(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x Serie 1 Serie 2

Transkript

1 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar : = a + b hvor a = 3 P(;0) ligger på grafen dvs. 0 = 3 + b <=> b = Forskrift : f() = 3 b) Løs uligheden f() 0 og forklar den geometriske betdning af løsningen. Svar : f() 0 <=> 3 0 <=> 3 <=> Dvs. grafen for f() ligger på eller over -aksen for 3 f()=3* - Serie Serie (3 ;3 ) ( ;0 ) f()=3 *- Opg Gør rede for at en trekant med sidelængderne 9, og er retvinklet. Svar : 9 + = 8 + = = dvs. sidelængderne opflder Pthagoras og trekanten er dermed retvinklet. NB! Hvis Pthagoras gælder dvs. a + b = c, så vil trekanten være retvinklet. Der gælder jo cosinusrelationen : c = a + b a b cos(c) c = a + b <=> cos(c) = 0 dvs. C = 90º Opg 3 En eksponentiel funktion har forskriften f() = b ( + r), hvor r > 0 og b > 0. I tabellen er udviklingen for denne funktion angivet, idet er det aktuelle årstal og f() de dertil hørende funktionsværdier f() 3, 7 Svar : Ved aflæsning af tabellen ses, at fordoblingskonstanten T = år dvs. udfldte tabel : f() 3, 7 8 f() = find = 8 8 = 3 8 dvs. 3 fordoblingskonstanter (= 3 = år) fra 009 dvs. år 0 Alternativt : Udvid tabellen til man når frem til f() 3, 7 8 Heraf ses, at dette sker i år 0. -

2 Opg Løs ligningen ( 3) = 0 Svar : ( 3) = 0 <=> ( 3) = <=> 3 = ± <=> = eller = Alternativt : ( 3) = 0 <=> + 9 = 0 <=> + = 0 <=> = b ± a d <=> = ± <=> = eller = L = {;} Opg En funktion f har forskriften f() = 3 + Beregn en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (,f()). Svar : Tangentens ligning i punktet (,f()) : = f () ( ) + f() f() = 3 + => f () = 0 f () = 0 = og f() = 3 + = Dvs. tangenten i (,f()) : = ( ) <=> = f()=*x^3-*^+ Serie f()=-* *+3 f() ( ;- ) - -3

3 august 008 delprøven med hjælpemidler Opg I en retvinklet trekant ABC kendes følgende størrelser : Den ene katete har længden 8. Arealet af trekanten er 3. a) Bestem længden af hpotenusen ( dec.) Svar : T = højde grundlinie = a b <=> a 8 = 3 <=> a = 9 Dvs. Pthagoras : a + b = c <=> = c <=> c =,0 b) Beregn størrelsen af de to spidse vinkler i trekanten ( dec.) Svar : Anvend cosinusrelationerne da 3 sider i trekant ABC kendes. cos(a) = b^ + c^ a^ * b* c = + 8 *8* B = 80º (90º + 8,39º),º 0, <=> A = cos (0,) 8,39º Opg Undersøgelse om anvendelse af lommeregnere på St og Hh. Elever svarer på spørgsmålet : Har din undervisning i MAT C været tilrettelagt efter brug af samme lommeregnermodel. To fordelinger hvor elever fra studieforløb MAT C hhv. MAT B/MAT A svarede. Udfld de grå felter og lav en statistisk sammenligning af fordelingerne. Har din undervisning i MAT C været tilrettelagt efter brug af samme lommeregnermodel i klassen? St og Hh MAT C St og Hh MAT B/MAT A hppighed frekvens hppighed frekvens Ja ,8 0,89 Nej 8 8 0,09 3 0,7 Har ikke brugt 0 0 0,073 = 0,00 lommeregner 3 Total,00 3,00 I MAT C studieretningen har flest svaret nej til samme lommeregnermodel (ca. 0,9%) og ca.,8% svaret ja til samme lommeregnermodel. I MAT B/MAT A studieretningen har langt de fleste svaret ja til samme model (ca. 8,9%) mens ca. 7,% svaret nej til samme model. Dvs. stor forskel i besvarelserne. Lav evt. to pindediagrammer. 3

4 Opg 3 En Hh-klasse med 30 elever på studietur og sparer op i den lokale bank. Studieturen koster 3.00 kr pr. elev. Opsparing i 9 måneder, renten 0,% pr. måned. a) Beregn hvad hver enkelt elev skal indbetale pr. måned (afrundet til hele kr.) Svar : Anvend opsparingsformlen A n = dvs. = 300 * 0,00,00^9 38 kr. ( + r)^n r og isoler = An * r ( + r)^n b) Hvor mange penge vil klassen samlet have fået tilskrevet i rente på deres indbetalinger? Svar : 30 ( ) 30 (300 3) 30 3 kr. 00 kr. Rejsetidspunktet udskdes 3 måneder, hvor det opsparede beløb på kr. forbliver på fælleskontoen. c) Hvor stort et beløb står der på fælleskontoen efter de 3 måneder? Svar : Anvend fremtidsformlen K n = K 0 ( + r) n dvs. K 3 = 0.000, ,7 kr.

5 Opg Et polgonområde er bestemt af følgende begrænsninger : a) Indtegn polgonområdet i et almindeligt koordinatsstem Svar : + 7 har begrænsningslinjen = + 7 = 0 <=> 0 = + 7 <=> = + har begrænsningslinjen = + = 0 <=> 0 = + <=> = En lineær funktion f i to variable er givet ved forskriften f(,) = + hvor, є R b) Bestem den største og den mindste værdi af f indenfor polgonområdet Svar : Bestem hjørnepunkterne i polgonområdet + = + 7 <=> = dvs. = 7 dvs. skæringspunkt (;7) + = + <=> = dvs. = dvs. skæringspunkt (;) = og = + 7 dvs. = dvs. skæringspunkt (;) = og = + dvs. = dvs. skæringspunkt (;) Udregn kriteriefunktionens værdier i hjørnepunkterne : f(;7) = + 7 = 9 ; f(;) = + = ; f(;) = + = 7; f(;) = + = dvs. f(;) = 7 er største værdi og f(;7) = 9 er mindste værdi for f Alternativt : finde to niveaulinier (f.eks N(0) og N(0)) og markér niveauets retning med en pil vinkelret på niveaulinierne. Ved parallelforskdning af niveaulinierne i pilens retning findes den kombination af og der optimerer f. Her største- og mindsteværdien for f ( ;77 ) 3 f()=+ f()=-+ f()=-0.*+7. Skravering Skravering Serie f()=-* f()=-* N( 0 ):=- *+ 0 =-+ ( ; ) =-0. *+7. N(0 ):=- * =+ ( ; ) = ( ; )

6 Opg Der er givet forskellige funktioner med følgende forskrifter : f() = + b + c g() = + b + c h() = b,0 k() = b 0, Bilag 3 viser forskellige grafer. Udfld bilag f( )=*.^ 8 f( )= ^-* -3 f()= +b +c 0 f()=b *, Graf nr hører til h() = b,0, da h() Graf nr hører til f() = + b + c med grundtal,0 er en voksende da f() er en glad parabel med eksponentiel funktion koefficient a = > 0 f()=- ^+ * - 0 f( )=* 0.^ f()=- +b +c - f()=b *0, Graf nr 3 hører til g() = + b + c da g() er en sur parabel med koefficient a = < 0 Graf nr hører til k() = b 0,, da k() med grundtal 0, er en aftagende eksponentiel funktion

7 Opg En funktion f har forskriften f() = ln() + a) Bestem definitionsmængden for f Svar : Dm(f) = ]0; [ da funktionsleddet ln() har definitionsmængden ]0; [ og funktionsleddet + har definitionsmængden ] ; [. Dvs. fællesmængden er Dm(f) = ]0; [ ] ; [ = ]0; [ b) Gør rede for, at funktionen f har et maksimum. Svar : f() = ln() + er differentiabel for є ]0; [ med f () = Monotoniforhold og ekstremer findes ved at løse f () = 0 f () = 0 <=> = 0 <=> = є Dm(f) 0 Fortegn for f i.d + 0 ( ; ) f ( )=0 f()=ln ( )- + Serie f()= f er voksende for є ]0;] og aftagende for є [; [ Dvs. f() = ln() + = er globalt maksimum og (,f()) = (;) er et globalt maksimumspunkt. f()=ln ()

8 Opg 7A I et retvinklet koordinatsstem har vinkelspidserne i trekant ABC koordinaterne A( ; 3), B(;) og C( ;3) a) Tegn trekant ABC Arealet af en trekant kan udregnes v.ha. koordinaterne til vinkelspidserne. Hvis A = (a,a ), B = (b,b ) og C = (c,c ) kan trekantens areal T beregnes ved : T = (S S ) C (- ;3 ) 3 Serie Serie Serie 3 B ( ; ) hvor S = a b + b c + c a og S = a b + b c + c a b) Brug ovennævnte former til at vise, at trekant ABC har areal Svar : (a,a ) = ( ; 3); (b,b ) = (;) og (c,c ) = ( ;3) T = (S S ) = [ + 3 ( 3) ( 3 + ( ) + 3 ( )] = ( ( 8)) = c) Beregn størrelsen af vinkel A Svar : Vi beregner sidelængderne a = BC ; b = AC og c = AB og beregner derefter vinkel A vha. cosinusrelationen cos(a) = b^ + c^ a^ * b* c Vi anvender afstandsformlen d = + = ( ) + ( ) mellem to punkter (, ) og (, ) b = ( ( )) + (3 ( 3)) = 3 + = a = ( ( )) + ( 3) = + = 0 c = ( ( )) + ( ( 3)) = 9 + = 97 Heraf fås cos(a) = b^ + c^ a^ * b* c 0,77 dvs. A = cos (0,77) 39,7º. A(- ;-3 )

9 Opg 7B En funktion f har forskriften f() = + 3 a) Løs ligningen f () = 0 Svar : f () = 3 + = ( + ) f () = 0 <=> ( + ) = 0 <=> = 0 eller + = 0 (Nulreglen) + = 0 <=> = L = {0;;} b ± a d <=> = ± <=> = eller = b) Bestem monotoniforhold og ekstrema for f. Svar : 0 Fortegn f f er voksende for є ] ;0] og є [;] f er aftagende for є [0;] og є [; [ f(0) = 0 er lokalt ma. f() = 3 er lokalt min og f() = 3, er globalt ma f()=-/*^+*^3-.*^ c) Skitsér grafen for f. Serie Serie 3 Serie 3 30 ( ;3, ) 0 f 0 (0 ;0 ) ( ;-0,7 )