Opgavesamling. i statistik

Transkript

1 Opgavesamling i statistik Samlet og redigeret af Finn Klitvang og Jørgen Lauridsen

2 FORORD Opgavesamlingen er udarbejdet til brug ved samfundsvidenskabelige uddannelser og indeholder stort set kun opgaver, der er benyttet i undervisningen og ved eksamen på Syddansk Universitet. Opgavesamlingen består af 2 dele: 1) Opgaver der er emneopdelt, og 2) eksamensopgaver, der er benævnt med et E og placeret sidst. Emneopdelingen er stort set den klassiske og følger således disponeringen i størsteparten af den statistiske litteratur på det samfundsvidenskabelige område. Opdelingen er som følger: Beskrivende statistik Kombinatorik og sandsynlighedsregning Stokastiske variable og sandsynlighedsfordelinger Stikprøvefordelinger og estimation Intervalestimation Hypoteseprøvning Klassetest Regressionsanalyse (simpel og multipel) Variansanalyse. Opgaverne bliver mere og mere omfattende, overgangen mellem emnerne er flydende, og de senere opgaver dækker emneområderne til og med det aktuelle. Eksamensopgaver stillet siden 1999 er medtaget. Opgaverne E 1 og E 2 er individuelle opgaver, medens de efterfølgende E-opgaver er gruppeopgaver. Data til en del af opgaverne findes i elektronisk form (SAS og Excel) på internettet. Odense, august 2003 Finn Klitvang og Jørgen Lauridsen

3 Opgave 1 For at danne sig et indtryk af en årgangs egenskaber i matematik tager en lærer en stikprøve af karakterer fra den adgangsgivende eksamen i matematik. Han udtager simpelt tilfældigt 10 karakterer med følgende resultat: Spm. 1) Beregn stikprøvens median, gennemsnit og modalværdi. Spm. 2) Beregn stikprøvens varians, standardafvigelse og variationsbredde. Spm. 3) Beregn, inden for hvilke grænser 75% af årgangens karakterer fra den adgangsgivende eksamen i matematik vil ligge (Vink: Chebyshev). Opgave 2 RUDER-Supermarked har registreret sin daglige omsætning for 35 på hinanden følgende dage i kr.: Spm. 1) Lav en grafisk afbildning af den daglige omsætning. Spm. 2) Beregn medianen, øvre og nedre kvartil samt interkvartil-variationsbredden. Spm. 3) Beregn gennemsnittet, variansen og standardafvigelsen. Spm. 4) Hvorledes vil du karakterisere fordelingen? Opgave 3 I Statistisk Årbog 2001 er der angivet en fordeling af husstande efter antal personer i husstanden pr. 1. januar 2001 (se næste side). Spm. 1) Beregn det gennemsnitlige antal personer pr. husstand, medianen og modalværdien. Spm. 2) Konstruér et histogram og en sumfunktion. Spm. 3) Ved hjælp af sumfunktionen bedes du finde medianen og 95%-fraktilen. 3

4 Spm. 4) Beregn variationsbredden og standardafvigelsen. Antal personer Antal i husstanden husstande eller flere Opgave 4 I Statistisk Årbog 2001 er der for 2010 angivet følgende befolkningsprognose for kvinder fordelt på tiårs aldersklasser: Alder Antal kvinder 0-9 år år år år år år år år år år I alt Spm. 1) Konstruér et histogram baseret på relative hyppigheder og en graf for den akkumulerede relative hyppighedsfordeling. Spm. 2) Beregn median, gennemsnit, modalværdi og standardafvigelse (benyt klassemidtpunkterne 5, 15,..., 95). Opgave 5 Til beregning af forskelle i priser på fritidshuse i Blokhus og på Fanø er beregnet kvadratmeterpriser for en del huse, der er til salg. Dette giver følgende resultater for de medtagne huse fra de to lokaliteter: 4

5 Blokhus Fanø (kr/kvm) (kr/kvm) Spm. 1) Beregn median, gennemsnit og modalværdi for hver af de to lokaliteter. Spm. 2) Giver disse resultater grundlag for at konkludere, at kvadratmeterprisen er højere i Blokhus end på Fanø? Er kvadratmeterprisen et godt mål ved sammenligning? Spm. 3) Beregn standardafvigelsen, interkvartil-variationsbredden og variationsbredden for de to lokaliteter. Spm. 4) Inden for hvilke grænser er mindst 75% af kvadratmeterpriserne beliggende for de to lokaliteter (Vink: Chebyshev). Opgave 6 På Økonomisk Institut er der 13 økonomer og 5 statistikere. Der skal nedsættes et udvalg bestående af 3 økonomer og 2 statistikere. Spm. 1) På hvor mange forskellige måder kan udvalget nedsættes? Opgave 7 Hvor mange 4-cifrede tal kan dannes af tallene 0, 1, 2,..., 9, a) når udvælgelsen sker med tilbagelægning? b) når udvælgelsen sker med tilbagelægning og første ciffer ikke må være 0? c) når udvælgelsen sker uden tilbagelægning? Opgave 8 En forenings bestyrelse består af 8 medlemmer: formanden, kassereren og 6 menige medlemmer. Af bestyrelsen skal nedsættes et udvalg med 4 medlemmer. Spm. 1) På hvor mange måder kan dette udvalg sammensættes? Spm. 2) På hvor mange måder kan udvalget sammensættes, når formanden skal være medlem 5

6 af det? Spm. 3) På hvor mange måder kan udvalget sammensættes, når formanden og kassereren ikke begge må være medlem af det? Opgave 9 Et selskab på 9 personer skal rejse i to biler med plads til henholdsvis 5 og 4 personer. Spm. 1) På hvor mange måder kan selskabet fordeles i bilerne? Spm. 2) På hvor mange måder kan fordelingen ske, hvis selskabet omfatter et ægtepar, som skal køre i samme bil? Opgave 10 I en stue er der netop 9 pladser, som bruges til ophængning af billeder. Spm. 1) På hvor mange forskellige måder kan 9 forskellige billeder fordeles på de 9 ophængningssteder, når der skal hænge et billede hvert sted, og et bestemt af billederne har en sådan størrelse, at det kun kan hænge på 3 af stederne? Opgave 11 Blandt 13 drenge skal udvælges 11 til et fodboldhold. Spm. 1) På hvor mange måder kan disse 11 udtages? Spm. 2) Angiv antallet af måder, hvorpå de 11 drenge kan besætte de 11 pladser på fodboldholdet. Spm. 3) Angiv endelig det samlede antal forskellige måder, hvorpå man af 13 drenge kan etablere et fodboldhold. Opgave 12 8 gæster ankommer til en kro, som har 8 ledige værelser, hvoraf 3 med bad. Spm. 1) På hvor mange måder kan de 8 gæster fordeles i værelserne med én gæst i hvert værelse, når to bestemte af gæsterne skal have et værelse med bad? Opgave 13 Et selskab består af vært og værtinde, deres søn og datter samt 3 mandlige og 3 kvindelige gæster. De 4 familiemedlemmer må ikke få hinanden til bords. Spm. 1) På hvor mange måder kan de 5 herrer da vælge borddame? 6

7 Opgave 14 En mand har en cykellås med 6 taster, som kan indstilles i 3 stillinger: 0, 1, 2. I løbet af vinteren har manden glemt, hvordan låsens kode er. Han er dog sikker på, at netop 3 af tasterne skal stå i stilling 0. Han beslutter sig til at gennemprøve alle mulige indstillinger af de 6 taster svarende hertil. Spm. 1) Hvad er det størst mulige antal indstillinger, han kan komme til at prøve, før han får låsen op? Opgave 15 Et rejseselskab på 30 mennesker passerer i bus grænsen på tilbagevejen fra en ferietur. 8 af deltagerne medbringer mere spiritus end toldloven tillader. En tolder stopper bussen og udtager tilfældigt 5 af selskabets deltagere til kontrol. Spm. 1) Hvor mange forskellige stikprøver kan der udtages? Spm. 2) Hvor mange af disse stikprøver indeholder mindst 1 spiritussmugler? Opgave 16 En terning kastes to gange. Beregn sandsynligheden for, at a) summen af øjnene er større end 4, men mindre end 10, b) mindst ét af kastene giver 4 øjne. Opgave 17 Der kastes én gang med to terninger. Man har vundet, hvis A: man får to ens, eller B: summen af øjnene er ulige, eller C: summen af øjnene bliver 10. Spm. 1) Hvad er sandsynligheden for at vinde? Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for at tabe? Opgave 18 I en population, der består af 50 bilag, er 5 bilag behæftet med fejl. Spm. 1) Der vælges tilfældigt 3 bilag uden tilbagelægning. Hvad er sandsynligheden for, at der udtrækkes mindst ét fejlbehæftet bilag? 7

8 Spm. 2) Bilagene trækkes tilfældigt, uden tilbagelægning, indtil første fejlbehæftede bilag findes. Beregn sandsynligheden for, at der kræves mindst tre træk. Opgave 19 Af 25 vareenheder har 6 mindre fejl, 4 har alvorlige fejl, og de øvrige 15 enheder er fejlfri. Man vælger tilfældigt - uden tilbagelægning - 8 af vareenhederne. Beregn sandsynligheden for, at man får a) 4 enheder med mindre fejl, 1 med alvorlige fejl og 3 fejlfri, b) 2 enheder med mindre fejl, 2 med alvorlige fejl og 4 fejlfri. Opgave 20 Et firma har afgivet to tilbud, et til kunde A og et til kunde B. Man bedømmer sandsynligheden for, at kunde A accepterer tilbudet til at være 0,5 og sandsynligheden for, at B accepterer, til 0,6. Desuden antages det, at såfremt kunde A accepterer, da vil sandsynligheden, for at kunde B accepterer, være 0,9. Beregn sandsynligheden for, at a) begge tilbud bliver accepteret, b) kunde A vil acceptere, såfremt kunde B accepterer, c) mindst ét af tilbudene accepteres. Opgave 21 En automobilhandler klassificerer indgåede handler ud fra to kriterier: 1. Nye biler - Brugte biler 2. Kontant - Afbetaling En opgørelse for sidste år af salgets procentvise fordeling på de fire kategorier fremgår af følgende tabel: Kontant Afbetaling Nye biler 6 18 Brugte biler Antag, at den samme fordeling også vil gælde fremover. 8

9 Spm. 1) Hvad er da sandsynligheden for, at en vilkårlig handel vil blive afviklet på afbetaling? Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for, at en handel med en ny bil afvikles kontant? Spm. 3) Er der uafhængighed mellem betalingsform og bilens egenskab (ny eller brugt)? Opgave 22 En virksomhed modtager halvfabrikater i pakninger, som hver indeholder 20 produktenheder. Virksomheden kontrollerer hver paknings kvalitet ved tilfældigt at udtage en stikprøve på 5 produktenheder fra pakningen og optælle antallet af defekte produktenheder i stikprøven. Pakningen kasseres og tilbagesendes, hvis stikprøven indeholder mindst én defekt produktenhed. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for, at pakningen kasseres, under den forudsætning at pakningen indeholder 3 defekte produktenheder. En bestemt dag modtager virksomheden 3 pakninger à 20 produktenheder. Antag, at den første indeholder 3, den anden 2 og den tredje 4 defekte produktenheder. Hver pakning kontrolleres efter de ovenfor beskrevne regler. Spm. 2) Beregn sandsynligheden for, at mindst én af de 3 pakninger accepteres. Opgave 23 4 forskellige maskiner M 1, M 2, M 3 og M 4 producerer identiske vareenheder. Produktionsmængderne pr. tidsenhed fra de 4 maskiner forholder sig som 5:3:1:1. Fejlprocenterne i de 4 maskiners produktion er henholdsvis 4%, 6%, 1% og 10%. Et stort parti med mange enheder oplyses at være produceret af samme maskine; det vides ikke hvilken. En enhed udtages tilfældigt fra partiet og viser sig at være defekt. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for, at vareenhederne i partiet er produceret af henholdsvis M, M, M og M Opgave 24 I et forsøg på at forbedre serviceniveauet har et privat busselskab i en større provinsby foretaget en analyse af trafikforholdene på forskellige busruter og sammenholdt denne med bussernes overholdelse af køreplanen. I undersøgelsen indgik 1000 observationer af ankomsttidspunktet for busserne og trafikintensiteten. Resultaterne er sammenfattet i omstående tabel. 9

10 Trafikintensitet Svag Middel Stærk I alt Bussens ankomst: For tidligt Rettidigt For sent I alt Spm. 1) Omregn de absolutte hyppigheder i tabellen til simultane (bivariate) sandsynligheder. Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for, at en bus kommer rettidigt? Spm. 3) Hvad er sandsynligheden for, at en bus kommer rettidigt, hvis der er stærk trafik på busruten? Spm. 4) Er der uafhængighed mellem bussernes overholdelse af køreplanen og trafikintensiteten? Opgave 25 To maskiner producerer to forskellige komponenter, A og B, som begge indgår som dele i et færdigt produkt. Produktionen af A og B foregår i to uafhængige processer. Maskinerne producerer med en vis fejlandel. Fejlandelene (defektprocenterne) for produktionen af A og B er henholdsvis 5% og 10%. Beregn sandsynligheden for, at i en tilfældigt udvalgt færdigenhed er Spm. 1) A defekt, hvis det oplyses, at B er defekt. Spm. 2) Begge komponenter defekte. Spm. 3) Begge komponenter acceptable. Spm. 4) Netop 1 af komponenterne defekt. Spm. 5) Mindst 1 af komponenterne defekt. Opgave 26 I nedenstående tabel, der stammer fra Socialforskningsinstituttets arbejdsmiljøundersøgelse, er angivet, hvor mange der har været udsat hhv. ikke udsat for en arbejdsulykke, fordelt efter aflønningsform: 10

11 Været udsat for arbejdsulykke Ikke været udsat for arbejdsulykke Aflønningsform Akkord Timeløn Fast løn I alt Spm. 1) Kan evt. udregnede relative hyppigheder tolkes som sandsynligheder? Spm. 2) Beregn for hver af de tre aflønningsformer hvor stor en procentdel, der har været udsat for en arbejdsulykke. Spm. 3) Hvad er sandsynligheden for, at en person, der har været udsat for en arbejdsulykke, er på timeløn? Spm. 4) Er der uafhængighed mellem lønform og arbejdsulykker? Opgave 27 For at vurdere effekten af en avisreklame for et bestemt produkt (med en målgruppe på personer), har et markedsanalysefirma udspurgt 800 tilfældigt valgte forbrugere. Resultaterne ses i nedenstående tabel: Købt produkt Har set reklame Har ikke set reklame Ikke købt Spm. 1) Hvad er sandsynligheden for at en tilfældigt valgt forbruger har købt produktet? Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for at en tilfældigt valgt forbruger, der har set reklamen, køber produktet? Spm. 3) Er der uafhængighed mellem køb af produkt og at have set reklamen? Spm. 4) Vurdér reklamens effekt. Opgave 28 Mandag den 4. juli 1988 var der følgende notits i Jyllands-Posten: 11

12 Familien Wessel i Indiana lovede deres to piger en lille søster på deres fødselsdag, og det fik de. Så nu kan familien hvert år den 30. juni råbe hurra, så taget løfter sig. Fru Wessel fødte nemlig sin tredie datter på samme dato som de to ældste, Natalie fire år og Mor fødte 3. datter på den samme dato Ashton to år. Med god ret kan de kalde den lille nye for en ener. Rent statistisk er der nemlig kun én chance ud af en million for at ramme både køn og dato hele tre gange i træk. Så næste år bliver der tre fester med tre lagkager og adskillige hurraer. Spm. 1) Er det korrekt, at der kun er én chance ud af en million for at ramme både køn og dato 3 gange i træk? Opgave 29 To spillere, A og B, indskyder hver 50 kr. i en pulje, som de derefter spiller om på følgende måde: To terninger kastes. Hvis antallet af øjne er lige, får A ét point; er det ulige får B ét point. Den, der først har fået 10 point, har vundet puljen på 100 kr. På et tidspunkt, da A har fået 8 point og B har fået 7, må de afbryde spillet. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for, at B ville have vundet, såfremt spillet var blevet gennemført. Opgave 30 Et kreditkortbureau deler kunderne op i 3 grupper: Gruppe A: Kunder, der meget ofte overtræder kreditkortreglerne. Gruppe B: Kunder, der en gang imellem overtræder reglerne. Gruppe C: Kunder, der ikke overtræder reglerne. Grupperne udgør henholdsvis 10%, 20% og 70% af den nuværende kundemasse. Grupperne A og B skaber besvær for kreditbureauet, hvorfor bureauet søger at finde frem til en procedure, som på længere sigt kan reducere mængden af gruppe A og B kunder i kundemassen. Man har derfor ledt efter karakteristika ved de 3 grupper kunder og blandt andet fundet ud af, at antallet af jobskift inden for de seneste 2 år er temmeligt forskelligt for de 3 grupper. I gruppe A har 90% haft mindst 2 jobskift de seneste 2 år, mens de tilsvarende tal for gruppe B og C er 30% og 10%. Man antager, at ovennævnte procentangivelser også gælder for potentielle kunder. Spm. 1) Hvis en person, der har haft 2 eller flere jobskift inden for de seneste 2 år, henvender sig til kreditkortbureauet for at få et kreditkort, hvad er da sandsynligheden for, at personen ikke vil overtræde kreditkortreglerne? 12

13 Man overvejer at anvende antallet af jobskift som kriterium for at få et kreditkort. Følgende fremtidige bevillingsregel ønskes derfor nærmere vurderet: Hvis en ansøger har haft 2 eller flere jobskift inden for de seneste 2 år, nægtes ansøgeren et kreditkort ellers bevilges kortet. Spm. 2) Hvorledes vil kundemassen på langt sigt fordele sig på grupperne A, B og C, hvis denne bevillingsregel indføres? Spm. 3) Belys ved hjælp af sandsynligheder de ulemper, der kan være forbundet med at indføre ovennævnte bevillingsregel. Opgave 31 På lokalradiostationen "Radio7" spilles det hjemmelavede bingo-spil "MiniChancen" efter disse regler: Lyttere kan købe spilleplader hver med 7 (forskellige) numre udvalgt blandt tallene 1 til 20. En spilleplade kan eksempelvis se således ud: I en spillerunde udtrækkes der (uden tilbagelægning) 13 numre blandt tallene 1 til 20, og plader, der derved har fået udtrukket alle sine 7 numre, har banko og vinder 100 kr. Spm. 1) Det ønskes vist, at sandsynligheden for banko på 1 plade er 0, Spm. 2) Hvad er middelgevinsten på 1 plade? Spm. 3) Spilleplader koster 10 kr. pr. runde. Bliver man rig af at spille "MiniChancen" i det lange løb? Opgave 32 En stokastisk variabel X s fordeling er bestemt ved P(X=x) = værdierne 6, 7, 8, 9 og k, hvor x antager Spm. 1) Bestem k således, at P(X=x) opfylder de krav, der stilles til en sandsynlighedsfordeling. Spm. 2) Beregn forventningen og variansen af X. 13

14 Opgave 33 Erfaringen har vist, at efterspørgslen efter fjernsyn pr. dag, Z, hos en forhandler er fordelt efter følgende sandsynlighedsfordeling: z Sum P(Z=z) 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 1,00 Spm. 1) Angiv den forventede efterspørgsel samt standardafvigelsen på efterspørgslen. Salgsprisen for et fjernsyn er kr. Avancen udgør 20% af salgsprisen og de faste omkostninger pr. dag andrager 750 kr. Lad X være fortjenesten pr. dag. Spm. 2) Udled sandsynlighedsfordelingen for X og beregn endelig E(X) og SD(X). Opgave 34 En murermester har erfaring for, at den mængde færdigblandet mørtel, han bruger pr. dag, kan beskrives ved en stokastisk variabel X med følgende sandsynlighedsfordeling: x (hl) P(X=x) 0,05 0,05 0,25 0,30 0,20 0,10 0,05 Murermesteren køber mørtel hver morgen til dagens forbrug. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for, at han en bestemt dag skal bruge mere end 5 hl. Spm. 2) Hvor mange hl mørtel skal han købe, hvis han en bestemt dag ønsker, at sandsynligheden for at have for lidt mørtel kun må være 0,15? Antag, at den mængde mørtel, der ikke bliver anvendt samme dag, den er indkøbt, må kasseres. Murermesteren anslår, at han taber 20 kr. for hver hl mørtel, der må kasseres. Han regner også med, at der er et tab på 50 kr. for hver hl mørtel, han kunne have brugt (men som ikke var indkøbt). Spm. 3) Hvad bliver murermesterens forventede tab, hvis han en bestemt dag indkøber 6 hl mørtel? Spm. 4) Bestem den optimale mængde mørtel, som murermesteren skal købe. 14

15 Opgave 35 Et støberi skal til en kunde levere to emner. Man har erfaring for, at ved støbning af emner af den her foreliggende type er sandsynligheden 0,90 for, at et støbt emne er fejlfrit. Spm. 1) Hvad er sandsynligheden for, at støberiet kan overholde sine leveringsforpligtelser (når der kun leveres fejlfrit gods), hvis. a) der støbes 2 emner? b) der støbes 3 emner? Idet der regnes med en salgspris for de to emner på 1000 kr. pr. stk. og en produktionspris på 500 kr. pr. stk., samt at emner af samme type kan købes andetsteds for 1200 kr. pr. stk., og at emner ud over de to til kunden kun kan indbringe 450 kr. pr. stk., kan fortjenesten Y opfattes som en stokastisk variabel, der er en funktion af den stokastiske variabel X, som angiver det antal fejlfri emner, som forekommer ved støbninger. Spm. 2) Hvad er den forventede fortjeneste E(Y), a) hvis støberiet vælger at støbe 2 emner og købe emner til 1200 kr. pr. stk. til supplering, hvis ikke begge emner er fejlfrie? b) hvis støberiet vælger at støbe 3 emner og købe emner til 1200 kr. pr. stk. til supplering, hvis ikke mindst 2 emner er fejlfrie, samt at sælge et emne til 450 kr. pr. stk., hvis alle 3 emner er fejlfrie? Spm. 3) Hvad er den optimale produktionsplan under forudsætning af faste købs- og salgspriser på hhv kr. og 450 kr.? Opgave 36 En hvidevareforhandler mener at kunne beskrive sin efterspørgsel efter køleskabe på torsdage efter følgende model: z P(Z=z) 0,10 0,20 0,20 0,30 0,20 Spm. 1) Beregn den forventede efterspørgsel på torsdage, E(Z), samt variansen V(Z). Spm. 2) Efterspørgslen på fredage kan beskrives ved den stokastiske variabel Y. Den samlede efterspørgsel på torsdage og fredage W bliver da W = Z + Y Beregn E(W) og V(W), når det oplyses, at E(Y) = 3,7 og V(Y) = 2,0. 15

16 Opgave 37 En møbelfabrikant har registreret det månedlige salg af en bestemt type stole, fordelt på 4 distrikter. Erfaringsmæssigt mener man at kende såvel forventning som varians på efterspørgslen i distrikterne: Distrikt i E(X ) V(X ) i i Spm. 1) Hvilke oplysninger kan du give om en måneds samlede efterspørgsel Y = X 1 + X 2 + X + X? 3 4 Spm. 2) Kapacitetsomkostningerne pr. måned er kr. Dækningsbidraget pr. stol er 500 kr. Beregn månedens forventede resultat samt standardafvigelsen herpå. Opgave 38 NN har været på iværksætterkursus og er opsat på at starte sin egen virksomhed med produktion af lerfigurer. NN køber en brændovn og påbegynder brændingen af lerfigurerne. NN observerer antallet af fejl på hver lerfigur ved forskellige brændingstemperaturer. Efter mange brændinger opstiller NN en tabel, hvor X 1 betegner brændingstemperaturen og X2 betegner antallet af fejl på en figur. Tabellen indeholdende den simultane sandsynlighedsfordeling er angivet nedenfor: X grader 0,22 0,04 0,03 0,01 X grader 0,30 0,08 0,01 0, grader 0,22 0,04 0,02 0,02 Spm. 1) Beregn P(X 2 = 2). Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældig valgt figur har 2 fejl, givet at der brændes ved 1400 grader? Spm. 3) Undersøg om X 1 og X 2 er uafhængige. 16

17 Opgave 39 På en maskine massefremstilles en bestemt komponent til TV-apparater. Komponenterne kvalitetskontrolleres ved, at man udtager stikprøver af størrelsen 10 komponenter og registrerer antallet af defekte. Hvis maskinen er korrekt justeret, produceres komponenter med defektsandsynligheden 0,05, mens defektsandsynligheden er 0,10, hvis maskinen ikke er korrekt justeret. Spm. 1) Lad X angive antallet af defekte i en stikprøve på 10 komponenter under forudsætning af, at maskinen er korrekt justeret. i) Angiv sandsynlighedsfordelingen for X. ii) Beregn E(X) og V(X). Spm. 2) Den statistiske kvalitetskontrol går ud på, at maskinen skal justeres, dersom mindst én komponent i en stikprøve på 10 komponenter er defekt. Beregn sandsynligheden for, at maskinen skal justeres, såvel under forudsætning af at maskinen er korrekt justeret, som under forudsætning af at maskinen ikke er korrekt justeret. Spm.3) På baggrund af de under spm. 2 beregnede sandsynligheder ønskes endelig en vurdering af kontrolprocedurens effektivitet. Opgave 40 Du er økonomisk rådgiver for en klient, som ønsker at investere kr. i hvert af 10 forskellige papirer. Hvert papir giver inden for det første år enten kr. tilbage eller intet tilbage. Sandsynlighederne for disse hændelser er lige store. Din klient forlanger en sandsynlighed på mere end 0,90 for mindst at få sine penge hjem på et år. Spm. 1) Kan du tilråde klienten at foretage de nævnte investeringer? Opgave 41 En person sidder ved et samlebånd for at konstatere, om produktionen er i orden eller ikke. Der arbejdes således, at der produceres i en 15 minutters periode, hvorefter 100 produktenheder fra perioden undersøges. Lad X være antallet af defekte i en stikprøve på 100 stk. Det oplyses, at sandsynligheden for at en tilfældigt udtaget enhed er defekt er Spm. 1) Hvilken fordeling har X - og hvad er fordelingens parametre? Spm. 2) Bestem middelværdi og varians for X. Spm. 3) Hvad er den eksakte sandsynlighed for at X højst er 1 i en 15 minutters periode? Spm. 4) Hvilke metoder kan man anvende til at bestemme sandsynligheden for at få højst 4 defekte ud af 100 stk.? Bestem sandsynligheden. 17

18 Opgave 42 Hans Andersen (i det følgende forkortet til HA) har netop afsluttet sin uddannelse og har søgt adskillige jobs. Derfor er HA blevet indkaldt til 9 jobsamtaler. Af en bekendt får HA at vide, at man har 20% chance for at få jobbet, når man er kaldt til samtale. Når HA har gennemført de 9 samtaler, hvad er da sandsynligheden for, at a) han intet job har, b) han har netop 1 job, c) han kan vælge mellem mindst 2 jobs? Præcisér de forudsætninger, der ligger til grund for beregningerne. Opgave 43 Fra et samlebånd udtages hver dag tilfældigt et antal produktenheder til kvalitetskontrol. Lad dette antal være n. Ved kvalitetskontrollen klassificeres hver produktenhed som enten fejlfri eller defekt (fejlbehæftet). Spm. 1) Hvilken sandsynlighedsfordeling kan beskrive antallet af enheder, der dagligt klassificeres som defekte af kvalitetskontrollen? (Eventuelle forudsætninger skal præciseres). Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for at finde 5 eller flere defekte blandt n = 20 udtagne enheder, såfremt sandsynligheden for, at en tilfældig valgt enhed er defekt, sættes til 0,10? Spm. 3) Hvad er sandsynligheden for at finde 50 eller flere defekte blandt n = 200 udtagne enheder? (En tilfældigt valgt enhed antages fortsat at have sandsynligheden 0,10 for at være defekt.) Opgave 44 Ved fremstilling af en bestemt type elpærer, har der vist sig at være 15% defekte. Lad X være en stokastisk variabel, der angiver antal defekte i en stikprøve på 20 fra produktionen. Spm. 1) Hvilken fordeling har X? Spm. 2) Hvad er det forventede antal defekte i stikprøven, og hvad er standardafvigelsen? Spm.3) Find sandsynligheden for at få færre end 5 defekte. Virksomheden kontrollerer normalt alle pærer inden pakning, således at et forsvindende antal defekte sendes ud til forhandlerne. Eventuelle defekte returneres til virksomheden, som betaler alle omkostninger. Virksomhedens omkostninger pr. defekt pære er 25 kr. En dag 18

19 svigter kvalitetskontrollen og 1000 ukontrollerede pærer sendes på markedet. Lad X angive antal defekte den pågældende dag, og lad Y betegne virksomhedens samlede omkostning ved garantiordningen denne dag. Spm. 4) Angiv fordelingen for X. Spm. 5) Find middelværdi og standardafvigelse for X. Spm. 6) Find middelværdi og standardafvigelse for Y. Spm. 7) Find sandsynligheden for at omkostningerne overskrider 4000 kr. Spm. 8) Find en øvre grænse for omkostningerne, der kun overskrides med 1% sandsynlighed. Opgave 45 I en klasse med 10 elever får hver elev besked på tilfældigt at nedskrive ét af cifrene 0,1,2,...,9. Læreren har en formodning om, at cifrene 3 og 7 er særlig attraktive. Spm. 1) Hvis cifrene virkelig nedskrives tilfældigt, hvad er da sandsynligheden for, at a) netop 2 elever nedskriver et af disse attraktive cifre, b) mere end 3 elever nedskriver et af disse attraktive cifre? Spm. 2) Rent faktisk nedskriver 5 af eleverne et af tallene 3 og 7. Tyder dette på, at lærerens formodning er korrekt? Opgave 46 Vestborg Uldkram er en mindre importør af strikvarer, hovedsagelig restpartier fra britiske producenter. Virksomheden har netop modtaget et parti cardigans fra WOOLCO i Leeds og i henhold til salgsbetingelserne må maximalt 5% af partiet have synlige fejl. Med henblik på at kontrollere partiet udtager Vestborg Uldkram en stikprøve på 25 cardigans til nærmere inspektion. Man har den kontrolprocedure i virksomheden, at hele partiet returneres, hvis man i stikprøven finder to eller flere enheder med fejl. Spm. 1) Opstil en model, der beskriver antallet af fejlbehæftede cardigans i en stikprøve på 25, under forudsætning af at WOOLCO rent faktisk overholder salgsbetingelserne. Spm. 2) Beregn forventningen og variansen på antallet af fejlbehæftede cardigans under de i 1 nævnte forudsætninger. Spm. 3) Beregn endvidere sandsynligheden for, at partiet af cardigans returneres til WOOLCO, selvom salgsbetingelserne er opfyldt, og vurdér på den baggrund 19

20 effektiviteten af kontrolproceduren. For den givne kontrolprocedure kan man betragte sandsynligheden for at acceptere et vareparti som en funktion af partiets fejlandel. Denne funktion kaldes operations karakteristikken, dens graf kaldes OC-kurven. Spm. 4) Konstruér OC-kurven svarende til kontrolproceduren. Opgave 47 For at få sagen afgjort har parterne i et væddemål henvendt sig til redaktionen af rubrikken 'Vor Viden" i Jyllands-Posten. Den ene part holdt på, at hvis risikoen for at forlise på en flyvetur er en milliontedel, så er man sikker på at forlise, hvis man flyver en million gange. Den anden part hævdede, at risikoen aldrig kan blive 100%, uanset hvor mange gange man flyver. Jyllands-Posten giver i sit svar - i en artikel mandag den 2. april sidstnævnte part ret og tilføjer: "Hvis nogen når at flyve en million gange, vil deres overlevelsesmulighed efter denne fantastiske rejseaktivitet være ca. 36%, hvis der altså var en ulykkesrisiko på én ud af en million." Spm. 1) Opstil en sandsynlighedsfordeling for antal ulykker under en million flyveture, når risikoen for at forlise på en enkelt tur er en milliontedel. Spm. 2) Er den af Jyllands-Posten anførte overlevelsessandsynlighed korrekt? Opgave 48 I en virksomhed i El-branchen pakkes sikringer i æsker à 50 stk. Kvalitetskontrollen sker på den måde, at 5 sikringer udtages af hver æske og undersøges for fejl. Antag, at netop 4 sikringer fra en bestemt æske er defekte. Spm. 1) Lad X angive antallet af defekte sikringer blandt de 5 udtagne. a) Angiv sandsynlighedsfordelingen for X. b) Beregn E(X) og V(X). Spm. 2) Følgende beslutningsregel benyttes ved kvalitetskontrollen: Hvis ingen af de udtagne sikringer er defekte, godkendes hele æsken; men hvis der findes en eller flere defekte sikringer blandt de udtagne, undersøges hele æsken. Hvad er sandsynligheden for, at hele æsken med 4 defekte sikringer bliver undersøgt? 20

21 Opgave 49 Et livsforsikringsselskab har konstateret, at sandsynligheden er 0,00001 for, at en person i års alderen i løbet af et år skal dø af en sjældent forekommende sygdom. Hvis selskabet har kunder i denne aldersgruppe, hvad er da sandsynligheden for, at selskabet i løbet af et år som følge af den sjældent forekommende sygdom må udbetale a) flere end 3 forsikringssummer, b) mellem 3 og 5 forsikringssummer (begge incl.)? Opgave 50 En fabrikant har produceret 20 pulverslukkere. Han påstår, at der højst er 1% chance for at få over én defekt enhed, hvis man udtager en stikprøve på 3 enheder ud af de 20 pulverslukkere. Spm. 1) Gør rede for, efter hvilken metode fabrikanten bør udtage de 3 enheder (ordnet/ikkeordnet og med/uden tilbagelægning). Det vides fra anden side, at der rent faktisk er 2 defekte i populationen. Spm. 2) Beregn sandsynligheden for at få én defekt enhed. Spm. 3) Beregn sandsynligheden for at få højst én defekt enhed. Sammenlign resultatet med fabrikantens påstand. Opgave 51 En maskinskriverske påstår, at hun gennemsnitligt har ét fejlanslag pr. ark. Et tilfældigt ark gennemlæses. Det konstateres, at arket indeholder 4 fejlanslag. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for forekomsten af mindst 4 fejlanslag, hvis man antager, at maskinskriverskens påstand er korrekt, og at det er rimeligt at beskrive antal fejl pr. side ved en Poissonfordeling. Spm. 2) Diskutér modellens forudsætninger i relation til situationen. Opgave 52 En banansælger har studeret efterspørgselsforholdene og er nået til det resultat, at den hos 2 ham efterspurgte bananmængde pr. uge, Y, er normalfordelt med forventning og varians. 2 2 Antag, at Y måles i kg. Banansælgeren anslår til at være 100 kg og til at være 225 kg. Han indkøber mandag morgen et vist lager og kan ikke supplere dette i ugens løb. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for, at han må melde udsolgt i en given uge, når lageret er 130 kg. 21

22 Spm. 2) Hvor stort skal hans lager være, hvis han højst tillader en sandsynlighed på 1% for ikke at kunne tilfredsstille efterspørgslen i en given uge? Spm. 3) Hvor stort skal hans lager være, hvis han højst tillader en sandsynlighed på 2,5% for, at der er usolgte bananer tilbage ved udløbet af en given uge? Spm. 4) Med det under spm. 3 fundne lager, hvad er da sandsynligheden for ikke at kunne tilfredsstille efterspørgslen i en given uge? Opgave 53 En maskine er solgt med garanti for, at den kan fylde et produkt i pakker, så pakkernes vægt har middelværdien 500 g og en standardafvigelse på 3 g. Vægten forudsættes normalfordelt. Spm. 1) Hvis garantien er opfyldt, hvad er så sandsynligheden for, at en tilfældig pakke har en vægt uden for intervallet g? Spm. 2) Hvis garantien er opfyldt, hvad er så sandsynligheden for, at netop 13 ud af 50 tilfældigt udvalgte pakker har en vægt uden for intervallet g? Opgave 54 En præst, der netop har foretaget sin 40. vielse, begynder at spekulere på, hvor mange af disse par, der vil blive skilt. De seneste tal synes at vise, at 1/3 af alle nyindgåede ægteskaber ender med skilsmisse. Spm. 1) Giv et begrundet forslag til en sandsynlighedsmodel, der kan bruges som model for ovenstående. Spm. 2) Beregn sandsynligheden for, at netop 20 af de 40 par bliver skilt. Spm. 3) Beregn sandsynligheden for, at 15 eller flere af de 40 par bliver skilt. I Danmark er der i året 2000 blevet viet par. Spm. 4) Beregn sandsynligheden for, at højst af disse par bliver skilt. Opgave 55 En oliemølle benytter ved sæbepulverfremstillingen en maskine til påfyldning i kartoner. Maskinen er således indrettet, at nettoindholdet i kartonen er normalfordelt med en forventning på 500 g og standardafvigelse på 25 g. Spm. 1) Hvor stor en andel af kartonerne har en nettovægt på mere end 450 g? Spm. 2) Bestem øvre og nedre kvartil i nettoindholdsfordelingen. 22

23 Spm. 3) Maskinen kan justeres, således at nettoindholdets forventede værdi ændres, mens standardafvigelsen holdes konstant. Hvorledes skal maskinen justeres, såfremt der ønskes en sandsynlighed på 99% for, at kartonernes nettovægt mindst andrager den deklarerede vægt på 500 g? Spm. 4) Man udtager en stikprøve på 25 blandt de påfyldte kartoner. Hvad er sandsynligheden for, at stikprøvens gennemsnitlige nettovægt overstiger 510 g? (Spørgsmålet besvares med såvel den oprindelige forventning på 500 g som den under spm. 3 fundne forventning). Opgave 56 Antag at produktionstiden pr produktenhed i en bestemt produktionsproces er normalfordelt 2 med middelværdi = 25 (minutter) og varians = 9. Spm. 1) Hvor stor er sandsynligheden for, at produktionstiden for en enkelt produktenhed viser sig at ligge i intervallet fra 24 til 26 minutter? Spm. 2) Hvor stor er sandsynligheden for, at den samlede produktionstid for i alt 10 produktenheder viser sig at ligge i intervallet fra 240 til 260 minutter? Opgave 57 Antag, at 25 tilfældigt udvalgte personers månedlige forbrug af en bestemt vare måles ved de stokastiske variable X 1, X 2,..., X 25. Lad endvidere den stokastiske variabel Y måle de 25 personers samlede forbrug, d.v.s. Y = X 1 + X X 25, og lad X være defineret ved 1/25Y. Det antages nu, at målingerne af vareforbruget kan beskrives som uafhængige, identisk normalfordelte variable med forventningen 5,3 og standardafvigelsen 1,6. Spm. 1) Angiv sandsynlighedsfordelingen for Y. Spm. 2) Angiv sandsynlighedsfordelingen for X. Spm. 3) Beregn sandsynligheden for, at værdien af X 1 ligger mellem 5 og 6. Spm. 4) Beregn sandsynligheden for, at værdien af Y ligger mellem 125 og 150. Spm. 5) Beregn sandsynligheden for, at værdien af X ligger mellem 5 og 6. Spm. 6) Tegn en principskitse af tæthedsfunktionerne for X 1 og X. Opgave 58 En fabrik producerer komponenter til værktøjsmaskiner. I disse er indbygget et kugleleje. Virksomheden fremstiller selv kuglerne til kuglelejet. Kuglernes diameter antages at være normalfordelt, og ved en normal produktion er den 23

24 forventede værdi 4,00 mm og standardafvigelsen 0,1 mm. I kuglelejet placeres 7 kugler. Hvis gennemsnitsdiameteren af de 7 kugler er over 4,06 mm, kan kuglelejet enten ikke lukkes, eller også ligger kuglerne for tæt. Hvis gennemsnitsdiameteren er under 3,94 mm, bliver der for meget slør i lejet. Spm. 1) Under forudsætning af, at kuglerne stammer fra en normal produktion, ønskes den procentdel af kuglelejerne, der er kassable, beregnet. Opgave 59 Den gennemsnitlige timeløn for medlemmerne af et større fagforbund var i 2001 på landsbasis 110 kr. med en standardafvigelse på 16 kr. Erfaringen inden for dette forbund viser, at timelønnen, X, følger en normalfordeling. Spm. 1) Beregn sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt medlem af forbundet havde en løn, der var 101 kr. eller derunder i Et medlem af forbundet, der er bosat i Sønderjylland, har en formodning om, at lønniveauet i området blandt forbundsmedlemmerne ligger betydeligt under landsgennemsnittet. Han foretager derfor en lille undersøgelse blandt 10 kolleger i området og finder følgende timelønninger (i kr.) Spm. 2) Beregn stikprøvens gennemsnit og varians. Spm. 3) Hvilken fordeling har X, hvis lønfordelingen (fordelingen for X) i Sønderjylland ikke afviger fra lønfordelingen i hele landet? Spm. 4) Hvad er sandsynligheden for at få et stikprøvegennemsnit, der er lig med eller lavere end stikprøvegennemsnittet i spm. 2, hvis lønfordelingen i Sønderjylland ikke afviger fra lønfordelingen i hele landet? Opgave 60 Lad X være en stokastisk variabel med E(X) = 10 og V(X) = 9. Lad den stokastiske variabel X angive gennemsnittet af 40 uafhængige gentagelser af X. Spm. 1) Angiv E(X ), V(X ) samt typen af X 's fordeling. Begrundelse skal gives. Spm. 2) Beregn P(X > 11). 24

25 Opgave 61 En studerende har ønsket at lave en undersøgelse over, hvor megen tid hendes medstuderende på holdet dagligt bruger på hjemmearbejde. Ud af populationen bestående af de 25 studerende på hendes hold har hun simpelt tilfældigt udvalgt en stikprøve på 10 studerende. Spm. 1) Angiv en måde, hvorpå den simple tilfældige udvælgelse kunne være foretaget. Arbejdstiden for de 10 studerende var (timer angivet i decimaltal). 3,0 2,7 3,2 3,4 2,5 2,9 2,6 3,0 3,4 3,1 Spm. 2) Beregn stikprøvens gennemsnit og standardafvigelse. Det oplyses nu, at spredningen i arbejdstid på holdet,, er 0,300. Spm. 3) Lad X være den stokastiske variabel, som angiver den gennemsnitlige arbejdstid i en stikprøve på 10 studerende. Hvad er spredningen på X? Opgave 62 En virksomhed producerer rundstokke til brug for fremstillingen af vinreoler. Produktionen er således indrettet, at rundstokke afsaves i stykker af længden X. Antag, at X er normalfordelt med middelværdien 9 cm og standardafvigelsen 0,1 cm. Spm. 1) Der udtages tilfældigt et emne fra den løbende produktion. Beregn sandsynligheden for, at emnet har en længde, der er større end 9,3 cm. Spm. 2) Beregn sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt emne har en længde, der befinder sig mellem 8,8 cm og 9,1 cm. Spm. 3) Af indlysende årsager må emner, der bliver for korte, kasseres. Virksomhedens krav er, at emnerne under 8,9 cm kasseres. Antag at standardafvigelsen uændret er 0,1 cm. Hvor stor skulle middelværdien af X være, hvis sandsynligheden for, at et vilkårligt emne kasseres, højst er 1%? En stikprøve på 20 emner er udtaget fra produktionen, og længderne er målt til: (i cm) 9,11 9,15 9,21 9,28 9,31 9,30 9,17 9,19 9,12 8,98 9,25 9,20 9,24 9,21 9,23 9,27 9,23 9,20 9,08 9,05 25

26 Data findes i elektronisk form. Spm. 4) Foretag grafisk afbildning af talmaterialet og afgør, om X kan antages at være normalfordelt. Spm. 5) Bestem stikprøvens gennemsnit, modalværdi og median. Opgave 63 For en virksomhed gælder det om at foretage en hensigtsmæssig fordeling af likviditetsreserver på kasse og værdipapirer ud fra en forventet, men usikker vurdering af likviditetsforløbet i en fremtidig periode. Til brug herfor har man registreret følgende 10 ugentlige likviditetsændringer i 1000 kr. (der er set bort fra på forhånd kendte, periodiske likviditetsændringer som f.eks. lønudbetalinger). x i: 47,5 22,8-2,4 18,0 31,9 66,0-12,8 7,1 38,2 62,6 Data findes i elektronisk form. Spm. 1) Kontroller om den ugentlige likviditetsændring på dette grundlag kan tænkes beskrevet ved en normalfordeling. Spm. 2) Estimer middelværdi og varians. Spm. 3) Problemet for virksomheden er at bestemme, hvor stor en kassebeholdning, man skal have ved ugens begyndelse. Du bedes løse dette problem, når det antages, at de fremtidige likviditetsændringer vil følge samme fordeling som fastlagt i spørgsmål 1 og 2, og når sandsynligheden for, at man kommer til at mangle kasse i løbet af ugen, skal være mindre end 5%. Opgave arbejdere udvalgt simpelt tilfældigt fra en stor virksomhed har angivet følgende antal overtimer i sidste måned: Spm. 1) Anvend en forventningsret estimationsprocedure til at finde estimater for følgende: a) populationens middelværdi, b) populationens varians, c) variansen af estimatoren for populationens middelværdi, d) den andel af populationen, der arbejdede mere end 30 timer i sidste måned, f) variansen af estimatoren for den andel af populationen, der arbejdede mere end 30 timer i sidste måned. 26

27 Spm. 2) Angiv, hvad populationen er i denne opgave. Opgave 65 I en virksomhed produceres emner, der kan klassificeres som defekte eller ikke defekte. Det antages, at sandsynligheden for, at et tilfældigt udtaget emne er defekt, er p, og at kvaliteten af et emne er uafhængig af de tidligere producerede emners kvalitet. Antallet af defekte emner i en stikprøve på 10 betegnes X. Spm. 1) Angiv fordelingen af X. 100 stikprøver, hver bestående af 10 emner, udtages, og fordelingen af defekte emner i de 100 stikprøver er angivet i nedenstående tabel: Antal defekte x Antal prøver med x defekte Spm. 2) Angiv et estimat for p. Opgave 66 En virksomhed har i sine arkiver registreret den daglige afsætning af en given vare over et forholdsvis langt tidsrum. Afsætningen har vist sig særdeles stabil over det nævnte tidsrum og har hverken været påvirket af trend eller sæsonsvingninger. Det er yderst sjældent, at man får brug for de gamle salgstal specificeret på dage, og man er derfor begyndt at overveje, om man, ved en eller anden form for bearbejdning af salgsdata, kan begrænse omfanget af registreringen og arkiveringen. Virksomhedens bogholder er imidlertid af den gamle skole, som kan lide at have "orden i sagerne", og han går stærkt imod tanken om at nedskære den registrerede datamængde, idet han er bange for, at man herved mister væsentlig information om salget. For at vurdere dette argument har man besluttet at undersøge salget i de sidste 25 dage, idet dette stort set kan betragtes som repræsentativt for hele den periode, registreringen omfatter. Resultatet var følgende daglige salg i stk.: Data findes i elektronisk form. Spm. 1) Opstil en stokastisk model for den daglige afsætning. Spm. 2) Foretag en grafisk kontrol af den opstillede model. 27

28 Spm. 3) Estimer modellens parametre. Spm. 4) Opstil 95% konfidensgrænser for parametrene. Spm. 5) Hvorledes vil du foreslå, at virksomhedens dataregistreringsproblem løses? Opgave 67 På grundlag af tidligere erfaringer har en virksomhed kunnet regne med, at den daglige efterspørgsel efter en vare er normalfordelt med en middelværdi på 500 stk. Efter en prisnedsættelse fra 20 til 18 kr. pr. stk. har virksomheden konstateret, at efterspørgslen i 50 på hinanden følgende dage har udgjort følgende antal: Data findes i elektronisk form. Spm. 1) Undersøg, om den daglige afsætning stadig følger en normalfordeling. Spm. 2) Undersøg, om prisnedsættelsen har givet anledning til en væsentlig forøgelse af efterspørgslen. Spm. 3) Hvor stort et lager bør virksomheden ved prisen 18 kr. have til rådighed hver morgen, når man kun i 1 ud af 100 dage vil risikere ikke at kunne tilfredsstille den daglige efterspørgsel? Spm. 4) Virksomheden vælger at basere sin prisfastsættelse på en efterspørgselsfunktion, der er den rette linie gennem punkterne (500,20) og (x,18), hvor x er den gennemsnitlige efterspørgsel i ovenstående talmateriale. Denne efterspørgselsfunktion i forbindelse med oplysningen om, at varen produceres til en konstant grænseomkostning på 2 kr., skal benyttes til at bestemme den pris, der maksimerer virksomhedens gevinst. Opgave 68 Et malervarefirma ønskede at undersøge holdbarheden af en ny udendørsmaling. Man besluttede sig for at udsætte 5 malerprøver for en kunstig klimapåvirkning på en sådan måde, at én dags kunstig klimapåvirkning svarer til én måneds klimapåvirkning i naturen - der ses bort fra en klimapåvirkning svarende til klimaet på den jyske vestkyst. Man registrerede tiden (i forsøgsdage/antal måneder i naturen), indtil de første tegn på afskalling viste sig. Undersøgelsen gav følgende talmateriale: 28

29 Prøve nr Tid indtil afskalling Spm. 1) Angiv et estimat for holdbarhedens forventede værdi og standardafvigelse. Spm. 2) Angiv et 95 % konfidensinterval for holdbarhedens forventede værdi. Spm. 3) Angiv et 90 % konfidensinterval for standardafvigelsen af holdbarheden. Opgave 69 Ved et folketingsvalg den 20/ fik Socialdemokratiet 29,1 % og Kristeligt folkeparti 2,3 % af de afgivne stemmer. Ved en opinionsundersøgelse udført i august 2002 svarede1319 personer på følgende spørgsmål: Hvilket parti ville De stemme på, hvis der var folketingsvalg i morgen? Undersøgelsen gav det resultat, at 384 ville stemme på Socialdemokratiet, 29 ville stemme på Kristeligt Folkeparti, medens 906 ville stemme på et af de øvrige partier. Lad A være en stokastisk variabel, der betegner antallet af personer, der ved en sådan opinionsundersøgelse angiver, at de ville stemme på Socialdemokratiet. Spm. 1) Opstil sandsynlighedsfordelingen for A, idet eventuelle forudsætninger diskuteres. Spm. 2) Vurdér ved hjælp af et konfidensinterval, om det ud fra opinionsundersøgelsen kan anses for givet, at Kristeligt Folkeparti ville være kommmet over spærregrænsen på 2 % s stemmeandel, hvis der havde været folketingsvalg i august Opgave 70 En fabrikant (A) producerer pumper og har hidtil købt stempler til pumpen hos en underleverandør (B). Underleverandøren (B) har garanteret at levere disse stempler med en given gennemsnitlig længde og har oplyst, at afvigelser fra middelværdien er normalfordelt. Fabrikanten (A) er tilfreds med middelværdien af stemplernes længde, men han har imidlertid i den seneste tid været udsat for store afvigelser fra den lovede længde. For at undersøge sagen udtager han en stikprøve på 10 stempler og får følgende resultater (tallene er angivet i cm): ,5 93,5 97, , ,1 90 Spm. 1) Undersøg, om materialet kan antages at være normalfordelt. Fabrikanten (A) kan ikke anvende et stempel, hvis længden på stemplet er under 85 cm eller over 115 cm. 29

30 Spm. 2) Opfylder stikprøven fabrikantens krav, hvis denne (A) vil acceptere en sandsynlighed på højst 5% for at udtage et defekt stempel? Spm. 3) Hvor stor en stikprøve skal udtages, hvis (A) ønsker at få opstillet et 95% konfidensinterval for middelværdien af stemplernes længde med en nøjagtighed på ± 1 cm? Opgave 71 I forbindelse med en undersøgelse af lønmodtagers indkomstforhold i Fyns amt i år 2000 er der udvalgt en stikprøve på 49 lønmodtagere. Resultatet af de 49 udvalgte blev en gennemsnitsindkomst på kr. og en standardafvigelse på kr. Spm. 1) Angiv et 95% konfidensinterval for lønmodtagernes gennemsnitlige indkomst i Fyns amt. Spm. 2) Hvor stor en stikprøve skal udvælges, når man ønsker gennemsnitsindkomsten for samtlige lønmodtagere estimeret med en nøjagtighed på ± kr. og en sandsynlighed på 0,95 for, at intervallet indeholder gennemsnitsindkomsten? Opgave 72 En fynsk konservesfabrik producerer hver sommer en betydelig mængde løsfrosne jordbær, der sælges i poser à 1/2 kg. Kvalitetskravene til jordbær, der anvendes til løsfrysning, er betydelige, og konservesfabrikken har derfor lavet en aftale med en enkelt leverandør om at levere friskplukkede jordbær af en særlig høj kvalitet mod til gengæld at betale denne leverandør en særlig kvalitetsgodtgørelse. Fabrikken vurderer løbende kvaliteten ved tilfældigt at udvælge et antal kasser med jordbær og kontrollere, om kvaliteten i den enkelte kasse er acceptabel eller ej. En dag i juli udtages 25 kasser til kontrol. 6 af kasserne har en uacceptabel kvalitet. Spm. 1) Opstil et 95% konfidensinterval for den andel af kasserne, som ikke opfylder kvalitetskravene. På grundlag af resultaterne den pågældende dag beslutter konservesfabrikken at reducere leverandørens kvalitetsbonus. Leverandøren protesterer og påstår, at undersøgelsen er baseret på et alt for spinkelt grundlag. Han kræver, at der med 95% sikkerhed kan gives et skøn på kassationsandelen med en margin (præcision) på + 5%. Spm. 2) Hvor stor en stikprøve skal fabrikken udtage, hvis leverandørens krav skal opfyldes? Opgave 73 Lederen af det femstjernede spisested Filsted Kro mener, at det gennemsnitlige beløb pr. 30

31 regning er 500 kr. Spm. 1) Hvis = 50 kr., og hvis der udtages en stikprøve på 60 regninger, hvilken beslutningsregel kan man da opstille for at teste lederens udsagn? (Signifikansniveau = 5%). Spm. 2) Stikprøvegennemsnittet viser sig at være 425 kr. Hvilken konklusion vil du drage af analysen? Opgave 74 En dækfabrikant i Frankrig vil markedsføre en ny type dæk. Det er hensigten, at de i gennemsnit skal kunne holde til km. kørsel. Test på 20 dæk viser en gennemsnitlig middelværdi på km med en empirisk standardafvigelse på km. Spm. 1) Kan hypotesen om en gennemsnitlig holdbarhed på km opretholdes ved et hypotesetest med 1% signifikansniveau? Opgave 75 På basis af resultaterne fra en biltest påstår en bilfabrikant, at virksomhedens nye økonomimodel kører 25 km pr. liter benzin. Spm. 1) Antag, at du tager en stikprøve på 30 biler. Hvilken beslutningsregel skal benyttes for at teste fabrikantens påstand? (Antag = 3 km og = 2%). Spm. 2) Hvad er sandsynligheden for at afvise H 0, hvis den faktiske gennemsnitlige værdi er 23 km pr. liter? 24 km pr. liter? 25,5 km pr. liter? Spm. 3) Tegn styrkefunktionen. Opgave 76 En villaejer ønsker at vurdere besparelsen i brændstofudgifter ved overgang til opvarmning med naturgas. Han spørger 9 af sine venner, som har installeret naturgasopvarmning, hvor meget de har sparet og får følgende svar: 10,6% 12,5% 9,3% 13,3% 8,0% 11,9% 14,3% 10,0% 11,2% Data findes i elektronisk form. Spm. 1) Afgør, om disse data kan antages at stamme fra en normalfordelt population. Spm. 2) Opstil et 95%-konfidensinterval for middelbesparelsens størrelse. 31