Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer

Transkript

1 Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor opholdstiden for alle fluidelementer er den samme. Modellen er god for reaktorer udformet som lange, tynde rør. Ideal opblanding, hvor reaktorindholdet er helt homogent, således at koncentrationen af de reagerende stoffer overalt er den samme. Modellen finder anvendelse for reaktioner, der udføres i en velomrørt beholder. Strømningsforløbet kan have betydelig indflydelse på den kemiske omsætning, og det er derfor væsentligt, at den korrekte model benyttes. Virkeligheden ligger altid et sted mellem de to ydertilfælde, og mere komplekse modeller må anvendes, når de ideale modeller er utilstrækkelige. Vi skal her se på en sådan real model, den såkaldte tank i serie model, se figur 1. v, c 0 c 1, V 1 c 2, V 2 c N, V N Figur 1: Tank i serie modellen I tank i serie modellen opfattes den reale reaktor som bestående af N seriekoblede, idealt omrørte tanke, hvor produktstrømmen fra tank i 1 er fødestrøm til tank i. De to ydertilfælde, N = 1 og N svarer til henholdsvis den idealt omrørte beholder og ideal stempelstrømning. I praksis bestemmes værdien af N ved sporstofforsøg. Et inert sporstof, f.eks. en stærk salt- eller farveopløsning, eller et radioaktivt materiale, tilsættes over et meget kort tidsrum fødestrømmen til reaktoren, hvorpå sporstofkoncentrationen måles som funktion af tiden i reaktorudgangen. Tanktallet N bestemmes så ved tilpasning af det eksperimentelle respons til det beregnede, som fremkommer ved løsning af de modelligninger, som beskriver systemet. 1 Modelopstilling I forbindelse med modelopstillingen anvender vi de nedenfor givne symboler og antagelser: Mat1 04/05 side 1

2 Det samlede reaktorvolumen er V (m 3 ) Den volumetriske strømningshastighed igennem reaktoren er konstant = v (m 3 /s) Ved starttidspunktet indeholder reaktoren ikke sporstof Modelbeskrivelsen antager reaktoren opdelt i N lige store tanke med volumen V/N, der alle er ideelt omrørt. Koncentrationen af sporstof i tank i (mol/m 3 ) kaldes c i (t). Til starttidspunktet t = 0 tilføres tank nr. 1 momentant M 0 mol sporstof. Koncentrationen i denne tank i starttidspunktet bliver hermed c 1 (0) = NM 0 /V. 1. Vis ved opstilling af en massebalance over hver tank, at koncentrationen af sporstof i systemet beskrives af nedenstående system af differentialligninger: V dc 1 = vc 1, c 1 (0) = NM 0 /V (1) N dt V dc i = v(c i 1 c i ), c i (0) = 0, i = 2,3,... N (2) N dt 2. Det er ofte bekvemt at indføre dimensionsløse variable, og vi vil her anvende en dimensionsløs tid, givet ved τ = tv/v og dimensionsløse koncentrationer y = cv /M 0. Vis, at ligningssystemet kan skrives på den dimensionsløse form: dy 1 dτ = Ny 1, y 1 (0) = N (3) dy i dτ = N(y i 1 y i ), y i (0) = 0, i = 2,3,... N (4) 3. Opstil ligningssystemet på vektor-matrix form og vis, at det bliver: y 1 N y 1 d dτ. = N N N N med y 1 (0) = N, y i (0) = 0, i = 2,...N. Vis, at λ = N er den eneste egenværdi for matricen i (5), og angiv dens algebraiske og geometriske multiplicitet. Kan matricen diagonaliseres? 4. Løs ligningssystemerne (3),(4) med MAPLE og plot (τ) for N = 2, 5 og 10. Vink: Benyt MAPLE kommandoen. (5) 2 Modelløsning 5. Løs (3) og vis, at der gælder: Z τ y i (τ) = exp( Nτ) exp(ns)y i 1 (s)ds, i = 2,...N. (6) 0 Løs (6) for i=2 og i = 3. Vis derpå, at der gælder y i (τ) = Ni (i 1)! τi 1 exp( Nτ) (7) Mat1 04/05 side 2

3 Figur 2: Loop-reaktoren 6. Et check på løsningens korrekthed kan findes i, at betingelsen: Z 0 vc i (t)dt = M 0 (8) skal være opfyldt. Hvad udtrykker denne betingelse? Omformuler den til dimensionsløse variable og vis, at den er opfyldt af (7). 7. Find den værdi af τ, hvor (τ) (d.v.s. den dimensionsløse udgangskoncentration) antager sit maximum og udled et udtryk for maximumværdien. 8. Maximumværdien M N vil vokse med voksende N og fortæller derfor umiddelbart noget om opblandingen i reaktoren. Undersøg maximumværdiens variation med N, og vis, at M N Nπ/2 1 for N Vink: benyt Stirling s formel. 3 Loopreaktoren Loopreaktoren er en speciel udformning af en reaktor til batchprocesser, specielt til fermentering, hvor det reagerende materiale cirkuleres i et kredsløb, hvor der i dele af kredsløbet optages oxygen, i andre afgives gasser, og i andre igen køles eller opvarmes. En eksperimentel reaktor, bygget på Biocentrum, DTU, kan ses i figur 2. Blandingsforholdene er naturligvis lige så væsentlige for loopreaktoren, og ovenstående model kan anvendes med den simple modifikation, at udgangsstrømmen fra tank N er fødestrøm til tank 1. Herved fås: Mat1 04/05 side 3

4 Figur 3: Responskurve for U-loop reaktor og på dimensionsløs form: 9. Vis, at ligningen på vektor-matrix form bliver V dc 1 = v(c N c 1 ) (9) N dt dy 1 dτ = N( y 1 + ), y 1 (0) = N (10) y 1 N 0... N y 1 d dτ. = N N N N (11) med y 1 (0) = N, y i (0) = 0, i = 2,... N. Plot y 1 (τ) og (τ) for N=10 og kommenter resultatet. 10. Beregn med MAPLE for forskellige værdier af N egenværdierne for koefficientmatricen i (11), og afbild egenværdierne i den komplekse plan. Kommenter resultatet. 11. Det smukke resultat af plottet med den meget regulære opførsel bør give anledning til overvejelser om egenværdierne kan bestemmes analytisk. Prøv! (vink: Opløs reduktionsdeterminanten efter 1. række.) 12. En eksperimentelt bestemt koncentrationsprofil for y 1 (t), målt på Biocentrum s reaktor, er afbildet i figur 3. Måledata findes i tabel 1 i bilaget på side 6. Prøv at bestemme et tanktal, N, der matcher det eksperimentelle respons. Mat1 04/05 side 4

5 4 Sterilisering Vi skal endelig analysere det forhold, der indledningsvis omtaltes, at afvigelse fra ideel stemplestrømning kan have betragtelig indflydelse på omsætningen ved en kemisk reaktion. Dette gælde specielt processer, hvor farlige stoffer skal uskadeliggøres ved omdannelse til uskadelige produkter. Et eksempel herpå er sterilisering, hvor biologisk materiale destrueres ved opvarmning. Her er kravet ofte, at udgangsproduktets indhold af bakterier skal være reduceret med en faktor i forhold til fødestrømmens. Vi betragter her steriliseringen som en irreversibel 1.ordens reaktion med hastighedskonstant k. Den stofmængde, der omsættes pr. tids- og volumenenhed er således kc. For en ideal rørreaktor med stempelstrømning (under stationære forhold, d.v.s. konstant indgangskoncentration) kan det vises, at c ud = exp( Vk c ind v ) (12) 13. Opstil en stationær massebalance for en enkelt idealt opblandet tank med volumen V og volumetrisk fødestrøm v og vis, at der for denne gælder: c ud v = c ind V k + v 14. Udled derpå et udtryk for forholdet mellem udgangskoncentration og indgangskoncentration for tank i serie modellen med N tanke. Antag, at reaktorvoluminet er valgt således at det ønskede forhold netop opnås for en reaktor med stempelstrømning, og undersøg hvordan afvigelser herfra (f.eks. N=1000, N=100 og N=10) påvirker resultatet. Hvor meget større skal reaktorvoluminet være hvis N=10, i forhold til hvad der kræves ved stempelstrømning, hvis forholdet ønskes opretholdt? 5 Andre forhold Af andre forhold, der kan undersøges i opgaven, kan nævnes: 15. Det er ikke nødvendigvis hensigtsmæssigt at modellere loopreaktoren med lige store tanke. Diskuter alternativer og de matematiske konsekvenser heraf. 16. Afvigelser fra ideal strømning kan også modelleres på alternativ måde som en diffusionslignende proces. Find oplysninger om emnet og diskuter aspekter af den matematiske behandling. Mat1 04/05 side 5

6 6 Bilag: Koncentrationsprofil for U-loop reaktor Data findes i tekstfilen: uloopdata.txt. t(s) y t(s) y t(s) y t(s) y Tabel 1: Responsdata for loopreaktor Mat1 04/05 side 6