Baggrundsdokument. beregning af wiresløjfesamlingers forskydningsbæreevne. Henrik Brøner Jørgensen, Syddansk Universitet

Transkript

1 Baggrundsdokument beregning af wiresløjfesamlingers forskydningsbæreevne Henrik Brøner Jørgensen, Syddansk Universitet Linh Cao Hoang, Danmarks Tekniske Universitet Lars German Hagsten, Aarhus Universitet Juni 216

2 Forord Nærværende baggrundsdokument til BEF Bulletin 2 Juni 216 til beregning af wirebokssamlinger er hovedsageligt baseret på Henrik Brøner Jørgensens ph.d. afhandling. Ph.d. projektet var delvist finansieret af Betonelement Foreningen og blev gennemført under vejledning af Linh Cao Hoang og Lars German Hagsten. De udviklede beregningsmodeller er sammenholdt med forsøg udført ved danske universiteter de sidste 15 år. Baggrundsdokument tjener som dokumentation af de i BEF Bulletin 2 gjorte forsimplinger, som gør det lettere at bruge beregningsmetoden i praksis. Forfatterne, juni 216 Side 1 af 46

3 1 Indledning Wirebokse anvendes allerede i dag, men der har været tvivl om, hvorvidt anvendelsen af wirebokse er acceptabel. Anvendelsen har været problematisk da wirerne, som armeringsmateriale, ikke opfylder kravene til duktilitet, beskrevet i Eurocode 2, DS/EN , Annex C. Dette problem håndteres i denne beregningsmodel ved at sikre, at wiresløjfesamlingens brudlast ikke skyldes brud i wirerne men derimod brud i sammenstøbningsmørtelen. Modellen består derfor af to dele; I første del sikres det at der sker brud i sammenstøbningsmørtelen og i låsejernet, således at wirerne bliver samlingens stærke led. I anden del beregnes forskydningskapaciteten af wirebokssamlingen. Til sidst i dette baggrundsdokument er de beregnede bæreevner sammenlignet med forsøgsresultater. Her er det også vist hvilken betydning arbejdskurven vil have på bæreevnen af en pludseligt belastet samling, f. eks. ved fjernelse af et vægelement. Der er både udført forsøg, hvor wireboksene er placeret i fals og hvor de er placeret i et plant støbeskel (som vist i Figur 1). På baggrund af forsøgene vurderes det, at falsen ikke vil forringe samlingens bæreevne. Samlinger med fals regnes derfor på samme måde som samlinger uden fals. Afstanden b på Figur 1 er altid afstanden mellem de modstående bokse (gælder også når boksene er placeret i en fals). 1.1 Wiresløjfer og wirebokse Der findes to typer af wirebokse, en med én wiresløjfe (kaldet enkeltwireboks) og en med to wiresløjfer (kaldet dobbeltwireboks). Wireboksene indstøbes i betonelementerne således at wiresløjferne fra hvert betonelement overlapper hinanden i samlingen (se Figur 1, hvor en samling med enkeltwirebokse er vist). Inden samlingen udstøbes med mørtel placeres et låsejern igennem de overlappende wiresløjfer. På den måde skabes en kerne af mørtel, som er omsluttet af wiresløjfer i samlingen. Wireboksene har en åbning der vender mod samlingen, således at wireboksene, når de er udfyldt med mørtel, fungerer som forskydningslåse. Det bemærkes, at L box og b box på Figur 1 referer til henholdsvis højden og bredden af wireboksenes åbning. I dette dokument anvendes ordet wire som udtryk for det samlede bundt af tråde der er snoet og bruges i wirebokse. Det bemærkes, at ISO 1138 i stedet gør brug af udtrykket liner. Side 2 af 45

4 Figur 1 Wiresløjfesamling, med enkeltwirebokse, mellem to betonelementer Side 3 af 45

5 2 Forudsætninger Metoden i dette notat kan bruges til beregning af forskydningsbæreevnen, såfremt følgende forudsætninger er opfyldte: 1. Samlingen udstøbes med mørtel (den maksimale stenstørrelse er 2 mm). 2. Samlingen er overarmeret med hensyn til wiresløjfer. Dvs. samlingens forskydningskapacitet må ikke skyldes brud i wiresløjferne. (se kapitel 3). 3. Wiresløjferne er tilstrækkeligt forankret i elementerne (se kapitel 5). 4. Der skal minimum være 3 mm forankring af låsejernet til første boks i en samling. Det er forudsat at brudkriteriet for mørtel kan tages som en kombination af Coulombs modificerede brudkriterie for beton og cementpasta. Beregningsmetoden er baseret på plasticitetsteoriens øvreværdisætning. Udledningen og de fulde øvreværdiløsninger kan ses i ph.d. afhandlingen af Jørgensen (214). Beregningsudtrykkene i dette notat er en forsimplet udgave af den fulde løsning. Forsimplingerne er indført for at gøre metoden mere praktisk anvendelig. I beregningen forudsættes, at der kan skabes ringspændinger i en mørtelskive. For at gøre dette muligt, kræves det, at overlappende wiresløjfer danner en cirkulær skive. Forsøgsresultater har dog vist, at der kan være en afvigelse mellem overlapningslængden, H, og bukkediameteren, D. Det er således tilladt at regne med en formel cirkulær kerne hvis: H,8 1, 2 (1) D For at mørtelen i samlingen kan regnes indesluttet, kræves det endvidere at de overlappende wiresløjfer er placeret tæt. Dette betyder at afstanden, s, mellem wiresløjferne ikke må overstige 3 gange tværsnitsdiameteren af wiresløjferne. Dette betyder også, at der stilles krav til den udrettede wire, således at vinklen, α, (se Figur 2) for den udrettede wire skal overholde: 8 1 (2) Alle beton og mørtelstyrker i denne anvisning baserer sig på cylinderstyrker med diameter x højde = Ø15x3 mm. For at regne om til en prismestyrke, som ofte bruges til bestemmelse af mørtelstyrke skal der derfor bruges en omregningsfaktor. 3 Kontrol af mørtelbrud Forudsætning nummer 2 (i det foregående afsnit) er afgørende for, om nærværende metode kan benyttes til bestemmelse af forskydningsbæreevnen af en wirebokssamling. Denne forudsætning skal derfor kontrolleres. Dvs., det skal kontrolleres, om trækkraften, som kan overføres mellem to overlappende wiresløjfer er begrænset af brud i fugemørtelen eller brud i selve wirerne. Sidstnævnte brudform mangler duktilitet og må derfor ikke forekomme. Side 4 af 45

6 For at sikre brud i fugemørtelen beregnes trækstyrken af overlappende wiresløjfer ved hjælp af en simpel model, hvor bruddet sker i mørtelkernen, der er omsluttet af de overlappende wiresløjfer. I denne beregning bruges maksimalstyrker af både mørtelen og låsejernet. Figur 2 viser hvordan de overlappende wiresløjfer overfører trækkraften i form af ringspændinger på den omsluttede mørtelskive. Ringspændingerne kan regnes som: F ~ wire c Dw (2) Hvor w er wiresløjfens tværsnitsdiameter. Igennem mørtelskiven er der placeret et låsejern, som fastholder mørtelskiven i låsejernets retning. Den spænding mørtelskiven er fastholdt med fra låsejernet kan regnes som: con A f sl A c yl (3) Her er A sl og f yl henholdsvis arealet og flydespændingen af låsejernet. I praksis skal det bemærkes, at flydespændingen angiver en maksimal værdi, da en højere flydespænding vil betyde en højere styrke for mørtelbrud, som i sidste ende kan betyde at brud sker i wiresløjfen. A c er arealet af mørtelskiven: Ac D 4 2 (4) Ved medtagelse af låsejernets flydespænding skal der tages højde for forankring af låsejernet. Forankringslængden er dog normalt overholdt idet wirebokse ikke placeres ved samlingens ende. Ved at antage, at mørtelen er et Modificeret Coulomb materiale med et brudkriterie svarende til det mindste af brudkriterierne for beton og cementpasta, findes følgende trykstyrke i triaxial spændingstilstand: f c min f c cc k con con (beton) (cement) (5) Her er k en faktor der tager hensyn til mørtelens friktionsvinkel: 1 sin k 1 sin (6) Hvor er mørtelens friktionsvinkel. Ifølge Nielsen og Hoang (211) er betons friktionsvinkel lineært afhængig af betonens enaksede trykstyrke fra 38 ved f c = MPa til 28 ved f c = 65 MPa. For f c > 65 MPa er friktionsvinklen, = 28. Ved at indsætte dette i formel (6), fås følgende udtryk for k: 4,2,216 k maks 2,8 f c (7) Side 5 af 45

7 f cc er den tilsyneladende enaksede trykstyrke af indesluttet cementpasta, dvs. cementpasta i triaksial spændingstilstand. Bemærk også her at f c og f cc er maksimale styrker, for at sikre at der ikke sker wirebrud. Figur 3 viser sammenhængen mellem den enaksede trykstyrke, f c, og den tilsyneladende enaksede trykstyrke, f cc. α Figur 2 Idealiseret spændingstilstand i en cirkulær mørtelskive omsluttet af wiresløjferne; set oppe fra (a) og set fra siden (b) Figur 3 Sammenhæng mellem den tilsyneladende enaksede trykstyrke i triaksial spændingstilstand, f cc, og den virkelige enaksede trykstyrke, f c. Fra Nielsen og Hoang (211). Side 6 af 45

8 Herunder er vist et tilnærmet udtryk til beregning af forholdet f cc / f c, baseret på den enaksede trykstyrke, f c. f f cc c 1, 5 1, 32 fc 21,32 for 2 MPa fc 4 MPa ( a) 4 2 1, 65 1,5 fc 41,5 for 4 MPa fc 7 MPa ( b) 7 4 1, 75 1, 65 fc 71,65 for 7 MPa fc 1 MPa ( c) 1 7 (8) Heraf er f cc bestemt og vist i Tabel 1. Tabel 1 Bestemmelse af den tilsyneladende enaksede trykstyrke i indesluttet tilstand, f cc, på baggrund af den virkelige enaksede trykstyrke, f c f c [MPa] f cc / f c 1,32 1,365 1,41 1,455 1,5 1,525 1,55 1,6 1,65 1,683 f cc [MPa] 26,4 34,1 42,3 5,9 6, 68,6 77,5 96, 115,5 134,7 For at den nævnte triaksiale spændingstilstand kan opstå, er det en forudsætning at de to wiresløjfer er placeret i præcis samme højde. Da dette (selvfølgelig) ikke er muligt, er det nødvendigt også at regne trækstyrken af wiresløjferne, hvor der antages forskydningsbrud i mørtelen mellem de to overlappende wiresløjfer. Figur 4 viser denne spændingstilstand. Figur 4 Overførsel af forskydningsspændinger, c, mellem de overlappende wiresløjfer Som nævnt, fastholdes mørtelen i låsejernets retning med en spænding, der opstår fra træk i wiresløjferne kan bestemmes som: con. Forskydningsspændingen c F A wire c (9) Side 7 af 45

9 Ved igen at betragte mørtelen som et Modificeret Coulomb materiale med friktionsvinkel som beton eller cementpasta, haves følgende forskydningsstyrke af mørtel: 1 k 1 fc con (beton) 2 k 2 k min 1 fcc (cement) 2 (1) Ved at sætte spændingerne, der opstår fra træk i wiresløjferne, lig med materialestyrkerne, dvs. (1) lig med (5) og (9) lig med (1), findes et udtryk for trækstyrken af de overlappende wiresløjfer: fc kcon Dw fcc con Dw F min 1 k 1 wire fc conac 2 k 2 k 1 fcc Ac 2 (a) (b) (c) (d) (11) Formel (11) er trækstyrken af overlappende wiresløjfer, når der sker brud i fugemørtelen. For at sikre, at der ikke indtræffer brud i wiresløjferne, skal følgende kriterium være opfyldt: F F f A wire wire, u ~ uw sw (12) Hvor, ~ er wiresløjfernes brudstyrke. Her er og henholdsvis brudspændingen og tværsnitsarealet af en wiresløjfe (to gange tværsnitsarealet af en wire). Her skal bruges regningsmæssige minimumsstyrker af wiresløjfernes brudspænding. På baggrund af formel (11) og (12) kan det sikres at der ikke forekommer wiresløjfebrud, ved fx at finde den maksimalt tilladte mørtelstyrke, hvis de andre parametre er foruddefinerede. 4 Beregning af forskydningsbæreevnen (peak værdien) Forskydningsbæreevnen beregnes på baggrund af en plastisk øvreværdiløsning. Løsningen består af to forskellige brudmekanismer, en mekanisme hvor der kun dannes lodrette brudlinjer i støbeskellene (kaldet mekanisme uden skrå brudlinjer ) og en mekanisme med både lodrette og skrå brudlinjer (kaldet mekanisme med skrå brudlinjer ). Brudmekanismen med skrå brudlinjer beregnes af et simpelt beregningsudtryk der giver en lidt mindre bæreevne end det fulde udtryk. Det fulde udtryk kan findes i ph.d. afhandlingen af Jørgensen (214). Beregningerne skal i praksis foretages med regningsmæssige materialestyrker (minimumsværdier) med partialkoefficienter. Det skal bemærkes, at de plastiske løsninger er udviklet til beregning af den maksimale forskydningsbæreevne, dvs. peak værdien på arbejdskurven. Ved design bør denne styrke reduceres, således at der tages hensyn til samlingens duktilitet. Dette er vist i Kapitel 5. Side 8 af 45

10 4.1 Mekanisme uden skrå brudlinje Denne mekanisme består af brudlinjer i støbeskellene mellem samlingen og betonelementerne. Denne mekanisme ses i Figur 5, hvor det ses at der sker en relativ flytning af betonelementerne i forhold til hele samlingen. Det antages, at der ikke er friktion i det glatte støbeskel mellem fugemørtelen og betonen. Det indre arbejde består derfor kun af bidrag fra tværarmeringen (wiresløjferne) og fugemørtelen der overskæres ved wireboksenes åbninger. (a) Figur 5 Brudmekanisme uden skrå brudlinje (b) Til beregning af forskydningsstyrken skal der i praksis bruges minimum værdier af styrkerne (regningsmæssige værdier), i modsætning til kontrollen af wirebrud i forrige kapitel. Med denne ændring regnes trækstyrken af de overlappende wiresløjfer som følgeende (dvs. samme struktur som formel (11)): fcd kcon Dw fcc, d con Dw 1 k 1 2 k 2 k 1 fcc, d Ac 2 Fwire, d min fcd con Ac (a) (b) (c) (d) (13) Hvor indeks d angiver, at det er en regningsmæssig værdi. σ con er som i forrige kapitel, den spænding som mørtelskiven fastholdes med: con A f sl A c yd (14) Side 9 af 45

11 Øvreværdiløsningen for mekanismen i Figur 5 er: P f n u, A cd box box T T T 1 1 for (a) T T 1 for (b) (15) Hvor indeks angiver, at der er nul diagonale brudlinjer. n box og A box angiver henholdsvis antallet af bokse i hvert støbekel og åbningsarealet af boksene. Fugemørtelens friktionsvinkel er her simplificeret antaget til φ=arctan(3/4), hvilket normalt antages for beton (her svarende til at fugemørtelen ikke er indesluttet). Effektivitets faktoren, indsættes som (se Jørgensen 214):, fck indsættes i MPa og Lbox indsættes i meter f ck L box (16) og tværarmeringsgraden (wiresløjferne), T, indsættes som: n T f wire cd F wire, d A box (17) Side 1 af 45

12 4.2 Mekanisme med skrå brudlinje Denne mekanisme er vist i Figur 6 og består af brudlinjer i støbeskellet mellem samlingen og betonelementerne samt skrå brudlinjer på tværs af samlingen. Løsningen til denne mekanisme er kompleks og kræver numerisk minimering. De skrå brudlinjer kan spænde over en eller flere bokse. Det viser sig dog, at den mekanisme, der giver den laveste bæreevne er mekanismen, hvor brudlinjerne spænder over en enkelt boks, som vist i Figur 6. (a) Figur 6 Brudmekanisme med skrå brudlinjer (b) Som det ses af brudfiguren, Figur 6(b), opdeles samlingen i parallelogrammer der flytter sig relativt i forhold til hinanden. Den relative flytning, der forekommer i de diagonale brudlinjer betyder, at låsejernet strækkes og giver derved et bidrag til det indre arbejde. Da låsejernet derved bidrager med sin flydekraft til det indre arbejde, kan låsejernet ikke samtidig bidrage til at indeslutte mørtelen, som vist i formel (3) og (13). Ved denne brudmekanisme skal trækkraften af de overlappende wiresløjfer derfor beregnes ud fra mørtelens enaksede styrke (svarende til con = ). Heraf bliver trækstyrken af de overlappende wiresløjfer: F w, fcd D w min 1 fcd Ac 4 (a) (b) (18) Her angiver indeks, at trækstyrken svarer til en løsning hvor con =. Tilsvarende indføres armeringsgraden for de overlappende wiresløjfer: n T, f wire cd F A w, box (19) Side 11 af 45

13 Løsningen til denne mekanisme er vist i Jørgensen (214). På grund af variationen af vinklerne i alle de lodrette brudlinjer kræver denne brudmekanisme numerisk minimering for at finde den mindste øvreværdi løsning. Som beskrevet i Jørgensen (214) kan en simpel tilnærmelsesløsning findes ved at lade alle flytningsvektorernes vinkler være lig hinanden, se Figur 7, når bidrag til det indre arbejde fra mørtelen og wirerne skal beregnes. Det bemærkes dog, at det indre arbejde i låsejernet vil være det samme uanset hvor mange bokse en samling indeholder. Her vil det indre arbejde i låsejernet altid være 2A sl f yl u l. Dette bidrag fastholdes i den simple løsning. Figur 7 Brudmekanisme til simpel, tilnærmet løsning af mekanisme med skrå brudlinjer Side 12 af 45

14 Dermed findes følgende tilnærmede løsning: P f n u,1 A cd box box Ad Abox nbox Lboxt Abox nbox T, 2nbox Abox 2nbox Abox L nbox 1 bt nbox 2 Ad ; (a) nbox nbox Abox 2nbox nbox Abox T, 2Abox nbox 15Lboxt3Ad for 1nbox Abox 35 Ad Abox nbox 1 Lboxt Abox nbox 1 T, 4 3 2nbox Abox 2nbox Abox L nbox 1 bt nbox 2 Ad ; (b) nbox nbox Abox 2nbox nbox Abox T, 2Abox nbox 15Lboxt3Ad for 1nbox Abox (2) Hvor indeks 1 angiver at der er diagonal brudlinje over 1 boks. Arealet, A d, af de diagonale brudlinjer er indført og kan regnes af: A t b L d 2 2 box (21) Derudover er armeringsgraden, L, for låsejernet indført: L f yl cd A sl f bt (22) Som tidligere nævnt er det her antaget at låsejernet er tilstrækkeligt forankret, da boksene er placeret med en vis afstand til enden af samlingen. Dette er desuden sikret ved forudsætning 4 i kapitel 2. Side 13 af 45

15 4.2.1 Simpel løsning for samling med maksimalt 1 bokse De fleste vægsamlinger i praksis vil normalt være designet med maksimalt 1 bokse. Derfor vises her en løsning hvor styrken per boks regnes svarende til en samling med 1 bokse. For samlinger med færre end 1 bokse, vil dette altid være en konservativ løsning. For at finde styrken per boks indsættes n box =1 i formel (2). Heraf findes følgende forskydningsstyrke: P f n u,1 A cd box box A 9 d 1 tl 9 T, box 1 L 9 bt 1 Ad 2 Abox 2 2 Abox Abox 25 Abox T, 18 1 tlbox 3 Ad for 1 2 Abox 1 Abox 1 Ad 18 3 tl 3 box T, 1 L 9 bt 1 Ad 16 Abox 8 8 Abox Abox 25 Abox T, 18 1 tlbox 3 Ad for 1 2 Abox 1 Abox (23) Det kan vises at denne løsning vil være et godt estimat for forskydningsstyrken per boks. I mange tilfælde vil løsningen kunne bruges op til 2 bokse. Men i alle tilfælde vil løsningen være en konservativ løsning for samlinger med maksimalt 1 bokse og vil derfor være en brugbar løsning i praksis. På Figur 8(a) og 8(b) ses en sammenligning af forskydningsstyrken for den fulde løsning, den simple løsning og løsningen hvor antal bokse sættes til 1 i den simple løsning. I Figur 9(a) og 9(b) er forskydningsstyrken per boks for de samme to eksempler med typiske designparametre vist P u,1 [kn] Den fulde løsning Tilnærmet løsning, formel (14) (2) Tilnærmet løsning, formel (17) (23) P u,1 [kn] Den fulde løsning Tilnærmet løsning, formel (15) (2) (14) Tilnærmet løsning, formel (18) (23) (17) n box (a) Dobbeltwireboks samling [Data brugt i beregning: Ф T / Ф T, = 2,49; A d / A box = 2,6; t / b box = 1,88; bt / A box =,85; Ф L =,17; νf c = 12,1 MPa] 1 n box (b) Enkeltwireboks samling [Data brugt i beregning: Ф T / Ф T, = 3,44; A d / A box = 4,79; t / b box = 4,29; bt / A box = 2,14; Ф L =,22; νf c = 13,4 MPa] Figur 8 Sammenligning af beregnede forskydningsstyrker for løsninger med skrå brudlinjer Side 14 af 45

16 P u,1 / n box [kn] Den fulde løsning Tilnærmet løsning, formel (14) (2) Tilnærmet løsning, formel (17) (23) (a) Dobbeltwireboks samling n box [Data brugt i beregning: Ф T / Ф T, = 2,49; A d / A box = 2,6; t / b box = 1,88; bt / A box =,85; Ф L =,17; νf c = 12,1 MPa] P u,1 / n box [kn] Den fulde løsning Tilnærmet løsning, formel (14) (2) Tilnærmet løsning, formel (17) (23) n box (b) Enkeltwireboks samling [Data brugt i beregning: Ф T / Ф T, = 3,44; A d / A box = 4,79; t / b box = 4,29; bt / A box = 2,14; Ф L =,22; νf c = 13,4 MPa] Figur 9 Sammenligning af beregnede forskydningsstyrker pr. boks, for løsninger med skrå brudlinjer 4.3 Samlet løsning for forskydningsbæreevnen (peak værdien) Da modellen er udviklet som en plastisk øvreværdiløsning, findes bæreevnen som den mindste værdi af løsningerne til de forskellige brudmekanismer. Det betyder at den maksimale forskydningsbæreevne af samlingen findes som den mindste af de to løsninger med og uden diagonale brudlinjer: P u P min P u, u,1 formel (15) formel (23) (a) (b) (24) Et eksempel på bæreevnen med og uden diagonale brudlinjer kan ses af Figur 1. Her fremgår det tydeligt, at for høje tværarmeringsgrader bliver løsningen med diagonale brudlinjer dimensionsgivende. Løsningen uden diagonale brudlinjer er derimod dimensionsgivende for små tværarmeringsgrader. Side 15 af 45

17 Pu f n A c box box P, den fulde løsning u,1 P, formel (23) u, P, formel (15) u, P, formel (24) u T / Figur 1 Beregnet forskydningsstyrke som funktion af tværarmeringsgraden (wiresløjfer). [data brugt for beregning: n box = 4; Ф T / Ф T, = 2,89; A d / A box = 4,79; t / b box = 4,29; bt / A box = 2,14; Ф L =,16; νf c = 13,4 MPa] I Appendiks A er det vist at modellen stemmer godt overens med forsøg. 5 Beregning af regningsmæssig forskydningsbæreevne De i Kapitel 4 viste løsninger svarer til den maksimale last, P u, på samlingens arbejdskurve. I praksis skal der sikres en vis duktilitet, således at wirebokssamlingerne kan designes med snitkæfter, som er fundet ud fra en global statisk model, hvor spændingsomlejringer forudsættes. I ulykkestilfælde skal det ligeledes sikres, at samlingen har tilstrækkelig duktilitet til at sørge for den nødvendige spændingsomlejring, fx ved bortfald af en eller flere konstruktionsdele. I notatet af forfatterne (Jørgensen, Hoang og Hagsten, 212) er det vist hvorledes en energibetragtning kan bruges til at bestemme en reduceret last, svarende til pludselig spændingsomlejring som følge af bortfald af understøttende elementer. Da der er forskel på duktiliteten af samlinger med enkeltbokse og dobbeltbokse, udledes to forskellige reduktionsfaktorer; en for enkeltbokse og en anden for dobbeltbokse. I Appendiks C er arbejdskurverne med reduceret styrke svarende til energiligevægt vist. Det er fundet at middelreduktionen er,71 for enkeltbokse og,85 for dobbeltbokse. Derfor regnes forskydningsstyrken som:,7pu For bokse med en wiresløjfe (enkeltbokse) P,85Pu For bokse med to wiresløjfer (dobbeltbokse) (25) Side 16 af 45

18 6 Forankring af wiresløjfer i elementet Forskydningsbæreevnen bestemt som vist i kapitel 5 forudsætter, at wiresløjferne er tilstrækkeligt forankret i betonelementerne. Der findes mange forskellige udformninger af hvordan wiresløjfer forankres i betonelementer. Derfor bør producenternes anvisninger altid følges, med mindre andet kan dokumenteres. Herunder vises et eksempel på en beregning af forankringskapaciteten, når wiresløjferne er forsynet med en forankringsklods i enden. For at wiresløjfen kan forankres på denne måde kræves det, at forankringsklodsen er tilstrækkeligt fastgjort til wiresløjfen og at klodsen i sig selv har den fornødne styrke. Forankring eftervisningen foretages ved at regne på det koncentrerede tryk, som ankerklodsen giver anledning til (se fx Nielsen og Hoang (211)). Denne metode blev også anvendt af Nielsen m.fl. (25). Der regnes på to forskellige brudformer, lokalbrud og spaltebrud. Da metoden baserer sig på øvreværdiløsninger, findes bæreevnen som den mindste af de to. Trækkapaciteten af en wiresløjfe, såfremt der opstår forankringsbrud, bestemmes således af: cspalte fcd A Fw, forankringcfcda min clokal fcd A ; spaltebrud (a) ; lokalbrudbrud (b) (26) Hvor c spalte og c lokal angiver forøgelsesfaktoren for hhv. spaltebrud og lokalbrud. Faktoren c lokal bestemmes af: A f,5,1 f ctd ck clokal ; fctd ( fck i MPa) A fcd c (27) Her er c partialkoefficienten for betonens trækstyrke. A og A er hhv. arealet der bliver belastet (svarende til arealet af forankringsklodsen) og det nyttige areal: A d 2 4 f L a t ; enkeltbokse box Aawiret min(l box,a) t ; dobbeltbokse (28) (29) Hvor d f angiver diameteren af forankringsklodsen. t og a wire angiver hhv. tykkelsen af elementet og den mindste afstand mellem wiresløjferne. Faktoren c spalte bestemmes af: ul,5,1 w f f ctd ck cspalte 12,8 1 ; fctd ( fck i MPa) 2A fcd c (3) Side 17 af 45

19 Hvor L w og u angiver hhv. indstøbningslængden til forankringsklodsen og omkredsen af det nyttige areal, A: 2 tlbox a ; enkeltbokse u 2tawire 2t min Lbox, a ; dobbeltbokse (3) Der findes ingen dokumentation af wiresløjfers forankring på tværs af vægelementer (eksempelvis til en hjørnesamling) i litteraturen. 7 Anvendelsesgrænsetilstand Som det ses af arbejdskurverne i Appendiks B, er nogle af forsøgene udført med genbelastninger op til 5 gange. Resultatet af disse forsøg kan inddeles i to grupper: 1) Eskalering af skadesgrad (deformation) ved gentagne belastninger, som dog stabiliseres ved en given deformation. Skadesgraden der opstår for denne gruppe af elementer, efter et antal genbelastninger, er ikke acceptalt når der ses på anvendelsesgrænsetilstanden. 2) Ingen eller begrænsede skader, uanset antallet af genbelastninger. Udover forsøgene vist i Appendiks B, er der udført nogle ikke offentliggjorte forsøg med gentagne op og aflastning ved en af producenterne af wirebokse. Ud fra disse ikke offentliggjorte forsøg (som forfatterne af dette notat har haft adgang til) er det fundet at en forskydningskraft på maks. 7 kn per enkeltwireboks og en forskydningskraft på maks. 2 kn per dobbeltwireboks ikke giver anledning til blivende deformationer i samlingen. Det ses desuden af Appendiks B, at grænsen for hvornår der opstår blivende deformationer ved de offentliggjorte forsøg er større end de ovenfor nævnte værdier. Det bemærkes, at værdierne er fundet som de mindste værdier af alle forsøg der er lavet med hhv. enkeltog dobbeltbokse, og det må derfor forventes at værdierne kan variere for forskellige typer af bokse. Det forventes derfor at yderligere forsøg kan give anledning til, at værdierne kan hæves for specifikke bokstyper (fx hvis åbningsarealet af boksene er stort). Spørgsmålet er så hvilken last denne kapacitet skal sammenlignes med, for at kapaciteten ikke overstiges, eller kun overstiges meget få gange I levetiden. Wiresløjfer bruges ofte i samlinger der udsættes for forskydning, hvor den dominerende last er vindlasten. Spørgsmålet er så om den karakteristiske last, Q k, skal anvendes, eller om den kan reduceres med en reduktionsfaktor,. Filosofien bag beregning af laster med partialkoefficientsystemet i Eurocode (27) er at bestemme en belastning, som med en vis sandsynlighed ikke overstiges. For det ovenfor beskrevne problem ønskes derimod, at bestemme en belastning som ikke overstiges, eller kun overstiges få gange i konstruktionens levetid. Side 18 af 45

20 I det følgende er de fire værdier fra Eurocode (27) vist og beskrevet. Herefter diskuteres, i det efterfølgende afsnit, hvilken værdi der skal bruges i sammenhæng med dimensionering af wiresløjfesamlinger i anvendelsesgrænsetilstanden. 1) Q k, kaldes den karakteristiske værdi. Denne værdi svarer til en belastning der med en sandsynlighed på,2 bliver overskredet på et år (5 års vind). Denne værdi bruges blandt andet til bestemmelse af en design værdi for den dominerende last i tilfælde med blivende skader eller deformationer. 2) Q k, kaldes kombinationsværdi. Denne værdi bruges til bestemmelse af en repræsentativ værdi af en ikke dominerende last, når den kombineres med den dominerende last. Værdien bestemmes som sandsynligheden for at kombinationslasten er nået, er den samme som sandsynligheden for at den karakteristiske last er oversteget. 3) Q k, kaldes den hyppige værdi. Bestemmes som lasten der kun overstiges i en lille del (,1) af reference perioden (5 år). Omvendt betyder det også, at lasten ofte overskrides (som navnet også indikerer). 4) Q k, kaldes kvasi permanent værdi. Bestemmes som middelværdien. For vindbelastning sættes denne normalt til. Som allerede beskrevet skal der bruges en værdi der ikke overstiges eller kun overstiges få gange. Med tanke på at vindlasten ofte vil være den dominerende last og kombinationsværdien derfor ikke kan bruges, betyder dette, at kun den karakteristiske værdi overholder dette krav. Hverken den hyppige værdi eller den kvasi permanente værdi kan betegnes som værdier, der ikke forekommer eller kun forekommer få gange. Side 19 af 45

21 8 Referencer Eurocode (27). Eurocode : Projekteringsgrundlag for bærende konstruktioner, Dansk standard. DS/EN 199. Eurocode 2 (28). Eurocode 2: Betonkonstruktioner Del 1 1: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner, Dansk standard. DS/EN Frederiksen, M.S. og Madsen K. (211). Elementsamlinger med wirebokse Eksperimentel undersøgelse af forskydningsstyrker og deformationsegenskaber. Speciale, Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet. Jørgensen. H.B. (214). Strength of Loop Connections between Precast Concrete Elements Part I: U bar connections loaded in combined tension and bending Part II: Wire loop connections loaded in shear, ph.d. afhandling, Institut for Teknologi og Innovation, Syddansk Universitet. Jørgensen, H.B., Hoang, L.C. og Hagsten L.G. (212). Forskydningsbæreevne af elementsamlinger med wirebokse. Notat. Nielsen, M.P. og Hoang, L.C. (211). Limit Analysis and Concrete Plasticity, 3 rd Edition, CRC Press. Nielsen, M.P., Hansen, T. og Hansen L.Z. (25): Elementsamlinger med Pfeifer boxe, beregningseksempler, BYG DTU rapport R 113. Side 2 af 45

22 Appendiks A I dette appendiks vises en sammenligning af eksperimentelt fundne maksimale forskydningsstyrker med modellen, for alle forsøg der er lavet med wirebokse hvor wiresløjferne har været placeret i overensstemmelse med kravene i dette notat. Det bemærkes at, til beregning af styrken ved mekanismen med skrå brudlinje er den fulde løsning brugt. I ph.d. afhandlingen, Jørgensen (214), er alle data for beregningerne vist. 3 P u, forsøg[kn] P u, beregnet [kn] Figur A.1 Sammenligning af beregnede forskydningsstyrker, P u, beregnet, og testede styrker, P u, forsøg. Det bemærkes desuden, at forsøgsserierne både indeholdte forsøg med samlinger hvor den maksimale stenstørrelse i fugemørtelen var 2 og 4 mm. Side 21 af 45

23 Appendiks B Dette appendiks indeholder arbejdskurver med beregning af reduceret styrke svarende til en middel plastisk styrke (når en betydelig deformation i brudtilstande accepteres). Tabel B.1 og B.2 viser den maksimale forskydningslast, P max, for alle forsøg med henholdsvis enkeltwirebokse og dobbeltwirebokse, der er lavet med wirebokse på nuværende tidspunkt, hvor wirerne er placeret tilstrækkelig tæt til at der kan regnes med indesluttet mørtel i kernen som beskrevet i modellen. I tabellerne er også vist den last, P u, som samlingen kan optage, såfremt lasten påføres pludseligt f.eks. hvis en understøtning pludselig svigter. Dvs., der er tale om den største last, hvormed det stadig er muligt at finde en statisk ligevægtstilstand, efter at den pludselige belastning har givet anledning til dynamisk deformationer i samlingen, jf. (Jørgensen, Hoang og Hagsten, 213). Figur B.1 viser princippet for beregningen. Ved en given deformation u 1 findes samlingens samlede energioptag som arealet under arbejdskurven, se Figur B.1(a). P u findes derefter ved at kræve, at P u *u 1 skal være lige med energioptaget samtidig med at (u 1, P u ) udgør et punkt på samlingens arbejdskurve, se Figur B.1(b). P P P max P u. u 1 u a) b) Figur B.1 Princip for beregning af bæreevne ud fra energiligevægt; energi der kan optages (a) og det ydre arbejde fra en pludselig påført last, P u I nærværende arbejde er energiligevægten bestemt med udgangspunkt i arbejdskurver, hvor der ses bort fra den første peak last, som svarer til lasten for revnedannelse mellem samlingen og elementet (dvs., den første del af arbejdskurven erstattes af den på figur B.1 viste stiplede lineær kurv). Det skyldes at denne peak styrke ikke altid er til stede. I Forsøg fra Aarhus Universitet med cyklisk påvirkning af wirebokssamlinger, se Hagsten (213), blev det vist at peak lasten svarende til revnedannelse forsvandt ved gentagende belastning. I Figur B.2 B.4 ses arbejdskurverne og lasten der svarer til energiligevægt for alle forsøg. Den reducerede styrke er vist for alle forsøg i Tabel B.1 og B.2. Her er også vist hvor meget hvert forsøg er reduceret i forhold til den maksimale forskydningslast. Da der ses at være forskel på duktiliteten af enkelwirebokse og dobbeltwirebokse er der fundet en middelværdi for henholdsvis enkeltwirebokse (Tabel B.1) og dobbeltwirebokse (Tabel B.2). Middelværdien er fundet til,71 for enkeltwirebokse og,85 for dobbeltwirebokse. Da afvigelserne fra middelværdien er meget små bruges middelværdierne som en u 1 u Side 22 af 45

24 reduktionsfaktor ved beregning af forskydningsstyrken af henholdsvis enkeltwirebokse og dobbeltwirebokse. Udover enkeltboksforsøgene i Tabel B.1 blev der også lavet nogle forsøg hvor wirerne ikke lå tilstrækkelig tæt, til at der kunne opstå en triaksial spændingstilstand i mørtelkernen. Disse forsøg, samt forsøg med wirebokse, hvor wiresløjfer blev fjernet fra nogle af boksene er vist i Tabel B.3. Disse forsøg er kun til orientering og anvendes ikke til bestemmelse af reduktionsfaktoren for enkeltbokse. Tabel B.1 Samlinger med enkeltbokse Serie Forsøg P revne [kn] DTU (22) ASE (211) Notation; P revne [kn] pr. boks P max [kn] P u [kn] P u /P max P1A 65,9 33, 13,5 68,2,66 P1B 71,7 35,9 113,2 76,3,67 P2A 86, 28,7 158,9 97,1,61 P2B 92,4 3,8 154, 11,8,66 P3A 111, 27,8 181,9 12,8,66 P3B 121,5 3,4 22, 128,1,63 P4A 56,8 28,4 115,4 73,2,63 P4B 73,3 36,7 17,4 69,2,64 P7A 6,8 3,4 77, 47,2,61 P7B 55,4 27,7 69,5 45,1,65 1A 54,8 42,9,78 1B 59,8 48,9,82 1C 48,9 24,5 56,6 4,7,72 2A 79,5 19,9 128,1 93,6,73 2B 73,4 18,4 18,8 79,6,73 2C 74,8 18,7 119,3 85,1,71 12A 7,2 17,6 111,1 84,1,76 12B 64,1 16, 116,1 9,3,78 12C 52,6 13,2 11,1 81,8,74 13A 54,7 13,7 49,6 43,1,87 13B 67,9 17, 67,9 56,7,83 13C 68, 17, 55,5 42,7,77 2.1A 7, 17,5 11,9 7,8,7 Middel: 23,9 Middel:,71 Minimum: 13,2 Minimum:,61 P revne angiver den første peak værdi på arbejdskurven og benævnes revnelasten P max er den maksimale belastning på arbejdskurven P u er den last der svarer til energiligevægt, jf. Figur B.2 B.41. Side 23 af 45

25 Tabel B.2 Samlinger med dobbeltbokse Serie Forsøg P revne [kn] ASE (211) ASE (213) Notation; P revne [kn] pr. boks P max [kn] P u [kn] P u /P max 9A 121,9 61, 13,3 12,,78 9B 134,3 67,2 148,2 126,9,86 9C 1,8 6,4 123,2 99,6,81 1A 122,1 13,3,85 1B 65,3 32,7 112,9 93,3,83 1C 66,1 33,1 114,4 93,, ,9 151,7, ,8 138,7, ,7 116,1, ,6 153,5, ,4 148,5, ,7 14,1, ,7 214,4, ,6 195,2, ,4 175,9, ,6 218,, ,4 199,,9 Middel: 48,8 Middel:,85 Minimum: 32,7 Minimum:,75 P revne angiver den første peak værdi på arbejdskurven og benævnes revnelasten P max er den maksimale belastning på arbejdskurven P u er den last der svarer til energiligevægt, jf. Figur B.2 B.41. Side 24 af 45

26 Tabel B.3 Samlinger med enkeltbokse wiresløjfer er udeladt i nogle bokse og samlinger hvor afstand mellem wiresløjfer er større end hvad der tillades i dette notat Serie Forsøg P revne [kn] DTU (22) ASE (211) Notation; P revne [kn] pr. boks P max [kn] P u [kn] P u /P max P5A 12,6 25,7 111,7 69,8,63 P5B 115,7 28,9 112,2 61,4,55 P6A 84,8 28,3 65,7 41,6,64 P6B 91,4 3,5 12,2 65,1,64 3A 74,7 18,7 16,7 74,7,7 3B 48,6 12,2 97,4 75,,77 3C 68, 17, 74,6 46,4,62 4A 43,9 22, 55,6 38,8,7 4B 35,7 17,9 56,1 4,,71 4C 19,7 9,9 48,2 31,9,66 5A 73,2 18,3 74,7 49,8,67 5B 84,2 21,1 86,6 6,5,7 5C 68,1 17, 69,8 45,8,66 6A 42,2 21,1 54,7 37,5,69 6B 47,5 23,8 5,5 36,2,72 6C 35,9 18, 64,8 39,5,61 Middel: 2,6 Middel:,67 Minimum: 9,9 Minimum:,55 P revne angiver den første peak værdi på arbejdskurven og benævnes revnelasten P max er den maksimale belastning på arbejdskurven (arbejdskurven er ikke vist i dette notat) P u er den last der svarer til energiligevægt. Side 25 af 45

27 Figur B.2 Arbejdskurve af element P1A, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Figur B.3 Arbejdskurve af element P1B, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 26 af 45

28 Figur B.4 Arbejdskurve af element P2A, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Figur B.5 Arbejdskurve af element P2B, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 27 af 45

29 Figur B.6 Arbejdskurve af element P3A, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Figur B.7 Arbejdskurve af element P3B, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 28 af 45

30 Figur B.8 Arbejdskurve af element P4A, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Figur B.9 Arbejdskurve af element P4B, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 29 af 45

31 Figur B.1 Arbejdskurve af element P7A, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Figur B.11 Arbejdskurve af element P7B, DTU (22), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 3 af 45

32 8 6 Kraft [kn] Figur B.12 Arbejdskurve af element 1A, ASE (211), med indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) 8 6 Kraft [kn] Figur B.13 Arbejdskurve af element 1B, ASE (211), med indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 31 af 45

33 8 6 Kraft [kn] Figur B.14 Arbejdskurve af element 1C, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.15 Arbejdskurve af element 2A, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 32 af 45

34 Kraft [kn] Figur B.16 Arbejdskurve af element 2B, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.17 Arbejdskurve af element 2C, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 33 af 45

35 Kraft [kn] Figur B.18 Arbejdskurve af element 12A, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.19 Arbejdskurve af element 12B, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 34 af 45

36 Kraft [kn] Figur B.2 Arbejdskurve af element 12C, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.21 Arbejdskurve af element 13A, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 35 af 45

37 8 6 Kraft [kn] Figur B.22 Arbejdskurve af element 13B, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.23 Arbejdskurve af element 13C, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 36 af 45

38 Kraft [kn] Figur B.24 Arbejdskurve af element 2.1A, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.25 Arbejdskurve af element 9A, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 37 af 45

39 Kraft [kn] Figur B.26 Arbejdskurve af element 9B, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.27 Arbejdskurve af element 9C, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 38 af 45

40 Kraft [kn] Figur B.28 Arbejdskurve af element 1A, ASE (211), med indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.29 Arbejdskurve af element 1B, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast og tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 39 af 45

41 Kraft [kn] Figur B.3 Arbejdskurve af element 1C, ASE (211), med afskæring af revnepeaklast (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.31 Arbejdskurve af element 1.1, ASE (213), med indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 4 af 45

42 Kraft [kn] Figur B.32 Arbejdskurve af element 1.2, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.33 Arbejdskurve af element 1.3, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 41 af 45

43 Kraft [kn] Figur B.34 Arbejdskurve af element 3.7, ASE (213), med indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.35 Arbejdskurve af element 3.8, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 42 af 45

44 Kraft [kn] Figur B.36 Arbejdskurve af element 3.9, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.37 (stiplet linje) Arbejdskurve af element 5.13, ASE (213), med indtegnet last svarende til energiligevægt Side 43 af 45

45 Kraft [kn] Figur B.38 Arbejdskurve af element 5.14, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Kraft [kn] Figur B.39 Arbejdskurve af element 5.15, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 44 af 45

46 Kraft [kn] Figur B.4 (stiplet linje) Arbejdskurve af element 6.16, ASE (213), med indtegnet last svarende til energiligevægt Kraft [kn] Figur B.41 Arbejdskurve af element 6.18, ASE (213), med tilrettet arbejdskurve, uden af og genbelastninger (rød linje) og indtegnet last svarende til energiligevægt (stiplet linje) Side 45 af 45