Differentialligninger af første orden

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialligninger af første orden"

Transkript

1 Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten af en funktion med funktionen selv og den uafhængige variable. Eksempel Hver af ligningerne x (t)+2x(t)=5sint e t x (t)+7x(t) 2 =3t+5 x (t)=4x(t) x (t)=3x(t) x(t) er en differentialligning af første orden. Den ubekendte i en differentialligning er en funktion, der i alle fire eksempler hedder x. Den uafhængige variable er t. Ofte underforstås den uafhængige variableix(t)ogx (t),sådifferentialligningerneistedetskrivessåledes x +2x=5sint e t x +7x 2 =3t+5 x =4x x =3x x Istedetforx benyttesmegetofte dt såledesateksempelvisdensidstedifferentialligningskrives på formen dt =3x x Iallefiredifferentialligningerovenforkanx (t)isoleres,jafaktiskerdetalleredegjortide to sidste. Vi skal altid forudsætte, at dette kan lade sig gøre. Hermed kan en differentialligning af første orden skrives på formen x =f(t,x) () Her er f en reel funktion af 2 variable defineret i en mængde i(t, x)-planen. Differentialligningen ()kanskriveslidtmereudførligtpåformenx (t)=f(t,x(t)).

2 Eksempel2 Fordefireligningerovenforfindervi,atfunktionenf i()ergivetvedhenholdsvis f(t,x)= 2x+5sint f(t,x)=e t( 7x 2 +3t+5 ) f(t,x)=4x f(t,x)=3x x Definition 3 Differentialligningen() kaldes autonom, hvis f(t, x) faktisk ikke afhænger af t. Viser,atdetosidstedifferentialligningeriEksempel2erautonome.Detoførsteerikke. Definition 4 Ved en løsning til differentialligningen() forstås en differentiabel funktion φ defineretpået intervali,så φ (t)=f(t,φ(t)) for alle t I.Ved den fuldstændige løsning til() forstås en formel for samtlige løsninger. Eksempel5 Differentialligningen x +2x=5sint har som en af sine løsninger funktionen φ givetvedφ(t)= cost+2sintforallet R.Atbevisedennepåstandbestårblotiaterstattexi differentialligningen med φ, og dernæst kontrollere, at vi opnår en identitet, dvs. en ligning opfyldt foralletietinterval.vedindsættelseivenstresidenafdifferentialligningenx +2x=5sintfås d dt ( cost+2sint)+2( cost+2sint)=(sint+2cost)+2( cost+2sint) hvilketnetoper5sint,altsåligmedhøjresidenidifferentialligningen.hermedervist,atφ(t)= cost+2sinterløsningtildifferentialligningenx +2x=5sintforallet R.Senereblivervi i stand til at vise, at differentialligningens fuldstændige løsning er givet ved x(t)= cost+2sint+ce 2t (2) hvor t R og hvor C er en reel konstant. Betydningen afdette udsagn er,at for enhver værdi afkonstantenc i(2)opnåsenløsning,ogforenhverløsningfindesenkonstantc,såløsningen kanskrivespåformen(2).mankaldercforenarbitrærkonstant.medc=0opnåsdenløsning vi betragtede i begyndelsen af eksemplet. Eksempel6 Differentialligningenx =2tx 2 harsom3afsineløsningerfunktionerne φ (t)= 4 t 2 defineretfort ], 2[ φ 2 (t)= 4 t 2 defineretfort ] 2,2[ φ 3 (t)= 4 t 2 defineretfort ]2, [ Bemærkaltså,atselvomregneforskrifternefor φ,φ 2 ogφ 3 erdensamme,såregnesde3løsninger for forskellige, idet de er definerede på forskellige intervaller. Verificeringen af påstanden erdensammeforalle3,såviudførerdenkunfordenførste: φ (t)= d dt4 t 2 = (4 t 2 ) 2 ( 2t)=2t (4 t 2 ) 2 =2t φ (t) 2 faktiskgyldignårblott ±2. 2

3 Huskpå,atφ (t)erhældningenfortangententilgrafenforφipunktet(t,φ(t)).udsagnet φ (t) = f(t,φ(t)) siger derfor, at hældningen for tangenten til løsningen kan beregnes udfra kendskab til den øjeblikkelige position(t,φ(t)). At have givet en differentialligning dt =x = f(t,x)ietområdeaf(t,x)-planeneraltsåathavegivetethældningsfelt. Mankansige,atløsningafdifferentialligningenx =f(t,x)beståribestemmelseafkurver, deriethvertpunkt(t,x)hardenrigtigehældningf(t,x). x(t) t 0.5 Figur.Hældningsfeltetforx =t 2 +x 2 meddenløsning,deropfylderx(0)= 0.4 Definition 7 Ved begyndelsesværdiproblemet for differentialligningen() forstås bestemmelsen afdenellerdeløsningertil(),derogsåopfylderenbegyndelsesbetingelseafformenx(t 0 )=x 0. Eksempel8 Vilvibestemmedenløsningtildifferentialligningenx +2x=5sint,deropfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 2, så finder vi først den fuldstændige løsning, som i dette tilfælde er(2).idenneindsættervit=0: x(0)= cos0+2sin0+ce 0 = +C Dax(0)=2fåsC=3.Densøgteløsningerhermed: x(t)= cost+2sint+3e 2t Et presserende spørgsmål er nu, om begyndelsesværdiproblemet for differentialligningen() overhovedetharnogenløsning,ogigivetfaldomderermereendén.svareter,athvisfunktionen f i differentialligningen () er tilstrækkelig "pæn", så har begyndelsesværdiproblemet for () præcis én løsning. At sige, at en funktion er pæn, er jo ikke særligt præcist. Man vil forstå, hvorfor vi siger detpå denmåde, nårvi nu for god ordens skyldbringer to præcise sætninger herom: Sætning9 Eksistenssætning.LadDværeenåbendelmængdeafR 2 oglad(t 0,x 0 ) D.Antag, atf erenkontinuertfunktiondefineretpåd.såharbegyndelsesværdiproblemetx(t 0 )=x 0 for differentialligningen dt =f(t,x)mindsténløsning. 3

4 Bemærkning 0 Vi beklager, at der optræder begrebet kontinuitet af funktion af 2 variable, et begreb, som læseren på dette tidspunkt ikke formodes at have kendskab til. Da læseren dog har kendskab til kontinuitetsbegrebet for funktion af én variabel, kan man håbe, at det indtryk efterlades, at næsten alle begyndelsesværdiproblemer for differentialligninger af første orden har mindst én løsning. I afsnittet om separable differentialligninger gives et eksempel på en differentialligning, der opfylder betingelserne i eksistenssætningen, men som har mere end én løsning gående gennem et givet punkt(faktisk uendeligt mange). De differentialligninger vi skal møde opfylder dog næsten alle betingelserne i den næste sætning: Sætning Eksistens- og entydighedssætning. Lad D være en åben delmængde af R 2. Lad f væreenkontinuertfunktiondefineretpåd,ogantag,atf harenkontinuertpartielafledetmht. x i D. Lad (t 0,x 0 ) D. Så har begyndelsesværdiproblemet x(t 0 )=x 0 for differentialligningen dt =f(t,x)netopénløsning. Bemærkning 2 Det er i eksistens- og entydighedssætningen underforstået, at der tales om maksimale løsninger. En løsning kaldes maksimal, hvis dens definitionsinterval ikke kan udvides til et større interval. Eksempelvis er hver af de i Eksempel 6 givne tre løsninger maksimale. 2 Løsningsmetoder for specielle klasser af differentialligninger I gennem de godt 300 år man har arbejdet med differentialligninger har man forsøgt at finde løsningsmetoder for differentialligninger. Man ønsker meget gerne formeludtryk for løsningerne. Der findes da også en mængde metoder, der hver for sig kan klare en klasse af differentialligninger. Men der findes ikke nogen enkelt metode, der kan bruges i alle tilfælde. Tværtimod er situationen den, at for langt de fleste differentialligninger har man ikke andet at ty til end eksistens- og entydighedssætningen. Dvs. det viser sig umuligt at bestemme en formel for den løsning, som man dog véd findes. En lignende situation møder vi ved bestemmelsen af integraler. Eksempelvis er funktionen f : t /(t+lnt) jo kontinuert på intervallet [,2] og derfor eksisterer det bestemte integral 2 t+lnt dt Skalviudregneintegraletpåsædvanligmåde,måvihavefatienstamfunktiontilf.Ensådaner imidlertid ikke lige til at finde! Faktisk kan Maple heller ikke. Det er muligt, at en stamfunktion til f slet ikke kan udtrykkes ved allerede kendte funktioner. Vi er dermed overladt til en numerisk bestemmelse af integralet. Bruger vi en numerisk metode finder vi 2 t+lnt dt= med 0 betydende cifre. Faktisk er integrationseksemplet ikke helt ved siden af. Bestemmelsen af en stamfunktion til f kan betragtes som et spørgsmål om at løse differentialligningen x (t) = f(t), altså i vores tilfælde løse differentialligningen x = t+lnt Vi må altså forvente, at skulle bruge numeriske metoder ved bestemmelsen af løsninger til mange af de differentialligninger, som vi møder i anvendelserne. 4

5 Vi skal i de næste to afsnit betragte to vigtige klasser af differentialligninger for hvilke der kan gives løsningsmetoder i den forstand, at løsning kan reduceres til stamfunktionsbestemmelse. Metodernes endelige succes afhænger dermed af muligheden af at finde stamfunktioner til visse funktioner. 2. Separable differentialligninger En separabel differentialligning er en differentialligning, der kan skrives på formen dt =h(t)g(x) (3) hvorhøjresidenaltsåkanskrivessometproduktaftofaktorer,hvordeneneikkeindeholderx ogdenandenikkeindeholdert(udengennemx(t)). Eksempel 3 Differentialligningerne dt =2t( x)2 dt = x( x) +t 2 er begge separable. Vi løser dem senere i dette afsnit. Løsning af separable differentialligninger er jo pensum i gymnasiet, så vi forudsætter en vis erfaring med løsningen af sådanne. Her følger dog en noget voldsomt udseende sætning, der siger, hvordan løsningerne kan findes. Sætning 4 Betragt differentialligningen(3), hvor h er kontinuert på det åbne interval I og g kontinuert på det åbne interval J. Så gælder:. Lad φ være en funktion, der på intervallet I opfylder g(φ(t)) 0 for alle t I. Så er x=φ(t)løsningtildifferentialligningen(3)påintervalleti,hvisogkunhvisx=φ(t)på intervallet I er løsning til ligningen forenellerandenkonstantk. g(x) = h(t)dt+k (4) 2. Den konstante funktion x = φ(t) = x 0, t I, er en løsning til (3), hvis og kun hvis g(x 0 )=0(forudsatathikkeeridentisklignuliI). 3. Hvis begyndelsesværdiproblemet for (3) har entydigt bestemte løsninger gennem ethvert punktii J,såbestårdenfuldstændigeløsningtil(3)afdeløsninger,derfindesvedseparation af de variable(altså de løsninger, der implicit er givet ved(4)) samt af eventuelle konstante løsninger. Bevis.Vitagerdetredeleirækkefølge:. La=φ(t)væreenløsningtildifferentialligningen(3)påintervalletI medg(φ(t)) 0 forallet I.Såharvi φ (t)=g(φ(t))h(t) 5

6 forallet I.Veddivisionmedg(φ(t))fås φ (t) g(φ(t)) =h(t) Vedubestemtintegrationmht.tfås,atderfindesenkonstantk,så φ (t) g(φ(t)) dt= h(t)dt+k Iintegraletpåvenstresideindførervisubstitutionenx=φ(t).Vifinderså=φ (t)dt, hvormed vi har g(x) = h(t)dt+k hvilket er (4). Antag omvendt, at x = φ(t) er en løsning til ligningen (4) på intervallet I medg(φ(t)) 0 foralle t I foreneller andenværdi afkonstantenk.vikanskrive (4) på formen G(x) = H(t)+k, hvor G(x) er en stamfunktion til g(x) på et interval J på hvilket g(x) 0, og som indeholder værdimængden for φ(t),t I, og hvor H er en stamfunktion til h på I. Da dermed φ(t) = G (H(t)), er φ differentiabel på I, og vi har G (φ(t))φ (t) = H φ(t) (t), dvs. g(φ(t)) = h(t) for alle t I. Altså gælder også φ (t)=g(φ(t))h(t),dvs.atφpåi opfylder(3). 2. Hvisg(x 0 )=0,såerx=φ(t)=x 0,t I,klartløsningtil(3).Hvisomvendtx=f(t)= x 0,t I,erløsningtil(3),såerenteng(x 0 )=0ellerh(t)=0forallet I.Hvisderfor hikkeeridentisklignulii,såmåg(x 0 )værelignul. 3. Følgerumiddelbartaf.og2. Sætning5 LadIogJværeåbneintervaller.LadhværekontinuertpåIogladgværedifferentiabelpåJ medkontinuertafledetg,såharbegyndelsesværdiproblemet hvort 0 I ogx 0 J præcisénløsning. dt =h(t)g(x), x(t 0)=x 0 Bevis. Resultatet følger umiddelbart af eksistens- og entydighedssætningen. Bemærkning 6 Vedseparationafdevariableopnåssombeskrevetenligning(4)mellemtog x. Denne ligning definerer løsningen x implicit som en funktion af t. Ligningen er ofte temmelig vanskelig at løse, selv hvis de to integraler kan udregnes! Undertiden er det nødvendigt at løse den ved hjælp af numeriske metoder. I så fald kunne det være en fordel i stedet at løse selve differentialligningen numerisk. Bemærkning 7 I de tilfælde, hvor det er lykkedes at løse (4) mht. x, er det ofte svært at bestemme det interval, på hvilket det fundne funktionsudtryk løser differentialligningen. Ofte afhænger dette definitionsinterval af konstanten k. 6

7 Eksempel 8 For differentialligningen dt =2t(x )2 (5) ønskes den fuldstændige løsning bestemt. Desuden ønskes fundet den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsenx(0)= 2. Differentialligningenerseparabel.Dah(t)=2terkontinuertpåRogdag(x)=(x ) 2 åbenbart er differentiabel med kontinuert differentialkvotient g (x)=2x 2 på R, går der igennem ethvert punkt i planen R 2 netop én løsning. Vi undersøger først, om differentialligningen har konstante løsninger. Vi skal da løse ligningen g(x) = 0, dvs. (x ) 2 = 0. Denne ligning har åbenbart løsningen. Altså har differentialligningen den konstante løsning x =. Alle andre løsninger er voksende for t >0 og aftagende for t <0, idet jo x (t)=2t(x(t) ) 2 åbenbart harsammefortegnsomt. Vi bestemmer nu formeludtryk for de løsninger, der ikke er konstante. Disse løsninger findes ved separation (x ) 2 = 2tdt+C hvor C er en arbitrær konstant. Ved integration fås x =t2 +C Man vil nu sige, at differentialligningen er løst, men at løsningen er givet på implicit form. Manvilnormaltgernehaveløsningenpåeksplicitform,dvs.atmandirekteharenformel,der fortællerhva(t)erligmed.viskalaltsånuisolerex.vifinder x= t 2 +C (6) Denfuldstændigeløsningbeståraltsåaf(6)ogdenkonstanteløsningx=. Denløsning,deropfylderbegyndelsesbetingelsenx(0)= 2 findesvedindsættelseaft=0i(6): 2 =x(0)= C såc=2.løsningeneraltsåx(t)= / ( t 2 +2 ) = ( t 2 + ) / ( t 2 +2 ).Løsningenerdefineret påheler. 7

8 2.5 x(t) t 0.5 Figur2.Hældningsfeltetforx =2t(x ) 2 sammenmed7løsninger. Øvelse 9 Deløsningertil(5),deropfylderbegyndelsesbetingelsex(0)=x 0 me 0 >erikke defineret på hele R. Definitionsintervallet for en løsning skal naturligvis indeholde den t-værdi for hvilken begyndelsesværdien er givet, i dette tilfælde altså t = 0. Find definitionsintervallet for den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 2. Eksempel 20 For differentialligningen dt = x( x) +t 2 ønskesdenfuldstændigeløsningbestemt.differentialligningenerseparabel.dah(t)=/ ( +t 2) er kontinuert på R og da g(x) = x( x) åbenbart er differentiabel med kontinuert differentialkvotient g (x)= 2x på R,går der igennemethvert punkt iplanen R 2 netop én løsning. Vi undersøger først, om differentialligningen har konstante løsninger. Vi skal da løse ligningen g(x)=0, dvs. x( x)=0. Denne ligning har åbenbart løsningerne 0 og. Altså har differentialligningen de to konstante løsninger x = 0 og x =. Vi kan allerede nu sige en hel del om de andre løsningers forløb. Opfylder en løsning x(t) uligheden x(t 0 ) > ( område ) på et tidspunktt 0, såvil den altidhavegjortdet ogvil vedblivemedatgøredet.løsningen kan jo ikke krydse den konstante løsning x = på grund af entydighed af løsninger. Det samme kan siges om en løsning, der opfylder 0<x(t 0 )<( område 2 ) og om en løsning, der opfylder x(t 0 )<0( område3 ).Vikanenddaudfradifferentialligningenafgøremonotoniforholdenefor løsningerne i de 3 områder. I område er x (t)=x(t)( x(t))/ ( +t 2) <0, da x(t)>. Altså er løsningerne i område aftagende. Det samme er løsningerne i område 3, mens løsningerne i område 2 er voksende. Vi bestemmer nu formeludtryk for de løsninger, der ligger i de tre ovennævnte områder. Disse løsninger findes ved separation x( x) = +t 2dt+C hvoraf ln x ln x =arctant+c 8

9 Her er C R en integrationskonstant. Ved sammenskrivning af de to logaritmer fås ln x x =arctant+c hvoreftervifinder x x =exp(arctant+c)=ec e arctant Numerisktegnet kan fjernes mod, at der sættes ± på højresiden: x x =±ec e arctant =Ke arctant hvor vi har sat K = ±e C. Bemærk, at K nødvendigvis må være forskellig fra nul. Vi skal nu løse ligningen x x =u=kearctant Vi finder: Altsåharvi x x =u x=(x )u=xu u xu x=u x= u u x(t)= Kearctant Ke arctant = K K e arctant hvork R\{0}.Hermedharvialtsåfundetenformelfordeløsninger,derbefindersigidetre områder adskilt af de konstante løsninger. Den fuldstændige løsning til differentialligningen består da af disse samt de to konstante løsninger, x=0 og x=. Den første af de konstante løsninger kan inkorporeres i den generelle formelvedalligevelattilladek=0. Hvis begyndelsesbetingelsen x(0) = 2 er givet, finder vi ved indsættelse konstanten K til 2. Altså fås løsningen 2 x(t)= 2 e arctant Løsningens definitionsinterval findes ved at forlange () at nævneren 2 e arctant 0 og (2) att=0er med iintervallet, da det er for dennet-værdi,atbegyndelsesværdiener opgivet.da 2 e arctant =0 t= tan(ln2)fåsdefinitionsintervalletforvoresløsningtil] tan(ln2), [. 9

10 4 3 x(t) t 2 Figur3.Hældningsfeltetforx = x( x) +t 2 sammenmed6løsninger. Eksempel2 Som et eksempel på, at der kan gå to løsninger gennem samme punkt tager vi differentialligningen dt =3x2 3 (7) Vi ser, at x = 0 er en konstant løsning. Ved separation af de variable findes løsningerne x = f(t)=(t+k) 3.Løsningsmetodenkræverf(t)=(t+k) 3 0,mendetsesveddirekteindsættelse i differentialligningen (7), at x=f(t)=(t+k) 3 er løsning for alle t R. Gennem (0,0) går nu foruden den konstante løsning x = 0 også løsningen x = t 3. I virkeligheden er det endnu værre, idet man ved sammenstykning af den konstante løsning med løsningen x = (t+k) 3 i punktett= kkankonstruereuendeligtmangeløsninger,derallegårgennem(0,0).ladnemlig k 0 k 2,ogladf væredenfunktion,derergivetvedfølgendeforskrift (t k ) 3 for t k f(t)= 0 for k <t<k 2 (t k 2 ) 3 for t k 2 såerf løsningtil(7)pår,ogdensgrafgårgennem(0,0).hvisvitilladerk = ogk 2 =, så giver ovenstående forskrift faktisk samtlige løsninger, der går gennem (0, 0). Bemærk, at g(x)=3x 2/3 ikkeerdifferentiabelforx=0(jvnf.bemærkningovenfor). 0

11 t Figur4.Løsningenmedk =,k 2 =2ogløsningenmedk =k 2 = Lineære differentialligninger af.orden En differentialligning af første orden, der kan skrives på formen a(t)x +b(t)x=c(t) kaldes en lineær differentialligning. På ethvert interval I, hvor a(t) 0, for alle t I, kan ligningen normeres ved division med a(t). Herved opnår differentialligningen følgende form x +p(t)x=q(t), t I Viforudsætteridetfølgende,atbådepogqerkontinuertepåetintervalI. Sætning22 Ladpogq værekontinuertefunktioner defineret på intervallet I.Såer den fuldstændige løsning til x +p(t)x=q(t) (8) givet ved formlen x(t)=e P(t) e P(t) q(t)dt+ce P(t) (9) hvorp erenvilkårligtvalgtstamfunktiontilp,oghvorc Rerenarbitrærkonstant. Bemærkning 23 Vi ser, at enhver løsning til den lineære differentialligning(8) er defineret på hele I. Dette er ofte ikke tilfældet for ikke-lineære differentialligninger. Formlen (9) kaldes ofte for Panserformlen. Bevis.DaperkontinuertpåI,harpenstamfunktionpådetteinterval.LadP væreensådan. Da e P(t) > 0 for alle t I, har differentialligningen (8) de samme løsninger som følgende differentialligning x (t)e P(t) +p(t)e P(t) x(t)=e P(t) q(t) Men venstre side heraf er differentialkvotienten af produktet e P(t) x(t). Dvs. ovenstående kan skrives på formen d ( ) e P(t) x(t) =e P(t) q(t) dt

12 Denne differentialligning er imidlertid ensbetydende med, at e P(t) x(t) er en stamfunktion til e P(t) q(t),dvs.ensbetydendemedeksistensenafenkonstantc R,så e P(t) x(t)= e P(t) q(t)dt+c Meddetubestemteintegralbetegnerviherenvilkårligtvalgtstamfunktiontile P(t) q(t).denne sidste ligning er åbenbart ækvivalent med formlen(9). Eksempel 24 Vi vil finde den fuldstændige løsning til differentialligningen x (t)+2x(t)=5sint Ligningen er åbenbart lineær. Den er allerede normeret. Vi bruger Panserformlen(9). Idet p(t) = 2fåsP(t)= 2dt=2t,så x(t)=e 2t e 2t 5sintdt+Ce 2t hvor C er en arbitrær konstant. Ved udregning af integralet fås x(t)=e 2t( 2e 2t sint e 2t cost ) +Ce 2t =2sint cost+ce 2t gældende for alle t R. Vi bemærker, at for store værdier af t ligner alle løsningerne den der svarertilc=0,hvilketogsåfremgåraffigurennedenfor. 4 x(t) t 2 4 Figur5.Hældningsfeltetforx +2x=5sintsammenmed5løsninger. Mest af hensyn til den senere behandling af lineære differentialligninger af højere orden viser vi en generel sætning om strukturen af den fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af første orden. Sætning 25 Den fuldstændige løsning til differentialligningen(8) er lig med summen af en partikulærløsning,x p,tilligningenogdenfuldstændigeløsning,x hom,tildentilsvarendehomogene ligning x +p(t)x=0 (0) altsåx=x p +x hom. 2

13 Bevis. Vi giver to beviser.. Den fuldstændige løsning til (8) er givet ved Panserformlen (9). Når C = 0 i (9) fås en løsning. Den betegner vi med x p. Det er en partikulær løsning. Formlen (9) gælder selvfølgelig også for det specielle tilfælde, at q(t) = 0 for alle t I. Men så fås den fuldstændigeløsningtildenhomogeneligningtilx hom =Ce P(t).Sætningenfølgernuved atudnyttedenpåvistefortolkningafdetoledi(9). 2. DettebevisudnytterikkePanserformlen(9).Antag,atx p erenløsningtil(8)ogatx h er enløsningtil(0).såerx=x p +x h løsningtil(8),idet (x p +x h ) +p(t)(x p +x h )=x p+x h+p(t)x p +p(t)x h = ( x p+p(t)x p ) +(x h +p(t)x h )=q(t)+0=q(t) Hvisomvendtx ogx 2 beggeerløsningertil(8),såerx=x x 2 løsningtil(0),idet (x x 2 ) +p(t)(x x 2 )=x x 2+p(t)x p(t)x 2 =(x +p(t)x ) (x 2+p(t)x 2 )=q(t) qt0=0 Heraf følger sætningen. Eksempel 26 Differentialligningen tx +2x=te t betragtes for t > 0. Ligningen er åbenbart lineær. Vi normerer først ligningen: x + 2 t x=e t Panserformlens P er givet ved P(t) = 2 t dt = 2lnt, så vi finder, at ep(t) = e 2lnt = t 2 og e P(t) =t 2.Hermederdenfuldstændigeløsninggivetved x(t)=t 2 t 2 e t dt+ct 2 =t 2( t 2 e t 2te t 2e t) +Ct 2 = (+ 2t + 2t ) 2 e t + C t 2 hvorc R.Vikanskrivedenfuldstændigeløsningpåformen x(t)= C ( t 2 +2t+2 ) e t t 2 For C <2 gælder åbenbart, at x(t), og for C >2 gælder,at x(t) for t 0. Hvis C=2erdetikkepåforhåndklart,hvordanx(t)opførersigfort 0.Viharet" 0 0 -problem,på hvilket vi kan bruge l Hospitals regel: (2t+2)e t + ( t 2 +2t+2 ) e t 2t = t2 e t 2t = te t 2 0 fort 0.Detsammegælderaltsåforx(t). 3

14 0.4 x(t) t Figur6.Hældningsfeltetfortx +2x=te t sammenmed5løsninger. 3 Numerisk løsning af differentialligninger: Eulers metode Da numerisk løsning af differentialligninger i mange tilfælde er en nødvendighed, vil vi her kort behandle en simpel metode til numerisk løsning af et begyndelsesværdiproblem for en differentialligning af første orden. Vi gør det for give en idé om hvad man mener med en numerisk løsning. Vi ønsker at finde en tilnærmet(med et finere ord: approksimativ) løsning af begyndelsesværdiproblemet x (t)=f(t,x(t)), x(t 0 )=x 0 En tilnærmet eller approksimativ løsning betegnes ofte som en numerisk løsning, når resultatet ikke er givet ved en formel, men foreligger som en tabel af konkrete talværdier eller som en procedure,derforenhvergivenkonkrettalværdiaftkanberegnex(t).sombrugther,harordet numerisk intetatgøremedbrugeniudtrykketnumeriskværdiafettal,somi x. Eulers metode er en numerisk metode. Den er opkaldt efter den schweitziske matematiker Leonhard Euler(707-83), der måske er den mest produktive matematiker, der nogensinde har levet.detteskalmandogikkeladesigskræmmeaf.metodenerganskesimpel. Vibegynderidetopgivnepunkt(t 0,x 0 ).Løsningenstangenthældningtilt=t 0 erx (t 0 )= f(t 0,x 0 ).Gårviderforetlilleskridtaflængdenhtilhøjre,erdennyeeksaktex-værditætpå denx-værdi,vifårvedatgålangstangenten.gårvilangstangentenfårvix-værdien Den tilsvarende t-værdi er x =x 0 +hf(t 0,x 0 ) t =t 0 +h Vistårnuipunktet(t,x ).Dettepunktliggerformodentliglidtvedsidenafdetkorrektepunkt, menerdetbedstevihar.idettepunkterløsningenshældningx (t )=f(t,x ).Vigårlangs dennyetangentett-skridtpåh,ogfinderdax-værdien x 2 =x +hf(t,x ) 4

15 svarende til t-værdien Således fortsættes. Vi finder en række punkter der hænger sammen på følgende måde t 2 =t +h (t 0,x 0 ),(t,x ),(t 2,x 2 ),...,(t n,x n ),... x n+ =x n +hf(t n,x n ) t n+ =t n +h forn=0,,2,3,... Detkanvises,atdenfejl,derbegåsvedetenkeltskridterca.proportionalmedh 2.Dentotale fejl ved beregningen af x(b), hvor b er sluttids-punktet, bliver hermed omtrent proportional med h=h.dermedereulersmetodeenførsteordensmetode. Eksempel 27 Som eksempel tager vi begyndelsesværdiproblemet x =t 2 +x 2 x(0)= Vitagerh=0..Viharåbenbartt 0 =0,x 0 =ogf(t,x)=t 2 +x 2.Såvifinderførst Dernæst finder vi x =x 0 +hf(t 0,x 0 )=+0. f(0,)=. t =t 0 +h=0. x 2 =x +hf(t,x )=.+0. f(0.,.)=.222 t 2 =t +h=0.2 Gårvietskridtmere,findervi Hermed har vi tabellen x 3 =x 2 +hf(t 2,x 2 )= f(0.2,.222)=.3753 t 3 =t 2 +h=0.3 t x Hvis vi halverer skridtlængden, dvs. tager h = 0.05, så fås tabellen t x hvor vi kun har medtaget x-værdier svarende til samme t-værdier som før. Halveres igen (h = 0.025) fås: t x I dette eksempel kan den eksakte løsning findes, idet den kan udtrykkes ved såkaldte Besselfunktioner. Men indeholder éns repertoire af funktioner ikke Besselfunktionerne, så kan den eksakte løsning ikke angives. Maple kender Besselfunktionerne og kan finde den eksakte løsning. Den ser kompliceret ud, men løsningen giver følgende tabel(med 5 betydende cifre): t x

16 t Eksakt Euler med h = 0.05 Euler med h = 0. Figur7.DeneksakteløsningsammenmedEulerløsningernemedh=0.og

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution IBC Fredericia Middelfart afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Derive 5.06 vejledninger

Derive 5.06 vejledninger Derive 5.06 vejledninger Indholdsfortegnelse til vejledninger version 6 (Skrivemåden (1-11) henviser til Carstensen og Frandsen: Mat 1, kapitel 11) Generelt (01) Introkursus... 2 (02) Opsætning og almindelige

Læs mere