ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER"

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer til ligningsløsning m.v GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER a. Beregningsrækkefølge b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) c. Angive de variable ud fra sproglig tekst d. Løse ligninger med computer/cas e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) f. Indsæt variables værdi og løs ligning FLERE EKSAMENSOPGAVER (fra årene 2006 og 2007) "STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER OPDELING (BRILLER). Sum af produkter uden parenteser Opdeling (briller) af udtryk med parenteser: Ligninger med x først TEORI Skæring mellem rette linjer: lineære ligninger Algebraisk hierarki - og briller Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje Isolere en ubekendt Hvis x står i første brilleglas Når den ubekendte står i 2. brilleglas Videregående regler om ligninger Brøkligninger... 34

2 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 2 af FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER Tal, regneoperationer og ligninger Regnearternes hierarki t Beregningsrækkefølge: 1. potensopløftning 2. gange/division 3. plus/minus En parentes ændrer på hierarkiet Plus-parenteser kan hæves (1) 5 + (x 3) = 5 + x 3 = x + 2 Minus-parenteser: fortegnsskift (2) 8 (3 + x) = 8 3 x = 5 x (3) 7 (x 2) = 7 x + 2 = 9 x Gange-parenteser kan hæves: (4) 2 (3 x) = 2 3 x = 6 x (5) (3 x) 2 = 3 x 2 = 3 2 x = 6 x Gange ind i (parenteser med + og ) (6) 2 (x+4) = 2 x = 2x + 8 Samle led (7) 5 x x = 4 x Kvadratsætninger (8.1) (3+x) 2 = x x (8.2) (x 5) 2 = x x 5 Plus-parenteser kan hæves (1) a + (b c) = a + b c Minus-parenteser: fortegnsskift (2) a (b + c) = a b c (3) a (b c) = a b + c Gange-parenteser kan hæves: (4) a (b c) = a b c (5) (a b) c = a b c Gange ind i (parenteser med + og ) (6) c (a+b) = c a + c b Samle led (7) a + 2 a = 3 a Kvadratsætninger (8.1) (a+b) 2 = a 2 + b a b (8.2) (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b Ligninger En ligning består af to formler med lighedstegn imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x. Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at passe, kaldes en løsning. I en ligning må man 1) lægge samme tal til på begge sider 2) trække samme tal fra på begge sider 3) gange med samme tal på begge sider, dog ikke med 0 4) dividere med samme tal på begge sider, dog ikke med 0

3 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 3 af 34 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang Kort fortalt er de enkelte skridt: 1. Den side, hvor x står: Opdel i to dele med regnetegn imellem. ("briller") 2. Hvis det adskillende regnetegn er plus eller gange, og x står efter dette: - Ombyt de to dele, så x rykkes frem. 3. Ellers: Flyt sidste del over på den anden side af lighedstegnet (sidst) ved at bruge den modsatte regneoperation til den der adskiller. Eksempel: + Opdel! Ryk x frem! Flyt over! Opdel og flyt over! Se mere bag i hæftet (TEORI) side 31 om at isolere ubekendt

4 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 4 af 34 IT-programmer til ligningsløsning m.v. (CAS = Computer Algebra System) 1) Hvis du har Word 2007/2010 for Windows: WordMat er gratis, nemt at bruge, og kan en masse. Nemt at veksle mellem beregninger og tekstforklaringer Download: Video: 2) Til Windows, Mac, Linux, Geogebra er gratis,nemt at bruge, og kan meget. En CAS-version ser ud til at være næsten klar til udgivelse ( ), den vil hedde 4.2 når den frigives. En beta Release Candidate ser ud til at fungere tilfredsstillende (f. eks. v ) Offline-udgave (eksamensbrug) downloades her: Webstart-udgave (skolens PC er) startes her: Geogebra officiel udgave, forløbig uden CAS: eller (online:) 3. Andre programmer/lommeregnere I mange CAS-programmer (evt. på lommeregnere) skrives solve( 2*x + 10 = 5*x + 3, x)

5 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 5 af 34 2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2 a. Beregningsrækkefølge. Fra Karsten Juul Bogstavregning Op. 201 (Trinvis udregning) Vis ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående a) Eventuelle parenteser udregnes først b) Gange/dividere udføres før plus/minus (omskrives tydeligst med vandret brøkstreg). c) Flere gange/dividere-operationer udføres fra venstre mod højre d) Flere plus/minus-operationer udføres fra venstre mod højre (1) (4) = = 23 (2) 2 (4 + 3) 5 (5) 4 (1+ 3) 2 = = 14 5 = 70 (3) 2 ( ) (6) (4 1+ 3) 2 Op. 202 (Trinvis udregning) (som ovenfor) (1) 8 ( 2 + 4) (4) 2 (6 4) (7) 3 (2 5) (2) 8 + (2 4) (5) (8) (3) (6) (9) (3 2) 5 Fra Gyldendals Gymnasiematematik, Arbejdsbog B1

6 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 6 af 34 Udregn med trinvise mellemregninger (gerne i hovedet, ellers 10-kr. lommeregner) Opg. 203 Opg. 204 Omskriv med vandret brøkstreg og udregn, med trinvise omskrivninger/mellemregninger: a) / 3 b) 9 8 / 2 c) 18 / = = 11 b) / 4 6 e) 55 / / 7 f) 20 / / g) / / 7 h) / Opg. 205 Udregn, med trinvise mellemregninger: (potensopløftning udføres før gange/dividere, der som bekendt udføres før plus/minus)

7 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 7 af 34 Opg. 206 Omskriv og udregn, med trinvise mellemregninger: a) 16 / 2 3 b) 36 / 3 2 c) 6 2 / 12 d) 2 5 / 4 e) 5 3 / d) 40 / g) / 3 2 h) 8 2 / i) Opg. 207 Udregn, med trinvise mellemregninger:

8 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 8 af 34 Opg. 208 Udregn, brug regler om at gange negative tal a (-b) = - a b samt (-a) (-b) = a b

9 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 9 af 34 2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) Opg Indsæt x og udregn y (Der må gerne bruges lommeregner. Men "mellemregningen" skal anføres) x 3 2, ,032 = 11 = -1 Opg. 212 Indsæt b, x, y og udregn a b 5 9 0,3-3 x ,4 6 y ,4-8 = 7,5 (evt.) (regnes ikke)

10 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 10 af 34 Opg Indsæt x 1, x 2, y 1, y 2 og udregn a 2 2,3 0, ,4 3, , , = 2 (evt.) 2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven. De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema. Opg. 221 symbol (bogstav) Forklaring (tekst) d møntens diameter (mm) 23,35 h møntens m k Et tal, der afhænger af materialet De kendte tal indsættes i formlen: Værdi, hvis oplyst

11 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 11 af 34 (Og ligningen løses for at beregne k, men dette venter vi med til næste afsnit ) Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven. De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema. Opg. 222 a) b) a) Spørgsmålet "Bestem lysstyrken i afstanden 20 cm fra lygten": symbol Forklaring (bogstav) (tekst) Værdi, hvis oplyst ellers?? x I Sæt de kendte værdier ind i formlen nedenfor, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne : b) Spørgsmålet " I hvilken afstand fra lygten er lysstyrken 95 μw/m 2?" symbol Forklaring (bogstav) (tekst) Værdi, hvis oplyst ellers?? x I Sæt de kendte værdier ind i formlen, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne : Opg. 223 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden , kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen y = ,06 x hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen? symbol (bogstav) Forklaring (tekst) Værdi, hvis oplyst ellers??

12 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 12 af 34 Beregning af resultatet: Konklusion: Svaret på spørgsmål b formuleret som en sætning: Opg. 224 symbol (bogstav) (se hvordan nedenfor) Forklaring (tekst) Værdi første gang x x 1 = x 2 = y y 1 = y 2 = Beregn a med følgende formel (vedrørende lineær sammenhæng, y = ax + b ) a y x y x Beregn b med følgende formel (vedrørende lineær sammenhæng, y = ax + b ) b = y 1 a x 1 = Værdi anden gang 2 d. Løse ligninger med computer/cas (aflever som brøk eller decimaltal med 3 betydende cifre): Opg. 231 Opg. 232:

13 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 13 af 34 2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) Opg Opg. 242 Se TEORI afsnit "Skæring mellem rette linjer" bag i hæftet. 5 3

14 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 14 af 34 Bruge regneregler ( som led i at løse ligninger) Regnereglerne og eksempler - står på side 2. Først afprøver og anskuliggør vi nogle af reglerne. Opg. 243 Indsæt tallene a=8, b=4, c=3, i formlerne A og B, og udregn med med trinvise mellemreninger (som på side 7). A B (1) a + (b c) a + b c 8 + (4 3) (2) a (b + c) a b c (3) a (b c) a b + c (4)-(5) a (b c) a b c ( a b) c (6) c (a+b) c a + c b c (a b) c a c b (7) a + 2 a 3 a (8.1) (a+b) 2 a 2 + b a b

15 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 15 af 34 (8.2) (a b) 2 a 2 + b 2 2 a b Opg. 244 Nedenstående figurer illustrerer nogle af regnereglerne. Hvilke? Hvordan? Skriv hver regel under figuren a b a b c c (a+b) c c a c b a b a b a (a+b) 2 a a 2 a b b b a b b 2 a -b a -b a (a-b) 2 a a 2 -a b -b -b -a b b 2

16 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 16 af 34 Opg. 245* Brug de omtalte regneregler undervejs når nedenstående ligninger løses Opg. 246* 10 (x +3) = 2, 20 + (4 t) =18, g (6 g) = 12, 7v 5 (v + 2 ) = v 2 (x 3) =12, 3 (4 t) =36, (5 g) 2 = 100, 2 (v 2 ) (2 2) = 64 (x+3) 2 x 2 = 21, (5+x) 2 x 2 = 75, (x 2) 2 x 2 = 14, (4 x) 2 x 2 = 16

17 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 17 af 34 2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning Opg Indsæt A = 14, h = 4 og bestem g af ligningen: ( solve eller løses i hånden) 2. Indsæt A = 22, h = 5 og bestem g af ligningen 3. Indsæt A = 24, g = 5 og bestem h af ligningen 4. Indsæt A = 10, g = 4 og bestem h af ligningen 5. Indsæt A = 28, l = 8 og bestem b af ligningen 6. Indsæt A = 6, b = 8 og bestem l af ligningen 7. Indsæt O = 20, b = 3 og bestem l af ligningen 8. Indsæt O = 6, l = 1,2 og bestem b af ligningen

18 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 18 af Indsæt A = 38, a = 8, b = 2 og bestem h af ligningen 10. Indsæt A = 42, a = 5, h = 3 og bestem b af ligningen 11. Indsæt A = 32, h = 4, a=3 og bestem b af ligningen 12. Indsæt A = 32, h = 4, a = 2 b og bestem b af ligningen 13. Indsæt A = 20, π = 3,1416 og bestem r af ligningen 14. Indsæt A = 80, π = 3,1416 og bestem r af ligningen 15. Indsæt O = 80 og bestem r af ligningen 16. Indsæt O = 80 og bestem d af ligningen

19 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 19 af Indsæt V = 32, h = 4, l = 5 og bestem b af ligningen 18. Indsæt O = 140, h = 4, l = 5 og bestem b af ligningen 19. Indsæt O = 150, b = 3, l = 5 og bestem h af ligningen 20. Indsæt O = 200, b = 4, h = 3 og bestem l af ligningen 21. Indsæt V = 50, π = 3,1416 r = 3 og bestem h af ligningen 22. Indsæt V = 70, h = 3 og bestem r af ligningen 23. Indsæt O = 140, r = 3 og bestem h af ligningen 24. Indsæt O = 170, h = 10 og bestem r af ligningen 3 FLERE EKSAMENSOPGAVER (fra årene 2006 og 2007)

20 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 20 af 34 Opg. 301 Opg. 302 Opg. 303

21 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 21 af 34 Opg. 304 Opg "STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER. Opg. 401* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger. Se mønstre under TEORI bag i hæftet om at isolere en ubekendt.

22 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 22 af 34 Opg. 402* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger

23 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 23 af 34

24 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 24 af 34 5 OPDELING (BRILLER). Sum af produkter uden parenteser Opdeling (briller) af udtryk med parenteser: Svar nr. 1-17: opdeles efter b, b, b, c, b, c, f, b, a, c, b, c, a, d, b, a, a

25 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 25 af 34 Ligninger med x først. Opdel venstresiden ( briller ) og foretag første skridt i at isolere x ( Se TEORI bag i hæftet)

26 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 26 af 34 Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (Husk briller ). Se side XXX

27 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 27 af 34 6 TEORI Skæring mellem rette linjer: lineære ligninger Eksempel 1: Bestem skæringspunktet mellem de to rette linjer y = 2x + 10 og y= 5x + 3 Løsning (i hånden): y = y 2x + 10 = 5x = 5x +3-2x Skæringspunktets y-værdi kan udtrykkes ved den ene og ved den anden linjes ligning. Vi samler x erne på den side af lighedstegnet, hvor der i forvejen er flest x er. Her trækkes 2x fra på begge sider af lighedstegnet = 5x - 2x Konstanterne uden x samles på den anden side. Her: der trækkes 3 fra på begge sider. Der reduceres (samles). 7 = 3x Matematisk set sættes x uden for parentes: 5 x - 2 x = (5-2) x = 3 x 7 = x 3 Vi rykker x frem, ved at ombytte 3 og x. = x x isoleres ved at dividere. Her divideres med 3 på begge sider. ( 2.33 = x ) (som decimaltal) y = 2x + 10 = = Den ene af de to oprindelige ligninger bruges til at beregne y, idet den fundne x-værdi indsættes. Brug regnemaskine. ( y = ) Som decimaltal. Skæringspunktets koordinater: (x, y ) = = (2.33, 14.67) Konklusion. (sammenlign graferne ovenfor).

28 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 28 af 34 Bemærkning: Når koefficienten til x er negativ, kan flest x er forstås i forhold til en tallinje. Eksempel 2: -6x + 3 = 2x +10 2x er flere end -6x, så x erne samles til højre ved at lægge 6x til på begge sider: 3 = 2x x 3-10 = 2x + 6x -7 = 8x = x Eksempel 3: -x = -3x + 6 -x er flere end -3x, så x erne samles til venstre ved at lægge 3x til på begge sider: -x+3x = FACITTER side 25 (2-3 sider tilbage) Svar Ligninger med x først spm 4-15: ; ; ; ; Svar Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. spm 4-22: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

29 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 29 af 34 Algebraisk hierarki - og briller Når værdien af et regnestykke med en masse tal skal udregnes, skal opgaven deles op i en række delopgaver hvor tal to og to lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges, divideres eller opløftes i potens. Eksemplet Udregnes ved = 5 efterfulgt af 5+3 = 8. Efter hvilket princip valgte vi at starte med 15-10? De 5 regningsarter er + - / og ^ Beregningsrækkefølge: Når flere regneoperationer er "på samme niveau" siger man at 1. potensopløftninger udføres først (hænger tættest sammen) 2. gangning og division udføres derefter i den rækkefølge de står 3. plus og minus udføres derefter i den rækkefølge de står (adskiller stærkest) Parenteser får regneoperationerne indenfor parentesen til at optræde i et andet niveau, end dem uden for. En parentes værdi udregnes først og indgår i regnestykket udenfor parentesen Når man skriver et regnestykke op med vandrette brøkstreger, virker disse på samme måde som parenteser. Tilsvarende skal den lille løftede eksponent i en potensopløftning behandles, som hvis den stod i en parentes. Man skal i princippet både kunne indtaste et regnestykke, kunne udregne det i hånden, og kunne overskue den overordnede opbygning af det. Det sidste er vigtigt i regneudtryk med bogstaver, der måske indgår i en model af en konkret problemstilling, og det vigtigt, når man skal løse en ligning. Lad os starte med indtastning. I nogle IT-redskaber kan formler indtastes direkte som de står på papiret, og så kan man blot at lære at bruge knapperne. Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje. I andre IT-værktøjer indtastes formler i én lang linje. Det gør det nødvendigt at indtaste flere parenteser: Indtastning af en brøk kan kræve op til tre sæt parenteser: om tæller, om nævner og om hele brøken. (den om hele brøken kan dog undværes hvis man kun er interesseret i tal-resultatet). Er der et regnestykke i eksponenten ved potensopløftning, skal det indtastes i parentes. indtastes 2 ((3+4)/(5 6)) indtastes 2^(3+4) Overskue og udregne i hånden - et eksempel. Et stort og kompliceret regneudtryk opdeles først overordnet i to dele ( briller ). Hver af de dele analyseres og opdeles måske yderligere. Vi belyser reglerne for udregnings-sammenhæng (og rækkefølge) med følgende eksempel, hvor man f. eks. kan tænke sig a=1, b=2, c=3 o.s.v.:

30 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 30 af Vandrette brøkstreger opdeler på samme måde som parenteser Her: brøkstregen opdeler hele udtrykket i to deludtryk (der er intet ved siden af brøken). divideres med 2. Plus og minus adskiller kraftigere end gange (og potensopløftning). Er der flere plus og minustegn, adskiller det sidste (længst til højre) kraftigst Som netop nævnt: Minus adskiller kraftigere end gange: - 4. Gange adskiller kraftigere end potensopløftning. Højre del af (1.). (Selv om + skiller mere end på samme niveau, fungerer den løftede eksponent, hvis den var i parentes), på samme måde som Denne opdeling er nok ikke hvad man ville have gættet uden at kende reglerne. (Det ser ud som om e og f hænger sammen da de begge er store bogstaver, men det gør de altså ikke). Endnu mere lumsk, når gangetegnet er underforstået: Sæt b=3 og udregn Hvad bliver det, og hvorfor? 5. Den løftede eksponent fungerer som hvis den var i parentes: Bemærk, at hvis et brilleglas indeholder 1 eller 2 tal/bogstaver, så er der ingen tvivl om udregningsrækkefølgen, eller hvad der hænger sammen med hvad. Indeholder brilleglasset 3 eller flere tal/bogstaver, så må indholdet opdeles med nye briller. Øvelse: indtegn de sidste manglende briller i det nederste store billeglas.

31 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 31 af 34 Isolere en ubekendt (nedenfor betegnes den ubekendte som x, men enhver variabel kan naturligvis isoleres tilsvarende). Der beskrives en sikker vej til at kunne isolere x, når den kun optræder 1 gang i en ligning indeholdende tal,bogstaver, regneoperationer + - * / (og senere potensopløftning ^ ), samt eventuelt parenteser. Nedenstående beviser, at den slags ligninger altid kan løses. (Undtagelse: hvis proceduren giver division med 0). Grundlaget for hvert skridt er, at den side af ligningen, der indeholder x, opdeles med briller (også hvis der kun er et enkelt tal/bogstav ved siden af x) Fremgangsmåden afhænger nu af om x står i første eller andet brilleglas og af hvilken regneoperation, der sammenknytter de to brilleglas. Oftest bruges den modsatte regningsart. + = Hvis x står i første brilleglas (til venstre, eller i en brøk: for oven) Når der står (x)+(b) nedenfor betyder (x) et udtryk (brilleglas), der indeholder den ubekendte, x. (a), (b) og (c) står for andre udtryk, der ikke indeholder x. m Taleksempel Mønster eller / Kommentar Når man trækker (b) fra på begge sider, flyttes over som. p Når man lægger (b) til på begge sider, flyttes over som. d (Kan kun bruges, når (a) ikke er 0) Når man dividerer med (a) på begge sider, flyttes over som g Når man ganger med (a) på begge sider, flyttes over som

32 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 32 af 34 Bemærk, vi siger ikke (b) flyttes over på den anden side af lighedstegnet og ændrer fortegn. I de to sidste tilfælde ovenfor, d og g hvor (a) flyttes over, ændres der ikke fortegn fra plus til minus. Man bruger derimod den modsatte regningsart, og det man flytter skal stå sidst, for at man kan sige flyttes over som. (eller omvendt) flyttes over som (eller omvendt) Når den ubekendte står i 2. brilleglas (til højre eller forneden i en brøk) Kort fortalt: Ved PLUS og GANGE kan man bare bytte om, så den ubekendte rykker frem i første brilleglas. Ved MINUS og DIVISION bruges den omvendte regningsart, nøjagtig som ovenfor. Den ubekendte kommer så over på den modsatte side af lighedstegnet, hvor man er i en bedre situation til at komme videre. For nu står der PLUS i stedet for MINUS, eller der står GANGE i stedet for DIVIDERE, og så kan man bare bytte om. Her skrives det ud i detaljer: o o Taleksempel Mønster + - eller / Der kan ombyttes ved PLUS, så den ubekendte kommer i første brilleglas. (idet a+b=b+a ) Derefter minusoperationen m ovenfor, og (x) er alene Der kan ombyttes ved GANGE, så den ubekendte kommer i første brilleglas. (idet a b=b a ) Derefter divisionen d ovenfor. p Efter plus-operationen bruges den netop omtalte ombytning o. Når (x) er kommet forrest på højre side, bruges minus-operationen m, og (x) er alene. g Efter gange-operationen bruges den netop omtalte ombytning o Når (x) er kommet forrest på højre side, bruges divisions-operationen d, og (x) er alene. I hvert skridt af løsningen af en kompliceret ligning, ser man hvilken side af lighedstegnet, der indeholder x. Udtrykket på den side af ligningen opdeles med briller. Er x i første brilleglas, bruges det første skema, ellers bruges skemaet lige ovenfor, og omformnings-trinnet vælges efter om den adskillende regneoperation er plus, minus, gange eller dividere. På den måde er der 4+4 = 8 valgsituationer. Når ligningen er omformet, er man i en ny situation, igen med 8 mulige udgangspunkter for at vælge blandt de 5 handlinger (m, p, d, g og o ). Til sidst står x alene på den ene side af lighedstegnet.

33 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 33 af 34 Ovenstående procedure kræver ingen omformning af regneudtryk ud over ombytningerne a+x=x+a og a x=x a. Men formlerne adskilles og delene samles på ny måde. Ved praktisk ligningsløsning kan man ofte spare nogle skridt ved at bruge omskrivninger. Når man regner med papir og blyant, vil man tit undlade at skrive ombytningen, men blot have den i hovedet. Ellers skal hver mellemregning skrives, for at dokumentere, at man kender de enkelte principper. Videregående regler om ligninger f r Når man ganger med (-1) på begge sider, ændres fortegn. Bruges ved potensopløftning, når (x) står i første brilleglas. Kan bruges når (x) og (c) vides positive, ellers ikke altid. F.eks. har ingen løsning. l har -3 og 3 som løsning. Bruges ved potensopløftning, når x står i sidste brilleglas. Kan kun bruges når (a) og (c) vides positive.

34 Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger. Side 34 af 34 Brøkligninger Isoler x i ligning 2, 3 og 4, lige som det er gjort i ligning 1: 1) 3) Der ganges først med den ene sides nævner, så med den andens. 2) 4) Nedenfor ses ligning 1 løst ved at stikke en strikkepind gennem den ubekendte, og lade tyngdekraften trække den fjerne ende af ligningen nedad. (Huskeregel). Lav tilsvarende illustrationer for ligning 2, 3 og 4. 1)

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Negative tal...7 Parenteser...9 Brøkstreger...1 Tekst og regnestykker hvad passer sammen?... Potenser...

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Årsplan 5. Årgang

Årsplan 5. Årgang Årsplan 5. Årgang 2016-2017 Materialer til 5.årgang: - Matematrix grundbog 5.kl - Matematrix arbejdsbog 5.kl - Skrivehæfte - Kopiark - Færdighedsregning 5.kl - Computer Vi skal i løbet af året arbejde

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

Ligeværdige udtryk. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Ligeværdige udtryk 2

Ligeværdige udtryk. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Ligeværdige udtryk 2 VisiRegn ideer 4 Ligeværdige udtryk Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Ligeværdige udtryk 2 Elevaktiviteter til Ligeværdige udtryk 4.1 Ligeværdige

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere