13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius
|
|
- Ivar Beck
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A Mat n,n (C), og lad λ,, λ n C være egenværdierne for A, talt med multiplicitet Lad P 0 =, og, for k =,, n, lad P k = k (A λ j ) For k =0,, 2, gælder, at hvor tallene w j (k) er defineret induktivt, ved A k = w (k)p w n (k)p n, ( ) k w (0) =, w (m) =λ w (m ) for m =, 2, og w j (0) = 0, w j (m) =λ j w j (m ) + w j (m ) for m =, 2, og j =2,, n Vi bemærker først, at, ifølge Cayley-Hamilton-sætningen, P n =(A λ I) (A λ n I)=0 Læg også mærke til, at begyndelsesbetingelserne w (0) =, w j (0) = 0 for j =2,, n, sikrer at ( ) 0 gælder Antag nu, induktivt, for k, at ( ) k gælder, dvs Så er A k = = = w j (k )AP j A k = w j (k )P j w j (k )(λ j P j +(A λ j I)P j ) w j (k )(λ j P j + P j ) = λ w (k )P 0 +(λ 2 w 2 (k ) + w (k ))P + +(λ n w n (k ) + w n (k ))P n (vi har brugt, at P n =0) = w (k)p 0 + w 2 (k)p + + w n (k )P n Så ( ) k gælder, induktionsskridtet er taget, og resultatet bevist 23
2 SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS Vi bruger Lasalles algoritme til at finde betingelser, der sikrer, at A k 0 når k Definition 32 Lad A Mat n,n (C), og lad λ,, λ n C være egenværdierne for A, talt med multiplicitet Den spektrale radius for A er ρ(a) = maks{ λ,, λ n } Lemma 33 Lad A Mat n,n (C), og lad λ,, λ n C være egenværdierne for A, talt med multiplicitet Skriv ρ = ρ(a) og vælg β > ρ Der gælder, for j =,, n, at for k =0,, 2, w j (k) β k (β ρ) j (+) k Læg mærke til, at (+) 0 gælder, idet w (0) =, w j (0) = 0 for j =2,, n Antag, induktivt, for k, at (+) k gælder Vi har da og, for j 2 w (k) = λ w (k ) = λ w (k ) λ β k w j (k) = λ j w j (k ) + w j (k ) (induktionshypotesen) <β k (idet λ ρ(a) =ρ<β ), λ j w j (k ) + w j (k ) = λ j w j (k ) + w j (k ) λ j = β k (β ρ) j + β k (β ρ) j 2 (induktionshypotesen) β k (β ρ) j ( λ j + β ρ) β k (β ρ) j (idet λ j ρ 0) Så (+) k gælder, induktionsskridtet er taget, og resultatet bevist 232
3 SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS Sætning 34 Lad A Mat n,n (C), antag, at ρ(a) < Så gælder, at A k 0 når k Skriv ρ = ρ(a), og lad β (ρ, ) Vi har da (med brug af Frobenius-normen, [L], s 248) A k = = w j (k)p j w j (k)p j w j (k) P j = β k ( (trekantsuligheden) β k (β ρ) j P j (Lemma 33) 0 når k, (β ρ) j P j ), idet tallet i parenteserne er uafhængigt af k, og 0 < β < Så A k 0 når k 233
4 SEKTION 32 KONVERGENS AF MARKOVPROCESSER 32 Konvergens af Markovprocesser I denne sektion vil A Mat n,n (R) være en positiv stokastisk matrix Lad s R n være den entydige sandsynlighedsvektor i E A () (se Addendum 028) Definer S = [ s,, s ] i søjleform, så Læg mærke til, at Vi vil vise Sz = S = s e T s n e T s (e T z) s n (e T z) i rækkeform =(e T z)s for alle z C n Sætning 32 A k S når k Som konsekvens ser vi, at en Markov Proces med positiv transitionsmatrix altid konvergerer mod en stabil tilstand: Sætning 322 Lad x 0 R n være en sandsynlighedsvektor Der gælder, at A k x 0 s når k Da A k S når k, så gælder, at A k x 0 Sx 0 når k Men Sx 0 =(e T x 0 )s = s idet x 0 er en sandsynlighedsvektor 234
5 SEKTION 32 KONVERGENS AF MARKOVPROCESSER Vi har brug for et par hjælperesultater: Lemma 323 () Ss = s og S 2 = S (2) AS = S = SA (3) A k S = S = SA k for k =, 2, () Ifølge en tidligere beregning er Ss =(e T s)s = s, og derfor er S 2 = S[s,, s] =[Ss,, Ss] = [s,, s] =S (2) Vi har og AS = A[s,, s] =[As,, As] =[s,, s] =S SA = s e T s n e T A = s (e T A) s n (e T A) = s e T s n e T = S (3) Anvend (2) k gange Lemma 324 Der gælder, for k =, 2,, at A k S =(A S) k Resultatet er oplagt for k = Antag induktivt, for k>, at det gælder for k Vi har da (A S) k =(A S)(A S) k =(A S)(A k S) (induktionshypotesen) = A k SA k AS + S 2 = A k S S + S (Lemma 323) = A k S Induktionsskridtet er taget, og resultatet bevist 235
6 SEKTION 32 KONVERGENS AF MARKOVPROCESSER Proposition 325 Lad λ C være en egenværdi for A S Der gælder én af følgende: (a) λ =0, (b) λ er en egenværdi for A, og λ 2 λ < Lad v C n være en egenvektor for A S svarende til λ Vi skriver v =(e T v)s + w hvor w = v (e T v)s Læg mærke til, at e T w = e T v (e T v)(e T s) = 0 idet e T s = Vi har λv =(A S)v = A((e T v)s + w) Sv =(e T v)s + Aw (e T v)s = Aw, (da As = s og Sv =(e T v)s) så Hvis λ =0gælder mulighed (a) λe T v = e T (λv) =e T (Aw) =(e T A)w = e T w =0 Antag nu, at λ 0 Så er e T v =0og λv =(A S)v = Av Sv = Av (e T v)s = Av, så λ er en egenværdi for A Hvis λ =, v E A () = Span(s), så v = αs med α 0 Men så er e T v = αe T s = α, og e T v 0, en modstrid Så λ, og mulighed (b) gælder 2 Det følger af Proposition 027, 2, at λ < for alle egenværdier λ af A for Sætning 32 Ifølge Proposition 325 er alle egenværdier for A S af absolut værdi <, så (A S) k 0 når k (Sætning 34) Men (A S) k = A k S for k =, 2, (Lemma 323) så A k S 0 når k dvs A k S når k 236
7 SEKTION 33 GOOGLE-SØGNING OG VERDENS STØRSTE MATRIXBEREGNING 33 Google-søgning og verdens største matrixberegning For ti år siden var en søgning på internettet ofte en frustrerende oplevelsesøgemaskinerne kunne finde mange, mange sider, hvor søgeordene optrådte, men rækkefølgen, siderne blev vist i, viste kun sjældent de virkeligt interessante sider først Google-søgningen har ændret dette, nu er det oftest således, at de sider, man er mest interesseret i, bliver vist blandt de allerførste Hvordan kan det lade sig gøre? 33 Princippet bag Googles søgemaskine Internettet kravles igennem af en web-crawler For enhver web-side som nås gemmes bla sidens adresse, sidens tekst, og sidens links (dvs referencer til andre web-sider) Data erne gemmes i en gigantisk database (Antal web-sider N ) 2 Enhver web-side tildeles et tal (0 ), sidens PageRank, som angiver sidens vigtighed 3 Ved en forespørgsel findes i databasen de web-sider, som indeholder søgeordene, og de vigtigste, dvs dem med højeste PageRank, vises først Nøglen til Googles succes er PageRank algoritmen 332 Principper bag PageRank Internettet tolkes demokratisk: Ethvert link tæller som en stemme En web-sides vigtighed afhænger af, hvor mange andre web-sider stemmer på den, dvs linker til den 2 Stemmer fra vigtige web-sider er mere betydende end stemmer fra ikke-vigtige websider Disse principper bliver til PageRank-tal med hjælp af en Markov proces: 333 Den tilfældige surfer, version En internet-bruger bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en given web-side P vælger han eller hun den næste side: Hvis P ikke har udgående links, så vælges tilfældigt blandt nettets web-sider, med lig sandsynlighed 2 Hvis P har udgående links, så vælges tilfældigt én af de linkede web-sider, med lig sandsynlighed 237
8 SEKTION 33 GOOGLE-SØGNING OG VERDENS STØRSTE MATRIXBEREGNING Vi har defineret en Markov proces, hvis transitionsmatrix A er en N N-matrix, hvor a ij er sandsynlighed for, at den tilfældige surfer skifter fra webside j til web-side i, så m : web-side j har m>0 udgående links, ét af dem til web-side i, a ij = 0: web-side j har udgående links, men ikke et til web-side i, N : web-side j har ingen udgående links Stemmeafgivningen om en web-sides vigtighed burde være angivet ved proportionen af tilfældige link-surfere som efter lang tids surf befandt sig på web-siden Der ønskes derfor en N-vektor x, således at Markov-kæden x 0, x = Ax 0,, x k+ = Ax k, konvergerer mod x, lige meget hvordan proportionerne x 0 af link-surferne på internettets sider var i begyndelsen Desværre kan vi ikke forvente, at en sådan x findes, der er feks mange muligheder for periodiske Markov-kæder (feks web-side linker til web-side 2, som linker til web-side 3, som som linker til web-side k, som linker til web-side, uden at web-siderne til k har andre udgående links) Løsningen er, at løsne tøjlerne lidt på surferne (og gør dem også lidt mere realistiske): 334 Den tilfældige surfer, version 2 En internet-bruger bevæger sig tilfældigt rundt på nettet Fra en given web-side ageres med sandsynlighed α som i version, og med sandsynlighed α vælges tilfældigt blandt nettets web-sider, med lig sandsynlighed Her 0 <α Google har tidligere oplyst, at firmaet anvendte α =0, 5 Vi har defineret en ny Markov proces, med N N-transitionsmatrix G = ( α)a + αe hvor E = N [e,, e] Vi ser umiddelbart, at G er en positiv stokastisk matrix, så: Proposition 335 (Addendum 028 og Sætning 322) Der findes en entydig sandsynlighedsvektor s R N som er en egenvektor for G svarende til egenværdi 2 Lad x 0 R N være en sandsynlighedsvektor Der gælder, at G n x 0 s når n s angiver således PageRank: PageRank en af web-side i er den i te indgang s i af s 238
9 SEKTION 33 GOOGLE-SØGNING OG VERDENS STØRSTE MATRIXBEREGNING Der resterer, at beregne s Umiddelbart er det naturligt at prøve at beregne E (G) = N(G ) (som har s som basis (Proposition 027 og Addendum 028)) vha rækkereduktion, men det ville kræve 3 N 3 talmultiplikationer, dvs talmultiplikationer, effektivt umuligt I stedet for anvendes potensmetoden, dvs man beregner en Markov-kæde x 0, x = Gx 0,, x n = Gx n, ( ) (hvor x 0 er en sandsynlighedsvektor, feks N e) indtil forskellen mellem x n og x n er så lille, at x n er en tilstrækkelig god approksimation til s En matrixmultiplikation By, hvor B er en N N-matrix, kunne kræve generelt N 2 talmultiplikationer, så ser temmelig umulig ud; beregningen af Markov-kæden ( ) er dog mulig, fordi G har en ret speciel form Vi har hvor L er link-matricen, med indgange l ij = G = ( α)a + αe = ( α)(l + H)+αE, { m og H er hængende-sider-matricen, med indgange h ij = : webside j har m udgående links, ét til side i, 0: ellers { N : web-side j har ingen udgående links, 0: ellers For at beregne Gx skal der beregnes Lx, Hx og Ex Først Lx: hver web-side indeholder i gennemsnit omkring 0 links Når der således i gennemsnit er ca 0 komponenter i hver søjle, som er forskellige fra 0, må det samme gælde for rækkerne Så beregning af Lx vil kræve ca 0N multiplikationer Dernæst Hx: Alle ikke-nul rækker er ens i H, så de tilsvarende koordinater i Hx er ens Den fælles værdi er ( x j ) N j: web-side j har ingen udgående link Så beregning af Hx kræver mindre end N additioner og én division Endelig Ex: denne kræver ingen udregning når x er en sandsynlighedsvektor, fordi Ex = N e Ṭ e T x x = N = N = N e e T e T x Beregningen af leddene i Markov-kæden ( ) er således krævende (0N =2 0 multiplikationer er altså ret mange), men overkommelig Hvor mange led skal beregnes, før en acceptabel konvergens har fundet sted? 239
10 SEKTION 33 GOOGLE-SØGNING OG VERDENS STØRSTE MATRIXBEREGNING Lemma 336 Hvis λ C er en egenværdi for G med λ, så er λ α Lad v C N være en egenvektor svarende til λ Så er Gv = λv og e T v =(e T G)v = e T (Gv) =e T (λv) =λe T v Vi har derfor (λ )e T v =0, og, da λ, får vi e T v =0 Men så er Ev = N e Ṭ e T v 0 v = N = N = 0, e T e T v 0 og λv = Gv = ( α)av + αev = ( α)av, altså Av = λ αv Så λ α er en egenværdi for A Da A er en stokastisk matrix, er λ (ifølge Lemma 02), så λ α = α α Korollar 337 Lad β ( α, ) Så findes der en konstant C>0 så G k x s Cβ k for alle sandsynlighedsvektorer x og alle k =, 2, Lad S =[s,, s] Hvis λ C er en egenværdi for G S, så gælder, ifølge Proposition 325, enten at λ =0, eller at λ er en egenværdi for G og λ Så λ α, ifølge Lemma 336, og G S har spektral radius α Ifølge beviset for sætning 34 findes der C>0 således, at (G S) k Cβ k Men (G S) k = G k S ifølge Lemma 324, så G k S Cβ k Der gælder altså, at G k x s = (G k S)x G k S x G k S Cβ k Markov-kæden x 0, x = Gx 0,, x n = Gx n, konvergerer således med en eksponential hastighed (tæt på) α =085 med Googles (tidligere?) valg af α =05 I 2000 oplyste Google, at de beregnede ca 00 led af kæden ( ) men dengang var der kun ca web-sider 240
11 SEKTION 33 GOOGLE-SØGNING OG VERDENS STØRSTE MATRIXBEREGNING Google, Googles beregninger, og PageRank har tiltrukket sig megen interesse fra konkurrenter, fra dem, der gerne så deres web-sider opfattet vigtigere, og fra mange forskere, der ville gøre det bedre og der findes mange offentligt tilgængelige forslag til hurtigere beregninger og anderledes definition af Googles stokastiske proces, foruden Googles egne forbedringer, ikke længere så tilgængelige som i begyndelsen Så det, jeg har skitseret, er nok ikke helt som tingene gøres i dag Men der er skabt en 200 milliarder dollars forretning på basis af Googles søgemaskiner, og det hele startede som jeg har beskrevet fordi to studerende, Sergey Brin and Larry Page, havde hørt efter til Lineær Algebra forelæsninger 24
Filosofien og matematikken bag Google
40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge
Læs mereF i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e. M e d fo k u s på Pag e R a n k.
F i l o s o f i e n o g m at e m at i k k e n b ag G o o g l e M e d fo k u s på Pag e R a n k. J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e
Læs mereGoogle Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak
Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereDifferentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereHer vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke
Her vil jeg gerne være Det er sådan dine kunder skal tænke I denne gennemgang lægger vi vægt på hjemmesidens opbygning. For at få det optimale udbytte af en hjemmeside skal mange elementer spille sammen.
Læs meredpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer
Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereBliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner
Bliv opdaget på Internettet! - 10 gode råd til at optimere din hjemmeside til søgemaskiner Af Henrik Bro og Martin T. Hansen I har måske allerede en flot, og informativ hjemmeside. Og alle jeres kursister
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereNummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009
Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen
Læs mereLineær Algebra Dispositioner
Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereMatematik Camp Noter og Opgaver
Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere