Kosmologi supplerende note

Transkript

1 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 1/10 Kosmologi supplerende note Denne note omhandler skalafaktoren for Universets ekspansion, og i modellen er inkluderet de seneste resultater fra Planck-satellitten. Resultaterne blev offentliggjort i 013. [1] Kosmologien, som er teorien om Universets udvikling, forudsætter følgende forudsætninger til at være opfyldte: 1. Det copernikanske princip: Jorden er ikke anbragt et specielt sted i Universet.. Universet er homogent. Dvs. uanset hvor i Universet man er placeret, vil Universets tidslige udvikling se ens ud for samtlige observatører. 3. Universet er isotropt dvs Universet ser ens ud i alle retninger. Punkt 1 og 3 kan sandsynliggøres ved utallige observationer, og det ser muligvis ud til, at de er korrekte. 1 Punkt kan man ikke eftergøre, men man kan vise, at hvis punkt 1 og 3 er korrekte, så er punkt også korrekt. Hvis punkt passer, så er der også en universel tidsvariabel. Udfra forudsætningerne ovenfor er der udviklet en teori, som kaldes for Big Bang-teorien. Det er den teori, der pt bedst beskriver alle observationer. Teorien undergår en stadig udvikling, efterhånden som bedre data kontinuerligt indløber fra de mere og mere avancerede satellitter og jordbaserede teleskoper. Hvordan teorien i nærmere detalje er udviklet, vil vi ikke komme ind på her, men vi kan opridse nogle af resultaterne. (Interesserede kan f.eks. læse mere i reference [], [3] eller [4].) Skalafaktoren Ligesom man på et atlas over Danmark har anført en skalafaktor, så har man også på universel skala konstrueret en skalafaktor. I geografien kender læseren sikkert, at hvis kortet har skalafaktoren 1: , så betyder det, at 1cm på kortet svarer til cm=1km i virkeligheden. Nu fandt Hubble jo, at Universet udvider sig, så skalafaktoren for Universet er ikke konstant. Den er en funktion af tiden t. Vi kalder den for R(t). Hvis man kan finde forskriften for R(t), så har man altså en måde til at bestemme, hvordan Universet har set ud til alle tider, så længe man kan finde afstandene til et bestemt tidspunkt. Nedenfor betyder t 0 'nu,' dvs. Universets nuværende alder. r 0 betyder afstanden mellem to galasker i dag og r(t) betyder afstanden mellem de samme to galakser til tidspunktet t. r t =R t r t 0 = R t r 0 Vi ser, at R(t 0 )=1, hvis ligningen skal gælde og det skal den jo, da t 0 er i dag. Det har vist sig, at en funktion for skalafaktoren, der beskriver observationerne godt, er: R(t)=0,486 (e 0,08544 t e 0,08544 t 3 ) 1 Planck-satellitten har vist at Universets middeltemperatur ikke er ens i alle retninger. Dvs. Universet er ikke isotropt udfra de målinger. Tilsvarende er der partikelfysikere, der tvivler på at Universet er homogent. R(t) er justeret til at passe med Planck-satellittens resultater om at H 0=67,3km/sMpc og t 0=13,819Gyr. [3]

2 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side /10 Ovenfor skal man indsætte t i Gyr. Bemærk at R(0)=0, dvs. Universet ifølge modellen engang har været samlet i ét punkt. Med andre ord HELE verden har ligget i et punkt, der er mindre end et atom i størrelse! Dette resultat vil mange mennesker sikkert ikke acceptere, og der arbejdes da også på alternative teorier, hvor R(0)>0. Senere skal vi se, at temperaturen af Universet går mod uendelig for tiden gående mod 0, og uendeligheder betyder normalt at teorien bryder sammen. Vi kan altså sige noget om t=0. Hubbleloven Hvis man differentierer formlen for skalafaktoren, får man: R ' t r t r ' t =R ' t r 0 r ' t =. R t r ' t =v t. Dvs :v t = R ' t r t H t r t. R t Man ser, at Hubbleloven er en følge af det udvidende univers. Teorien forudsiger altså Hubbles observationelt bestemte lov. (Faktisk har man regnet baglæns, altså taget udgangspunkt i Hubbles lov ved hjælp af integralregning.) Vi ser, at H(t 0 )=R'(t 0 ), eftersom R(t 0 )=1. Dvs. vi har nu en målbar parameter, H 0, der kan bruges til at kontrollere vores modelskalafaktor. Tæthedsparameteren Der findes også en parameter, som kan bruges til at forudsige, om Universet vil fortsætte sin udvidelse for evigt, eller om det engang vil trække sig sammen. Parameteren er delt op i flere dele: Ω=Ω stof +Ω Mørk energi Ω=Ω synligt stof +Ω mørkt stof +Ω Mørk energi Ω=Ω M +Ω DM +Ω Λ De enkelte bidrag til tæthedsparameteren Synligt stof Det synlige stof, er det stof, som vi i princippet kan se i vore kikkerter. (Vi ser lyset fra stjerner, enkelte planeter og lysende tåger.) Figur 1. Afstande til galakser. Afstanden er målt vha lyskurver fra supernovaer. hub_col_bothbig.gif Det mørke stof Det mørke stof kan vi ikke se, men vi kan f.eks. ved hjælp af analyser af galakse-bevægelser og rotationskurver veje det mørke stof. Den mørke energi - kvintessensen Den mørke energi kaldes også af historiske grunde for kvintessensen det femte element. Den

3 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 3/10 repræsenterer et masse- (energi)-bidrag, som dog har en højst ejendommelig opførsel den virker nemlig frastødende i modsætning til normalt masse/energi, som jo virker tiltrækkende. (Husk at masse og energi er ækvivalente størrelser: E=m c.) Vi tror, den mørke energi er der, da legemer med meget høj rødforskydning (z>0,4) er 'for langt væk.' Noget må altså have accelereret deres bevægelse. Figur 1 viser de resultater, hvis fortolkning gav anledning til genfremstillingen af ideen om en universel frastødende kraft. (Einstein indførte ideen i 1917, men gik bort fra den igen, da han via Hubble hørte, at Universet udvider sig oprindeligt havde han indført den frastødende kraft, så man kunne få et statisk univers; altså et univers, der slet ikke udvidede sig.) Tæthedsparameterens fortolkning Beregninger viser, at man kan sige følgende om værdierne af tæthedsparameteren: Ω<1: Universet har en lav densitet, og det vil udvide sig for evigt. (Universets form er som en 3- dimensionel sadelflade i det 4-dimensionale rum-tid.) Ω=1: Universets densitet er netop så stor, at det vil udvide sig ud i det uendelige. (Universet er fladt dvs. euklidisk.) Ω>1: Universets densitet er så stor, at Universet en gang vil klappe sammen i et Big Crunch. (Universets form er lukket.) I dag viser målinger, at den bedste værdi for tæthedsparameteren Ω=1,0000. Universet vil altså udvide sig ud i al evighed. De enkelte bidrag er som følger: Ω M = 0,049 Ω DM = 0,68 Ω Λ = 0,683. Det er påfaldende, at det synlige univers øjensynligt kun udgør knap 5% af den samlede masse/energitæthed. Og det er vel også ret klart, at når vi kun kan se så lidt af Universet, vil det være ret arrogant at påstå, at vi har en sikker viden om Universets natur. Man kan derimod sige, at vi har en matematisk model, der er god, da den beskriver observationerne godt, og da dens forudsigelser også stemmer overens med observationer. Parametrene ovenfor giver koefficienterne i skalafaktoren R(t). Man kan beregne dem på følgende måde, når t måles i Gyr: R(t)=a (e b t e b t ) /3, hvor a= 3 Ω M +Ω DM og b= 3 H 0 4 Ω Λ Ω Λ, H 0 =67,3 km s Mpc = 1 14,53 Gyr. Øvelse. Omregn H 0=67,3km/(sMpc) til enheden Gyr -1.

4 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 4/10 Fortolkninger ved brug af skalafaktoren R(t) Da vi nu har et godt forslag til en skalafaktor, vil vi prøve at udlede/forudsige noget ud fra den. 1. Vi vil bestemme Universets alder.. Vi vil sammenligne modellens forudsigelse af H 0 og den observerede værdi. 3. Vi vil finde ud af hvad der sker med Universet i fremtiden. 4. Vi vil igen se på rødforskydning af fjerne galakser. 5. Vi vil finde Universets temperaturmæssige udvikling. 1. Universets alder Vi ved at skalafaktoren i dag skal være 1. Dvs. vi kan bruge udtrykket for R til at finde Universets alder t 0 : R(t 0 )=1=0,486 (e 0,08544 t 0 e 0,08544 t 0) 3 Ovenstående ligning er svær at løse analytisk, men et CAS-værktøj kan naturligvis hurtigt finde en løsning. Svaret på opgaven viser sig at være t 0 =13,819 Gyr.. Den nuværende Hubblekonstant Da H(t 0 )=R'(t 0 ) kan vi differentiere R(t) og indsætte den fundne værdi for t 0 : R(t)=0,486 (e 0,08544 t e 0,08544 t ) 3 1 R' (t )=0,486 3 (e0,08544 t e 0,08544 t ) 3 0,08544 (e 0,08544 t +e 0,08544 t ) R' (t 0 )=R ' (13,819)=0, (e0, ,819 e 0, ,819 ) 3 0,08544 (e 0, ,819 +e 0, ,819 ) R' (t 0 )=0,0688Gyr 1 Den observerede Hubblekonstant er H 0 =67,3 km/(s Mpc). 3 Vi skal altså have omregnet enhederne, så de passer sammen: 1 km s Mpc =1 103 m s 3, m 10 6 =3, s 1 67,3 km s Mpc =67,3 3, s 1 =, s 1, s 1. 1 Gyr = ,56 s =3, s 1 0,0688 Gyr 1 =0,0688 3, s 1 =, s 1, s 1. Man ser altså, at model og observation passer sammen, hvad de naturligvis også bør gøre. 3. Universets fremtid Udviklingen i Universet kan findes ved at tegne en graf over funktionen R(t)=0,486 (e 0,08544 t e 0,08544 t 3 ) 3 Kilde: Astronomy & Astrophysics manuscript no. draft p1011. March, 013. ESO.org.

5 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 5/10,5 Skalafaktor. År 003-modellen. Fittet marts 014 til Planck data R(t) 1,5 1 0, t/gyr Man ser at Universet vil udvide sig ud i det uendelige, og at bevægelsen vil ske hurtigere og hurtigere. (R'(t) kan som bekendt findes som tangenthældningen af grafen for det ønskede tidspunkt og man ser at tangenthældningen er stigende for voksende t>t Kosmologisk rødforskydning Førhen fortolkede vi galaksernes rødforskydning som en Dopplerforskydning altså at galakserne bevægede sig i rummet mod eller væk fra os. Big Bang teorien giver en ny fortolkning af rødforskydninger, såfremt de er så store, at vi kan se bort fra gravitationel tiltrækning mellem galakserne. Den nye fortolkning siger, at da galakserne bevæger sig sammen med rummet, og da rummet udvider sig, så er rødforskydningen en indikator på rummets udvidelse. Lad os regne på problematikken. Rødforskydningen z er defineret som: z t 0 t t Ovenfor betyder λ(t 0 ) den bølgelængde, som vi måler i dag, dvs. til tiden t 0. λ(t) betyder den bølgelængde, som bliver udsendt til tiden t. 4 Eftersom afstandene i rummet ændres med tiden, så vil bølgelængderne ændres i samme takt. Se figur. Dvs: r t 0 r t = t 0 t r t 0 r t =1 z R t =1 1 z = t 0 t 1 1 z= t 0 t Hvis vi måler rødforskydningen, z, fra en Figur. Hvis rummet udvider sig, vil bølgelængderne af det lys, der bevæger sig i rummet også forøges. 4 I forhold til den formel for rødforskydning, som vi hidtil har arbejdet med er der ingen forskel. Men indexerne betyder nu noget andet. Før betød index 0 jo laboratoriebølgelængden. Nu betyder den den observerede bølgelængde.

6 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 6/10 fjern galakse, så har vi altså målt skalafaktoren til den tid, hvor lyset blev udsendt. Da skalafaktoren er et mål for Universets størrelse, så må z altså også være et mål for Universets størrelse. Det er derfor man i litteraturen tit ser, at afstande er anført som en rødforskydning. Hvis man derimod vil finde afstande i Gpc f.eks., kan man rende ind i mange problemer. Det skyldes, at Universet jo udvider sig, imens lyset er undervejs. Hvis lyset er rigtig længe undervejs, kan Universet jo også have udvidet sig meget. Og så kan man jo undre sig over, hvad det er for en afstand man har bestemt: a) Er det afstanden i dag? b) Er det afstanden da lyset blev udsendt? c) Eller er det noget ind i mellem? Ved at anføre afstande som rødforskydninger slipper man i første omgang for at overveje ovenstående problem. På side 6 går vi lidt mere i detalje med afstandsberegninger. 5. Temperaturer i Universet Vi kan også finde temperaturens udvikling med tiden. Hertil benytter vi Wiens forskydningslov. t max T t =0,009 m K = t 0 max T t 0 t 0 max t max = T t T t 0 =1 z=1 R t T t = T t 0 R t =T t 0 1 z. I dag har blandt andet COBE-satellitten og WMAP-satellitten målt T(t 0 )=,755K. Dermed kan vi nu beregne Universets temperatur til alle tider/rødforskydninger. Atomkerner og elektroner (plasma) rekombinerer ved en temperatur på ca. 3000K. Dvs. neutrale atomer dannes. Dermed kan lys slippe gennem stoffet i plasmaet vil lys konstant blive spredt på elektronerne, og dermed kan det ikke bevæge sig frit. Vi kan altså finde rødforskydningen, da lyset begyndte at flyve frit: 3000 K=,755 K (1+z) z= 3000 K,755 K 1=1100. Dermed var skalafaktoren R(t rekombination )=1/1101. Universet var altså under en promille af dets nuværende størrelse. Vi kan også beregne hvornår det skete, da vi 'bare' skal isolere t i formlen for skalafaktoren: R(t rekombination )=1/1101=0,486 (e 0,08544 t rekombination e 0,08544 t rekombination) 3 t rekombination =4, Gyr=473 kyr. Den officielle værdi er 379kyr, som sandsynligvis skyldes, at vores valg af R(t) er ikke er helt korrekt. (Med vores R(t) skal T rekombination =3,48kK for at få den officielle værdi for rekombinationstiden.) Opgave 1. Benyt formlen for R(t) til at eftervise, at Universets alder er 13,8Gyr. (Brug f.eks. Solver i din lommeregner, eller anvend et regneark til at tegne en graf, som du kan aflæse på.). Find tiden for rekombinationen ved hjælp af formlen for R(t) og formlen for sammenhæng mellem R(t) og T(t). (Dvs. tjek at rekombinationstiden er 473kyr.)

7 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 7/10 Kosmologisk afstande Rødforskydning af lys (og lyd) er defineret som z= Δ λ λ, hvor λ 0 er en spektrallinie målt i 0 laboratoriet og Δ λ er forskellen mellem laboratoriebølgelængden og den målte spektrallinie fra en bevægende lysgiver. Edwin Hubble målte galaksers rødforskydning, z, og fandt, at rødforskydningen af galaksernes lys og deres afstand, d, til Mælkevejen hænger sammen på følgende måde: v= H 0 d, hvor v= z c. Oprindeligt blev rødforskydningen fortolket som en dopplerforskydning af galaksernes lys i rummet. Doppler viste, at v=c z for legemer, der bevæger sig bort fra en modtager, hvor v er lysgiverens hastighed i forhold til modtageren af lyset, og c er lysets hastighed. Man troede altså oprindeligt, at galakserne bevæger sig igennem rummet, og at de bevæger sig bort fra hinanden. Da Big Bang-teorien blev grundlagt, fortolkede man Hubbles lov anderledes. Galakserne bevæger sig ganske rigtigt bort fra os, men ikke i et statisk Univers. I stedet for er galakserne klistret sammen med rummet, og de deltager så på overordnet vis i Universets udvidelse. Foruden deltagelsen i rummets udvidelse, påvirker galakserne naturligvis også hinanden med gravitationen, så der også kan være lokal bevægelse i selve rummet. Øvelse. Overvej forskellen mellem den klassiske forståelse af galaksernes rødforskydning og den kosmologiske forståelse af galaksernes rødforskydning. Man kan derfor rettelig spørge sig selv, om Dopplers formel passer ind i den nye fortolkning. Det vil vi undersøge herunder. På side 5 har vi udledt formlen 1+z= r(t ) 0, hvor r(t) angiver afstanden fra Mælkevejen til en r(t) galakse til tiden t og r(t 0 ) angiver afstanden til galaksen i dag. Se også Figur 3. Figur 3. Mælkevejen er til venstre og en fjerntliggende galakse er til højre. Det lille galaksebillede er lånt fra Paulbourke.net. I det betragtede tidsrum, Δ t=t 0 t har galakserne altså bevæget sig afstanden Δ s=r(t 0 ) r (t). Hvis galaksernes indbyrdes hastighed, v, har været konstant i tidsrummet, kan vi skrive den tilbagelagte afstand som Δ s=v Δ t. Lyset har omtrent 5 bevæget sig r (t 0 ) i tidsrummet Δ t, dvs. 5 Omtrent fordi den faktiske afstand ligger et sted mellem r(t 0) og r(t e). Galakserne har jo bevæget sig et stykke fra hinanden i tidsrummet.

8 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 8/10 r (t 0 )=c Δ t, hvor c er lysets hastighed. Nu ved vi nok til at kunne opstille et udtryk for rødforskydningen: 1+z= r(t ) 0 r(t) Δ s=r (t ) r(t ) Δ s=v Δ t r(t )=c Δ t 0 0 z= r(t 0) r(t ) 1 v Δ t=r (t ) r(t ) r(t )=c Δ t 0 0 z= v r (t 0) c r(t ) v c. Vi får altså den samme formel for rødforskydningen, som man får ved alm. dopplerforskydning, dog under den forudsætning, at galakserne ikke har bevæget sig ret langt i det forløbne tidsrum. Øvelse: Gennemgå beregningerne ovenfor og forvis dig om, at du forstår dem. r (t Hvis lyset har været for længe undervejs, vil forholdet 0 ) 1. Galaksernes relative hastighed, r (t) v, vil heller ikke være konstant. Derfor bliver formlen for afstanden mellem to galakser også anderledes. Betragt figur 4. z= r(t 0 ) r (t) = v Δ t r(t ) r(t ) Δ t=r(t ) 0 c Figur 4. Lysets bevægelse er splittet op i en masse små delafstande, dr(t). dr(t) og dr(t 0) angiver afstanden i et lille interval til to tidspunkter. De er forskellige, fordi universet har udvidet sig i tidsrummet fra t til t 0. Ud fra skalafaktoren har vi r (t)=r(t) r (t 0 ). Vi splitter lysets vandring fra galaksen hen til Mælkevejen op i en (uendelig) mængde små strækninger, dr, som lyset bruger, dt, på at tilbagelægge. Lyset bevæger sig jo med lysets hastighed, og derfor må vi kunne opskrive intervallerne som dr (t)=c dt. Denne lille strækning, dr, vokser i tidens løb, da Universet udvider sig. Dvs. i dag vil længden af et afstandsinterval være dr (t 0 )= dr(t ). Vi kan nu summe op, så vi får R (t) den samlede tilbagelagte strækning i dag:

9 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 9/10 r 0 r (t 0 )= 0 t 0 c d r (t 0 )= t e R(t) dt, t e angiver tidspunktet, hvor lyset blev udsendt, og t 0 angiver i dag. Afstandsberegning 003-modellen af skalafaktoren er som nævnt på side 1 R(t)=0,486 (e 0,08544 t e 0,08544 t ) 3. Da R(t)= 1 kan man altså ved observation af z finde R(t), og derefter kan man beregne t e. 1+ z Endelig kan r(t 0 ) bestemmes, da R(t 0 ) 1. Eksempel: Kvasaren 3C 73. Man har målt rødforskydningen til z=0,159. (Se f. eks. opgave 16.5 i Universets melodi.) R(t e )= ,159 =0,863. Ved brug af et CAS-værktøj, kan man nu finde t e. 0,863=0,486 (e 0,08544 t e e 0,08544 t e) 3 t e =11,8 Gyr. Dermed bliver den nuværende afstand til 3C 73: 13,8 306,79 Mpc Gyr r (t 0 )= dt =666 Mpc. 11,8 0,486 (e 0,08544 t e 0,08544 t /3 ) Hvis man benytter sig af den klassiske formel får man at v=c z=h 0 d d = c z 0,159 3, km s = H 0 67,3 km =709 Mpc. s Mpc Altså en afvigelse på 43Mpc. Og fejlen bliver større og større des større rødforskydning, man måler. Opgave 1. Post starburst galakser. (Kræver numerisk ligningsløser.) 6 Nogle specielle galakser har fået målt rødforskydninger på z=0,8. a) Beregn det tidspunkt lyset blev udsendt. b) Beregn den nuværende afstand til galakserne. c) Sammenlign med den værdi, som man får med Hubbles lov. Opgave. Gamma Ray burst GRB 09049B 7 Man har målt rødforskydningen for et gammaudbrud. z=9,4. a) Beregn det tidspunkt lyset blev udsendt. b) Beregn den nuværende afstand til GRB 0904B. c) Sammenlign med den værdi, som man får med Hubbles lov. Bemærk, at man altså i dag har målt rødforskydninger z>1. Det fortæller med al tydelighed, at en dopplerfortolkning af galaksernes bevægelse ikke kan være korrekt, da z aldrig må blive over 1. Ellers ville galakserne jo bevæge sig hurtigere end lyset. Konklusion Med en funktion for R(t) bliver man i stand til at beregne mange interessante størrelser for Universet. Vi har bestemt alder, tidspunkt for rekombination, tjekket R'(t 0 ) med den målte Hubblekonstant, fundet rødforskydning og temperaturudvikling af Universet. Endelig har vi opstillet en formel til at finde aktuelle afstande på allerstørste skala under forudsætningen at den

10 Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 10/10 valgte skalafaktor er korrekt. Referencer 1. Planck 013 Results XVI. Cosmological Parameters. Astronomy & Astrophysics, manuscript draft no. draft p. 1011, March, ESO, Big Bang. Kosmologi med mekanik af Helge Kastrup, Munksgaards dimensioner. 3. Universer og Universet af Kurt Jakobsen, Fysikforlaget Cosmology 4th edition af Michael Rowan-Robinson, Clarendon Press, Oxford, 004.