Variabel- sammenhænge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Variabel- sammenhænge"

Transkript

1 Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul

2 Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable? Hvordan viser en graf sammenhængen mellem to variable? Hvordan viser en ligning sammenhængen mellem to variable? Sammenhæng mellem graf og ligning Voksende og aftagende sammenhænge Proportionale variable Omvendt proportionale variable Variabelsammenhænge 1. udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus.

3 Afsnit 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable? Eksempel 1.1 En dag målte vi temperaturen flere gange. Tabellen viser sammenhængen mellem følgende to variable: y = antal timer efter midnat y = temperatur en målt i C Opgave 1.2: Hvad er temperaturen kl. 10? (Se eksempel 1.1) I tabellen ser vi: Når er 10, er y lig 12. Dvs. kl. 10 er temperaturen 12 C. Opgave 1.3: Hvornår er temperaturen 14 C? (Se eksempel 1.1) I tabellen ser vi: Når y er 14, er lig 11. Dvs. kl. 11 er temperaturen 14 C. Opgave 1.4: Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 13 til kl. 15? (Se eksempel 1.1) I tabellen ser vi: Når er 13, er y lig 16. Når er 15, er y lig 20. Da = 4, gælder: Fra kl. 13 til kl. 15 stiger temperaturen med 4 C. Øvelse 1.5 I ekempel 1.1 kan man stille spørgsmålet (a) Hvornår er temperaturen 10 C? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 10. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 12 til kl. 15? (5) Hvor mange enheder bliver y større når ændres fra 10 til 13? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

4 Øvelse 1.6 En bestemt vare fås i 8 længder. Tabellen viser sammenhængen mellem følgende to variable: = længde i cm y = pris i kr y (1) Hvad er prisen når længden er 12 cm? (2) Hvis det er oplyst at prisen er over 50 kr., hvad ved vi så om længden? (3) Hvor meget mere skal man betale hvis man i stedet for en vare på 11 cm køber en vare på 14 cm? Øvelse 1.7 Figurerne (a)-(d) viser 4 opgavetyper.? y kendt +? y kendt kendt kendt y? kendt kendt y +? (a) (b) (c) (d) (1) For hver af opgaverne 1.2, 1.3 og 1.4 skal du finde ud af om den er type (a), (b), (c) eller (d). En af de fire typer forekommer ikke blandt opgaverne 1.2, 1.3 og 1.4. (2) Skriv en opgave af den manglende type. Opgaven skal dreje sig om eksempel 1.1. (3) Skriv en besvarelse af den opgave du lavede i spørgsmål (2). Øvelse 1.8 Tabellen viser for nogle dyr sammenhængen mellem følgende to variable: = dyrets længde (målt i cm) y = dyrets vægt (målt i gram) y Du skal skrive to opgaver om dyrets længde og vægt. Opgaverne skal være af typerne (a) og (d) fra øvelse 1.7. Skriv også en besvarelse af hver af de to opgaver. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

5 Afsnit 2. Hvordan viser en graf sammenhængen mellem to variable? Eksempel 2.1 Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: = antal timer efter midnat y = temperatur en målt i C Opgave 2.2: Hvad er temperaturen kl. 4? (Se eksempel 2.1) En punkteret pil viser hvordan vi kan aflæse følgende: Når er 4, er y lig 3. Dvs. kl. 4 er temperaturen 3 C. Opgave 2.3: Hvornår er temperaturen 5 C? (Se eksempel 2.1) En punkteret pil viser hvordan vi kan aflæse følgende: Når y er 5, er lig 7,5, Dvs. kl. 7:30 er temperaturen 5 C. Opgave 2.4: Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 6 til kl. 10? (Se eksempel 2.1) På grafen aflæser vi: Når er 6, er y lig 4. Når er 10, er y lig 7. Da 7 4 = 3, gælder Fra kl. 6 til kl. 10 stiger temperaturen med 3 C. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

6 Øvelse 2.5 (Se eksempel 2.1) I ekempel 2.1 kan man stille spørgsmålet (a) Hvad er temperaturen kl. 11? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 11. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvornår er temperaturen 9 C? (5) Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 1 til kl. 6? Øvelse 2.6 (Se eksempel 2.1) (1) Hvornår er temperaturen 2 C? (2) Hvor lang tid gik der fra temperaturen var 3 C til den var 4 C? (3) Hvor mange enheder bliver større når y vokser fra 2 til 8? Øvelse 2.7 For en bestemt type planter kan vi finde højden når vi kender stænglens omkreds ved jorden. Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: = omkreds (målt i cm) y = højde (målt i cm) Man kan stille spørgsmålet (a) Hvis en af planterne har omkredsen 2,6 cm, hvor høj er planten så? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 2,6. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) En af planterne har omkredsen 0,5 cm, og en anden af planterne har omkredsen 1 cm. Hvor mange cm er den store højere end den lille? (5) Man kan spørge om højden vokser lige meget hver gang omkredsen bliver 0,5 cm større. Undersøg sagen og giv en nærmere beskrivelse af hvordan det forholder sig. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

7 Øvelse 2.8 (Se eksempel 2.1) (1) Hvilken af opgaverne 2.2 og 2.3 er af typen (c) fra øvelse 1.7? (2) Er opgave 2.4 af typen (b) eller typen (d)? (3) I opgave 2.4 løses først to delopgaver der er af samme type. Er det type (a) eller (c)? Afsnit 3. Hvordan viser en ligning sammenhængen mellem to variable. Eksempel 3.1 For nogle skiver er der en bestemt sammenhæng mellem deres vægt og deres diameter. Ligningen (1) y = viser sammenhængen mellem følgende to variable: = vægten (målt i g) (2) y = diameteren (målt i cm) Opgave 3.2: Hvad er diameteren når vægten er 2,25 g? (Se eksempel 3.1) Ved hjælp af (2) kan dette spørgsmål oversættes til: Hvad er y når er 2,25? Vi indsætter 2,25 for i ligningen (1): y = 2,25 Vi udregner kvadratroden på lommeregner: y = 1,5 Dvs. diameteren er 1,5 cm når vægten er 2,25 g. Opgave 3.3: Hvad er vægten når diameteren er 0,2 cm? (Se eksempel 3.1) Ved hjælp af (2) kan dette spørgsmål oversættes til Hvad er når y er 0,2? Vi indsætter 0,2 for y i ligningen (1): 0,2 = Når vi opløfter begge denne lignings sider til anden, får vi ligningen 0,04 = Dvs. vægten er 0,04 g når diameteren er 0,2 cm. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

8 Opgave 3.4: En lille skive vejer 4,84 g, og en stor skive vejer 7,29 g. Hvor stor er forskellen på de to skivers diametre? (Se eksempel 3.1) De to skivers diametre y udregnes ved hjælp af ligningen (1): Når er 4,84, er y = 4, 84, dvs. y = 2, 2. Når er 7,29, er y = 7, 29, dvs. y = 2, 7. Da 2,7 2,2 = 0, 5, gælder: Forskellen på de to skivers diametre er 0,5 cm. Øvelse 3.5 I eksempel 3.1 kan man stille spørgsmålet (a) Hvis vægten er 4 g, hvor stor er så skivens diameter? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 4. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvis diameteren er 3 cm, hvad er så skivens vægt? (5) En gul skive vejer 1,69 g, og en rød skive vejer 3,24 g. Hvor meget er den rødes diameter større end den gules? Øvelse 3.6 (1) I 1.7 er omtalt fire opgavetyper (a), (b), (c) og (d). For hver af opgaverne 3.2, 3.3 og 3.4 skal du finde ud af om den er type (a), (b), (c) eller (d). En af de fire typer forekommer ikke blandt opgaverne 3.2, 3.3 og 3.4. (2) Skriv en opgave af den manglende type. Opgaven skal dreje sig om eksempel 3.1. (3) Skriv en besvarelse af den opgave du lavede i spørgsmål (2). Øvelse 3.7 For nogle varer betaler vi en pris plus en afgift. Ligningen y = 4 viser sammenhængen mellem følgende to variable: = pris i kr. y = afgift i kr. (1) Hvad er afgiften når prisen er 10 kr.? (2) Hvad er når y er 5? (3) Hvor meget er prisen steget når afgiften er steget fra 5 kr. til 7 kr.? (4) Hvor mange enheder bliver y større når ændres fra 12 til 20? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

9 Eksempel 3.8 For nogle plader er der følgende sammenhæng mellem højde (i mm) og bredde (i mm): (3a) Højden er det tal vi får når vi tager kvadratroden af bredden og lægger 2 til resultatet. Opgave 3.9: Skriv (3a) som en ligning. (Se eksempel 3.8) Vi indfører betegnelserne = bredde (i mm) y = højde (i mm) Så kan (3a) skrives sådan: y får vi ved at tage kvadratroden af og lægge 2 til resultatet Med symboler kan (3a) altså skrives sådan: (3b) y = + 2. Advarsel: En ligning som (3b) giver ingen oplysning om pladerne hvis vi glemmer at skrive hvad og y står for (bredde og højde). Opgave 3.10: En plade A har højden 5. Hvis vi kendte bredden og tog kvadratroden af og lagde 2 til, hvilket tal ville vi så få? (Se eksempel 3.8) Ifølge (3a) ville vi få A's højde y som er 5. Opgave 3.11: Hvis er 4, vil y så være 5? (Se eksempel 3.8) Hvis er 4 vil y = dvs. y = 4. Svaret er altså: Nej, y er ikke 5 når er 4. Opgave 3.12: Skriv en ligning med der udtrykker at vi får 5 hvis vi tager kvadratroden af og lægger 2 til. 5 = + 2 Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

10 Opgave 3.13: Løs ligningen 5 = + 2 og skriv hvad løsningen fortæller om de omtalte plader. (Se eksempel 3.8) Vi trækker 2 fra begge ligningens sider: 3 =. Vi opløfter begge sider til anden: 9 =. Ligningens løsning er 9. At løsningen er 9 fortæller at en plade med højde 5 mm har bredden 9 mm. Øvelse 3.14 For nogle skiver er der følgende sammenhæng mellem tykkelse (i mm) og diameter (i mm): (a) Tykkelsen er det tal vi får når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet. (1) Skriv oplysningen (a) som en ligning hvor står for diameteren, og y står for tykkelsen. (2) En skive har tykkelsen 3,4 mm. Vi måler dens diameter. Hvilket resultat får vi når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet.? (3) Hvis diameteren er 5 mm, er tykkelsen så 1,5 mm? (4) Om en skive oplyses: (b) Vi får 4,2 når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet. Skriv denne oplysning som en ligning hvor står for diameteren. (5) Løs ligningen fra spørgsmål (4), og skriv hvad løsningen fortæller om skiverne. Øvelse 3.15 I et computerspil indgår to tal der kaldes gevinst og tid (begge uden enhed). Der gælder: (a) Gevinsten er det tal vi får når vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100. (1) Skriv oplysningen (a) som en ligning, og husk at det er nødvendigt at du skriver hvilket bogstav der står for tiden, og hvilket bogstav der står for gevinsten. Du kan godt vælge andre bogstaver end og y. (2) På et tidspunkt er gevinsten 56,8. Hvilket tal får vi hvis vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100? (3) Hvis tiden er 5,5, er gevinsten så 66? (4) Vi får oplyst følgende: (b) Vi får 42,4 når vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100. Skriv denne oplysning som en ligning hvori et bogstav står for tiden. (5) Løs ligningen fra spørgsmål (4) og skriv hvad løsningen fortæller om computerspillet. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

11 Afsnit 4. Sammenhæng mellem graf og ligning Eksempel 4.1 Ligningen (1) y =. viser sammenhængen mellem to variable og y. Sådan kan vi tegne grafen: Først udregner vi støttepunkter: Vi får et grafpunkts y-koordinat ved at sætte punktets -koordinat ind i (1): = 0 : y = 0 = 0 = 0,2 : y = 0,2 = 0, 45 = 1 : y = 1 = 1 osv. 0 0, y 0 0,45 1 1,41 2 2,45 Så afsætter vi støttepunkter i koordinatsystemet: På figuren har vi afsat punkterne fra tabellen. Vi har vist hvordan vi har fundet ud af hvor P (2, 1,41) skal afsættes. Derefter tegner vi grafen: Det ser ud til at der er nok punkter til at vi kan gætte grafens forløb. Derfor tegner vi en blød kurve gennem punkterne. P 1,41 P Øvelse Tegn et koordinatsystem hvor -aksen går fra 3 til 3, og y-aksen går fra 0 til 5. (1) Brug metoden fra eksempel 4.1 til at tegne grafen for sammenhængen y = 2. (2) Find ud af om punktet P ( 0,5, 0,65) ligger over, under eller på grafen. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

12 Opgave 4.3: Find ud af om punktet P (4, 3) ligger over, under eller på grafen for sammenhængen 8 (2) y =. Når vi skal tegne grafen, indsætter vi -koordinaten i ligningen (2) og udregner y-koordinaten: 8 Når = 4 er y = = 2. 4 Altså ligger punktet Q (4, 2) på grafen, så vi ser at P ligger over grafen P Q Opgave 4.4: Ligger punktet Q (16, 5) på grafen for sammenhængen (1)? (Se eksempel 4.1) Når vi skal tegne grafen, indsætter vi -koordinaten i ligningen (1) og udregner y- koordinaten: Når = 16 er y = 16 = 4. Altså ligger punktet R (16, 4) på grafen, så vi ser at Q ligger ikke på grafen for (1). Opgave 4.5: På grafen for sammenhængen (1) ligger et punkt H som har y-koordinat 6. Hvilket tal giver højresiden i (1) hvis erstattes med H 's -koordinat? (Se eksempel 4.1) Resultatet vil være y-koordinaten for grafpunktet, dvs. 6. Opgave 4.6: Løs ligningen 5 = og skriv hvad løsningen fortæller om grafen fra 4.1. Vi opløfter begge ligningens sider til anden og får 25 =. Løsningen er altså 25. Dette fortæller at grafpunktet med y -koordinat 5 har -koordinat 25. Øvelse 4.7 Ligningen y = viser sammenhængen mellem to variable og y (1) Beregn hvad y er når er 3, og skriv hvad resultatet fortæller om grafen. (2) Beregn hvad er når y er 40, og skriv hvad resultatet fortæller om grafen. (3) Ligger punktet P (3, 20) på grafen? (4) Ligger punktet Q (4, 5) på grafen? (5) Ligger punktet P (3, 20) under grafen? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

13 Øvelse 4.8 I denne opgave står u og v for to bestemte tal. Du skal besvare spørgsmålene uden først at finde ud af hvad u og v er for tal. Spørgsmålene kan besvares ved at se på grafen. Ligningen y = v + u viser sammenhængen mellem to variable og y. Figuren viser grafen for denne sammenhæng. (1) Hvis du kendte u og v og udregnede v + 3 u, ville resultatet så være større end 2? (2) Hvis du kendte u og v og udregnede v + 3 u og v + 5 u, hvilket af de to resultater ville så være størst? (3) Hvis du kendte u og v og løste ligningen 2 = v + u, ville du så få et resultat der var større end 1? (4) Findes der et tal t mindre end 6 så 1 = v + t u? Øvelse 4.9 I denne opgave står m og k for to bestemte tal. Du skal besvare spørgsmålene uden først at finde ud af hvad m og k er for tal. Spørgsmålene kan besvares ved at se på grafen. Ligningen k y = m viser sammenhængen mellemm to variable og y. Figuren viser grafen for denne sammenhæng. k 3 (1) Hvis du kendte m og k og udregnede, ville resultatet så være større end 2? m (2) Hvis du kendte m og k og udregnede størst? (3) Bestem et tal t så 1,5 =. m t k k 3 m og k 4, hvilket af de to resultater ville så være m Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

14 Afsnit 5. Voksende og aftagende sammenhænge Opgave 5.1: Vi tænder et stearinlys. = lysets højde (i cm) (1) y = den tid (i minutter) lyset har været tændt Hvilken af påstandene (2) og (3) nedenfor er korrekt? (2) Jo større er, jo mindre er y. (3) Jo større er, jo større er y. Oplysningerne fra (1) indsætter vi i (2) og (3) og får: (2a) Jo større lysets højde er, jo mindre er den tid det har været tændt. (3a) Jo større lysets højde er, jo større er den tid det har været tændt. Vi ser at det er (2a) der stemmer med vores hidtidige erfaringer, så svaret på opgaven er Det er (2) der er korrekt. Opgave 5.2: Vi sætter en robot til at grave en grøft. = grøftens længde (i cm) (4) y = den tid (i minutter) robotten har gravet Hvilken af påstandene (5) og (6) nedenfor er korrekt? (5) Jo større er, jo mindre er y. (6) Jo større er, jo større er y. Oplysningerne fra (4) indsætter vi i (5) og (6) og får: (5a) Jo større grøftens længde er, jo mindre er den tid robotten har gravet. (6a) Jo større grøftens længde er, jo større er den tid robotten har gravet. Vi ser at det er (6a) der er korrekt, så svaret på opgaven er Det er (6) der er korrekt. DEFINITION 5.3 Hvornår er en sammenhæng aftagende, og hvornår voksende? En sammenhæng mellem to variable og y kalder vi aftagende hvis der gælder Jo større er, jo mindre er y, og voksende hvis der gælder Jo større er, jo større er y. Bemærkning Rammen ovenfor oplyser hvilke sammenhænge man kalder aftagende, og hvilke man kalder voksende. En oplysning om hvad bestemte ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

15 Opgave 5.4: Figuren viser grafen for en sammenhæng mellem to variable og y. Er denne sammenhæng aftagende, voksende eller ingen af delene? Vi ser at hvis vi trækker punktet P langs kurven sådan at dets -koordinat bliver større og større, så vil dets y-koordinat blive mindre og mindre. Der gælder altså at jo større er, jo mindre er y, så af definition 5.3 får vi: Det er en aftagende sammenhæng. P Øvelse 5.5 Hver dag fra 1. til 24. december får Bo én kalendergave. = antal dage der er tilbage til jul y = antal kalendergaver som Bo har fået (1) Gælder at jo større er, jo større er y? (2) Gælder at jo større er, jo mindre er y? (3) Er sammenhængen voksende? (4) Er sammenhængen aftagende? Øvelse 5.6 Vi lægger nogle frø i et fuglehus. = antal minutter til frøene er spist y = antal frø der er tilbage (1) Brug 5.3 til at finde ud af om sammenhængen mellem og y er voksende. (2) Brug 5.3 til at finde ud af om sammenhængen mellem og y er aftagende. Øvelse 5.7 Ligningen y = viser sammenhængen mellem de to variable og y. Brug 5.3 til at finde ud af om sammenhængen mellem og y er voksende, aftagende eller ingen af delene. Øvelse 5.8 Vi trækker et punkt langs grafen. punktets -koordinat = y = punktets y-koordinat (1) Gælder at jo større er, jo større er y? (2) Er sammenhængen mellem og y voksende? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

16 Afsnit 6. Proportionale variable Eksempel 6.1 (Oplæg til 6.2) I dette eksempel måler vi ved hjælp af følgende enhed: 1 Til højre er vist en lille og en stor udgave af samme figur. På begge figurer måler vi rektanglets højde og får 2 og 3. På begge figurer måler vi trekantens vandrette side og får 0,8 og 1,2. I begge tilfælde er længden på den store figur 1,5 gange længden på den lille figur: 3 = 1,5 2 1,2 = 1,5 0,8 Når er en længde på den lille figur og y er den tilsvarende længde på den store figur, gælder: y = 1, 5 DEFINITION 6.2 Hvad er proportionale variable? Vi siger at to variable og y er proportionale hvis der findes et tal k så (1) y = k Rammen oplyser hvad ordet proportionale betyder. En oplysning om hvad et bestemt ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Opgave 6.3: En vare fås i pakker af forskellig størrelse. Figuren viser priserne. 1 kg 2 kg 5 kg 12 kg 30 kr. 60 kr. 150 kr. 360 kr. Undersøg om prisen er proportional med mængden, og skriv en ligning der viser sammenhængen mellem pris og mængde. Spørgsmålet er: Er pris og mængde proportionale? Det vi skal undersøge er altså: Skal vi gange mængderne med samme tal for at få priserne? For den lille pakke ses at vi skal gange mængden med 30 for at få prisen: 1 30 = 30 Vi ganger de andre mængder med 30: Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

17 2 30 = 5 30 = = Heraf ser vi: Vi skal gange mængderne med samme tal for at få priserne. Dette er det samme som at sige: Pris og mængde er proportionale At vi i alle tilfælde får prisen ved at gange vægten med 30, kan skrives sådan: y = 30 når står for antal kg, og y står for antal kr. Advarsel: Hvis vi havde glemt at skrive hvad og y står for, så ville ligningen ikke fortælle noget om sammenhængen mellem pris og mængde. Opgave 6.4: Om to variable og y er oplyst følgende: og y er proportionale. Desuden er oplyst følgende sammenhørende værdier af og y: y Hvad er y når er 10? Hvad er når y er 15? Bestemme k : Da og y er proportionale, er der et tal k så (1) y = k. Vi starter med at finde ud af hvad k er for et tal. Så kan vi bruge dette tal til at besvare de to spørgsmål. I tabellen ser vi at når = 24 er y = 18. Dette indsætter vi i (1): 18 = 24 k Vi dividerer begge ligningens sider med 24: = k Heraf får vi: 0,75 = k Der gælder altså: (2) y = 0, 75 Svaret fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

18 Bestemme y : For at finde y når er 10, sætter vi til 10 i (2): y = 0,75 10 Heraf får vi y = 7, 5 så y er 7,5 når er 10 Bestemme : For at finde når y er 15, sætter vi y til 15 i (2): 15 = 0, 75 Vi dividerer begge ligningens sider med 0,75: 15 0,75 = 0,75 0,75 Heraf får vi 20 = så er 20 når y er 15 Øvelse 6.5 En type fliser fås i fem størrelser. Bredde og længde er i mm, og pris er i kr.: b: 100 mm b: 120 mm b: 150 mm b: 210 mm b: 280 mm l: 140 mm l: 168 mm l: 210 mm l: 294 mm l: 392 mm 96,50 kr. 127,30 kr. 184,00 kr. 335,20 kr. 575,30 kr. (1) Er længden proportional med bredden? (2) Er prisen proportional med arealet? Øvelse 6.6 Figuren viser en stor og en lille firkant Hvis kan være enhver af siderne i den lille firkant, og y betegner den tilsvarende side i den store firkant, så er og y proportionale. Gør rede for dette, og skriv en ligning der viser sammenhængen mellem og y. Øvelse 6.7 Om to proportionale variable og y er oplyst at når er 12, så er y lig 719,40. (1) Hvad er y når er 19? (2) Hvad er når y er 1858,48? (3) Hvor mange enheder bliver y større når ændres fra 12 til 13? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

19 Øvelse 6.8 De variable og y er proportionale y Hvad skal der stå i de tomme pladser i tabellen? (Husk at skrive hvordan du regner dig frem til tallene). Øvelse 6.9 I et computerspil regner man den samlede gevinst ud ved at lægge den faste gevinst sammen med den variable gevinst. Den faste gevinst er 30. Den variable gevinst er proportional med antallet af krydser, og hvis antallet af krydser er 5, er den variable gevinst 8. (1) Hvad er den variable gevinst når antallet af krydser er 12? (2) Hvad er antallet af krydser når den samlede gevinst er 47,6? Øvelse 6.10 Ved at trække i et punkt på skærmen kan vi ændre et kvadrat og et rektangel. Ligningen y = 2, 5 viser sammenhængen mellem følgende to variable: = trekantens omkreds y = siden i kvadratet (1) Hvad er kvadratets areal når trekantens omkreds er 16? (2) Hvad er trekantens omkreds når kvadratets areal er 400? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

20 Afsnit 7. Omvendt proportionale variable Eksempel 7.1 (Oplæg til 7.2) En bestemt type flise fås i følgende fire udgaver: 576 mm mm mm mm 2 48 mm 36 mm 32 mm 24 mm Vi vil undersøge sammenhængen mellem følgende to variable: = bredde (i mm) y = højde (i mm) I alle tilfælde er arealet y = 576 I denne ligning dividerer vi begge sider med og får: (1) y = 576 Hvis vi vælger en mindre bredde, så får vi en større højde y, så arealet er det samme. For at udregne de fire flisers højder indsætter vi bredderne i (1) og får at højderne er 12 mm, 16 mm, 18 mm og 24 mm. DEFINITION 7.2 Hvad er omvendt proportionale variable? Vi siger at to variable og y er omvendt proportionale hvis der findes et tal k så (1) y = k Rammen oplyser hvad ordene omvendt proportionale betyder. En oplysning om hvad bestemte ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Opgave 7.3: Den tid det tager at stille et skur op, afhænger af hvor mange arbejdere der er: Hvis der er 4 arbejdere, tager det 3 timer. Hvis der er 3 arbejdere, tager det 4 timer. Hvis der er 2 arbejdere, tager det 6 timer. Hvis der er 1 arbejder, tager det 14 timer. Find ud af om tid og antal arbejdere er omvendt proportionale. Ifølge 7.2 skal vi finde ud af om vi i alle tilfælde skal dividere antal arbejdere op i samme tal for et få tiden. Først finder vi det tal vi skal dividere op i når der er 4 arbejdere. Dette tal k opfylder: Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

21 k 3 = 4 I denne ligning ganger vi begge sider med 4: k 3 4 = 4 4 Heraf får vi: 12 = k For de andre tilfælde dividerer vi antal arbejdere op i 12: 12 = = = 12 1 Vi ser at vi i det sidste tilfælde ikke får den korrekte tid ved at dividere antal arbejdere op i 12. Vi skal altså ikke i alle tilfælde dividere antal arbejdere op i samme tal for at få det antal timer arbejdet tager. Dvs.: Tid og antal arbejdere er ikke omvendt proportionale Opgave 7.4: De variable og y er omvendt proportionale y Find ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen. Bestemme k : Da og y er omvendt proportionale, er der et tal k så k (1) y =. Vi starter med at finde ud af hvad k er for et tal. Så kan vi bruge dette tal til at finde de tre tal. I tabellen ser vi at når = 12 er y = 6. Dette indsætter vi i (1): k 6 = 12 Vi ganger begge ligningens sider med 12: k 6 12 = Heraf får vi: 72 = k Der gælder altså: 72 (2) y = Svaret fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

22 Bestemme y : For at finde y når er 36, sætter vi til 36 i (2): 72 y = 36 Heraf får vi y = 2 så y er 2 når er 36 Bestemme : For at finde når y er 9, sætter vi y til 9 i (2): 72 9 = Vi ganger begge ligningens sider med : 72 9 = Vi forkorter nævneren væk: 9 = 72 Vi dividerer begge ligningens sider med 9: 9 72 = 9 9 Heraf får vi = 8 så er 8 når y er 9 På tilsvarende måde får vi: er 24 når y er 3 Øvelse 7.5 En type rør fås i fem længder. Tabellen viser længde og diameter for disse. Længde i mm Diameter i mm ,5 Er længde og diameter omvendt proportionale? Øvelse 7.6 To variable og y er omvendt proportionale. Når = 30 er y = 20. (1) Hvad er y når = 48? (2) Hvad er når y = 50? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

23 Øvelse 7.7 De variable og y er omvendt proportionale y 45 Find ud af hvad der skal stå på de tomme pladser. Øvelse 7.8 Vi har 600 kr. til at købe bær. (1) Hvor meget kan vi købe hvis prisen er 24 kr. pr. kg? (2) Hvor meget kan vi købe hvis prisen er 30 kr. pr. kg? (3) Hvilken udregning skal vi foretage når vi kender prisen pr. kg og vil finde ud af hvor meget vi kan købe? (4) Indfør betegnelser (f og y) for kg-pris og mængde vi kan købe, og skriv svaret på (3) som en ligning. Øvelse 7.9 På en skærm kan vi ændre et rektangel ved at trække i et punkt. Ligningen 12 y = viser sammenhængen mellem følgende variable: = bredde y = højde (1) Hvad er højden når bredden er 2? (2) Hvor meget mindre bliver højden hvis vi ændrer bredden fra 2 til 3? (3) Man kan spørge om højden aftager lige meget hver gang bredden bliver 1 enhed større. Undersøg sagen og giv en nærmere beskrivelse af hvordan det forholder sig. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Matematik på VUC Modul 3a Opgaver. Matematik på VUC. Modul 3a modeller med mere

Matematik på VUC Modul 3a Opgaver. Matematik på VUC. Modul 3a modeller med mere Matematik på VUC Modul a modeller med mere Indholdsfortegnelse Indledende talgymnastik...1 Formler... Reduktion...7 Ligninger...11 Ligninger som løsningsmetode i regneopgaver...17 Simulation... Blandede

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 2stx111-MAT/B-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver

Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver Omvendt proportionalitet og hperbler.gradsfunktioner og parabler Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktioner og lineære funktioner Andre funktioner og blandede

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Afrund til nærmeste hele tal 1. 169 + 231 = 14. 78,9 2. 684 134 = 15. 34,2 3. 7 130 =

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Afrund til nærmeste hele tal 1. 169 + 231 = 14. 78,9 2. 684 134 = 15. 34,2 3. 7 130 = AEU Modul 1 maj 2010 (syge) Navn: CPR: TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Afrund til nærmeste hele tal 1. 169 + 231 = 14. 78,9 2. 684 134 = 15. 34,2 3. 7 130 = 4. 265 : 5 = Løs ligningen 5. 8x = 160 x = 6. 9 + x

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI AEU Modul 2 maj 2010 (syge) Navn: CPR: TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI 1. 1277 + 549 = 2. 4028 26 =. 4 154 = 12. 700 kg = ton 1. 64 dl = l 14. 87,54 m = cm 4. 114 : 6 = Løs ligningen 5. x - 8 = 6 x = 6. 18x =

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

fs10 1 Jordvarme 2 Solenergi 3 Elpærer 4 Vindmøller 5 Papirfoldning Matematik 10.-klasseprøven Maj 2013

fs10 1 Jordvarme 2 Solenergi 3 Elpærer 4 Vindmøller 5 Papirfoldning Matematik 10.-klasseprøven Maj 2013 fs0 0.-klasseprøven Matematik Maj 0 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt Jordvarme Solenergi Elpærer Vindmøller Papirfoldning Jordvarme På familien Petersens grund er et jordstykke, der

Læs mere

Matematik Niveau B Prøveform b

Matematik Niveau B Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Opgavesæt om vindmøller

Opgavesæt om vindmøller Opgavesæt om vindmøller ELMUSEET 2000 Indholdsfortegnelse: Side Forord... 1 Opgaver i udstillingen 1. Poul la Cour... 1 2. Vindmøllens bestrøgne areal... 3 3. Effekt... 4 4. Vindmøller og drivhuseffekt...

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere