Differentialligninger
|
|
- Agnete Simonsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikprojekt om Differentialligninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 5 November 2010
2 Indhold I Differentialligninger I Generelt om differentialligninger II Integralkurver III Differentialligningstyper IV Bevis for differentialligningen dy dx V Begyndelsesværdi VI Anvendelse af CAS værktøjer VII Differentialligninger i hverdagen II Anvendelse af differentialligninger I Epidemi i Danmark II Saltopløsning i vandtanke III Newtons afkølingslov
3 Figurer 1 Integralkurve for en Rugbybold i vand Indtastning af Maple kommandoer Rudertasten og F Billede af TI-89 Diff. ligningsplot Symbolsk løsning af differentialligning på TI Integralkurveplot af antal smittede under en epidemi Første-afledte af funktionen S(t) Den partikulære løsning til differentialligningen Den anden-afledte af funktionen S(t) Saltindholdet i tank A Saltindhold i tank B Tankens volumen som funktion af tiden Saltindholdet i tank C Integralkurveplot af temperaturen som funktion af tiden Andens temperatur som funktion af tiden, som integralkurver. 26 2
4 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 3 I Differentialligninger I Generelt om differentialligninger En differentialligning er defineret ved at være en ligning, hvori en eller flere afledede af en funktion y = fx indgår. Man kan derfor sige at hvor vi tidligere har løst ligninger, hvor løsningen er et tal, så skal vi her løse en ligning hvor løsningen er en funktion. Derfor kan der også være ganske mange løsninger til en differentiallining. Alle de mulige løsninger til en differentialligning kaldes for den generelle løsning og en bestemt løsning kaldes for den specifikke/partikulære løsning. Dette illustreres mere tydeligt i afsnittet om integralkurver, som vi behandler senere. Differentiallininger opskrives typisk på formerne: dy dx = et udtryk y = et udtryk f (x) = et udtryk Definition 1 (1. ordens differentialligninger) Man siger, at hvis den højest forekommende afledte funktion er f n (x), kaldes ligningen en n-te ordens differentialligning. En førsteordens differentialligning er således en differentialligning, som er differentieret én gang. II Integralkurver En integralkurve er en graf for den funktion, som er en løsning til differentialligningen. Integralkurverne skal være defineret i intervaller og desuden være kontinuerte. Integralkurverne er et udtryk for de funktioner som er løsninger til differentialligningen. Hvis en bestemt kurve er en partikulær løsning, så er integralkurverne tilsammen et udtryk for den generelle løsning. Dette kan ses på figur 1. 1 Her ses det at de fremhævede funktioner er partikulære løsninger, mens pilenes retning indikerer alle de mulige løsninger. Figuren på vores forside viser samme princip. III Differentialligningstyper I denne sektion vil vi give et overblik over de forskellige typer af differentialligninger, samt deres løsninger. Bemærk dog at type-betegnelsen ikke er 1 Dette er et DE plot af en differentialligning vi tidligere har løst. Den viser farten hvormed en Rugbybold vil falde i vand.
5 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 4 Figur 1: Integralkurve for en Rugbybold i vand. generel, men vores egen. Da det kun forventes at vi skal kunne løse 1. ordens differentialligninger, medtager vi kun sådanne i tabel 1. Tabel 1: Typer af differentialligninger Type Form Løsning Forklaring I y = g(x) y = g(x) dx Hovedtype I Ia y = a y = ax + c Undertype af I II y + g(x) y = h(x) y = e G(x) e G(x) h(x) dx Hovedtype II IIa y + ay = h(x) y = e ax h(x) e ax dx Undertype af II IIb y + ay = b, a 0 y = b + c a e ax Undertype af II IIc y = ky, k 0 y = c e kx Undertype af II b a 1+ce bx IIIa y = y(b ay) IIIb y m = ky(m y) y = 1+ce kmx Undertype af III (logistisk) Undertype af III (logistisk) Bemærkning: Man ser et generelt mønster når man kigger ned langs oversigten. Udtrykkenes generalitet falder, jo længere ned i undertype vi kommer. Denne generalitet giver sig udtrykt i at vi altid kan komme fra et mere generelt til et mindre generelt udtryk. Eksempelvis kan g(x) i y = g(x) reduceres til en konstant, vi kalder a, og derved kommer udtrykket y = a. Denne
6 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 5 tendens gør sig gældende for alle typerne. y + ay = h(x) kan reduceres til y + ay = b kan reduceres til y = ky Typerne IIIa og IIIb ser umiddelbart ud til at være ret så forskellige, men kigger man på deres løsninger ser man at m = a og km = b. b IV Bevis for differentialligningen dy dx = ky Vi har valgt at bevise at den generelle løsning til y y = C e kx, hvor C er en konstant. = ky (type IIc) er Sætning 1 (Differentialligning af typen y = ky) Hvis vi gives en differentialligning på formen y = ky, hvor k er en given konstant, vil den have den fuldstændige løsning y = C e kx, hvor C er en vilkårlig konstant. Bevis. Beviset for denne sætning kommer i 2 dele. Vi skal bevise at hvis y er en løsning, så er den af formen y = C e kx og at hvis y er af formen y = C e kx, så er y en løsning. Dette skrives: y = ky y = C e kx Vi antager at funktionen y er en løsning til differentialligningen og at der derfor gælder y = f (x) = k f(x) (1) Vi benytter os nu af en hjælpefunktion h(x) = f(x) e kx. Denne differentierer vi ved hjælp af produktreglen og får. h (x) = f (x) e kx + f(x) ( k)e kx Vi indsætter nu (1) i udtrykket for h (x) og får h (x) = k f(x) e kx + f(x) ( k)e kx = 0 Da h (x) = 0 for alle x, er h da en konstant, som vi kan betegne med C. h(x) = C f(x) e kx = C f(x) = y = C e kx
7 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 6 Vi har nu bevist at hvis y er en løsning, så må den være af denne form. Vi skal nu bevise at funktioner af typen y = C e kx vitterlig er løsninger. Dette gør vi ved at differentiere dette udtryk. f(x) = C e kx f (x) = C ke kx f (x) = k Ce kx Vi ser at udtrykket Ce kx = f(x) og derfor får vi udtrykket f (x) = k f(x) y = ky og vi er nu færdige med beviset. 2 V Begyndelsesværdi En begyndelsesværdi er vigtigt når man ønsker en partikulær løsning til differentialligningen. Med startværdien forsøger man at bestemme den ukendte konstant C, således at man har et komplet udtryk for en bestemt differentialligning. Konstanten bliver da et udtryk for den partikulære løsnings startværdi. Begyndelsesværdien kan beskrives udemærket ud fra vores foregående afsnit om integralkurver, hvor man på figur 1 så at de små hældningspile/vektorer pegede i alle mulige retninger. For at uddybe lidt, så er en sådan tegning egentlig lidt misvisende. For man fristes til at tro at der kun kan findes løsninger der hvor pilene er. Men pilene angiver kun en retning og vi kunne sagtens vælge at tegne endnu flere pile. Vi kunne i princippet tegne pile for alle de mulige løsninger der findes, men så ville vores tegning blive et gråt papir med en kurve på. Der hvor startværdien så kommer til sin ret, ser når vi vil finde en partikulær løsning. Denne ses som en af de sorte kurver. Startværdien vil på vores koordinatsystem svare til hvilken y og x værdi vi ønsker at måle fra. Som det ses af figur 1, så kan funktionsgrafen godt forsvinde om bagved startværdien, men denne værdi er vi så og sige ikke ikke interesseret i. Og løser vi differentialligningen numerisk, vil startværdien udgøre den laveste værdi vi kan finde, indenfor funktionens grænseværdier. VI Anvendelse af CAS værktøjer I vores gruppe benytter vi to værktøjer til at arbejde med differentialligninger. Vi benytter matematikprogrammet Maple 13 og grafregneren TI-89. Vi vil starte med at beskrive anvendelsen af Maple. 2 Man kan også bevise denne sætning ved hjælp af seperation af variable. Regnegennemgangen bliver knap så tung, hvis man har styr på denne teknik, men tilgengæld skal man bevise sætningen for y > 0 og y < 0
8 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 7 Maple 13 Programmet Maple 13, herefter blot Maple, har en pakke som kaldes DE- Tools. Denne pakke indeholder så funktioner som DESolve og DEPlot. Vi vil her give en beskrivelse af DEPlot, da løsningen er differentialligninger kan klares uden DESolve. I mange tilfælde kan man blot indskrive sin formel/sit udtryk i Maple, som det står på papiret, vælge Plot og så har man en funktionsgraf. Men for at plotte denne graf må vi kende differentiallignigen så den fremstår med konstanten C som kendt. Og da vi ikke er interesseret i én partikulær løsning, men et plot over mange mulige løsninger, må vi benytte en anden metode. Og her bliver pakken DEPlot i DETools nyttig. Maple kan modtage forskellig slags input. Det man typisk benytter er 2D-Math, som betyder at man indskriver sit udtryk som det ser ud og så kan Maple regne ud hvad der menes. Men oprindeligt fungerede Maple, som mange andre matematikværktøjer til computeren, som et kommandolinje system. Man indtaster en kommando og der sker noget. Denne funktion har Maple stadig. Man vælger blot Maple-Input i toppen. For at plotte en differentialligning, må man først fortælle Maple at man vil benytte DETools, så derfor skriver man with(detools): og trykker Enter. Dernæst skal man fortælle Maple hvilken funktion man ønsker at den skal arbejde med. Man kan derfor taste eq := diff(v(t), t) = *v(t). Her fortæller vi altså Maple: definer variablen eq og sæt den lig med udtrykket: diff(v(t), t) = *v(t). Diff betyder naturligvis differentiale og (v(t), t) betyder at funktionen er v(t) og variablen er t. Nu skal vi så bede Maple om at plotte denne ligning. Vi indtaster derfor denne sætning:deplot(eq, v(t), t = 0.. 1, [[v(0) = 0], [v(0) = 25], [v(0) = 10], [v(0) = 2.5]], v = , title = "Rugbyball in water", arrows = THIN, color = grey, dirgrid = [30, 30], linecolor = BLACK). Kort står der at vi vil plotte funktionen eq, hvor v(t) og t er mine parametre. t skal være i intervallet [0; 1] og y skal være i intervallet [ 10; 25]. Alle udtrykkende inde i [[ og ]] er startværdierne. Title er grafens titel og er derfor valgfri. Udtrykket arrows definerer hvilken type pile man vil benytte (bl.a. small, medium, comet, line, curve) og color er deres farve. Dirgrid bestemmer hvor mange pilenheder der skal være i højden og bredden og linecolor bestemmer linjens farve. Herefter trykker man blot enter og man skulle nu gerne ende op med et plot lignende det på figur 1. Selve metoden kan ses på figur 2. For at løse differentialligninger i Maple er man noget bedre stillet. Givet Maple s 2D-Math, kan man blot indskrive differentialligningen på den form man ønsker. Man skal blot huske at være konsekvent med sin syntaks. Maple vil derfor godt kunne regne ud hvad udtrykket dy = 4 3y betyder, mens dx
9 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 8 Figur 2: Indtastning af Maple kommandoer den vil brokke sig over udtrykket d y(x) = 4 3y. Her er det vigtigt at man dx huske at alle y skal være på samme form. Hvis man gerne vil være på den sikre side, benytter man udtrykket y = 4 3y. Er man i tvivl om syntaksen er korrekt, trykker man enter. Her vil Maple give et udryk tilbage hvis det er korrekt, og ellers give en fejlmeddelelse. Hvis syntaksen ellers er korrekt, højreklikker man på udtrykket og vælger DE Solve og trykker på den parameter man ønsker at solve for. Herefter vil Maple give løsningen med en konstant kaldet C_n, hvor n er nummeringen. Er der én konstant i udtrykket, kommer C_1, er der to kommer C_2 og så videre. Med lidt omskrivning og indsættelse af startværdier, kan man slutteligt hurtigt komme frem til en partikulære løsning. Grafregner TI-89 For at plotte en graf på TI-89 skal man først definere i grafregneren at man ønsker at plotte differentialligninger. Dette gør man ved at trykke på Mode og vælge Diff Equations under punktet Graph. Herefter trykker man på Rudertasten + F1 (figur 3) og skriver den funktion ind man gerne vil plotte. Vi har prøvet at plotte samme funktion, som i Maple og resultatet ses på figur 4. Figur 3: Rudertasten og F1. For at løse differentialligninger, indtaster man blot desolve([funktion der skal løses], [uafhængig variabel], [afhængig variabel]). For eksempel med vores
10 I. DIFFERENTIALLIGNINGER 9 Figur 4: Billede af TI-89 Diff. ligningsplot. differentialligning som vi tidligere plottede. Der vil udtrykket blive desolve(9, y, t, y), som det også ses på figur 5. Figur 5: Symbolsk løsning af differentialligning på TI-89. VII Differentialligninger i hverdagen Differentialligninger bruges indenfor mange naturvidenskaber, især astronomi, fysik og kemi. De kan eksempelvis bruges i forbindelse med beregning af
11 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 10 varmeledning i et fast stof, svingninger i mekaniske eller elektriske systemer og lign. Tit oplever vi at det er lettere at beskrive hvordan et system ændrer sig over tid, frem for at komme frem med en egentlig funktion der beskriver denne ændring. Dette er essensen af den praktiske brug af differentialligninger. Det er jo i sagens natur det som udtrykket siger. dy dx er ændringen af y med hensyn til x. Den sætter vi så lig med et eller andet udtryk. Eksempelvis vores Rugby tilfælde. Vi ved at tyngdekraften får bolden til at accelerere med 9, 82m/s 2. Dette sætter vi så ind. Her vælger vi dog ændringen som hastighed v pr. tid t. dv dt = 9.82 men dette kan jo ikke være det hele. Vi ved også at vandet udøver friktion i form af vandets viskositet, boldens form, turbulens og lign. Dette har man fundet ud af samlet kan udtrykkes ved skalaren 5.5. Altså kan vi finde at boldens ændring i hastighed må være givet ved udtrykket 9, v(t) og dette sætter vi ind og får dv = v(t) dt og vi har nu et udtryk for ændringen af boldens hastighed over tid. Naturligvis bør denne hastighed afhænge af hvor stor hastighed bolden har ved frigivelsestidspunktet. Højden burde intuitivt også spille en rolle, men da vi kun ønsker at finde hastigheden i vandet, kan vi se bort fra denne. Skulle vi have et samlet udtryk for boldens hastighed i luften også, måtte vi også tage højden med. Men i og med at ændringen i hastigheden er afhængig af starthastigheden, har man også en forklaring på hvorfor der kan være flere løsninger til samme differentialligning. II Anvendelse af differentialligninger Her vil vi give en række eksempler på den praktiske anvendelse af differentialligninger. I Epidemi i Danmark Under en sygdomsepidemi er det vigtigt at kunne komme med en række forudsigelser til hvordan sygdommen vil brede sig under bestemte omstændigheder. Under en epidemi under udbrud er der til tiden t = 0 er registreret
12 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER smittede og at antallet af smittede stiger med 3920 pr. uge. På baggrund af hvordan epidemien breder sig, kan man sige at vi har at gøre med en logistisk differential ligning. Det karakteristiske ved denne type ligninger er at de grafisk set, har en fast opbygning. I starten har den en langsom stigning, for så pludselig at se grafen for ligningen, stige kraftigt og senere flade ud igen. Der må gælde at a > 0 b > 0 Vi får at vide at funktionen S svarer til differentialligningen: S (t) = S(t) (b a S(t)) Denne ligning har to ubekendte og vi finder derfor to ligninger for dette udtryk. Vi ved at: S(0) = S (0) = 3920 Vi starter med at sætte disse værdier ind i vores allerede kendte ligning = (b a 20000) (2) M = hvor M beskriver antal maks smittede og er vores øvre asymptote, altså vores maks. M = b. Vi kan da finde at a M = b a b = M a b = a Dette indsætter vi vores udtryk (2) og får ved at solve for a 3920 = (b a 20000) 3920 = ( a a 20000) a = Vi kan nu indsætte vores værdi for a i (2) og solver endnu engang, for b 3920 = (b ) b = Vi er nu klar til at opstille vores endelige udtryk, som bliver S (t) = S(t) ( S(t))
13 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 12 og har den generelle løsning S(t) = C e t S(t) = C e t Vi har lavet et integralkurve plot af differentialligningen på figur (6), hvor man ser funktionsgraferne for hhv. S(0) = 20000, S(0) = 1000 og S(0) = 2. Man ser, at selvom der kun er 2 smittede til at starte med, så vil smitten brede sig relativt hurtigt. Figur 6: Integralkurveplot af antal smittede under en epidemi. Vi finder nu den partikulære løsning til differentialligningen hvor vi benytter starttidspunktet S(0) = = C e = C C = C = 49 og vores partikulære løsning bliver da S(t) = e t
14 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 13 For at finde det tidspunkt t 0 hvor tilvæksten af smittede overstiger differentierer vi funktionen for at få et udtryk for funktionens tilvækst. S(t) = e t e t S (t) = ( e t ) 2 Vi sætter nu udtrykket S (t) = og løser for tiden e t = ( e t ) 2 t 0 = 9.14 Efter 9.14 uger vil tilvæksten da overstige smittede pr. uge. Figur 7: Første-afledte af funktionen S(t). For at finde det tidspunkt t 1 hvor antallet af smittede stiger mest, kigger vi først på grafen på figur (8) og ser at tallet må ligget i intervallet [400000; ] og derfor i tidsintervallet [18; 21]. For at finde det præcise tal differentierer vi funktionen endnu en gang. Det gør vi fordi den første differentiation fortæller os hvordan S(t) udvikler sig. Da vil det punkt på denne kurve, hvor hældningen er 0, være det tidspunkt hvor tilvæksten er
15 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 14 Figur 8: Den partikulære løsning til differentialligningen. allerstørst. Ved at differentiere endnu engang får vi et udtryk der fortæller os hvordan S (t) vil udvikle sig. Da dette udtryk fortæller om S (t) s hældning, vil S (t) = 0 være der hvor S (t) har hældningen 0 og derfor være der hvor tilvæksten er størst. S (t) = Vi sætter nu S (t) = 0 og løser for t 0 = (e t ) 2 ( e t ) e t ( e t ) 2 (e t ) 2 ( e t ) e t ( e t ) 2 t 1 = Altså er tilvæksten af smittede allerstørst til tiden t 1 = For at finde ud af hvor mange smittede der kommer pr. uge til dette tidspunkt, indsætter vi t = i S (t) og finder derfor at S (19.46) = e ( e ) 2
16 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 15 Figur 9: Den anden-afledte af funktionen S(t). S (19.46) = Da S (t) fortæller os hvor meget funktionen stiger til et bestemt tidspunkt, vil vi kunne sige at til tiden t 1 = vil antallet af smittede pr uge ca. være Da vi ved at det maksimale antal smittede man forventer er vil vi tage 95% af dette tal % = Dette tal indsætter vi nu i S(t) og løser for tiden t = e t t = Efter uger skulle antallet af smittede altså være på 95% af det maksimalt antal forventede smittede. II Saltopløsning i vandtanke I en række af tanke strømmer der vand ind og ud, og der opløses salt i dem. Der er fra starten opløst 25 kg salt i alle tre og de har desuden alle tre en kapacitet på 1000 liter og et startindhold af vand på 500 liter. Vi skal nu finde ud af hvordan saltindholdet forholder sig i tank A.
17 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 16 Vandtank A I denne tank løber der 2 liter rent vand ind og der løber 2 liter saltet vand ud. Tanken omrøres desuden således at saltindholdet er jævnt fordelt. Vi ved at saltindholdet i tanken kun afhænger af det vand der løber ud af tanken vand ud og derfor må være af formen saltindhold vand i alt Da der forsvinder 2 liter vand ud af tanken med indholdet 500 liter, kan vi finde den følgende proportionalitetskonstant = og vi er nu klar til at opstille en differentialligning på formen y = ky dy dt = y Denne differentialligning har den generelle løsning y = C e 0.004t Ved at vælge starttidspunktet y(0) = 25 får man plottet på figur (10) og kan bestemme konstanten C ved 25 = C e C = 25 Vi kan nu opstille den partikulære løsning til differentialligningen som bliver y = 25 e t For at finde ud af hvad saltindholdet til tiden t = 20 er, indsætter vi værdierne i udtrykket og får y = 25 e y = Der vil altså være kg salt tilbage i tanken, efter 20 minutter. For at finde ud af hvad saltindholdet er efter 4 timer, omskriver vi først 4 timer om til minutter = 240 Vi indsætter tiden i y(t) og får y = 25 e y = 9.57
18 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 17 Figur 10: Saltindholdet i tank A. Der vil altså være 9.57 kg salt tilbage efter 4 timer. For at undersøge hvilket tidspunkt saltindholdet i tanken er 20 kg, sætter vi y(t) = 20 og løser for tiden 20 = 25 e 0.004t = e 0.004t ( ) t = ln t = ln t = ) ( Der skal altså forløbe 55 minutter før saltindholdet er nede på 20 kg. For at undersøge hvilket tidspunkt saltindholdet i tanken er nede på 10 kg, gør vi det samme. 10 = 25 e 0.004t = e 0.004t ( ) t = ln 25
19 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 18 t = ln t = 229 ( ) Der skal altså forløbe 229 minutter 3 timer, før saltindholdet er nede på 10 kg. Vandtank B I denne vandtank strømmer der fortsat 2 liter saltholdigt vand ud, men nu strømmer der samtidig 2 liter vand ind, som indeholder 20 gr. salt pr. liter. Vores udtryk skal da være på formen (vand+salt ind) (vand+salt ud). Vi kan finde ud af at vandet der strømmer ind indeholder 20 2 = 40 gr. salt i minuttet og vandet der strømmer ud, forsat må være udtrykt ved 2 = Vi er nu klar til at opstille udtrykket dy dt = y Denne differentialligning er på formen y +ay = b og har den generelle løsning y(t) = C e 0.004t Der er i denne tank også stadig 25 kg salt, men da enhederne nu er skiftet over til gram, konverterer vi således at vi regner med g salt. For at bestemme C = C e 0.004t = C C = Den partikulære løsning til differentialligningen bliver da y(t) = e 0.004t Vi skal nu finde det tidspunkt hvor saltindholdet i tanken er 12.5 kg eller g. Vi sætter y(t) = og får = e 0.004t 0.004
20 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 19 Ved at solve i Maple kommer vi frem til løsningen t = 448 Altså vil saltindholdet i tanken være 12500g efter 448 minutter 7.5 timer. Hvis vi finder funktionsgrafens minimum (figur 11) vha. Maple, ser vi at saltindholdet er stabiliseret til tiden t = med gram salt. Koncentrationen vil da være 20 gram pr. liter = 20 Figur 11: Saltindhold i tank B Vandtank C I denne tank løber der igen 2 liter rent vand ind i minuttet og er 25 kg salt fra starten, men denne gang løber der kun 1 liter vand ud i minuttet. Da der løber en liter ud og to liter ind, kan vi forudsige at det samlede vandgennemløb må være lineært. Vi kan derfor opstille et lineært funktionsudtryk. Tanken indeholder stadig 500 liter til tiden t=0 og har en maksimal kapacitet på
21 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER liter. V (t) = 1 t + 2 t V (t) = 1 t V (t) = 1t V (t) = t Vores udtryk for den samlede vandgennemstrømning er givet ved V (t) = 500+t. Da tanken er fyldt op når den er nået 1000 liter, sætter vi V (t) = 1000 og løser for tiden 1000 = t t = 500 Tanken vil altså være fyldt op efter 500 minutter eller ca. 8 timer. Figur 12: Tankens volumen som funktion af tiden. Saltindholdet i tanken er fikseret til 25 kg fra starten og den samlede gennemstrømning er givet ved V (t) = t. Da indholdet af salt i vandet er givet ved kg salt pr mængde vand indhold af salt tid = kg l
22 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 21 kan saltindholdet i tanken beskrives ud fra differentialligningen dy dt = y t hvor y er ændringen i saltindhold, som fortyndes/forsvinder. Løsningen til differentialligningen er dy dt = y t 1 y dy = y dy = t dt 1 y dy = t dt 1 dt ln(y) = ln(500 + t) + k t y = e ln(500+t)+k y = e ln(500+t) e k y = e ln(500+t) C 1 y = e C y = C ln(500+t) t Da saltindholdet ved t = 0 er 25 kg, finder vi den partikulære løsning 25 = C t C = C = og løsningen bliver da y(t) = t Vi fandt tidligere ud af at tanken er fyldt op efter 500 minutter. Dette indsætter vi nu i vores udtryk og finder at y(500) = y(500) = saltindholdet i tanken vil være 12.5 kg når tanken er fyldt op med vand. Dette ses på figur 13. III Newtons afkølingslov Betydningen af temperaturen T for dt dt Newtons afkølingslov beskriver sammenhængen mellem et legemes temperatur og den tid det tager før det afkøles eller opvarmes. Et legeme kunne være en ret i ovnen, en kop kaffe eller en varm metal klods. Loven siger følgende: Tidsændringen af temperaturen, T(t) af et legeme er proportionalt med temperaturforskellen mellem legemets temperatur, T, og temperaturen af det omlæggende materiale, A, f.eks. luft, er givet ved:
23 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 22 Figur 13: Saltindholdet i tank C. dt dt = k (A T ) Hvor k er en positiv konstant. T er som sagt legemets temperatur og A er det omliggende materiales temperatur. Hvis T er større end A betyder det, at legemet afgiver energi til det omliggende materiale indtil der er ligevægt. Hvis nu A er større end T betyder det, at det omliggende materiale afgiver energi til legemet indtil der er ligevægt. Le Roastbeef En roastbeef på 2,27 kg har en stuetemperatur på 10 grader, den sættes ind i en forvarmet ovn på 190 grader klokken 17. Efter 75 minutter har stegen en temperatur på 52 grader. Hvor lang tid skal stegen være i ovnen før den har en temperatur på 66 grader? Det handler om at finde to ligninger med to ubekendte, og derefter bestemme konstanterne k og c. T (0) = 10 C T (75) = 52 C A = 190 C
24 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 23 Vi beskriver denne stegning med Newtons afkølingslov og får udtrykket Som vi reducerer dt dt dt dt = k (190 T ) dt dt = k (190 T ) dt = 190k kt dt + kt = 190k Denne differentialligning er på formen y + ay = b og har derfor den generelle løsning T (t) = k C e kt T (t) = C e kt k som kan ses på figur 14 med T (0) = 10, T (0) = 10 og T (0) = 0 indtegnet. Figur 14: Integralkurveplot af temperaturen som funktion af tiden. For at finde C og k løser vi to ligninger med to ubekendte 10 = C e k 0 og får
25 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 24 C = 180 og løser 52 = e k 75 og får k = Vi kan nu opstille vores partikulære løsning T (t) = e t For at finde den tid hvor stegens temperatur er 66 C, sætter vi T (t) = 66 og løser for tiden 66 = e t t = Bøffen vil altså være 66 C inden i, hvilket svarer til medium stegt, efter minutter 1½ time. Optøning af en and En frossen and på 3600 gram tages ud af fryseren og placeres på køkkenbordet til optøning. Til tiden 0 har anden en indvendig temperatur på -18 C. I køkkenet er temperaturen 22 C. Efter 6 timer har anden en indvendig temperatur på -5 grader. Vi skal nu finde ud af hvornår andens invendige temperatur har nået 15 C. t(0) = -18 C t(6) = -5 C Vi benytter Newtons afkølingslov og med andens data får vi dt dt = k (A T ) dt dt = k (22 T )
26 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 25 Dette reducerer vi på og får dt dt dt dt = k (22 T ) dt = 22k kt dt + kt = 22k Denne ligning er også på formen y + ay = b og har derfor den generelle løsning T (t) = 22k k + C e kt 22 + C e kt Vi opskriver igen 2 ligninger med to ubekendte, hvor vi først løser for C ved at benytte T ( 18) = 0 18 = 22 + C e k 0 C = 40 Vi har nu C og kan løse for k, ved at benytte T (6) = 5 5 = e k 6 k = Igen har vi lavet et plot der viser integralkurverne, hvor T (0) = 30, T (0) = 18 og T (0) = 0 er blevet udvalgt. Den ene er naturligvis vores opgivne startværdi. Disse kan ses på figur 15. Vi er nu i stand til at opstille vores partikulære løsning, som bliver T (t) = e t For at finde det tidspunkt hvor andens indvendige temperatur er nået 15 C, sætter vi T (t) = 15 og løser for tiden 15 = e t t = Da tiden er opgivet i timer kan vi beregne at andens temperatur indvendig har nået 15 C efter 26.6 timer.
27 II. ANVENDELSE AF DIFFERENTIALLIGNINGER 26 Figur 15: Andens temperatur som funktion af tiden, som integralkurver.
28 Litteratur [1] Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard. Mat B (hf). Systime, 1. udgave, [2] Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard. Mat B til A (stx). Systime, 2. udgave, [3] Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk. Integralregning og sandsynlighedsregning. Gyldendal, 1. udgave, [4] Tom Lindstrøm. Kalkulus. Universitetsforlaget, 3. udgave, [5] Ken Riley, Michael Hobson og Stephen Bence. Mathematical methods for Physics and Engineering. Cambridge, 3. udgave,
Differentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereDifferentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002
Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDifferentialligninger nogle beviser og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Kruses Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela N.
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereSRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO
SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereFunktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK Matematik A (stx bekendtgørelse)
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereRikke Lund, 3.f Studieretningsprojekt 21/ Reaktionskinetik
Rikke Lund,.f Studieretningsprojekt / Abstract Reaktionskinetik This paper examines the subject reaction kinetics and the factors that can affect the speed of the reaction. We investigate how the reaction
Læs mereM A T E M A T I K A 3
M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMatematik A eksamen 14. august Delprøve 1
Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereDet perfekte blødkogte æg
Det perfekte blødkogte æg Opgaveformulering: Ifølge undersøgelser på University of Exeter 1 kan det vises, at den optimale kogetid for et blødkogt æg kan skrives som Giv en kort redegørelse for den engelske
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereMatematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2
Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereNumeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereVektorfunktioner vha. CAS
Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK Matematik A (stx bekendtgørelse)
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hansenberg Gymnasium htx Matematik A Thomas Voergaard.
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereBrug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden
Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display
Læs mereOPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs mereKapitel 3: Modeller i Derive
3. Modeller i Derive 3.1 Indledende knæbøjninger For at regne på modeller i Derive skal vi bruge FIT-funktionen som tilpasser et datasæt til et vilkårligt udtryk med lineære parametre ved hjælp af mindste
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereVektorfunktioner vha. CAS
Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereSalt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet
Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereStudieretningsopgave Temperatur af en væske
Studieretningsopgave af en væske Studieretning: Matematik A, Fysik B, Kemi B Fagkombination: Fysik og Matematik Opgaveformulering: Redegør kort for forsøget om opvarmning og afkøling af en væske. Præsenter
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereGL. MATEMATIK B-NIVEAU
GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereDifferentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Læs mere