Variabel- sammenhænge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Variabel- sammenhænge"

Transkript

1 Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul

2 Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable? Hvordan viser en graf sammenhængen mellem to variable? Hvordan viser en ligning sammenhængen mellem to variable? Sammenhæng mellem graf og ligning Voksende og aftagende sammenhænge Proportionale variable Omvendt proportionale variable Variabelsammenhænge 1. udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus.

3 Afsnit 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable? Eksempel 1.1 En dag målte vi temperaturen flere gange. Tabellen viser sammenhængen mellem følgende to variable: y = antal timer efter midnat y = temperatur en målt i C Opgave 1.2: Hvad er temperaturen kl. 10? (Se eksempel 1.1) I tabellen ser vi: Når er 10, er y lig 12. Dvs. kl. 10 er temperaturen 12 C. Opgave 1.3: Hvornår er temperaturen 14 C? (Se eksempel 1.1) I tabellen ser vi: Når y er 14, er lig 11. Dvs. kl. 11 er temperaturen 14 C. Opgave 1.4: Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 13 til kl. 15? (Se eksempel 1.1) I tabellen ser vi: Når er 13, er y lig 16. Når er 15, er y lig 20. Da = 4, gælder: Fra kl. 13 til kl. 15 stiger temperaturen med 4 C. Øvelse 1.5 I ekempel 1.1 kan man stille spørgsmålet (a) Hvornår er temperaturen 10 C? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 10. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 12 til kl. 15? (5) Hvor mange enheder bliver y større når ændres fra 10 til 13? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

4 Øvelse 1.6 En bestemt vare fås i 8 længder. Tabellen viser sammenhængen mellem følgende to variable: = længde i cm y = pris i kr y (1) Hvad er prisen når længden er 12 cm? (2) Hvis det er oplyst at prisen er over 50 kr., hvad ved vi så om længden? (3) Hvor meget mere skal man betale hvis man i stedet for en vare på 11 cm køber en vare på 14 cm? Øvelse 1.7 Figurerne (a)-(d) viser 4 opgavetyper.? y kendt +? y kendt kendt kendt y? kendt kendt y +? (a) (b) (c) (d) (1) For hver af opgaverne 1.2, 1.3 og 1.4 skal du finde ud af om den er type (a), (b), (c) eller (d). En af de fire typer forekommer ikke blandt opgaverne 1.2, 1.3 og 1.4. (2) Skriv en opgave af den manglende type. Opgaven skal dreje sig om eksempel 1.1. (3) Skriv en besvarelse af den opgave du lavede i spørgsmål (2). Øvelse 1.8 Tabellen viser for nogle dyr sammenhængen mellem følgende to variable: = dyrets længde (målt i cm) y = dyrets vægt (målt i gram) y Du skal skrive to opgaver om dyrets længde og vægt. Opgaverne skal være af typerne (a) og (d) fra øvelse 1.7. Skriv også en besvarelse af hver af de to opgaver. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

5 Afsnit 2. Hvordan viser en graf sammenhængen mellem to variable? Eksempel 2.1 Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: = antal timer efter midnat y = temperatur en målt i C Opgave 2.2: Hvad er temperaturen kl. 4? (Se eksempel 2.1) En punkteret pil viser hvordan vi kan aflæse følgende: Når er 4, er y lig 3. Dvs. kl. 4 er temperaturen 3 C. Opgave 2.3: Hvornår er temperaturen 5 C? (Se eksempel 2.1) En punkteret pil viser hvordan vi kan aflæse følgende: Når y er 5, er lig 7,5, Dvs. kl. 7:30 er temperaturen 5 C. Opgave 2.4: Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 6 til kl. 10? (Se eksempel 2.1) På grafen aflæser vi: Når er 6, er y lig 4. Når er 10, er y lig 7. Da 7 4 = 3, gælder Fra kl. 6 til kl. 10 stiger temperaturen med 3 C. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

6 Øvelse 2.5 (Se eksempel 2.1) I ekempel 2.1 kan man stille spørgsmålet (a) Hvad er temperaturen kl. 11? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 11. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvornår er temperaturen 9 C? (5) Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 1 til kl. 6? Øvelse 2.6 (Se eksempel 2.1) (1) Hvornår er temperaturen 2 C? (2) Hvor lang tid gik der fra temperaturen var 3 C til den var 4 C? (3) Hvor mange enheder bliver større når y vokser fra 2 til 8? Øvelse 2.7 For en bestemt type planter kan vi finde højden når vi kender stænglens omkreds ved jorden. Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: = omkreds (målt i cm) y = højde (målt i cm) Man kan stille spørgsmålet (a) Hvis en af planterne har omkredsen 2,6 cm, hvor høj er planten så? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 2,6. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) En af planterne har omkredsen 0,5 cm, og en anden af planterne har omkredsen 1 cm. Hvor mange cm er den store højere end den lille? (5) Man kan spørge om højden vokser lige meget hver gang omkredsen bliver 0,5 cm større. Undersøg sagen og giv en nærmere beskrivelse af hvordan det forholder sig. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

7 Øvelse 2.8 (Se eksempel 2.1) (1) Hvilken af opgaverne 2.2 og 2.3 er af typen (c) fra øvelse 1.7? (2) Er opgave 2.4 af typen (b) eller typen (d)? (3) I opgave 2.4 løses først to delopgaver der er af samme type. Er det type (a) eller (c)? Afsnit 3. Hvordan viser en ligning sammenhængen mellem to variable. Eksempel 3.1 For nogle skiver er der en bestemt sammenhæng mellem deres vægt og deres diameter. Ligningen (1) y = viser sammenhængen mellem følgende to variable: = vægten (målt i g) (2) y = diameteren (målt i cm) Opgave 3.2: Hvad er diameteren når vægten er 2,25 g? (Se eksempel 3.1) Ved hjælp af (2) kan dette spørgsmål oversættes til: Hvad er y når er 2,25? Vi indsætter 2,25 for i ligningen (1): y = 2,25 Vi udregner kvadratroden på lommeregner: y = 1,5 Dvs. diameteren er 1,5 cm når vægten er 2,25 g. Opgave 3.3: Hvad er vægten når diameteren er 0,2 cm? (Se eksempel 3.1) Ved hjælp af (2) kan dette spørgsmål oversættes til Hvad er når y er 0,2? Vi indsætter 0,2 for y i ligningen (1): 0,2 = Når vi opløfter begge denne lignings sider til anden, får vi ligningen 0,04 = Dvs. vægten er 0,04 g når diameteren er 0,2 cm. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

8 Opgave 3.4: En lille skive vejer 4,84 g, og en stor skive vejer 7,29 g. Hvor stor er forskellen på de to skivers diametre? (Se eksempel 3.1) De to skivers diametre y udregnes ved hjælp af ligningen (1): Når er 4,84, er y = 4, 84, dvs. y = 2, 2. Når er 7,29, er y = 7, 29, dvs. y = 2, 7. Da 2,7 2,2 = 0, 5, gælder: Forskellen på de to skivers diametre er 0,5 cm. Øvelse 3.5 I eksempel 3.1 kan man stille spørgsmålet (a) Hvis vægten er 4 g, hvor stor er så skivens diameter? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 4. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvis diameteren er 3 cm, hvad er så skivens vægt? (5) En gul skive vejer 1,69 g, og en rød skive vejer 3,24 g. Hvor meget er den rødes diameter større end den gules? Øvelse 3.6 (1) I 1.7 er omtalt fire opgavetyper (a), (b), (c) og (d). For hver af opgaverne 3.2, 3.3 og 3.4 skal du finde ud af om den er type (a), (b), (c) eller (d). En af de fire typer forekommer ikke blandt opgaverne 3.2, 3.3 og 3.4. (2) Skriv en opgave af den manglende type. Opgaven skal dreje sig om eksempel 3.1. (3) Skriv en besvarelse af den opgave du lavede i spørgsmål (2). Øvelse 3.7 For nogle varer betaler vi en pris plus en afgift. Ligningen y = 4 viser sammenhængen mellem følgende to variable: = pris i kr. y = afgift i kr. (1) Hvad er afgiften når prisen er 10 kr.? (2) Hvad er når y er 5? (3) Hvor meget er prisen steget når afgiften er steget fra 5 kr. til 7 kr.? (4) Hvor mange enheder bliver y større når ændres fra 12 til 20? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

9 Eksempel 3.8 For nogle plader er der følgende sammenhæng mellem højde (i mm) og bredde (i mm): (3a) Højden er det tal vi får når vi tager kvadratroden af bredden og lægger 2 til resultatet. Opgave 3.9: Skriv (3a) som en ligning. (Se eksempel 3.8) Vi indfører betegnelserne = bredde (i mm) y = højde (i mm) Så kan (3a) skrives sådan: y får vi ved at tage kvadratroden af og lægge 2 til resultatet Med symboler kan (3a) altså skrives sådan: (3b) y = + 2. Advarsel: En ligning som (3b) giver ingen oplysning om pladerne hvis vi glemmer at skrive hvad og y står for (bredde og højde). Opgave 3.10: En plade A har højden 5. Hvis vi kendte bredden og tog kvadratroden af og lagde 2 til, hvilket tal ville vi så få? (Se eksempel 3.8) Ifølge (3a) ville vi få A's højde y som er 5. Opgave 3.11: Hvis er 4, vil y så være 5? (Se eksempel 3.8) Hvis er 4 vil y = dvs. y = 4. Svaret er altså: Nej, y er ikke 5 når er 4. Opgave 3.12: Skriv en ligning med der udtrykker at vi får 5 hvis vi tager kvadratroden af og lægger 2 til. 5 = + 2 Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

10 Opgave 3.13: Løs ligningen 5 = + 2 og skriv hvad løsningen fortæller om de omtalte plader. (Se eksempel 3.8) Vi trækker 2 fra begge ligningens sider: 3 =. Vi opløfter begge sider til anden: 9 =. Ligningens løsning er 9. At løsningen er 9 fortæller at en plade med højde 5 mm har bredden 9 mm. Øvelse 3.14 For nogle skiver er der følgende sammenhæng mellem tykkelse (i mm) og diameter (i mm): (a) Tykkelsen er det tal vi får når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet. (1) Skriv oplysningen (a) som en ligning hvor står for diameteren, og y står for tykkelsen. (2) En skive har tykkelsen 3,4 mm. Vi måler dens diameter. Hvilket resultat får vi når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet.? (3) Hvis diameteren er 5 mm, er tykkelsen så 1,5 mm? (4) Om en skive oplyses: (b) Vi får 4,2 når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet. Skriv denne oplysning som en ligning hvor står for diameteren. (5) Løs ligningen fra spørgsmål (4), og skriv hvad løsningen fortæller om skiverne. Øvelse 3.15 I et computerspil indgår to tal der kaldes gevinst og tid (begge uden enhed). Der gælder: (a) Gevinsten er det tal vi får når vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100. (1) Skriv oplysningen (a) som en ligning, og husk at det er nødvendigt at du skriver hvilket bogstav der står for tiden, og hvilket bogstav der står for gevinsten. Du kan godt vælge andre bogstaver end og y. (2) På et tidspunkt er gevinsten 56,8. Hvilket tal får vi hvis vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100? (3) Hvis tiden er 5,5, er gevinsten så 66? (4) Vi får oplyst følgende: (b) Vi får 42,4 når vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100. Skriv denne oplysning som en ligning hvori et bogstav står for tiden. (5) Løs ligningen fra spørgsmål (4) og skriv hvad løsningen fortæller om computerspillet. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

11 Afsnit 4. Sammenhæng mellem graf og ligning Eksempel 4.1 Ligningen (1) y =. viser sammenhængen mellem to variable og y. Sådan kan vi tegne grafen: Først udregner vi støttepunkter: Vi får et grafpunkts y-koordinat ved at sætte punktets -koordinat ind i (1): = 0 : y = 0 = 0 = 0,2 : y = 0,2 = 0, 45 = 1 : y = 1 = 1 osv. 0 0, y 0 0,45 1 1,41 2 2,45 Så afsætter vi støttepunkter i koordinatsystemet: På figuren har vi afsat punkterne fra tabellen. Vi har vist hvordan vi har fundet ud af hvor P (2, 1,41) skal afsættes. Derefter tegner vi grafen: Det ser ud til at der er nok punkter til at vi kan gætte grafens forløb. Derfor tegner vi en blød kurve gennem punkterne. P 1,41 P Øvelse Tegn et koordinatsystem hvor -aksen går fra 3 til 3, og y-aksen går fra 0 til 5. (1) Brug metoden fra eksempel 4.1 til at tegne grafen for sammenhængen y = 2. (2) Find ud af om punktet P ( 0,5, 0,65) ligger over, under eller på grafen. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

12 Opgave 4.3: Find ud af om punktet P (4, 3) ligger over, under eller på grafen for sammenhængen 8 (2) y =. Når vi skal tegne grafen, indsætter vi -koordinaten i ligningen (2) og udregner y-koordinaten: 8 Når = 4 er y = = 2. 4 Altså ligger punktet Q (4, 2) på grafen, så vi ser at P ligger over grafen P Q Opgave 4.4: Ligger punktet Q (16, 5) på grafen for sammenhængen (1)? (Se eksempel 4.1) Når vi skal tegne grafen, indsætter vi -koordinaten i ligningen (1) og udregner y- koordinaten: Når = 16 er y = 16 = 4. Altså ligger punktet R (16, 4) på grafen, så vi ser at Q ligger ikke på grafen for (1). Opgave 4.5: På grafen for sammenhængen (1) ligger et punkt H som har y-koordinat 6. Hvilket tal giver højresiden i (1) hvis erstattes med H 's -koordinat? (Se eksempel 4.1) Resultatet vil være y-koordinaten for grafpunktet, dvs. 6. Opgave 4.6: Løs ligningen 5 = og skriv hvad løsningen fortæller om grafen fra 4.1. Vi opløfter begge ligningens sider til anden og får 25 =. Løsningen er altså 25. Dette fortæller at grafpunktet med y -koordinat 5 har -koordinat 25. Øvelse 4.7 Ligningen y = viser sammenhængen mellem to variable og y (1) Beregn hvad y er når er 3, og skriv hvad resultatet fortæller om grafen. (2) Beregn hvad er når y er 40, og skriv hvad resultatet fortæller om grafen. (3) Ligger punktet P (3, 20) på grafen? (4) Ligger punktet Q (4, 5) på grafen? (5) Ligger punktet P (3, 20) under grafen? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

13 Øvelse 4.8 I denne opgave står u og v for to bestemte tal. Du skal besvare spørgsmålene uden først at finde ud af hvad u og v er for tal. Spørgsmålene kan besvares ved at se på grafen. Ligningen y = v + u viser sammenhængen mellem to variable og y. Figuren viser grafen for denne sammenhæng. (1) Hvis du kendte u og v og udregnede v + 3 u, ville resultatet så være større end 2? (2) Hvis du kendte u og v og udregnede v + 3 u og v + 5 u, hvilket af de to resultater ville så være størst? (3) Hvis du kendte u og v og løste ligningen 2 = v + u, ville du så få et resultat der var større end 1? (4) Findes der et tal t mindre end 6 så 1 = v + t u? Øvelse 4.9 I denne opgave står m og k for to bestemte tal. Du skal besvare spørgsmålene uden først at finde ud af hvad m og k er for tal. Spørgsmålene kan besvares ved at se på grafen. Ligningen k y = m viser sammenhængen mellemm to variable og y. Figuren viser grafen for denne sammenhæng. k 3 (1) Hvis du kendte m og k og udregnede, ville resultatet så være større end 2? m (2) Hvis du kendte m og k og udregnede størst? (3) Bestem et tal t så 1,5 =. m t k k 3 m og k 4, hvilket af de to resultater ville så være m Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

14 Afsnit 5. Voksende og aftagende sammenhænge Opgave 5.1: Vi tænder et stearinlys. = lysets højde (i cm) (1) y = den tid (i minutter) lyset har været tændt Hvilken af påstandene (2) og (3) nedenfor er korrekt? (2) Jo større er, jo mindre er y. (3) Jo større er, jo større er y. Oplysningerne fra (1) indsætter vi i (2) og (3) og får: (2a) Jo større lysets højde er, jo mindre er den tid det har været tændt. (3a) Jo større lysets højde er, jo større er den tid det har været tændt. Vi ser at det er (2a) der stemmer med vores hidtidige erfaringer, så svaret på opgaven er Det er (2) der er korrekt. Opgave 5.2: Vi sætter en robot til at grave en grøft. = grøftens længde (i cm) (4) y = den tid (i minutter) robotten har gravet Hvilken af påstandene (5) og (6) nedenfor er korrekt? (5) Jo større er, jo mindre er y. (6) Jo større er, jo større er y. Oplysningerne fra (4) indsætter vi i (5) og (6) og får: (5a) Jo større grøftens længde er, jo mindre er den tid robotten har gravet. (6a) Jo større grøftens længde er, jo større er den tid robotten har gravet. Vi ser at det er (6a) der er korrekt, så svaret på opgaven er Det er (6) der er korrekt. DEFINITION 5.3 Hvornår er en sammenhæng aftagende, og hvornår voksende? En sammenhæng mellem to variable og y kalder vi aftagende hvis der gælder Jo større er, jo mindre er y, og voksende hvis der gælder Jo større er, jo større er y. Bemærkning Rammen ovenfor oplyser hvilke sammenhænge man kalder aftagende, og hvilke man kalder voksende. En oplysning om hvad bestemte ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

15 Opgave 5.4: Figuren viser grafen for en sammenhæng mellem to variable og y. Er denne sammenhæng aftagende, voksende eller ingen af delene? Vi ser at hvis vi trækker punktet P langs kurven sådan at dets -koordinat bliver større og større, så vil dets y-koordinat blive mindre og mindre. Der gælder altså at jo større er, jo mindre er y, så af definition 5.3 får vi: Det er en aftagende sammenhæng. P Øvelse 5.5 Hver dag fra 1. til 24. december får Bo én kalendergave. = antal dage der er tilbage til jul y = antal kalendergaver som Bo har fået (1) Gælder at jo større er, jo større er y? (2) Gælder at jo større er, jo mindre er y? (3) Er sammenhængen voksende? (4) Er sammenhængen aftagende? Øvelse 5.6 Vi lægger nogle frø i et fuglehus. = antal minutter til frøene er spist y = antal frø der er tilbage (1) Brug 5.3 til at finde ud af om sammenhængen mellem og y er voksende. (2) Brug 5.3 til at finde ud af om sammenhængen mellem og y er aftagende. Øvelse 5.7 Ligningen y = viser sammenhængen mellem de to variable og y. Brug 5.3 til at finde ud af om sammenhængen mellem og y er voksende, aftagende eller ingen af delene. Øvelse 5.8 Vi trækker et punkt langs grafen. punktets -koordinat = y = punktets y-koordinat (1) Gælder at jo større er, jo større er y? (2) Er sammenhængen mellem og y voksende? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

16 Afsnit 6. Proportionale variable Eksempel 6.1 (Oplæg til 6.2) I dette eksempel måler vi ved hjælp af følgende enhed: 1 Til højre er vist en lille og en stor udgave af samme figur. På begge figurer måler vi rektanglets højde og får 2 og 3. På begge figurer måler vi trekantens vandrette side og får 0,8 og 1,2. I begge tilfælde er længden på den store figur 1,5 gange længden på den lille figur: 3 = 1,5 2 1,2 = 1,5 0,8 Når er en længde på den lille figur og y er den tilsvarende længde på den store figur, gælder: y = 1, 5 DEFINITION 6.2 Hvad er proportionale variable? Vi siger at to variable og y er proportionale hvis der findes et tal k så (1) y = k Rammen oplyser hvad ordet proportionale betyder. En oplysning om hvad et bestemt ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Opgave 6.3: En vare fås i pakker af forskellig størrelse. Figuren viser priserne. 1 kg 2 kg 5 kg 12 kg 30 kr. 60 kr. 150 kr. 360 kr. Undersøg om prisen er proportional med mængden, og skriv en ligning der viser sammenhængen mellem pris og mængde. Spørgsmålet er: Er pris og mængde proportionale? Det vi skal undersøge er altså: Skal vi gange mængderne med samme tal for at få priserne? For den lille pakke ses at vi skal gange mængden med 30 for at få prisen: 1 30 = 30 Vi ganger de andre mængder med 30: Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

17 2 30 = 5 30 = = Heraf ser vi: Vi skal gange mængderne med samme tal for at få priserne. Dette er det samme som at sige: Pris og mængde er proportionale At vi i alle tilfælde får prisen ved at gange vægten med 30, kan skrives sådan: y = 30 når står for antal kg, og y står for antal kr. Advarsel: Hvis vi havde glemt at skrive hvad og y står for, så ville ligningen ikke fortælle noget om sammenhængen mellem pris og mængde. Opgave 6.4: Om to variable og y er oplyst følgende: og y er proportionale. Desuden er oplyst følgende sammenhørende værdier af og y: y Hvad er y når er 10? Hvad er når y er 15? Bestemme k : Da og y er proportionale, er der et tal k så (1) y = k. Vi starter med at finde ud af hvad k er for et tal. Så kan vi bruge dette tal til at besvare de to spørgsmål. I tabellen ser vi at når = 24 er y = 18. Dette indsætter vi i (1): 18 = 24 k Vi dividerer begge ligningens sider med 24: = k Heraf får vi: 0,75 = k Der gælder altså: (2) y = 0, 75 Svaret fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

18 Bestemme y : For at finde y når er 10, sætter vi til 10 i (2): y = 0,75 10 Heraf får vi y = 7, 5 så y er 7,5 når er 10 Bestemme : For at finde når y er 15, sætter vi y til 15 i (2): 15 = 0, 75 Vi dividerer begge ligningens sider med 0,75: 15 0,75 = 0,75 0,75 Heraf får vi 20 = så er 20 når y er 15 Øvelse 6.5 En type fliser fås i fem størrelser. Bredde og længde er i mm, og pris er i kr.: b: 100 mm b: 120 mm b: 150 mm b: 210 mm b: 280 mm l: 140 mm l: 168 mm l: 210 mm l: 294 mm l: 392 mm 96,50 kr. 127,30 kr. 184,00 kr. 335,20 kr. 575,30 kr. (1) Er længden proportional med bredden? (2) Er prisen proportional med arealet? Øvelse 6.6 Figuren viser en stor og en lille firkant Hvis kan være enhver af siderne i den lille firkant, og y betegner den tilsvarende side i den store firkant, så er og y proportionale. Gør rede for dette, og skriv en ligning der viser sammenhængen mellem og y. Øvelse 6.7 Om to proportionale variable og y er oplyst at når er 12, så er y lig 719,40. (1) Hvad er y når er 19? (2) Hvad er når y er 1858,48? (3) Hvor mange enheder bliver y større når ændres fra 12 til 13? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

19 Øvelse 6.8 De variable og y er proportionale y Hvad skal der stå i de tomme pladser i tabellen? (Husk at skrive hvordan du regner dig frem til tallene). Øvelse 6.9 I et computerspil regner man den samlede gevinst ud ved at lægge den faste gevinst sammen med den variable gevinst. Den faste gevinst er 30. Den variable gevinst er proportional med antallet af krydser, og hvis antallet af krydser er 5, er den variable gevinst 8. (1) Hvad er den variable gevinst når antallet af krydser er 12? (2) Hvad er antallet af krydser når den samlede gevinst er 47,6? Øvelse 6.10 Ved at trække i et punkt på skærmen kan vi ændre et kvadrat og et rektangel. Ligningen y = 2, 5 viser sammenhængen mellem følgende to variable: = trekantens omkreds y = siden i kvadratet (1) Hvad er kvadratets areal når trekantens omkreds er 16? (2) Hvad er trekantens omkreds når kvadratets areal er 400? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

20 Afsnit 7. Omvendt proportionale variable Eksempel 7.1 (Oplæg til 7.2) En bestemt type flise fås i følgende fire udgaver: 576 mm mm mm mm 2 48 mm 36 mm 32 mm 24 mm Vi vil undersøge sammenhængen mellem følgende to variable: = bredde (i mm) y = højde (i mm) I alle tilfælde er arealet y = 576 I denne ligning dividerer vi begge sider med og får: (1) y = 576 Hvis vi vælger en mindre bredde, så får vi en større højde y, så arealet er det samme. For at udregne de fire flisers højder indsætter vi bredderne i (1) og får at højderne er 12 mm, 16 mm, 18 mm og 24 mm. DEFINITION 7.2 Hvad er omvendt proportionale variable? Vi siger at to variable og y er omvendt proportionale hvis der findes et tal k så (1) y = k Rammen oplyser hvad ordene omvendt proportionale betyder. En oplysning om hvad bestemte ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Opgave 7.3: Den tid det tager at stille et skur op, afhænger af hvor mange arbejdere der er: Hvis der er 4 arbejdere, tager det 3 timer. Hvis der er 3 arbejdere, tager det 4 timer. Hvis der er 2 arbejdere, tager det 6 timer. Hvis der er 1 arbejder, tager det 14 timer. Find ud af om tid og antal arbejdere er omvendt proportionale. Ifølge 7.2 skal vi finde ud af om vi i alle tilfælde skal dividere antal arbejdere op i samme tal for et få tiden. Først finder vi det tal vi skal dividere op i når der er 4 arbejdere. Dette tal k opfylder: Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

21 k 3 = 4 I denne ligning ganger vi begge sider med 4: k 3 4 = 4 4 Heraf får vi: 12 = k For de andre tilfælde dividerer vi antal arbejdere op i 12: 12 = = = 12 1 Vi ser at vi i det sidste tilfælde ikke får den korrekte tid ved at dividere antal arbejdere op i 12. Vi skal altså ikke i alle tilfælde dividere antal arbejdere op i samme tal for at få det antal timer arbejdet tager. Dvs.: Tid og antal arbejdere er ikke omvendt proportionale Opgave 7.4: De variable og y er omvendt proportionale y Find ud af hvad der skal stå på de tomme pladser i tabellen. Bestemme k : Da og y er omvendt proportionale, er der et tal k så k (1) y =. Vi starter med at finde ud af hvad k er for et tal. Så kan vi bruge dette tal til at finde de tre tal. I tabellen ser vi at når = 12 er y = 6. Dette indsætter vi i (1): k 6 = 12 Vi ganger begge ligningens sider med 12: k 6 12 = Heraf får vi: 72 = k Der gælder altså: 72 (2) y = Svaret fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

22 Bestemme y : For at finde y når er 36, sætter vi til 36 i (2): 72 y = 36 Heraf får vi y = 2 så y er 2 når er 36 Bestemme : For at finde når y er 9, sætter vi y til 9 i (2): 72 9 = Vi ganger begge ligningens sider med : 72 9 = Vi forkorter nævneren væk: 9 = 72 Vi dividerer begge ligningens sider med 9: 9 72 = 9 9 Heraf får vi = 8 så er 8 når y er 9 På tilsvarende måde får vi: er 24 når y er 3 Øvelse 7.5 En type rør fås i fem længder. Tabellen viser længde og diameter for disse. Længde i mm Diameter i mm ,5 Er længde og diameter omvendt proportionale? Øvelse 7.6 To variable og y er omvendt proportionale. Når = 30 er y = 20. (1) Hvad er y når = 48? (2) Hvad er når y = 50? Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

23 Øvelse 7.7 De variable og y er omvendt proportionale y 45 Find ud af hvad der skal stå på de tomme pladser. Øvelse 7.8 Vi har 600 kr. til at købe bær. (1) Hvor meget kan vi købe hvis prisen er 24 kr. pr. kg? (2) Hvor meget kan vi købe hvis prisen er 30 kr. pr. kg? (3) Hvilken udregning skal vi foretage når vi kender prisen pr. kg og vil finde ud af hvor meget vi kan købe? (4) Indfør betegnelser (f og y) for kg-pris og mængde vi kan købe, og skriv svaret på (3) som en ligning. Øvelse 7.9 På en skærm kan vi ændre et rektangel ved at trække i et punkt. Ligningen 12 y = viser sammenhængen mellem følgende variable: = bredde y = højde (1) Hvad er højden når bredden er 2? (2) Hvor meget mindre bliver højden hvis vi ændrer bredden fra 2 til 3? (3) Man kan spørge om højden aftager lige meget hver gang bredden bliver 1 enhed større. Undersøg sagen og giv en nærmere beskrivelse af hvordan det forholder sig. Variabelsammenhænge Side Karsten Juul

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf f f ( ),8 013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf 1 Funktion, forskrift, definitionsmångde 1 Find forskrift 3 StÇrste og mindste

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Matematik på VUC Modul 3a Opgaver. Matematik på VUC. Modul 3a modeller med mere

Matematik på VUC Modul 3a Opgaver. Matematik på VUC. Modul 3a modeller med mere Matematik på VUC Modul a modeller med mere Indholdsfortegnelse Indledende talgymnastik...1 Formler... Reduktion...7 Ligninger...11 Ligninger som løsningsmetode i regneopgaver...17 Simulation... Blandede

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Eksamen HFC 4. juni 2012

Eksamen HFC 4. juni 2012 Sponsoreret til af en dygtig elev Eksamen HFC 4. juni 2012 Opgave 1) Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat. Der blev indsat 50.000 kroner på kontoen. b) Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

fsa 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole 5 Sammenhænge i kvadrater Matematisk problemløsning

fsa 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole 5 Sammenhænge i kvadrater Matematisk problemløsning fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 For lidt eller for meget søvn? 2 Til sundhedsplejerske 3 Erobre flaget 4 På efterskole

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx122-mat/b-15082012 Onsdag den 15. august 2012 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU. Fredag den 29. august 2008. Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU. Fredag den 29. august 2008. Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK C-NIVEAU Fredag den 29. august 2008 Kl. 09.00 12.00 2HF082-MAC Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår med lige

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 2stx111-MAT/B-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere