2. ordens differentialligninger. Svingninger.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2. ordens differentialligninger. Svingninger."

Transkript

1 arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af fjederen. 80 kg

2 . ordens differentialligninger. Udledning af forler for løsning af. ordens hoogene differentialligninger. d d y a y by = 0 dx d x En operator D indføres. D y ad y by D = ad b y = D r1 y = 0 ( 1) r 1 og r er rødder i ligningen r ar D r b = 0 Denne ligning kaldes den karakteristiske ligning Vi indfører en funktion: u = d u( xder ) indsættes i ( 1) u = u( x) = D r y D r 1 D r y = D r 1 u = 0 ( ) D r 1 u = 0 d dx u = r 1 u 1 u du = r 1dx 1 du = u r 1 dx ln u = c1 u c e r 1x = Dette indsætte i ( ) r 1 x c e r 1x = D r y So oskrives til: d dx y r y = c e r 1x Dette er en 1. ordens lineær differentialligning: Px ( ) = r Qx ( ) c e r 1x = Px ( ) dx r dx ρ( x) = e ρ( x) = e e r x = yx ( ) = 1 ρ( x) ρ( x) Q( x) dx yx ( ) = 1 e r x e r x c e r 1x dx yx ( ) c e r x = e r 1r x dx Ligningen r ar b = 0 kan have 3 løsninger. reelle og 1 kopleks løsning. of 1

3 1) Den 1. reelle løsning: r 1 og r er relle og forskellige. yx ( ) c e r x e r 1r x = dx c e r x = 1 r 1 r e r 1 r x c3 yx ( ) c e r x e r 1r x cc3 e r x = r 1 r yx ( ) C1 e r 1x = C e r x ) Den. reelle løsning: r 1 = r orker vi ikke udlede nu. Løsningen er yx ( ) e r 1x = ( C1x C) 3) Den koplekse løsning: r 1 = a ibog r a ib =. Vi tager udgangspunkt i løsningen fra den 1. reelle løsning: yx ( ) C1 e r 1x C e r x = k1 e r 1x = k e r x yx ( ) k1 e r 1x k e r x = = k1e ( aib) x ke ( aib) x = k1e ax e ib x ke ax e ib x Vi anvender nu: e ib x = cos bx ( ) isin( bx) yx ( ) = e ax [ k1( cos( bx) isin( bx) ) k( cos( bx) isin( bx) )] Da cos( x) = cos( x) og sin( x) = sin( x) yx ( ) = e ax [ ( k1 k)cos( bx) ( k1 k) isin( bx) ] Da både k1+k og ( k1 k) ier konstanter, kan udtrykket skrives so: yx ( ) = e ax ( C1 cos( bx) Csin( bx) ) Løsningen ed de koplekse rødder er den, vi anvender på svingningsprobleer. 3 of 1

4 Opgaver i. ordens hoogene differentialligninger Opgave 1 Find den fuldstændige løsning til differentialligninger og beste den particulære løsning til de angivne randbetingelser: 4 of 1

5 Svingninger Svingninger og den. ordens hoogene differentialligning x k F(t) c a) x b) F= k. x. g F(t)= A 1. cos( 1. t) F d = c. v R=. g Figur 1 ed ydre kraft Idealiseret odel af et dæpet syste Forudsætninger På ovenstående figur ses en vogn, der står på en plan vandret overflade. Der er ingen friktion i vognens lejer og hjul, og der optræder ingen friktion elle hjul og underlag, ligeso der ikke optræder luftodstand på vognen. Vognen er udover tyngdekraften påvirket af en fjeder - i vandret retning -ed fjederkonstanten, k N, sat af en dæpning i for at en væskefyldt cylinder hvori der befinder sig et stepel, so er fastgjort til vognen. Dæpningen kan forudsættes proportional ed vognens hastighed, og kan N udtrykkes ved dæpningskonstanten, c, og virker ligeledes i vandret retning. s På vognen kan desuden virke en ydre kraft, der er afhængig af tiden - her givet ved funktionen Ft () = A 1 cosω 1 t. Først antages den ydre kraft at være nul, og vognens bevægelse so funktionen af tiden kan bestees so løsning til en. ordens differentialligning, so udledt i det følgende. Vognen trækkes lidt od højre og slippes hvorefter den vil udføre en bevægelse. Det skal vises, at der - ved hjælp af Newtons. lov - kan opstilles en differentialligning hvor vognens stedfunktion x(t) og dens afledte er ubekendte. På ovenstående figur 1 situation b) er vist de kræfter, der virker på vognen når den foretager denne bevægelse. Ps det er lettest at genneskue fortegn på de opstillede kræfterne, når vognen foretager en bevægelse ed højre svarende til positiv retning iht fortegnskonventionen og stedet, der i dette notat benævnes x(t), er større end nul - altså x(t) > 0. 5 of 1

6 Husk bevægelsesligningerne fra fysikken, og at vi i dette notat anvender sybolet x for stedet: xt () : stedet so funktion af tiden x' () t v() t : hastigheden so funktion af tiden x'' ( t) v' () t at () : accelerationen so funktion af tiden Med ovenstående i frisk erindring sat ved hjælp af Newtons. lov fås: a => F d F x'' cx' kx => c x'' x' k x 0 => Eller skrevet ed en anden notation d c d x dt dt x k x 0 Ovenstående genkendes so en. ordens lineær differentialligning ed konstante koefficienter, hvor løsningen til differentialligningen er er styret af egenskaberne af karakterligningens rødder. Det viser sig dog, at uanset udfaldet af rødderne i karakterligningen vil den givne løsning til differentialligningen beskrive en for svingende bevægelse. Karakterligning: r c r k 0 c c 4 k r 1 r c c 4 k I. Karakterligningen giver to reelle rødder hvoro det gælder, at r 1 r c Svarende til 4 k 0 Løsningen til differentialligningen bliver x C 1 e r 1t C e r t, der beskriver bevægelsen (svingningen) i et overdæpet syste: 6 of 1

7 II. Karakterligningen giver to reelle dobbelt rødder hvoro det gælder, at r 1 r c Svarende til 4 k 0 Løsningen til differentialligningen bliver x e r 1t C 1 t C, der beskriver bevægelsen (svingningen) i et kritisk dæpet syste III. Karakterligningen giver to koplekse rødder, hvoro det gælder, at de er koplekst konjugerede. c Svarende til 4 k 0 Løsningen til differentialligningen bliver x e αt C 1 cos( βt) C sin( βt), der beskriver bevægelsen (svingningen) i et underdæpet syste. Læg specielt ærke til, at hvis c= 0 svarende til at der ikke er nogen dæpning, fås løsningen til en haronisk bevægelse - se fysikkopendiet α c β c 4 k Eksepel A - underdæpet syste Se figur 1 og udregn hvilken bevægelse vognen vil udføre under forudsætning af nedenstående værdier, og at den flyttes 0,5 til højre, før der gives slip på den. = 10 kg k = 10 N/ og c = 1 N//s Beregn svingningens periode c 4 k 0 svarende til et underdæpet syste 10 k 10 c 1 α c β c 4 k α 0.05 β 1 xt () e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) 7 of 1

8 C 1 og C skal naturligvis bestees ud fra randbetingelser - og så forsvinder den røde farve også fra Mathcad. Randbetingelser 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 ) t 0 => x' ( 0) v( 0) 0 1) 0.5 C 1 1 C 0 => C ) x' () t 1e αt βc 1 sin( βt) αe αt C 1 cos( βt) e αt βc cos( βt) αe αt C sin( βt) α x' ( 0) αc 1 βc 0 C β C 1 C 0.03 xt () e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) A C 1 C ϕ o atan C 1 C Oskrivning til haronisk svingning iht fysikkopendiet ω β Hvor er systeets egenfrekvens x f () t e αt Asin ωt ϕ o x 1 () t e αt A ok ed oskrivning se grafen på næste side Indhyldningskurven 8 of 1

9 1 0.5 xt () x f () t x 1 () t x 1 () t t T π β Se fysik kopendiet ed hensyn til den haroniske svingning T 6.9 Eksepel B Med systeet i eksepel A kan an nu spørge hvor stor dæpningen skal være for at vi får et kritisk dæpet syste? svarende til situation II Kritisk dæpning => at diskriinanten i karakterligningen skal være nul, svarende til at: c 4 k 0 => c k Med ovenfor angivne værdier betyder det at c k => c 0 10 k 10 Løsningen til differentialligningen bliver på den baggrund x e r 1t C 1 t C, der beskriver bevægelsen i et kritisk dæpet syste c r 1 x kri () t e r 1t C 1k t C k 9 of 1

10 C 1 og C skal ligeso i eksepel A bestees ud fra randbetingelser. Randbetingelserne er de sae so i eksepel A. Randbetingelser 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 ) t 0 => x' ( 0) v( 0) 0 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 => C k 0.5 ) x' kri () t r 1 e r 1t = C 1k t 0.5 e r 1t C 1k c 0 = r 1 ( 0 0.5) C 1k => C 1k = 4 r 1 C 1k C 1k 0.5 kontrol c x kri () t e r 1t C 1k t C k x kri () t t 10 of 1

11 x kri () t xt () t Eksepel C - overdæpet syste Hvis vi forsætter ed de sae antagelser so i eksepel A - en nu antager at c kfås et overdæpet syste Vi kan eksepelvis vælge at c 50 Løsningen til differentialligningen bliver således x C 1 e r 1t C e r t, der beskriver bevægelsen (svingningen) i et overdæpet syste: c c 4 k r 1 r c c 4 k Kontrol c 50 k x ov () t e r 1t C 1ov C ov e r t C 1ov og C ov skal ligeso i eksepel A og B bestees ud fra randbetingelser. Randbetingelserne er de sae so i eksepel A. Randbetingelser 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 ) t 0 => x' ( 0) v( 0) 0 11 of 1

12 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 => C 1ov C ov 0.5 ) x' ov () t r 1 e r 1t C 1ov r C ov e r t ) 0 = r 1 C 1ov r C ov => r C ov r C ov = 0 => 0.5r 1 r 1 C ov r C ov 0 = => r 1 C ov r r r r C 1ov 0.5 C ov C 1ov 0.48 C ov 0.0 x ov () t C 1ov e r 1t C ov e r t 0.4 x ov () t t 1 of 1

13 Eksepel A,B og C 0.5 x ov () t x kri () t xt () Løsninger af differentialligningen hvis vognen påvirkes af en ydre kraft so nævnt på side 1 Ft () = A 1 cos ω 1 t t Hvorfor er der valgt netop denne for på den ydre kraft, der kunne i princippet være valgt en hver anden funktion af tiden? Ft () = A 1 cos ω 1 t er valgt fordi den kan være et led i en Fourierrækkeudvikling af en vilkårlig funktion. Fourierrækken kan i princippet beskrive en vilkårlig funktion ed en præcision, der udelukkende afhænger af edtagne led i rækken. Der henvises iøvrigt til special litteratur vedrørende Fourierrækker - so ligger uden for dette fags pensu. Da alle led i en Fourierrække er enten en sinus eller cosinusfunktin har an - hvis an finder en løsning til x(t) når der virker en ydre kraft på foren F() t = A 1 cos( ωt) - løst probleet for alle tænkelige ydre kræfter idet disse i princippet kan oskrives ved hjælp af en Fouierrække. Når der virken en ydre kraft so beskrevet ovenfor bliver den styrende differentialligning en inhoogen. ordens differentialligning på foren: d c d x dt dt x k x = Ft () A 1 cos ω 1t = eller ed en anden notation d c d x dt dt x k x = C 3cosω 1 t Den fuldstændige løsning til den inhoogene. ordens differentialligning på forrige side fås so bekendt so den fuldstændige løsning til den tilsvarende hoogene differentialligning plus én løsning til den inhoogene. 13 of 1

14 Det der specielt kan være interessant at analysere er hvis frekvensen af den ydre kraft er ens ed frekvensen af egensvingningen til løsningen til den hoogene differentialligning (her er der tale o det tilfælde hvor løsningen beskriver et underdæpet svarende til at der forekoer koplekse rødder i karakterligningen). Dette er interessant i forbindelse ed resonansfænoener, tænk eksepelvis på hængebroen, so gik i egensvingninger. Eksepel A genoptages og odøbes til Eksepel D Se figur 1 og udregn hvilken bevægelse vognen vil udføre under forudsætning af nedenstående værdier, og at den flyttes 0,5 til højre, før der gives slip på den. = 10 kg k = 10 N/ og c = 1 N//s Beregn svingningens periode 10 k 10 c 1 α c β c 4 k α 0.05 β 1 C 0.03 C x() t e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) A C 1 C ϕ o atan C 1 C Oskrivning til haronisk svingning iht fysikkopendiet ω β Defineres so den (sykliske) egenfrekvens se Teknisk Ståbi x f () t e αt Asin ωt ϕ o ok ed oskrivning se grafen på næste side T π β T of 1

15 x f () t xt () Tjek af at oskrivningen passer! t Hvad vil der ske ed vognens bevægelsesønster hvis vi påvirker den ed en ydre kraft ed sae cykliske egenfrekvens so ovenstående d c d x dt dt x k x = C 3cosω 1 t ω 1 = β C 3 = 0.01kN C xt () = x h () t x p () t x h () t e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) 15 of 1

16 Opgave Pendulet ed og uden dæpning I kuplen i Pantheon i Paris ophænges et lod ed assen M i en snor ed længden L, se skitsen ovenfor. Der regnes kun ed eget så udsving i forhold til snoren længde. Bevægelsen starter ed, at pendulet trækkes ud til siden til vinklen θ 0. Herefter slippes pendulet, og svingningerne starter. Fra Newtons.lov ved vi, at den resulterende kraft F = a. Den resulterende kraft i dette tilfælde er F T. Opstil ligningen for pendulets svingning uden dæpning og ed dæpning. Dæpningen indføres på grund af vindodstanden. d Denne dæpning er proportional ed hastigheden og dered også af vinkelhastigheden dt θ. Dæpningen D P = v k L og D d P = - dt θ k. d Vis at differentialligningen kan skrives so θ g dx L θ = 0 i det udæpede tilfælde. d d Vis at differentialligningen kan skrives so θ θ k g dx dt L L θ = 0 i det dæpede tilfælde. d Randbetingelser er at: θ( 0) = θ 0 og dt θ er 0 for t=0. Løs differentialligningerne ed værdierne L = 100, θ 0 = 0.1, M = 5kg og k = 0.1 kgl. s Opgaven løses først sybolsk uden anvendelse af talværdier. 16 of 1

17 Eksepel ed svingning af en indspændt søjle 1 Udbøjningen for en udkraget fast indspænt bjælke ( søjle) er: u = 3 3E I eller: P = L 3 u. Kontrollér ed Teknisk Ståbi afsnit 3.. PL 3 d Vis at differentialligningen for søjlens udbøjning er: u 3E I d t L 3 u = 0. u = u(t). u(0) = 0.. Massen af søjlen sættes til 1 4 søjlensasse 3E I Løs denne differentialligning, og vis at løsningen er: u = u o sin L 3 t. N Søjlen er en stålsøjle ed E odul :10000, ed dette tværsnit: EI of 1

18 Vis at inertioentet o den stærke akse er ca: Længden er Optegn svingningen. Find egenfrekvensen til: f o =. T Eksepel på svingningskurve, hvor aksernes værdier dog ikke passer ed denne opgave: 18 of 1

19 Løsningsovervejelser: ux ( ) 1 PL 3 3 x 1 x = ul ( ) EI 3 L 3 L 1 3 P L 3 ( EI ) = Fra Teknisk Ståbi Gennesnitlig udbøjning: r L 1 1 L 0 PL 3 EI 3E I L 3 = 0 3 x 1 x L 3 P dx 3 L 3 L 8E I 3E I r = L 3 i u = C1cos Alligevel antages assen sættes til 1/4 af den totale asse. 3E I L 3 t Csin 3E I L 3 t u er 0 for t=0, giver C1 =0 u = uo for t= 90 3E I 3E I uo = C u = u o sin L 3 t u = u o sin L 3 t. 19 of 1

20 Taleksepel: I N kg L1 E L s N I = PL1 1 P 1980N u o 3 P L1 3 u o ( EI ) t s 1s u o 100 ut () u o sin 3E I L1 3 t s T t π 3E I L1 3 s 1 T t 0.8 s f o f o T t s ut () t Teknisk ståbi: K 3.5 K f ots 10 f ots.6 88 π 0 of 1

21 Opgave 3 Lod ophængt i fjeder. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af fjederen. 80 kg Massen M er 80 kg, S og X åles i eter, fjederkonstant k= 50 N. a) Opstil ud fra Newton s. lov ligevægtsligninger for loddet. b) Vis at ligevægtligningerne fra a) kan opstilles so d x k dt M x = 0 c) Løs differentialligningen og find udsvinget X til tiden t=5 sek. 10 x 0 d) Hvorlang tid tager et udsving elle yderstillingerne. e) Løs det sae proble ed dæpning. c = 5 N. sec 1 of 1

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Øvelsesvejledning: δ 15 N og δ 13 C for negle.

Øvelsesvejledning: δ 15 N og δ 13 C for negle. AMS 4C Daterings Laboratoriet Institut for Fysik og Astronoi Øvelsesvejledning: δ 5 N og δ 3 C for negle. Under besøget skal I udføre tre eksperientelle øvelser : Teltronrør - afbøjning af ladede partikler

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Afleveringsopgaver i fysik i 08-y2 til

Afleveringsopgaver i fysik i 08-y2 til convert cobine (1.2.1), 'units', 'units', 1 / s Page 1 of 7 Afleveringsopgaver i fysik i 08-y2 til 11.01.11 Fra hæftet: pgaver i fysik A-Niveau pgave A10 side 32 A10a Kaliu-40 henfalder ved elektronindfangning

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Appetitvækker : Togdynamik.

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Appetitvækker : Togdynamik. Togaik side 1 Institut for Mateatik, DTU: Gynasieopgave Appetitvækker : Togaik. Teori: Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende Fysik 1 For Adgangskursus og HTX, Gyldendal 1993,. udgave, siderne 73-75, 94-95

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Nb: der kan komme mindre justeringer af denne plan.

Nb: der kan komme mindre justeringer af denne plan. Efterårets øvelser, blok 2 Fysik2 Introduktion Fysik 2 øvelser består af 3 øvelser hvori der indgår måling af de fundamentale størrelser: længde, tid og masse. Alle øvelserne handler på en eller anden

Læs mere

Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner

Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Forsøg med udkraget bjælke og ramme - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Titel: Emne: Forsøg med udkraget bjælke og ramme Dynamisk analyse af simple konstruktioner Udført af: Vejleder: Projektperiode:

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Den elektrodynamiske højttaler

Den elektrodynamiske højttaler Den elektrodynaiske højttaler Ideel højttaler: arbejder i stepelorådet (stift stepel) kun translatoriske bevægelser dynaiske bevægelser foregår lineært Højttalerebranen betragtes so et sipelt svingende

Læs mere

Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet

Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lineal-lyd 1 Lineal-lyd 2 En lineal holdes med den ene hånd fast ud over en bordkant. Med den anden anslås linealen. Det sker ved

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Projektering - TwinPipes. Version 2015.10

Projektering - TwinPipes. Version 2015.10 Projektering - TwinPipes Version 2015.10 1.0.0.0 Oversigt Introduktion Denne projekteringsanual for TwinPipe-systeer er udarbejdet specielt til følgende driftsforhold: - Freløbsteperatur, T ax, på 80

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

afdeling. Opgaver FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 14

afdeling. Opgaver FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 14 Opgaver Indholdsfortegnelse FEM opgave med stænger Side FEM opgave med 3 stænger Side FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 4 FEM opgave med bjælke

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Kuglers bevægelse i væske

Kuglers bevægelse i væske Kuglers bevægelse i væske Øvelsens formål er - at eftervise v 2 -loven for bevægelse i væsker: For et legeme der bevæger sig i vand. - at se at legemet i vores forsøg er så stort, at vi ikke har laminar

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Svingninger og bølger

Svingninger og bølger Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Svingninger og bølger Pendulet svinger SIDE 2 1051 Formål At bestemme sammenhængen mellem pendulets længde og dets svingningstid. Materialer

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2. Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen

Læs mere

A7 5 Måling af densitet, porøsitet og fugtparametre - Gravimetri. Prøvningsmetode 1. Densitet, porøsitet og vandindhold

A7 5 Måling af densitet, porøsitet og fugtparametre - Gravimetri. Prøvningsmetode 1. Densitet, porøsitet og vandindhold A7 5 Måling af densitet, porøsitet og fgtparaetre - Gravietri Kildeæssig baggrnd Teksten til etoderne er darbejdet so vejledning til øvelser i bygningsaterialelære på BYG- DTU af lektor Krt Kielsgaard

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion

Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.

Læs mere