Lektion ordens lineære differentialligninger
|
|
- Sven Villadsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lektion ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante koefficienter 1. homogene 2. inhomogene 1-kammer modeller 1
2 Lineære differentialligninger En sædvanlig differentialligning af formen y (n) () + a 1 ()y (n 1) () + + a n 1 ()y (1) () + a n ()y() = b() kaldes en nte orden lineær differentialligning. (Vi skal kun se på n = 1 og n = 2.) Hvis b() = 0 har vi en homogen ligning, ellers en inhomogen ligning. Den generelle løsning har formen y() = y 0 () + c 1 y 1 () + + c n y n () hvor y 0 er en partikulær løsning, c 1,..., c n er konstanter, og y 1 (),..., y n () er n godt valgte løsninger til den tilhørende homogene ligning. Vi vil ofte gætte den partikulære løsning y 0 () mens der vil være formler for de homogene løsninger y 1 (),..., y n (). 2
3 A. 1. ordens homogene ligninger Den homogene lineære første ordens lineær differentialligning ser sådan ud dy d + p()y = 0 med et 0 på højresiden. Den generelle løsning er P () y = Ce hvor P () = p() d er et integral til p() og C er en konstant. Ligningen er nemlig separabel, dy/d = p()y, så vi har: p() d = 1 y dy B P () = ln y y = Ce P () 3
4 Eksempel 1 Løs differentialligningen dy d + y = 0 Find den løsning, der opfylder y(0) = 5. Løsning: Dette er en homogen første ordens lineær differentialligning med p() =. Da P () = p() d = d = er y = Ce P () = Ce i dette tilfælde. Hvis y(0) = 5, så er C = 5 og y = 5e dy/d+y=
5 Eksempel 2 Løs differentialligningen dy + 10y sin(5) = 0 d Find den løsning, der opfylder y(0) = 1. Løsning: Her er P () = 10 sin(5) d = 2 cos(5) så y = Ce 2 cos(5) Hvis y(0) = 1, så er 1 = Ce 2 og y = e 2 e 2 cos(5) = e 2(cos(5) 1) = ( e (cos(5) 1)) 2 dy/d+10*sin(5*)*y()=
6 B. 1. ordens inhomogene ligninger Den inhomogene første ordens lineære differentialligning ser sådan ud: dy + p()y = f() d hvor højresiden ikke nødvendigvis er 0. Løsningen er y = e P () e P () P () f() d + Ce P () = p() d Hvorfor? Lad os antage, at y er en løsning. Hvad kan vi sige om y? Vi har d d (ep () y) = p()e P () y + e P ()dy d = p()e P () y + e P () ( p()y + f()) = e P () f() og derfor er e P () y = e P () f() d og vi finder y ved at gange med e P () på begge sider. 6
7 Eksempel 3 Løs dy d + y = 1 for > 0. Løsning: Dette er en første ordens lineær inhomogen differentialligning. Her er p() = 1 og f() = 1. Da P () = 1 d = ln og e P () = e ln = ( e ln ) 1 = 1 = 1 bliver y = 1 1 d = 1 ( C ) = 2 + C dy/d+y/=
8 Eksempel 4 Løs differentialligningen dy d + y = sin, > 0 Find den løsningen med y(1) = 2. Løsning: Dette er en første ordens lineær inhomogen differentialligning med p() = 1 som før, men nu er f() = sin. Derfor bliver y = 1 sin d = 1 ( cos + cos d ) = cos + sin + C Med C = 2 + cos(1) sin(1) bliver y(1) = 2. dy/d+y/=sin(), y(1)= y
9 C. 1. ordens inhomogene ligninger med konstante koefficienter En første ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter ser sådan ud: dy d + ay = b hvor a 0 og b er konstanter. Løsningen er y = b a + Ce a hvor C = y 0 b a. Den generelle formel siger y = e a be a d = e a( b a ea + C ) = b a + Ce a 9
10 Eksempel 5 Løs differentialligningen dy + 5y = 50 d Find den løsning, der opfylder y(0) = 3. Løsning: Dette er en inhomogen første ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter a = 5 og b = 50. Derfor er den generelle løsning y() = 10 + Ce 5 For at få den partikulære løsning med y(0) = 3 skal vi vælge C = 3+10 = 13, så y() = e 5. dy/d+5y=
11 Eksempel 6 Løs differentialligningen dy 5y = 50 d Find den løsning, der opfylder y(0) = 3. Løsning: Dette er en inhomogen første ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter a = 5 og b = 50. Derfor er den generelle løsning y() = 10 + Ce 5 For at få den partikulære løsning med y(0) = 3 skal vi vælge C = 3 10 = 7, så y() = 10 7e 5. dy/d-5y=
12 1-kammer modeller I biologi bruges ligningen dy/d = b ay ofte til at beskrive dynamikken i en 1-kammer model: b y ay hvor noget tilføres en beholder med konstant hastighed og fjernes fra beholderen med en hastighed proportional med den indholdet af y i beholderen. Tænk feks. på en hullet beholder under en vandhane. 12
13 Eksempel 7 Et stof injiceres i blodet med konstant tilførsel r. Kroppens organer udskiller stoffet med en hastighed proportional med koncentrationen Q(t) af stoffet i blodet. Hvordan udvikler Q(t) sig? r Q cq Løsning: Koncentrationen Q(t) opfylder differentialligningen dq dt = r cq med konstante koefficienter. Løsningen er derfor: Q(t) = r c + ( Q 0 r c ) e ct hvor Q 0 er koncentrationen til tiden t = 0. 13
14 dq/dt=2-0.01*q Q t Koncentrationen vil, uanset startværdien, stabiliseres omkring r c over lang tid.
15 5 100 Eksempel 8 Et akvarium med 1000 l vand gennemstrømmes af vand med en konstant fart på 2 l i minuttet. Til tiden t = 0 indeholder im akvariet 800 mg PCB. Det indstrømmende vand indeholder mg/l PCB. Hvornår er PCB-indholdet i akvariet nede på 200 mg? Løsning: Akvariet indeholder Q(t) mg PCB hvor dq dt = Q = Q og Q(0) = 800. Dette er en lineær differentialligning med konstante koefficienter a = og b = Da a b = 50 bliver Q(t) = 50 + (800 50) ep( t) = ep( t) ifølge løsningsformlen Q(t) Q(t) 14
16 Vi beregner nu hvor denne funktion antager værdien 200: Q(t) = ep( 1 t) = ep( t) = t = ln(5) t = 500 ln(5) Det tager altså 500 ln(5), eller ca 805 minutter før PCB-mængden er faldet fra 800 mg til 100 mg. 800 PCB i akvariet t 15
17 Eksempel 9 Samme situation som før bortset fra at akvariet nu drænes med kun 1 l/min så vandmængden stiger. Beskriv indholdet af PCB til tiden t. Løsning: Akvariet indeholder 1000+tl vand og Q(t) mg PCB til tiden t. Udviklingen beskrives af differentialligningen Q (t) = Q(t) t Det er en 1.ordens lineær inhomogen differentialligning med p(t) = 1 og f(t) = Den generelle løsning er Q(t) = t 1000+t t dt 10 = 100t t2 + C t og den partikulære løsning med Q(0) = 800 er Q(t) Q(t) = 100t t t t Q(t) 16
18 PCB i akvariet t
19 Opgaver til Lektion Løs begyndelsesværdiproblemet dy d y = 11 8 e /3, y(0) = Løs begyndelsesværdiproblemet dy + y = 2, y(0) = 0. d 3. Løs begyndelsesværdiproblemet 2 dy + y = sin(), y(1) = d En beholder indeholder 1000 l vand. Der er opløst 100 kg salt i vandet. Rent vand pumpes ind i beholderen med en fart på 5 l/s og blandingen pumpes ud med samme fart. Hvor længe varer det før der kun er 10 kg salt i beholderen? 5. En beholder indeholder 60 l rent ferskvand. Saltvand i koncentrationen 1 g/l pumpes ind i beholderen med 2 l/min og blandingen pumpes ud med 3 l/min. Beholderen er altså tom efter 60 minutter. a. Find mængden af salt i beholderen efter t minutter. b. Hvad er den maksimale mængde salt som beholderen indeholder i løbet af de 60 minutter. 6. En jernbanevogn triller ind i en oversvømmet (vandret) tunnel. Vi antager at den modstand som vandet yder er proportonal med farten v(t). Newtons anden lov siger da at dv = kv hvor k en en konstant. dt a. Vis at jernbanevognens fart er og at dens position er (t) = 0 + v(t) = v 0 e kt ( v0 k ) (1 e kt ) b. Gør rede for at jernbanevognen kun vil trille et endeligt stykke og find det stykke. 7. (Eksamen Januar 2000) Et aktivt stof modvirker hovedpine. Efter indtagelsen nedbrydes det i organismen efter følgende differentialligning: dq dt = ln 2 12 Q hvor Q(t) er mængden af stof til tiden t efter indtagelsen. a. Angiv stoffets halveringstid. 17
20 b. En hovedpinepille indeholder 6 mg af det aktive stof. En patient indtager en pille kl. 6, kl. 12, kl. 18 og kl. 24. Hvor meget aktivt stof indeholder patienten næste morgen kl. 6? c. Antag at den samme mængde aktivt stof i stedet var giver intravenøst over et døgn, altså med en konstant hastighed af 1 mg stof i timen. Hvor meget aktivt stof ville patienten da indeholde efter 24 timer?
Lektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereLektion 9 Vækstmodeller
Lektion 9 Vækstmodeller Eksponentiel vækst 1. Eksponentielt voksende funktioner 2. Eksponentielt aftagende funktioner 3. Halverings- og fordoblingstider Vækst mod asymptotisk grænse Logistisk vækst 1.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereDosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereNy cocktail til test af renseeffekt
Ny cocktail til test af renseeffekt Metode til test af anlæg, der siges at rense regnafstrømning Rørcenterdagene 2017 Marina Bergen Jensen mbj@ign.ku.dk I samarbejde med: Karin Cederkvist Peter E. Holm
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereSTOMI INFO. Motion og livsstil
04 STOMI INFO Motion og livsstil Tips og råd om motion og livsstil efter en stomioperation Efter operation, er målet at forsøge at genoptage en normal og sund livsstil. En normal genoptræningsperiode er
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereSkriftlig eksamen BioMatI (MM503)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET
Læs mereLektion 7 Eksponentialfunktioner
Lektion 7 Eksponentialfunktioner Den naturlige eksponentialfunktion ep) = e Andre eksponentialfunktioner a Regneregler ep0) =, ep + y) = ep) epy) Potensfunktioner r En berømt grænseværdi Uegentlige integraler
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereBabyDos - Et fuldautomatisk restfri minivådfoderanlæg
BabyDos - Et fuldautomatisk restfri minivådfoderanlæg BabyDos er et rest frit vådfoderanlæg, der giver somælkerstatning og pre-starter i foderskåle i farestalden. Doseringen af mælk og pre-starter sker
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereSalt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet
Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at
Læs mereDifferentialligninger nogle beviser og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereVækst Et forløb i matema7k og bioteknologi
Vækst Et forløb i matema7k og bioteknologi Marit Hvalsøe Schou, LSUL, SDU John Kehlet Schou, LSUL, UCL Vores mo7va7on Kernestoffet i matema7k på htx indeholder emnet Differen'alligninger. Det har eleverne
Læs mereLøsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Læs mereSådan kommer du i gang!
Sådan kommer du i gang! - en Conteco-guide for begyndere Indhold Det skal du bruge.. 2 Opnå det rigtige look...2 Systemopbygning..2 Blanding af farve... 2 Blanding af Conteco... 3 Blanding af Conteco Beton
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereNavision Stat 9.3. Kvikguide for håndtering af Peppol dokumenter. Overblik. Side 1 af 12. ØSY/kkp Dato
Side 1 af 12 Navision Stat 9.3 ØSY/kkp Dato 22.02.2019 Kvikguide for håndtering af Peppol dokumenter Overblik Formål Dokumentet supplerer Elektronisk fakturering manualerne for hhv. køb og opsætning med
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereEJERAFTALE. mellem. Køge Forsyningsinvest ApS. Cvr. nr Vasebækvej Køge. Stevns Forsyningsinvest ApS. Cvr. nr.
EJERAFTALE mellem Køge Forsyningsinvest ApS Cvr. nr. 37243647 Vasebækvej 40 4600 Køge og Stevns Forsyningsinvest ApS Cvr. nr. 37243655 Fægangen 8, Bjælkerup 4660 Store Heddinge og Solrød Forsyning Holding
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs mereKOMMISSIONENS FORORDNING (EU)
L 55/4 KOMMISSIONENS FORORDNING (EU) 2016/293 af 1. marts 2016 om ændring af Europa-Parlamentets og Rådets forordning (EF) nr. 850/2004 om persistente organiske miljøgifte for så vidt angår bilag I (EØS-relevant
Læs mereADGANG TIL EGNE DATA ADGANG TIL EGNE DATA ADGANG TIL EGNE DATA. IT-Arkitekturrådet, 2. maj 2016
ADGANG TIL EGNE DATA ADGANG TIL EGNE DATA ADGANG TIL EGNE DATA IT-Arkitekturrådet, 2. maj 2016 Baggrund Udstilling af kommunens udvalgte sagsdata på borger.dk (Borger.dk-option i udviklingskontrakten for
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereBrikker til Tekst 1: Bag om varen
Spillekort til Læsedysten Læsedysten er et brætspil, som kan anvendes i forbindelse med arbejdet med Bag om læseprøven af Lis Pøhler og Thomas Tønnesen Gyldendal 2018 Brikker til Tekst 1: Bag om 10 faktakort
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereDifferentialligninger
Matematikprojekt om Differentialligninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 5 November 2010 Indhold I Differentialligninger........................ 3 I Generelt om
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereNogle kunstnere s ger selv honorartilskud fra fonde, kunststyrelsen eller lignede.
Velkommen til UTEATER som Kunstner For og g re det s let, som overhovedet muligt for alle parter, har vi lavet denne lille infoseddel. Uteater har ikke konomi udstede honorar/l n. Vi kan i visse tilf lde
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereREFERAT afmøde i Det Naturvidenskabelige Studienævn torsdag den 15. marts kl i lokale 078
Dato:26. april 2012 Reference: hkro J.nr.: REFERAT afmøde i Det Naturvidenskabelige Studienævn torsdag den 15. marts kl. 10.15 i lokale 078 I mødet deltog: formand Poul Nielsen (IFK), lektor Knud Ladegaard
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereNyhedsbrev til abonnenter - Juli Kasserede EU-regler
Nyhedsbrev til abonnenter - Juli 2017 Kasserede EU-regler Som vi kunne fortælle om i årets første nyhedsbrev (januar 2017), så er 2017 det vigtige år for den Køretøjssikkerhedspakke, man i 2014 besluttede
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereStudstrupværkets Havn
Udskrift fra www.danskehavnelods.dk den: 20-3-2017 Studstrupværkets Havn Sidste opdateringer Tekst: 13-6-2012 - Plan 1: 29-10-2010 Beliggenhed Kattegat, Århus Bugt, Kalø Vig 56 15,0'N 10 21,0'E - kort
Læs mereBrugertilfredshedsundersøgelse borger.dk - konklusioner. 17. december 2018 JYSK ANALYSE A/S
Brugertilfredshedsundersøgelse borger.dk - konklusioner 17. december 2018 Om undersøgelsen Undersøgelsen er gennemført af. Besvarelserne er indsamlet via pop-up på borger.dk i perioden den 6. og 7. december
Læs mereKlassificering af vandløb
Mail parter Dato: 16. juli 2019 Teknik- og Økonomiforvaltning Frederik IX's Plads 1 9640 Farsø Sagsnr.: 06.02.02-P24-1-19 Flemming Andersen Telefon: 99 66 71 16 Mail: fan@vesthimmerland.dk Klassificering
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mere