Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Transkript

1 Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE

2 Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN OVERFLADER UDFOLDNINGER RUMFANG ANALYTISK PLANGEOMETRI FUNKTIONER EKSPONENTIELLE FUNKTIONER... TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER DIFFERENTIALREGNING... INTEGRALREGNING VEKTORER I PLANET VEKTORER I RUMMET... 6 VEKTOR FUNKTIONER Differentialligninger... 5

3 TAL OG ALGEBRA FACITLISTE (rettet februar 0) TAL OG ALGEBRA - - a) b) -a - b 4 a) 0a b) 4d - 6c c) e + 9f 5 a) 0 b) -548 c) a) 7ab - 9b b) 4a a c) - - a + d - ad 7 a) 4a + 9b b) 75c + 49d c) -0e - 66f -58ef 8 a) a) 4 9 a) a) 9 b) 8a + 9b 6 b) 4 5y c) d+ 7c 5 y c) c) - 7 6y 0 a) 0,04 b) 0,04 c) -0,04 d) 0,008 e) 0,008 f) -0,008 a) 4 b) 0 c) a),640 m b) 6.40 cm c) mm a) a 4 b) b c) c d) ( +) e) ( +) f) ( + ) - 6 a) -99,75 b) c) 78,0 7 8 mm 8 = 4 mm 9 b = 8 mm 0 0,4 m LIGNINGER OG ULIGHEDER a) G = { R 0} b) G = { R } c) G = { R } d) G = { R > 0} e) G = { R > } f) G = { R < } a) G = R: = 8 b) G = R: = 0 c) G = R: = 4 5 a) - b) =- 4 a) G = R: = 5 b) G ={ R }: = 6 c) G ={ R }: = 8 5 a) G = R: = b) G: - 6, 7 : = 7 6 b = 60 mm c) G: {0,}: = - 7 R = 4,6 ohm 8 t = 0, C 9 n = 59 omdr/minut p d L i 0 a) v = 000 t s 000 t v s b) d = p L i p d L i c) s = 000 t v

4 Teknisk matematik Facitliste a) m = z a + z b) z a - mz = m c) z a - mz = m 9 kg, 08 kg 55, 56, 57, ,8 kr. 7 7,08 % 8 5,4 % 9 a) B = 0,8 C =, D =,6 b) E =,4 F =,98 G =,4 40 a) G = R: = 5 og y = b) G = R: = og y = c) G = R: =, og y = 6 4 a) G: {-,} og y {-,-}: = 4 og y = b) G = R: = og y = 0 c) G: 0 og y 0: = 0, og y = 0,5 4 45, 5 4 4, , 0 45 a) G = R: = -, y =, z = 0 b) G = R: = 6, y = 4, z = c) G:,5, y {-5,}, z R: = -,5, y =-,69, z =-5, a) = 0 eller =,5 b) = 0 eller =, c) = 0 eller = 5, 47 a) = ± 0 b) = ± 8 c) = ± 48 a) G = R: = - eller = -0,667 b) G = R: = 0, c) G = R: ingen løsning 49 a) G: {-,}, = 4, eller = -,455 b) G: 0, = - eller = 0,667 c) G: {-5,7 ; -4 ; 0,7}, = -,645 eller =, = 5 og y = eller = og y = 5 5 = 6 5 = og y = 7 eller = 7 og y = 5 a) G = R, = ± eller = ± b) G = R, = ± 0,9540 c) G = R, =,94 eller =,50 54 a) G = R, = og y =- eller =-0, og y =,4 b) G = R, =,5 og y = -5,5 eller = -0, og y =,7 c) G = R, = og y = 6 eller = 8 og y = 55 a) G: -, = 4 b) G:, = 4 c) G: -, = a) G: 0,75, = 7 b) G:, = 4 7 c) G:,5 ; = 7 eller = 57 a) G = R: = eller = 4 b) G = R: = - c) G: : = -0,6 eller =,96 eller =, a) > 5,5 b) <- c) 5 59 a) 5 b)

5 GEOMETRI c) 60 a) b) 5 c) 6 a) L = ],6 ; [ b) L = [ -8,5 ; [ c) L = ]6 ; [ 6 a) L = ] -5 ; [ b) L = [ -5 ; -,5[ c) L = ] - ; -[ eller ] -,5 ; [ 6 Stigning = 5,8 m 64 a) Fald =,9 promille b) = 5,5 = 5,74 4 = 6, 5 = 6,5 c) a = 5,65 b = 5,895 c = 6,75 4a = 6,4 4b = 6,69 4c = 6,97 6a = 7,0 6b = 7,490 6c = 7, H = 8 cm, L = 4 cm 66 a) 4 + 6y = 78 og 0 + 8y = 78 b) = cm og y = 6 cm c) Areal = 4 cm, Areal = 5 cm GEOMETRI 67 a) 65, 55 b) 4, 4 c) 8, 98 d) -, lille viser: 0,5 /minut store viser: 6 /minut 69 a) 90 b) 50 c) A = 67,5, B = 6,5, C = a) A og C b) Modstående side er c, hosliggende sider er a og b 77 7,45 cm 78,9 m,,9 m,,58 m 79 8,8 cm 80 5, ,5, 67,5 8 4, 44, a) 45,04 b) 84,5 c) 9,54 9 a) 45 emner b) 49,5% c) emner d) 69,95% 4 TRIGONOMETRI a) - b) - c) - d) = 7,47 y = 8,68 z = 67,8 97 a) B = 4,7 a =,90 cm b =,60 cm

6 4 Teknisk matematik Facitliste b) A = 4,7 a = 6,4 cm c =,95 cm c) A = 5,6 B = 6,4 a = 5,5 cm 98 a) B = 5,84 C = 6,6 b =,85 cm b) C= 6,6 a = 7,6 cm c = 5,66 cm c) A = 8,6 C = 6,9 b =,5 cm 99 a) m a = 6,08 cm b) v B = 4,5 cm c) h c =,8 cm 00 a) m s = cm b) v T =,9 cm c) h s =, cm 0 a) v = 6,64 v = 6,6 b) v = 8,4 v = 4,57 c) v = 60,96 v = 9, a) B = 4, C = 67,8 c = 6,9 cm b) C = 96, c = 8,4 cm b =,47 cm c) Løsning I: B = 4,9 A = 5,8 a = 6,48 cm Løsning II: B = 6, A =,6 a =,88 cm a) A = 70,9 B = 49, c = 9,7 cm b) B = 6, C =,8 a = 9,0 cm c) A = 49, B = 6, C = 68,5 07 a) B = 7,0 C = 4,9 a = 4,46 cm c =,8 cm b) Løsning I: A = 08,9 C = 9,5 b = 4,77 cm c =,54 cm Løsning II: A =,08 C = 7, b =,55 cm c = 6,80 cm c) A =,8 C = 88,7 a = 4,5 cm b = 6,57 cm c = 7,74 cm 08 a) Areal = 0,9 m b) Areal = 4,8 cm c) Areal = 9,6 cm R = 5,6 cm r = cm 09 AD = CD = 4,9 cm A = 4,4 B = 8,0 C= 6,7 Areal = 0,8 cm 0,4 m v = 9,5 = 0,9 mm s = 4 mm 4 a =,8 mm b = 6,5 mm 5 94,7 cm 6 a =,55 mm 7 a =,0 m b =,84 m c =,9 m 8 a =,40 m b = 4,50 m 9 L = 90,55 mm 0 d = 5 mm h = 46 mm d = 4,64 cm : , 58 4, ,9,6 79,9 68,,9 y , 86 69,89 76,94 9,94 04,65 60,94 49, 4 R = 64 N a = 7,6 5 Areal = 465,9 mm 6 a =, mm a = 7,8 mm b = 5 mm b =,8 mm

7 5 CIRKLEN 5 7 d = 80 mm 8 a = 96,67 mm 5 CIRKLEN 9 b = 4,9 cm 0 v = 56,8 Areal = 0,69 cm R = 9,8 cm 6% 4 Areal = 6,8 cm 5 v = 46, 6 Areal = 0,89 m 7 Areal = 0,8 cm 8 a) h = 0,68 cm b) Areal =,4 cm Areal =,6 cm 9 84 mm 40 L = 89 mm 4 L = 09 mm 4 a = 6,5 4 Areal = 7,7 mm 44 Areal = 6,6 cm 45 Areal = 676 mm 46 Areal = 4,9 m 47 Areal = 885,6 cm 48 Areal = 549,4 mm 49 Areal = mm 50 Areal = 474,45 m 5 L = 6,84 m 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER 5 645, cm 0,645 m 5 9,84 m 54 9,4 m 55 Ved rækkeevne 4 m /liter: 0 liter spand Ved rækkeevne 6 m /liter: 5 liter spand 56 a) - b) 77,5 c) 59,86 cm d) 57 a) - b) h = 5,9 cm c) 69,9 d) 6,4 cm e) 58 a) - b) 57,69 c) 578,77 mm d) - 59 a) a = 5,6 cm b =,8 cm c = 6,8 cm b) 89,9% 60 a),66 cm b) v = 09, k = 6,64 cm 6 a) 96,5 cm b) s =, cm s = 8, cm v = 6,0 k = 6,9 cm 6 76,5 mm 6 d = 6,67 cm 64 R = 8,0 cm 65 a) Grundfladekant =, cm Sidekant = 8,94 cm b) v = 5,7 c) v = 6,57 d) 84,6 cm 66 0,54 cm

8 6 Teknisk matematik Facitliste 67 y Punkt y 0 0,00 0,00 5,4,4 0,47 5,00 5,7 40,00 4 0,94 45,00 5 6,7 48,66 6,4 50, π. 0 = 6,8 68 Punkt y y ,00 5,00 7,85 5,8 5,7 8,,56, 4,4 4, 5 9,6 6, , 7,4 6, π. 0 = 94,4 Punkt y y 0 0,00,84 5,6 7,9 04,7, 57,08 9,4 4 09,44 70,7 5 6,80 55,55 6 4,6 50,00 7 0,00 55,68 8 5,6 5,8 9 04,7 56,9 0 57,08 557,0 09,44 577,8 6,80 59,97 4,6 598,5 748, π. 00 = 68,

9 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER 7 70 Punkt y 0 0, ,6 6,40 04,7 00,00 57,08 50, ,44 00,00 5 6,80 6,40 6 4,6 50,00 0 y π. 00 = 68, 7 Punkt y 0 0, ,7 50, 78,54 54,76 7,8 70,0 4 57,08 00, ,5 46,0 6 5,6 00,00 7 a) y = 0,5m b) 605,9 m 7 a) 785,98 m b) 798,9 mm 74 9,5 liter 75 a) m b) Cirkelringsudsnit: R =, m r = 0,8 m v = 54,87 k =,79 m 76 a) 6,7 m b) 4,04 m 77 Del - Cirkeludsnit Centervinkel = 54,55 Radius = 69,7 Korde = 70,09 Del - Rektangel Bredde = 47, mm Højde = 00 mm Del - Cirkelringudsnit Store radius = 50 mm Lille radius = 5 mm Centervinkel = 6 Korde = 475,5 mm Del 4 - Rektangel Bredde = 94,48 mm Højde = 400 mm

10 8 Teknisk matematik Facitliste Del 5 - Tilslutningsstykke Punkt y 0 0,00 8,0 5,6 7,5 04,7 08,58 57,08 00, ,44 08,58 5 6,80 7,5 6 4,6 8,0 0 y π. 00 = 68, Del 6 - Cirkelringudsnit Store radius = 9,64 mm Lille radius = 608,4 mm Centervinkel = 59,7 Korde = 90,7 mm Del 7 - Bøjning Punkt y Punkt 0 0,00 9,5 4 0,00 57,70 5,6 6,68 5 5,6 54,50 04,7 09, ,7 507, 57,08 99, ,08 497,0 4 09,44 89,5 8 09,44 487, 5 6,80 8, 9 6,80 480,05 6 4,6 79,56 0 4,6 477,8 7 0,00 78,47 0,00 676,9 8 5,6 8,4 5,6 678, ,7 88,4 04,7 686,4 0 57,08 98,8 4 57,08 696, 09,44 08, 5 09,44 706, 6,80 5,59 6 6,80 7,4 4,6 8,6 7 4,6 76,08 y 795,64 y π. 00 = 68, 7 RUMFANG liter 79 V = 7 cm A = 54 cm 80,47 cm 8 8 m 8 68 kg 8 a),7 cm b) 678 cm 84 a) 050 liter b) 50 liter

11 8 ANALYTISK PLANGEOMETRI kg 86 a) cm b) 6 cm 87 a) 5 cm b) 79 cm 88 a) 86,9 cm b) 7,5 cm 89 a),76 cm b) 49 cm c) 44 cm 90 a) 4,5 cm b) 76 cm c) m 9 a) 75, cm b) 70,8 cm 9 5,05% 94 a) A = 5, b) V = 56,55 95 a) A = 74,9 b) V = 669,79 96 a) m b) m 97 5 timer 5 minutter sekunder 98 a) V = 8,654 liter b) 0,89 m c) = mm y = 600 mm z = 050 mm liter 00 a) 9,80 kg b),46 kg c),08 kg 8 ANALYTISK PLANGEOMETRI 0 AB =,7 AC = 0,0 BC = 7,6 0 a) ingen løsning b) = c) = 8 eller = -4 0 y = 8,7 eller y = -4,7 04 a) m AB (,5 ;,5) m AC (,5 ; 0) m BC (- ;,5) 04 b) m a = 8,0 m b = 7,4 m c = 6,04 05 a) Areal = 78 b) Areal = 59 c) Areal = a) Areal = b) A = 85,60 B = 77,0 C = 7,9 07 a) Areal = 4 b) A = 94,76 B = 7,90 C = 0,4 D = Areal = 0,5 09 a) - b) A(4,) B(7 ;,5) C(7,) c) A = 6,57 B = 6,4 C = 90 d) Areal =,5 0 a) - b) A(0,0) B(-5,0) C(-5,-4) D(-,-4) c) A = 9,9 B = 6,57 C = 90 D = 04,04 d) Areal = 4 a) (, 5) b) (,0) c) (-0,7 ;,0) a) - b) A(,) B(6,) C(6, -) D(4, -) c) Areal = 0 v = 4,78 4 v = 66,89 5 A = 8,4 B = 45 C = 6,57 6 a) y = 0,5 - b) y = + 6 c) y = -0, a) y = 0,9 -,4 b) y = 0, c) y = 0,89 +,05 8 Linjerne er parallelle 9 y = y = 0,7 + y = -0,84 - y = -0,86 + 7,9 Linjerne står ikke vinkelret på hinanden 4 y = -,5 + 0,5 5 h a : y = - 4 h b : y = -0, - h c : y = -,5 6 a) y = -,5 + 4 b) Areal = 5 7 a) ( ;,5) b) R = 5,5

12 0 Teknisk matematik Facitliste 8 a) (4,6 ;,) b) r =, 9 (4,9 ; 5,) 0 a) A(,7) B(7, -) C(0,) b) A = 6,86 B = 5,4 C = 90 c) y = d) y = -,08 + 9,5 e) y = -0,5 + 8 a) r = (a,b) = (0,0) b) r = (a,b) = (,-) c) Ligningen fremstiller ikke en cirkel - a) y = -4,46 y =,46 b) (-6,87 ; 0) (0,87 ; 0) (0 ; -,65) (0 ;,65) 4 a) y = 0,9 y = -0,7 b) v = 58,0 5 ( - ) + (y + ) =,6 6 a) - b) B(7,96 ; -,40) C(,0 ; -6,55) c) Areal = 5,5 7 a) - b) - c) Kl..0 d) Station E e) - f) Kl..9 8 a) - b) - c) - d) Lys I: 8 78 sek. Lys II: 74 4 sek. Lys III: 6 sek. Lys IV: 74 4 sek. e) 55 km/time 46 km/time 9 a) ( - 90,65) + (y + 500) = 500 b) A(-94,5 ; -79) B(90,65 ; 0) c) 8,08 m 40 a) R = 7,5 m b) + (y + 5,5) = 7,5 c) Stængerne nummereres fra venstre: stang = 40 m, stang =,0 m, stang = 6,50 m, stang 4 =,8 m, stang 5 = 0,69 m, stang 6 = 0 m, stang 7= 0,69 m, stang 8 =,8 m, stang 9 = 6,50 m, stang 0 =,0 m, stang = 40 m, stang = 5,8 m 9 FUNKTIONER 4 a) nej b) ja 4 a) Dm(f) = [-4 ; 4[, Dm(g) = ]- ; 4] b) Vm(f) = [- ; ], Vm(g) = [- ; [ c) f(-) =, f() =, g(-) = -, g() = 4 a) Dm(f) = R, Vm(f) = R, f() = 4 b) Dm() f = { R }, Vm( f) = { y R y 0}, f( ) = 05, c) Dm(f) = R, Vm(f) = [- ; [, f() = d) Dm() f = { R }, Vm( f) = ]- ; - ] og] 0; [, f( ) = e) Dm(f) = R, Vm(f) = [ ; [, f() = 5 f) Dm(f) = R, Vm(f) = ] 0 ; ], f() = 0, 44 a) f er aftagende i ]-5 ; -] og [ ; 5], f er voksende i [- ; ] b) Lokalt Ma (,), Lokalt Min (- ; -) c) g er voksende i [-5 ; -] og [ ; 4[, g er aftagende i [- ; ] d) Lokalt Ma (- ; ), Lokalt Min ( ; -) 45 a) f er aftagende i ]- ; ], f er voksende i [ ; [ b) g er aftagende i ]- ; -] og [0 ; ], f er voksende i [- ; 0] og [ ; [ c) h er voksende i ]- ; -] og [ ; [, h er aftagende i [- ; ] 46 a) A(,), B(6,7), C(6, -) b) v c : f() = -6, c) m b : f() =,4 5,4 d) h a : f() = -0,5 +,5 47 a) lige b) lige c) ulige

13 0 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER d) ulige 48 a) ulige b) Hverken lige eller ulige c) lige d) ulige 49 a) (0, -4) b) (4,0) c) (4, -) d) (0,8) e) (-8,0) f) (-8,) 50 f() = 0,89( + 4) f() = -0,944( + 4) : a) = -,40, (-,40 ; 0,5) b) (0 ; 8,9) c) (-5,9 ; 0), (, ; 0) : a) = 4, (4, -) b) (0 ; 45) c) (,0), (5,0) : a) =, ( ;,5) b) (0 ; 0,5) c) (-,5 ; 0), (,5 ; 0) 5 a) f() =,78 + 6, - 5 b) (-4,05 ; -,0), (0,8 ;,4) 54 a) f() = + + b) f() = (-, ; -8,4), (, ; 0,4) 56 a) L = [-, ; 0,] b) L = ]-,5 ; 0,5[ c) L = ] ; 4[ d) L = R 57 05, + 4 for -8 f ( ){ - 05, - 4 for < for i] - ; ] og [, [ 58 a) f ( ) = 8 6 -( ) for i ];[ 6 b) =,48 eller = 6,77 eller =,87 eller = 4,88 59 (a o b)() = - 0,5 +,5, (b o a)() = -0, ( cod)( ) =, Dm( cod) { R }, ( doc)( ), Dm( doc) { R = = = } 6 a) f - () = 0,5 0,5 b) Dm(f - ) = { R - < 0 } - 6 a) f ( ) = + b) Dm(f - ) = { R - < } 6 : (-, ; 0), (,4 ; 0) : (-, ; 0), (0,9 ; 0), (4,94 ; 0) : (- ; 0), (- ; 0), (, 0), (, 0 ) 64 a) = 0 cm b) V = cm 65 = 00 m, y = 6,67 m 66 a = 4 m, b =,5 m 67 Stængerne nummereres fra venstre = 5,00 m, =,48 m, = 0,5 m, 4 = 9, m, 5 = 8,8 m, 6 = 8,00 m, 7 = 8,8 m, 8 = 9, m, 9 = 0,5 m, 0 =,48 m, = 5,00 m, = 8,08 m, =,7 m 68 a) 4 m b) 8,7 sek. c) 0 m d) 5 sek. 0 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER 69 a) =,9 b) = 0,9 c) =,079 d) = -,604 eller =,604 e) =,69 f) = -,9000 eller =, Beregningen giver L - = 99,9 db, hvilket må anses for rimeligt i forhold til den målte værdi 7 L A,eq = 88,6 db(a) < L = 90 db(a) 7 a) f() = 5, 0,4 b) f() = 5 c) f() =,5 4 d) f() = 75, 0, a) f() = 6 0,5 b) T ½ =

14 Teknisk matematik Facitliste 75 f() = 4,0 0, a) K = 5075 kr. K 5 = 586,4 kr. K 0 = 580,70 kr. b) K = 55 kr. K 5 = 5657,04 kr. K 0 = 6400,4 kr. c) K = 500 kr. K 5 = 608,6 kr. K 0 = 740, kr. 77 K = 690,98 kr. 78 a) : lineær : eksponentiel : parabel b) : f() =, + 4,5 : f() = 4,98 0,906 : f() = 0,05 79 a) f() =,5 0,447 g() = 8,5-0,684 b) (,98 ; 4,58) 80 = 99,6 m 8 a) 9804,87 kg b) 0,07 timer c) T ½ = 4, d) t = 7 timer 8 a) K = 69,9 b) Processen forløber 9,69 gange hurtigere 8 a) a = 56, K = 0,055 b) T = 0, C c) t = 6,88 min TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER 84 a) 57,0 b) 4,46 c),80 d) 4,4 85 a) 0,9460 b),70 c) 4,480 d) 5, a) =,0759 eller =,0657 b) = 5,9575 eller =, a) = 0,475 eller = 5,8557 b) =,809 eller = 4, a) =,89 eller = 4,55 b) = 5,777 eller =,6 89 a) L = [0 ;,760[ eller ]5,6888 ; p] b) L = [0 ; 0,808] eller [,78 ; p] c) L = [0 ; 0,04[ eller ],940 ;,849] eller [5,5756 ; p] 90 a) L = [,746 ;,9086] b) L = [0 ;,070[ eller ]5,0 ; p] c) L = ],694 ;,65] eller [4,80 ; 4,97[ 9 a) L = [,5 ; 0,5p[ eller [4,669 ;,5p[ b) L = ]0,5p ;,56[ eller ],5p ; 5,4978[ c) L = [0,974 ; 0,95[ eller [,90 ; 4,0567[ 9 a) = 0,466 + p n eller =,07 + p n p p b) = 0, 8 + n eller = 0, n 9 a) =, p n eller =,665 + p n eller = 4,74 + p n eller = 5, p n b) = p n eller = 0,77 + p n eller = 5, p n 94 a) = 0,664 + p n eller =,775 + p n eller =,79 + p n eller = 5, p n b) =, p n eller = 5,856 + p n 95 a) =,4 + p n b) =,89 + p n 96 a) T = sek. b) t = 0,5 sek. c) t =,5 sek. 97 a) T =,4 sek. b) t =,9 sek. c) t =,86 sek. 98 a) T =,09 sek. b) t =,57 sek. c) t = 0,5 sek. 99 a) I(0) =, ampere b) I() =,8 ampere c) I ma = 4,4 ampere I min = - ampere d) t =,5 sek. e) t= 7,5 sek. 00 a),55 liter b) h = 9, cm

15 DIFFERENTIALREGNING 0 a) - b) f(t) = 0,80 sin(0,50 t) +,5 c),6 meter d) 6,6 timer 0 a) f() = 5 sin(0,04-0,5p) + 55 b) - DIFFERENTIALREGNING 0 f () = 04 f () = 8 05 a) f () = 0,5 b) f () = 0,5 c) y = 0,5-0,5 d) y = - +,5 06 a) f () = 6 b) y = - 07 a) f () = - - b) f (0,5) = -4 f () = - f () = -0,5 c) f (-0,5) = -4 f (-) = - f (-) = -0,5 08 a) f () = 0,5-0,5 b) f (0,5) = 0,707 f () = 0,5 f () = 0,5 09 f er diskontinuert i = 0 f er diskontinuert i = a) f er kontinuert i = 0 b) f er ikke differentiabel i = 0 a) f er diskontinuert i = b) f er ikke differentiabel i = a) f () = -8 7 b) f () = c) f () = 5 d) f () =4,5 9 e) - f ( ) = f) =- - 4 f ( ) g) f () = - - h) f () = a) f () = b) f () = ( + )( - ) - ( ) c) f ( ) = ( + ) 5 a) (, -4) b) t : y = 4-0 t : y = Areal =,67 7 y = + 8 y = y = t : y = -,46-0,6 t : y = 5,46-7,84 0 y = 0, + 6,78 f() = 0,5 a) Lokalt ma i (-,67 ; 8,48), Lokalt min i (, -) b) - a) f ( ) = - b) Lokalt ma i (0,0), Lokalt min i ( 4 ; -0,67) c) - NB! Opgaverne 4, 5 og 6 hedder i bogen 69, 70 og 7 4 a) f () = cos b) (,57 ; ), (4,7 ; ), (7,85 ; ), ( ; ) 5 a) f () = - sin b) (0,), (p ; -), (p ; ), (p ; -), (4p ; ) 6 a) f ( ) = cos - sin + (cos ) b) y = + c) y = + 0,844 7 a) f () = 0 (7 + ) 4 b) f () = 4 ( ) (8-7 ) c) f () = -5 (5 - ) -4 d) f () =,5 ( - ) -,5 8 a) f () = cos() b) f () = 6 sin() cos() c) f () = 8 cos() d) f () = - (sin ()) - cos () 9 a) f () = 8 cos( - ) sin( - ) b) f () = 8 (sin ()) cos () c) = - 5, ( f - ( ) + ) + d) f () = - 5 ( - ),5

16 4 Teknisk matematik Facitliste 0 a) v(t) = 0-9,8t b) t =,08 sek c) s = 8,09 m d) a(t) = -9,8 m/sek a) Dm(f) = R Skæringspunkter med - og y-aksen: (,0), (0,4) Minimum i (,0) Monotoniforhold: f er aftagende i ]- ; ] f er voksende i [ ; [ Vm(f) = [0 ; [ b) Skæringspunkter med - og y-aksen: (0,666 ; 0), (,4754 ; 0), (0, -) Lokalt ma i (,57 ; ) og (4,7 ; -), Lokalt min i (,67 ; -,5) og (5,80 ; -,5) Monotoniforhold: f er voksende i [0 ;,57], [,67 ; 4,7] og [5,80 ; p] f er aftagende i [,57 ;,67] og [4,7 ; 5,80] Vm(f) = [-,5 ; ] c) Dm(f) = R Skæringspunkter med - og y-aksen(-,6 ; 0), (0,0), (5,6 ; 0) Lokalt min i (-0,6 ; -0,97), lokalt ma i (,8 ;,7) Monotoniforhold: f er voksende i [-0,6 ;,8] f er aftagende i ]- ; -0,6] og [,8 ; [ Vm(f) = R d) Dm(f) =[- ; ] Skæringspunkter med - og y-aksen: (-,0), (,0), (0,) Maksimum i (0,) Monotoniforhold: f er voksende i [- ; 0] f er aftagende i [0 ; ] Vm(f) = [0;] e) Dm(f) = R Skæringspunkter med - og y-aksen: (0,0), (,59 ; 0) Minimum i ( ; -0,75) Monotoniforhold: f er aftagende i ]- ; ] f er voksende i [ ; [ Vm(f) = [-0,75 ; [ a) = 0 m og y = 40 m b) Areal m a) Bredde = Højde = 0,6 m b) Areal =,57 cm 4 a) Bredde = 8,66 cm og højde =,5 cm b) W = 6,5 cm 5 a) a =,4 m og b = 0,7 m b) Areal =,75 m 6 a) a =,4 m og b =,4 m b) Areal = 7,96 m 7 AD = DC = 6, mm 8 a) = 6,49 m og y = 5,98 m 9 a) Cylinder: d =,7 m, h = 0,86 m. Kegle: d =, m, h =,56 m. Kasse: =,587 m, h = 0,794 m b) Cylinder: Areal = 6,97 m. Kegle: A = 6,64 m. Kasse: Areal = 7,56 m Keglen, da arealet er det mindste. 40 a) AP = 6 km b) Pris = 49 millioner kr. 4 z = 96,97 4 Skorstenen kan ikke komme om hjørnet, da den mindst mulige længde er 44,6 m. 4 v = 80,4 44 a) Centrum (,4) og radius r = 5 b) -

17 INTEGRALREGNING 5 6 c) f = - ( ) y + 8 d) y =, + 8, 45 a) - b) f ( ) = y c) y = 0,5 + 0,75 y = -0,5-0,75 46 a) - b) - c) f ( ) = 5y 47 Vandstanden > 4 meter 48 Kloakrøret ligger, meter under terræn og overholder kravet på 0,9 meter. 49 a) = 886,75 mm b) u = 5,97 mm 50 a) Afstanden CR = 5,87 km b) 7,9 km 5 Bebyggelsen overholder kravet, da den mindste afstand er,6 meter. 5 a) dy d = - y - 5 y y + b) y = a) + (y ) = INTEGRALREGNING 54 a) 6 c) k b) - + k 4 + k d) k 55 a) - cos + k b) - ln cos + k c) sin + k d) cos sin + k a) F( )= + k b) F( )= a) 0,5 b) 0,5 c) 0 58 a) 0,47 b),8856 c),5 d) 0, a) b) 60 A = 8 6 A = 6 A = 8 6 a) - b) A = 8, 64 A = 0,8 65 a) - b) A = 66 a) - b) 0, A = 0,5 68 A = 4

18 6 Teknisk matematik Facitliste NB! 69, 70, 7 er facit til opgaverne side 480-8, ikke opgaverne side 48-9; de hedder 4, 5 og A = 49, 70 A = 74,67 7 A = 7 a) f() = 0,08 + b) A =, 7 A =, A = 8,86 75 A = 60, 76 A = 0,5 77 A = 57,75 78 A = 64,67 79 a) - b) (,047 ; 0,866) c) A =,5 80 a) 0,69 b) 0,69 c), a) y = + b) y = e 8 a) 4,045,40 b) f () =,0,40 c) Y = 5,99 -,97 8 a) f ( ) = - b) y = - c) y = -,5 +,69 84 a) y = + b) y = 4,778-7, a) f = - 5ln ( ) b) Maks: (,78;,89) c) - 4e - 4e 86 a) f ( ) = e b) Maks: (;,47) c) - 87 a) f () = e - e - b) Min: (0, ;,890) c) - 88 a) k ln 5 b) e + + k ln c) log k ln0 d) In + In + k e) 6,89 f),49 g) 7,8 h) 0,54 89 a) ( 0 + ) 5 + k

19 INTEGRALREGNING 7 - b) - ( + 4) + k 9 c) ( + ) + k d) ( + ) + k 90 a) b) + 4 k ( ) + ( + ) + k 4 c) - ( - ) 6 + k 6 d) 9 a) ln( + )+ k 6 sin k ( )+ b) - cos( 4 6)+ k 4 + c) e 5 + k d) k 4ln 5 9 a) cos + sin + k b) - cos( )+ ( )+ sin 4 k c) d) ln k e 4 e - + k 9 a) b) A = 0, a) b) A =,49 95 a) b) A =, a) b) V = 0, a) b) V = 944,6

20 8 Teknisk matematik Facitliste 98 V = π r h 99 a) b) V =,0 400 a) b) V = 4 π r r 40 a) y =- h + r b) V = π r h r R 40 a) y = - + R h b) V = π hr + r + R r ( ) 40 a) b) A = 4,5 c) V = 9,7 404 a) b) A = 0,67 c) V =,5 405 a) A = 0,989 b) V = 4, a) V = 7,76 b) V y = 0, a) V = 5, cm b) V y = 0, cm c) h =,9 cm h y =,9 cm 408 a) V = 8,46 b) V y = 7, L = 4,95 40 L = 6,096 4 a),5 In 4 4 0,5 e 0,5 b) y =, c) Min: ( 0,6 ; 4,68) 4 a) b) A =,9 c) L =,05 4 a) b) A = 4,70 c) L =,04 44 a) V = 690, m 45 a) V = 44,8 cm b) h = 4,068 cm c) V = 6,4 cm 46 a) R = 89,9 m

21 4 VEKTORER I PLANET 9 b) + (y + 6,9) = 89,9 c) dy d - = y + 77, 85 d) v =,04 e) V = m 47 y =,5 meter 48 V = 490,6 m 49 V = m 40 V = 8 cm 4 V = 5. cm 4 VEKTORER I PLANET 4 a) - b)ab = 4 CD EF = = c) AB = 7, CD = 5, 0 EF = 76, 4 a) a = 58, b) (7,-) 44 a) b = 447, b) (5,) 45 a) a = 9, b = 5, 8 c = 806, b) v a =,5 v b = 59,04 v c = 9,74 46 (5,0 ; 4,68) 47 (-,48 ; -8,65) 48 a) a = 6, b) (6,5) - c) -5, d) e) (0 ; -0,5) 49 e + f = 9, 40 p + q = 7, 4 a) d) a) 6 4 c = 0 c 4 = 0, 77 b) - 4 e) 05, - b) 6,08 44 F = 94, F N = 8, 9 8, a)ab = ac 74, =,, 00 0 b) a =, a = 0, 54 0, a) -0, 67 b c c) 6 - f) 0, 5 b) 0,8 c) 0,

22 0 Teknisk matematik Facitliste - 47 a) 0, 4 99, b) 4,8 c) 5,68 48 a),6 b) 6,96 49 a) 5,7 b) 9,60 99, 440 a) -5, b) 0,5 c) 0,9 44 a) :, b) :, c) - 44 e= 08, 055, 44 e= 088, 048, : 6, 444 a) 095, b) - 045, -0, -089, a) : 4, b) - :,4 c) : 4,4 5 d) - : 5,0 e), 5 :, a) -9 b) 9 c) a),5 b) -,5 c) a) 7, b),7 c) 6,4 449 a) 0 b) ± 6 c) a) C = 90 b) A = 6,4 B = 6,57 45 Firkant ABCD er et rektangel 45 Vektorerne står vinkelret på hinanden - 45 a) b) -7 8 c) (8, ) 455 (0,0), (4,-), (4,5) 456 Løsning : C(6,), D(7,-). Løsning : C(-6,), D(-5,-5) a) : 7, b) -8 : 8 c) d) 5 5 e) f) g) 0 h) 95,9 458 a) Areal = og T(,67 ;,67) b) Areal =,5 og T(-,67 ;,67) c) Areal = 9 og T(,) 459 a),5 b),5 c) 5,5 d) 0, , 5, :,9 46 a) - 4 b),68 c),79

23 5 VEKTORER I RUMMET 46 6,64 46 a) 4,4 kn b) 7,68 kn c) 5 kn d) 48,0 kn 464 a) 4,4 kn b) 9,94 (i forhold til G) 465 a) - b) s = 4,0 kn, s =,56 kn 466 a) z = 4,6 b) v = 6,5 km/time 5 VEKTORER I RUMMET a) AB = 5 b) AB = 768, 468 a) AB = 45, AC = 4, BC = 59, b) A = 07,5 c) Areal = 4,8 d) M B C = ( ; ;,5) e) m BC = 06, 469 a) T( ;,5 ; 4) A(,0,0) B(,,0) C(0,,0) D(0,0,0) b) s = 4,9 470 a) A(,0,0) B( ;,5 ; 0) C(,5,0) D(,5 ; ; ) E(,5 ;,5 ; ) F(,5 ; 4 ; ) b) AD =, 5m AE = 4,8m BE =,5m AE = CE = 4,8 m AD = CF =,5m 47 a) b) ) a y = ) a yz = 4 ) a z = 4) a =,6 5) a y = 5 6) a z = 4,47 47 a) fremstiller en kugle med centrum (, 6, ) og radius r = 7 b) fremstiller en kugle med centrum (8,5,0) og radius r = c) fremstiller en kugle med centrum ( 4,7,9) og radius r = 47 a) a+b= 8 a+ b = 4 b) (,, ) 94, a) p+ q+ r = 0 p+ q+ r =, 5 0 b) p q r= p q r =, c) p+ 4q r= 6 p+ 4q r = 7,9 4

24 Teknisk matematik Facitliste 0, a) e a = 0, 5 0, a) v = 4,9 477 a) t = a) A = 8, B = 40,70 C =, a er parallel med b, da,5a = b 480 a) t = b) t =-4 48 a) b a = 576, b) a b =, 6 t 48 -aksen: y-aksen: t z- aksen: 0 0 t 48 a) t + y = t - 4t eller + y = --4t z t z 5+ 9t b) Skæring med y-plan: (,89 ; 0, ; 0) Skæring med z-plan: ( ; 0 ; 0,5) Skæring med yz-plan: (0 ; 4 ; 8,5) 484 A, B og C ligger på en ret linje, da AC = AB 485 a) Linjerne har ikke et skæringspunkt. b) Linjerne er vindskæve. 486 a) Linjerne har et skæringspunkt. b) Skæringspunktet er (,5,4). 487 a) Linjerne har ikke et skæringspunkt. b) Linjerne er vindskæve. 488 a) v = 96,49 4 b) a b= Areal = a) a b= b) Areal = 06,9 49 a) y = -5 + s 5 + t 6 z 4-5 4

25 5 VEKTORER I RUMMET b) 0 + y 9z +5 = 0 49 a) Punktet (5,,4) ligger i planet b) 5 y = -5 + s -, - + t - z 4-0, a) 9 + 7y + z 98 = a) z = 0 b) ATB: + z = 0 ATD: y + z = 0 CTB: y z = 0 CTD: z = BCGKF: y = 0 ADHJE: y = 4 ABFE: = 8 CDHG: = 0 ABCD: z = 0 EFKJ: + 4z 6 = 0 KJHG: + 4z = y + z 7 = a) t 0+ y = + 4t z t b) v = 5, a) v = a) (,y,z) = (0,8,) b) v = 8, a) t + 4 y = 4-t z -t b) (,y,z) = (, ; 5,56 ; 5,) c) v= 4 50 a) v =,40 b) v = 85,6 50 e = 5,5 50 e = 4, e = 5, 505 e = 9,5 506 a) Planerne er parallelle, da n = n b) e = 0,4 507 a) e =,84 b) + y + z = 0 c) (6,5 ; 0 ; 0) (0,,0) (0,0,) 508 a) A(6,0,) B(6,0,) C(0,0,) D(0,0,) E(,7,4) F(,,4) b) AE = 469, c) + z 8 = 0 d) z + 6 = 0 e) v = 67,8 509 a) ( ;,5 ; 0,5) b) ( 4) + (y ) + (z + ) = 5,6

26 4 Teknisk matematik Facitliste 6 VEKTOR FUNKTIONER 50 a) - b) (0,) (0,5) c) t 0 0,5-4,5 y,5 4 6,5 d) - e) mindste afstand:,4 5 a) y = + b) y = c) y = 5 sin(cos - (0,5)) t 5 a) r()= t + 4t t 5 t + t t b) r()= t 4 t 5 a) t y = t b) t eller y = t c) t y = - + cos t sin 0 54 a) t y = + cos 5 + sin t b) t y = + 5 cos + 5 sin t 55 a) (-,) b) storakse = 8 lilleakse = 6 c) mindste afstand =,7 56 a) - b) v()= t 5 0t + 5 c) (,5 ; 5,5) d) (70,5 ; 0) e) 5,4 m/sekund 57 a) - t b) v()= t c) (,y) = (4,) t y = t

27 7 Differentialligninger 5 58 a) - b) v()= t 0t + c) (0,4 ; 7,), t 59 a) r() t = t 0, t b) (0,4 ; 0,6) c) -, t cos( t) 50 a) r() t = 05 + sin( t) b) - c) (0,94 ; ) (,77 ; -) (,96 ; ) (,750 ; -) d) (,06 ; 0,50) (-,0 ; 0,50) (,586 ; 0,50) (0,4 ; 0,50) e) (,77 ; -) (,750 ; -) f) højeste fart = 4,5 m/sekund 5 a) - b) Omkreds = 6,7 5 a) - b) (0,0) (,0) (-,0) c) (0,707 ; ) (0,707 ; -) (-0,707 ; ) (-0,707 ; -) d) (,0) (-,0) 5 a) - b) (0,) (0 ; 4,67) c) (p,6) (p,) (p,6) d) (-0,685 ; ) (6,968 ; ) (5,598 ; ) e) fart =,89 m/sekund 54 a) - b) (0,) c) ( 0,58 ;,7) (0,58 ;,64) d) (0,9 ;,4) (-0, ; 0,59) (-0,57 ;,4) (0,6 ; 0,59) e) (0,77 ;,4) cos( t) cos( t) 55 a) r() t = + 5 sin( t) + sin( 5t) b) - c) (0,) (0, ) (4,0) (,7 ; 0) (,7; 0) ( 4,0) d) (,7 ; ) (0,) (-,7 ; ) (-,7 ; -) (0,-) (,7 ; -) 7 Differentialligninger 56 a) y = 0,³ + + k b) y = 0,³ + 5,67 57 a) y = 0,5 4 + k b) y = 0,5 4 +,5 58 a) v = t² 6t + 6 b) a = t 6 c) 59 a) v = t³ t +

28 6 Teknisk matematik Facitliste b) s = 0,5t 4,5t² + t 50 a) 0, ,67³,5² + + k b) y = ³ + ² + k c) y =,³ + 6² 4 + k ( -) d) y = 9 + k 5 a) y = 0,5 ln(² + 4) + k b) y = 0,5 ln(² + 4) 0, a) y = ³ + k b) y = ³ a) y = ² + k + k b) y = ² + 54 a) y = 0, k + k b) y = 0,08 4 +,5 55 a) y = ± c e 0,5 b) y = e 0,5 y = e 0,5 y = 0,6065 e 0,5 y =, e 0,5 56 a) y = 0- + k b) y = a) y = + k b) y = 58 a) y = ± c e b) y = 0,4979 e c) y = a) y = c e 0,5 b) y = 0,6065 e 0,5 y =, e 0,5 540 a) y = ± c e + b) y = e + 54 a) y = 0,5² +,5k² + 0,5k b) y = 0,5² +,5 +,5 54 a) y = 0,5² + 0,5k² + 0,5k + b) y = 0,5² + 5, 54 a) y = + k e - 5, b) y = + 0, 048 e 544 a) y = + ke -8 b) y = + e -8 -

29 7 Differentialligninger 7 y = + e -8 y = e y = 0,67³ + 0,5² y = In e + k ( ) 547 y = ( 05, y = 6,9988 e -0, a) y = F L F - EI 6 EI b) = 00, y = 0, = 00, y =,5 = 00, y =,65 = 400, y = 4,9 = 500, y = 6,7 = 600, y = 8,47 c) a) y = e 0, 475 b) =, y = 5 =, y = 86 = 4, y = 00 = 5, y = 06 c) I uge nr. vil halvdelen af befolkningen være smittet.