Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
|
|
- Inger Lauridsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553] idste gang så vi, hvordan man vha. Fourierrækker kunne løse bølgeligningen med visse yderligere betingelser ( additional conditions ). Vi vil nu løse bølgeligningen på en meget mere direkte måde, d Alemberts metode, som er et specialtilfælde af karakteristikmetoden. At I præsenteres for to forskellige metoder, hvor den ene er meget mere direkte end den anden, skyldes naturligvis, at Fourierrækkemetoden er anvendelig i langt flere tilfælde end d Alemberts metode. Vi gennemgår først d Alemberts metode, som er karakteristikmetoden i tilfældet bølgeligningen. Vi betragter altså u tt = c 2 u xx, hvor c 2 = ρ. Vi introducerer nu nye variable til (midlertidig) erstatning for x og t: v = x + ct og w = x ct. Idet så er x = 1(v + w) og t = 1 (v w) 2 2c u(x, t) = u( 1(v + w), 1 (v w)) 2 2c og vi definerer nu en funktion ũ ved ũ(v, w) = u( 1(v +w), 1 (v w)), som egentlig blot er u udtryk 2 2c i andre koordinater. Betragter vi v og w som funktioner af x og t, så får vi, at Ved hjælp af kædereglen giver dette u(x, t) = ũ(v(x, t), w(x, t)). u x = ũ v v x + ũ w w x = ũ v + ũ w. 1
2 Under antagelse af, at ũ wv afledede), så ser vi nu, at = ũ vw (hvilket gælder, hvis u har kontinuerte partielt andenordens For u tt får vi tilsvarende u xx = (ũ v + ũ W ) x = (ũ v + ũ w ) v v x + (ũ v + ũ w ) w w x = ũ vv + 2ũ vw + ũ ww. u tt = (ũ t ) t = (ũ v v t + ũ w w t ) t = (cũ v cũ w ) t = c(ũ vv v t + ũ vw w t ) c(ũ wv v t + ũ ww w t ) = c 2 (ũ vv ũ vw ) c 2 (ũ wv ũ ww ) = c 2 (ũ vv 2u vw + u ww ), men dermed giver bølgeligningen, at ũ vw = 0. Denne partielle differentialligning (i variablene v og w) kan nu løses ved først at integrere mht. den ene og derefter mht. den anden variabel: ũ v = 0 dw + h(v) = h(v) og ũ = h(v) dv + ψ(w), hvor h og ψ dukker op som integrationskonstanter. Da h er tilfældig, kan vi blot sætte h(v) dv = ϕ uden at miste information, og en løsning er altså på formen u(x, t) = ũ(v(x, t), w(x, t)) = ϕ(v(x, t)) + ψ(w(x, t)) = ϕ(x + ct) + ψ(x ct), for arbitrære funktioner ϕ og ψ. Denne løsning kaldes d Alemberts løsning. Hvis vi får givet begyndelsesbetingelserne u(x, 0) = f(x) og u t (x, 0) = g(x), så giver relativt simple beregninger (detaljer kan findes i bogen på side 554), at ϕ og ψ må være givet, så u(x, t) = 1 2 (f(x + ct) + f(x ct)) + 1 2c x+ct som altså har den rigtige form, idet vi bemærker, at det svarer til ϕ(x) = 1 2 f(x) + 1 2c x 0 x ct g(s) ds, g(s) ds og ψ(x) = 1 2 f(x) 1 2c x 0 g(s) ds. Det kan vises, at hvis man tilføjer randbetingelserne u(0, t) = 0 = u(l, t), så skal f nødvendigvis være ulige og have periode 2L. 2
3 1.2 Karakteristikmetoden om nævnt er d Alemberts metode et specialtilfælde af karakteristikmetoden, som mere generelt kan bruges på PDF er på formen Au xx + 2Bu xy + Cu yy = F (x, y, u, u x, u y ), som kaldes kvasilineær, fordi den er lineær i de afledede af højest grad. A, B og C kan enten være funktioner af x og/eller y, eller de kan være konstanter. PDE er på denne form klassificeres efter fortegnet på AC B 2 på følgende måde: ype Fortegn Eksempel Hyperbolsk AC B 2 < 0 1-dimensionel bølgeligning Parabolsk AC B 2 = 0 1-dimensionel varmeligning Elliptisk AC B 2 > 0 2-dimensionel Laplace-ligning Her vil den den vågne læser naturligvis protestere højlydt! For hvis A, B og C er funktioner, så har AC B 2 jo ikke nødvendigvis konstant fortegn. Frygt ej, i dette tilfælde taler man så blot om at PDE en er af blandet type, og i afgrænsede områder af xy-planen vil typen stadig være veldefineret. Vi bemærker også, at de uafhængige variable ovenfor er benævnt x og y, mens både bølgeligningen og varmeligningen naturligt formuleres med en tidslig tolkning af andenkoordinaten, som jo normalt betegnes med t. Her vil det normalt være naturligt blot at omdøbe y til t, men for at bringe ligningnerne på en lidt pænere form er det dog kutyme i stedet at sætte y = ct i bølgeligningen og y = c 2 t i varmeligningen. Herved fås hhv. u tt c 2 u xx = c 2 (u yy u xx ) = 0 og u t c 2 u xx = c 2 (u y u xx ) = 0. Idéen i karakteristikmetoden er at bringe PDE en på såkaldt normalform, som afhænger af typen af PDE. Fælles for alle tre typer er det dog, at man først skal løse ODE en A(y (x)) 2 2By(x) + C = 0, (1) som kaldes den karakteristiske ligning. Bemærk her, at det er y 2, ikke y, samt at det er 2B og ikke 2B foran y! I det hyperbolske og det elliptiske tilfælde vil (1) have to familier af løsninger, mens der i det parabolske tilfælde kun er én familie af løsninger. Familierne af løsninger kan skrives påfølgende form: Φ(x, y(x)) = k og Ψ(x, y(x)) = k, hvor k er en vilkårlig konstant. De to funktioner, Φ og Ψ, kaldes karakteristikker for PDE en. om i d Alemberts metode indfører vi nu nogle andre koordinater v og w samt en ũ, som blot er u beskrevet i disse koordinater. Hvad v og w er, afhænger ligesom normalformen af PDE ens type og fremgår af nedenstående: ype Nye variable Normalform Hyperbolsk v = Φ(x, y) w = Ψ(x, y) ũ vw (v, w) = F (v, w, ũ, ũ v, ũ w ) Parabolsk v = x w = Ψ(x, y) = Φ(x, y) ũ ww (v, w) = F (v, w, ũ, ũ v, ũ w ) Elliptisk v = 1 2 (Ψ(x, y) + Φ(x, y)) w = 1 2i (Ψ(x, y) Φ(x, y)) ũ vv (v, w) + ũ ww (v, w) = F (v, w, ũ, ũ v, ũ w ) 3
4 Når problemet er bragt på normalform, løses på bedste vis mht. ũ, og herefter findes u ved at finde sammenhængen mellem ũ og u vha. koordinatskiftet. Det ses, at bølgeligningen omskrevet til formen u yy u xx = 0 (vi har divideret med c 2 ) som påstået ovenfor er af hyperbolsk type (1 ( 1) = 1 < 0). Vi bemærker, at vi i d Alemberts metode da netop også løste en differentialligning af samme form som den hyperbolske normalform med F 0. For illustration gentager vi nu øvelsen uden argumenter, men blot ved at følge ovenstående opskrift. Et bevis for metoden er udenfor kursets afgrænsning. Eksempel 1.1 (Example 1 i bogen side 556). Vi står altså med den hyperbolske PDE u yy u xx = F, hvor F 0. Den karakteristiske ligning er Ay 2 2By + C = 1 y y + 1 = (y + 1)(y 1) = 0, som altså er opfyldt, hvis y + 1 = 0 eller y 1 = 0. Disse to ODE er har oplagt løsningerne y(x) = x + k og y(x) = x + k, hhv. Vi kan altså skrive de to familier af løsninger på formen Φ(x, y(x)) = k for Φ(x, y) = y + x og Ψ(x, y(x)) = k for Ψ(x, y) = y x. Vi sætter derfor v = Φ(x, y) = y+x og w = Ψ(x, y) = x y. Det giver ũ(v, w) = u( 1 2 (v+w), 1 2 (v w)). Vi skal nu løse ũ vw = F 0, og vi er altså tilbage i d Alemberts setup. Vi får derfor på samme måde som før u(x, y) = ϕ(x + y) + ψ(x y), som jo grundet koordinatskiftet y = ct netop er d Alemberts løsning. 1.3 Udledning af varmeligningen [Bogens sektion 12.5 på side 557] Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen udlede varmeligningen, som er en model for udbredelse af varmen u, som er en funktion af de tre rumlige koordinater x, y og z samt tiden t, i et legeme, udfra fysiske betragtninger. Vi begynder som før med nogle fysiske antagelser. 1. Den specifikke varmekapacitet σ og materialets tæthed ρ er konstant gennem legemet. 2. Der bliver ikke produceret eller fjernet varme fra legemet. 3. Varme bevæger sig fra varme til kolde områder af legemet på en sådan måde, at strømningsraten er proportional med gradienten (store temperaturforskelle giver hurtigere udveksling). Dette kan skrives v = K grad u, (2) hvor v betegner hastigheden af varmestrømningen. 4. Varmeledningsevnen er konstant gennem legemet. Dette svarer til, at K i ovenstående udtryk er en konstant. 4
5 Under disse antagelser vil vi nu udlede varmeligningen. Lad være en kube i legemet med overflade og n: R 3 være en såkaldt ydre normalvektor af længde 1. Dette betyder blot, at for hvert punkt p i overfladen af kuben, så er n(p) en vektor, som står vinkelret på, peger udad, og har længde 1. Da måler v(p) n(p) hastigheden, hvormed varmen forlader (eller, hvis tallet er negativt, trænger ind i) kuben i netop punktet p. Hvis vi altså integrerer over (tænk på det som summen af integraler over hver side af kuben for sig for et passende valg af koordinatsystem svarer dette altså blot til, at man kun integrerer over to af de rumlige koordinater), så får vi altså den samlede mængde af varme, der forlader (hvis integralet er positivt), eller trænger ind i (hvis integralet er negativt), : v(p) n(p) da, hvor da angiver, at vi integrerer over et overfladeareal. At integrere over en overflade af en kube i R 3 svarer til, at man integrerer over endepunkterne i et interval i R 1. At integrere over endepunkter af et interval betyder blot, at man tager summen af værdierne i hvert endepunkt. At gange en ydre normalvektor af længde 1 på integranten i det endimensionelle tilfælde betyder tilsvarende, at venstre endepunkt ganges med 1 mens højre endepunkt ganges med +1. Alt i alt ender vi altså med, at den endimensionelle pendant til ovenstående overfladeintegral i R 3 svarer til v(b) v(a), hvor a og b er hhv. venstre og højre endepunkt af intervallet. Hvis v ellers er differentiabel, ser vi nu, at denne sum også kan skrives som v(b) v(a) = b a v (x) dx. Det viser sig, at denne formel også har en pendant i R 3, som hedder Gauss divergenssætning. ætning 1.2 (heorem 1 i bogen på side 453). Lad være en lukket, begrænset delmængde i R 3 med en overflade som er orienterbar (dvs. at man meningsfyldt kan tale om yder- og inderside), stykkevist glat (dvs. at kan deles op i endeligt mange dele = i i hvorpå den ydre normalvektor af længde 1 n: i R 3 er kontinuert). Lad F være en vektorfunktion som har kontinuerte partielt afledede i et domæne som indeholder. å er div F dv = F n da. Bruger vi nu antagelsen (2) og anvender Gauss divergenssætning på udtrykket, får vi v n da = K (grad u) n da = K Vi kan også beregne den totale mængde varme i : H = 5 σρu dv, div(grad u) dv = K 2 u dv.
6 Mængden af varme, der forlader, må derfor også være H t = σρ u t dv, idet der ikke bliver produceret varme i eller fjernet varme fra legemet. Altså har vi at σρ u ( u ) dv = K 2 u dv eller t t c2 2 u dv = 0, hvor c 2 = K skrives som et kvadrat, fordi tallet er positivt. Da dette skal gælde for alle kuber, σρ ligegyldigt hvor små, bliver integranten nødt til at være 0 næsten overalt, hvilket for kontinuerte funktioner medfører, at det gælder overalt. Vi har altså vist, at antagelserne fører til varmeligningen u t = c2 2 u, hvis løsning giver temperaturen i et givet punkt til et givet tidspunkt, og konstanten c 2 kaldes den termiske diffusivitet. Bemærk, at varmeligningen også modellerer kemiske diffusionsprocesser, og derfor også går under navnet diffusionsligningen. 6
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 3 november 6 Numeriske metoder til løsning af differentialligninger Bevarelseslove I det følgende vil vi skrive p for et punkt
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Metoder
Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder 3 1.1 Metoder til ODE er af første orden............................ 3 1.1.1 Separation
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereMatematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses
Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereNumerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning Opgave 1: r ( t) Q( 7,8) 21. maj 2019: Delprøven UDEN hjælpemidler 2t + 1 = 2 t 1 a) Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af t-værdien: 2
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling
Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden............................ 3.. Separation
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mere