Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a Onsdag den 27. april 20

2 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve 2 af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

3 Forberedelsesmateriale: Matricer Form: Matricer Introduktion Dette forberedelsesmateriale omhandler emnet matricer samt anvendelser af matricer i modeller for populationer. Materialet er opbygget således, at ny teori introduceres gennem eksempler og øvelser, hvorefter teorien præciseres og generaliseres ved definitioner og sætninger. Eksempel : I en population med kaniner, vælger vi at sige, at en kanin er ung det første leveår og herefter er den gammel. Unge hunkaniners chance for at overleve det første leveår er 70%, mens en gammel hunkanins chance for at overleve til det næste år er 40%. Unge hunkaniner får i gennemsnit 2 unger om året og gamle hunkaniner får i gennemsnit,5 kaniner om året. Hvordan udvikler denne population af hunkaniner sig som årene går? Vi indfører først nogle variable til beskrivelse af populationens udvikling: Antallet af unge hunkaniner i år n betegnes x n, og antallet af gamle hunkaniner i år n betegnes y n. Antallet af unge hunkaniner det næste år, dvs. år n +, betegnes x n +, og antallet af gamle hunkaniner i år n + betegnes y n +. Ud fra informationen om populationens udvikling kan sammenhænge mellem de fire variable angives ved ligningssystemet: xn+ = 2 xn +.5 yn y = 0.7 x y n+ n n Øvelse : Forklar med naturligt sprog, hvordan informationerne om populationens udvikling kommer til udtryk i ligningssystemet. Øvelse 2: Det antages, at der er 00 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner i år 0, dvs. når n = 0. Udregn på baggrund heraf populationen de efterfølgende år og udfyld tabellen nedenfor. n x n y n Ved at indføre begrebet matricer kan vi automatisere disse beregninger, således at arbejdet med at bestemme populationens udvikling fra et år til et andet bliver meget lettere. En matrice er i princippet et talskema, man kan regne med ud fra bestemte regneregler. Matricen, der beskriver kaninpopulationen ovenfor er 2.5, mens startpopulationen kan beskrives

4 Forberedelsesmateriale sommertermin som en vektor. For at bestemme populationens sammensætning et år senere multipliceres matricen og 0 vektoren. Fxx kan populationens sammensætningg efter det første år beregnes til =, og populationens sammensætning efter fire år kan beregnes til = Dvs. at der efter år er 200 unge hunkaniner og 70 gamle hunkaniner i populationen, p, og efter 4 år er der 355 unge hunkaniner og 052 gamle hunkaniner i populationen. Med et CAS-værktøj kan vi nemt bestemme de to produkter: og. Øvelse 3: Vælg andre startpopulationer, og bestem ved hjælp af et CAS-værktøj populationens sammensætning for hver af disse efter 3, 7 og 0 år. Regning med matricer For at få helt styr på matricebegrebet, så definerer vi begrebet fra forrige afsnit, som følger: Definitionn : En 2 2 matrice er et talskema, som kan skrives ved a c M =, b d hvor a, b, c og d er reelle tal. a c Matricen består af to søjler og samt to rækker a c b d og b d. Multiplikation af en matrice M = a b c d medd en vektor x v = y er bestemt ved a c x ax + cy M v = =. b d y bx + dy Multiplikation af et reelt tal k med en matrice a c M = b d er bestemt ved k M = a c k a k c k =. b d k b k d Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 2 af 5

5 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Øvelse 4: a) Forklar med egne ord multiplikationsprocedurerne ovenfor, dvs. M v og k M. b) Bestem ved håndregning og med et CAS-værktøj. I eksemplet med kaninpopulationen multiplicerede vi den samme matrice med sig selv flere gange, nemlig da vi beregnede populationen det 4. år, hvor vi udregnede: = Definition 2: To matricer M og N er givet ved a c M = og b d N a c. 2 2 = b2 d2 Matriceproduktet M N er da defineret ved a c a2 c2 aa 2 + cb 2 ac 2 + cd 2 M N = =. b d b2 d2 ba 2 + db2 bc 2 + dd2 Produktet M N bestemmes altså ved pladsvist at multiplicere rækkeelementerne i M med søjleelementerne i N og summere disse to produkter. På kan man se, hvordan matricemultiplikation udføres i praksis. Øvelse 5: a) Kontroller at dit CAS-værktøj beregner M N som beskrevet i definitionen. To matricer A og B er givet ved 9 6 A = 8 5 og 4 2 B =. 3 b) Bestem A B og B A både ved håndregning og med et CAS-værktøj. c) Vælg selv andre 2 2matricer, og bestem produkterne A B og B A med et CAS-værktøj. Ovenstående beregninger viser, at matricemultiplikation ikke opfylder den kommutative lov, dvs. M N = N M, er ikke opfyldt. a3 c3 d) En matrice R er givet ved R =. Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om b3 d3 R ( M N) = ( R M) N (den associative lov) er opfyldt. e) Benyt et CAS-værktøj til at undersøge, om R ( N + M) = R N + R M (den distributive lov) er opfyldt. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 5

6 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Invers matrice Definition 3: Matricen 0 E = 0 kaldes 2 2 enhedsmatricen. Sætning : Alle 2 2 matricer M opfylder ligningerne M E = M og E M = M, hvor E er 2 2 enhedsmatricen. Øvelse 6: Benyt matricemultiplikation med M a c = b d til at bevise Sætning. Eksempel 2: Et ligningssystem kan bestå af to ligninger med to ubekendte: 3x+ 4y = 7 x+ 9y = 8. Dette ligningssystem kan løses med et CAS-værktøj: ( ) solve 3x+ 4y = 7 and x+ 9y = 8, x, y, x= and y =. Dvs. løsningen til ligningssystemet er x = og y =. Ligningssystemet kan også løses med matricer, idet ligningssystemet omskrives ved hjælp af en matrice og to vektorer, hvor koefficienterne til x og y beskrives ved matricen 3 4 M =, de 9 x 7 ubekendte beskrives ved vektoren v = og højresiden beskrives ved vektoren u =. y 8 Den samlede omskrivning af ligningssystemet bliver således M v = u. Øvelse 7: Udregn M v, og opstil ligningen M v = u 3 x + 4 y = 7. Sammenlign denne ligning med ligningssystemet x+ 9y = 8. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 5

7 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Eksempel 3: Matricen kaldes den inverse matrice til 3 4, da der gælder, at = og omvendt, at Ligningssystem ovenfor kan løses ved hjælp af den inverse matrice som følger: 3 4 x 7 = 9 y x = 9 9 y x = 0 y x =. y = Øvelse 8: Der gælder, at = a) Kontroller, at = og, at = Definition 4: En matrice M har en invers matrice, netop hvis der findes en matrice N, så M N = E og N M = E. Matricen N betegnes i så fald M. Øvelse 9: 6 7 Bestem den inverse matrice til hver af matricerne M 2 = og M 2 =, og gør rede for, at = E og M M M M = E er opfyldt for begge matricer, som definitionen ovenfor foreskriver. 5 2 Hvis vi forsøger, at bestemme den inverse matrice til matricen N = 5 6 en fejlmelding, fordi denne matrice ikke har nogen invers matrice! med et CAS-værktøjet, så får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 5

8 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Betingelsen, der sikrer, at en matrice har en invers matrice bygger på begrebet determinant, som vi kender fra vektorer i to dimensioner. Definition 5: Determinanten det( M ) for en matrice det( M ) = a d b c. a c M = b d er bestemt ved Man kan bestemme determinanten med et CAS-værktøj fx: =. Øvelse 0: Bestem determinanten for og Øvelse : Opskriv to vektorer med tilfældigt valgte koordinater, og opstil en matrice, hvor søjlerne er givet ved de to vektorer. Stemmer determinanten for de to vektorer overens med determinanten for matricen? 5 2 Beregner vi determinanten for matricen N =, så får vi det( N ) = 0, hvilket netop er grunden til at 5 6 CAS-væktøjet gav en fejlmelding, da vi forsøgte at bestemme den inverse matrice til N ovenfor. Der gælder nemlig: Sætning 2: Matricen M er givet ved a c M =. Hvis det( M ) 0, så har M en invers matrice, der er givet ved b d X d c =. det( M ) b a Øvelse 2: Bevis Sætning 2 ved at vise, at X netop opfylder, at X M = E og M X = E. Hvorfor er betingelsen det( M ) 0 nødvendig? Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 6 af 5

9 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Øvelse 3: Omskriv ligningssystemet 5x+ y= 23 7x 8y = 30 til matriceform. Bestem determinanten til ligningssystemets matrice, og bestem en løsning til ligningssystemet ved brug af den inverse matrice. Eksempel 4: I Eksempel med kaninpopulationen kan vi opstille ligningssystemet 2.5 xn xn+ = y y n n+ Da 2,5 det = = , så har matricen en invers matrice. 300 Hvis populationssammensætningen er 90 populationssammensætningen i n =, så er udgangspunktet x kan således bestemmes ved: y i år n = 2, og vi vil bestemme x = y x 60 = y x 300 = y 90 Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 7 af 5

10 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Ligevægte I eksempler med populationer kan det være interessant at kigge på stabile populationer, dvs. populationer som befinder sig i en form for ligevægt. Eksempel 5: I en stor granplantage rammes træerne til tider af svampesygdom. Træerne kan groft inddeles i to grupper: Raske og syge. Man har konstateret, at et raskt træ med 6% sandsynlighed vil blive sygt året efter. Ligeledes vil et sygt træ med 72% sandsynlighed blive raskt året efter. Vi antager endvidere, at ingen træer dør af sygdommen eller af andre årsager, og at der heller ikke plantes nye træer. Det oplyses, at der er i alt træer i plantagen. Ud fra disse oplysninger kan vi opstille en model for udviklingen af syge og raske træer i plantagen. Lad r n hhv. s n betegne antallet af raske træer hhv. syge træer i år n. De raske træer året efter, dvs. i år n + betegnes r n +. Disse udgør 94% af de raske træer året før, dvs r n, samt 72% af de syge træer året før, dvs s n. På samme måde kan vi opstille sammenhænge mellem antallet af syge træer i år n og år n +, således at vi får udviklingen i antallet af raske og syge træer i plantagen beskrevet ved modellen rn rn+ = sn sn+ Det antages at de træer i år 0, dvs. når n = 0, er fordelt således, at der er 3000 raske og 3000 syge træer. Herefter kan fordelingen af raske og syge træer i år 0 til 4 bestemmes som vist i tabellen: n rn sn Tabellen viser en tendens til at populationen af raske og syge træer stabiliserer sig. Spørgsmålet er hvilken fordeling, der er den stabile? Øvelse 4: Kontroller at populationerne i tabellen i Eksempel 5 er korrekte og bestem populationen for n lig med 6, 8 og 0 år, og giv et skøn over antallet af raske og syge træer i granplantagen, når populationen har stabiliseret sig. Definition 6: En vektor * v siges at være en ligevægt for en matrice M, hvis * *. M v = v Følgende konsekvens af Definition 6 er central: M 2 v * = M M v * = M v * = v *. ( ) n * * Denne overvejelse kan generaliseres til M v = v (overvej!) og i følge Definition 6 betyder det, at når der opnås stabilitet i udviklingen, forbliver populationen i ligevægt! Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 8 af 5

11 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Øvelse 5: Vi ønsker nu at bestemme ligevægten, dvs. den værdi af r og af s, hvor der ikke sker nogen ændring fra år ær ö * L til år. Skrives ligevægten på vektorform v =ç ç ç s, og angiver M matricen fra Eksempel 5, så skal vi altså çè Lø * bestemme ligevægten v * * ved at løse ligningen: M v = v. a) Vis, at æ * 2 sö v =ç ç ç çè s ø er en løsning til * * M v = v, når s betegner antallet af syge træer. b) Opstil en ligning som s skal opfylde, når granplantagen består af træer, og angiv ligevægten. Øvelse 6: Findes der en ligevægtstilstand for kaninerne i Eksempel? Nogle specielle matricer, som kaldes overgangsmatricer, er særligt interessante, når vi arbejder med ligevægt for populationssammensætninger. Definition 7: a c En matrice M = er en overgangsmatrice, hvis følgende er opfyldt b d ) a, b, c og d er positive reelle tal eller nul. 2) a+ b= og c+ d =. Øvelse 7: Er matricen M fra Eksempel 5 en overgangsmatrice? Er matricen M fra Eksempel en overgangsmatrice? Sætning 3: Lad a c M = b d være en overgangsmatrice, hvor c ¹ 0 og b ¹ 0. Så er vektoren v = k b * c, hvor k ¹ 0 er et reelt tal, ligevægt for matricen M. Øvelse 8: Bevis Sætning 3 ved at udregne * M v og udnytte, at a+ b= og c+ d =. Øvelse 9: Bestem ved hjælp af Sætning 3 k for ligevægten i Eksempel 5 (jf. Øvelse 5). Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 9 af 5

12 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 7: 2.5 Vi betragter igen M = fra Eksempel, hvor vi minder om, at denne matrice er en matematisk model, der modellerer ændringen i kaninpopulationen fra et år til det næste år. Vi antog, at der var 00 unge hunkaniner og ingen gamle hunkaniner fra start. Vi betegner startpopulationen med v 0, dvs. v 0 00 =. 0 Øvelserne i forbindelse med Eksempel viste, at der med tiden bliver cirka 3 gange så mange unge som gamle hunkaniner. Eksempelvis finder vi, at M v0 = = Ligeledes kan vi ud fra tabellen i Øvelse 2 se, at populationen cirka vokser med en faktor 2.5 pr. år, idet vi får =, = og = Hvis vi tager udgangspunkt i, at forholdet mellem unge og gamle hunkaniner allerede i starten er 3, 3 x0 og at antallet af gamle hunkaniner er x 0, svarende til v0 =, så kan vi på baggrund af x0 ovenstående opstille følgende udtryk for populationen i år, som vi betegner v : x0 7.5 x0 v = M v0 = = = 2.5 v x0 2.5 x0 Altså gælder der, at M v 0 = 2.5 v. 0 Resultatet falder tilbage på sammenhængen mellem M og faktoren 2,5, som vi eksperimenterede os frem til ved at bruge skemaet fra Øvelse 2. Forsøger vi nu at fremskrive én gang mere til år 2, får vi x x0 2 2 = = 0 = = = = x x0 v M v M v v v. Dette er en helt speciel egenskab, som vi vender tilbage til lidt senere. Øvelse 20: Tjek udregninger ovenfor vha. et CAS-værktøj. Det centrale her er, at vi kunne have brugt faktoren 2,5 som kaldes en egenværdi for M til at fremskrive uden at bruge M i udregningerne. Sammenhængen vil vi arbejde videre med nu. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 0 af 5

13 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Eksempel 8: Betragt matricen 3 M = 2 4 og vektoren v =. Vi multiplicerer M med v og får 3 2 M v = = = 2, dvs. ved multiplikationen bliver v blot multipliceret med 2. Det er netop den egenskab, vi også så i Eksempel 7, og det giver anledning til følgende definition: Definition 8: Vektoren v kaldes en egenvektor for en matrice M, når M v = λ v, hvor λ er et tal, og v 0. λ kaldes for egenværdien for den pågældende egenvektor. Af Eksempel 7 følger beregningen x0 7.5 x0 v = M v0 = = = 2.5 v0, x0 2.5 x0 2.5 dvs. tallet 2,5 er ifølge Definition 8 en egenværdi for M = med tilhørende egenvektor v 3 x 2. Fortsættes får vi v 2 = M v = M M v 0 = M 2.5 v 0 = 2.5 M v 0 = v 0 = 2.5 v = x0 Øvelse 2: Vis, at v = 2 er en egenvektor for 3 M =, og bestem den tilsvarende egenværdi. 2 4 Øvelse 22: Bestem en vektor, som ikke er egenvektor for 3 M =. 2 4 Selve definitionen af egenværdi og egenvektor giver ikke en metode til at bestemme egenvektorer og egenværdier. Det får vi brug for, og følgende sætning udtaler sig om dette: Sætning 4: λ er en egenværdi for en matrice M, netop hvis det( M λe ) = 0. Den tilhørende egenvektor v kan bestemmes som løsningen til ligningen ( M λ E) v = 0. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side af 5

14 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Eksempel 9: Vi illustrerer anvendelsen af Sætning 4 på matricen fra tidligere, før vi beviser sætningen. 3 Lad M =. Vi bestemmer λ 0 3 λ M λ E = λ = = λ 2 4 λ, og beregner determinanten for denne matrice æ3 λ ö é - ù ê ú = - + çêç 2 4-λú èë û ø 2 det λ 7λ 0. 2 Løses andengradsligningen λ 7λ+ 0= 0får vi λ = 2 og λ = 5, hvilket stemmer med eksempel 8 og øvelse 2. Ydermere fortæller det os, at der ikke er flere egenværdier end disse to. Hvis vi vil bestemme egenvektorerne svarende til λ = 2, så løser vi ( M 2 E) v = 0, og med CASværktøj får vi æé3 ù é 0ùö éxù é0ù é x+ y= 0 ù ê -2 =,. çêç èë ú û ê ë ú û ø ê ëyú û ê ë0ú û ê ë2x+ 2y= 0ú û Heraf følger, at der er uendeligt mange egenvektorer til matricen M, fordi der er uendeligt mange løsninger til ligningssystemet, blot med krav om, at x = y. Øvelse 23: Bestem egenværdier og tilhørende egenvektorer til matricen M = Øvelse 24: Vis, at matricen 4 2 M = 3 ikke har nogen egenværdier. Øvelse 25: Vi vender nu tilbage til Sætning 4. I sætningen står netop hvis, hvilket betyder, at sætningen består af to udsagn, nemlig: ) Hvis λ er en egenværdi for en matrice M, så er det( M λe) = 0, og omvendt: 2) Hvis det( M λe) = 0, så er λ en egenværdi for matricen M. Vi beviser først ), dvs. vi antager, at λ er en egenværdi for M, og vi skal så vise, at det( M λe) = 0. Af definitionen på egenværdi har vi, at der findes en egentlig vektor v (dvs. v ¹ 0 ), så M v = λ v, og heraf følger, at M v-λ v = 0 Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 2 af 5

15 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 M v-λ E v = 0 ( M -λ E) v= 0 Men denne ligning har ikke alene v men også nulvektoren som løsning, dvs. der er altså mindst to løsninger. Hvis determinanten for et ligningssystem er forskellig fra 0, så vil der jo være præcis én løsning, så derfor kan vi konkludere, at determinanten her må være nul, dvs. det( M λe) = 0. Hermed har vi bevist ). Vi beviser nu 2), dvs. vi antager, at det( M λe) = 0, og vi skal så vise, at λ er en egenværdi for M. Når vi skal vise, at λ en egenværdi for M, så skal vi vise, at der findes en egentlig vektor egenvektor for M, dvs. u skal opfylde, at M u= λ u, eller som ovenfor, at ( M -λ E) u= 0. æxö u = ç çèy, som er ø Opstil det tilsvarende ligningssystem, idet æa cö M =ç ç ç çè b d ø : ( a-λ) x+ c y= 0 (*) b x+ ( d-λ) y= 0. (**) Vi ved jo at determinanten for ligningssystemet er 0, så derfor får vi ( a-λ) ( d- λ) + c ( - b) = 0. (***) Betragt nu ligningen i (*) og vis, at hvis vi vælger æd - λö u =ç ç çè -b, så er ligningen opfyldt. ø Vis, at æd - λö u =ç ç çè -b også opfylder ligningen i (**). ø Således er u en egenvektor for M. Determinantudtrykket i (***) kan omskrives til (overvej!) b - ( c) + ( d-λ) ( a- λ) = 0. (***) Betragt nu ligningen i (**) og vis, at hvis vi vælger æ - c ö w =ç ç çèa -λ, så er ligningen opfyldt. ø Vis, at æ - c ö w =ç ç çèa -λ ø også opfylder ligningen i (*). Således er w en egenvektor for M. Men kan vi være sikre på, at u og w er egentlige vektorer eller kunne u og w være nulvektoren? Hvis u og w var nulvektoren, så ville der gælde, at æd λö æ0ö - = è ç -b ø çè0 ø, dvs. d- λ = 0 - b= 0 og, at Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 5

16 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 æ c ö æ0ö - = çèa -λ ø çè0 ø, dvs. - c= 0 a- λ = 0, hvilket betyder, at b= c= 0 d- λ= a- λ= 0, og dermed, at a= d. Men så ville M jo være æa 0ö æ 0ö M = = a = a E 0 a 0, çè ø çè ø og denne matrice har jo alle vektorer som egenvektorer (overvej!) og ikke kun de to u og w, som vi fandt ovenfor. Altså er u og w egentlige vektorer. Vi har således vist, at der findes en egentlig vektor, der er egenvektor for M og dermed, at λ er egenværdi for M. Hermed har vi bevist Sætning 4. Hvis vi afslutningsvist igen vender os mod Eksempel med kaninpopulationen, kan vi nu udlede den sammenhæng mellem ligevægten i en population og egenværdierne, som blev sandsynliggjort tidligere. Ofte vil man nemlig være interesseret i at kende udviklingen af v n, når n bliver stor. Sætning 5: n Når n bliver stor, vil v n = M v nærme sig n 0 c λ v, hvor c er en konstant, λ er den største af de to egenværdier til M, (dvs. λ > λ2 ), med tilhørende egenvektor v. Sætningen kan også formuleres med matematisk notation: n n v = M v c λ v for n n 0 n Da vn c λ v, når n er stor, gælder det også, at n n n v n c λ + v = λ c λ v = λ + ( c λ v) λ vn. Fortolkningen er interessant: For store værdier af n, kan man fremskrive en population blot ved at gange v n med λ. Eller sagt på en anden måde: Populationen vokser med en faktor λ ved hver fremskrivning. Fremskrivning af en population over flere perioder, kan altså generaliseres ved blot at gange v n med den rette potens af λ. Sætningen vises ikke, men resultatet føres tilbage til Eksempel med kaninpopulationen. Her var 2.5 populationsmatricen M =, og udregninger senere viste, at egenværdien for matricen var λ = x0 2 3 x0 2 3 x0 med tilhørende egenvektor v0 =. Den videre udregning viste, at v2 = λ = 2.5, x0 x0 x0 hvilket er i overensstemmelse med Sætning 5. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 5

17 Forberedelsesmateriale sommertermin 20 Populationen kan altså fremskrives udelukkende vha. af egenvektoren og egenværdien og så selvfølgelig startpopulationen! Der gælder ligeledes en sætning for overgangsmatricerne, som gør, at vi kan bruge egenvektoren til at finde en populations ligevægt. Dette anskueliggøres ud fra Eksempel 5, hvor vi først finder en af egenvektorerne og den tilsvarende egenværdi til matricen i eksemplet. Øvelse 26: Eftervis ved at benytte Definition 8, at v = er en egenvektor til overgangsmatricen M = med tilhørende egenvektor λ =. Det betyder, at M v = v. Hvilken yderligere egenskab har v dermed i denne sammenhæng? Øvelse 27: I Øvelse 4 var M v0 = Hvordan hænger dette sammen med egenvektoren v =? Vi har nu sandsynliggjort, at der er en klar sammenhæng mellem en populations ligevægt og egenvektoren, som vi kan formulere i en sætning: Sætning 6: * Hvis M er en overgangsmatrice, og v * er en ligevægt for M, så er v en egenvektor med tilhørende egenværdi. * Det gælder desuden, at er den største egenværdi for M, og at vn k v, hvor k er en konstant, når n. Sætningen siger netop, at en populations ligevægt er proportional med egenvektoren. Det betyder altså, at forholdet mellem egenvektorens koordinater kan genfindes i koordinatsættet for populationens ligevægt. Bemærk, at Sætning 3 siger, at dette forhold faktisk også kan genfindes mellem c og b i selve overgangsmatricen M! I øvelserne før Sætning 6 fremgår det fx, at forholdet mellem koordinaterne i populationens ligevægt v0 M v0 = er 2, ligesom i egenvektoren v =. Det samme forhold findes mellem 0,72 og 0,06 i M. Materialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK KVL, 2006, Henrik Laurberg Pedersen & Thomas Vils Pedersen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 5

18

19

20 Undervisningsministeriet