Differentialligninger af første orden

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialligninger af første orden"

Transkript

1 Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten af en funktion med funktionen selv og den uafhængige variable. Eksempel Hver af ligningerne x (t)+2x(t)=5sint e t x (t)+7x(t) 2 =3t+5 x (t)=4x(t) x (t)=3x(t) x(t) er en differentialligning af første orden. Den ubekendte i en differentialligning er en funktion, der i alle fire eksempler hedder x. Den uafhængige variable er t. Ofte underforstås den uafhængige variableix(t)ogx (t),sådifferentialligningerneistedetskrivessåledes x +2x=5sint e t x +7x 2 =3t+5 x =4x x =3x x Istedetforx benyttesmegetofte dt såledesateksempelvisdensidstedifferentialligningskrives på formen dt =3x x Iallefiredifferentialligningerovenforkanx (t)isoleres,jafaktiskerdetalleredegjortide to sidste. Vi skal altid forudsætte, at dette kan lade sig gøre. Hermed kan en differentialligning af første orden skrives på formen x =f(t,x) () Her er f en reel funktion af 2 variable defineret i en mængde i(t, x)-planen. Differentialligningen ()kanskriveslidtmereudførligtpåformenx (t)=f(t,x(t)).

2 Eksempel2 Fordefireligningerovenforfindervi,atfunktionenf i()ergivetvedhenholdsvis f(t,x)= 2x+5sint f(t,x)=e t( 7x 2 +3t+5 ) f(t,x)=4x f(t,x)=3x x Definition 3 Differentialligningen() kaldes autonom, hvis f(t, x) faktisk ikke afhænger af t. Viser,atdetosidstedifferentialligningeriEksempel2erautonome.Detoførsteerikke. Definition 4 Ved en løsning til differentialligningen() forstås en differentiabel funktion φ defineretpået intervali,så φ (t)=f(t,φ(t)) for alle t I.Ved den fuldstændige løsning til() forstås en formel for samtlige løsninger. Eksempel5 Differentialligningen x +2x=5sint har som en af sine løsninger funktionen φ givetvedφ(t)= cost+2sintforallet R.Atbevisedennepåstandbestårblotiaterstattexi differentialligningen med φ, og dernæst kontrollere, at vi opnår en identitet, dvs. en ligning opfyldt foralletietinterval.vedindsættelseivenstresidenafdifferentialligningenx +2x=5sintfås d dt ( cost+2sint)+2( cost+2sint)=(sint+2cost)+2( cost+2sint) hvilketnetoper5sint,altsåligmedhøjresidenidifferentialligningen.hermedervist,atφ(t)= cost+2sinterløsningtildifferentialligningenx +2x=5sintforallet R.Senereblivervi i stand til at vise, at differentialligningens fuldstændige løsning er givet ved x(t)= cost+2sint+ce 2t (2) hvor t R og hvor C er en reel konstant. Betydningen afdette udsagn er,at for enhver værdi afkonstantenc i(2)opnåsenløsning,ogforenhverløsningfindesenkonstantc,såløsningen kanskrivespåformen(2).mankaldercforenarbitrærkonstant.medc=0opnåsdenløsning vi betragtede i begyndelsen af eksemplet. Eksempel6 Differentialligningenx =2tx 2 harsom3afsineløsningerfunktionerne φ (t)= 4 t 2 defineretfort ], 2[ φ 2 (t)= 4 t 2 defineretfort ] 2,2[ φ 3 (t)= 4 t 2 defineretfort ]2, [ Bemærkaltså,atselvomregneforskrifternefor φ,φ 2 ogφ 3 erdensamme,såregnesde3løsninger for forskellige, idet de er definerede på forskellige intervaller. Verificeringen af påstanden erdensammeforalle3,såviudførerdenkunfordenførste: φ (t)= d dt4 t 2 = (4 t 2 ) 2 ( 2t)=2t (4 t 2 ) 2 =2t φ (t) 2 faktiskgyldignårblott ±2. 2

3 Huskpå,atφ (t)erhældningenfortangententilgrafenforφipunktet(t,φ(t)).udsagnet φ (t) = f(t,φ(t)) siger derfor, at hældningen for tangenten til løsningen kan beregnes udfra kendskab til den øjeblikkelige position(t,φ(t)). At have givet en differentialligning dt =x = f(t,x)ietområdeaf(t,x)-planeneraltsåathavegivetethældningsfelt. Mankansige,atløsningafdifferentialligningenx =f(t,x)beståribestemmelseafkurver, deriethvertpunkt(t,x)hardenrigtigehældningf(t,x). x(t) t 0.5 Figur.Hældningsfeltetforx =t 2 +x 2 meddenløsning,deropfylderx(0)= 0.4 Definition 7 Ved begyndelsesværdiproblemet for differentialligningen() forstås bestemmelsen afdenellerdeløsningertil(),derogsåopfylderenbegyndelsesbetingelseafformenx(t 0 )=x 0. Eksempel8 Vilvibestemmedenløsningtildifferentialligningenx +2x=5sint,deropfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 2, så finder vi først den fuldstændige løsning, som i dette tilfælde er(2).idenneindsættervit=0: x(0)= cos0+2sin0+ce 0 = +C Dax(0)=2fåsC=3.Densøgteløsningerhermed: x(t)= cost+2sint+3e 2t Et presserende spørgsmål er nu, om begyndelsesværdiproblemet for differentialligningen() overhovedetharnogenløsning,ogigivetfaldomderermereendén.svareter,athvisfunktionen f i differentialligningen () er tilstrækkelig "pæn", så har begyndelsesværdiproblemet for () præcis én løsning. At sige, at en funktion er pæn, er jo ikke særligt præcist. Man vil forstå, hvorfor vi siger detpå denmåde, nårvi nu for god ordens skyldbringer to præcise sætninger herom: Sætning9 Eksistenssætning.LadDværeenåbendelmængdeafR 2 oglad(t 0,x 0 ) D.Antag, atf erenkontinuertfunktiondefineretpåd.såharbegyndelsesværdiproblemetx(t 0 )=x 0 for differentialligningen dt =f(t,x)mindsténløsning. 3

4 Bemærkning 0 Vi beklager, at der optræder begrebet kontinuitet af funktion af 2 variable, et begreb, som læseren på dette tidspunkt ikke formodes at have kendskab til. Da læseren dog har kendskab til kontinuitetsbegrebet for funktion af én variabel, kan man håbe, at det indtryk efterlades, at næsten alle begyndelsesværdiproblemer for differentialligninger af første orden har mindst én løsning. I afsnittet om separable differentialligninger gives et eksempel på en differentialligning, der opfylder betingelserne i eksistenssætningen, men som har mere end én løsning gående gennem et givet punkt(faktisk uendeligt mange). De differentialligninger vi skal møde opfylder dog næsten alle betingelserne i den næste sætning: Sætning Eksistens- og entydighedssætning. Lad D være en åben delmængde af R 2. Lad f væreenkontinuertfunktiondefineretpåd,ogantag,atf harenkontinuertpartielafledetmht. x i D. Lad (t 0,x 0 ) D. Så har begyndelsesværdiproblemet x(t 0 )=x 0 for differentialligningen dt =f(t,x)netopénløsning. Bemærkning 2 Det er i eksistens- og entydighedssætningen underforstået, at der tales om maksimale løsninger. En løsning kaldes maksimal, hvis dens definitionsinterval ikke kan udvides til et større interval. Eksempelvis er hver af de i Eksempel 6 givne tre løsninger maksimale. 2 Løsningsmetoder for specielle klasser af differentialligninger I gennem de godt 300 år man har arbejdet med differentialligninger har man forsøgt at finde løsningsmetoder for differentialligninger. Man ønsker meget gerne formeludtryk for løsningerne. Der findes da også en mængde metoder, der hver for sig kan klare en klasse af differentialligninger. Men der findes ikke nogen enkelt metode, der kan bruges i alle tilfælde. Tværtimod er situationen den, at for langt de fleste differentialligninger har man ikke andet at ty til end eksistens- og entydighedssætningen. Dvs. det viser sig umuligt at bestemme en formel for den løsning, som man dog véd findes. En lignende situation møder vi ved bestemmelsen af integraler. Eksempelvis er funktionen f : t /(t+lnt) jo kontinuert på intervallet [,2] og derfor eksisterer det bestemte integral 2 t+lnt dt Skalviudregneintegraletpåsædvanligmåde,måvihavefatienstamfunktiontilf.Ensådaner imidlertid ikke lige til at finde! Faktisk kan Maple heller ikke. Det er muligt, at en stamfunktion til f slet ikke kan udtrykkes ved allerede kendte funktioner. Vi er dermed overladt til en numerisk bestemmelse af integralet. Bruger vi en numerisk metode finder vi 2 t+lnt dt= med 0 betydende cifre. Faktisk er integrationseksemplet ikke helt ved siden af. Bestemmelsen af en stamfunktion til f kan betragtes som et spørgsmål om at løse differentialligningen x (t) = f(t), altså i vores tilfælde løse differentialligningen x = t+lnt Vi må altså forvente, at skulle bruge numeriske metoder ved bestemmelsen af løsninger til mange af de differentialligninger, som vi møder i anvendelserne. 4

5 Vi skal i de næste to afsnit betragte to vigtige klasser af differentialligninger for hvilke der kan gives løsningsmetoder i den forstand, at løsning kan reduceres til stamfunktionsbestemmelse. Metodernes endelige succes afhænger dermed af muligheden af at finde stamfunktioner til visse funktioner. 2. Separable differentialligninger En separabel differentialligning er en differentialligning, der kan skrives på formen dt =h(t)g(x) (3) hvorhøjresidenaltsåkanskrivessometproduktaftofaktorer,hvordeneneikkeindeholderx ogdenandenikkeindeholdert(udengennemx(t)). Eksempel 3 Differentialligningerne dt =2t( x)2 dt = x( x) +t 2 er begge separable. Vi løser dem senere i dette afsnit. Løsning af separable differentialligninger er jo pensum i gymnasiet, så vi forudsætter en vis erfaring med løsningen af sådanne. Her følger dog en noget voldsomt udseende sætning, der siger, hvordan løsningerne kan findes. Sætning 4 Betragt differentialligningen(3), hvor h er kontinuert på det åbne interval I og g kontinuert på det åbne interval J. Så gælder:. Lad φ være en funktion, der på intervallet I opfylder g(φ(t)) 0 for alle t I. Så er x=φ(t)løsningtildifferentialligningen(3)påintervalleti,hvisogkunhvisx=φ(t)på intervallet I er løsning til ligningen forenellerandenkonstantk. g(x) = h(t)dt+k (4) 2. Den konstante funktion x = φ(t) = x 0, t I, er en løsning til (3), hvis og kun hvis g(x 0 )=0(forudsatathikkeeridentisklignuliI). 3. Hvis begyndelsesværdiproblemet for (3) har entydigt bestemte løsninger gennem ethvert punktii J,såbestårdenfuldstændigeløsningtil(3)afdeløsninger,derfindesvedseparation af de variable(altså de løsninger, der implicit er givet ved(4)) samt af eventuelle konstante løsninger. Bevis.Vitagerdetredeleirækkefølge:. La=φ(t)væreenløsningtildifferentialligningen(3)påintervalletI medg(φ(t)) 0 forallet I.Såharvi φ (t)=g(φ(t))h(t) 5

6 forallet I.Veddivisionmedg(φ(t))fås φ (t) g(φ(t)) =h(t) Vedubestemtintegrationmht.tfås,atderfindesenkonstantk,så φ (t) g(φ(t)) dt= h(t)dt+k Iintegraletpåvenstresideindførervisubstitutionenx=φ(t).Vifinderså=φ (t)dt, hvormed vi har g(x) = h(t)dt+k hvilket er (4). Antag omvendt, at x = φ(t) er en løsning til ligningen (4) på intervallet I medg(φ(t)) 0 foralle t I foreneller andenværdi afkonstantenk.vikanskrive (4) på formen G(x) = H(t)+k, hvor G(x) er en stamfunktion til g(x) på et interval J på hvilket g(x) 0, og som indeholder værdimængden for φ(t),t I, og hvor H er en stamfunktion til h på I. Da dermed φ(t) = G (H(t)), er φ differentiabel på I, og vi har G (φ(t))φ (t) = H φ(t) (t), dvs. g(φ(t)) = h(t) for alle t I. Altså gælder også φ (t)=g(φ(t))h(t),dvs.atφpåi opfylder(3). 2. Hvisg(x 0 )=0,såerx=φ(t)=x 0,t I,klartløsningtil(3).Hvisomvendtx=f(t)= x 0,t I,erløsningtil(3),såerenteng(x 0 )=0ellerh(t)=0forallet I.Hvisderfor hikkeeridentisklignulii,såmåg(x 0 )værelignul. 3. Følgerumiddelbartaf.og2. Sætning5 LadIogJværeåbneintervaller.LadhværekontinuertpåIogladgværedifferentiabelpåJ medkontinuertafledetg,såharbegyndelsesværdiproblemet hvort 0 I ogx 0 J præcisénløsning. dt =h(t)g(x), x(t 0)=x 0 Bevis. Resultatet følger umiddelbart af eksistens- og entydighedssætningen. Bemærkning 6 Vedseparationafdevariableopnåssombeskrevetenligning(4)mellemtog x. Denne ligning definerer løsningen x implicit som en funktion af t. Ligningen er ofte temmelig vanskelig at løse, selv hvis de to integraler kan udregnes! Undertiden er det nødvendigt at løse den ved hjælp af numeriske metoder. I så fald kunne det være en fordel i stedet at løse selve differentialligningen numerisk. Bemærkning 7 I de tilfælde, hvor det er lykkedes at løse (4) mht. x, er det ofte svært at bestemme det interval, på hvilket det fundne funktionsudtryk løser differentialligningen. Ofte afhænger dette definitionsinterval af konstanten k. 6

7 Eksempel 8 For differentialligningen dt =2t(x )2 (5) ønskes den fuldstændige løsning bestemt. Desuden ønskes fundet den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsenx(0)= 2. Differentialligningenerseparabel.Dah(t)=2terkontinuertpåRogdag(x)=(x ) 2 åbenbart er differentiabel med kontinuert differentialkvotient g (x)=2x 2 på R, går der igennem ethvert punkt i planen R 2 netop én løsning. Vi undersøger først, om differentialligningen har konstante løsninger. Vi skal da løse ligningen g(x) = 0, dvs. (x ) 2 = 0. Denne ligning har åbenbart løsningen. Altså har differentialligningen den konstante løsning x =. Alle andre løsninger er voksende for t >0 og aftagende for t <0, idet jo x (t)=2t(x(t) ) 2 åbenbart harsammefortegnsomt. Vi bestemmer nu formeludtryk for de løsninger, der ikke er konstante. Disse løsninger findes ved separation (x ) 2 = 2tdt+C hvor C er en arbitrær konstant. Ved integration fås x =t2 +C Man vil nu sige, at differentialligningen er løst, men at løsningen er givet på implicit form. Manvilnormaltgernehaveløsningenpåeksplicitform,dvs.atmandirekteharenformel,der fortællerhva(t)erligmed.viskalaltsånuisolerex.vifinder x= t 2 +C (6) Denfuldstændigeløsningbeståraltsåaf(6)ogdenkonstanteløsningx=. Denløsning,deropfylderbegyndelsesbetingelsenx(0)= 2 findesvedindsættelseaft=0i(6): 2 =x(0)= C såc=2.løsningeneraltsåx(t)= / ( t 2 +2 ) = ( t 2 + ) / ( t 2 +2 ).Løsningenerdefineret påheler. 7

8 2.5 x(t) t 0.5 Figur2.Hældningsfeltetforx =2t(x ) 2 sammenmed7løsninger. Øvelse 9 Deløsningertil(5),deropfylderbegyndelsesbetingelsex(0)=x 0 me 0 >erikke defineret på hele R. Definitionsintervallet for en løsning skal naturligvis indeholde den t-værdi for hvilken begyndelsesværdien er givet, i dette tilfælde altså t = 0. Find definitionsintervallet for den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 2. Eksempel 20 For differentialligningen dt = x( x) +t 2 ønskesdenfuldstændigeløsningbestemt.differentialligningenerseparabel.dah(t)=/ ( +t 2) er kontinuert på R og da g(x) = x( x) åbenbart er differentiabel med kontinuert differentialkvotient g (x)= 2x på R,går der igennemethvert punkt iplanen R 2 netop én løsning. Vi undersøger først, om differentialligningen har konstante løsninger. Vi skal da løse ligningen g(x)=0, dvs. x( x)=0. Denne ligning har åbenbart løsningerne 0 og. Altså har differentialligningen de to konstante løsninger x = 0 og x =. Vi kan allerede nu sige en hel del om de andre løsningers forløb. Opfylder en løsning x(t) uligheden x(t 0 ) > ( område ) på et tidspunktt 0, såvil den altidhavegjortdet ogvil vedblivemedatgøredet.løsningen kan jo ikke krydse den konstante løsning x = på grund af entydighed af løsninger. Det samme kan siges om en løsning, der opfylder 0<x(t 0 )<( område 2 ) og om en løsning, der opfylder x(t 0 )<0( område3 ).Vikanenddaudfradifferentialligningenafgøremonotoniforholdenefor løsningerne i de 3 områder. I område er x (t)=x(t)( x(t))/ ( +t 2) <0, da x(t)>. Altså er løsningerne i område aftagende. Det samme er løsningerne i område 3, mens løsningerne i område 2 er voksende. Vi bestemmer nu formeludtryk for de løsninger, der ligger i de tre ovennævnte områder. Disse løsninger findes ved separation x( x) = +t 2dt+C hvoraf ln x ln x =arctant+c 8

9 Her er C R en integrationskonstant. Ved sammenskrivning af de to logaritmer fås ln x x =arctant+c hvoreftervifinder x x =exp(arctant+c)=ec e arctant Numerisktegnet kan fjernes mod, at der sættes ± på højresiden: x x =±ec e arctant =Ke arctant hvor vi har sat K = ±e C. Bemærk, at K nødvendigvis må være forskellig fra nul. Vi skal nu løse ligningen x x =u=kearctant Vi finder: Altsåharvi x x =u x=(x )u=xu u xu x=u x= u u x(t)= Kearctant Ke arctant = K K e arctant hvork R\{0}.Hermedharvialtsåfundetenformelfordeløsninger,derbefindersigidetre områder adskilt af de konstante løsninger. Den fuldstændige løsning til differentialligningen består da af disse samt de to konstante løsninger, x=0 og x=. Den første af de konstante løsninger kan inkorporeres i den generelle formelvedalligevelattilladek=0. Hvis begyndelsesbetingelsen x(0) = 2 er givet, finder vi ved indsættelse konstanten K til 2. Altså fås løsningen 2 x(t)= 2 e arctant Løsningens definitionsinterval findes ved at forlange () at nævneren 2 e arctant 0 og (2) att=0er med iintervallet, da det er for dennet-værdi,atbegyndelsesværdiener opgivet.da 2 e arctant =0 t= tan(ln2)fåsdefinitionsintervalletforvoresløsningtil] tan(ln2), [. 9

10 4 3 x(t) t 2 Figur3.Hældningsfeltetforx = x( x) +t 2 sammenmed6løsninger. Eksempel2 Som et eksempel på, at der kan gå to løsninger gennem samme punkt tager vi differentialligningen dt =3x2 3 (7) Vi ser, at x = 0 er en konstant løsning. Ved separation af de variable findes løsningerne x = f(t)=(t+k) 3.Løsningsmetodenkræverf(t)=(t+k) 3 0,mendetsesveddirekteindsættelse i differentialligningen (7), at x=f(t)=(t+k) 3 er løsning for alle t R. Gennem (0,0) går nu foruden den konstante løsning x = 0 også løsningen x = t 3. I virkeligheden er det endnu værre, idet man ved sammenstykning af den konstante løsning med løsningen x = (t+k) 3 i punktett= kkankonstruereuendeligtmangeløsninger,derallegårgennem(0,0).ladnemlig k 0 k 2,ogladf væredenfunktion,derergivetvedfølgendeforskrift (t k ) 3 for t k f(t)= 0 for k <t<k 2 (t k 2 ) 3 for t k 2 såerf løsningtil(7)pår,ogdensgrafgårgennem(0,0).hvisvitilladerk = ogk 2 =, så giver ovenstående forskrift faktisk samtlige løsninger, der går gennem (0, 0). Bemærk, at g(x)=3x 2/3 ikkeerdifferentiabelforx=0(jvnf.bemærkningovenfor). 0

11 t Figur4.Løsningenmedk =,k 2 =2ogløsningenmedk =k 2 = Lineære differentialligninger af.orden En differentialligning af første orden, der kan skrives på formen a(t)x +b(t)x=c(t) kaldes en lineær differentialligning. På ethvert interval I, hvor a(t) 0, for alle t I, kan ligningen normeres ved division med a(t). Herved opnår differentialligningen følgende form x +p(t)x=q(t), t I Viforudsætteridetfølgende,atbådepogqerkontinuertepåetintervalI. Sætning22 Ladpogq værekontinuertefunktioner defineret på intervallet I.Såer den fuldstændige løsning til x +p(t)x=q(t) (8) givet ved formlen x(t)=e P(t) e P(t) q(t)dt+ce P(t) (9) hvorp erenvilkårligtvalgtstamfunktiontilp,oghvorc Rerenarbitrærkonstant. Bemærkning 23 Vi ser, at enhver løsning til den lineære differentialligning(8) er defineret på hele I. Dette er ofte ikke tilfældet for ikke-lineære differentialligninger. Formlen (9) kaldes ofte for Panserformlen. Bevis.DaperkontinuertpåI,harpenstamfunktionpådetteinterval.LadP væreensådan. Da e P(t) > 0 for alle t I, har differentialligningen (8) de samme løsninger som følgende differentialligning x (t)e P(t) +p(t)e P(t) x(t)=e P(t) q(t) Men venstre side heraf er differentialkvotienten af produktet e P(t) x(t). Dvs. ovenstående kan skrives på formen d ( ) e P(t) x(t) =e P(t) q(t) dt

12 Denne differentialligning er imidlertid ensbetydende med, at e P(t) x(t) er en stamfunktion til e P(t) q(t),dvs.ensbetydendemedeksistensenafenkonstantc R,så e P(t) x(t)= e P(t) q(t)dt+c Meddetubestemteintegralbetegnerviherenvilkårligtvalgtstamfunktiontile P(t) q(t).denne sidste ligning er åbenbart ækvivalent med formlen(9). Eksempel 24 Vi vil finde den fuldstændige løsning til differentialligningen x (t)+2x(t)=5sint Ligningen er åbenbart lineær. Den er allerede normeret. Vi bruger Panserformlen(9). Idet p(t) = 2fåsP(t)= 2dt=2t,så x(t)=e 2t e 2t 5sintdt+Ce 2t hvor C er en arbitrær konstant. Ved udregning af integralet fås x(t)=e 2t( 2e 2t sint e 2t cost ) +Ce 2t =2sint cost+ce 2t gældende for alle t R. Vi bemærker, at for store værdier af t ligner alle løsningerne den der svarertilc=0,hvilketogsåfremgåraffigurennedenfor. 4 x(t) t 2 4 Figur5.Hældningsfeltetforx +2x=5sintsammenmed5løsninger. Mest af hensyn til den senere behandling af lineære differentialligninger af højere orden viser vi en generel sætning om strukturen af den fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af første orden. Sætning 25 Den fuldstændige løsning til differentialligningen(8) er lig med summen af en partikulærløsning,x p,tilligningenogdenfuldstændigeløsning,x hom,tildentilsvarendehomogene ligning x +p(t)x=0 (0) altsåx=x p +x hom. 2

13 Bevis. Vi giver to beviser.. Den fuldstændige løsning til (8) er givet ved Panserformlen (9). Når C = 0 i (9) fås en løsning. Den betegner vi med x p. Det er en partikulær løsning. Formlen (9) gælder selvfølgelig også for det specielle tilfælde, at q(t) = 0 for alle t I. Men så fås den fuldstændigeløsningtildenhomogeneligningtilx hom =Ce P(t).Sætningenfølgernuved atudnyttedenpåvistefortolkningafdetoledi(9). 2. DettebevisudnytterikkePanserformlen(9).Antag,atx p erenløsningtil(8)ogatx h er enløsningtil(0).såerx=x p +x h løsningtil(8),idet (x p +x h ) +p(t)(x p +x h )=x p+x h+p(t)x p +p(t)x h = ( x p+p(t)x p ) +(x h +p(t)x h )=q(t)+0=q(t) Hvisomvendtx ogx 2 beggeerløsningertil(8),såerx=x x 2 løsningtil(0),idet (x x 2 ) +p(t)(x x 2 )=x x 2+p(t)x p(t)x 2 =(x +p(t)x ) (x 2+p(t)x 2 )=q(t) qt0=0 Heraf følger sætningen. Eksempel 26 Differentialligningen tx +2x=te t betragtes for t > 0. Ligningen er åbenbart lineær. Vi normerer først ligningen: x + 2 t x=e t Panserformlens P er givet ved P(t) = 2 t dt = 2lnt, så vi finder, at ep(t) = e 2lnt = t 2 og e P(t) =t 2.Hermederdenfuldstændigeløsninggivetved x(t)=t 2 t 2 e t dt+ct 2 =t 2( t 2 e t 2te t 2e t) +Ct 2 = (+ 2t + 2t ) 2 e t + C t 2 hvorc R.Vikanskrivedenfuldstændigeløsningpåformen x(t)= C ( t 2 +2t+2 ) e t t 2 For C <2 gælder åbenbart, at x(t), og for C >2 gælder,at x(t) for t 0. Hvis C=2erdetikkepåforhåndklart,hvordanx(t)opførersigfort 0.Viharet" 0 0 -problem,på hvilket vi kan bruge l Hospitals regel: (2t+2)e t + ( t 2 +2t+2 ) e t 2t = t2 e t 2t = te t 2 0 fort 0.Detsammegælderaltsåforx(t). 3

14 0.4 x(t) t Figur6.Hældningsfeltetfortx +2x=te t sammenmed5løsninger. 3 Numerisk løsning af differentialligninger: Eulers metode Da numerisk løsning af differentialligninger i mange tilfælde er en nødvendighed, vil vi her kort behandle en simpel metode til numerisk løsning af et begyndelsesværdiproblem for en differentialligning af første orden. Vi gør det for give en idé om hvad man mener med en numerisk løsning. Vi ønsker at finde en tilnærmet(med et finere ord: approksimativ) løsning af begyndelsesværdiproblemet x (t)=f(t,x(t)), x(t 0 )=x 0 En tilnærmet eller approksimativ løsning betegnes ofte som en numerisk løsning, når resultatet ikke er givet ved en formel, men foreligger som en tabel af konkrete talværdier eller som en procedure,derforenhvergivenkonkrettalværdiaftkanberegnex(t).sombrugther,harordet numerisk intetatgøremedbrugeniudtrykketnumeriskværdiafettal,somi x. Eulers metode er en numerisk metode. Den er opkaldt efter den schweitziske matematiker Leonhard Euler(707-83), der måske er den mest produktive matematiker, der nogensinde har levet.detteskalmandogikkeladesigskræmmeaf.metodenerganskesimpel. Vibegynderidetopgivnepunkt(t 0,x 0 ).Løsningenstangenthældningtilt=t 0 erx (t 0 )= f(t 0,x 0 ).Gårviderforetlilleskridtaflængdenhtilhøjre,erdennyeeksaktex-værditætpå denx-værdi,vifårvedatgålangstangenten.gårvilangstangentenfårvix-værdien Den tilsvarende t-værdi er x =x 0 +hf(t 0,x 0 ) t =t 0 +h Vistårnuipunktet(t,x ).Dettepunktliggerformodentliglidtvedsidenafdetkorrektepunkt, menerdetbedstevihar.idettepunkterløsningenshældningx (t )=f(t,x ).Vigårlangs dennyetangentett-skridtpåh,ogfinderdax-værdien x 2 =x +hf(t,x ) 4

15 svarende til t-værdien Således fortsættes. Vi finder en række punkter der hænger sammen på følgende måde t 2 =t +h (t 0,x 0 ),(t,x ),(t 2,x 2 ),...,(t n,x n ),... x n+ =x n +hf(t n,x n ) t n+ =t n +h forn=0,,2,3,... Detkanvises,atdenfejl,derbegåsvedetenkeltskridterca.proportionalmedh 2.Dentotale fejl ved beregningen af x(b), hvor b er sluttids-punktet, bliver hermed omtrent proportional med h=h.dermedereulersmetodeenførsteordensmetode. Eksempel 27 Som eksempel tager vi begyndelsesværdiproblemet x =t 2 +x 2 x(0)= Vitagerh=0..Viharåbenbartt 0 =0,x 0 =ogf(t,x)=t 2 +x 2.Såvifinderførst Dernæst finder vi x =x 0 +hf(t 0,x 0 )=+0. f(0,)=. t =t 0 +h=0. x 2 =x +hf(t,x )=.+0. f(0.,.)=.222 t 2 =t +h=0.2 Gårvietskridtmere,findervi Hermed har vi tabellen x 3 =x 2 +hf(t 2,x 2 )= f(0.2,.222)=.3753 t 3 =t 2 +h=0.3 t x Hvis vi halverer skridtlængden, dvs. tager h = 0.05, så fås tabellen t x hvor vi kun har medtaget x-værdier svarende til samme t-værdier som før. Halveres igen (h = 0.025) fås: t x I dette eksempel kan den eksakte løsning findes, idet den kan udtrykkes ved såkaldte Besselfunktioner. Men indeholder éns repertoire af funktioner ikke Besselfunktionerne, så kan den eksakte løsning ikke angives. Maple kender Besselfunktionerne og kan finde den eksakte løsning. Den ser kompliceret ud, men løsningen giver følgende tabel(med 5 betydende cifre): t x

16 t Eksakt Euler med h = 0.05 Euler med h = 0. Figur7.DeneksakteløsningsammenmedEulerløsningernemedh=0.og

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

Lektion 8 Differentialligninger

Lektion 8 Differentialligninger Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER

DIFFERENTIALLIGNINGER Preben Alsholm DIFFERENTIALLIGNINGER I KEMI OG ØKOLOGI Danmarks Ingeniørakademi, Kemiafdelingen, 1993. FORORD Denne bog er skrevet for studerende med interesse for matematisk ræsonnement. Den kvalitative

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide

[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide [PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Epidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF

Epidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Matematik Epidemi Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Denne artikel er skrevet som den matematiske teori til beskrivelse af udvikling af en epidemi i en befolkning. Den matematiske model indeholder

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Dynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104

Dynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104 Dynamiske Systemer SIR-modellen Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104 Titel: Dynamiske systemer -SIR-modellen Tema: Dynamiske systemer -iteration og approksimation Projektperiode: MAT1, 3. semester 2008

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere