Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)

Transkript

1 Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering af bjælker - Uden forskydningsarmering - Med forskydningsarmering Bøjningsdimensionering af Bjælker - Beregn snitkraftfordelingen for momentet Ved statisk bestemte konstruktioner beregnes snitkræfterne direkte Ved statisk ubestemte konstruktioner vælges indspændingsmomenter og den plastiske snitkraftfordeling beregnes - Skøn armeringsføringen og beregn brudmomentet for bjælken efter metoderne fra sidst (DS 4 kræver normaltarmeret tværsnit) - Momentkurverne forskydes for at tage hensyn til forskydningsbidraget (se senere) - Hvis brudmomentet overalt er numerisk større end den forskudte snitkræftfordeling for momentet kan belastningen optages 2

2 Statisk bestemte bjælker Snitkraftfordelingen er entydig og afhænger ikke af bjælkens stivhed, dvs. den elastiske fordeling anvendes Bjælke med last: Snitkraftkurve for moment: 3 Kurverne skubbes stykket ½z cotθ i ugunstig retning (se senere) 4 2

3 Forankrings- og stødlængder Ved forankring og stød skal armeringskraften kunne overføres Der regnes med en lineært varierende armeringskraft over stødlængden 5 Forankringsfaktor, ζ 0,3 : glat armering 0,8 0,9 : ribbestål 6 3

4 Forankring af endearmering 7 Statisk ubestemte bjælker 8 4

5 Plasticitetsteoriens nedreværdisætning Hvis en statisk tilladelig snitkraftfordeling kan optages, er bjælkens bæreevne på den sikre side Dvs. der dimensioneres ud fra en momentfordeling, der overholder ligevægtsligningerne og som bjælken kan optage! 9 Bjælke over 2 fag Indspændingsmomentet vælges ifølge DS 4 mellem: maks M 3 i M 2M maks 0 5

6 Eksempel, Kælderdæk Betontværsnit Effektiv flangebredde, DS 4: b w 2 8 h = = 2660 mm + f Positive brudmomenter: Negative brudmomenter: 2 6

7 Den regningsmæssige belastningen kan variere mellem q min = 34 kn/m og q maks = 75 kn/m. Beregningen foretages først vha. et rent elastisk betontværsnit vha. et numerisk beregningsprogram: Der undersøges to lasttilfælde! 3 Lastkombination I : 75 knm 34 knm Tilhørende elastisk momentfordeling: 45 knm 476 knm 98 knm 287 knm 98 knm 299 knm 4 7

8 Lastkombination II : 75 knm 34 knm Tilhørende elastisk momentfordeling: 45 knm 476 knm 287 knm 98 knm 299 knm 5 - I virkeligheden er tværsnittet ikke i en elastisk tilstand ved brud - I brudtilstanden er tværsnittet revnet og kun en del af betonen optager spændinger! - Vha. den elastiske snitkraftfordeling bliver de negative momenter over understøtningerne størst! - Det vil være for dyrt at dimensionere for den elastiske snitkraftfordeling, da trykzonen bliver meget lille i områder med negative momenter, hvilket vil kræve store armeringsmængder - I stedet vælges en plastisk snitkraftfordeling efter nedreværdisætningen - Ud fra værdierne over de negative brudmomenter i tabellen vælges det største negative moment til 264,5 knm - Det skal så undersøges om snitkraftfordelingen kan optages 6 8

9 Bjælken opdeles i 3 statisk bestemte delbjælker ved indlæggelse af charniers Bjælkedel : Kurverne skubbes stykket ½z cotθ i ugunstig retning (se senere) 7 Bjælkedel 2: 8 9

10 Bjælkedel 3: 9 Lastkombination I : Momentfordeling for rigtig ydre last: 26 knm 486 knm 467 knm 662 knm Momentfordeling for indspændingsmoment som ydre last: 264,5 knm 264,5 knm 20 0

11 Summeret momentfordeling for lastkomb. I: 264,5 knm 264,5 knm 98 knm 362 knm 397 knm 392 knm Lastkombination II : På tilsvarende vis kan momentfordelingen bestemmes for komb. II: 264,5 knm 264,5 knm 26 knm 08 knm 35,4 knm 8,9 knm 2 Eftervisning af bæreevne 22

12 Har vi glemt noget? Forskydningskraften

13 Styrkeeftervisning: τ Sd τ Rd τ Sd τ Rd Forskydningsbærevne (ingen forskydningsarmering) : Regningsmæssig forskydningsspænding : Regningsmæssig forskydningsstyrke Forskydningsstyrke (størrelsesorden): τ = Rd f 2 ctd Forskydningsstyrken er meget lille, omkring ½ MPa, hvorfor der næsten altid indlægges forskydningsarmering 25 Løsskæring af bjælkedel (ren bøjning) 26 3

14 Ved vandret ligevægt, fås: C d = T d Moment om punkt A: V H = ΔC d = ΔT d d Δx ΔC d z 2 Δx p = 2 d 0 Anden - ordens led i Δx regnes forsvindende: ΔxVd ΔCd = ΔTd = z Forskydningsspænding i snit I - I med bredden b w : H ΔCd Vd τ Sd = = = b Δx b Δx b z w w w 27 Forskydningsbæreevne (med forskydningsarmering) 28 4

15 Revner 29 Opbygning af Forskydningsarmering 30 5

16 Bøjlearmering 3 Gitter-Analogi (nedreværdiløsning) 32 6

17 Diagonaltrykmetoden 33 Kraft i bøjler over vandret snit: Astσ st z cotθ Ft = cot θ kan vælges frit men dog < 2,5! a t Lodret projektion: R p x F = 0 V d AV d Hvorved: Vd at τ σ st = = A z cotθ A st 2 F = 0 t Maksimal afstand mellem bøjler: f yd Ast cotθ at, max = τ b Sd w t Sd st at bw cotθ f yd 34 7

18 Regler for bøjleafstand, DS 4: f yd Ast z cotθ Vd 0,7 h 0,7 hcotθ at 5 Ast f yk bw fctk 2 φst 55 φs (bærevnekrav) (minimumskrav) (minimumskrav) (minimumskrav) (ved stød og forankring) 35 Optagelse af betontryk 36 8

19 Betontrykkraft: F cd = σ a sinθ b cd Vandret projektion: ΔT cosθ F = 0 σ cd d ΔT d t w = cosθ σ a sinθ b t w cd cd ΔTd = a b cosθ sinθ t w Da ΔΤ d = V d Δx/z og Δx= a t fås: Effektivitetsfaktor: τ sd τ sd f σ cd = = vv f ck cd v 0,7 θ sinθ cotθ + / cotθ v = cos Med kendt bøjleafstand, a t, giver de to krav mulighed for at optage følgende regningsmæssige forskydningskraft: V d f yd Ast z cotθ at υv fcd bw z (cotθ + / cotθ ) Bæreevnekravet kan formuleres som: V d τ Sd = τ Rd bwz 38 9

20 Effekt på længdearmering 39 Moment om A: M M + V z cotθ T 2 M Td = z d d = M M = z d z = 0 V cotθ V z cotθ Den praktiske dimensionering af længdearmeringen foretages ved at forskyde momentkurven i retning af forøgelse af momentets numeriske værdi med stykket: cotθ 2 z Det er præcis hvad vi gjorde tidligere!! 40 20

21 Dimensionering af forskydningsarmering V Rd < V Sd på længder mindre end z cot θ 4 Eksempel 2, forskydningsdimensionering 42 2

22 43 De vigtigste pointer! Dimensionering af betonbjælker Bøjningsdimensionering, længdearmering Statisk bestemte/statisk ubestemte bjælker Plasticitetsteoriens nedreværdisætning Forskydningsdimensionering, bøjlearmering 44 22

23 Opgave m 5 m 5 m Følgende kontorbygning betragtes 45 Bygningens statiske system er som følger: Lodrette kræfter: - Føres via etagedæk til bjælker - Bjælker fører kræfter videre ud til søjler - Søjler fører kræfter ned til fundament Vandrette kræfter: - Føres vha. pladevirkning på facaderne (ikke vist) til etagedæk - Etagedæk fører kræfterne ind til bygningens kerne vha. skive virkning - Bygningens kerne fører belastningen til fundamentet 46 23

24 Vi vil dimensionere en bjælke for lodret belastning 47 Tværsnitsdimensioner Bjælken er 0,3 m bred og 0,4 m høj Dækkene regnes at have en tykkelse på 0,2 m Laster Egenlast fra bjælke: G = 2400 kg/m 3 0,3 m 0,4 m 9,8 m/s 2 = 2,8 kn/m Egenlast fra dæk: G = 2400 kg/m 3 0,2 m 5,0 m 9,8 m/s 2 = 23,5 kn/m Nyttelast på dæk: Q = 2 kn/m 2 5,0 m = 0,0 kn/m På hvert dæk er den minimale regningsmæssige last: q min = G = 26,3 kn/m Den maksimale regningsmæssige last er: q max = G +,3 Q =39,3 kn/m 48 24

25 Tværsnitsdimensioner Bjælken opbygges med al hovedarmering og trykarmering af kamstål Ø6: Materialedata: f cd = 8,2 MPa f yd = 385 MPa E sd =, MPa ε cu = 0,0035 En ren bøjningsundersøgelse (4. gang) giver: 49 Spørgsmål Dimensioner længdearmeringen i bjælken vha. nedreværdisætningen idet de viste betontværsnit anvendes. Der kan regnes med indspændingsmomenter svarende til det mindste negative brudmoment for de to tværsnit, dvs. 53,6 knm Som værdi for cot(θ) vælges på den sikre side 2,5. Hjælp Følgende resultater for simpelt understøttede statisk bestemte bjælker kan anvendes

26