Dagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??

Transkript

1 Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/??

2 Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal, der angivet arealet; gruppe, der angiver gruppen. (1,2,3,4). Modellen M 1 kan gennemregnes i PROC GLM p. 2/??

3 Model-linjen Vi betragter proc glm data=stress; class gruppe; model areal=gruppe/ss1 solution clparm; specificerer netop 4 normalfordelte observationsrækker defineret ved gruppe (med samme varians); solution giver estimater for parametre (nødvendigt hvis der er klassevariable); Bemærk at gruppe både står under class og i model-linjen; p. 3/??

4 Output Error-linjen: Aflæser Frihedsgrader SSD Variansskøn i modellen. p. 4/??

5 Output - fortsat Under Source gruppe ses F -testet for at teste gruppe væk ; altså testet for reduktionen fra M 1 til M 2 ; p. 5/??

6 Output - fortsat Under Source: SAS forsøger også at fitte et intercept; Konsekvens: Der vælges en referencegruppe (her gruppe 4). Under intercept aflæses estimat for µ 4 med tilhørende Std Error og test. Under gruppe 1 aflæses estimat for µ 1 µ 4 (forskel i forhold til referencegruppen) med tilhørende Std Error og test for µ 1 = µ 4. Tilsvarende med gruppe 2 og gruppe 3. p. 6/??

7 Test for lineær regression M 0 : X ij N(µ i,σ 2 i ) Checkes ved k fraktildiagrammer hvis n i stor; M 1 : X ij N(µ i,σ 2 ) Testes ved Bartlett hvis f (i) 2 for alle i; Herefter testes M 2 : X ij N(α + βt i,σ) (som jo blot er lineær regression hvor flere observationer har samme t-værdi). ( Lineær sammenhæng mellem x og t ). M 2 testes ved LRT, som er ækvivalent med et F -test; Beregningsformler p. 7/??

8 Test for lineær regression - fortsat Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.5: k = 3 og n i = 4; i = 1, 2, 3 angiver de tre grupper; x ij angiver den tilbageværende mængde sand (log-tranformeret) ved jte gentagelse i ite gruppe; t i = 170, 530, 880 angiver antallet af rotationer i gruppen; p. 8/??

9 Modellen M 2 er blot endnu en lineær regression, hvor t i erne optræder flere gange: Responserne x 11,...,x 1n1 i den første gruppe har alle samme forklarende variabel t 11 = t 1,...,t 1n1 = t 1 Responserne. x k1,...,x knk i den kte gruppe har alle samme forklarende variabel t k1 = t k,...,t knk = t k p. 9/??

10 Modellen M 0 Vi har altså modellen M 0 : X ij N(µ i,σ 2 i ) der i Ex. 3.5 ikke kan checkes ved fraktildiagrammer (n i = 4) Estimaterne er µ i x i. N(µ i,σ 2 i /n i) σ 2 i s 2 (i) = SSD (i) f (i) σ 2 i χ 2 (f (i) )/f (i) (Her er f (i) = 3) p. 10/??

11 Tester H 0σ 2 Vi ønsker at reducere til modellen M 1 : X ij N(µ i,σ 2 ) hvorunder variansskønnet s 2 1 oprindelige variansskøn. er et vægtet gns. af de Modellen M 1 testes ved Bartlett da vi har k 3 grupper og f (i) = 3 for alle i. I Ex. 3.5 fås C = 1.14, 2 log Q = 0.94, Ba = 0.82, p obs = p. 11/??

12 Test M 2 under M 1 Vi udregner Likelihood ratio testet. Resultatet bliver, at LRT er ækvivalent med F, hvor F(x) = s2 2 s 2 1 F(k 2,f 1 ) og s 2 2 = SSD 2 k 2 p. 12/??

13 Test M 2 under M 1 - fortsat hvor SSD 2 = k i=1 n i( x i. ( α + βt i )) 2 store værdier af F er kritiske Vi vil betragte F i det følgende. Man kan vise (kapitel 4) at Under M 2. F F(k 2,n. k) Dvs. p obs = 1 F F(k 2,n. k)(f) p. 13/??

14 Fortolkning af F Bemærk at tælleren i F -teststørrelsen sammenligner med SSD 2 = k n i ( x i. ( α + βt i )) 2 i=1 estimatet x i. for middelværdien i den ite gruppe under M 1 estimatet α + βt i for middelværdien i den ite gruppe under M 2 (Smgl. også F -testet for µ 1 =... = µ k ) p. 14/??

15 Beregningsformel Hvordan beregnes SSD 2 = k i=1 n i ( x i. ( α + βt i )) 2 ved hjælp af de størrelser vi allerede har beregnet (SSD 1 og SSD 02 )? p. 15/??

16 Beregningsformel- fortsat Husk på at SSD 1 måler kvadratafstand mellem obs x ij og estimeret middelværdi x i. under M 1 at SSD 02 måler kvadratafstand mellem obs x ij og estimeret middelværdi ( α + βt i ) under M 2 Det følger derfor ved en anvendelse af Pythagoras (se kapitel 4) at SSD 2 = SSD 02 SSD 1 p. 16/??

17 Vi har altså Tilsvarende SSD 2 = SSD 02 SSD 1 f 2 = f 02 f 1 = n 2 (n k) = k 2 Ovenstående er jo specielt smart ifb Proc glm: Vi kan aflæse SSD 02 i Error-linjen når en lineær regression specificeres; SSD 1 kan aflæses i Error-linjen når k normalfordelte observationsrækker specificeres. p. 17/??

18 Example 3.5 Ved aflæsning ses, at SSD 2 = SSD 02 SSD 1 = = Desuden er s 2 1 = Dvs. F = p obs = 14% = 2.57 F(1, 9) p. 18/??

19 Notation Betragt en følge af modeller M 1 M 2 M 3 Lad s 2 0i betegne det middelværdirette varianskøn under M i. Strukturen af s 2 0i er s 2 0i = SSD 0i f 0i σ 2 χ 2 (f 0i )/f 0i p. 19/??

20 Notation - fortsat Viser i kap. 4, at LRT for M i under M i 1 er ækvivalent med F -testet givet ved F = (SSD 0i SSD 0i 1 )/(f 0i f 0i 1 ) s 2 0i 1 alle størrelser kan aflæses i Error-linjen i proc glm (to kørsler - en for hver model) Hvis vi tester én parameter er LRT endvidere ækvivalent med t-test. p. 20/??

21 PROC GLM Herefter PROC GLM p. 21/??