Med CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12.
|
|
- Ingvar Olsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Med CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12. Det er min rapport om, hvordan en formelregner kan postmodernisere matematik C, så det bliver tilgængeligt for alle. Rapporten findes på og den tilhørende video kan ses på YouTube, Postmoderne tænkning er skeptisk over for skjult formynderi i form af vedtægter præsenteret som natur, og søger at afdække skjulte alternativer til sådanne, formelt kaldet at afdække kontingens gennem dekonstruktion. Tænkemåden stammer fra den franske republik og er inspireret af antikkens græske sofister, som sagde, at kun oplysning om forskel på natur og vedtægt kan forhindre skjult formynderi i form af vedtægt præsenteret som natur (kilde: Russell, B. (1945). A History of Western Philosophy. New York: A Touchstone Book.). Med hensyn til matematik C er spørgsmålet derfor: Hvad er natur og hvad er vedtægt i matematik C? Eller sagt på en anden måde: Hvordan ser matematik C ud, hvis den opbygges som en naturvidenskab om det naturlige faktum Mange? Matematik som en naturvidenskab om Mange I vores omverden ser vi dagligt forskellige eksempler på begrebet mange: Mange mennesker, mange træer, mange huse, mange biler, osv. Vi omgås Mange med to kompetencer, at tælle og at regne. Tælling sker ved at bundte og stakke. En total på 7 pinde kan således optælles i 3ere ved at fjerne 3-bundter 2 gange: T = I I I I I I I = III III I = 2*3 + 1 Optælling sker altså ved at fjerne bundter flere gange og stakke dem lodret. Dette skaber regnearterne division og gange, samt en lodret optællingsformel T = (T/b)*b: Fra T kan b fjernes T/b gange. De resterende fås ved at fjerne de 2 3ere fra totalen og anbringe den ved siden af resten. Dette skaber regnearterne minus og plus, samt en vandret optællingsformel T = (T-b)+b: Fra T kan b fjernes og anbringes ved siden af T-b. Tilsammen kan de to formler forudsige resultatet i teorien, før optællingen sker i praksis, og dermed illustrere matematikkens styrke, dens evne til at forudsige tal: T = 7 1ere = (7/3)*3 = 2.?*3, og T = (7 2*3) + 2*3 = 1 + 2*3 = 2.1 3ere Dette viser, at naturlige tal er decimaltal med enheder, hvor decimaltegnet adskiller bundter og ubundtede. Optælling i tiere kan f.eks. give resultatet T = 5.4 tiere, hvilket desværre skrives som T = 54.0, dvs. uden enhed og med fejlplaceret decimaltegn. Samtidig kaldes dette et naturligt tal, selv om det i virkeligheden er det modsatte. Naturlige tal skrives som de siges, altså som fem-ti-fire, hvor bundter og ubundtede adskilles og enheden medtages, som f.eks. T = tre-og-fir-sinds-tyve = 4.3 tyvere. Optællingsformlerne viser, at den naturlige rækkefølge for de fire regnearter er division, gange, minus og plus, hvor plus er særlig svær, da man kan plusse både lodret og vandret. Altså, præcis den modsatte rækkefølge af den, der præsenteres som den naturlige. Efter optælling kan to totaler forenes, f.eks. T1 = 2 3ere og T2 = 3 4ere. Skal totalerne forenes lodret, skal enhederne være ens, dvs. vi må skifte enhed, også kaldet proportionalitet, hvilket netop sker ved brug af den lodrette optællingsformel T = k*b. Men totalerne kan også sammenlægges vandret som (3+4)ere, dvs. 7ere. Her er totalen da summen af de to arealer 2*3 og 3*4, så 2 3ere + 3 4ere = 2.4 7ere. Dvs. vandret sammenlægning er i virkeligheden integration. 1
2 En naturlig korrekt matematik vil naturligvis tillade 2. ordens ikon-optælling i bundtstørrelser under ti. Her vil børn fra første klasse på naturlig måde praktisere og lære både omtælling ved proportionalitet og integration ved sidelæns sammenlægning. Men denne læringsmulighed forhindres af den politisk korrekte matematik, som kræver, at optælling kun må foregå som 3. ordens optælling i tiere, og som dermed bliver et eksempel på Sskjult formynderi findes såledesallerede fra første klasse i skolen. Og skjult formynderi afdækkes altså ved at opbygge matematik som en naturvidenskab om det naturlige faktum Mange. Findes der ligeledes skjult formynderi på matematikkens C-niveau, kaldet precalculus internationalt? Skjult formynderi på matematik C Også på C-niveauet beskriver tal-sproget matematik totaler med tal og regnearter kombineret til formler, skrevet kort som f.eks. T = 456, eller udførligt som T = 4*B^2 + 5*B + 6*1, dvs. som 4 hundreder og 5 tiere og 6 enere, da vi som regel bruger bundtstørrelsen B = ti, som da skrives 1 bundt og ingen ubundtede: ti = 1*B + 0*1, eller kort ti = 10. Denne formeltype kaldes en mange-led formel eller et poly-nomium, hvor led betegner de forskellige stakke, som er plusset vandret ved siden af hinanden. Den udførlige skrivemåde viser to ting: Alle tal har enheder, så 2+3*4 bør egentlig skrives 2*1 + 3*4, altså 2 enere og 3 firere. Og alle tal er formler, der indeholder de fire regnearter, som forener tal: lodret plus, gange, potens og vandret plus, også kaldet integration. At regnearter forener, fremgår af navnet algebra, som betyder at genforene på arabisk. Regnearter forudsiger tælleresultater, både når vi forener styk-tal som 4 kr og 5 kr, og når vi forener per-tal som 4 kr/kg og 5 kr/kg. At forene 4kr og 5kr forudsiges af plus: T = 4+5. At forene 4kr 5 gange forudsiges af gange: T = 4*5. At forene 4% 5 gange forudsiges af potens: 100% + T = 104%^5. At forene 6 kg á 4 kr/kg med 10 kg á 5 kr/kg forudsiges af arealet under per-tals kurven : T = 64* *5 10 = p* x. I et dobbelt-regnestykke afgøres rækkefølgen ved at reducere det til et enkelt regnestykke ved at sætte en skjult parentes om det stærkeste regnestykke: T = 2+3*4 = 2+(3*4), T = 2+3^4 = 2+(3^4), T = 2*3^4 = 2*(3^4 ) Den modsatte proces, opdeling af en total i del-totaler, kaldes tilbageregning eller ligningsløsning. Denne gang forudsiges resultatet af de modsatte regnearter: Svaret på spørgsmålet?+3=15 forudsiges af den modsatte regneart til plus, minus, hvor 15-3 netop defineres som det tal x, der lagt til 3 giver 15. Altså hvis x+3 = 15, så er x = Heraf ses, at ligningen x+3 = 15 løses ved at tal overflyttes til modsat side med modsat regnetegn. Metoden modsat side med modsat tegn gælder også for de øvrige regnearter. Den tredje rod er en faktorfinder, der finder den faktor som tre gange giver 125. Den tredje logaritme er en faktortæller, som finder, hvor mange 3faktorer, der er i 243.?+3 = 15?*3 = 15?^3 = 125 3^? = 243 x+3 = 15 x = 15 3 x*3 = 15 x = 15 3 x^3 = 125 x = ^x = 243 x = log 3 (243) plus minus gange division eksponent rod grundtal log At der netop er 2 x 4 måder til at forene og opdele tal skyldes, at der er fire forskellige typer tal: Konstante og variable, styktal og pertal: 2
3 Opsamling af Opdeling i Variable Konstante Styktal kr, kg, s Plus: T = a + b Minus: T b = a Gange: Division: T = a * b T/b = a Pertal kr/kg, kr/100kr = % Integration: Differentiation: T = f dx dt/dx = f Potens: Rod: Logaritme: T = a ^ b b T = a loga(t) = b På matematik C niveauet præsenteres 2+3*4 som værende 14 per vedtægt, hvor det altså er 14 per natur. Og i stedet for at præsentere den naturlige måde at løse ligninger på, flyt til modsat side med modsat regnetegn, præsenteres neutraliseringsmetoden gør det samme på begge sider som den naturlige metode, til trods for at den ikke er natur men vedtægt. Og forskellen på styk-tal og per-tal forties ganske, skønt de forekommer overalt i virkeligheden. Så ja, der er mange eksempler på skjult formynderi også på matematikkens C-niveau. Formler, ligninger og funktioner En formel er en kombination af tal og regnearter. En formel med 1 ubekendt kaldes en ligning, og en formel med to ubekendte kaldes en funktion. En funktion kan tabellægges og evt. graftegnes. Ligningsløsning kan dokumenteres med et formel-skema med 2 søjler og 3 rækker. I højre søjle skrives formlen øverst, og i den venstre søjle skrives formlens tal, den ubekendte over og de kendte under linjen. Til højre under linjen indsættes de kendte tal i formlen, så den omformes til en ligning, som løses manuelt eller med maskine. I nederste højre del testes den fundne løsning ved at indsætte alle tal i formlen for at undersøge, om formlens venstre og højre side er ens. Det ukendte tal c =? T = a+b*c Formlen De kendte tal a = 2 Test: Er VS = HS? Testen stemmer! b = 3 T = = 2+(3*c) 14-2 = 3*c (14-2) 3 4 = c = c Test 14 = 2+3*4 14 = 14 De kendte tal og skjulte parenteser indsættes Ligningen løses, ved at flytte til modsat side med modsat regnetegn, idet eksisterende regnestykker sættes i parentes; eller med SOLVER Løsning En formelregner, også kaldet et CAS-værktøj, har en Y-liste, hvor formlens venstre side indtastes som Y1 og højre side som Y2. På en formelregner løses en ligning da algebraisk ved at indtaste Solve 0 = Y1-Y2 ; eller geometrisk ved at finde skæringspunkterne for graferne for Y1 og Y2. Y1 = venstre side Y2 = højre side Ligningen 0 = Y1-Y2 indtastes kun én gang Indtast et x-gæt og tryk SOLVE Skæringspunkter findes 3
4 Tre former for konstant vækst Den grundlæggende tal-formel T = a*b^c + d giver anledning til hhv. proportionale, lineære, eksponentielle og potentielle funktioner: y = 3*x, y = 3*x+2, y = 3*2^x, y = 3*x^2. De tre første funktioner forekommer ved opsparing af penge: Opsparing af 3 kr. x gange giver totalen y = 3*x. Opsparing af 3 kr. x gange oven i et begyndelsesbeløb på 7 kr. giver totalen y = 3*x + 7 Opsparing ved at forrente 200 kr. med 3% x gange giver totalen y = 200*103%^x, da man lægger 3% til 200 kr. ved at gange med 103%. Potensfunktioner forekommer bl.a. inden for geometri ved beregning af arealer og rumfang, f.eks. y = x^2 og y = x^3. Hvis y kan findes af en formel f(x) med x som ubekendt, vil en x-ændring medføre en y-ændring. I en lineær funktion y = b + a*x vil x-ændringen +1 give y-ændringen +a, som kaldes væksttallet eller hældningen. Lineær vækst kaldes derfor også ++ vækst. I en eksponentiel funktion y = b*a^x vil x-ændringen +1 ændre y med faktoren *a og dermed med vækstprocenten r = a-1. Eksponentiel vækst kaldes derfor også +* vækst. I en potens funktion y = b*x^a vil x-ændringen 1% give y-ændringen a%, som kaldes elasticiteten. Potens vækst kaldes derfor også ** vækst. Graferne for de tre vækstformer giver rette linjer på hhv. almindeligt ++ papir, enkeltlogaritmisk +* papir og dobbeltlogaritmisk ** papir, hvor en logaritmeskala er en teknisk betegnelse for en gangeskala, hvor alle gangeskridt er lige lange. Ganske vidst overflødiggør en formelregner teknisk papir i matematikfaget, men andre fag bruger stadig teknisk papir. Modellering med regression De tre vækstformer udgør tilsammen konstant vækst. De to typiske opgaver er prognoseopgaver, hvor man skal finde y med kendt x, eller omvendt; og modelopgaver, hvor man skal opstille en formel ud fra en tabel med to linjer, og hvor væksten kan findes af vækstformler eller ved at anvende en formelregner til regression. Regression kan også modellere variabel vækst, f.eks. et polynomium af grad 2 med konstant krumning, eller et polynomium af grad 3 med konstant modkrumning, osv. Dvs. i en tabel giver 2 linjer grad 1 i et polynomium, 3 linjer giver grad 2, 4 linjer giver grad 3 osv. Ganske vidst omfatter matematik C niveauet kun tabeller med to linjer, men med regression er det naturligt også at inddrage tabeller med flere end to linjer, da det giver en naturlig introduktion til næste matematikniveau. Den kvantitative litteraturs tre genrer: Fakta, fiktion og fidus Vi beskriver vores omverden med både ord og tal. Vi har altså to sprog, et tale-sprog, der italesætter kvalitative fænomener, og et tal-sprog, der ital-sætter kvantitative fænomener. Da sprog kan bruges både til at informere og debattere, er det vigtigt at kunne skelne mellem information og debat, dvs. mellem fakta og fiktion. Matematikmodeller er eksempler på kvantitativ litteratur, der ligesom kvalitativ litteratur har tre genrer: fakta, fiktion og fidus. De tre genrer kan eksemplificeres med tre påstande: DA København 4
5 ligger på Sjælland, SÅ ligger København lavt ; HVIS København lå i alperne, SÅ lå København højt, og HVIS København ligger først i sætningen, så ligger den lavt. Fakta er DaSå beregninger, som kvantificerer det kvantificerbare, og beregner det beregnelige: DA prisen er 4 kr./kg, SÅ koster 6 kg 6*4 = 24 kr. Fakta-beregninger kontrolberegnes: T = 3 kg. á 4 kr./kg. = 3*4 kr. = 15 kr., hov regnefejl, T = 12 kr. Et eksempel er regnefejlen, som fik marssonden Mars Climate Orbiter til at falde ned: 2 cm + 3 tommer = 5 cm Fiktion er HvisSå beregninger, som kvantificerer det kvantificerbare, og beregner det uberegnelige: HVIS indkomsten er 4 kr./dag, SÅ vil 6 dages indkomst være 6*4 = 24 kr. Fiktions-beregninger scenarie beregnes: Hvis indkomsten er mellem 4 og 5kr./dag, så vil 3 dages indkomst ligge mellem 12 kr. og 15 kr. Fidus er HvadSå beregninger, som kvantificerer ikke-kvantificerbare kvaliteter: Hvis prisen på en gravplads er 10 kr./dag, og prisen på en hospitalsplads er kr./dag, så er det billigere at have folk liggende på kirkegården end på hospitalet. Og HVADSÅ, betyder det, at hastighedsgrænsen skal sættes op til 200 km/time for at spare penge? Fidus-beregninger afvises og henvises fra kvantitativ ital-sættelse i talsproget til kvalitativ italesættelse i talesproget. Calculus som opsamling af og opdeling i variable per-tal Matematik C bør også give en kort introduktion til matematik B, som hedder calculus internationalt, og som omhandler den fjerde og sidste foreningsteknik, forening af variable per-tal. Et eksempel er gennemsnitsregning: Hvis prisen er 5 kr/kg for de første 10 kg og derefter 4 kr/kg, hvad er så prisen ved køb af 16 kg? Algebraisk opstilles en nota med tre linjer, som gir svaret p = (5*10+4*6)/(10+6) kr/kg. Geometrisk ses, at per-tal forenes som arealet under per-tals kurven, dvs. som p* x, hvilket TI.82 skriver som p dx. I dette eksempel er per-tallet stykkevis konstant. Calculus omhandler variable per-tal, som kan betragtes som lokalt konstante, dvs. uden spring. Men stadig sker foreningen ved at finde arealet under per-tals kurven. 10 kg á 5 kr/kg giver 10*5 = 50 kr 6 kg á 4 kr/kg giver 6*4 = 24 kr kr/kg kg á? $/kg giver kr 5*10 4*6 kg
6 Konklusion Brug af en formelregner på matematikkens C niveau giver en naturlig arbejdsdeling mellem menneske og teknologi. Mennesket udvælger tabeller og beder teknologien om at modellere tabellen med en formel. Mennesket stiller de spørgsmål til de indgående variable, som teknologien så giver svaret på, svar som til sidst skal evalueres af mennesket for at se, om der er behov for at modificere modelleringen. For at kommunikere med teknologien skal mennesket naturligvis kende betydningen af de taster, der bruges: hvordan tal er opbygget som polynomier, hvordan regnearter forudsiger resultatet af frem- eller tilbageregning, hvordan tal og regnearter kan kombineres til formler, hvordan formler med 1 ubekendt kaldes ligninger som kan løses; og med 2 ubekendte kaldes funktioner, som kan grafes, i begge tilfælde ved at indtaste formlens venstre og højre side hver for sig. At samarbejde med en formelregner om at foretage kvantitativ modellering er let at lære. Om det så er matematik, man lærer, er et andet spørgsmål, som dog må besvares bekræftende, hvis matematik C niveauets formål er at formidle formel-kompetence, dvs. evne til at bruge de to grundlæggende kompetencer, at tælle og at regne, til beskrivelse af det naturlige faktum Mange. Materiale CAS-baseret modelmatematik er afprøvet på to matematik C klasser, og hver gang bestod stort set alle. Materialet er publiceret og kan hentes gratis på Der er et teori-kompendium samt et projekt-kompendium med modeller for bl.a. prognoser, befolkningsvækst og fødevarevækst, golf, indsamling, kørsel og kursudsving ved overtagelsesforsøg. Samme sted findes også gratis kompendier til B- og A-niveauet. Endelig findes der som sagt en vejledning som video på YouTube. 6
Med per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og
Med per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og alligevel har adgangsvejen, matematik B, rekordhøj dumpeprocent.
Læs mereUlyst til matematik kureret med 1 kop & 5 pinde
Ulyst til matematik kureret med 1 kop & 5 pinde Fra øjne fyldt med væde - til koptælling, og glæde Tæl & OmTæl før du plusser 5 = II I I I = I I I I = 1)3 2ere 5 = II II I = II I = 2)1 2ere 5 = II II I
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 08/09 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Sanne Schyum
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 13/14 Institution VUC Albertslund Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag Mat C Kofi Danquah Mensah
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution VID Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 April 2016 Institution VUC Vest, Esbjerg afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Netundervisning
Læs mereSammensætning af regnearterne
Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen
Læs mereMatematik på VUC Modul 2 Opgaver
Matematik på VUC Modul Opgaver Talgymnastik Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Regning med negative tal... Parenteser...7 Brøkstreger...9 Tekst og regnestykker - hvad
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mere2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11
Lærer. Pernille Holst Overgaard Lærebogsmateriale. Format 2 Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 33-36 Elevbog s. 2-11 Additions måder. Vi kende forskellige måder at Addition arbejder med addition
Læs mereMatematik med spillekort
Matematik med spillekort Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net Matematik med spillekort Dette hæfte indeholder en række korte artikler, hvoraf de fleste har været trykt i medlemsbladet for danske matematiklærere,
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution VUC SYD, afd. Haderslev Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf 2-årig Matematik
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik
Læs mereBeviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.
År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Elisabeth
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2014 Roskilde
Læs merePotenser, rødder og logartime
Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),
Læs mereÅrsplan for 5. klasse, matematik
Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereMatematik B - hf-enkeltfag, april 2011
Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - Juni 2019 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Edel-Elise
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny
Læs mere6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1
6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard
Læs mereUndervisningsplan Side 1 af 9
Undervisningsplan Side 1 af 9 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 220 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 9 lektioner pr. uge og Regnar Andersen (RA) 3 lektioner
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold VUC Hvidovre-Amager hfe Matematik B Dennis Møller
Læs mereAnvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2015 Roskilde
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015
1 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution IBC Fredericia Middelfart afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 10/11 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs merebrikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2015 Roskilde
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for: 1mac15e2 0814 ma
Undervisningsbeskrivelse for: 1mac15e2 0814 ma Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: Matematik C for enkeltfag Termin: Juni 2015 Uddannelse: HF Lærer(e): Jacob
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Rabia Jeelani
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2018 Institution Vid Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereDer anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.
Faglige Områder Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender brøker Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Else Marie
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2018 Institution VUC Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer HF enkeltfag, som fjernundervisning Matematik
Læs mere