Differentialligninger. Ib Michelsen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialligninger. Ib Michelsen"

Transkript

1 Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203

2 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3 Eksempler på kontrol af løsning...4 Eksempel : Er løsningen en løsning?...4 Eksempel 2: Er løsningen en løsning?...4 Eksempel 3: Find løsningen med CAS...4 Betegnelser...5 Beregningseksempler...5 Eksempel 4: Tangent...5 Eksempel 5: Væksthastighed...6 Løsning af den specielle lineære differentialligning...6 Sætning...6 Løsning af den generelle lineære differentialligning...6 Sætning...6 Bevis...7 Formel...7 IT løsningen...7 Løsning af en Bernoulliligning...8 Løsning...8 Løsning af den logistiske differentialligning...8 Løsning...9 Formel...0 Eksempel Løsning af differentialligninger ved separation... Sætning... Bevis...2 Eksempel stx A, 8. maj 20 (opgave 3)...3 stx A, 24. maj 20 (opgave 3)...4 stx A, august 20 (opgave 3)...5 stx A, december 20 (opgave )...7 Differential-ligninger i stxopg Ib Michelsen mimimi.dk C:\AppServ20x2\www\Mixi\difLign\differentialligninger3.odt

3 Ligninger og løsninger 3 Ligninger og løsninger Indledning Almindelige ligninger kender du. De kan fx se sådan ud: ( ) 3 x+4=7 3, 4 og 7 er (i eksemplet og som oftest) nogle reelle tal. Opgaven er at finde den mængde af (reelle) tal, der gør ligningen sand. Her ses nemt, at L={} I andre tilfælde kan der være alt fra ingen til uendelig mange løsninger. Hvis faktoren foran x ikke er nul, kan ligningen omskrives som vist herunder; hvis den er nul, er ligningen ikke særlig interessant. (. ) 3 x+4=7 3 x = x+ = Oftest vil almindelige lineære ligninger kunne omskrives tilsvarende, så vi får en ligning som: (2 ) x+a=b Men lad os udvide ligningsbegrebet. x, a og b kunne jo godt være funktioner med DM =I ℝ. Opgaven er så at finde mængden af funktioner, der gør ligningen sand. Og lad os forudsætte, at i dette hæfte er a og b kontinuerte funktioner. Fx kunne a være defineret som: (2. ) a (t )=t 2 3 t+5 Tilsvarende for b(t) og funktionen x(t) findes nemt som differensen mellem de to funktioner. Og nu nærmer vi os differentialligningerne: Det er ligninger, hvor der skal findes en funktion eller en mængde af funktioner. Her er et vigtigt eksempel: Lineære differentialligninger af første orden (3 ) x ' (t )+a(t ) x (t )=b(t ) Ligningen (3) er en differentialligning. En differentiabel funktion f(x) er en løsning til ligningen, hvis (3. ) f ' (t )+a (t ) f (t )=b(t ) I (3) står x(t) for en (måske) eksisterende ubekendt funktion og x'(t) for dennes afledte funktion. Ligningen siges at være af første orden, fordi den første afledte funktion indgår i

4 4 Ligninger og løsninger ligningen men ikke x''(t), x'''(t) osv. Hvis også den anden afledte indgik, var der tale om en anden ordens differentialligning. Ligningen kaldes lineær når venstresiden kan skrives som en lineær funktion F(x). At F er lineær, betyder at linearitetsbetingelserne er opfyldt: F ( x +x 2 )=F (x )+ F ( x 2) og F (k x )=k F ( x) Eksempler på kontrol af løsning Eksempel : Er løsningen en løsning? Lad der være givet en befolkning (af mennesker, gærceller eller kaniner) med størrelsen B(t) til tiden t, som vokser ligefrem proportionalt med B(t); så fås (4 ) B ' (t )=k B (t ) Det ses nemt, at vi har en differentialligning som i (3); her benyttes blot B i stedet for x. En løsning kunne være (4. ) f (t )= B0 e k t hvis befolkningen til tiden 0 har størrelsen B0 Kontroller, at f(t) er en løsning til (4) Eksempel 2: Er løsningen en løsning? Lad der være givet differentialligningen (5 ) x ' (t )+ x(t )=2 t 2 4 Kontroller, at f(t) er en løsning til (.7), hvor (5. ) f (t )=2 t 2 4 t Eksempel 3: Find løsningen med CAS Givet ligningen (6) skal du finde løsningsmængden med dit CAS-værktøj. (6 ) y ' = y Antag at du benytter GeoGebra: I Vis-menuen vælges CAS, i den første tomme række indtastes: BeregnODE[y'=-y]+<Retur> Efter et øjeblik står der på linjen nedenunder en pil og svaret i (6.): (6. ) y= c3 ex 3 er et tilfældigt løbenummer og har ingen betydning i sig selv. c 3 er en konstant i den enkelte løsning, men der er en løsning for alle mulige værdier af konstanten. Svaret skal c3 læses: f (x)= x er en løsning for enhver værdi af c 3. e

5 Eksempler på kontrol af løsning 5 Kontroller, at f(x) er en løsning til (6) lige meget hvad konstanten er. Betegnelser Som ubekendt funktion har vi nu benyttet både B, x og y. Og det er i princippet ligemeget. GeoGebra har som default, at den uafhængige variabel er x og den ukendte funktion er y. Det fremgår også af eksemplet herover. Hvis funktionen hedder B(t) kan du indtaste ligningen sådan: BeregnODE[B'=k * B,B,t] Gør det og kontroller løsningen. Den afledte funktion kan betegnes på forskellige måder: Hvis funktionen kaldes y eller y(x) eller f(x), og y=2 x 3 4x+5 kan den afledte funktion navngives med de herunder viste lige gode muligheder: (7 ) y ' = y ' ( x)= f ' ( x)= dy =(2 x 3 4x+5)' dx Beregningseksempler Eksempel 4: Tangent Lad der være givet en differentialligning som: (8 ) y ' =2 x y Løsningernes grafer, som kaldes integralkurver, går gennem ethvert punkt i I er det interval, hvor funktionerne er defineret. I x ℝ, hvor Vi ønsker at finde tangenten i P(2,5) til integralkurven gennem dette punkt; så er x=2, y= 5 og ifølge (8) er tangenthældningen (8. ) a= y ' =2 2 5= Tangentens anden parameter findes med formlen (8.2 ) b= y a x hvor de kendte tal indsættes: (8.3 ) b=5 ( )2=7 Tangentligningen bliver derfor (8.4 ) y= x+7 Som kontrol findes grafen for den relevante integralkurve med CAS : BeregnODE[y'=2*x-y, (2,5)], hvor både ligning og punktet P indgår i kommandoen: (8.5 ) 2 e x x 2 e x+3 e 2 y= ex

6 6 Ligninger og løsninger Graf og tangent ses til højre: Eksempel 5: Væksthastighed y' kan være angivet på 3 forskellige måder; i alle tilfælde er det trivielt at indsætte kendte tal for at finde væksthastigheden til en given tid (x-værdi) eller en given y-værdi (9 ) (9. ) y ' =F ( y ) (9.2 ) y ' =F ( x) (9.3 ) y ' =F ( x, y) Løsning af den specielle lineære differentialligning Sætning Lad b være en kontinuert funktion defineret i et interval I. Den fuldstændige løsning til differentialligningen: (0 ) y ' =b er så mængden af stamfunktioner til b, så hvis (0. ) f (x )= b( x)dx fås alle løsninger som (0.2 ) { f ( x)+k k ℝ } Løsning af den generelle lineære differentialligning Sætning Lad a og b være kontinuerte funktioner defineret i et interval I. Den fuldstændige løsning til differentialligningen: ( ) y ' +a y =b eller y ' ( x)+a (x) y( x)=b( x )

7 Sætning 7 er mængden af funktioner: (. ) A f (x )=e ( B+k ) hvor A er en stamfunktion til a, B er en stamfunktion til b e A og k er en vilkårlig reel konstant. Bevis (2 ) y ' +a y =b Lad A være en stamfunktion til a og definer (2. ) A e (x)=e A(x ) hvoraf følger: (2.2 ) e A (x)>0 Multipliceres der på begge sider af lighedstegnet i ligningen (2) med (2.3 ) e A, fås e A y '+a e A y=b e A I (2.3) kan venstresiden omskrives, hvilket ses i ( ): (2.4 ) (e y) '=(e ) ' y+e y ' (2.5 ) (e y) '=e A' y+e y ' (2.6 ) A A A A A A (e A y) '=e A a y+e A y ' (Produktreglen) ( Differentiation af sammensat funktion) (A' = a, da A er stamfunktion til a) og da venstresiden af (2.3) er lig med højresiden af (2.6) fås (2.7 ) A (e y) '=b e A Nu er problemet med at finde en løsning det samme som i ligningen (0); med A B= b e dx - som eksisterer, da b e A ifølge forudsætningerne bliver en kontinuert funktion, fås (2.8 ) e A f (x )= b e A dx+k =B+k Formel (2.9 ) A f (x )=e (B+k ) IT løsningen Ved at følge linket kan du se, hvorledes du løser en sådan ligning med GeoGebras Casværktøj eller ved indtastning af funktionerne a og b og ved hjælp af formlerne ovenfor

8 8 Løsning af den generelle lineære differentialligning beregne A, B og forskriften for løsningen f. Løs lineær differentialligning Løsning af en Bernoulliligning En Bernoulliligning (3) er ikke en lineær differentialligning; der indgår en potens af funktionen y, hvor eksponenten n er forskellig fra (3 ) y ' +a y =b y n Løsning Løsningen foregår ved at indføre en funktion z (som også er ukendt); den defineres som (3. ) ( n) z= y z differentieres som en sammensat funktion med hensyn til x. z '= (3.2 ) dz n =( n) y ( n ) y '=( n) y( n)= n y ' dx y z' y' = n y n Nu omformes ligningen (3) ved at dividere på begge sider med y n n y ' +a y =b y (3.3 ) y ' a y b y n + = n yn y n y z' +a y n=b n hvor den sidste omskrivning fås med (3.2) (3.4 ) z' +a z=b n og denne med (3.). Ligningen optræder nu som en lineær differentialligning: Afhængig af funktionerne a og b kan løsningen findes først for (3.4) og dernæst for (3). Løsning af den logistiske differentialligning (4 ) y ' =k y (M y) Ligningen beskriver sammenhængen mellem væksthastigheden og en voksende størrelse for y<m, idet k > 0. Ofte gør man brug af modellen i biologi, hvor den beskriver en populations vækst: Hvis y er meget lille sammenlignet med M, er der tale om eksponentiel vækst. Er de to størrelser næsten lige store, er y' tæt på nul og væksten er gået i stå. Er M <

9 Løsning af den logistiske differentialligning 9 y, vil væksten være negativ. Ligeledes har økonomer brugt modellen til at beskrive væksten inden for flere områder: Som eksempler kan nævnes studier af arbejdskraft, kapital og markedet for en vare. Løsning 2 (4. ) y ' =k y (M y)=(k M ) y k y y '+( k M ) y=( k ) y 2 y '+a y=b y 2 hvor a = - k M, b = -k. Det ses, at ligningen er omskrevet til en Bernouilliligning, hvor n = 2. Funktionen z defineres som (4.2 ) z= y( n) og da n her er 2 fås ved indsætning: (4.3 ) z= y = y For z løses differentialligningen (4.4 ) z' +a z=b n hvor de aktuelle størrelser indsættes: (4.5 ) z' +( k M ) z= k z ' +(k M ) z=k Nu løses den sidste ligning som en første ordens lineær differentialligning: (4.6 ) A= k M dx=k M x (4.7 ) B= e k M x k dx=k e k M x dx= (4.8 ) g ( x)=e k M x ( k e k M x = e k M x km M km x e +c)= +c e k M x M M I (4.8) er c en vilkårlig konstant. Da g er en løsning til ligningen med z, fås løsningen f til ligningen med y som (4.9 ) f (x )= M e k M x f (x )= = kmx g(x) +c e k M x e +M c M

10 0 Løsning af den logistiske differentialligning Formel (4.0 ) f (x )= Søges den løsning hvor M e k M x e k M x +M c P=( x, y ) ligger på grafen, fås M e k M x km x e +M c y (e k M x +M c)=m e k M x kmx km x y e + y M c=m e km x km x y M c=m e y e kmx km x Me y e c= y M y = (4. ) Det vil sige, at konstanten kan bestemmes med formlen (4.2) (4.2 ) M ek M x y ek M x c= y M Eksempel 6 Løs differentialligningen: (4.3 ) y ' =0,05 y (00 y ) Løsningen findes umiddelbart ved at indsætte de oplyste konstanter i (4.0): (4.4 ) 00 e 0,05 00 x f (x )= 0,05 00 x e +00 c hvor c er en konstant svarende til den enkelte graf (integralkurve.) Hvis opgaven er at finde kurven gennem et bestemt punkt som P = (0,5 ; 20), indsættes punktets koordinater i (4.0) (eller nemmere i (4.2): 00 e0, e 0, c 00 e 0, e 0, c= e 0, , c= e e 0, , e 20 c= 00 20= (4.5 ) (4.6 ) c=0,487 og heraf følger:

11 Formel (4.7 ) f (x )= 00 e 0,05 00 x e 0,05 00 x +48,7 En tilfældig valgt integralkurve kan ses på tegningen på næste side; med linket her kan du se den samme og undersøge betydningen af konstantens værdi. Undersøg den logistiske differentialligning Løsning af differentialligninger ved separation Lad der være givet en ligning som (5), hvor højresiden, som i den generelle ligning er en kendt funktion af både x og y, men kan skrives som et produkt af to funktioner, hvor den ene er en funktion af y og den anden en funktion af x. Der gælder da: Sætning Ligningen (5 ) y ' =g ( y ) h( x) har løsningen y = f(x) som er implicit givet ved ligningen

12 2 Løsning af differentialligninger ved separation (5. ) g ( y ) dy= h( x ) dx+k Bevis Antag, at f(x) er en løsning til (5.). Så følger umiddelbart af omskrivningerne i (5.2) g ( y) dy= h (x)dx +k ( (5.2 ) dy) '=( h( x) dx )' g ( y) dy =h( x) g ( y) dx y ' =h ( x ) g( y) y ' = g ( y) h( x) at f(x) er en løsning til ligningen (5). Og omvendt: hvis f(x) er en løsning til (5), skal den også være en løsning til (5.). Eksempel 7 Løs den separable ligning (5.3): (5.3 ) Idet g ( y )= y y' = y a,x>0 x og h( x)= a x ses ifølge (5.2) y a x y dy= ax dx+c ln( y)=a ln(x )+c a c y= x e y'= (5.4 ) Mængden af løsninger er altså potensfunktioner med begyndelsesværdien b=e c = f (). Bemærk, at når c gennemløber de reelle tal, gennemløber b de positive relle tal. (5.5 ) f (x )=b x a, x > 0

13 stx A, 8. maj 20 (opgave 3) stx A, 8. maj 20 (opgave 3) I et kredsløb er I(t) strømstyrken målt i ampere en funktion af tiden t målt i sekunder, hvorom der gælder: di 0,4 +0 I =9 dt Strømstyrkens væksthastighed Det oplyses, at I = 0,3 Værdien indsættes i differentialligningen, som herefter løses: di di di di 0,4 +0 0,3=9 0,4 +3 3=9 3 0,4 =6 0,4 =5 dt dt dt dt Når I = 0,3 er væksthastigheden af strømstyrken = 5 ampere pr. sekund Forskriften for I(t) Differentialligningen løses, idet punktet (0,0) skal ligge på integralkurven: I CAS-vinduet ses, at løsningen er funktionen 25 t 9 e 9 I (t)= 25 t 0 e I ( t)=0,9 0,9 e 25 t 3

14 4 stx A, 24. maj 20 (opgave 3) stx A, 24. maj 20 (opgave 3) Sars-epidemien beskrives med differentialligningen: dn =0,00526 N (209 N ) dt hvor N er antal smittede til tidspunktet t (som måles i døgn). Væksthastigheden Hvis N = 00, findes væksthastigheden ved indsættelse i ligningen: dn =0, (209 00)=57,334 dt Væksthastigheden er 57 smittede pr. døgn i tidspunktet med 00 smittede Løsning af differentialligningen Differentialligning er en logistisk differentialligning, hvor tallet 209 er det tal, antallet af smittede vil nærme sig efterhånden, som tiden går. (Matematisk udtrykt er det grænseværdien for N(t), når t går mod uendelig.) Alle logistiske differentialligninger kan skrives som: y ' =k y ( M y) og de har alle løsningerne: y=m ek mx, e k m x+m c hvor c er en konstant. Givet at P = (x,y) ligger på grafen for den søgte løsning, kan c beregnes med formlen: c= (M e k M x ye y M k M x ). I denne opgave er M = 209, k = 0,00526 og P = (30, 03). Disse tal indsættes og hermed er løsningen: N (t )=209 e, x e, x+27 02

15 stx A, august 20 (opgave 3) stx A, august 20 (opgave 3) Udviklingen af en bestemt kræfttype beskrives med differentialligningen: dn =0,82 0,88 t N dt hvor N er antal kræftceller (målt i millioner) til tidspunkt t (målt i døgn.) Væksthastigheden for t = 0 Det oplyses, at N(0) = 266; disse tal indsættes i ligningen: dn =0,82 0, =60,7 dt I modellen er væksthastigheden efter 0 døgn 6 mio. kræftceller pr. døgn. Forskrift for N dn =0,82 0,88t N dt N dn = 0,82 0,88t dt+c ln N = N =e 0,82 0,88t +c ln (0,88) 0,82 0,88 t +c ln (0,88) 6,4 0,88x =e c 6,4 0,88 x e =e Da t = N(0) = 266 følger 0 266=e 6,4 0,88 c 266 =c 6,4 0,88 e c =590 0 som indsættes i forskriften for N: N (t )=590 e 6,4 0,88 t (Se graf på næste side) c 5

16 6 stx A, august 20 (opgave 3) Note: CAS-værktøjet i GeoGebra kan finde løsningen funktionen faktisk er den samme. y=266 e 4 e x , hvor 0.565

17 stx A, december 20 (opgave ) stx A, december 20 (opgave ) Fra et rør løber forurenet vand ned i en tønde med vand. Med C(t) betegnes koncentrationen (målt i ppm) af det forurenende stof i tønden til tidspunktet t (målt i minutter). I en model antages det, at C(t) er en løsning til differentialligningen dc =0,4 0,02 C. dt Oplyst: C(0) = 0. Bestem forskriften for C Ligningen løses med GeoGebra: C (t )= 20 e ( t ) Skitse af graf Skitsen tegnes ved indtastning af funktionsforskriften. (Se figur til højre.) Tidspunkt for koncentration = 0 ppm Tidspunktet findes ved at finde skæringspunktet S mellem grafen for C og linjen y = 0. Koncentrationen 0 ppm nås efter 34,7 minutter C'(5) På figuren aflæses C'(5) som tangenthældningen i punktet P = (5 ; C(5)). C'(5) = 0,30 Det betyder, at efter 5 minutter øges forureningen med 0,30 ppm pr minut. 7

18 8 Differential-ligninger i stxopg Differential-ligninger i stxopg 202

19 202 9

20 20 Differential-ligninger i stxopg

21

22 22 Differential-ligninger i stxopg

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Lektion 8 Differentialligninger

Lektion 8 Differentialligninger Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B 1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2

Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Matematikprojekt om Differentialligninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 5 November 2010 Indhold I Differentialligninger........................ 3 I Generelt om

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2. Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Koblede differentialligninger.

Koblede differentialligninger. 2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere