Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak"

Transkript

1 Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008

2 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk modellering, på sommerskolen. Differentialregning er et stort emne i gymnasiet, og det er ikke meningen at denne note skal erstatte en lærebog i gymnasiet. Noten er tænkt som en lynkursus i emnet for de elever, der går i 1. g, og ikke kender til emnet. Noten indeolder en række opgaver, som er gode at lave for at forstå stoffet. Men det er ikke et krav at alle opgaver er gennemregnet inden sommerskolens start. Vi ar lavet en vejledende besvarelse af disse opgaver. Vi anbefaler at man først kigger på besvarelse, når man er gået i stå med en opgave. På denne måde fås det største udbytte af opgaverne. Der vil være en kort gennemgang af noterne samt en snak om opgaverne på sommerskolens første dag. 2 Grænseværdi I definitionen af differentiabilitet indgår begrebet grænseværdi. Det lægger uden for denne korte note at give en grundig beskrivelse af dette vigtige begreb. Dette er derfor blot en kort introduktion. Lad os starte med at tage udgangspunkt i følgende funktioner: f (x) x + 2 og g (x) x2 4 x 2. Prøv at tegne graferne for disse funktioner på din lommeregner. Bemærk at f og g ar samme funktionsværdi i etvert x i R, bortset fra 2 vor g ikke er defineret, idet der for x 2 gælder g (x) x2 4 x 2 (x 2) (x + 2) x 2 x + 2 f (x). Det fremgår eraf at vis vi vælger x tæt på 2 vil f og g begge antage værdier tæt på 4. Vi siger at f og g ar grænseværdien 4 for x gående mod 2. Dette skrives med symboler ved: f (x) 4 for x 2, g (x) 4 for x 2. Dette læses: f (x) går mod 4 for x gående mod 2. Tilsvarende for g. En anden notation som benyttes er: lim f (x) 4, x 2 der læses: grænseværdien af f (x) for x gående mod 2 er 4. lim står for det græske ord limes som betyder grænse. 1

3 At funktionerne ar grænseværdien 4 for x gående mod 2 afænger altså ikke af funktionernes beskaffened i selve tallet 2, g er endda ikke defineret i 2, men derimod af vordan de opfører sig i en omegn 1 af tallet 2. Disse overvejelser fører os til følgende definition: Definition 2.1. En funktion f siges at ave grænseværdien a for x gående mod x 0, netop når vi kan opnå at f (x) er så nær a, vi ønsker, ved at vælge x tilstrækkelig nær x 0, men forskellig fra x 0. Definitionen er illustreret på nedenstående figur. 3 Regneregler for grænseværdi Vi vil nu indfører nogle regneregler der gør det nemmere at bestemme grænseværdier for komplicerede funktioner ud fra et kendskab til de mere simple funktioner. Lad os tage udgangspunkt i et eksempel: Eksempel 3.1. Betragt funktionen (x) (3x 9) (2x + 1). er da et produkt af de simplere funktioner f (x) 3x 9 og g (x) 2x + 1. Udfra kendskab til grænseværdier for f og g vil vi være i stand til at bestemme grænseværdier for. Lad os f.eks. finde lim (x). x 2 Da lim x 2 f (x) 3 og lim x 2 g (x) 5 vil f (x) være nær 3 og g (x) nær 5, vis blot vi vælger x tilstrækkelig tæt på 2. Men så vil (x) f (x) g (x) være nær ( 3) 5 15, vis x er tilstrækkelig tæt på 2. Der gælder altså eller lim (x) 15, x 2 lim f (x) g (x) lim f (x) lim g (x). x 2 x 2 x 2 1 Ved en omegn omkring tallet x 0 forstås et symmetrisk, åbent interval omkring x 0, dvs. et interval af typen ]x 0 k, x 0 + k[, vor k > 0. 2

4 Med andre ord: grænseværdien for produktet er lig produktet af grænseværdierne. Ved lignende ræsonnementer, som det er anførte, kan man indse rigtigeden af følgende sætning: Sætning 3.2. Når funktionerne f og g ar grænseværdi for x gående mod x 0 gælder: 1) lim (f (x) + g (x))) lim f (x) + lim g (x) x x0 x x0 x x0 2) lim (f (x) g (x))) lim f (x) lim g (x) x x0 x x0 x x0 3) lim (f (x) g (x))) lim f (x) lim g (x) x x0 x x0 x x0 Hvis der yderligere gælder at lim x x0 g (x) 0 f (x) 4) lim x x0 g (x)) lim x x 0 f (x) lim x x0 g (x) Det skal dog understreges at eksempel 3.1 ikke er et bevis for påstand 3) i sætning 3.2. Et bevis for denne sætning ligger uden for denne notes rammer. 4 Kontinuitet Undervejs i vores gennemgang af differentialregning får vi beov for begrebet kontinuitet. Derfor vil vi nu va. grænseværdier indføre dette begreb. For at få en forståelse kontinitet, kan det være nyttigt at se på funktioner, der ikke er kontinuerte: Lad os starte med at betragte en funktion f, som ar ar grænseværdien a for x gående mod x 0 fra venstre og grænseværdien b for x gående mod x 0 fra øjre, og vi forestiller os at a b. Derfor vil grafen for f ave et spring i x 0, og funktionen f vil ikke ave en grænseværdi for x gående mod x 0. Hvis vi derimod forestiller os at de to ovenstående grænseværdier er ens, dvs. at a b, vil funktionen f ave en grænseværdi i x 0 nemlig a. 3

5 Lad nu f være en funktion, der ar grænseværdien a for x gående mod x 0, men f (x 0 ) a. Da vil grafen for f omkring x 0 ligge i næreden af punktet (x 0, a), men punktet (x 0, a) vil ikke ligge på grafen. Hvis f derimod ar grænseværdien a f (x 0 ) for x gående mod x 0, vil grafen omkring x 0 ligge meget tæt på grafpunktet (x 0, f (x 0 )). Vi siger da at f er kontinuert i x 0. Definition 4.1. Hvis funktionen f er defineret i en omegn om x 0 og f (x) f (x 0 ) for x x 0 siges f at være kontinuert i x 0. Løst sagt kan dette formuleres ved at grafen for funktionen f ænger sammen i punktet (x 0, f (x 0 )), og derfor ar grafen for f ikke nogen spring i dette punkt. Hvis f er kontinuert i alle x i defintionsmængden for f siges f at være kontinuert. En kontinuert funktions graf kan således tegnes uden at løfte blyanten. Øvelser Øvelse 1 I sætning 3.2 kunne vi ave medtaget følgende regel: Hvis c er et tal, så gælder der lim x x 0 (c f (x)) c lim x x0 f (x) Denne regel følger umiddelbart af en af de andre regler i sætning 3.2. Forklar vilken og vordan. Øvelse 2 Hvilke af reglerne fra sætning 3.2 skal man benytte for at indse at: lim (2x 5) 3? x 4 Øvelse 3 Lad funktionerne f og g være givet ved f (x) 5x + 10 og g (x) x Bestem tallene f (x) lim (f (x) + g (x)), lim (f (x) g (x)) og lim x 2 x 2 x 2 g (x) 4

6 4.1 Lidt notation En funktion f tager et element x i en mængde A og giver et element f (x) i en mængde B. Man skriver da f : A B. Mængden A kaldes definitionsmængden og mængden B kaldes billedmængden. 5 Funktionstilvækst Lad f være en funktion, f : A B, vor A og B er delmængder af R. Lad x ligge i A. Funktionstilvæksten ( er det store græske bogstav delta) defineres ved vor er et tal forskelligt fra nul. f (x + ) f (x), Differenskvotienten ud fra punktet x er givet ved f (x + ) f (x). Den angiver ældningen for sekanten mellem punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )). Husk at sekanten mellem (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er den rette linje, der går igennem de to punkter. Eksempel 5.1. Betragt funktionen f : R R givet ved f (x) x 2. Vi opskriver nu differenskvotienten ud fra punktet x: f (x + ) f (x) (x + )2 x 2 x2 + 2x + 2 x 2 2x + 2 2x +. 5

7 Når vi lader jælpepunktet (x +, f (x + )) nærme sig punktet (x, f (x)), vil afstanden gå mod nul. Sekantældningen vil derfor gå mod tallet 2x. Dette skrives i symboler: vor symbolet læses "går mod". 2x for 0, Med udgangspunkt i eksempel 5.1 indføres følgende definition: Definition 5.2. Definition af differentialkvotient. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet x, vis størrelsen f (x + ) f (x), ar en grænseværdi for gående mod nul. Hvis dette er tilfældet, så er differentialkvotienten af f i x lig med denne grænseværdi: f (x) lim 0. f (x) læses "f mærke af x". Funktionen f (x) kaldes også den afledte af funktionen f (x). Hvis f er differentiabel i etvert punkt i sin definitionsmængde, siges f at være en differentiabel funktion. Eksempel 5.3. I eksempel 5.1 så vi at differentialkvotienten af f (x) x 2 blev bestemt til f (x) 2x. Derfor er det nu let at finde differentialkvotienten af f i en ver x- værdi: Hvis x 2, så er f (2) 2 2 4, Hvis x 0, så er f (0) 0 2 0, Hvis x 2, så er f ( 2) 2 ( 2) 4. 6 Geometrisk fortolkning af differentialkvotient Lad f være en differentiabel funktion, og lad os betragte grafen for f, dvs. kurven med ligningen y f (x). Vi vil nu vise vordan vi kan benytte differentialregning til at finde ligningen for tangenten til y f(x) i et a R. Betragt punktet (a, f (a)) samt dets "nabobunkt"(a +, f (a + )) vor 0. Vi betragter nu den sekant, s, som de to førnævnte punkter udspænder. Hældningen af sekanten s er givet ved: f(a + ) f(a) a + a f (a + ) f (a) Jo mindre vælges desto tættere vil sekanten udspændt af punkterne (a, f (a)) og (a +, f (a + )) være på tangenten til y f (x) i punktet (a, f (a)). 6

8 Vi ser da at tangentældningen netop er lig med funktionens differentialkvotient i a, f (a). Vi ved at den rette linje med ældningen f (a) gennem (a, f (a)) ar ligningen: y f(a) f (a)(x a), og dermed y f (a) (x a) + f (a). Vi opsumerer vores resultater i følgende sætning: Sætning 6.1. Hvis f er differentiabel i a, ar tangenten til grafen y f (x) i punktet (a, f (a)) ligningen y f (a) (x a) + f (a) Førstegradspolynomiet i sætning 6.1 kaldes det approksimerende førstegradspolynomium i punktet (a, f (a)). Det er den bedste lineære approksimation til f i næreden af punktet (a, f (a)). 7 Beregning af differentialkvotient - 3 trinsreglen. For at finde en funktions differentialkvotient skal man igennem en række trin. Metoden kaldes tretrinsreglen. Første trin Opstil formlen for ældningen af sekanten mellem røringspunktet (x, f (x)) og et jælpepunkt (x +, f (x + )): f (x + ) f (x). Andet trin Omform og simplificer udtrykket for sekantældningen. Tredje trin Undersøg om det reducerede udtryk for sekantældningen gående mod nul. Hvis denne grænseværdi eksisterer, så er funktionen differentiabel i x, og grænseværdien er differentialkvotient af f i x, f (x). ar en grænseværdi for Vi vil nu kigge på en række eksempler, vor vi anvender tretrinsreglen til at differentiere nogle velkendte funktioner: 7

9 Eksempel 7.1. Lineære funktioner Vi betragter funktioner på formen f (x) ax + b. Lad x være et vilkårligt tal. Trin 1: Sekantældningen mellem punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er givet ved: f (x + ) f (x) Trin 2: Vi udregner og reducerer: a (x + ) + b (ax + b). a (x + ) + b (ax + b) ax + a ax a a. Trin 3: Vi bemærker at ikke afænger af, så vi ar lim 0 lim 0 a a. Da grænseværdien eksisterer findes er funktionen f (x) ax + b differentiabel. Grænseværdien er differentialkvotienten i punktet x, dvs. f (x) a. Eksempel 7.2. Lad os nu betragte funktionen f : R R givet ved f (x) x 3. Lad x være et vilkårligt tal. Vi ønsker at vise at f er dfferentiabel, og benytter derfor tretrinsreglen: Trin 1: Hældningen af sekanten udspændt af punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er: Trin 2: Vi udregner og reducerer: f (x + ) f (x) (x + ) (x + )2 x 3 (x + )3 x 3. (x + ) (x2 + 2x + 2 ) x 3 (x3 + 2x 2 + x 2 + x 2 + 2x ) x 3 3x2 + 3x x 2 + 3x + 2 Trin 3: Vi er i stand til at finde differentialkvotienten f, vis udtrykket ovenfor ar en grænseværdi for gående mod nul. Ved at benytte regnereglerne for grænseværdier vil både 3x og 2 gå mod nul når går mod nul. Heraf får vi at: lim 0 lim ( 3x 2 + 3x + 2) 3x 2. 0 Vi kan således konkludere at f (x) x 3 er differentiabel i x med differentialkvotienten f (x) 3x 2. 8

10 Eksempel 7.3. Lad os se på funktionen f : R\ {0} R givet ved f (x) 1. Lad x være x et vilkårligt tal. Vi vil vise at f er differentiabel. Vi benytter igen tretrinsreglen: Trin 1: Sekantældningen mellem punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er: f (x + ) f (x) Trin 2: Vi udregner og reducerer: x x+ x(x+) x(x+) x(x+) x 2 +x (x 2 + x) 1 x+ 1 x. x (x+) x(x+) 1 x 2 + x (7.1) Trin 3: Lader vi nu gå mod nul i (7.1) vil leddet x i nævneren gå mod nul, og vi får da at: lim 0 lim 1 0 x 2 + x 1 x. 2 Vi ar ermed vist at f (x) 1 x er differentiabel i x med differentialkvotienten f (x) 1 x 2. Øvelser Øvelse 4 Bevis ud fra tretrinsreglen, at: a) f (x) a ar differentialkvotienten f (x) 0, og b) f (x) x ar differentialkvotienten f (x) 1. Øvelse 5 Bevis ud fra tretrinsreglen at f (x) x, x > 0 ar differentialkvotienten f (x) 1 2. x Vink til trin 2: Benyt følgende omskrivning: ( ) ( ) x + x x + x x + + x ( x + + x ), samt kvadratsætningen (a b) (a + b) a 2 b 2. Øvelse 6 Lad f : R R være en funktion, der (som fx. eksponentialfunktionen) opfylder: f (x + y) f (x) f (y), for alle x, y i R. Bevis, at vis f er differentiabel i nul, så er f differentiabel i etvert punkt x i R med en differentialkvotient f (x), der kan udtrykkes ved f (x) og f (0). Vink: Udnyt at der gælder f (y) f (x) f (x + (y x)) f (x). 9

11 8 Sammenængen mellem differentiabilitet og kontinuitet I det foregående afsnit definerede vi vad det vil sige at en funktion f er kontinuert. Vi vil nu undersøge sammenængen mellem differentiabilitet og kontinuitet. Vi vil tage udgangspunkt i et eksempel: Eksempel 8.1. Betragt funktionen f, der er givet ved: { x vis x 1 f(x) x + 3 vis x > 1 Vi bemærker at f ikke er kontinuert i 1. Vi vil nu undersøge om f er differentiabel i 1. Dette gøres ved at undersøge om differenskvotienten ud fra punktet x 1 ar en grænseværdi for gående mod 0. Vi opskriver derfor: f (1 + ) f (1) ( ) (1) Vi antager at > 0, og lader så gå mod nul. Da vil for 0 Dermed findes grænseværdien ikke og funktionen er ikke differentiabel i 1. Det fremgår af eksempel 8.1 at for at en funktion f kan være differentiabel i et givent x, skal funktionen være kontinuert i x. I det næste eksempel vil vi undersøge vorvidt kontinuitet medfører differentiablitet. Eksempel 8.2. Vi vil nu betragte funktionen { x vis x 0 f(x) x x vis x < 0 Vi ser at f (x) 0 f (0) for x 0. f er således kontinuert i 0, faktisk er f kontinuert for etvert x R. Men f (x) f (0) x 0 vilket viser at f ikke er differentiabel i x 0. x { 1 vis x > 0 x 1 vis x < 0 Det fremgår af eksempel 8.2 at kontinuitet ikke nødvendigvis medfører differentiabilitet. Man kan i en vis forstand sige at det er "sværere"at være differentiabel end kontinuert. Faktisk er det endda muligt at konstruere en kontinuert funktion som ikke er differentiabel i noget punkt. Studiet af funktioner med sådan en egenskab fører naturligt til studiet af de såkaldte fraktaler. Derimod vil differentiabilitet altid medføre kontinuitet, vilket er indoldet i næste sætning: 10

12 Sætning 8.3. Hvis f er differentiabel i a, da er f kontinuert i a Bevis. Da f er differentiabel, ved vi at: f (x) f (a) lim x a x a f (a) og da lim x a (x a) 0 følger det af regnereglerne for grænseværdi at lim (f (x) f (a)) lim (x a) f (a) 0 x a x a Dermed ar vi at f (x) f (a) for x a. Dette viser at f er kontinuert i a. 9 Regneregler for differentialkvotienter Indtil videre ar vi differentieret visse simple funktioner ved jælp af tretrinsreglen. For mere komplicerede funktioner kan det blive besværligt at benytte denne metode til differentiation. Derfor vil vi i det følgende vise en række regneregler for differentialkvotienter. Sætning 9.1. Differentialkvotient af en sum Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er summen (f + g) (x) f (x) + g (x) også differentiabel i x, og der gælder (f + g) (x) f (x) + g (x). Bevis. Vi bruger tretrinsreglen på funktionen F (x) f (x) + g (x). Trin 1: F F (x + ) F (x) f (x + ) + g (x + ) (f (x) + g (x)). Trin 2: Ved omformning af F får vi nu F f (x + ) + g (x + ) (f (x) + g (x)) f (x + ) f (x) + g (x + ) g (x) f (x + ) f (x) g (x + ) g (x) + + g. Af f og g er differentiable i x betyder i følge definitionen at f (x + ) f (x) 11 f (x) for 0,

13 og g g (x + ) g (x) g (x) for 0. Vi benytter nu regneregler for grænseværdier og får så at F + g f (x) + g (x) for 0. Så F f + g er differentiable i x, da F ar en grænseværdi for gående mod nul og, da grænseværdien blev f (x) + g (x), gælder der F (x) (f + g) (x) f (x) + g (x). Sætning 9.2. Hvis funktionen f er differentiabel i x, og k er en konstant, så er funktionen (k f) (x) k f (x) også differentiabel i x, og der gælder Bevis. Vi sætter F (x) (k f) (x). Så er Heraf fås: (k f) (x) k f (x). F F (x + ) F (x) k f (x + ) k f (x) F k (f (x + ) f (x)) k. k k k f (x) for 0. Det ses således at funktionen k f (x) er differentiabel med differentialkvotient (k f) (x) k f (x). Eksempel 9.3. Vi kan nu let udregne differentialkvotienten for funktioner såsom f (x) 2x 3 + x 2 + 5x + 2: f (x) ( 2x 3 + x 2 + 5x + 2 ) ( 2x 3 + x 2) + (5x + 2) ( 2x 3 + x 2) + 5 ( 2x 3) + ( x 2 ) ( x 3) + ( x 2 ) x 2 + 2x + 5 6x 2 + 2x + 5 Overvej i vert trin ovenfor vilken regneregel der benyttes Sætning 9.4. Differentialkvotient af et produkt Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er produktet (f g) (x) f (x) g (x) også differentiabel i x, og der gælder (f g) (x) f (x) g (x) + f (x) g (x). 12

14 Bevis. Som før benytter vi tretrinsreglen, nu på funktionen F (x) f (x) g (x). Trin 1: F F (x + ) F (x) f (x + ) g (x + ) (f (x) g (x)). Trin 2: Vi omskriver tælleren ved at lægge 0 f (x) g (x + ) + f (x) g (x + ) til, og vi får F f (x + ) g (x + ) f (x) g (x) f (x + ) g (x + ) f (x) g (x + ) + f (x) g (x + ) f (x) g (x) [f (x + ) f (x)] g (x + ) + f (x) [g (x + ) g (x)] g (x + ) + f (x) g g (x + ) f (x) g + g (x + ) + f (x) g Trin 3: Vi skal bestemme grænseværdien af F for gående mod nul. Men vi kender grænseværdien af og g, som v. er f (x) og g (x). Da g er differentiable i x, og derfor også kontinuert i x, gælder der at g (x + ) g (x) for 0. Dermed ar vi: g (x + ) + f (x) g f (x) g (x) + f (x) g (x) for 0. Så F f g er differentiabel i x med differentialkvotient: F (x) (f g) (x) f (x) g (x) + f (x) g (x). Vi ar nu fundet differentialkvotienten af følgende simple funktioner: f (x) x ax + b k x 2 x 3 x 1 x f (x) 1 a 0 2x 3x 2 1 x x Der er et mønster i disse differentialkvotienter: (x) 1 ( x 2 ) 2x ( x 3 ) 3x 2. Disse tre differentialkvotienter passer i formlen (x n ) n x n 1 for n 1, 2, 3. Faktisk gælder denne formel for alle naturlige tal n. 13

15 Sætning 9.5. Differentialkvotienten af x n Funktionerne x n for alle n N, er differentiable i alle x R, og der gælder: (x n ) n x n 1 Bevis. Beviset føres ved at vise, at vis reglen gælder for den n te potens af x, så gælder den også for den n + 1 te potens af x. Vi antager derfor at der for et eller andet n N gælder (x n ) n x n 1. Så benyttes produktreglen på funktionerne x n 1 og x: ( x n+1 ) (x x n ) (x) x n + x (x n ) 1 x n + x n x n 1 x n + n x n (n + 1) x n Dette er netop reglen for potensen n + 1. Så vis reglen gælder for ét tal n i talrækken N, så gælder det også for det næste tal, n + 1, i rækken. Men den gælder jo for n 1. Derfor slutter vi, at den gælder for alle tal n N. Den netop benyttede bevismetode kaldes induktion. Induktion betyder at slutte fra det enkelte til det almene. Vi beviser, at vis et nummer i rækken ar en bestemt egenskab, så vil det næste nummer i rækken også ave den egenskab. Hvis vi desuden ved, at det første i rækken ar egenskab, så slutter vi, at alle ar den. 10 Sammensatte funktioner Definition Lad f : B C og g : A B være to funktioner. Sammensætningen af f og g f g, læses f bolle g, er funktionen f g : A C defineret ved f g (x) f (g (x)). Definitionsmængden for f g er Dm (f g) {x Dm (g) g (x) Dm (f)}. Definitionsmængden er altså de x i definitionsmængden for g, vorom der gælder at g (x) ligger i definitionsmængden for f. Eksempel Hvis vi betragter de to funktioner f (x) 1 x 2 og g (x) 3x + 2. Da er Dm (f) [ 1, 1] og Dm (g) R. Vi vil finde den sammensatte funktion f g, så først finder vi definitionsmængden for f g: Dm (f g) {x Dm (g) g (x) Dm (f)} {x R 1 3x + 2 1} { x R 1 x 1 } 3 [ 1, 1 ]. 3 14

16 Vi finder nu f g (x) f (g (x)) 1 (3x + 2) x 9x 2. Men omvendt ar vi Dm (g f) {x Dm (f) f (x) Dm (g)} { x [ 1, 1] } 1 x 2 R [ 1, 1], og g f (x) g (f (x)) 3 1 x Vi bemærker at f g (x) g f (x). Det er således afgørende i vilken rækkefølge to funktioner sættes sammen. Sætning Differentiation af en sammensat funktion Hvis funktionen f er sammensat af de to funktioner g og, f (x) g (x), vor g er differentiabel i x, og er differentiabel i g (x), så er f differentiabel i x med differentialkvotienten: f (x) (g (x)) g (x). Vi vil dog ikke bevise denne sætning, men illusterer brugen af den ved følgende eksempel: Eksempel Hvis f (x) 2x 2 + x 5, så kan f betragtes som sammensat af to funktioner: g (x) 2x 2 + x 5 (den indre) og (x) x (den ydre). Så er f (x) (g (x)). Både g og er differentiable, og vi kender deres differentialkvotienter: g (x) 4x + 1 og (x) 1 2 x. Derfor er f differentiabel med differentialkvotienten: Øvelser f (x) (g (x)) g (x) 1 2 g (x) (4x + 1) 1 2 (4x + 1) 2x 2 + x 5 Øvelse 7 Vis, at vis funktionerne f og g er differentiable i x, så er differensen (f g) (x) f (x) g (x) også differentiabel i x, og der gælder (f g) (x) f (x) g (x). 15

17 Øvelse 8 Betragt funktionerne f (x) x og g (x) 2x 3 a) Bestem Dm (f g) og Dm (g f) og find en forskrift for både f g og g f. b) Bestem funktionsværdierne f g (2) og g f (2). Øvelse 9 Skriv funktionen f (x) dens differentialkvotient. 1 4x + 2 som sammensat af simplere funktionsudtryk og bestem Øvelse 10 Forklar vordan følgende sætning kan bevises va. nogle af de viste regneregler for differentialkvotienter: Sætning Differentialkvotienten af en brøk. Lad f og g( være ) differentiable i x, og antag at g (x) 0. Så er brøken mellem de to f funktioner (x) f (x) differentiabel i x med differentialkvotienten: g g (x) ( ) f (x) f (x) g (x) f (x) g (x) g (g (x)) 2 Øvelse 11 Lad f (x) x n, vor n er et negativt elt tal. Vis, at f (x) n x n 1. 16

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj - juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 414 Københavns VUC Hfe Matematik B Tom Juul

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold VUC Hvidovre-Amager hfe Matematik B Dennis Møller

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole Uddannelse HTX Fag og niveau Matematik B Lærer(e) PBL Hold 2. c. KDS

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni, 2016 Institution HF &VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug 2014 - jun 2015 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Klavs

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere