Uafhængig og afhængig variabel

Transkript

1 Uddrag fra ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig variabel... 1 Lineær sammenhæng... 4 Øvelse 21: Æbler i pose... 4 Øvelse 23: Taxakørsel... 5 Øvelse 24: Golf... 5 Øvelse 25: Valutahandel... 5 Variable og sammenhænge I hverdagen kommer du ofte ud for situationer, hvor du skal forklare, hvordan ting hænger sammen. Det kan da være en god begyndelse først at beskrive, hvilke størrelser der varierer i det, du ser på. Derefter kan man beskrive, hvilken sammenhæng der er eller ikke er mellem disse størrelser. I dette kapitel skal du lære at analyse en simpel situation og sætte navne på de variable, som du finder, og beskrive deres sammenhænge. Uafhængig og afhængig variabel I nogle sammenhænge falder det naturligt at opdele de variable i uafhængig og afhængig variable. 1. Den afhængige variabels værdi afhænger af værdien af den uafhængige variabel. Har man to variable, p og q spørger man: Er det mest rigtigt at sige p afhænger af q (p er afhængig variabel) eller q afhænger af p (q er afhængig variabel) 2. Hvis der er en variabel, som vi selv kan styre, kaldes denne variabel den uafhængige variabel, og den anden kaldes den afhængige variabel. 3. Det er ikke altid muligt at fastslå, hvilken af de to variable der er den uafhængige variabel. Tager man tebrygning som eksempel, har du måske bemærket, at de to variable: kogetiden og mængden af vand har en sammenhæng, som kan formuleres således: Kogetiden afhænger af, hvor meget vand der er i gryden. Man kan selv bestemme vandmængden, og det er derfor naturligt af kalde denne for den uafhængige variabel. Kogetiden bliver derfor den afhængige variabel. Det giver mere mening at sige Kogetiden afhænger af vandmængden end omvendt. Når man beskriver en sammenhæng ved hjælp af en graf, sætter man altid den uafhængige variabels værdier på 1. aksen (den vandrette, kaldet x-aksen), og den afhængige variabels værdier på 2.aksen (den lodrette, y-aksen). 1

2 Øvelse 10: Døgnets temperaturer Med et termometer kan man måle udetemperaturen i løbet af døgnets 24 timer. De variable er temperatur og tidspunkt. 1. Hvilken variabel er den uafhængige? 2. Hvilken variabel er den afhængige? 3.Tegn en skitse, der viser, hvordan sammenhængen kunne se ud et typisk døgn. 4. Forklar udseendet af din skitse. 2

3 Øvelse 12: Grafer og variable Nedenfor er fire skitser af forskellige typer sammenhænge. Eksempler på sæt af variable: a) Lærerens tid til hver elev antal elever i klassen b) Forskellige personers løn hvor mange penge de bruger på sko c) Antal gæster til en koncert overskuddets størrelse d) Alderen på jeres små søskende prisen på et Anders And blad For hvert af de fire eksempler skal I: 1. Bestemme, hvilken variabel der bedst kan siges at være uafhængig, og hvilken der er afhængig (hvis der er nogen). 2. Afgøre, hvilken graf der bedst beskriver sammenhængen. (se grafer nedenfor) 3. Forklare, hvorfor netop den graf passer. 3

4 Lineær sammenhæng Øvelse 21: Æbler i pose Fra en frugtbod sælges økologiske æbler i en stærk genbrugs- indkøbspose. Posen koster 10 kroner, hvert æble koster 3 kr. 1. Udfyld: Antal æbler Samlet pris (for pose og æbler) 10 antal æbler afhænger af den samlede pris eller den samlede pris afhænger af antal æbler, Hvad er mest rigtigt? Den afhængige variabel er derfor: Den uafhængig variabel? 2. Beregn den samlede pris ved køb af 12 æbler. Skriv udregningen ved hjælp af ét regneudtryk, der indeholder tallene 10, 3 og 12 og et par regnetegn (+ - gange, dividere) Brug betegnelserne æ : antal æbler p : samlet pris (pose og æbler) 3. Skriv et formel for beregningen i punkt 2, med brug af æ og p 4. Fortæl, hvordan du vil beregne antallet af æbler, hvis den samlede pris er 100 kr. 5. Brug som udgangspunkt den formel der blev opstillet i spørgsmål 3 med æ og p. Opstil en ligning til løsning af spørgsmål 4 ved at indsætte tallet 100 på rette sted og løs denne ligning 6. Se på tallene i tabellen i spørgsmål 1. Hvordan vokser tallene i nederste række? 4

5 7. Udfyld nedenstående tabel Antal æbler Samlet pris 8. Hvordan vokser tallene i nederste række? Hvordan passer dette med iagttagelsen i spørgsmål 6? 9. Tegn grafen for den lineære sammenhæng Skriv ved den vandrette og ved den lodrette akse, hvad der afbildes (betegnelse eller forklaring i ord; enhed ) 5

6 Øvelse 23: Taxakørsel Et taxafirma fastlægger deres takster således: Startpenge: 13,00 kr. og 7,50 kr. pr. kørt km. I det efterfølgende skal du regne på, hvor meget det koster at køre i taxa. 1. Hvad koster en tur på 11 km? Hvilke variable er her relevant?.. Hvad er fornuftig at vælge som afhængig variabel? Den uafhængige variabel er derfor: 2. Opskriv beregningen fra som 1 som ét regnestykke med tallene 13, 7.50 og Opskriv et bogstavudtryk (formel) for sammenhæng. Lad her p betegne prisen for turen og k antal kilometer der er kørt. 4. Fortæl, hvordan du vil beregne, hvor langt du kan køre for 100 kr 5. Opstil en ligning svarende til svaret i spm 3 til beregning af, hvor langt du kan køre for 100 kr., og løs ligningen. 6. Udfyld nedenstående tabel Km Prisen i kr Beregn hvor meget prisen stiger, når du går fra 5 km til 10 km. -..= Og når du går fra 10 km til 15 km... - = Kommenter disse resultater. Beregn hvor meget længere du kan køre for 75 kr. end for 50 kr. -. = Beregn hvor meget længere du kan køre for 125 kr. end for 75 kr. -. = Beskriv forholdet mellem de to tal, og forklar det? 6. km. km

7 (fortsættelse af taxa-opgave) 7. Tegn grafen for den lineære sammenhæng prisen i kr km. 7

8 Øvelse 24: Golf En kurv med golfbolde indeholder 6 bolde og vejer 450 g. Der lægges 5 bolde mere i kurven, så der er 11 bolde, og nu vejer det hele 675g. 1. Beskriv i ord, hvordan du vil beregne vægten af 1 golfbold og vægten af kurven. 2. Beskriv i ord, hvordan du vil beregne vægten af kurven med 25 bolde. Hvilke variable er der i ovenstående. Den uafhængige variabel er.. Den afhængige variabel er.. 3. Opstil et regneudtryk til beregningen i spørgsmål 2, og skriv beregningsformlen med bogstaver for den uafhængige og den afhængige variabel. 4. Beskriv i ord, hvordan du vil beregne antallet af bolde i kurven, hvis den vejer 765 g. 5. Opstil en ligning svarende til den i spm 3, og løs denne til beregning af spm 4., 6. Tegn grafen for den fundne sammenhæng Vægt Antal bolde

9 Øvelse 25: Valutahandel Kursen på euro var en dag på 7,82. Det betyder som bekendt, at 1 euro kostede 7,82 kr.. Desuden skal man betale et gebyr på 30 kr. til banken, når man vil veksle valuta. 1. Hvad skal man betale for at få 25 euro? Hvilke variable er her relevant?.. Hvad er fornuftig at vælge som uafhængig variabel? Den afhængige variabel er derfor: 3. Opskriv et udtryk for denne sammenhæng. Lad her p betegne hvad der betales i kroner, og e antallet af euro. 4. Fortæl, hvordan du vil beregne, hvor mange euro du kan få for 200 kr. 5. Opstil en ligning svarende til udtrykke fra spm 3, til beregning af, hvor mange euro du kan få for 200 kr., og løs ligningen. 6. Udfyld nedenstående tabel Euro Kroner Hvor meget stiger prisen i kroner, når du går fra 10 til 11 euro Og når du går fra 11 til 12 euro.. Hvordan forklarer du dette? Tegn grafen for den lineære sammenhæng. 9

10 250 Kroner Euro

11 Linære sammenhænge. Små-opgaver y = 2 x + 3 Ligning der beskriver prisen for x blommer à 2 kr. i en pose til 3 kr. Tabel (fuldfør): x (blommer) y = 2 x + 3 (pris i kr.) 3 5 Punkt på graf A B C D E y (pris) Vi opskriver ofte et punkts koordinater som (x, y) F. eks. B = ( 1, 5) Eller uden lighedstegn: B(1,5) x (blommer) Hver gang der lægges en ekstra blomme i posen stiger prisen med 2 kr. (Indtegn trekanter der illustrerer dette) Det forekommmer klart at punkterne så må ligge på linje. Dette tal, 2 (kroner pr. blomme), i den lineære sammenhæng y = 2 x + 3 kaldes for hældningskoefficienten eller stigningstallet. Bemærk desuden, at det sted, hvor grafen skærer y-aksen er b=3. Her er x=0 (ingen blommer), og man betaler kun de 3 kr. for posen. 11

12 Blommer i pose Ligning y = 2 x + 3 Opskrevet som y = a x + b er Variable: x : antal blommer y : samlet pris Konstanter: a : pris pr. blomme b : pris for pose ( startværdi ) Opskriv de tilsvarende formler og betydninger fra arkene om lineære sammenhænge. Brug x og y, og angiv betydningen af x og y. Udfyld ligesom det er gjort i blomme-eksemplet ovenfor : Æbler i indkøbspose (Øvelse 21) Ligning y = Opskrevet som y = a x + b er Variable: Konstanter: x : y : a : b : Taxakørsel (Øvelse 23) Ligning y = Opskrevet som y = a x + b er Variable: x : y : Konstanter: a : b : Golf (Øvelse 24) Ligning y = Opskrevet som y = a x + b er Variable: x = y = Konstanter: a = b = I Golf-opgaven blev følgende formel brugt til at beregne a. Hvordan? a y x y x Valutahandel (Øvelse 25) Ligning y = Opskrevet som y = a x + b er Variable: x : y : Konstanter: a : b : 12

13 Flere linjer som skal tegnes: l 2 x y = 2 x + 1 l 3 x y = -2 x + 3 l 4 x y = 2 x - 3 l 5 x y = 0.5 x + 3 l 6 x y = -0.5 x + 3 Indtegn ovenstående linjer i koordinatsystemet: 13