Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet"

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a Onsdag den 27. april 20

2 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve 2 af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

3 Forberedelsesmateriale: Matricer Form: Matricer Introduktion Dette forberedelsesmateriale omhandler emnet matricer samt anvendelser af matricer i modeller for populationer. Materialet er opbygget således, at ny teori introduceres gennem eksempler og øvelser, hvorefter teorien præciseres og generaliseres ved definitioner og sætninger. Eksempel : I en population med kaniner, vælger vi at sige, at en kanin er ung det første leveår og herefter er den gammel. Unge hunkaniners chance for at overleve det første leveår er 70%, mens en gammel hunkanins chance for at overleve til det næste år er 40%. Unge hunkaniner får i gennemsnit 2 unger om året og gamle hunkaniner får i gennemsnit,5 kaniner om året. Hvordan udvikler denne population af hunkaniner sig som årene går? Vi indfører først nogle variable til beskrivelse af populationens udvikling: Antallet af unge hunkaniner i år n betegnes x n, og antallet af gamle hunkaniner i år n betegnes y n. Antallet af unge hunkaniner det næste år, dvs. år n +, betegnes x n +, og antallet af gamle hunkaniner i år n + betegnes y n +. Ud fra informationen om populationens udvikling kan sammenhænge mellem de fire variable angives ved ligningssystemet: xn+ = 2 xn +.5 yn y = 0.7 x y n+ n n Øvelse : Forklar med naturligt sprog, hvordan informationerne om populationens udvikling kommer til udtryk i ligningssystemet. Øvelse 2: Det antages, at der er 00 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner i år 0, dvs. når n = 0. Udregn på baggrund heraf populationen de efterfølgende år og udfyld tabellen nedenfor. n x n y n Ved at indføre begrebet matricer kan vi automatisere disse beregninger, således at arbejdet med at bestemme populationens udvikling fra et år til et andet bliver meget lettere. En matrice er i princippet et talskema, man kan regne med ud fra bestemte regneregler. Matricen, der beskriver kaninpopulationen ovenfor er 2.5, mens startpopulationen kan beskrives

4 Forberedelsesmateriale sommertermin som en vektor. For at bestemme populationens sammensætning et år senere multipliceres matricen og 0 vektoren. Fxx kan populationens sammensætningg efter det første år beregnes til =, og populationens sammensætning efter fire år kan beregnes til = Dvs. at der efter år er 200 unge hunkaniner og 70 gamle hunkaniner i populationen, p, og efter 4 år er der 355 unge hunkaniner og 052 gamle hunkaniner i populationen. Med et CAS-værktøj kan vi nemt bestemme de to produkter: og. Øvelse 3: Vælg andre startpopulationer, og bestem ved hjælp af et CAS-værktøj populationens sammensætning for hver af disse efter 3, 7 og 0 år. Regning med matricer For at få helt styr på matricebegrebet, så definerer vi begrebet fra forrige afsnit, som følger: Definitionn : En 2 2 matrice er et talskema, som kan skrives ved a c M =, b d hvor a, b, c og d er reelle tal. a c Matricen består af to søjler og samt to rækker a c b d og b d. Multiplikation af en matrice M = a b c d medd en vektor x v = y er bestemt ved a c x ax + cy M v = =. b d y bx + dy Multiplikation af et reelt tal k med en matrice a c M = b d er bestemt ved k M = a c k a k c k =. b d k b k d Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 2 af 5

5 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Øvelse 4: a) Forklar med egne ord multiplikationsprocedurerne ovenfor, dvs. M v og k M. b) Bestem ved håndregning og med et CAS-værktøj. I eksemplet med kaninpopulationen multiplicerede vi den samme matrice med sig selv flere gange, nemlig da vi beregnede populationen det 4. år, hvor vi udregnede: = Definition 2: To matricer M og N er givet ved a c M = og b d N a c. 2 2 = b2 d2 Matriceproduktet M N er da defineret ved a c a2 c2 aa 2 + cb 2 ac 2 + cd 2 M N = =. b d b2 d2 ba 2 + db2 bc 2 + dd2 Produktet M N bestemmes altså ved pladsvist at multiplicere rækkeelementerne i M med søjleelementerne i N og summere disse to produkter. På kan man se, hvordan matricemultiplikation udføres i praksis. Øvelse 5: a) Kontroller at dit CAS-værktøj beregner M N som beskrevet i definitionen. To matricer A og B er givet ved 9 6 A = 8 5 og 4 2 B =. 3 b) Bestem A B og B A både ved håndregning og med et CAS-værktøj. c) Vælg selv andre 2 2matricer, og bestem produkterne A B og B A med et CAS-værktøj. Ovenstående beregninger viser, at matricemultiplikation ikke opfylder den kommutative lov, dvs. M N = N M, er ikke opfyldt. a3 c3 d) En matrice R er givet ved R =. Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om b3 d3 R ( M N) = ( R M) N (den associative lov) er opfyldt. e) Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om R ( N + M) = R N + R M (den distributive lov) er opfyldt. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 5

6 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Invers matrice Definition 3: Matricen 0 E = 0 kaldes 2 2 enhedsmatricen. Sætning : Alle 2 2 matricer M opfylder ligningerne M E = M og E M = M, hvor E er 2 2 enhedsmatricen. Øvelse 6: Benyt matricemultiplikation med M a c = b d til at bevise Sætning. Eksempel 2: Et ligningssystem kan bestå af to ligninger med to ubekendte: 3x+ 4y = 7 x+ 9y = 8. Dette ligningssystem kan løses med et CAS-værktøj: ( ) solve 3x+ 4y = 7 and x+ 9y = 8, x, y, x= and y =. Dvs. løsningen til ligningssystemet er x = og y =. Ligningssystemet kan også løses med matricer, idet ligningssystemet omskrives ved hjælp af en matrice og to vektorer, hvor koefficienterne til x og y beskrives ved matricen 3 4 M =, de 9 x 7 ubekendte beskrives ved vektoren v = og højresiden beskrives ved vektoren u =. y 8 Den samlede omskrivning af ligningssystemet bliver således M v = u. Øvelse 7: Udregn M v, og opstil ligningen M v = u 3 x + 4 y = 7. Sammenlign denne ligning med ligningssystemet x+ 9y = 8. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 5

7 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Eksempel 3: Matricen kaldes den inverse matrice til 3 4, da der gælder, at = og omvendt, at Ligningssystem ovenfor kan løses ved hjælp af den inverse matrice som følger: 3 4 x 7 = 9 y x = 9 9 y x = 0 y x =. y = Øvelse 8: Der gælder, at = a) Kontroller, at = og, at = Definition 4: En matrice M har en invers matrice, netop hvis der findes en matrice N, så M N = E og N M = E. Matricen N betegnes i så fald M. Øvelse 9: 6 7 Bestem den inverse matrice til hver af matricerne M 2 = og M 2 =, og gør rede for, at = E og M M M M = E er opfyldt for begge matricer, som definitionen ovenfor foreskriver. 5 2 Hvis vi forsøger, at bestemme den inverse matrice til matricen N = 5 6 en fejlmelding, fordi denne matrice ikke har nogen invers matrice! med et CAS-værktøjet, så får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 5

8 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Betingelsen, der sikrer, at en matrice har en invers matrice bygger på begrebet determinant, som vi kender fra vektorer i to dimensioner. Definition 5: Determinanten det( M ) for en matrice det( M ) = a d b c. a c M = b d er bestemt ved Man kan bestemme determinanten med et CAS-værktøj fx: =. Øvelse 0: Bestem determinanten for og Øvelse : Opskriv to vektorer med tilfældigt valgte koordinater, og opstil en matrice, hvor søjlerne er givet ved de to vektorer. Stemmer determinanten for de to vektorer overens med determinanten for matricen? 5 2 Beregner vi determinanten for matricen N =, så får vi det( N ) = 0, hvilket netop er grunden til at 5 6 CAS-væktøjet gav en fejlmelding, da vi forsøgte at bestemme den inverse matrice til N ovenfor. Der gælder nemlig: Sætning 2: Matricen M er givet ved a c M =. Hvis det( M ) 0, så har M en invers matrice, der er givet ved b d X d c =. det( M ) b a Øvelse 2: Bevis Sætning 2 ved at vise, at X netop opfylder, at X M = E og M X = E. Hvorfor er betingelsen det( M ) 0 nødvendig? Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 6 af 5

9 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Øvelse 3: Omskriv ligningssystemet 5x+ y= 23 7x 8y = 30 til matriceform. Bestem determinanten til ligningssystemets matrice, og bestem en løsning til ligningssystemet ved brug af den inverse matrice. Eksempel 4: I Eksempel med kaninpopulationen kan vi opstille ligningssystemet 2.5 xn xn+ = y y n n+ Da 2,5 det = = , så har matricen en invers matrice. 300 Hvis populationssammensætningen er 90 populationssammensætningen i n =, så er udgangspunktet x kan således bestemmes ved: y i år n = 2, og vi vil bestemme x = y x 60 = y x 300 = y 90 Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 7 af 5

10 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Ligevægte I eksempler med populationer kan det være interessant at kigge på stabile populationer, dvs. populationer som befinder sig i en form for ligevægt. Eksempel 5: I en stor granplantage rammes træerne til tider af svampesygdom. Træerne kan groft inddeles i to grupper: Raske og syge. Man har konstateret, at et raskt træ med 6% sandsynlighed vil blive sygt året efter. Ligeledes vil et sygt træ med 72% sandsynlighed blive raskt året efter. Vi antager endvidere, at ingen træer dør af sygdommen eller af andre årsager, og at der heller ikke plantes nye træer. Det oplyses, at der er i alt træer i plantagen. Ud fra disse oplysninger kan vi opstille en model for udviklingen af syge og raske træer i plantagen. Lad r n hhv. s n betegne antallet af raske træer hhv. syge træer i år n. De raske træer året efter, dvs. i år n + betegnes r n +. Disse udgør 94% af de raske træer året før, dvs r n, samt 72% af de syge træer året før, dvs s n. På samme måde kan vi opstille sammenhænge mellem antallet af syge træer i år n og år n +, således at vi får udviklingen i antallet af raske og syge træer i plantagen beskrevet ved modellen rn rn+ = sn sn+ Det antages at de træer i år 0, dvs. når n = 0, er fordelt således, at der er 3000 raske og 3000 syge træer. Herefter kan fordelingen af raske og syge træer i år 0 til 4 bestemmes som vist i tabellen: n rn sn Tabellen viser en tendens til at populationen af raske og syge træer stabiliserer sig. Spørgsmålet er hvilken fordeling, der er den stabile? Øvelse 4: Kontroller at populationerne i tabellen i Eksempel 5 er korrekte og bestem populationen for n lig med 6, 8 og 0 år, og giv et skøn over antallet af raske og syge træer i granplantagen, når populationen har stabiliseret sig. Definition 6: En vektor * v siges at være en ligevægt for en matrice M, hvis * *. M v = v Følgende konsekvens af Definition 6 er central: M 2 v * = M M v * = M v * = v *. ( ) n * * Denne overvejelse kan generaliseres til M v = v (overvej!) og i følge Definition 6 betyder det, at når der opnås stabilitet i udviklingen, forbliver populationen i ligevægt! Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 8 af 5

11 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Øvelse 5: Vi ønsker nu at bestemme ligevægten, dvs. den værdi af r og af s, hvor der ikke sker nogen ændring fra år ær ö * L til år. Skrives ligevægten på vektorform v =ç ç ç s, og angiver M matricen fra Eksempel 5, så skal vi altså çè Lø * bestemme ligevægten v * * ved at løse ligningen: M v = v. a) Vis, at æ * 2 sö v =ç ç ç çè s ø er en løsning til * * M v = v, når s betegner antallet af syge træer. b) Opstil en ligning som s skal opfylde, når granplantagen består af træer, og angiv ligevægten. Øvelse 6: Findes der en ligevægtstilstand for kaninerne i Eksempel? Nogle specielle matricer, som kaldes overgangsmatricer, er særligt interessante, når vi arbejder med ligevægt for populationssammensætninger. Definition 7: a c En matrice M = er en overgangsmatrice, hvis følgende er opfyldt b d ) a, b, c og d er positive reelle tal eller nul. 2) a+ b= og c+ d =. Øvelse 7: Er matricen M fra Eksempel 5 en overgangsmatrice? Er matricen M fra Eksempel en overgangsmatrice? Sætning 3: Lad a c M = b d være en overgangsmatrice, hvor c ¹ 0 og b ¹ 0. Så er vektoren v = k b * c, hvor k ¹ 0 er et reelt tal, ligevægt for matricen M. Øvelse 8: Bevis Sætning 3 ved at udregne * M v og udnytte, at a+ b= og c+ d =. Øvelse 9: Bestem ved hjælp af Sætning 3 k for ligevægten i Eksempel 5 (jf. Øvelse 5). Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 9 af 5

12 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7: 2.5 Vi betragter igen M = fra Eksempel, hvor vi minder om, at denne matrice er en matematisk model, der modellerer ændringen i kaninpopulationen fra et år til det næste år. Vi antog, at der var 00 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner fra start. Vi betegner startpopulationen med v 0, dvs. v 0 00 =. 0 Øvelserne i forbindelse med Eksempel viste, at der med tiden bliver cirka 3 gange så mange unge som gamle hunkaniner. Eksempelvis finder vi, at M v0 = = Ligeledes kan vi ud fra tabellen i Øvelse 2 se, at populationen cirka vokser med en faktor 2.5 pr. år, idet vi får =, = og = Hvis vi tager udgangspunkt i, at forholdet mellem unge og gamle hunkaniner allerede i starten er 3, 3 x0 og at antallet af gamle hunkaniner er x 0, svarende til v0 =, så kan vi på baggrund af x0 ovenstående opstille følgende udtryk for populationen i år, som vi betegner v : x0 7.5 x0 v = M v0 = = = 2.5 v x0 2.5 x0 Altså gælder der, at M v 0 = 2.5 v. 0 Resultatet falder tilbage på sammenhængen mellem M og faktoren 2,5, som vi eksperimenterede os frem til ved at bruge skemaet fra Øvelse 2. Forsøger vi nu at fremskrive én gang mere til år 2, får vi x x0 2 2 = = 0 = = = = x x0 v M v M v v v. Dette er en helt speciel egenskab, som vi vender tilbage til lidt senere. Øvelse 20: Tjek udregninger ovenfor vha. et CAS-værktøj. Det centrale her er, at vi kunne have brugt faktoren 2,5 som kaldes en egenværdi for M til at fremskrive uden at bruge M i udregningerne. Sammenhængen vil vi arbejde videre med nu. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 0 af 5

13 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Eksempel 8: Betragt matricen 3 M = 2 4 og vektoren v =. Vi multiplicerer M med v og får 3 2 M v = = = 2, dvs. ved multiplikationen bliver v blot multipliceret med 2. Det er netop den egenskab, vi også så i Eksempel 7, og det giver anledning til følgende definition: Definition 8: Vektoren v kaldes en egenvektor for en matrice M, når M v = λ v, hvor λ er et tal, og v 0. λ kaldes for egenværdien for den pågældende egenvektor. Af Eksempel 7 følger beregningen x0 7.5 x0 v = M v0 = = = 2.5 v0, x0 2.5 x0 2.5 dvs. tallet 2,5 er ifølge Definition 8 en egenværdi for M = med tilhørende egenvektor v 3 x 2. Fortsættes får vi v 2 = M v = M M v 0 = M 2.5 v 0 = 2.5 M v 0 = v 0 = 2.5 v = x0 Øvelse 2: Vis, at v = 2 er en egenvektor for 3 M =, og bestem den tilsvarende egenværdi. 2 4 Øvelse 22: Bestem en vektor, som ikke er egenvektor for 3 M =. 2 4 Selve definitionen af egenværdi og egenvektor giver ikke en metode til at bestemme egenvektorer og egenværdier. Det får vi brug for, og følgende sætning udtaler sig om dette: Sætning 4: λ er en egenværdi for en matrice M, netop hvis det( M λe ) = 0. Den tilhørende egenvektor v kan bestemmes som løsningen til ligningen ( M λ E) v = 0. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side af 5

14 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Eksempel 9: Vi illustrerer anvendelsen af Sætning 4 på matricen fra tidligere, før vi beviser sætningen. 3 Lad M =. Vi bestemmer λ 0 3 λ M λ E = λ = = λ 2 4 λ, og beregner determinanten for denne matrice æ3 λ ö é - ù ê ú = - + çêç 2 4-λú èë û ø 2 det λ 7λ 0. 2 Løses andengradsligningen λ 7λ+ 0= 0får vi λ = 2 og λ = 5, hvilket stemmer med eksempel 8 og øvelse 2. Ydermere fortæller det os, at der ikke er flere egenværdier end disse to. Hvis vi vil bestemme egenvektorerne svarende til λ = 2, så løser vi ( M 2 E) v = 0, og med CASværktøj får vi æé3 ù é 0ùö éxù é0ù é x+ y= 0 ù ê -2 =,. çêç èë ú û ê ë ú û ø ê ëyú û ê ë0ú û ê ë2x+ 2y= 0ú û Heraf følger, at der er uendeligt mange egenvektorer til matricen M, fordi der er uendeligt mange løsninger til ligningssystemet, blot med krav om, at x = y. Øvelse 23: Bestem egenværdier og tilhørende egenvektorer til matricen M = Øvelse 24: Vis, at matricen 4 2 M = 3 ikke har nogen egenværdier. Øvelse 25: Vi vender nu tilbage til Sætning 4. I sætningen står netop hvis, hvilket betyder, at sætningen består af to udsagn, nemlig: ) Hvis λ er en egenværdi for en matrice M, så er det( M λe) = 0, og omvendt: 2) Hvis det( M λe) = 0, så er λ en egenværdi for matricen M. Vi beviser først ), dvs. vi antager, at λ er en egenværdi for M, og vi skal så vise, at det( M λe) = 0. Af definitionen på egenværdi har vi, at der findes en egentlig vektor v (dvs. v ¹ 0 ), så M v = λ v, og heraf følger, at M v-λ v = 0 Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 2 af 5

15 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 M v-λ E v = 0 ( M -λ E) v= 0 Men denne ligning har ikke alene v men også nulvektoren som løsning, dvs. der er altså mindst to løsninger. Hvis determinanten for et ligningssystem er forskellig fra 0, så vil der jo være præcis én løsning, så derfor kan vi konkludere, at determinanten her må være nul, dvs. det( M λe) = 0. Hermed har vi bevist ). Vi beviser nu 2), dvs. vi antager, at det( M λe) = 0, og vi skal så vise, at λ er en egenværdi for M. Når vi skal vise, at λ en egenværdi for M, så skal vi vise, at der findes en egentlig vektor egenvektor for M, dvs. u skal opfylde, at M u= λ u, eller som ovenfor, at ( M -λ E) u= 0. æxö u = ç çèy, som er ø Opstil det tilsvarende ligningssystem, idet æa cö M =ç ç ç çè b d ø : ( a-λ) x+ c y= 0 (*) b x+ ( d-λ) y= 0. (**) Vi ved jo at determinanten for ligningssystemet er 0, så derfor får vi ( a-λ) ( d- λ) + c ( - b) = 0. (***) Betragt nu ligningen i (*) og vis, at hvis vi vælger æd - λö u =ç ç çè -b, så er ligningen opfyldt. ø Vis, at æd - λö u =ç ç çè -b også opfylder ligningen i (**). ø Således er u en egenvektor for M. Determinantudtrykket i (***) kan omskrives til (overvej!) b - ( c) + ( d-λ) ( a- λ) = 0. (***) Betragt nu ligningen i (**) og vis, at hvis vi vælger æ - c ö w =ç ç çèa -λ, så er ligningen opfyldt. ø Vis, at æ - c ö w =ç ç çèa -λ ø også opfylder ligningen i (*). Således er w en egenvektor for M. Men kan vi være sikre på, at u og w er egentlige vektorer eller kunne u og w være nulvektoren? Hvis u og w var nulvektoren, så ville der gælde, at æd λö æ0ö - = è ç -b ø çè0 ø, dvs. d- λ = 0 - b= 0 og, at Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 5

16 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 æ c ö æ0ö - = çèa -λ ø çè0 ø, dvs. - c= 0 a- λ = 0, hvilket betyder, at b= c= 0 d- λ= a- λ= 0, og dermed, at a= d. Men så ville M jo være æa 0ö æ 0ö M = = a = a E 0 a 0, çè ø çè ø og denne matrice har jo alle vektorer som egenvektorer (overvej!) og ikke kun de to u og w, som vi fandt ovenfor. Altså er u og w egentlige vektorer. Vi har således vist, at der findes en egentlig vektor, der er egenvektor for M og dermed, at λ er egenværdi for M. Hermed har vi bevist Sætning 4. Hvis vi afslutningsvist igen vender os mod Eksempel med kaninpopulationen, kan vi nu udlede den sammenhæng mellem ligevægten i en population og egenværdierne, som blev sandsynliggjort tidligere. Ofte vil man nemlig være interesseret i at kende udviklingen af v n, når n bliver stor. Sætning 5: n Når n bliver stor, vil v n = M v nærme sig n 0 c λ v, hvor c er en konstant, λ er den største af de to egenværdier til M, (dvs. λ > λ2 ), med tilhørende egenvektor v. Sætningen kan også formuleres med matematisk notation: n n v = M v c λ v for n n 0 n Da vn c λ v, når n er stor, gælder det også, at n n n v n c λ + v = λ c λ v = λ + ( c λ v) λ vn. Fortolkningen er interessant: For store værdier af n, kan man fremskrive en population blot ved at gange v n med λ. Eller sagt på en anden måde: Populationen vokser med en faktor λ ved hver fremskrivning. Fremskrivning af en population over flere perioder, kan altså generaliseres ved blot at gange v n med den rette potens af λ. Sætningen vises ikke, men resultatet føres tilbage til Eksempel med kaninpopulationen. Her var 2.5 populationsmatricen M =, og udregninger senere viste, at egenværdien for matricen var λ = x0 2 3 x0 2 3 x0 med tilhørende egenvektor v0 =. Den videre udregning viste, at v2 = λ = 2.5, x0 x0 x0 hvilket er i overensstemmelse med Sætning 5. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 5

17 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Populationen kan altså fremskrives udelukkende vha. af egenvektoren og egenværdien og så selvfølgelig startpopulationen! Der gælder ligeledes en sætning for overgangsmatricerne, som gør, at vi kan bruge egenvektoren til at finde en populations ligevægt. Dette anskueliggøres ud fra Eksempel 5, hvor vi først finder en af egenvektorerne og den tilsvarende egenværdi til matricen i eksemplet. Øvelse 26: Eftervis ved at benytte Definition 8, at v = er en egenvektor til overgangsmatricen M = med tilhørende egenvektor λ =. Det betyder, at M v = v. Hvilken yderligere egenskab har v dermed i denne sammenhæng? Øvelse 27: I Øvelse 4 var M v0 = Hvordan hænger dette sammen med egenvektoren v =? Vi har nu sandsynliggjort, at der er en klar sammenhæng mellem en populations ligevægt og egenvektoren, som vi kan formulere i en sætning: Sætning 6: * Hvis M er en overgangsmatrice, og v * er en ligevægt for M, så er v en egenvektor med tilhørende egenværdi. * Det gælder desuden, at er den største egenværdi for M, og at vn k v, hvor k er en konstant, når n. Sætningen siger netop, at en populations ligevægt er proportional med egenvektoren. Det betyder altså, at forholdet mellem egenvektorens koordinater kan genfindes i koordinatsættet for populationens ligevægt. Bemærk, at Sætning 3 siger, at dette forhold faktisk også kan genfindes mellem c og b i selve overgangsmatricen M! I øvelserne før Sætning 6 fremgår det fx, at forholdet mellem koordinaterne i populationens ligevægt v0 M v0 = er 2, ligesom i egenvektoren v =. Det samme forhold findes mellem 0,72 og 0,06 i M. Materialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK KVL, 2006, Henrik Laurberg Pedersen & Thomas Vils Pedersen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 5

18

19

20 Undervisningsministeriet

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx171-matn/a-305017 Tirsdag den 3. maj 017 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet frs111-matn/a-405011 Tirsdag den 4. maj 011 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-1stx131-mat/a-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve. Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere