Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl"

Transkript

1 Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016

2 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde, at det implicit fremstår i sin naturlige generalitet. Vi har også lagt vægt på ikke-kommutativitet, og vi benytter således ikke, at ab og ba er ens, medmindre det er nødvendigt. Vores hovedkilde som inspiration har været den uovertrufne præsentation af lineær algebra i N. Bourbaki, Algebra I og Algebra II. Vores gennemgang af determinanten er også stærkt inspireret af H. A. Nielsen, Lineær Algebra, Aarhus Universitet fra Endvidere er bogens layout og visse figurer overført fra Niels Vigand Pedersen, Lineær Algebra, Københavns Universitet, 2. udgave fra 2009, revideret af Morten Risager. København, oktober 2016, Lars Hesselholt og Nathalie Wahl ii

3 Indhold 0 Skalarer Legemer Højre og venstre multiplikation Lineære ligningssystemer Lineære ligningssystemer Rækkeoperationer Matricer og lineære afbildninger Matricer Vektorrummet F m Lineære afbildninger Invertible matricer Operationsmatricer Hermitiske former Determinant Determinant af 2 2-matrix Determinant for n n-matricer Triangulære matricer Determinant og invers matrix Polynomier Vektorrum Vektorrum og lineære afbildninger Basis for et vektorrum Matrix repræsentation af lineære afbildninger Kerne og billede Egenværdier og egenrum Egenværdier og egenrum for kvadratiske matricer Diagonaliserbare matricer Egenværdier og egenrum for lineære endomorfier Vektorrum med indre produkt Indre produkt iii

4 Indhold 6.2 Ortogonalitet Lineære isometrier Spektralsætningen Klassifikation af hermitiske former iv

5 0 Skalarer Hele vejen igennem bogen vil vi arbejde med en grundlæggende mængde af tal, som vi betegner F. Vi siger, at elementer a F er skalarer. De to hovedeksempler, vi har i tankerne, er de reelle tal F = R og de komplekse tal F = C. Vi specificerer nedenfor de aritmetiske strukturer + og på mængden af skalarer, som vi skal gøre brug af. 0.1 Legemer Vi tillader F at være et vilkårligt legeme, hvilket vil sige en mængde af skalarer udstyret med sum og produkt af disse skalarer, der opfylder de sædvanlige aritmetiske regler. Den præcise definition er som følger. Definition Et legeme er en triple (F,+,, der består af en mængde F samt to afbildninger +: F F F og : F F F, sådan at der gælder: (A1 For alle a, b, c F er (a + b + c = a + (b + c. (A2 Der findes et element 0 F, sådan at a + 0 = a = 0 + a for alle a F. (A3 For alle a F, findes der et b F, sådan at a + b = 0 = b + a. (A4 For alle a, b F er a + b = b + a. (P1 For alle a, b, c F er (a b c = a (b c. (P2 Der findes et element 1 F, sådan at a 1 = a = 1 a for alle a F. (P3 For alle 0 a F, findes b F, sådan at a b = 1 = b a. Endvidere er 0 1. (P4 For alle a, b F er a b = b a. (D1 For alle a, b, c F er a (b + c = (a b + (a c. (D2 For alle a, b, c F er (a + b c = (a c + (b c. Vi forkorter normalt og skriver ab i stedet for a b. Vi vil også normalt misbruge notation og blot skrive F for legemet (F,+,. 1

6 0 Skalarer Eksempel Vi giver følgende mere eller mindre velkendte eksempler på legemer. (R Det bedst kendte eksempel på et legeme er nok legemet af reelle tal (R,+,, hvor R er mængden af reelle tal, og hvor + og er henholdsvis den sædvanlige sum og det sædvanlige produkt af reelle tal. (Q Et andet velkendt eksempel er legemet af rationelle tal (Q,+,, hvor Q R er delmængden af rationale tal, og hvor igen + og er de sædvanlige sum og produkt operationer. (C Et meget vigtigt eksempel er legemet af komplekse tal (C,+,, som består af mængden af komplekse tal med + og defineret ved henholdsvis C = {a + ib a, b R} (a + ib + (c + id = (a + c + i(b + d (a + ib (c + id = (ac bd + i(ad + bc. Det modsatte element af a + ib er a + i( b, som vi også skriver a ib, og, hvis a, b 0, da er det multiplikativt inverse element af a + ib givet ved 1 a + ib = a ib (a + ib(a ib = a ib a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2. (F 2 Det mindste legeme er legemet (F 2,+,, hvor F 2 = {0,1}, og hvor er defineret til at være lig med 0. Der findes mange andre legemer, endelige som uendelige, og linear algebra fungerer over et vilkårligt legeme. I dette kursus vil vi dog kun bruge R og C som eksempler. De grundlæggende egenskaber (A1 (A4, (P1 (P4 og (D1 (D2, der per definition gælder for sum og produkt i et legeme, har flere konsekvenser, som er velkendte for de reelle og de komplekse tal, men som altid gælder så snart de grundlæggende betingelser er opfyldt. Vi nævner her nogle af de vigtigste: (1 Elementet 0 F, der opfylder (A2, er entydigt bestemt. For hvis 0 og 0 begge opfylder (A2, da gælder 0 = = 0. Vi kalder 0 F for nul-elementet i F. (2 Givet a F, da er elementet b F, der opfylder (A3 ligeledes entydigt bestemt. For hvis både b og b opfylder (A3, da er b = b + 0 = b + (a + b = (b + a + b = 0 + b = b. Vi skriver a for dette element b og kalder det for det modsatte element af a. 2

7 0.1 Legemer (3 Man viser tilsvarende, at elementet 1 F, der opfylder (P2, er entydigt bestemt; vi kalder dette element for et-elementet i F. Og givet 0 a F, da er elementet b F, der opfylder (P3, ligeledes entydigt bestemt; vi kalder dette element for det multiplikativt inverse element af a og betegner det a 1. (4 Hvis a + c = b + c, så er a = b, idet a (A2 = a + 0 (A3 = a + (c + ( c (A1 = (a + c + ( c = (b + c + ( c (A1 = b + (c + ( c (A3 = b + 0 (A2 = b. Det vil sige, at vi kan trække et vilkårligt c F fra på begge sider at et lighedstegn. Tilsvarende gælder der for alle c F med c 0, at hvis a c = b c, så er a = b, fordi a (P2 = a 1 (P3 = a (c c 1 (P1 = (a c c 1 1 (P1 = (b c c = b (c c 1 (P3 = b 1 (P2 = b. Det vil sige, at vi kan dividere med c F på begge sider af et lighedstegn, forudsat at c er forskellig fra 0. Vi kan derimod ikke dividere med 0, fordi 0 ikke har et multiplikativt inverst element. Vi nævner derudover de følgende to konsekvencer af Definition 0.1.1: Sætning Lad F være et legeme. For alle a F gælder følgende: (E1 a 0 = 0 = 0 a. (E2 a ( 1 = a = ( 1 a. Bevis Vi beviser først (E1. Givet a F, da er a 0 (A2 = a (0 + 0 (D1 = (a 0 + (a 0, og ved at trække a 0 fra venstre og højre side får vi da, at 0 = (a 0 som ønsket. Vi viser dernæst (E2. Ifølge bemærkning (2 ovenfor, er a F det entydigt bestemte element, der opfylder a + ( a = 0 = ( a + a. Men udregningen a + ( 1 a (P2 = 1 a + ( 1 a (D2 = (1 + ( 1 a (A3 = 0 a (E1 = 0 ( 1 a + a (P2 = ( 1 a + 1 a (D1 = a (1 + ( 1 (A3 = a 0 (E1 = 0 viser, at elementet ( 1 a også har denne egenskab, hvilket viser (E2. 3

8 0 Skalarer Bemærkning Hvis (Z,+, er triplen, hvor Z er mængden af hele tal, og hvor + og er de sædvanlige sum og produkt operationer, så er er alle aksiomerne i Definition med undtagelse af (P3 opfyldt. For de eneste elementer i Z, der har et multiplikativt inverst element er +1 og 1. Dermed er (Z,+, altså ikke noget legeme. En triple af denne art kaldes for en kommutativ ring. Kommutative ringe forekommer i enorm variation Højre og venstre multiplikation Hvis (F,+, er et legeme, så gælder der ifølge aksiom (P4 at a b = b a for alle a, b F. Med andre ord, så gør det ingen forskel, om vi ganger a med b fra højre eller fra venstre. Der forekommer dog naturligt også tripler (F,+,, der opfylder alle aksiomerne for at være et legeme med undtagelse af (P4, og vi siger da, at (F,+, er et skævlegeme. Eksempel Hamilton s kvaternioner er skævlegemet (H, +,, hvor H = {a + ib + jc + kd a, b, c, d R} er mængden af kvaternioner, og hvor + er defineret ved mens er defineret ved (a 1 + ib 1 + jc 1 + kd 1 + (a 2 + ib 2 + jc 2 + kd 2 = (a 1 + a 2 + i(b 1 + b 2 + j(c 1 + c 2 + k(d 1 + d 2, (a 1 + ib 1 + jc 1 + kd 1 (a 2 + ib 2 + jc 2 + kd 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 + i(a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 d 1 c 2 + j(a 1 c 2 b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 + k(a 1 d 2 + b 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 a 2. Her er det vigtigt at holde styr på, om vi ganger fra højre eller fra venstre. For eksempel er i j = k, mens j i = k. I lineær algebra spiller multiplikation fra højre og venstre forskellige roller, og vi gør det derfor til en regel altid at være forsigtige med, hvilken side vi ganger fra. Den kommutative lov (P4 gælder således ikke for multiplikation af matricer, som vi indfører i kapitel 2. Endelig er (P4 slet ikke nødvendig i de fleste af de efterfølgende kapitler, og mange beviser bliver faktisk lettere, når man ikke tillader sig at bruge (P4. 1 Det mere end 5000 sider lange Stacks Project (stacks.math.columbia.edu omhandler kommutative ringe og deres egenskaber. 4

9 1 Lineære ligningssystemer I dette kapitel indfører vi lineære ligningssystemer og beskriver en algoritme til at finde deres løsninger. Denne algoritme eller metode, der allerede er beskrevet i den kinesiske tekst Ni kapitler om den matematiske kunst skrevet omkring begyndelsen af vor tidsregning, blev langt senere genfundet af først Newton og senere Gauss, og går nu, noget uretfærdigt, under navnet Gauss elimination. Algoritmen består i at omforme ligningssystemer ved hjælp af rækkeoperationer, der ikke ændrer løsningsmængden, men gør det muligt umiddelbart at angive denne. Disse rækkeoperationer er et helt grundlæggende værktøj i linear algebra, som benyttes i mange udregninger. Vi samler al infomation om et lineært ligningssystem i en matrix, og vi indfører en speciel form for matricer, som vi kalder matricer på reduceret echelon form, for hvilke det tilhørende ligningssystem umiddelbart kan løses. Gauss elimination er da mere præcist en algoritme, der ved hjælp af rækkeoperationer omdanner en given matrix til en entydigt bestemt matrix på reduceret echelon form. 1.1 Lineære ligningssystemer Vi siger, at et system af ligninger på formen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m med a i j, b i F er et lineært ligningssystem med m ligninger i n ubekendte over F. Skalaerne a i j og b i kaldes henholdsvis ligningssystemets koefficienter og konstanter. Ved en løsning til ligningssystemet forstås en familie af n skalarer x 1 x 2 x =., der samtidigt tilfredstiller de m ligninger i systemet. Den mængde, der består af alle løsninger til ligningssystemet, kaldes ligningssystemets løsningsmængde. x n. 5

10 1 Lineære ligningssystemer Hvis konstanterne b i alle er lig med 0 kaldes ligningssystemet homogent, og ellers kaldes det inhomogent. Et homogent ligningssystem har altid løsningen 0 0 x = 0 =., 0 mens ikke alle inhomogene ligningssystem har løsninger. Eksempel (Homogent og inhomogent ligningssystem Ligningssystemet 2x 1 3x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 2 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 med 3 ligninger i 3 ubekendte er inhomogent; og ligningssystemet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 er det tilhørende homogene ligningssystem. Det er nyttigt ikke at skulle skrive de variable x j hele tiden, og derfor samler vi ligningssystemets koefficienter a i j i en m n-matrix a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =......, a m1 a m2... a mn som vi kalder ligningssystemets koefficientmatrix. Vi siger, at matricen har m rækker og n søjler. Hvis vi tilføjer den ekstra søjle b 1 b 2 b =., der består af ligningssystemets konstanter, så får vi en m (n + 1-matrix a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 ( A b = , a m1 a m2... a mn b m b m 6

11 1.2 Rækkeoperationer som vi kalder ligningssystemets totalmatrix. Vi har her, som det er sædvane, inkluderet en lodret linie, der adskiller koefficienter og konstanter. Linien er ikke af matematisk betydning og har udelukkende til formål at huske os på, hvilket ligningssystem denne matrix repræsenterer. Eksempel (Totalmatrix Ligningssystemet i eksempel har totalmatrix Den har 3 rækker og 4 søjler, og er dermed en 3 4-matrix Rækkeoperationer Lad os som et simpelt eksempel bestemme løsningsmængden for ligningssystemet 4x 1 + x 2 = 9 x 1 x 2 = 1. Vi adderer først den anden ligning til den første og får da ligningssystemet 5x 1 = 10 x 1 x 2 = 1. Vi ganger dernæst den første ligning med 1 5 og den anden med 1, hvilket giver x 1 = 2 x 1 + x 2 = 1. Endelig adderer vi den første ligning til den anden, hvilket giver x 1 = 2 x 2 = 1. De fire ligningssystemer har alle samme løsningsmængde, da de operationer, vi har udført bevarer løsningsmængden og kan inverteres. Fra det sidste ligningssystem kan vi derfor konkludere, at denne fælles løsningsmængde består af den entydige løsning ( x1 x 2 = ( 2. 1 Vi skal nu vise, at denne løsningsmetode virker for et generelt lineært ligningssystem. 7

12 1 Lineære ligningssystemer Så vi betragter lineære ligningssystemer a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m bestående af m ligninger i n ubekendte og indfører de følgende tre typer af operationer, der omformer et sådant lineært ligningssystem til et nyt lineært ligningssystem. Type M: Multplication fra venstre af en ligning med en skalar c 0. Type S: Addition af et venstre multiplum af en ligning til en anden ligning. Type T: Ombytning af to ligninger. Her står M for multiplikation; S for sum; og T for transposition. Vi husker på fra afsnit 0.2, at vi skelner mellem venstre og højre multiplikation. De tre typer af operationer bevarer alle både antallet m af ligninger og antallet n af ubekendte. Endvidere gælder der, at enhver løsning til et givet ligningssystem igen er en løsning til det ligningssystem, der fremkommer ved at udføre en af de tre typer operationer. Desuden har hver af de tre typer operationer en invers operation: For hvis vi ganger ligning i med c 0 fra venstre, så kan vi gange den nye ligning i med c 1 0 fra venstre og derved få den gamle ligning i tilbage. Og hvis vi adderer c gange ligning j til ligning i j, så kan vi adderer c gange ligning j til den nye ligning i og derved få den oprindelige ligning i tilbage. Endelig, hvis vi ombytter ligning i og j, så kan vi ombytte dem igen, og derved komme tilbage til, der hvor vi startede. Derfor er enhver løsning til det nye ligningssystem også en løsning til det oprindelige ligningssystem. Med andre ord har de to ligningssystemer den samme løsningsmængde. Vi udtrykker nu de tre typer operationer ved ligningssystemernes totalmatricer a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 ( A b = , a m1 a m2... a mn b m hvor de svarer til de følgende tre typer rækkeoperationer på matricer: Type M: Multplication fra venstre af en række med en skalar c 0. Type S: Addition af et venstre multiplum af en række til en anden række. Type T: Ombytning af to rækker. Vi bemærker, at disse rækkeoperationer bevarer antallet af rækker og antallet af søjler.. 8

13 1.2 Rækkeoperationer Rækkeoperioner forstås lettest ved gennemgang af nogle eksempler. Disse eksempler illustrerer samtidigt, hvordan vi angiver rækkeoperationer. Eksempel Vi betragter igen ligningssystemet 4x 1 + x 2 = 9 x 1 x 2 = 1, som vi løste i starten af afsnitet. Vi udfører nu de rækkeoperationer på ligningssystemet totalmatrix (A b, der svarer til de rækkeoperationer, vi anvendte tidligere. ( (A b = ( R2 1 5 R ( ( ( 1 R ( (A b = R 1 Vi bemærker, at de fem matricer ovenfor ikke er lig med hinanden, og at det derfor er forkert at skrive lighedstegn mellem dem. Ligningssystemet hørende til (A b er hvilket er trivielt at løse. x 1 = 2 x 2 = 1, Svarende til hver af de tre typer af rækkeoperationer M, S og T, indfører vi nu den tilhørende inverse rækkeoperation. Den inverse af den rækkeoperation, der består i at gange række i med c 0 fra venstre, er den rækkeoperation, der består i at gange række i med c 1 fra venstre. Den inverse af den rækkeoperation, der består i at addere c gange række j til række i j, er den rækkeoperation, der består i at addere c gange række j til række i. Den inverse af den rækkeoperation, der består i at ombytte række i og j, er den samme rækkeoperation. 9

14 1 Lineære ligningssystemer Hvis en given rækkeoperation omformer matricen A til matricen A, så omformer den inverse rækkeoperation altså matricen A til matricen A. Eksempel Vi betragter igen matricerne (A b og (A b fra eksempel Vi udfører nu de inverse rækkeoperationer af de rækkeoperationer, vi udførte for at omdanne (A b til (A b, og vi udfører dem endvidere i den omvendte rækkefølge. ( (A b = ( ( 1 R ( ( ( 1 R 2 5 R1 +( 1 R ( (A b = De inverse rækkeoperationer, anvendt i omvendt rækkefølge, omdanner altså matricen (A b til den oprindelige matrix (A b. Sætning Hvis totalmatricen (A b for et lineært ligningssystem kan omdannes til totalmatricen (A b for et andet lineært ligningssystem ved at udføre et endeligt antal rækkeoperationer, så har de to ligningssystemer den samme løsningsmængde. Bevis Vi beviser sætningen ved induktion på antallet N 0 af rækkeoperationer, der benyttes til at omdanne (A b til (A b. Hvis N = 0, så er (A b = (A b, og der er derfor ikke noget at vise. Vi antager derfor, at påstanden er bevist for N = r 1, og beviser den for N = r. Så lad (A b være totalmatricen for et lineært ligningssystem, og lad (A b være en matrix, der er fremkommet fra matricen (A b ved at udføre r rækkeoperationer. Vi skal vise, at ligningssystemerne hørende til (A b og (A b har den samme løsningsmængde. Lad (B c være den matrix, der fremkommer fra (A b ved at udføre de r 1 første af de r rækkeoperationer. Per induktion ved vi da, at ligningssystemerne hørende til (A b og (B c har samme løsningsmængde, og det er derfor tilstrækkeligt at vise, at ligningssystemerne hørende til (B c og (A b har samme løsningsmængde. Men (A b fremkommer fra (B c ved at udføre en enkelt rækkeoperation, og som vi allerede har bemærket har de tilhørende ligningssystemer derfor den samme løsningsmængde. Dette viser induktionsskridtet og dermed sætningen. 10

15 1.2 Rækkeoperationer Eksempel Hvis man er meget forsigtig, så kan to eller flere operationer udføres i samme skridt forudsat, at de er ombyttelige. De fire operationer R 1 R 2 A = R ( 1 R R A = omdanner A til A. De første to operationer er ombyttelige, da de ikke involverer de samme rækker, og det samme gælder for de sidste to operationer. Vi vil anvende rækkeoperationer til at omdanne totalmatricerne af ligningssystemer, til matricer på en særlig form, som vi kalder reduceret echelon form. Definition En m n-matrix A = (a i j siges at være på reduceret echelon form, hvis der findes r 0 og 1 j 1 < < j r n, sådan at følgende gælder: (1 For alle 1 s r gælder, at a i js = { 1 hvis i = s, 0 hvis i s. (2 For alle 1 s r og 1 j < j s gælder, at a s j = 0. (3 For alle r < i m og 1 j n gælder, at a i j = 0. Hvis A = (a i j er en m n-matrix, så siges skalarene a i j at være matricens indgange. Betingelsen (1 udtrykker altså, at i den j s te søjle, hvor 1 s r, er indgangen a s js = 1, mens alle øvrige indgange er lig med 0. Betingelsen (2 udtrykker ligeledes, at i den s te række, hvor 1 s r, er indgangen a s js = 1 den første indgang fra venstre som ikke er lig med 0. Endelig udtrykker betingelsen (3, at indgangene i de nederste m r rækker alle er lig med 0. Hvis en matrix A er på reduceret echelon form, så kaldes antallet r af ikke-nul rækker for rangen af matricen, og den første ikke-nul indgang fra venstre i en række kaldes for rækkens ledende indgang. De ledende indgange er altså alle lig med 1, og antallet af ledende indgange er lig med rangen r. Vi siger endvidere, at en m n-matrix A = (a i j er på echelon form, hvis den opfylder betingelserne (2 og (3 i definition samt den svagere betingelse 11

16 1 Lineære ligningssystemer Figur 1.1: Betegnelsen echelon form har sin oprindelse i den militære betegnelse echelon formation. Figuren viser fly, der flyver i echelon formation. (1 For alle 1 s r gælder, at a s, js 0. Hvis en matrix A er på echelon form, så kalder vi igen antallet r af ikke-nul rækker for matricens rang, og vi kalder den første ikke-nul indgang fra venstre i en række for rækkens ledende indgang. Der gælder altså igen, at rangen r er lig med antallet af ledende indgange. Eksempel De to følgende 4 8-matricer, hvor indikerer en vilkårlig skalar, er henholdsvis på reduceret echelon form og på echelon form Deres rang er henholdsvis 3 og 4, og de ledende indgange er markeret med blåt. Vi bemærker, at i matricen, der er på reduceret echelon form, er de ledende indgange alle lig med 1, mens alle indgange, der ligger over en ledende indgang er lig med 0. Vi viser nu den følgende vigtige sætning. Vi skal senere i kapitel 2, hvor vi har lidt flere værktøjer til vores rådighed, vise, at matricen A i sætningen er entydigt bestemt af den givne matrix A. Sætning Enhver matrix A kan omdannes til en matrix A på reduceret echelon form ved at udføre et endeligt antal rækkeoperationer. Bevis Vi lader A være en m n-matrix og viser ved induktion på antallet n 1 af søjler, at A ved brug af rækkeoperationer kan omdannes til en matrix A på reduceret echelon 12

17 1.2 Rækkeoperationer form. Vi betragter først det basale tilfælde n = 1, hvor A = er en enkelt søjle. Hvis a i1 = 0 for alle i, så er A = A allerede på reduceret echelon form af rang r = 0, og i modsat fald findes 1 i m med a i1 0. Vi anvender nu først en rækkeoperation af type M til at gange den i te række med a 1 i1, hvorefter vi anvender en rækkeoperation af type T til at ombytte den i te række med den første række. Herved får vi en matrix B på formen 1 b 21 B =.. a 11 a 21. a m1 b m1 Endelig anvender vi for alle 2 i m en rækkeoperation af type S til at addere b i1 gange den første række til den i te række, hvorved vi får matricen 1 A 0 =., 0 som er på reduceret echelon form af rang r = 1. Dette viser påstanden for n = 1. Så vi antager induktivt, at påstanden er vist for n = p 1 og beviser den for n = p. Hvis alle indgange i den første søjle er lig med 0, så er 0 A =. B 0 hvor B er en m (p 1 matrix. Den induktive antagelse viser, at der findes en følge af rækkeoperationer, som omdanner B til en matrix B på reduceret echelon form, og den samme følge af rækkeoperationer omdanner da matricen A til matricen 0 A =. B 0 der som ønsket er på reduceret echelon form. Hvis ikke alle indgange i den første søjle er lig med 0, så findes 1 i m med a i1 0, og vi kan da som i tilfældet n = 1 først anvende,, 13

18 1 Lineære ligningssystemer en rækkeoperation af type M til at gange den i te række med a 1 i1 og derefter anvende en rækkeoperation af type T til at ombytte den i te række med den første række. Ved disse rækkeoperationer bliver A omdannet til en matrix B på formen B = 1 b 12 b 1p 0. C 0 hvor C er en (m 1 (p 1 matrix. Den induktive antagelse viser nu, at der findes en følge af rækkeoperationer, der omdanner C til en matrix C på reduceret echelon form, og da alle indgange i den første søjle i B med undtagelse af b 11 = 1 er lig med 0, så omdanner de tilsvarende rækkeoperationer m p-matricen B til matricen D = 1 b 12 b 1p 0. C 0 Endelig lader vi 1 j 2 < < j r p numerere de søjler i D, der indeholder de ledende indgange i C, og anvender for alle 2 s r rækkeoperationen af type S, der adderer b 1 js gange den s te række i D til den første række i D. Matricen A, der fremkommer herved, er da på reduceret echelon form af rang r. Dette viser induktionsskridtet og dermed sætningen.,. Beviset for sætning udgør en algoritme, der anvender rækkeoperationer til at omdanne en given matrix til en matrix på reduceret echelon form, og det er denne algoritme, som vi kalder for Gauss elimination. Givet et lineært ligningssystem, kan vi specielt anvende denne algoritme på ligningssystemets totalmatrix (A b. Vi får derved en matrix (A b på reduceret echelon form, og løsningsmængden for det tilhørende ligningssystem kan da ganske umiddelbart angives. Denne løsningsmængde er ifølge sætning den samme som løsningsmængden for det oprindelige ligningssystem. Vi vil nu illustrere denne metode ved gennemgang af nogle eksempler. Eksempel (Entydig løsning Vi anvender Gauss elimination til at bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem 2x 1 3x 2 +x 3 = 1 x 1 +x 2 x 3 = 2 3x 1 +2x 2 +2x 3 = 3. Vi opskriver derfor ligningssystemets totalmatrix (A b og anvender rækkeoperationer 14

19 1.2 Rækkeoperationer til at omdanne denne til en matrix (A b på reduceret echelon form (A b = R 1 R R R R R ( 1 R ( 1 R ( 1 6 R 3 (A b = ( 2R 3 +( 1R 3 Her har vi markeret de indgange, vi har ønsket at ændre, med rødt; og i den endelige matrix (A b har vi markeret de 3 ledende indgange med blåt. Ligningssystemet, der har (A b som totalmatrix, er nu x 1 = 3 x 2 = 1 x 3 = 4. Dette ligningssystem har tydeligvis præcis den ene løsning x 1 3 x = x 2 = 1. x 3 4 Ifølge sætning er denne løsning derfor også den entydige løsning til det oprindelige ligningssystem. Eksempel (Løsningsmængde med een parameter Vi anvender Gauss elimination til at bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x 1 2x 2 5x 3 = 3 2x 1 +3x 2 +8x 3 = 4 2x 1 +6x 2 +14x 3 =

20 1 Lineære ligningssystemer Vi opskriver igen totalmatricen for ligningssystemet og omdanner denne til en matrix på reduceret echelon form ved hjælp af rækkeoperationer (A b = R R ( 2R R ( 1 R ( 1 R (A b = Vi har igen markeret med rødt de indgange vi ønsker at ændre, og vi har markeret med blåt de 2 ledende indgange. Ligningssystemet, der har (A b som totalmatrix, er nu. x 1 + x 3 = 1 x 2 + 2x 3 = 2 0 = 0. Vi ser heraf, at der for hver værdi t af x 3, findes præcis en værdi af x 1 og af x 2, der giver en løsning til ligningssystemet, nemlig x 1 1 t x = x 2 = 2 t. x 3 t Med andre ord er den fælles løsningsmængde for de to ligningssystemer x = x 1 x 2 x 3 1 t = 2 2t t F. t Dermed er der uendeligt mange løsninger, som er parametriseret ved parameteren t F. Vi siger, at variablen x 3 er en fri variabel,, da den kan tilordnes en vilkårlig værdi, og bemærker, at den svarer til den søjle i (A b, der ikke indeholder en ledende indgang. Vi siger endvidere, at variablene x 1 og x 2, der svarer til de søjler i (A b der indeholder en ledende indgang, er ledende variable. Generelt kan de ledende variable på entydigvis udtrykkes ved de frie variable. 16

21 1.2 Rækkeoperationer Eksempel (Tom løsningsmængde Vi anvender igen Gauss elimination til at bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x 1 2x 2 5x 3 = 3 2x 1 +3x 2 +8x 3 = 4 2x 1 +6x 2 +14x 3 = 5. Dette ligningssystem har samme koefficientmatrix som ligningssystemet i eksempel 1.2.9, men konstantsøjlen er en anden. Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet og omdanner denne til en matrix på reduceret echelon form (A b = R R ( 2R R ( 1 R ( 1 R ( 1 R 3 (A b = R 3 +( 2R 3 Vi har igen markeret de indgange, vi ønsker at ændre, med rødt, og vi har markeret de 3 ledende indgange med blåt. Ligningssystemet med (A b som totalmatrix er nu x 1 + x 3 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 0 = 1. Dette ligningssystem har tydeligvis ingen løsninger, da den sidste ligning "0 = 1" aldrig er opfyldt unanset hvilke værdier, vi tilskriver de variable. Ifølge sætning har det oprindelige ligningssystem derfor hellere ingen løsninger. Generelt har et ligningssystem med totalmatrix (A b ingen løsninger, hvis og kun hvis konstantsøjlen i den rækkeækvivalente matrix (A b på reduceret echelon form indeholder en ledende indgang. 17

22 1 Lineære ligningssystemer Eksempel (Løsningsmængde med to parametre Vi anvender Gauss elimination til at bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem 2x 3 x 4 +8x 5 = 13 x 1 2x 2 +3x 3 +2x 4 +x 5 = 10 3x 1 6x 2 +10x 3 +6x 4 +5x 5 = 27 Så vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet og omdanner denne til en matrix på reduceret echelon form ved hjælp af rækkeoperationer. (A b = (A b = R 1 R 2 +( 3R 1 +( 3R 3 +( 2R 3 +2R 2 ( 1 R 2 R 2 R 3 Vi har markeret de indgange, vi ønsker at ændre, med rødt; og vi har markeret de 3 ledende indgange med blåt. Ligningssystemet med (A b som totalmatrix er nu x 1 2x 2 +3x 5 = 5 x 3 +2x 5 = 3 x 4 4x 5 = 7. Vi ser umiddelbart, at for hver værdi x 2 = t 1 og x 5 = t 2 af de frie variable x 2 og x 5 har 18

23 1.2 Rækkeoperationer ligningssystemet præcis den ene løsning x t 1 3t 2 x 2 t 1 x = x 3 = 3 2t 2. x t 2 x 5 t 2 Den fælles løsningsmængde til de to ligningssystemer er derfor uendelig og er parametriseret ved de to parametre t 1 F og t 2 F. Vi angiver nu den generelle algoritme til løsning af lineære ligningssystemer. Sætning (Løsning af lineære ligningssystemer ved Gauss elimination Løsningsmængden for det lineære ligningssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a mn x 1 + a m2 x a mn x n = b m bestående af m ligninger i n ubekendte over F bestemmes ved følgende algoritme.. (1 Ligningssystemets totalmatrix (A b = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m omdannes ved en følge af rækkeoperationer til en matrix (A b på reduceret echelon form af rang 0 r min{m, n}. (2 Hvis en af de ledende indgange i (A b er indeholdt i b, så har ligningssystemet ingen løsninger. (3 Hvis ingen af de ledende indgange i (A b er indeholdt i b og hvis r = n, så har ligningssystemet præcis een løsning. (4 Hvis ingen af de ledende indgange i (A b er indeholdt i b og hvis r < n, så er løsningsmængden uendelig. Den parametriseres ved at opdele de n variable i de r ledende variable x j1,..., x jr svarende til de søjler i A, der indeholder en ledende indgang, og de resterende p = n r frie variable; tilordne de frie variable vilkårlige værdier t 1,..., t p ; og løse ligningssystemet med totalmatrix (A b for at bestemme de tilhørende entydige værdier af de ledende variable. 19

24 1 Lineære ligningssystemer Bevis Vi har allerede vist i sætning 1.2.7, at der findes en følge af rækkeoperationer, der omdanner totalmatricen (A b til en matrix (A b på reduceret echelon form. Med andre ord kan skridtet (1 altid udføres. Desuden har vi vist i sætning 1.2.3, at det givne ligningssystem og ligningssystemet med totalmatrix (A b har den samme løsningsmængde. I resten af beviset vil vi derfor udelukkende betragte det sidstnævnte ligningssystem. Vi viser nu påstanden (2. Så vi antager, at b indeholder en af de ledende indgange i matricen (A b. Da denne m (n +1-matrix er på reduceret echelon form med b som sidste søjle, gælder der nødvendigvis, at j r = n + 1, og derfor er a r j = 0 for alle 1 j n, mens b r = 1. Den r te ligning i det tilhørende ligningssystem er derfor 0 x x n = 1, hvilket som ønsket viser, at ligningssystemet ingen løsninger har. Vi viser dernæst (3. Da m (n + 1-matricen (A b er på reduceret echelon form og har r = n ledende indgange, og da den sidste søjle b ikke indeholder nogen ledende indgang, må alle søjler i A nødvendigvis indeholde en ledende indgang. De første r = n ligninger i det tilhørende ligningssystem er da henholdsvis x 1 = b x n = b n, mens de sidste m r ligninger alle er lig den trivielle ligning 0 = 0. Dette viser som ønsket, at ligningssystemet har en entydig løsning. Vi viser endelig (4. Da m (n + 1-matricen (A b er på reduceret echelon form og har r < n ledende indgange, og da den sidste søjle b ikke indeholder nogen ledende indgang, konkluderer vi derfor, at r af de n søjler i A indeholder en ledende indgang, mens de resterende p = r n søjler ikke indeholder en ledende indgang. Vi indicerer nu med 1 j 1 < < j r n og 1 k 1 < < k p n de søjler i A, der henholdsvis indeholder og ikke indeholder en ledende indgang. De første r ligninger i ligningssystemet giver da x j1 = b 1 (a 1,k 1 x k1 + + a 1,k p x k p. x jr = b r (a x r,k k1 + + a x 1 r,k p k p, idet vi flytter de led, der indeholder en af de fri variable x k1,..., x k p, til højre side af lighedstegnet. De resterende m r ligninger er igen alle lig den trivielle ligning 0 = 0. Dette viser som ønsket, at for hver værdi x k1 = t 1,..., x k p = t p af de frie variable, har ligningssystemet præcis een løsning. Bemærkning Den opmærksomme læser kan måske undre sig over, hvorvidt matricen (A b på reduceret echelon form i sætning (1 og dens rang r afhænger 20

25 1.2 Rækkeoperationer af den anvendte følge af rækkeoperationer. For i sætning har vi kun vist, at der findes en følge af rækkeoperationer, der omdanner den givne matrix (A b til en matrix (A b på reduceret echelon form. Vi viser i sætning nedenfor, at matricen (A b faktisk er entydigt bestemt af (A b, og at den ikke afhænger af den valgte følge af rækkeoperationer. Eksempel (Ligningssystem med komplekse tal Vi anvender Gauss elimination til at løse det lineære ligningssystem x 1 +( 1 + ix 2 x 3 = 4 i x 1 2ix 2 +(2 ix 3 = 2 + 7i med 2 ligninger i 3 variable over de komplekse tal C. Vi opskriver ligningssystemets totalmatrix (A b og omdanner den til en matrix (A b på reduceret echolon form ved hjælp af rækkeoperationer. ( i 1 + i 1 4 i +i R2 (A b = 1 2i 2 i 2 + 7i ( i 2i 3 3i 1 2 (1 i R 1 1 2i 2 i 2 + 7i ( i 3 1 2i 2 i 2 + 7i +2i R 1 ( i i 2 + i ( 1 R 2 ( i 3 R 1 0 i 2 i 1 R 2 ( (A b = 1 0 i 2 i i 3 Vi har som tidligere markeret de indgange, vi ønsker at ændre, med rødt og de ledende indgange i matricen (A b med blåt. Da b ikke indeholder ledende indgange, har ligningssystemet løsninger; og da rangen r = 2 af (A b er mindre end antallet n = 3 af variable, så er løsningsmængden uendelig og parametriseret af p = r n = 1 parameter. Endelig aflæser vi umiddelbart fra matricen (A b, at for hver værdi t C af den frie variabel x 3 er der præcis den ene løsning x 1 (2 i + i t x = x 2 = 3 (1 + i t x 3 t til ligningssystemet. Vi understreger, at t C er en kompleks parameter. 21

26 1 Lineære ligningssystemer Lemma Enhver matrix B på echelon form af rang r kan ved endeligt mange rækkeoperationer omdannes til en matrix B på reduceret echelon form af samme rang r. Bevis Lad B være en m n-matrix på echelon form, og lad 1 j 1 < < j r n indicere de søjler i B, der indeholder en ledende indgang. For alle 1 s r anvender vi først en rækkeoperation af type M til at gange den s te række med b 1 s j s. Herved opnår vi en ny matrix C på echelon form af rang r med ledende indgange c s js = b 1 s j s b s js = 1, hvor 1 s r. Dernæst anvender vi for alle 2 s r og 1 i s 1 den rækkeoperation af type S, der adderer c i js gange den s te række i C til den i te række i C. Herved opnår vi en matrix B på reduceret echelon form af rang r med ledende indgange b s j s = c s js = 1, hvor 1 s r, hvilket viser lemmaet. Vi har vist i sætning 1.2.7, at totalmatricen (A b for et givet ligningssystem ved rækkeoperationer kan omdannes til en matrix (A b på reduceret echelon form, og vi har givet en fuldstændig beskrivelse af ligningssystemets løsningmængde udtrykt ved matricen (A b i sætning Lemma viser, at hvis vi kun ønsker at bestemme kvalitative egenskaber ved løsningsmængden såsom, hvorvidt den er tom eller ej; hvorvidt den er endelig eller ej; samt antallet p = n r af parametre, så kan vi dog nøjes med at omdanne (A b til en matrix (B c på echelon form. Da det normalt kræver færre rækkeoperationer at omdanne (A b til en matrix (B c på echelon form end til en matrix (A b på reduceret echelon from, så kan man herved nogen gange spare sig lidt arbejde. Vi bemærker dog, at, modsat (A b, så er (B c ikke entydigt bestemt ved matricen (A b. Eksempel (Echelon / reduceret echelon form Vi betragter ligningssystemet 2x 1 +3x 2 4x 3 x 4 = 12 2x 1 +10x 3 +3x 4 = 4 2x 1 +6x 2 +2x 3 = 2 og omdanner først dets totalmatrix (A b til en matrix (B c på echelon form (A b = R ( 1 R ( 1 R (B c =

27 1.2 Rækkeoperationer Vi har her som tidligere markeret de ledende indgange med blåt. Hvis vi yderligere omdanner (B c til en matrix (A b på reduceret echelon form, så vil positionen af de ledende ikke ændres. Derfor kan vi allerede nu konkluderere, at ligningssystemet har uendeligt mange løsninger, og at løsningsmængden kan parametriseres ved p = n r = 4 3 = 1 parameter. Hvis vi ønsker præcist at angive løsningsmængden, så må vi først bestemme matricen (A b, hvilket vi i dette tilfælde overlader til læseren. Vi har hovedsageligt anvendt rækkeoperationer på totalmatricen (A b hørende til et lineært ligningssystem, men vi kan også anvende rækkeoperationer til at omdanne ligningssystemets koefficientmatrix A til en matrix B på echelon form. Vi afslutter dette kapitel med følgende vigtige resultat angående betydningen af rangen af matricen B. Sætning Lad A være en m n-matrix, der ved hjælp af rækkeoperationer kan omdannes til en m n-matrix B på echelon form af rang 0 r min{m, n}. Da gælder: (1 Ligningssystemet med totalmatrix (A b har mindst en løsning for alle valg af konstantsøjle b, hvis og kun hvis r = m. (2 Ligningssystemet med totalmatrix (A b har højst en løsning for alle valg af konstantsøjle b, hvis og kun hvis r = n. (3 Ligningssystemet med totalmatrix (A b har netop een løsning for alle valg af konstantsøjle b, hvis og kun hvis r = m = n. Bevis Ifølge lemma kan vi uden tab af generalitet antage, at matricen B = A er på reduceret echelon form og af rang r, hvilket vi vil gøre i resten af beviset. Vi vælger også en gang for alle en følge af rækkeoperationer, der omdanner A til A. Vi viser først (1. Hvis r = m, da indeholder hver række i A en ledende indgang. Derfor gælder der for alle b, at matricen (A b, der fremkommer fra (A b ved at anvende den valgte følge af rækkeoperationer, er på reduceret echelon form, og at de ledende indgange i (A b alle er indholdt i A. Da b altså ikke indeholder en ledende indgang, viser sætning (3 (4, at ligningssystemet har en løsning. Hvis r < m, da er de sidste m r rækker i A alle lig med nul-rækken. Lad nu b = (b i, hvor b i = { 1 hvis i = r + 1, 0 hvis i r + 1. Da er matricen (A b på reduceret echelon form af rang r + 1, og da b indeholder en ledende indgang, viser sætning (2, at det tilhørende ligningssystem ingen 23

28 1 Lineære ligningssystemer løsninger har. Ifølge sætning er det samme derfor tilfældet for ligningssystemet, hvis totalmatrix er den matrix (A b, der fås fra (A b ved i omvendt rækkefølge at udføre de inverse rækkeoperationer svarende til rækkeoperationerne i den valgte følge af rækkeoperationer. Dette viser (1. Vi viser dernæst (2. Hvis r = n, da indeholder hver søjle i A en ledende indgang. Lad nu b være et valg af konstantsøjle. Den valgte følge af rækkeoperationer omdanner matricen (A b til en matrix (A c, og vi kan da omdanne (A c til en matrix (A b på reduceret echelon form ved om nødvendigt at anvende yderligere rækkeoperationer. Da hver søjle i A indeholder en ledende indgang, er rangen r af (A b er enten r = r eller r = r+1. Hvis r = r+1, da indeholder b en ledende indgang, hvorfor sætning (2 viser, at ligningssystemet med totalmatrix (A b ikke har nogen løsninger. Og hvis r = r, da indeholder b ikke en ledende indgang, hvorfor sætning (3 viser, at ligningssystemet med totalmatrix (A b præcis har een løsning. Med andre ord gælder der for alle valg af b, at ligningssystemet med totalmatrix (A b højst har en løsning. Hvis r < n, da gælder der for b = 0, at ligningssystemet med totalmatrix (A b har uendeligt mange løsninger. For dette følger fra sætning (4, idet den valgte følge af rækkeoperationer omdanner (A 0 til matricen (A 0, der er på reduceret echelon form af rang r < n og ikke har nogen ledende indgange i konstantsøjlen. Dette viser (2, og endelig følger (3 ved at kombinere (1 og (2. Eksempel Vi betragter 3 3-matricen A = og undersøger først om, der findes en konstantsøjle b sådan, at ligningssystemet med totalmatrix (A b ikke har nogen løsninger. Vi anvender først rækkeoperationer til at omdanne A til en matrix B på echelon form A = R R R B = Da B er på echelon form af rang r = 2 < 3 = m, konkluderer vi fra Sætning (1, at en sådan konstantsøjle b findes. Endvidere fortæller beviset for sætningen os, hvordan 24

29 1.2 Rækkeoperationer vi bærer os ad med at finde et sådant b: (B c = ( 2R ( 2R ( 2R (A b = Ligningssystemet med totalmatrix (B c har tydeligvis ingen løsninger, og det samme er derfor tilfældet for ligningssystemet med total matrix (A b. Her har vi udført de inverse af de rækkeoperationer, vi benyttede til at omdanne A til B. 25

30

31 2 Matricer og lineære afbildninger I dette kapitel introducerer og studerer vi reelle og komplekse standard n-dimensionale vektorrum, samt lineære afbildninger imellem disse. I det 1-dimensionale tilfælde er hældningskoefficenten af en lineær afbildning givet ved en skalar, mens den tilsvarende koefficient i højere dimensionale tilfælde i stedet er givet ved en matrix. Vi begynder med en detaljeret introduktion til matricer og deres algebra. 2.1 Matricer Vi har allerede brugt matricer, så det er nu på høje tid, at vi definerer dem ordentligt. Vi siger synonymt, at en afbildning x: I X fra en mængde I til en mængde X er en familie af elementer i X indiceret ved I, og vi skriver (x i i I, hvor x i = x(i. Definition Lad m og n være naturlige tal. En m n-matrix med indgange i et legeme F er en familie A = (a i j af elementer i F indiceret ved mængden af par (i, j af naturlige tal 1 i m og 1 j n. Vi siger, at elementet a i j er den (i, j te indgang i A. Mængden bestående af alle m n-matricer med indgange i F betegnes M m,n (F. Om nødvendigt skriver vi a i, j i stedet for a i j, og vi skriver endvidere a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn for at anskueliggøre matricen A = (a i j M m,n (F. Bemærk, at der ikke er kommaer mellem indgangene i matricen. Givet A = (a i j M m,n (F, kalder vi 1 n-matricen ( ai1 a i2... a in M1,n (F for den i te række i A; og vi kalder m 1-matricen a 1 j a 2 j. a m j M m,1(f 27

32 2 Matricer og lineære afbildninger for den j te søjle i A. Hvis A er en m n-matrix, så siger vi også, at A er en matrix af dimensioner m n, hvilket læses m gange n. Vi bemærker, at m og n er antallet af henholdsvis rækker og søjler i A. Hvis m = n, så siger vi, at matricen A er kvadratisk af orden n, og og vi skriver M n (F i stedet for M n,n (F for mængden kvadratiske matricer af orden n med indgange i F. Eksempel Matricerne ( A = ( 2i 1 M 2,4 (R og B = M i 2 (C er henholdsvis en 2 4-matrix med indgange i R og en kvadratisk matrix af orden 2 med indgange i C. Eksempel (1 Nulmatricen af dimensioner m n er den matrix O m,n =..... M m,n (F, hvis indgange alle er lig med 0. Vi benytter forkortelsen O = O m,n, hvis m og n fremgår fra sammenhængen. (2 Den modsatte af en m n-matrix a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = M m,n(f a m1 a m2... a mn er m n-matricen a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = M m,n(f. a m1 a m2... a mn (3 Identitetsmatricen I n M n (F er den kvadratiske matrix af orden n, hvis (i, j te indgang er Kronecker s δ i j, som er enten 1 eller 0, eftersom i = j eller i j ( I 1 = (1, I 2 =, I = ,... I n = Vi forkorter ofte I = I n, hvis n fremgår fra sammenhængen. Vi indfører nu de fundamentale aritmetiske operationer på matricer. 28

33 2.1 Matricer Definition (1 Summen af to matricer a 11 a a 1n b 11 b b 1n a 21 a a 2n b 21 b b 2n A =..... og B = , a m1 a m2... a mn b m1 b m2... b mn der begge har dimensioner m n, er matricen a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n A + B =......, a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn der ligeledes har dimensioner m n. (2 Produktet af to matricer a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn b 11 b b 1p b 21 b b 2p og B = b n1 b n2... b np af dimensioner henholdsvis m n og n p, er matricen c 11 c c 1p c 21 c c 2p A B = c m1 c m2... c mp hvis (i, k te indgang er defineret ved n c ik = a i j b jk = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk. j=1 Produktmatricen A B har dimensioner m p. Vi understreger, at summen af to matricer A og B kun er defineret, hvis A og B har de samme dimensioner; og at produktet af to matricer A og B kun er defineret, hvis antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B. Det har således ikke mening at tale om A + B eller AB, medmindre dimensionerne af A og B er som foreskrevet. Som for multiplikation i F, forkorter vi normalt og skriver AB i stedet for A B. 29

34 2 Matricer og lineære afbildninger Eksempel Summen af matricerne A = ( og B = ( findes, da de to matricer har samme dimensioner 2 3, og er givet ved ( ( A + B = ( ( = ( = Her har vi markeret indgangene i A og B med henholdsvis blåt og sort. Eksempel Produktet af matricerne A = ( og B = ( findes, da antallet søjler i A er lig med antallet af rækker i B, og er givet ved ( ( A B = ( ( = ( ( 1 ( ( ( = Her har vi markeret indgangene i A og B med henholdsvis blåt og sort. Vi bemærker, at produktet B A ikke er defineret, da antallet af søjler i B er forskelligt fra antallet af rækker i A. Vi bemærker specielt, at givet en 1 n-matrix og en n 1-matrix A = ( a 1 a 2... a n da er produktet AB defineret og givet ved 1 1-matricen b 1 b 2 b n og B =., AB = ( a 1 b 1 + a 2 b a n b n. 30

35 2.1 Matricer Generelt, givet en m n-matrix A og en n p-matrix B, kan vi da betragte deres produkt som værende den m p-matricen AB = C, hvis indgange er alle de mulige produkter af en række i A med en søjle i B: a 11 a 1 j a 1n b 11 b 1k b 1p c 11 c 1k c 1p a i1 a i j a in b j1 b jk b jp = c i1 c ik c ip a m1 a m j a mn b n1 b nk b np c m1 c mk c mp Da der er m rækker i A og p søjler i B, er der altså m p indgange i AB = C. Eksempel Produktmatricen AB = ( = ( 5 er en 1 1-matrix, da der er 1 række i A og 1 søjle i B, mens produktmatricen BA = ( = = er en 3 3-matrix, da der er 3 rækker i B og 3 søjler i A. Vi bemærker, at det ikke er muligt at sammenligne matricerne AB og BA, da deres dimensioner er forskellige. Så vi kan ikke engang stille spørgsmålet, om hvorvidt AB = BA. Eksempel I kapitel 1 har vi betragtet lineære ligningssystemer a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m med a i j, b i F. Vi betragter nu matricerne a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =......, x = x 2. a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2 b m og b =., 31

36 2 Matricer og lineære afbildninger som har dimensioner henholdvis m n, n 1 og m 1. Produktmatricen a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a Ax = 21 a 22 a 2n x = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 a m2 a mn x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n er derfor en m 1-matrix ligesom b. Det oprindelige lineære ligningssystem kan altså ækvivalent skrives som ligning af m 1-matricer Ax = b, og vi vil i det følgende hovedsageligt benytte denne korte skrivemåde. Sætning For matricer af passende dimensioner gælder følgende: (A1 (A + B + C = A + (B + C (A2 (A3 (A4 (P1 (P2 (D1 (D2 (E1 A + O = A = O + A A + ( A = O = ( A + A A + B = B + A (ABC = A(BC A I n = A = I m A A(B + C = AB + AC (A + BC = AC + BC AO n,n = O m,n = O m,m A (E2 A( I n = A = ( I m A Bevis Vi ved fra definition og sætning 0.1.3, at de tilsvarende identiteter for addition og multiplikation af skalærer gælder, og vi benytter nu dette til at vise, at identiteterne også gælder for addition og multiplikation af matricer. Identiteterne (A1 (A4 omhandler alle matricer af samme dimensioner og følger umiddelbart fra de tilsvarende identiteter (A1 (A4 for skalarer, idet addition for matricer per definition er givet ved addition i F af de respektive indgange. Identiteten (P1 omhandler matricer A, B og C af dimensioner m n, n p og p q. Produkt matricerne (ABC og A(BC er begge af dimensioner m q, og vi ønsker at vise, 32

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Matricer Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Tirsdag 3. september 11.00 12.00: Afsnit 8.1, 8.2, 8.3 og 8.5 Torsdag 5. september 12.30 16.15 12.30 14.15: Opgaveregning lokale 261/409 14.30: Vi mødes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere