Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak
|
|
- Kurt Brandt
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet kim/georgmohr2008.pdf Google Pagerank p. 1/22
2 Internettet - informationsalderen Moderne teknologis største vidunder: Kommunikation, globalisering, information, demokrati?... Google Pagerank p. 2/22
3 Internettet - informationsalderen Moderne teknologis største vidunder: Kommunikation, globalisering, information, demokrati?... Historie: 1957: USSR sender Sputnik i kredsløb om jorden US DoD etablerer Advanced Research Projects Agency ( 58) 1969: ARPANET. Første netværk med packet switching (modsætning til circuit switching). 1988: Internettet åbnes for kommercielle interesser 1991: World Wide Web lanceres 2008: www har 1.1 mia. brugere og 20 mia. hjemmesider Google Pagerank p. 2/22
4 Internettet - informationsalderen Moderne teknologis største vidunder: Kommunikation, globalisering, information, demokrati?... Historie: 1957: USSR sender Sputnik i kredsløb om jorden US DoD etablerer Advanced Research Projects Agency ( 58) 1969: ARPANET. Første netværk med packet switching (modsætning til circuit switching). 1988: Internettet åbnes for kommercielle interesser 1991: World Wide Web lanceres 2008: www har 1.1 mia. brugere og 20 mia. hjemmesider Internettet indeholder alverdens viden og information(?). Informationsøgning: Hvordan finder man en nål i en høstak? Søgemaskiner: yahoo!, msn, google... Google Pagerank p. 2/22
5 Udsnit af internettet (0.0001%) Google Pagerank p. 3/22
6 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Google Pagerank p. 4/22
7 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Google Pagerank p. 4/22
8 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Google Pagerank p. 4/22
9 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Andre web-baserede applikationer: Google earth, gmail, google groups, google video, google Picasa, Froogle... Google Pagerank p. 4/22
10 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Andre web-baserede applikationer: Google earth, gmail, google groups, google video, google Picasa, Froogle... Pengene tjenes idag primært på reklamer ifm. søgemaskinen, gmail mm. I fremtiden? Google Pagerank p. 4/22
11 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Andre web-baserede applikationer: Google earth, gmail, google groups, google video, google Picasa, Froogle... Pengene tjenes idag primært på reklamer ifm. søgemaskinen, gmail mm. I fremtiden? Hvorfor navnet google? Googol = Google Pagerank p. 4/22
12 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Google Pagerank p. 5/22
13 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Er der penge i det? Larry Page og Sergey Brin er begge nr. 26 på Forbes liste over verdens rigeste. Er begge gode for 16.6 mia. USD. Google Pagerank p. 5/22
14 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Er der penge i det? Larry Page og Sergey Brin er begge nr. 26 på Forbes liste over verdens rigeste. Er begge gode for 16.6 mia. USD. Google inc. tjente i 4. kvartal 2007 ca. 6 mia. $ (skuffende resultat...) Google Pagerank p. 5/22
15 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Er der penge i det? Larry Page og Sergey Brin er begge nr. 26 på Forbes liste over verdens rigeste. Er begge gode for 16.6 mia. USD. Google inc. tjente i 4. kvartal 2007 ca. 6 mia. $ (skuffende resultat...) Microsoft bød fornylig 225 mia. kr. for yahoo Google Pagerank p. 5/22
16 Princippet i googles søgemaskine 1. WWW kravles igennem af en web-crawler (web-spider). For enhver side som nås gemmes bl.a. sidens adresse, sidens tekst og sidens links (referencer til andre hjemmesider). Data gemmes i gigantisk database (antal sider n ) 2. Enhver side tildeles et tal (1-10), sidens PageRank, som angiver sidens vigtighed 3. Ved en forespørgsel på google.com findes i databasen de sider, som indeholder søgeordene, og siderne præsenters for forespørgeren i en rækkefølge afhængig af (blandt andet) PageRank Google Pagerank p. 6/22
17 Princippet i googles søgemaskine 1. WWW kravles igennem af en web-crawler (web-spider). For enhver side som nås gemmes bl.a. sidens adresse, sidens tekst og sidens links (referencer til andre hjemmesider). Data gemmes i gigantisk database (antal sider n ) 2. Enhver side tildeles et tal (1-10), sidens PageRank, som angiver sidens vigtighed 3. Ved en forespørgsel på google.com findes i databasen de sider, som indeholder søgeordene, og siderne præsenters for forespørgeren i en rækkefølge afhængig af (blandt andet) PageRank Nøglen bag succesen er Googles (patenterede) PageRank algoritme. En algoritme der baserer sig på matematik Google Pagerank p. 6/22
18 Matematisk model for WWW WWW modelleres ved en orienteret (multi-)graf: Enhver hjemmeside repræsenteres ved et punkt i grafen. Hvis der er et link fra siden P i til siden P j så repræsenteres det ved en orienteret kant fra punktet hørende til P i til punktet hørende til P j. Google Pagerank p. 7/22
19 Matematisk model for WWW WWW modelleres ved en orienteret (multi-)graf: Enhver hjemmeside repræsenteres ved et punkt i grafen. Hvis der er et link fra siden P i til siden P j så repræsenteres det ved en orienteret kant fra punktet hørende til P i til punktet hørende til P j. Eksempel på mini-www: P 1 P 3 P 2 P 4 Hvilken side i netværket er den vigtigste? Google Pagerank p. 7/22
20 Tre basale principper PageRank bygger på tre demokratiske principper: 1. Ethvert link tæller som en stemme. En sides vigtighed afhænger af, hvormange andre sider, der stemmer på den 2. Jo større vigtighed en side har, jo større vægt tildeles et udgående link fra siden 3. Jo færre links (=stemmer), der går ud fra en side, jo større vægt tildeles hvert link Google Pagerank p. 8/22
21 Tre basale principper PageRank bygger på tre demokratiske principper: 1. Ethvert link tæller som en stemme. En sides vigtighed afhænger af, hvormange andre sider, der stemmer på den 2. Jo større vigtighed en side har, jo større vægt tildeles et udgående link fra siden 3. Jo færre links (=stemmer), der går ud fra en side, jo større vægt tildeles hvert link Hvis x i angiver vigtigheden af side P i : P 1 P 3 x 1 = x 3 /1 + x 4 /2 x 2 = x 1 /3 x 3 = x 1 /3 + x 2 /2 + x 4 /2 P 2 P 4 x 4 = x 1 /3 + x 2 /2 Google Pagerank p. 8/22
22 Lineære ligningssystemer Reduktion x 1 = x 3 + x 4 2 x 2 = x 1 3 x 3 = x x x 4 2 x 4 = x x = x 1 + x 3 + x = x 1 3 x 2 0 = x x 2 2 x 3 + x = x x 2 2 x 4 Det er et kvadratisk, homogent lineært ligningssystem. Sådanne ligningssystemer kan have enten én (i givet fald (0, 0, 0, 0)) eller uendeligt mange løsninger. Google Pagerank p. 9/22
23 PageRank løsningen Vores ligningssystem har uendeligt mange løsninger på formen (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = t(12, 4, 9, 6), t. Normalisering: Vi vælger den positive løsning, som giver samlet PageRank en: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 1 (12, 4, 9, 6) 31 PageRank løsningen er altså (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 1 (12, 4, 9, 6) 31 Google Pagerank p. 10/22
24 Lineær algebra Hvis vi introducerer link-matricen /2 1/ A = 1/3 1/2 0 1/2 1/3 1/2 0 0 så er det opskrevne ligningssystem ækvivalent med Ax = x, x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ]. Google Pagerank p. 11/22
25 Lineær algebra Hvis vi introducerer link-matricen /2 1/ A = 1/3 1/2 0 1/2 1/3 1/2 0 0 så er det opskrevne ligningssystem ækvivalent med Ax = x, x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ]. Den beskrevne problemstilling kan behandles med redskaber fra den del af matematikken, der hedder lineær algebra. Lineær algebra bruges overalt! Mobiltelefon, ipod, computerspil, beregning af vejrudsigt, MP3-afspiller, digitalkamera... Google Pagerank p. 11/22
26 Opgave Betragt netværket P 1 P 3 P 2 P 4 Opskriv de fire ligninger med fire ubekendte (x1,x 2,x 3,x 4 ), som kan bruges til at bestemme PageRank for netværket. Løs de fire ligninger og find den normaliserede PageRank løsning Google Pagerank p. 12/22
27 Problem 1: Hængende sider Netværket P 1 P 3 P 2 giver anledning til ligningerne Google Pagerank p. 13/22
28 Problem 1: Hængende sider Netværket P 1 P 3 P 2 giver anledning til ligningerne x 1 = x 2 x 2 = x 1 2 x 3 = x 1 2 Kan vi finde en normaliseret løsning? Google Pagerank p. 13/22
29 Ny stokstisk model: En tilfældig surfer En www-surfer bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en side P med N udgående links vil han med lige fordelt sandsynlighed (1/N) vælge mellem de udgående links PageRank løsningen x = (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kan fortolkes som en sandsynlighedsfordeling, hvor x i angiver sandsynligheden for, at surferen til et vilkårligt tidspunkt (efter lang tid) befinder sig på siden P i. Google Pagerank p. 14/22
30 Ny stokstisk model: En tilfældig surfer En www-surfer bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en side P med N udgående links vil han med lige fordelt sandsynlighed (1/N) vælge mellem de udgående links PageRank løsningen x = (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kan fortolkes som en sandsynlighedsfordeling, hvor x i angiver sandsynligheden for, at surferen til et vilkårligt tidspunkt (efter lang tid) befinder sig på siden P i. Problem: Hængende sider, sider som ikke indeholder links. Google Pagerank p. 14/22
31 Ny stokstisk model: En tilfældig surfer En www-surfer bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en side P med N udgående links vil han med lige fordelt sandsynlighed (1/N) vælge mellem de udgående links PageRank løsningen x = (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kan fortolkes som en sandsynlighedsfordeling, hvor x i angiver sandsynligheden for, at surferen til et vilkårligt tidspunkt (efter lang tid) befinder sig på siden P i. Problem: Hængende sider, sider som ikke indeholder links. Løsning (googles): Fra enhver side uden udgående links indsættes virtuelle links til enhver anden side i netværket. Google Pagerank p. 14/22
32 Løsning: Hængende sider For netværket P 1 P 3 indsætter vi virtuelle links fra P 3 til P 1 og P 2. P 2 Google Pagerank p. 15/22
33 Løsning: Hængende sider For netværket P 1 P 3 P 2 indsætter vi virtuelle links fra P 3 til P 1 og P 2. Det giver os x 1 = x 2 + x 3 2 x 2 = x x 3 2 x 3 = x 1 2 Den normaliserede løsning (x 1,x 2,x 3 ) = 1 9 (4, 3, 2) Google Pagerank p. 15/22
34 Problem 2: Usammenhængende netværk Betragt netværket P 1 P 3 P 2 P 4 Hvilke ligninger giver netværket anledning til? Findes der en entydig normaliseret løsning? Google Pagerank p. 16/22
35 Løsning: Usammenhængende netværk En yderligere modifikation: Når vores www-surfer står på side P, så giver vi ham to muligheder: 1. Med sandsynlighed α vil han som tidligere følge et udgående link fra P 2. Med sandsynlighed (1 α) vil han springe til en vilkårlig side i netværket Google Pagerank p. 17/22
36 Løsning: Usammenhængende netværk En yderligere modifikation: Når vores www-surfer står på side P, så giver vi ham to muligheder: 1. Med sandsynlighed α vil han som tidligere følge et udgående link fra P 2. Med sandsynlighed (1 α) vil han springe til en vilkårlig side i netværket Det svarer til at der i ligningen for ethvert x j på højresiden ganges med α og leddet tilføjes højresiden. + 1 α n (x 1 + x x n ) Samlet set giver det PageRank ligningerne for netværket. I googles PageRank er α 0.85 Google Pagerank p. 17/22
37 Google-ligningerne for eksemplet For netværket P 1 P 3 P 2 P 4 får vi x 1 = αx 2 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 x 2 = αx 1 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 x 3 = αx 4 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 x 4 = αx 3 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 Ikke overraskende er den normaliserede løsning x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1 4 Google Pagerank p. 18/22
38 Går det altid godt? Hundred år gammel matematik giver et klart svar på spørgsmålet om eksistens og entydighed af en PageRank løsning: Sætning: (Perron 1907): Givet et ligningssystem opstået udfra et netværk som ovenfor beskrevet (med modifikationer til løsning af problem 1-2). Da findes altid en entydig normaliseret og positiv løsning! Google Pagerank p. 19/22
39 Hvordan beregnes løsningen? Kompleksiteten for løsning af ligningssystemer er n 2 (n er antallet af ligninger). Dyrt når n (10 18 operationer på en 3GHz maskine tager 4000 døgn!) Vi kan bruge en iterativ algoritme til at beregne løsningen: Givet (x (0) 1,x (0) 2,x (0) 2,x (0) 3 ) defineres rekursivt for k 1 x (k) 1 = αx (k 1) 2 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4 x (k) 2 = αx (k 1) 1 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4 x (k) 3 = αx (k 1) 4 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4 x (k) 4 = αx (k 1) 3 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4. Da vil (x (k) 1,x (k) 2,x (k) 2,x (k) 3 ) (x 1,x 2,x 2,x 3 ) når k. I praksis er det tilstrækkeligt med k = 50. Google Pagerank p. 20/22
40 Med mere... Googles algoritme bygger på mange andre elementer end link-analyse, herunder Analyse af hjemmesidens titel, tekst (naturligt sprog) Site troværdighed (.edu og.gov står stærkere end.com) Alderen på hjemmesiden og sitet Omdømmet af de sider, der linker til hjemmesiden (mange link fra upålidelige kilder giver anledning til dårlig score) Blacklisting af kendte, utroværdige sider (link farms) Google sørger for at give et varieret svar på forespørgsler Google Pagerank p. 21/22
41 Litteratur Kurt Bryan and Tanya Leise, The $ Eigenvector: The Linear Algebra behind Google, SIAM Review 48 (3), 2006 Amy N. Langville and Carl D. Meyer, Google s PageRank and Beyond, Princeton University Press, 2006 D. Laksov, Matematikk og Informasjonssøkning på nettet, Normat 51 (3), 2003 Google Pagerank p. 22/22
LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mere13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius
SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A
Læs mereF i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e. M e d fo k u s på Pag e R a n k.
F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e M e d fo k u s på Pag e R a n k. J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e
Læs mereFilosofien og matematikken bag Google
40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge
Læs mereInternetsøgemaskiner. Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet
Internetsøgemaskiner Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet 1 Internettet Meget stor mængde ustruktureret information Hvordan finder man relevant info? Søgemaskiner! 94: Lycos,...
Læs mereSådan virker. (måske) Gerth Stølting Brodal. Datalogisk Institut Aarhus Universitet
Sådan virker (måske) Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet 16. maj 2012 Hvornår har du sidst brugt Google? a) Seneste time b) Idag c) Denne uge d) Denne måned e) Aldrig Internetsøgemaskiner
Læs mereSøgning på Internettet
Side 1 af 6 Indhold: Søgning på Internettet Tips til søgning på Internettet... 1 Præcis adresse:... 1 Indeks- søgning... 2 Søgerobotterne/søgemaskiner:... 3 Lidt om hvordan man søger på nettet... 4 Links...
Læs merePerspektiverende Datalogi Internetalgoritmer. Gerth Stølting Brodal
Perspektiverende Datalogi Internetalgoritmer Gerth Stølting Brodal dpersp - Internetalgoritmer Brin, S. and Page, L. (1998) The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine. In: Seventh International
Læs mereGoogle fem ting de kan forbedre og fem gode ting
Google fem ting de kan forbedre og fem gode ting Hvorfor blev Google + ikke den forventede succes, som Google havde håbet på? Sikke et fantastisk produkt Google Chrome blev Explorer moses. Og meget mere.
Læs mereINDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto
INDHOLDSFORTEGNELSE Googles historie... Forord KAPITEL ET... 9 Introduktion til Google AdWords Hvad er en søgemaskine?... 10 Hvad er Google AdWords?...11 Eksempel på en AdWords-annonce... 12 Googles partnernetværk...
Læs mereHer vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke
Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.
Læs meredpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer
Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereAarhus d. 5 maj 2011
Aarhus d. 5 maj 2011 Tobias Thaastrup-Leth, 31 år, Århus Online Marketing Chef i OnlineMedier ApS & Søgemedier A/S Webdesign siden 1998 Online markedsføring siden 2002 Larry Page & Sergey Brin, Stanford
Læs mereDanhost Webshop. Bliv fundet på Google
Danhost Webshop Bliv fundet på Google SEO - Søgemaskineoptimering Når du arbejder med SEO, er det med henblik på, at din hjemmeside eller webshop skal dukke op i søgeresultaterne på f.eks. Google når en
Læs mereKort introduktion til Google.
Google Side 1 af 10 Kort introduktion til Google.... 2 Tilpas din søgning... 2 Generelle Tips... 2 Udelukkelse af ord... 2 Brug af *... 3 Sætningssøgninger... 3 Jeg Føler Mig Heldig... 3 Avanceret søgning...
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereÅbne IT-værksteder fra oktober til og med februar
KURSUSPROGRAM www.vordingborgbibliotekerne.dk Efteråret 2009 - foråret 2010 Kurserne afholdes tre steder i henholdsvis Vordingborg, Præstø og på Møn på følgende adresser: Vordingborg Bibliotek Kulturarkaden
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereSynlighed på nettet. Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation for Erhvervskvinder Århus 09.09.09
Synlighed på nettet Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation for Erhvervskvinder Århus 09.09.09 Hanne Wick, Wick Kommunikation Har siden 1983 arbejdet med kommunikation, markedsføring og PR. Heraf de seneste
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereGuide til informationssøgning ved idrætsstudiet på Institut for Idræt. Per Kahlen Hansen Biblioteket
Guide til informationssøgning ved idrætsstudiet på Institut for Idræt Institut for Idræt Per Kahlen Hansen Biblioteket 2007 Københavns Universitet Guide til informationssøgning... 1 ved idrætsstudiet på
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereInternettet. Tema. på ipad Opdateret d Ældresagens datastue Aktivitetscentret Bavnehøj. Nørre Snede Tema: Internettet på ipad
n Tema Internettet på ipad Opdateret d. 14.10.2017 Sofus Opdateret d. 31. januar 2017 Side 1 Indhold Side 3 Side 3 Side 4 Side 4 Side 5 Side 6 Side 7-8 Side 9 Side 10 Side 11 Side 12 Side 13 Side 14 Side
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereMATEMATIK 7. KLASSE. Web 3
MATEMATIK 7. KLASSE Web 3 INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Forløbsbeskrivelse... 3 1.1 Resumé: WEB 3.0... 3 1.2 Rammer og praktiske forhold... 4 2. Mål og faglige begreber... 5 3. Forløbsnær del... 7 3.1 Introfase:
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereHanne Wick, Wick Kommunikation Aps
Tekster til web Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Digital Markedsføring 2011 Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Har siden 1983 arbejdet med kommunikation, markedsføring og PR, siden 1999 med
Læs mereComputerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs merebrug nettet / lær at søge effektivt
brug nettet / lær at søge effektivt Med netmedierne kan du gratis og lovligt: Downlåne materiale direkte til din egen pc Undgå ventetid Få adgang til et utal af fuldtekst artikler fra diverse tidsskrifter
Læs mereSecret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især
Læs mereBLIV FUNDET PÅ GOOGLE! Hvorfor er det vigtigt? Hvad er Google (en søgemaskine)? Hvordan fungerer den? Hvad er SEO?
BLIV FUNDET PÅ GOOGLE! Hvorfor er det vigtigt? Hvad er Google (en søgemaskine)? Hvordan fungerer den? Hvad er SEO? Mål for denne workshop: Grundlæggende forståelse for SEO Grundlæggende redskaber til SEO
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereMatematisering af redoxprocessers afstemning 1
Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Eksempel 1 Br + Cl 2 Cl + Br 2 Problem, målsætning En afstemning går ud på at bestemme (naturlige) tal a, b, c, d så: a Br + b Cl 2 c Cl + d Br 2 Metode Tallene
Læs mere6 Ugers Digital Markedsførings Uddannelse. Online Marketing SEO Præsentation Anders Sevelsted Bigum&Co Amagerbrogade
6 Ugers Digital Markedsførings Uddannelse Bigum&Co Kursist hemmeligt Anders Sevelsted Underviser & Foredragsholder Teori Vs. Praksis Viden Vs. Færdigheder Hvad forventes det i kan når vi er færdig? Skal
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereMatematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof
Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereWebdesign og webkommunikation. 10. april: Søgemaskiner, optimering og tilgængelighed
Webdesign og webkommunikation 10. april: Søgemaskiner, optimering og tilgængelighed Program Kage næste gang: Lærerne! 10-12 Søgemaskineoptimering Tilgængelighed 13-15 Vejledning Husk: Obligatorisk opgave
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereWorld Wide Web Det verdensomspændende spindelvæv Søgemaskinerne Portal eller fritekst Viggo Liebmann Hansen viha@uni.gl
World Wide Web Det verdensomspændende spindelvæv Søgemaskinerne Portal eller fritekst Viggo Liebmann Hansen viha@uni.gl Tim Berners-Lee arbejdede i CERN med informationsudveksling mellem forskere der brugte
Læs mereKan anbefalinger af anbefalere anbefales?
Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Gå hjem møde ved center for kommunikation December 2003 Timme Bisgaard Munk Formål Hvad er krydssalg? hvordan og hvorfor virker anbefalinger på Internettet til
Læs mereInternetsøgemaskiner
Internetsøgemaskiner Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet Ungdommens Naturvidenskabelige Forening Ålborg, 22. september 2009 1 Internetsøgemaskiner (September 2009) [Fra: marketshare.hitslink.com]
Læs mereIntet af dette finder nødvendigvis sted for en hjemmeside på Internettet!
MATERIALEKRITIK / KILDEKRITIK / INFORMATIONSKRITIK Søg først efter materiale på "sikre" steder på nettet. Find ud af hvem der har produceret hjemmesiden. Se efter hvornår hjemmesiden er lavet og/eller
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereVordingborg Bibliotek Præstø Bibliotek Møn Bibliotek
IT - KURSER oktober - januar 2010/2011 2 Vordingborg Bibliotek Mandag kl. 10-19 KulturArkaden Tirsdag kl. 10-19 Sydhavnsvej 6 Onsdag kl. 13-19 4760 Vordingborg Torsdag kl. 10-19 Telefon: 55 36 38 00 Fredag
Læs merePerspektiverende Datalogi 2011
Perspektiverende Datalogi 2011 Internetalgoritmer Gerth Stølting Brodal Christian S. Jensen Erik Meineche Schmidt Niels Olof Bouvin Internetsøgemaskiner (2. oktober 2011) marketshare.hitslink.com Historiske
Læs merePlant nu - Høst senere
1 Plant nu - Høst senere Af Mohammed & Hussein 2014 Mohammed & Hussein. Alle rettigheder forbeholdes. Uautoriseret kopiering eller distribution af dette materiale i enhver form er strengt forbudt. Lovovertrædere
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereSøgemaskineoptimering. Sådan kommer du til tops i Google af Dansk Internet Erhverv
Søgemaskineoptimering Sådan kommer du til tops i Google af Dansk Internet Erhverv Agenda: Kl. 9.00 - kl. 9.10 Velkomst ved salgschef Kim Thrane Kl. 9.10 - kl. 9.40 Præsentation af CMS ved Kim Thrane Kl.
Læs mereSøgning og Sortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereBlogger i Picasa. Hvad er Blogger egentlig? På Picasa s billedbakke er der et stort ikon der vises som et B
Blogger i Picasa. Hvad er Blogger egentlig? På Picasa s billedbakke er der et stort ikon der vises som et B Blogger er en dagbog på internettet, som du kan skrive i og dele med dine venner samt alle andre,
Læs mereHar du mødt Google? Af Lars Kai Hansen
Har du mødt Google? Af Lars Kai Hansen I Stephen Spielbergs storfilm AI artificial intelligence, som foregår i en ikke-såfjern fremtid, ligger der en Dr. Know butik på hvert gadehjørne. I Dr Know-butikken
Læs mereEksamensopgaver i LaTeX-delen af IT-1B
Eksamensopgaver i LaTeX-delen af IT-1B 8 Oktober, 2003 Du bedes bemærke følgende: Hver deltager i kurset skal lave sin egen besvarelse og der må ikke kopieres fra eller skrives af efter andre. Din besvarelse
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereHvad er en relationsdatabase? Odense, den 19. januar Version 1.0
Hvad er en relationsdatabase? Odense, den 19 januar 2004 Version 10 Program for 6 kursusdag: Databaser 0900-0945 Hvad er en relationsdatabase? -1045 Opgave om normalisering 1100-1145 Eksempel på database
Læs mereTechboblen. om Google, Big Data og de sociale medier
Indsæt nyt billede: Format: B25,4 x 19,05 cm Klik på billed-ikonet midt på slidet. Find dit nye billede, højreklik på billedet og placér det bagerst. Techboblen om Google, Big Data og de sociale medier
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereOnsdags-workshops foråret 2014
Onsdags-workshops foråret 2014 Hver onsdag kl.15-17 Alle workshops er gratis 15. Januar: Google konto til meget mere end g-mail 22. januar: Google Chrome browseren fra Google 29. januar: NemID, borger.dk
Læs mereMaj 2012. Ontasknaturally.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally.
Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally.com Maj 2012 Ontasknaturally.com Case Studie Ophavsret eintelligenceweb.com 2013 Kontakt os: eintelligenceweb.com
Læs mereInternettet og Web 2.0
Internettet og Web 2.0 Internettet er et verdensdækkende IT-netværk. Det bygger på det netværk, som USA opbyggede under den kolde krig for at sikre, at selv en atomkrig ikke ville stoppe kommunikationen.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereSEO-strategi. Kunde logo
SEO-strategi Kunde logo Formålet SEO-strategien skal ved udførsel skabe mere trafik til KUNDE, samt styrke deres branding. SEO-strategien skal være med til at belyse nogle af de problematikker som KUNDEløser
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereTips til søgning i. Anne Bagger & Anders Otte Stensager, Københavns Universitetsbibliotek.
Tips til søgning i Anne Bagger & Anders Otte Stensager, Københavns Universitetsbibliotek anbb@kb.dk aost@kb.dk 02/07/2018 2 Overblik Hvor søger Google (ikke)? Hvordan ranker Google resultater af din søgning
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereSEO GUIDE AF DATA CREATIVES IVS
SEO GUIDE AF DATA CREATIVES IVS Udarbejdelsen har været med tanke på det grundlæggende niveau for SEO opsætning Denne introduktion er tilrettet private og virksomheder, som har begivet sig ud på en rejse
Læs mereOm workshops i IT-HJØRNET: Onsdags-workshops Forår 2013. Gratis kurser: På nettet: IT-HJØRNETS hjemmeside: www.it-hjoernet.dk
Om workshops i IT-HJØRNET: Computer: I IT-HJØRNETS workshops, får du selv lov at prøve. Pris: Sted: Du kan bruge IT-HJØRNETS computere eller du kan medbringe din egen bærbare computer hvis du har sådan
Læs mereVistemmernu. Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Skive. E-mail: programdatateket@viauc.dk Web: http://www.programdatateket.
Vistemmernu Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Skive E-mail: programdatateket@viauc.dk Web: http://www.programdatateket.dk Kolofon HVAL-vejledning Vistemmernu på HVAL.DK Forfatter: Susanne
Læs mereNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg Telefon: 7359
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg Telefon: 7359 0482 Eksamen i MA1201 Lineær algebra og geometri Onsdag
Læs mereBliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner
Bliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner Af Henrik Bro og Martin T. Hansen I har måske allerede en flot, og informativ hjemmeside. Og alle jeres kursister
Læs mereCV FORM MÅLGRUPPE KOMMENTARER
Rekrutteringsdatabaser Rekrutterings-databaser Jobcentre Jobbaser Fagforeninger Jobudbydere A-kasser Udvalget er stort af rekrutterings- og CV-banker, hvor dit CV kan blive optaget. De findes blandt andet
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereMatematik og Form Splines. NURBS
Matematik og Form Splines. NURBS Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Opgave: Find 3.grads polynomium p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at y b = p(0) = a 0 y s = p(1) = a 0 +
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereÅrsplan 8. Klasse Matematik Skoleåret 2016/17
Hovedformål Der arbejdes med følgende 3 matematiske emner: 1. tal og algebra, 2. geometri samt 3. statistik og sandsynlighed. Derudover skal der arbejdes med matematik i anvendelse samt de matematiske
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereAppendiks: Andre Google-programmer
Appendiks: Andre Google-programmer I et hæfte som Gratisprogrammer fra Google er der ikke plads til at omtale alle de spændende Google-programmer. Og der kommer hele tiden nye til. I dette appendiks får
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mere