Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak"

Transkript

1 Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet kim/georgmohr2008.pdf Google Pagerank p. 1/22

2 Internettet - informationsalderen Moderne teknologis største vidunder: Kommunikation, globalisering, information, demokrati?... Google Pagerank p. 2/22

3 Internettet - informationsalderen Moderne teknologis største vidunder: Kommunikation, globalisering, information, demokrati?... Historie: 1957: USSR sender Sputnik i kredsløb om jorden US DoD etablerer Advanced Research Projects Agency ( 58) 1969: ARPANET. Første netværk med packet switching (modsætning til circuit switching). 1988: Internettet åbnes for kommercielle interesser 1991: World Wide Web lanceres 2008: www har 1.1 mia. brugere og 20 mia. hjemmesider Google Pagerank p. 2/22

4 Internettet - informationsalderen Moderne teknologis største vidunder: Kommunikation, globalisering, information, demokrati?... Historie: 1957: USSR sender Sputnik i kredsløb om jorden US DoD etablerer Advanced Research Projects Agency ( 58) 1969: ARPANET. Første netværk med packet switching (modsætning til circuit switching). 1988: Internettet åbnes for kommercielle interesser 1991: World Wide Web lanceres 2008: www har 1.1 mia. brugere og 20 mia. hjemmesider Internettet indeholder alverdens viden og information(?). Informationsøgning: Hvordan finder man en nål i en høstak? Søgemaskiner: yahoo!, msn, google... Google Pagerank p. 2/22

5 Udsnit af internettet (0.0001%) Google Pagerank p. 3/22

6 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Google Pagerank p. 4/22

7 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Google Pagerank p. 4/22

8 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Google Pagerank p. 4/22

9 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Andre web-baserede applikationer: Google earth, gmail, google groups, google video, google Picasa, Froogle... Google Pagerank p. 4/22

10 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Andre web-baserede applikationer: Google earth, gmail, google groups, google video, google Picasa, Froogle... Pengene tjenes idag primært på reklamer ifm. søgemaskinen, gmail mm. I fremtiden? Google Pagerank p. 4/22

11 Google Inc., kort fortalt Google er (et af) verdens mest succesfyldte IT-firmaer med hovedkontor i Mountain View, CA. Grundlagt i 1998 af Larry Page og Sergey Brin Mission: At organisere verdens information og gøre den universelt tilgængelig Motto: Don t do evil! Verdens mest brugte søgemaskine, google.com (>50% af alle søgninger) Andre web-baserede applikationer: Google earth, gmail, google groups, google video, google Picasa, Froogle... Pengene tjenes idag primært på reklamer ifm. søgemaskinen, gmail mm. I fremtiden? Hvorfor navnet google? Googol = Google Pagerank p. 4/22

12 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Google Pagerank p. 5/22

13 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Er der penge i det? Larry Page og Sergey Brin er begge nr. 26 på Forbes liste over verdens rigeste. Er begge gode for 16.6 mia. USD. Google Pagerank p. 5/22

14 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Er der penge i det? Larry Page og Sergey Brin er begge nr. 26 på Forbes liste over verdens rigeste. Er begge gode for 16.6 mia. USD. Google inc. tjente i 4. kvartal 2007 ca. 6 mia. $ (skuffende resultat...) Google Pagerank p. 5/22

15 Googles succes Vi er vilde med googles søgemaskine fordi 1. Den er simpel 2. Den er hurtig 3. Den kommer med de rigtige svar på selv håbløse forespørgsler Er der penge i det? Larry Page og Sergey Brin er begge nr. 26 på Forbes liste over verdens rigeste. Er begge gode for 16.6 mia. USD. Google inc. tjente i 4. kvartal 2007 ca. 6 mia. $ (skuffende resultat...) Microsoft bød fornylig 225 mia. kr. for yahoo Google Pagerank p. 5/22

16 Princippet i googles søgemaskine 1. WWW kravles igennem af en web-crawler (web-spider). For enhver side som nås gemmes bl.a. sidens adresse, sidens tekst og sidens links (referencer til andre hjemmesider). Data gemmes i gigantisk database (antal sider n ) 2. Enhver side tildeles et tal (1-10), sidens PageRank, som angiver sidens vigtighed 3. Ved en forespørgsel på google.com findes i databasen de sider, som indeholder søgeordene, og siderne præsenters for forespørgeren i en rækkefølge afhængig af (blandt andet) PageRank Google Pagerank p. 6/22

17 Princippet i googles søgemaskine 1. WWW kravles igennem af en web-crawler (web-spider). For enhver side som nås gemmes bl.a. sidens adresse, sidens tekst og sidens links (referencer til andre hjemmesider). Data gemmes i gigantisk database (antal sider n ) 2. Enhver side tildeles et tal (1-10), sidens PageRank, som angiver sidens vigtighed 3. Ved en forespørgsel på google.com findes i databasen de sider, som indeholder søgeordene, og siderne præsenters for forespørgeren i en rækkefølge afhængig af (blandt andet) PageRank Nøglen bag succesen er Googles (patenterede) PageRank algoritme. En algoritme der baserer sig på matematik Google Pagerank p. 6/22

18 Matematisk model for WWW WWW modelleres ved en orienteret (multi-)graf: Enhver hjemmeside repræsenteres ved et punkt i grafen. Hvis der er et link fra siden P i til siden P j så repræsenteres det ved en orienteret kant fra punktet hørende til P i til punktet hørende til P j. Google Pagerank p. 7/22

19 Matematisk model for WWW WWW modelleres ved en orienteret (multi-)graf: Enhver hjemmeside repræsenteres ved et punkt i grafen. Hvis der er et link fra siden P i til siden P j så repræsenteres det ved en orienteret kant fra punktet hørende til P i til punktet hørende til P j. Eksempel på mini-www: P 1 P 3 P 2 P 4 Hvilken side i netværket er den vigtigste? Google Pagerank p. 7/22

20 Tre basale principper PageRank bygger på tre demokratiske principper: 1. Ethvert link tæller som en stemme. En sides vigtighed afhænger af, hvormange andre sider, der stemmer på den 2. Jo større vigtighed en side har, jo større vægt tildeles et udgående link fra siden 3. Jo færre links (=stemmer), der går ud fra en side, jo større vægt tildeles hvert link Google Pagerank p. 8/22

21 Tre basale principper PageRank bygger på tre demokratiske principper: 1. Ethvert link tæller som en stemme. En sides vigtighed afhænger af, hvormange andre sider, der stemmer på den 2. Jo større vigtighed en side har, jo større vægt tildeles et udgående link fra siden 3. Jo færre links (=stemmer), der går ud fra en side, jo større vægt tildeles hvert link Hvis x i angiver vigtigheden af side P i : P 1 P 3 x 1 = x 3 /1 + x 4 /2 x 2 = x 1 /3 x 3 = x 1 /3 + x 2 /2 + x 4 /2 P 2 P 4 x 4 = x 1 /3 + x 2 /2 Google Pagerank p. 8/22

22 Lineære ligningssystemer Reduktion x 1 = x 3 + x 4 2 x 2 = x 1 3 x 3 = x x x 4 2 x 4 = x x = x 1 + x 3 + x = x 1 3 x 2 0 = x x 2 2 x 3 + x = x x 2 2 x 4 Det er et kvadratisk, homogent lineært ligningssystem. Sådanne ligningssystemer kan have enten én (i givet fald (0, 0, 0, 0)) eller uendeligt mange løsninger. Google Pagerank p. 9/22

23 PageRank løsningen Vores ligningssystem har uendeligt mange løsninger på formen (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = t(12, 4, 9, 6), t. Normalisering: Vi vælger den positive løsning, som giver samlet PageRank en: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 1 (12, 4, 9, 6) 31 PageRank løsningen er altså (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 1 (12, 4, 9, 6) 31 Google Pagerank p. 10/22

24 Lineær algebra Hvis vi introducerer link-matricen /2 1/ A = 1/3 1/2 0 1/2 1/3 1/2 0 0 så er det opskrevne ligningssystem ækvivalent med Ax = x, x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ]. Google Pagerank p. 11/22

25 Lineær algebra Hvis vi introducerer link-matricen /2 1/ A = 1/3 1/2 0 1/2 1/3 1/2 0 0 så er det opskrevne ligningssystem ækvivalent med Ax = x, x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ]. Den beskrevne problemstilling kan behandles med redskaber fra den del af matematikken, der hedder lineær algebra. Lineær algebra bruges overalt! Mobiltelefon, ipod, computerspil, beregning af vejrudsigt, MP3-afspiller, digitalkamera... Google Pagerank p. 11/22

26 Opgave Betragt netværket P 1 P 3 P 2 P 4 Opskriv de fire ligninger med fire ubekendte (x1,x 2,x 3,x 4 ), som kan bruges til at bestemme PageRank for netværket. Løs de fire ligninger og find den normaliserede PageRank løsning Google Pagerank p. 12/22

27 Problem 1: Hængende sider Netværket P 1 P 3 P 2 giver anledning til ligningerne Google Pagerank p. 13/22

28 Problem 1: Hængende sider Netværket P 1 P 3 P 2 giver anledning til ligningerne x 1 = x 2 x 2 = x 1 2 x 3 = x 1 2 Kan vi finde en normaliseret løsning? Google Pagerank p. 13/22

29 Ny stokstisk model: En tilfældig surfer En www-surfer bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en side P med N udgående links vil han med lige fordelt sandsynlighed (1/N) vælge mellem de udgående links PageRank løsningen x = (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kan fortolkes som en sandsynlighedsfordeling, hvor x i angiver sandsynligheden for, at surferen til et vilkårligt tidspunkt (efter lang tid) befinder sig på siden P i. Google Pagerank p. 14/22

30 Ny stokstisk model: En tilfældig surfer En www-surfer bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en side P med N udgående links vil han med lige fordelt sandsynlighed (1/N) vælge mellem de udgående links PageRank løsningen x = (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kan fortolkes som en sandsynlighedsfordeling, hvor x i angiver sandsynligheden for, at surferen til et vilkårligt tidspunkt (efter lang tid) befinder sig på siden P i. Problem: Hængende sider, sider som ikke indeholder links. Google Pagerank p. 14/22

31 Ny stokstisk model: En tilfældig surfer En www-surfer bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en side P med N udgående links vil han med lige fordelt sandsynlighed (1/N) vælge mellem de udgående links PageRank løsningen x = (x 1,x 2,x 3,...,x n ) kan fortolkes som en sandsynlighedsfordeling, hvor x i angiver sandsynligheden for, at surferen til et vilkårligt tidspunkt (efter lang tid) befinder sig på siden P i. Problem: Hængende sider, sider som ikke indeholder links. Løsning (googles): Fra enhver side uden udgående links indsættes virtuelle links til enhver anden side i netværket. Google Pagerank p. 14/22

32 Løsning: Hængende sider For netværket P 1 P 3 indsætter vi virtuelle links fra P 3 til P 1 og P 2. P 2 Google Pagerank p. 15/22

33 Løsning: Hængende sider For netværket P 1 P 3 P 2 indsætter vi virtuelle links fra P 3 til P 1 og P 2. Det giver os x 1 = x 2 + x 3 2 x 2 = x x 3 2 x 3 = x 1 2 Den normaliserede løsning (x 1,x 2,x 3 ) = 1 9 (4, 3, 2) Google Pagerank p. 15/22

34 Problem 2: Usammenhængende netværk Betragt netværket P 1 P 3 P 2 P 4 Hvilke ligninger giver netværket anledning til? Findes der en entydig normaliseret løsning? Google Pagerank p. 16/22

35 Løsning: Usammenhængende netværk En yderligere modifikation: Når vores www-surfer står på side P, så giver vi ham to muligheder: 1. Med sandsynlighed α vil han som tidligere følge et udgående link fra P 2. Med sandsynlighed (1 α) vil han springe til en vilkårlig side i netværket Google Pagerank p. 17/22

36 Løsning: Usammenhængende netværk En yderligere modifikation: Når vores www-surfer står på side P, så giver vi ham to muligheder: 1. Med sandsynlighed α vil han som tidligere følge et udgående link fra P 2. Med sandsynlighed (1 α) vil han springe til en vilkårlig side i netværket Det svarer til at der i ligningen for ethvert x j på højresiden ganges med α og leddet tilføjes højresiden. + 1 α n (x 1 + x x n ) Samlet set giver det PageRank ligningerne for netværket. I googles PageRank er α 0.85 Google Pagerank p. 17/22

37 Google-ligningerne for eksemplet For netværket P 1 P 3 P 2 P 4 får vi x 1 = αx 2 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 x 2 = αx 1 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 x 3 = αx 4 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 x 4 = αx 3 + (1 α)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4 Ikke overraskende er den normaliserede løsning x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1 4 Google Pagerank p. 18/22

38 Går det altid godt? Hundred år gammel matematik giver et klart svar på spørgsmålet om eksistens og entydighed af en PageRank løsning: Sætning: (Perron 1907): Givet et ligningssystem opstået udfra et netværk som ovenfor beskrevet (med modifikationer til løsning af problem 1-2). Da findes altid en entydig normaliseret og positiv løsning! Google Pagerank p. 19/22

39 Hvordan beregnes løsningen? Kompleksiteten for løsning af ligningssystemer er n 2 (n er antallet af ligninger). Dyrt når n (10 18 operationer på en 3GHz maskine tager 4000 døgn!) Vi kan bruge en iterativ algoritme til at beregne løsningen: Givet (x (0) 1,x (0) 2,x (0) 2,x (0) 3 ) defineres rekursivt for k 1 x (k) 1 = αx (k 1) 2 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4 x (k) 2 = αx (k 1) 1 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4 x (k) 3 = αx (k 1) 4 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4 x (k) 4 = αx (k 1) 3 + (1 α)(x (k 1) 1 + x (k 1) 2 + x (k 1) 3 + x (k 1) 4 )/4. Da vil (x (k) 1,x (k) 2,x (k) 2,x (k) 3 ) (x 1,x 2,x 2,x 3 ) når k. I praksis er det tilstrækkeligt med k = 50. Google Pagerank p. 20/22

40 Med mere... Googles algoritme bygger på mange andre elementer end link-analyse, herunder Analyse af hjemmesidens titel, tekst (naturligt sprog) Site troværdighed (.edu og.gov står stærkere end.com) Alderen på hjemmesiden og sitet Omdømmet af de sider, der linker til hjemmesiden (mange link fra upålidelige kilder giver anledning til dårlig score) Blacklisting af kendte, utroværdige sider (link farms) Google sørger for at give et varieret svar på forespørgsler Google Pagerank p. 21/22

41 Litteratur Kurt Bryan and Tanya Leise, The $ Eigenvector: The Linear Algebra behind Google, SIAM Review 48 (3), 2006 Amy N. Langville and Carl D. Meyer, Google s PageRank and Beyond, Princeton University Press, 2006 D. Laksov, Matematikk og Informasjonssøkning på nettet, Normat 51 (3), 2003 Google Pagerank p. 22/22

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e. M e d fo k u s på Pag e R a n k.

F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e. M e d fo k u s på Pag e R a n k. F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e M e d fo k u s på Pag e R a n k. J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e

Læs mere

Filosofien og matematikken bag Google

Filosofien og matematikken bag Google 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge

Læs mere

Søgning på Internettet

Søgning på Internettet Side 1 af 6 Indhold: Søgning på Internettet Tips til søgning på Internettet... 1 Præcis adresse:... 1 Indeks- søgning... 2 Søgerobotterne/søgemaskiner:... 3 Lidt om hvordan man søger på nettet... 4 Links...

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Internetalgoritmer. Gerth Stølting Brodal

Perspektiverende Datalogi Internetalgoritmer. Gerth Stølting Brodal Perspektiverende Datalogi Internetalgoritmer Gerth Stølting Brodal dpersp - Internetalgoritmer Brin, S. and Page, L. (1998) The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine. In: Seventh International

Læs mere

Google fem ting de kan forbedre og fem gode ting

Google fem ting de kan forbedre og fem gode ting Google fem ting de kan forbedre og fem gode ting Hvorfor blev Google + ikke den forventede succes, som Google havde håbet på? Sikke et fantastisk produkt Google Chrome blev Explorer moses. Og meget mere.

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto INDHOLDSFORTEGNELSE Googles historie... Forord KAPITEL ET... 9 Introduktion til Google AdWords Hvad er en søgemaskine?... 10 Hvad er Google AdWords?...11 Eksempel på en AdWords-annonce... 12 Googles partnernetværk...

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke

Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.

Læs mere

Åbne IT-værksteder fra oktober til og med februar

Åbne IT-værksteder fra oktober til og med februar KURSUSPROGRAM www.vordingborgbibliotekerne.dk Efteråret 2009 - foråret 2010 Kurserne afholdes tre steder i henholdsvis Vordingborg, Præstø og på Møn på følgende adresser: Vordingborg Bibliotek Kulturarkaden

Læs mere

Synlighed på nettet. Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation for Erhvervskvinder Århus 09.09.09

Synlighed på nettet. Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation for Erhvervskvinder Århus 09.09.09 Synlighed på nettet Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation for Erhvervskvinder Århus 09.09.09 Hanne Wick, Wick Kommunikation Har siden 1983 arbejdet med kommunikation, markedsføring og PR. Heraf de seneste

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

BLIV FUNDET PÅ GOOGLE! Hvorfor er det vigtigt? Hvad er Google (en søgemaskine)? Hvordan fungerer den? Hvad er SEO?

BLIV FUNDET PÅ GOOGLE! Hvorfor er det vigtigt? Hvad er Google (en søgemaskine)? Hvordan fungerer den? Hvad er SEO? BLIV FUNDET PÅ GOOGLE! Hvorfor er det vigtigt? Hvad er Google (en søgemaskine)? Hvordan fungerer den? Hvad er SEO? Mål for denne workshop: Grundlæggende forståelse for SEO Grundlæggende redskaber til SEO

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

brug nettet / lær at søge effektivt

brug nettet / lær at søge effektivt brug nettet / lær at søge effektivt Med netmedierne kan du gratis og lovligt: Downlåne materiale direkte til din egen pc Undgå ventetid Få adgang til et utal af fuldtekst artikler fra diverse tidsskrifter

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Guide til informationssøgning ved idrætsstudiet på Institut for Idræt. Per Kahlen Hansen Biblioteket

Guide til informationssøgning ved idrætsstudiet på Institut for Idræt. Per Kahlen Hansen Biblioteket Guide til informationssøgning ved idrætsstudiet på Institut for Idræt Institut for Idræt Per Kahlen Hansen Biblioteket 2007 Københavns Universitet Guide til informationssøgning... 1 ved idrætsstudiet på

Læs mere

6 Ugers Digital Markedsførings Uddannelse. Online Marketing SEO Præsentation Anders Sevelsted Bigum&Co Amagerbrogade

6 Ugers Digital Markedsførings Uddannelse. Online Marketing SEO Præsentation Anders Sevelsted Bigum&Co Amagerbrogade 6 Ugers Digital Markedsførings Uddannelse Bigum&Co Kursist hemmeligt Anders Sevelsted Underviser & Foredragsholder Teori Vs. Praksis Viden Vs. Færdigheder Hvad forventes det i kan når vi er færdig? Skal

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Kort introduktion til Google.

Kort introduktion til Google. Google Side 1 af 10 Kort introduktion til Google.... 2 Tilpas din søgning... 2 Generelle Tips... 2 Udelukkelse af ord... 2 Brug af *... 3 Sætningssøgninger... 3 Jeg Føler Mig Heldig... 3 Avanceret søgning...

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps

Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Tekster til web Oplæg af Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Digital Markedsføring 2011 Hanne Wick, Wick Kommunikation Aps Har siden 1983 arbejdet med kommunikation, markedsføring og PR, siden 1999 med

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige

Læs mere

Danhost Webshop. Bliv fundet på Google

Danhost Webshop. Bliv fundet på Google Danhost Webshop Bliv fundet på Google SEO - Søgemaskineoptimering Når du arbejder med SEO, er det med henblik på, at din hjemmeside eller webshop skal dukke op i søgeresultaterne på f.eks. Google når en

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Intet af dette finder nødvendigvis sted for en hjemmeside på Internettet!

Intet af dette finder nødvendigvis sted for en hjemmeside på Internettet! MATERIALEKRITIK / KILDEKRITIK / INFORMATIONSKRITIK Søg først efter materiale på "sikre" steder på nettet. Find ud af hvem der har produceret hjemmesiden. Se efter hvornår hjemmesiden er lavet og/eller

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Kan anbefalinger af anbefalere anbefales?

Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Gå hjem møde ved center for kommunikation December 2003 Timme Bisgaard Munk Formål Hvad er krydssalg? hvordan og hvorfor virker anbefalinger på Internettet til

Læs mere

Webdesign og webkommunikation. 10. april: Søgemaskiner, optimering og tilgængelighed

Webdesign og webkommunikation. 10. april: Søgemaskiner, optimering og tilgængelighed Webdesign og webkommunikation 10. april: Søgemaskiner, optimering og tilgængelighed Program Kage næste gang: Lærerne! 10-12 Søgemaskineoptimering Tilgængelighed 13-15 Vejledning Husk: Obligatorisk opgave

Læs mere

Om workshops i IT-HJØRNET: Onsdags-workshops Forår 2013. Gratis kurser: På nettet: IT-HJØRNETS hjemmeside: www.it-hjoernet.dk

Om workshops i IT-HJØRNET: Onsdags-workshops Forår 2013. Gratis kurser: På nettet: IT-HJØRNETS hjemmeside: www.it-hjoernet.dk Om workshops i IT-HJØRNET: Computer: I IT-HJØRNETS workshops, får du selv lov at prøve. Pris: Sted: Du kan bruge IT-HJØRNETS computere eller du kan medbringe din egen bærbare computer hvis du har sådan

Læs mere

Vordingborg Bibliotek Præstø Bibliotek Møn Bibliotek

Vordingborg Bibliotek Præstø Bibliotek Møn Bibliotek IT - KURSER oktober - januar 2010/2011 2 Vordingborg Bibliotek Mandag kl. 10-19 KulturArkaden Tirsdag kl. 10-19 Sydhavnsvej 6 Onsdag kl. 13-19 4760 Vordingborg Torsdag kl. 10-19 Telefon: 55 36 38 00 Fredag

Læs mere

Internettet og Web 2.0

Internettet og Web 2.0 Internettet og Web 2.0 Internettet er et verdensdækkende IT-netværk. Det bygger på det netværk, som USA opbyggede under den kolde krig for at sikre, at selv en atomkrig ikke ville stoppe kommunikationen.

Læs mere

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Eksempel 1 Br + Cl 2 Cl + Br 2 Problem, målsætning En afstemning går ud på at bestemme (naturlige) tal a, b, c, d så: a Br + b Cl 2 c Cl + d Br 2 Metode Tallene

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Søgemaskineoptimering. Sådan kommer du til tops i Google af Dansk Internet Erhverv

Søgemaskineoptimering. Sådan kommer du til tops i Google af Dansk Internet Erhverv Søgemaskineoptimering Sådan kommer du til tops i Google af Dansk Internet Erhverv Agenda: Kl. 9.00 - kl. 9.10 Velkomst ved salgschef Kim Thrane Kl. 9.10 - kl. 9.40 Præsentation af CMS ved Kim Thrane Kl.

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

Har du mødt Google? Af Lars Kai Hansen

Har du mødt Google? Af Lars Kai Hansen Har du mødt Google? Af Lars Kai Hansen I Stephen Spielbergs storfilm AI artificial intelligence, som foregår i en ikke-såfjern fremtid, ligger der en Dr. Know butik på hvert gadehjørne. I Dr Know-butikken

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Vistemmernu. Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Skive. E-mail: programdatateket@viauc.dk Web: http://www.programdatateket.

Vistemmernu. Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Skive. E-mail: programdatateket@viauc.dk Web: http://www.programdatateket. Vistemmernu Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Skive E-mail: programdatateket@viauc.dk Web: http://www.programdatateket.dk Kolofon HVAL-vejledning Vistemmernu på HVAL.DK Forfatter: Susanne

Læs mere

Techboblen. om Google, Big Data og de sociale medier

Techboblen. om Google, Big Data og de sociale medier Indsæt nyt billede: Format: B25,4 x 19,05 cm Klik på billed-ikonet midt på slidet. Find dit nye billede, højreklik på billedet og placér det bagerst. Techboblen om Google, Big Data og de sociale medier

Læs mere

Onsdags-workshops foråret 2014

Onsdags-workshops foråret 2014 Onsdags-workshops foråret 2014 Hver onsdag kl.15-17 Alle workshops er gratis 15. Januar: Google konto til meget mere end g-mail 22. januar: Google Chrome browseren fra Google 29. januar: NemID, borger.dk

Læs mere

Hvad er en relationsdatabase? Odense, den 19. januar Version 1.0

Hvad er en relationsdatabase? Odense, den 19. januar Version 1.0 Hvad er en relationsdatabase? Odense, den 19 januar 2004 Version 10 Program for 6 kursusdag: Databaser 0900-0945 Hvad er en relationsdatabase? -1045 Opgave om normalisering 1100-1145 Eksempel på database

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Maj 2012. Ontasknaturally.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally.

Maj 2012. Ontasknaturally.com Case Studie. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally. Hvordan E-Intelligence Sikrede Mere end 100% Tilbagebetaling På Investeringen til Ontasknaturally.com Maj 2012 Ontasknaturally.com Case Studie Ophavsret eintelligenceweb.com 2013 Kontakt os: eintelligenceweb.com

Læs mere

Internetsøgemaskiner

Internetsøgemaskiner Internetsøgemaskiner Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet Ungdommens Naturvidenskabelige Forening Ålborg, 22. september 2009 1 Internetsøgemaskiner (September 2009) [Fra: marketshare.hitslink.com]

Læs mere

Klassetrin Hovedområder Indhold/færdigheder Forklaring Ansvar (se note) Elevene skal kende til:

Klassetrin Hovedområder Indhold/færdigheder Forklaring Ansvar (se note) Elevene skal kende til: Klassetrin Hovedområder Indhold/færdigheder Forklaring Ansvar (se note) 0. kl. Informationssøgning Elevene skal kende til: bibliotekets billedbøger børnebøger samt almindelig adfærd på biblioteket, behandling

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Plant nu - Høst senere

Plant nu - Høst senere 1 Plant nu - Høst senere Af Mohammed & Hussein 2014 Mohammed & Hussein. Alle rettigheder forbeholdes. Uautoriseret kopiering eller distribution af dette materiale i enhver form er strengt forbudt. Lovovertrædere

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Informationsteknologi som hjælpemiddel - Muligheder, udfordringer og tendenser i 2005

Informationsteknologi som hjælpemiddel - Muligheder, udfordringer og tendenser i 2005 Informationsteknologi som hjælpemiddel - Muligheder, udfordringer og tendenser i 2005 Af Lars Ballieu Christensen, rådgiver, Ph.D., cand.comm., lbc@sensus.dk To tredjedele af den danske befolkning har

Læs mere

Perspektiverende Datalogi 2011

Perspektiverende Datalogi 2011 Perspektiverende Datalogi 2011 Internetalgoritmer Gerth Stølting Brodal Christian S. Jensen Erik Meineche Schmidt Niels Olof Bouvin Internetsøgemaskiner (2. oktober 2011) marketshare.hitslink.com Historiske

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Årsplan 8. Klasse Matematik Skoleåret 2016/17

Årsplan 8. Klasse Matematik Skoleåret 2016/17 Hovedformål Der arbejdes med følgende 3 matematiske emner: 1. tal og algebra, 2. geometri samt 3. statistik og sandsynlighed. Derudover skal der arbejdes med matematik i anvendelse samt de matematiske

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik og Form Splines. NURBS

Matematik og Form Splines. NURBS Matematik og Form Splines. NURBS Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Opgave: Find 3.grads polynomium p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 sål. at y b = p(0) = a 0 y s = p(1) = a 0 +

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Blogger i Picasa. Hvad er Blogger egentlig? På Picasa s billedbakke er der et stort ikon der vises som et B

Blogger i Picasa. Hvad er Blogger egentlig? På Picasa s billedbakke er der et stort ikon der vises som et B Blogger i Picasa. Hvad er Blogger egentlig? På Picasa s billedbakke er der et stort ikon der vises som et B Blogger er en dagbog på internettet, som du kan skrive i og dele med dine venner samt alle andre,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent

Læs mere

Google. Bliv mestersurfer! Version: August 2012

Google. Bliv mestersurfer! Version: August 2012 Google Bliv mestersurfer! Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Denne manual...4 Google-konto?...4 Google.dk - forsiden...4 Nettet...5 Billeder...5 Google Maps...5 Google Oversæt...5 Blogs...5 Indeks...5

Læs mere

SEARCH ENGINE OPTIMIZATION

SEARCH ENGINE OPTIMIZATION SEARCH ENGINE OPTIMIZATION Søgeord og online marketing v. Kristian Stoffregen Tørning, Lektor (MPL) / Maj 2013 Program 1. Hvordan søger brugerne? 2. Hvordan ved søgemaskinen, hvad der er relevant? 3. Praktisk

Læs mere

SEO-strategi. Kunde logo

SEO-strategi. Kunde logo SEO-strategi Kunde logo Formålet SEO-strategien skal ved udførsel skabe mere trafik til KUNDE, samt styrke deres branding. SEO-strategien skal være med til at belyse nogle af de problematikker som KUNDEløser

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

1. SCREENING OG BAGGRUND

1. SCREENING OG BAGGRUND 1. SCREENING OG BAGGRUND BL Danmarks Almene Boliger har på forvaltningskonferencen d. 22. august 2012 lanceret konkurrencen Bedst til bolig på nettet. Bedst til bolig på nettet baserer sig på samme overordnede

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

SEO GUIDE AF DATA CREATIVES IVS

SEO GUIDE AF DATA CREATIVES IVS SEO GUIDE AF DATA CREATIVES IVS Udarbejdelsen har været med tanke på det grundlæggende niveau for SEO opsætning Denne introduktion er tilrettet private og virksomheder, som har begivet sig ud på en rejse

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

World Wide Web Det verdensomspændende spindelvæv Søgemaskinerne Portal eller fritekst Viggo Liebmann Hansen viha@uni.gl

World Wide Web Det verdensomspændende spindelvæv Søgemaskinerne Portal eller fritekst Viggo Liebmann Hansen viha@uni.gl World Wide Web Det verdensomspændende spindelvæv Søgemaskinerne Portal eller fritekst Viggo Liebmann Hansen viha@uni.gl Tim Berners-Lee arbejdede i CERN med informationsudveksling mellem forskere der brugte

Læs mere

Appendiks: Andre Google-programmer

Appendiks: Andre Google-programmer Appendiks: Andre Google-programmer I et hæfte som Gratisprogrammer fra Google er der ikke plads til at omtale alle de spændende Google-programmer. Og der kommer hele tiden nye til. I dette appendiks får

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Bliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner

Bliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner Bliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner Af Henrik Bro og Martin T. Hansen I har måske allerede en flot, og informativ hjemmeside. Og alle jeres kursister

Læs mere

Digital læring - Kurser efterår 2015

Digital læring - Kurser efterår 2015 www.taarnbybib.dk Digital læring - Kurser efterår 2015 Tårnby Kommunebiblioteker Velkommen til Tårnby Kommunebibliotekers kurser Vil du gerne lære om det nye Windows styresystem, se hvad en 3D-printer

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Kom godt i gang med LinkedIn

Kom godt i gang med LinkedIn Kom godt i gang med LinkedIn March 2017 Indholdsfortegnelse Hvad er LinkedIn?... 3 Abonnementstyper på LinkedIn... 3 LinkedIn er en søgemaskine... 4 Profilens mest basale sektioner... 4 Billede... 4 Overskrift:...

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Din virksomheds internationale website. Eksport

Din virksomheds internationale website. Eksport Din virksomheds internationale website Eksport Din virksomheds internationale website Denne guide skal hjælpe dig med at sikre, at din virksomheds website også fremstår professionelt, når sproget er et

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere