Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11"

Transkript

1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553] idste gang så vi, hvordan man vha. Fourierrækker kunne løse bølgeligningen med visse yderligere betingelser ( additional conditions ). Vi vil nu løse bølgeligningen på en meget mere direkte måde, d Alemberts metode, som er et specialtilfælde af karakteristikmetoden. At I præsenteres for to forskellige metoder, hvor den ene er meget mere direkte end den anden, skyldes naturligvis, at Fourierrækkemetoden er anvendelig i langt flere tilfælde end d Alemberts metode. Vi gennemgår først d Alemberts metode, som er karakteristikmetoden i tilfældet bølgeligningen. Vi betragter altså u tt = c 2 u xx, hvor c 2 = ρ. Vi introducerer nu nye variable til (midlertidig) erstatning for x og t: v = x + ct og w = x ct. Idet så er x = 1(v + w) og t = 1 (v w) 2 2c u(x, t) = u( 1(v + w), 1 (v w)) 2 2c og vi definerer nu en funktion ũ ved ũ(v, w) = u( 1(v +w), 1 (v w)), som egentlig blot er u udtryk 2 2c i andre koordinater. Betragter vi v og w som funktioner af x og t, så får vi, at Ved hjælp af kædereglen giver dette u(x, t) = ũ(v(x, t), w(x, t)). u x = ũ v v x + ũ w w x = ũ v + ũ w. 1

2 Under antagelse af, at ũ wv afledede), så ser vi nu, at = ũ vw (hvilket gælder, hvis u har kontinuerte partielt andenordens For u tt får vi tilsvarende u xx = (ũ v + ũ W ) x = (ũ v + ũ w ) v v x + (ũ v + ũ w ) w w x = ũ vv + 2ũ vw + ũ ww. u tt = (ũ t ) t = (ũ v v t + ũ w w t ) t = (cũ v cũ w ) t = c(ũ vv v t + ũ vw w t ) c(ũ wv v t + ũ ww w t ) = c 2 (ũ vv ũ vw ) c 2 (ũ wv ũ ww ) = c 2 (ũ vv 2u vw + u ww ), men dermed giver bølgeligningen, at ũ vw = 0. Denne partielle differentialligning (i variablene v og w) kan nu løses ved først at integrere mht. den ene og derefter mht. den anden variabel: ũ v = 0 dw + h(v) = h(v) og ũ = h(v) dv + ψ(w), hvor h og ψ dukker op som integrationskonstanter. Da h er tilfældig, kan vi blot sætte h(v) dv = ϕ uden at miste information, og en løsning er altså på formen u(x, t) = ũ(v(x, t), w(x, t)) = ϕ(v(x, t)) + ψ(w(x, t)) = ϕ(x + ct) + ψ(x ct), for arbitrære funktioner ϕ og ψ. Denne løsning kaldes d Alemberts løsning. Hvis vi får givet begyndelsesbetingelserne u(x, 0) = f(x) og u t (x, 0) = g(x), så giver relativt simple beregninger (detaljer kan findes i bogen på side 554), at ϕ og ψ må være givet, så u(x, t) = 1 2 (f(x + ct) + f(x ct)) + 1 2c x+ct som altså har den rigtige form, idet vi bemærker, at det svarer til ϕ(x) = 1 2 f(x) + 1 2c x 0 x ct g(s) ds, g(s) ds og ψ(x) = 1 2 f(x) 1 2c x 0 g(s) ds. Det kan vises, at hvis man tilføjer randbetingelserne u(0, t) = 0 = u(l, t), så skal f nødvendigvis være ulige og have periode 2L. 2

3 1.2 Karakteristikmetoden om nævnt er d Alemberts metode et specialtilfælde af karakteristikmetoden, som mere generelt kan bruges på PDF er på formen Au xx + 2Bu xy + Cu yy = F (x, y, u, u x, u y ), som kaldes kvasilineær, fordi den er lineær i de afledede af højest grad. A, B og C kan enten være funktioner af x og/eller y, eller de kan være konstanter. PDE er på denne form klassificeres efter fortegnet på AC B 2 på følgende måde: ype Fortegn Eksempel Hyperbolsk AC B 2 < 0 1-dimensionel bølgeligning Parabolsk AC B 2 = 0 1-dimensionel varmeligning Elliptisk AC B 2 > 0 2-dimensionel Laplace-ligning Her vil den den vågne læser naturligvis protestere højlydt! For hvis A, B og C er funktioner, så har AC B 2 jo ikke nødvendigvis konstant fortegn. Frygt ej, i dette tilfælde taler man så blot om at PDE en er af blandet type, og i afgrænsede områder af xy-planen vil typen stadig være veldefineret. Vi bemærker også, at de uafhængige variable ovenfor er benævnt x og y, mens både bølgeligningen og varmeligningen naturligt formuleres med en tidslig tolkning af andenkoordinaten, som jo normalt betegnes med t. Her vil det normalt være naturligt blot at omdøbe y til t, men for at bringe ligningnerne på en lidt pænere form er det dog kutyme i stedet at sætte y = ct i bølgeligningen og y = c 2 t i varmeligningen. Herved fås hhv. u tt c 2 u xx = c 2 (u yy u xx ) = 0 og u t c 2 u xx = c 2 (u y u xx ) = 0. Idéen i karakteristikmetoden er at bringe PDE en på såkaldt normalform, som afhænger af typen af PDE. Fælles for alle tre typer er det dog, at man først skal løse ODE en A(y (x)) 2 2By(x) + C = 0, (1) som kaldes den karakteristiske ligning. Bemærk her, at det er y 2, ikke y, samt at det er 2B og ikke 2B foran y! I det hyperbolske og det elliptiske tilfælde vil (1) have to familier af løsninger, mens der i det parabolske tilfælde kun er én familie af løsninger. Familierne af løsninger kan skrives påfølgende form: Φ(x, y(x)) = k og Ψ(x, y(x)) = k, hvor k er en vilkårlig konstant. De to funktioner, Φ og Ψ, kaldes karakteristikker for PDE en. om i d Alemberts metode indfører vi nu nogle andre koordinater v og w samt en ũ, som blot er u beskrevet i disse koordinater. Hvad v og w er, afhænger ligesom normalformen af PDE ens type og fremgår af nedenstående: ype Nye variable Normalform Hyperbolsk v = Φ(x, y) w = Ψ(x, y) ũ vw (v, w) = F (v, w, ũ, ũ v, ũ w ) Parabolsk v = x w = Ψ(x, y) = Φ(x, y) ũ ww (v, w) = F (v, w, ũ, ũ v, ũ w ) Elliptisk v = 1 2 (Ψ(x, y) + Φ(x, y)) w = 1 2i (Ψ(x, y) Φ(x, y)) ũ vv (v, w) + ũ ww (v, w) = F (v, w, ũ, ũ v, ũ w ) 3

4 Når problemet er bragt på normalform, løses på bedste vis mht. ũ, og herefter findes u ved at finde sammenhængen mellem ũ og u vha. koordinatskiftet. Det ses, at bølgeligningen omskrevet til formen u yy u xx = 0 (vi har divideret med c 2 ) som påstået ovenfor er af hyperbolsk type (1 ( 1) = 1 < 0). Vi bemærker, at vi i d Alemberts metode da netop også løste en differentialligning af samme form som den hyperbolske normalform med F 0. For illustration gentager vi nu øvelsen uden argumenter, men blot ved at følge ovenstående opskrift. Et bevis for metoden er udenfor kursets afgrænsning. Eksempel 1.1 (Example 1 i bogen side 556). Vi står altså med den hyperbolske PDE u yy u xx = F, hvor F 0. Den karakteristiske ligning er Ay 2 2By + C = 1 y y + 1 = (y + 1)(y 1) = 0, som altså er opfyldt, hvis y + 1 = 0 eller y 1 = 0. Disse to ODE er har oplagt løsningerne y(x) = x + k og y(x) = x + k, hhv. Vi kan altså skrive de to familier af løsninger på formen Φ(x, y(x)) = k for Φ(x, y) = y + x og Ψ(x, y(x)) = k for Ψ(x, y) = y x. Vi sætter derfor v = Φ(x, y) = y+x og w = Ψ(x, y) = x y. Det giver ũ(v, w) = u( 1 2 (v+w), 1 2 (v w)). Vi skal nu løse ũ vw = F 0, og vi er altså tilbage i d Alemberts setup. Vi får derfor på samme måde som før u(x, y) = ϕ(x + y) + ψ(x y), som jo grundet koordinatskiftet y = ct netop er d Alemberts løsning. 1.3 Udledning af varmeligningen [Bogens sektion 12.5 på side 557] Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen udlede varmeligningen, som er en model for udbredelse af varmen u, som er en funktion af de tre rumlige koordinater x, y og z samt tiden t, i et legeme, udfra fysiske betragtninger. Vi begynder som før med nogle fysiske antagelser. 1. Den specifikke varmekapacitet σ og materialets tæthed ρ er konstant gennem legemet. 2. Der bliver ikke produceret eller fjernet varme fra legemet. 3. Varme bevæger sig fra varme til kolde områder af legemet på en sådan måde, at strømningsraten er proportional med gradienten (store temperaturforskelle giver hurtigere udveksling). Dette kan skrives v = K grad u, (2) hvor v betegner hastigheden af varmestrømningen. 4. Varmeledningsevnen er konstant gennem legemet. Dette svarer til, at K i ovenstående udtryk er en konstant. 4

5 Under disse antagelser vil vi nu udlede varmeligningen. Lad være en kube i legemet med overflade og n: R 3 være en såkaldt ydre normalvektor af længde 1. Dette betyder blot, at for hvert punkt p i overfladen af kuben, så er n(p) en vektor, som står vinkelret på, peger udad, og har længde 1. Da måler v(p) n(p) hastigheden, hvormed varmen forlader (eller, hvis tallet er negativt, trænger ind i) kuben i netop punktet p. Hvis vi altså integrerer over (tænk på det som summen af integraler over hver side af kuben for sig for et passende valg af koordinatsystem svarer dette altså blot til, at man kun integrerer over to af de rumlige koordinater), så får vi altså den samlede mængde af varme, der forlader (hvis integralet er positivt), eller trænger ind i (hvis integralet er negativt), : v(p) n(p) da, hvor da angiver, at vi integrerer over et overfladeareal. At integrere over en overflade af en kube i R 3 svarer til, at man integrerer over endepunkterne i et interval i R 1. At integrere over endepunkter af et interval betyder blot, at man tager summen af værdierne i hvert endepunkt. At gange en ydre normalvektor af længde 1 på integranten i det endimensionelle tilfælde betyder tilsvarende, at venstre endepunkt ganges med 1 mens højre endepunkt ganges med +1. Alt i alt ender vi altså med, at den endimensionelle pendant til ovenstående overfladeintegral i R 3 svarer til v(b) v(a), hvor a og b er hhv. venstre og højre endepunkt af intervallet. Hvis v ellers er differentiabel, ser vi nu, at denne sum også kan skrives som v(b) v(a) = b a v (x) dx. Det viser sig, at denne formel også har en pendant i R 3, som hedder Gauss divergenssætning. ætning 1.2 (heorem 1 i bogen på side 453). Lad være en lukket, begrænset delmængde i R 3 med en overflade som er orienterbar (dvs. at man meningsfyldt kan tale om yder- og inderside), stykkevist glat (dvs. at kan deles op i endeligt mange dele = i i hvorpå den ydre normalvektor af længde 1 n: i R 3 er kontinuert). Lad F være en vektorfunktion som har kontinuerte partielt afledede i et domæne som indeholder. å er div F dv = F n da. Bruger vi nu antagelsen (2) og anvender Gauss divergenssætning på udtrykket, får vi v n da = K (grad u) n da = K Vi kan også beregne den totale mængde varme i : H = 5 σρu dv, div(grad u) dv = K 2 u dv.

6 Mængden af varme, der forlader, må derfor også være H t = σρ u t dv, idet der ikke bliver produceret varme i eller fjernet varme fra legemet. Altså har vi at σρ u ( u ) dv = K 2 u dv eller t t c2 2 u dv = 0, hvor c 2 = K skrives som et kvadrat, fordi tallet er positivt. Da dette skal gælde for alle kuber, σρ ligegyldigt hvor små, bliver integranten nødt til at være 0 næsten overalt, hvilket for kontinuerte funktioner medfører, at det gælder overalt. Vi har altså vist, at antagelserne fører til varmeligningen u t = c2 2 u, hvis løsning giver temperaturen i et givet punkt til et givet tidspunkt, og konstanten c 2 kaldes den termiske diffusivitet. Bemærk, at varmeligningen også modellerer kemiske diffusionsprocesser, og derfor også går under navnet diffusionsligningen. 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 3 november 6 Numeriske metoder til løsning af differentialligninger Bevarelseslove I det følgende vil vi skrive p for et punkt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder 3 1.1 Metoder til ODE er af første orden............................ 3 1.1.1 Separation

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Lektion 8 Differentialligninger

Lektion 8 Differentialligninger Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden............................ 3.. Separation

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger Numerisk løsning af differentialligninger Begyndelsesværdiproblemet Vi vil se på løsning af begyndelsesværdiproblemet: dx( t) x ( t) f ( x, t) dt x ( t ) 0 x0 hvor vi vil foretage numerisk integration

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere