og Marie stikker hånden ned i posen uden at kikke og tager to papbrikker op. Hvad er sandsynligheden for at både summen og produktet af de to udtrukne tal er ulige? A) 0 B) 1 C) 5 9 D) E) 1 Opgave 15. A og B spiller et terningespil med følgende regler: A kaster en terning. Hvis terningen viser 1 eller, har A vundet. Hvis den viser 2, 3 eller, har B vundet. Hvis den viser 5, skal A kaste den igen, men denne gang betyder 1 eller at B har vundet, hvorimod 2, 3, eller 5 betyder at A har vundet. Hvad er sandsynligheden for at A vinder dette spil? A) 1 3 Mere om at tælle B) 1 2 C) 2 3 D) 9 E) 5 De følgende opgaver er tidligere 1. rundeopgaver i kombinatorik hvor det primært gælder om at tænke logisk og tælle på en hensigtsmæssig måde. Opgave 1. Hvor mange forskellige eksamensspørgsmål skal en lærer mindst lave til et hold på 22 elever, når hvert spørgsmål må bruges op til tre gange, og når den sidste elev skal kunne vælge mellem mindst fire (ikke nødvendigvis forskellige) spørgsmål? Opgave 17. Anna har kastet en terning tre gange og fået tre forskellige øjental. Summen af disse øjental er 11. I første og tredje kast viste terningen et lige tal. Intet af kastene var en toer. Hvad viste terningen i andet kast? Opgave 18. Blandt de 20 elever i Maries klasse er der 13 der har været i Spanien, og 12 der har været i Italien. Fire af eleverne har hverken været i Spanien eller Italien. Hvor mange elever har både været i Spanien og Italien? Opgave 19. På hvor mange måder kan en gruppe på seks personer inddeles i to grupper på tre personer? Opgave 20. Peter har afkrydset et af felterne nedenfor med usynligt blæk. Hvor mange ja/nej-spørgsmål skal Marie stille for at være sikker på at kunne udpege det mærkede felt? Opgave 21. På fem kort er der trykt et symbol på hver side. Et af kortene har symbolet på den ene side og på den anden, et bærer symbolerne og, et har og, et har og, og endelig er der et med og. Jeg blander kortene og lægger dem ud i en række på bordet. Du ser symbolerne: Hvilket symbol er der på bagsiden af det midterste kort? A) B) C) D) E) Det kan ikke afgøres

5 Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Løsningsskitser Opgave 1 Svar: C. Da der for hvert af de ni felter er to valgmuligheder, er der i alt 2 9 forskellige måder at udfylde skemaet på. Opgave 2 Svar: A. For hver af de = 3 perler i midten er der fem farvemuligheder. Desuden er der fem farvemuligheder for kanten. Anders skal altså vælge mellem de fem farver 37 gange i alt, dvs. der er 5 37 forskellige måder at udfylde perlepladen på. Opgave 3 Svar: B. For hver af de 1 fliser har vi tre valgmuligheder, nemlig at beholde den grå eller at skifte til en gul eller en sort flise. Det giver i alt 3 1 kombinationer. Dog skal vi trække en fra da vi ikke må beholde alle de gamle grå fliser, men mindst skal udskifte en. Antallet er muligheder er derfor Opgave Svar: C. Det første ciffer må hverken være 0 eller 7, dvs. vi har 8 valgmuligheder for det første ciffer. For hvert af de efterfølgende seks cifre har vi 9 valgmuligheder da vi må vælge alle cifre på nær 7. Dermed er der 8 9 tal der opfylder det ønskede. Opgave 5 Svar: 252. For at tælle hvor mange trecifrede tal der indeholder cifferet 7, tæller vi i stedet antallet af trecifrede tal som ikke indeholder cifferet 7, og trækker det fra det samlede antal af trecifrede tal. Der er i alt = 900 trecifrede tal, og af disse indeholder = 8 ikke cifferet 7. Dermed er der = 252 trecifrede tal som indeholder cifferet 7. Opgave Svar: 57. For at tælle antallet af binære ord hvis afstand til højst er, tæller vi i stedet antallet af binære tal hvis afstand til er større end, dvs. er 5 eller. Dette antal trækkes derefter fra det samlede antal af binære ord af længde seks. Der er i alt 2 = ord af længde seks da der for hvert af de seks cifre er to valgmuligheder. Der er kun et binært ord af længde seks med afstand til , nemlig Der er seks binære ord af længde seks med afstand 5 til da der er seks muligheder for at vælge hvilket ciffer der skal være identisk med det tilsvarende ciffer i , hvorefter resten af cifrene er bestemt. Samlet er der 1 = 57 binære ord af længde seks hvis afstand til højst er. Opgave 7 Svar: 720. Der er seks muligheder for at placere et barn på den første stol, fem muligheder for den anden stol, osv. Der er altså i alt = 720 kombinationer. Opgave 8 Svar: 2. Mellem det første M og det sidste H skal GG, E, OO og RR placeres i en eller anden række følge. Det kan gøres på = 2 måder. Opgave 9 Svar: C. Summen af tallene i de yderste seks cirkler giver kun 3 når der står 3 i midten. Da der er syv tal der skal placeres i syv cirkler, er sandsynligheden for at 3 er i midten 1 7. Opgave 10 Svar: B. For hver terning er tre af de seks sider ikke synlige, dvs. for hver terning er sandsynligheden 3 = 1 for at 1 eren ikke 2 er synlig. Sandsynligheden for at ingen af de otte 1 ere er synlige, er 8 1 derfor 2 = Opgave 11 Svar: B. Mønten lander inden for kvadratet netop hvis centrum af mønten lander med en afstand på 1 eller mere fra en kant, dvs. netop hvis centrum af mønten lander i det midterste lille 1 1 kvadrat af kvadratet. Dette lille kvadrat har areal 1, dvs. alle 2 2 disse minikvadrater udgør tilsammen 1 af det samlede areal. Derfor er sandsynligheden for at mønten lander helt inden for et af kvadraterne 1. Opgave 12 Svar: E. Sandsynligheden for at en elev ikke får det samme i dansk som eleven har fået i matematik, er. Sandsynligheden for at dette sker for alle 21 elever, er derfor Opgave 13 Svar: E. I stedet for at beregne sandsynligheden for gevinst, udregner vi sandsynligheden for ikke at få gevinst og trækker den fra 1. For hver skive er sandsynligheden 3 for ikke at få M. Sandsynligheden for at ingen af skiverne lander på M er derfor ( 3 )3 = 27. Altså er sandsynligheden for at få gevinst 1 27 =

6 Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1 Svar: A. Hvis produktet af to hele tal er ulige, da er de begge ulige, og da er deres sum lige. Det er altså umuligt at trække to hele tal hvis sum og produkt begge er ulige. Derfor er sandsynligheden 0. Opgave 15 Svar: D. Sandsynligheden for at slå 1 eller er 1 3. Sandsynligheden for at slå 5 efterfulgt af 2, 3, eller 5 i næste kast er 1 = 1 9. Sandsynligheden for at A vinder er derfor = 9. Opgave 1 Svar: 9. Efter at de første 21 har trukket, skal der være mindst fire spørgsmål tilbage, dvs. der skal være mindst 25 spørgsmål i alt. Da hvert spørgsmål højst må indgå tre gange, skal der laves mindst 9 spørgsmål fordi 3 8 < Opgave 17 Svar: 1. Da tallene som terningen viste i første og tredje kast, var lige, forskellige og ikke 2, må de have været henholdsvis og. I det andet kast viste terningen derfor 1 da summen af de tre tal var 11. Opgave 20 Svar:. Når man stiller et ja/nej-spørgsmål, kan man højst være sikker på at udelukke halvdelen af svarmulighederne. Marie kan altså ved første spørgsmål højst være sikker på at udelukke 8 af de 1, osv., dvs. hun skal mindst stille spørgsmål. På den anden side kan hun ved hver gang at spørge om det mærkede felt er blandt en bestemt halvdel af de felter hun ikke allerede har udelukket, netop udelukke halvdelen hver gang, og hun identificerer på denne måde det mærkede felt efter netop spørgsmål. Opgave 21 Svar: B. Da to ud af de fem kort viser, og der kun er to kort med, må disse to kort ligge på plads 2 og. Nu er der yderligere to kort der viser, og der er kun to kort med tilbage. De må derfor ligge på plads 1 og 5. Det midterste kort er derfor kortet -, dvs. på bagsiden er der. Opgave 18 Svar: 9. Der er 20 = 1 elever der har været i Spanien eller Italien. Der er = 25 elever der har været i Spanien eller Italien hvis de elever der har været i begge lande, tælles dobbelt. Derfor er der 25 1 = 9 elever der har været i begge lande. Opgave 19 Svar: 10. Når vi skal inddele de seks personer A, B, C, D, E og F i to grupper, skal vi vælge hvilke to personer A skal være sammen med. Der er fem muligheder for at vælge den første og fire muligheder for at vælge den anden. Dvs. i alt 20 muligheder. Problemet er at vi faktisk har talt hver kombination med to gange. Der er jo ikke forskel på fx først at vælge B og så derefter C, eller først at vælge C og derefter B. Der er altså i alt 10 muligheder for at vælge de to personer A skal være sammen med, og dermed er der 10 måder at inddele seks personer i to grupper. (Husk at hvis du tæller på hvor mange måder man kan vælge tre ud af seks, så får du 20, men så har du også talt hver kombination med to gange, da fx det at vælge A, B og C giver de samme grupper som at vælge D, E og F.)

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december 1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Format FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx.

Format FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Side Format Træningshæfte klasse Tæl ting Side FCITLISTE Side Skriv tallene Talforståelse. Marker med krydser antallet af blomster og deres blade, bier og deres vinger samt biller og deres ben. I I I.

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Filtmåtter med de 120 hyppige ord

Filtmåtter med de 120 hyppige ord VEJLEDNING TIL Fodspor Filtmåtter med de 120 hyppige ord Med bogen På sporet af ordet fang tyven, opgaveæsken og app en På sporet af ordet, Turbo-ord, sækkekort, Læs Lydret bøgerne, gulvtæppet og filtmåtterne

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Demoopgaver for 4. og 5. klassetrin 60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Astrid skal indsætte cifferet 3 i tallet 2014, så hun får et 5-cifret tal. Hvor skal hun

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december 1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Erik Bjerre og Pernille Pind. Plat og krone F O R L A G E T PIND OG BJERRE

Erik Bjerre og Pernille Pind. Plat og krone F O R L A G E T PIND OG BJERRE Erik Bjerre og Pernille Pind Plat og krone F O R L A G E T PIND OG BJERRE Erik Bjerre og Pernille Pind Plat og krone F O R L A G E T PIND OG BJERRE Mennesker har altid fordrevet tiden med forskellige former

Læs mere

Deskriptorspil. Navn Klasse Dato Statistik og sandsynlighed

Deskriptorspil. Navn Klasse Dato Statistik og sandsynlighed 9.0 Deskriptorspil Klip de 6 brikker ud, og del dem ligeligt. Læg kortene foran jer i en bunke med bagsiden opad. Tag hver det øverste kort fra bunken. Den ældste begynder med at vælge kategori fx typetal.

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Lille Georgs julekalender december. Bogstaverne i det gamle nissesætteri skal ordnes efter type. Her ses typebetegnelsen

Lille Georgs julekalender december. Bogstaverne i det gamle nissesætteri skal ordnes efter type. Her ses typebetegnelsen 1. december Bogstaverne i det gamle nissesætteri skal ordnes efter type. Her ses typebetegnelsen på nogle af de første bogstaver: 3-0 1-2 0-1 1-1 4-0 3-0 1-1 Angiv typebetegnelsen på?-? 2. december Hvor

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence 60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Hvilket trafikskilt har flest symmetriakser? D 2 På Lisas køleskab holdes nogle postkort fast af 8 stærke magneter. magnet

Læs mere

Indhold. Servicesider. Testsider

Indhold. Servicesider. Testsider Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Faglige mål: Aktivitetens formål er at give eleverne en forståelse af titalssystemets opbygning samt at lære dem tallene op til 100.

Faglige mål: Aktivitetens formål er at give eleverne en forståelse af titalssystemets opbygning samt at lære dem tallene op til 100. TITALSSYSTEMET SIG TALLET Talfliser (1-9) 15-30 elever Aktivitetens formål er at give eleverne en forståelse af titalssystemets opbygning samt at lære dem tallene op til 100. Ni elever udstyres hver med

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Rev. 12.10. 2015. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil

Rev. 12.10. 2015. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil Rev. 12.10. 2015 Spilleregler Bånd oversigt Gevinst oversigt Featurespil Spilleregler: Bånd oversigt: Indsatsen vælges ved at logge på en automat med den ønskede indsats: 50 øre, 1 krone eller 5 kroner

Læs mere

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

BlackJack. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information BlackJack Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11

2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11 Lærer. Pernille Holst Overgaard Lærebogsmateriale. Format 2 Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 33-36 Elevbog s. 2-11 Additions måder. Vi kende forskellige måder at Addition arbejder med addition

Læs mere

Black Jack (21): Sådan spiller man Black Jack. 1. Formålet er at komme så tæt på summen 21 som muligt. Man må ikke overskride 21.

Black Jack (21): Sådan spiller man Black Jack. 1. Formålet er at komme så tæt på summen 21 som muligt. Man må ikke overskride 21. Indhold Black Jack (21):... 3 Whist... 4 Bismarck... 5 Rummy (500)... 6 Casino... 7 Spar Dame... 8 Ruder Syv... 9 Gammel Jomfru... 10 Olsen... 12 Snyd... 13 29... 14 31... 15 Gris... 16 Normale spil Black

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Rev. 11.04.2014. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil

Rev. 11.04.2014. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil Rev. 11.04.2014 Spilleregler Bånd oversigt Gevinst oversigt Featurespil Spilleregler: Bånd oversigt: Indsatsen vælges ved at logge på en automat med den ønskede indsats. 50 øre 1 krone eller 5 kroner pr.

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt

Læs mere

Spil banko. Spil lotto. Række 3. Række 1. Antal rigtige: Række 4. Række 2. skrives tallene på lottokuponen og antallet af rigtige noteres.

Spil banko. Spil lotto. Række 3. Række 1. Antal rigtige: Række 4. Række 2. skrives tallene på lottokuponen og antallet af rigtige noteres. 14 Spil banko 1 5 6 10 11 15 16 20 21 25 26 30 1 5 6 10 11 15 16 20 21 25 26 30 15 Spil lotto Række 1 Række 2 Tal i hverdagen 14. Udfyld de hvide felter på bankopladerne med tal fra 1-30. Har man et af

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Pangea-Dysten. Opgavebog. Forrunde Klasse

Pangea-Dysten. Opgavebog. Forrunde Klasse Pangea-Dysten Opgavebog Forrunde 2015 8. Klasse Pangea-Dysten kan nu findes på de sociale medier. Følg os på de forskellige sociale medier. Følg os for at de nyeste informationer. I kan finde os på Facebook

Læs mere

REGLEN: Et SÆT er tre terninger, hvor den enkelte egenskab er den samme på alle tre ELLER egenskaberne er forskellige på alle tre terninger.

REGLEN: Et SÆT er tre terninger, hvor den enkelte egenskab er den samme på alle tre ELLER egenskaberne er forskellige på alle tre terninger. SET CUBED A Curious Game of Clever Connections Spilleregler Para instrucciones en Español por favor visiten www.setgame.com Pour des instructions en Français veuillez visiter www.setgame.com Für Spielanleitungen

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information AMERIKANSK ROULETTE Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Lærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet:

Lærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet: Lærervejledning Få ord på trafikken! Har jeres skole en trafikpolitik? Hvis ikke, kan et spil TrafikPanik være det første skridt. Her kan du læse om spillet, og hvordan du bruger det i trafikundervisningen.

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Ude/inde 2.-9. klasse matematik (kan udvikles til andre fag) Talsalat

Ude/inde 2.-9. klasse matematik (kan udvikles til andre fag) Talsalat Ude/inde 2.-9. klasse matematik (kan udvikles til andre fag) Talsalat Alle deltagere står i en rundkreds med en person i midten. Alle deltagere i kredsen har en plads, enten ved et kryds på jorden, en

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Nogle eksempler til debat. Lektor Bent Lindhardt UCSJ

Nogle eksempler til debat. Lektor Bent Lindhardt UCSJ Nogle eksempler til debat Lektor Bent Lindhardt UCSJ 27-09-2015 Lektor Bent Lindhardt UCSJ 27-09-2015 Regnestrategier 7. - 9. klasse Eleverne går sammen to og to. Hvert par udstyres med en skumbold eller

Læs mere

120 ords-tæppet. På sporet af ordet

120 ords-tæppet. På sporet af ordet 120 ords-tæppet På sporet af ordet I denne vejledning kan du finde idéer og inspiration til, hvordan du kan bruge 120 ords-tæppet i arbejdet med at få automatiseret de 120 hyppige ord med afsæt i leg og

Læs mere

Side 1 af 8. Vejledning

Side 1 af 8. Vejledning Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:

Læs mere

(Positions) Talsystemer

(Positions) Talsystemer (Positions) Talsystemer For IT studerende Hernik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...2 Positions talsystem - Generelt...3 For decimalsystemet gælder generelt:...4 Generelt for et posistionstalsystem

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting:

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Tidlig matematik, Workshop 10. februar 2016 Aktiviteter Hvad er matematik? Gæt hvor mange og hvad Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Hvad er i beholderen?

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2009. 1. december. Bogstaverne i det gamle nissesætteri skal ordnes efter type. Her ses typebetegnelsen

Lille Georgs julekalender 2009. 1. december. Bogstaverne i det gamle nissesætteri skal ordnes efter type. Her ses typebetegnelsen 1. december Bogstaverne i det gamle nissesætteri skal ordnes efter type. Her ses typebetegnelsen på nogle af de første bogstaver: 3-0 1-2 0-1 1-1 4-0 3-0 1-1 Angiv typebetegnelsen på?-? Svar: 3-0 Kommentar:

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Fallit Du går fallit og udgår af spillet, når du ikke kan betale de penge, du skylder.

Fallit Du går fallit og udgår af spillet, når du ikke kan betale de penge, du skylder. WORLD CEO OM SPILLET I WORLD CEO skal du: - opkøbe lande - investere i aktier og få dine aktiekurser til at stige - handle med lande, aktier og andre værdier med de øvrige spillere - konkurrere med dine

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere