De fire elementers kostbare spejl

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "De fire elementers kostbare spejl"

Transkript

1 Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af stor nytte for alle folkeslag. Kendskabet til hvordan man foretager undersøgelser, udviklingen af tankekraft, den rette måde at styre et kongedømme på eller endda at herske over hele verden, kan opnås af den, som er i stand til at drage lære af denne bog. Bør så ikke de, som ønsker at være lærde, tage den til sig og studere den med stor omhyggelighed?" (Zhu Shijie: Fra forordet til De fire elementers kostbare spejl, 10) Indhold Indledning:... 1 Om løsning af lineære ligninger: ref og rref-metoden... Lige store koefficienters metode... Escehlon-omformningen: ref og rref-metoderne... Ligningsløsning med CAS... 7 Hvad sker der når ligningssystemet bryder sammen?... 8 Flere ligninger med flere ubekendte: Kineserier Indledning: Løsning af lineære ligningssystemer blev som fortalt i A-bogen, kapitel 9, først for alvor sat i system i vesten af Gauss med grundlæggelsen af den lineære algebra. Men algoritmerne har været kendt meget længe før Gauss, hvad han selvfølgelig godt vidste. Den kultur, der kom længst med løsning af lineære ligningssystemer var den kinesiske: De udviklede de samme metoder som Gauss mange hundrede år før Gauss. Men de havde selvfølgelig ikke den symbolske notation til rådighed, så de opfandt ikke den lineære algebra i moderne forstand. Men de udviklede alle de afgørende algoritmer, idet de indså at det alene er koefficienterne til de ubekendte, der er afgørende, og at man derfor kunne repræsentere et lineært ligningssystem ved et talskema, i moderne sprogbrug: en koefficientmatrix. Og ved at udføre simple systematiske såkaldt lineære regneoperationer på disse talskemaer, kunne det omformes til en form, hvor man direkte kan aflæse løsningen, eller afgøre om der slet ingen eller uendeligt mange løsninger. Alt sammen skete ved håndregning på bambuspinde, så i praksis holdt kineserne sig til at kigge på lineære ligningssystemer med højst fem ubekendte! Den kinesiske metode er også en af de metoder, der er implementeret i CAS-programmer, når de skal løse lineære ligningssystemer, hvad enten man bruger den generelle solve-kommando, eller en passende lineær variant specielt tilpasset de lineære ligningssystemer. Så projektet giver også et sjældent kik ind i maskinrummet, hvor vi for en gangs skyld kan se hvad det egentlig er, der foregår når solve-kommandoen let og elegant løser et stort lineært ligningssystem. Så i dette projekt lærer du ikke blot om de grundlæggende algoritmer til løsning af lineære ligningssystemer. Du lærer også om lidt om historien bag nogle af de grundlæggende teknikker inden for den moderne lineære algebra. 1

2 Om løsning af lineære ligninger: ref og rref-metoden Vi vil nu se på ligningssystemer bestående af flere ligninger med flere ubekendte. Men vi vil kun se på lineære ligningssystemer, dvs. de må kun indeholde de ubekendte i førstegrads-udtryk. De må altså kun være bygget op af de simple regneoperationer, og den ubekendte må ikke være fx kvadreret, ligesom vi ikke må dividere med den ubekendte. Den mest almindelige form for to ligninger med to ubekendte ser derfor således ud: a x+ b y= e c x+ d y= f Lige store koefficienters metode Vi varmer op med et meget simpelt eksempel Eksempel 1: (1) x+ y= () x- y= 1 Her kan ligningssystemet nemt løses ved først at lægge ligningerne sammen, hvorved vi finder (11) x= 6Û x= og derefter trækker dem fra hinanden, hvorved vi finder (1) y= 4Û y= Her har vi brugt den følgende notation: (11) er den første omskrivning af ligning 1, (1) den anden omskrivning af ligning osv. Tilsvarende er (1) den første omskrivning af ligning, () den anden omskrivning af ligning osv. Spørgsmålet er så, om vi derved har løst ligningssystemet fuldstændigt, dvs. om ligningssystemet bestående af ligningerne (1, ) er ækvivalent med ligningssystemet bestående af ligningerne (11, 1)? Det er umiddelbart klart, at enhver løsning til ligningssystemet (1, ) også er en løsning til ligningssystemet (11, 1). Men gælder det omvendte også? Hertil bemærker vi at ligningssystemet (11, 1) er fremkommet ved omformningerne: (11) = (1) + () (1) = (1) -() Men heraf følger jo så omvendt, at der gælder ( ) ( ) (1) = ½ (11) + (1) () = ½ (11) -(1) De to ligningssystemer er altså ækvivalente!. Øvelse 1: (1) x+ y= (11) x= 6 (1) x= Û Û () x- y= 1 (1) y= 4 () y=

3 a) Prøv nu selv kræfter med ligningssystemet: x+ y= 8 x- y=- Så vil vi prøve at diskutere lineære ligninger lidt mere alment. Vi vil benytte en metode, der hedder lige store koefficienters metode, som tillader os at løse vilkårlige ligningssystemer systematisk ved reduktion. Den findes i to varianter: En simpel, hvor man omformer ligningssystemet til en form, hvoraf løsningerne fremgår ved substitution. En lidt mere kompliceret variant, hvor man omformer ligningssystemet til en form, hvoraf løsningerne fremgår umiddelbart. Escehlon-omformningen: ref og rref-metoderne Strategien har i begge tilfælde fået navn efter et militært udtryk: en eschelon. Det kan minde om fx en bataljon. Det handler om at stille en række soldater op i en bestemt formation. Hertil skal vi forestille os at soldaterne står på række med en fløjmand ud for hver række. Ved en almindelig eschelon trækker man nu hele rækken skråt ud, så man kan se fløjmanden: Þ Ved en reduceret eschelon trækker man kun fløjmændene skråt ud, så man kan se dem tydeligt: Þ I forbindelse med lineære ligninger, skal man tænke på de ubekendte som fløjmændene, og konstanterne og parametrene som de menige soldater. Eksempel : Løs ligningssystemet (1) x+ y= () x- y= 1 Når vi skal løse ligningssystemet trækker vi derfor først ligningerne fra hinanden, hvorved vi fjerner x fra den nederste ligning, dvs. vi erstatter () med differensligningen (1) (): (1) x+ y= (1) = (1) -() y= 4 Vi har nu fået trukket x ud som fløjmand, og har derfor fået lavet en almindelig eschelon. Den kan man umiddelbart bruge til at løse ligningen, idet man først finder y fra ligningen (1): (1) x+ y= () = (1) / y=

4 Derefter indsætter vi den fundne værdi for y i ligningen (1) og løser denne. Men vi kan også fjerne y fra den øverste ligning ved at trække ligningen () fra ligningen (1), hvorved vi finder: (11) = (1) -() x = () y= Denne gang har vi trukket begge fløjmændene fri, så de står alene, og dermed fået en reduceret eschelon! Når vi nu skal gøre det samme på computeren bemærker vi, at de lineære udregninger er meget simple og kun virker på koefficienterne. Det er derfor nok at oversætte ligningssystemet til en koefficientmatrix: (1) x+ y= é1 1 ù () x- y= ë - û x y konstanter Vi regner så løs direkte på koefficientmatricen, men det er præcis de samme udregninger som før! (1) é1 1 ù () Først trækkes de to rækker fra hinanden, og vi erstatter den anden række med differensrækken: (1) é1 1 ù (1) = (1) -() 0 4 Så divideres den anden række med : (1) é1 1 ù () = (1) / 0 1 Derved har vi opnået at få opstillet den almindelige række-eschelon, hvor fløjmanden er trukket klart ud. Vi fortsætter så med at trække den øverste række fra den nederste, og vi erstatter den første række med differensrækken: (11) = () -(1) é1 0 ù () 0 1 Dermed har vi opnået at frembringe den reducerede række eschelon, hvor det fløjmændene er skilt fuldstændigt ud. Og når vi så oversætter det tilbage til ligningssystemet, idet første søjle er knyttet til x, anden søjle til y og tredje søjle til konstanterne fås netop: Øvelse : (11) é1 0 ù 1x+ 0y= x = () 0 1 0x+ 1y= y= a) Hvilket ligningssystem varer til koefficientmatricen é ù - 4? 4

5 Øvelse : Dit CAS-værktøj rummer formentlig kommandoer til at udføre rækkeoperationerne på koefficientmatricen. I TI-Nspire CAS finder du sådanne kommandoer under Matricer i oversigten over Matematiske operatorer: a) Find ud af hvordan kommandoerne virker, og hvordan de kan bruges til at omforme det ovenstående ligningssystem fra eksempel med koefficientmatricen: é1 1 ù Det er dette princip computeren bruger til at løse ligninger med to ubekendte! Men før vi ser nærmere på det, vil vi se på et lidt mere kompliceret eksempel: Eksempel : Lad os tænke os at vi skal løse ligningssystemet (1) x+ y= () x- 4 y= Vi starter da, med at udnævne den første ligning til at være den ligning, der skal indeholde den første ubekendte x. Vi skal så have elimineret x fra den anden ligning. Det sker ved hjælp af lige store koefficienters metode, idet vi udfører mellemregningen: (11) = (1) 6 x+ 9 y= 9 (1) = () 6 x- 8 y= 10 Ved subtraktion finder vi da den omformede ligning: () = (1) - () 17 y =-1

6 På nuværende tidspunkt har vi derfor omformet det oprindelige ligningssystem (1, ) til følgende dermed ækvivalente ligningssystem: (1) x+ y= () 17 y=-1 De er ækvivalente, fordi ligningssystemet (1, ) kan omformes tilbage til ligningssystemet (1, ). Det følger umiddelbart af omskrivningerne: (1) = (1) ( ) () = (1) -() / Dermed har vi gennemført den delvise reduktion til en almindelig rækkeeschelon! Af den sidste ligning følger umiddelbart, at værdien af y selvfølgelig er givet ved y = 1/17. Og ved at sætte denne værdi ind i den første ligning fås en førstegradsligning, der umiddelbart kan løses med hensyn til x. I princippet er vi derfor færdige. Hvis vi vil gennemføre en fuldstændig reduktion kræver det, at også ligning (1) omformes, så den kun indeholder én ubekendt/fløjmand, nemlig x. Det sker igen ved hjælp af lige store koefficienters metode, idet vi udfører mellemregningen: (1) = 17 (1) 4 x+ 1 y= 1 () = () 1 y=- Ved subtraktion finder vi da den omformede ligning: (1) = 17 (1) - () 4 x = 4 På nuværende tidspunkt har vi derfor omformet det oprindelige ligningssystem (1,) til følgende dermed ækvivalente ligningssystem: (1) 4 x = 4 () 17 y =-1 De er ækvivalente, fordi ligningssystemet (1,) kan omformes tilbage til ligningssystemet (1,). Det følger umiddelbart af omskrivningen ( ) (1) = (1) + () / 17 () = () Dermed har vi gennemført den fuldstændige reduktion til en række- eschelon! Vi kan nu umiddelbart aflæse løsningerne til ligningssystemet: x 7 = y = 17 6

7 Øvelse 4: a) Løs nu selv ligningssystemet med koefficient-matricen: é ù - 4 b) Hvis du har fundet ud af hvordan rækkeoperationerne i dit CAS-værktøj virker, så brug dem til at omforme koefficientmatricen. Ligningsløsning med CAS Så er det på tide, vi får computeren bragt i spil! Som eksempel benytter vi igen ligningssystemet: (1) x+ y= () x- 4 y= Først skal vi have indskrevet koefficientmatricen (1) é ù () -4 Den indeholder rækker og søjler. I TI-Nspire CAS findes en matrix-skabelon: Når vi først har indskrevet koefficientmatricen, skal vi have den reduceret til række-eschelon formen. Det gør vi ved hjælp af kommandoen rref = reduced row eschelon form, dvs. reduceret række eschelon form der ikke må forveksles med den korte udgave ref = row eschelon form, dvs. række eschelon form 7

8 Vi henter rref-kommandoen i kataloget over Matematiske operatorer i Matrix-menuen, dvs. gør klar til at udføre en reduceret række eschelon form: Herved finder vi netop løsningerne til ligningssystemet, dvs. 1x+ 0y= 7 / 17 x= 7 / 17 0x+ 1y=- 1 / 17 y=-1 / 17 Bemærkning: Hvis vi kun havde brugt almindelig række eschelon form, dvs. ref kommandoen, havde vi i stedet fået: og dermed havde vi kun fået omskrevet ligningssystemet på formen: x- y= x= + = dvs x+ 1 y= y= Så det giver en del ekstra oprydning, hvis man nøjes med ref-kommandoen! Øvelse : b) Benyt rref-kommandoen i dit CAS-værktøj til at reducere koefficient-matricen: é ù - 4 c) Forklar hvilket ligningssystem, denne koefficientmatrix svarer til og hvilke løsninger ligningssystemet har. Hvad sker der når ligningssystemet bryder sammen? Desværre er det ikke altid ligningssystemet har en enkelt pæn løsning. Det kan fx være, at de to ligninger i virkeligheden er identiske. Se fx på ligningssystemet 8

9 (1) x- y=- () - 4 x+ 6 y= 10 Måske lægger vi ikke mærke til, at ligning () i virkeligheden blot er ligning (1) ganget med : () =- (1) Men det betyder jo, at de har præcis de samme løsninger. Enhver løsning til (1) er derfor også en løsning til () (og omvendt), men da ligning (1) har uendeligt mange løsninger gælder det selvfølgelig også for hele ligningssystemet! Hvis vi forsøger at løse ligningssystemet med lige store koefficienters metode, kan vi fx gange ligning (1) med og derefter lægge ligningerne sammen, hvorved vi finder 0= 0 Det oprindelige ligningssystem er derfor ækvivalent med ligningssystemet: (1) x- y=- (1) 0= 0 Men hvad betyder det? Jo, den anden ligning er jo altid opfyldt! Og dermed er den overflødig. Ligningssystemet er derfor i virkeligheden ækvivalent med den første ligning i sig selv, og dermed har ligningssystemet uendelig mange løsninger. Prøver vi at løse ligningssystemet på computeren finder vi da også: Altså er ligningssystemet ækvivalent med (11) - x- y= (1) 0= 0 Det viser netop, at den anden ligning er overflødig, og at den første ligning kan omskrives på formen - x- y= Û x= y- Der er altså uendelig mange løsninger, og ved at sætte y-værdier ind i den ovenstående ligning kan vi finde de tilhørende x-værdier. Hvis vi kun er interesserede i positive heltallige løsninger, kan vi specielt nøjes med at indsætte ulige værdier for y: - y= 1 Þ x= 1- = =-1 (duer ikke!) 4 y= Þ x= - = =. 10 y= Þ x= - = = 16 y= 7 Þ x= 7 - = = 8 (osv.) 9

10 Det kan også ske, at ligningssystemet slet ikke har nogen løsning. Se fx på ligningssystemet (1) x- y= () - 4 x+ 6 y= 10 hvor vi har ændret fortegnet på højresiden for den første ligning! Hvis vi igen forsøger at løse ligningssystemet med lige store koefficienters metode, kan vi fx gange ligning (1) med og derefter lægge ligningerne sammen, hvorved vi finder 0 = 1 Det oprindelige ligningssystem er derfor ækvivalent med ligningssystemet: (1) x- y= (1) 0 = 1 Men hvad betyder det? Jo, den anden ligning er jo aldrig opfyldt! Og dermed ødelægger den muligheden for at finde løsninger totalt! Dermed har ligningssystemet ingen løsninger. Prøver vi at løse ligningssystemet på computeren finder vi da også: Altså er ligningssystemet ækvivalent med (11) x- y= 0 (1) 0= 1 Det er den anden ligning, som er afgørende! Den er umulig at løse, og det viser netop, at ligningssystemet ingen løsninger har. Øvelse 6: a) Giv selv eksempler på ligningssystemer med ubekendte, der enten ingen løsninger har, eller uendeligt mange løsninger har. Flere ligninger med flere ubekendte: Kineserier Metoden med at løse lineære ligninger ved hjælp af simple regneoperationer på koefficientmatricen, og derved reducere den til en almindelig eschelon form går tilbage til kineserne for mindst 000 år siden. Så det er gammelt arvegods. 10

11 Eksempel 4: Kineserne løser fx ligningssystemet: (1) x+ y+ z= () x+ y+ z= 4 () x+ y+ z= 6 Vi vil løse det ved en fuldstændig reduktion til en række-eschelon! Ved at bruge lige store koefficienters metode på ligning (1) og () kan vi fjerne x fra ligning (): (1) 6 x+ 4 y+ z= 78 () 6 x+ 9 y+ z= 10 () () - (1) y+ z= 4 Ved tilsvarende at bruge lige store koefficienters metode på (1) og () kan vi fjerne x fra ligning (): (1) x+ y+ z= () x+ 6 y+ 9 z= 78 ()-(1) 4 y+ 8 z= Vi har derved fået omformet ligningssystemet til formen: (1) x+ y+ z= (1) y+ z= 4 (1) 4 y+ 8 z= Dermed er den første fløjmand trukket fri! Så anvender vi lige store koefficienters metode på de to sidste ligninger for at fjerne y fra den sidste ligning: 4 (1) 0 y+ 4 z= 96 (1) 10 y+ 40 z= 19 (1) - 4 (1) 6 z= 99 Dermed er det oprindelige ligningssystem omformet til det ækvivalente ligningssystem: (1) x+ y+ z= (1) y+ z= 4 () 6 z= 99 Her stopper kineserne så omformningen, idet de bemærker, at vi nu kan finde z af den sidste ligning. Derefter sættes den fundne værdi af z ind i den foregående, som vi så bruger til at finde y. Endelig sættes de fundne værdier af z og y ind i den første ligning, som så bruges til at finde x. I princippet har vi derfor løst det oprindelige ligningssystem. Men vi vil føre omskrivningen helt igennem til en reduceret række-eschelon! Først vil vi dog forkorte den sidste ligning med 9, for at få mindre og dermed pænere tal at arbejde med! 11

12 (1) x+ y+ z= (1) y+ z= 4 () 4 z= 11 Vi benytter derefter lige store koefficienters metode på de to sidste ligninger til at fjerne z fra den anden ligning. 4 (1) 0 y+ 4 z= 96 () 4 z= 11 4 (1) -() 0 y = 8 Û 4 y = 17 Dermed er ligningssystemet omformet til formen: (1) x+ y+ z= () 4 y = 17 () 4 z= 11 Så mangler vi kun at fjerne y og z fra den første ligning. Først fjerner vi z ved hjælp af lige store koefficienters metode anvendt på den første og tredje ligning: 4 (1) 1 x+ 8 y+ 4 z= 16 () 4 z= 11 4 (1) -() 1 x+ 8 y = 14 dvs. ligningssystemet er nu bragt på formen: (1) 1 x+ 8 y = 14 () 4 y = 17 () 4 z= 11 Så fjerner vi y fra den øverste ligning ved at anvende lige store koefficienters metode på den første og anden ligning: (1) 1 x+ 8 y+ = 14 () 8 y+ = 4 (1) - () 1 x = 111 Û 4 x = 7 Og så er vi endelig igennem!! Ved hjælp af lige store koefficienters metode har vi omformet det oprindelige ligningssystem til formen: (1) 4 x = 7 () 4 y = 17 () 4 z = 11 og deraf fremgår løsningerne jo direkte: x=, y=, z=

13 Når man har gået så grueligt meget ondt igennem for at løse et så forholdsvis simpelt et ligningssystem, så skønner man på, at man har en computer, der kan automatisere processen: Kineserne havde naturligvis ikke computere til rådighed. Men de indså hurtigt, at de kun behøvede at arbejde direkte med koefficientmatricerne, dvs. med de 'firkantede talskemaer'. Kineserne indførte derfor effektivt matricer til at repræsentere ligningssystemer. Tallene blev så noteret ved hjælp af pinde i et positionssystem, som netop svarede til vores ti-talssystem. Og da de også hurtigt indså nytten af negative koefficienter, havde de farvede pinde til rådighed, så den ene farve kunne stå for positive koefficienter, den anden for negative koefficienter. Kineserne udviklede derfor også som de første systematiske regler for at regne med negative tal. Øvelse 7: a) Løs nu selv i hånden på tilsvarende vis ligningssystemet med koefficientmatricen é 1 ù ë 1 û b) Kontroller med rref-kommandoen og den specielle kommando for løsning af lineære ligningssystemer i dit CAS-værktøj (I TI-Nspire CAS hedder det fx linsolve( ) ). Øvelse 8: a) Kineserne kendte ikke den analytiske geometri. Men det gør du i et vist omfang. Gør rede for at to lineære ligninger med to ubekendte svarer til skæringen mellem rette linjer i planen og at tre lineære ligninger med tre ubekendte svarer til skæringen mellem rette planer i rummet. b) Giv ved hjælp heraf en geometrisk tolkning af ligningssystemerne i eksempel og 4. Illustrer også løsningerne grafisk. 1

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester efterår 2013-forår 2014 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

2. Ligninger og uligheder i Derive

2. Ligninger og uligheder i Derive 2. Ligninger og uligheder i Derive Der findes selvfølgelig en indbygget ligningsløser i Derive, en SOLVE-funktion, men den er ikke helt så fleksibel og heller ikke helt så brugervenlig som den tilsvarende

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere