Teknisk Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 2. udgave. PRAXIS Nyt Teknisk Forlag

Transkript

1 Teknisk Matematik. udgave FACITLISTE Preben Madsen PRAXIS Nyt Teknisk Forlag

2 TEKNISK MATEMATIK TEKNISK MATEMATIK FACITLISTE TIL.UDGAVE INDHOLD. Tal og algebra. Ligninger og uligheder. Geometri. Trigonometri 5 5. Cirklen 6 6. Overfladebestemmelse og udfoldninger. Bestemmelse af rumfang 0 8. Analytisk plangeometri 0 9. Funktioner. TAL OG ALGEBRA a) a b+ 6 b) a b c c) ac + 8bc bd.0 a) - b) a b.05 a) 0a b) d 6c c) e 9 f a) 0 b) 58 c) 0.08 a) ab 9b b) a a c) a + d ad.09 a) a + 9b b) 5c + 9 d c) 0e 66 f 58ef.0 a) ( 6 9y) b) ( a b)( a+ b) c) ( c+ d). a). a) 9 b) 8 a+ 9 b 6 b) 5y c) d+ c 5 c) y 6y. a) 0,0 b) 0,0 c) 0,0 d) 0,008 e) 0,008 f) 0, 008. a) b) 0 c) a),60 m b) 6.0 cm c) mm. 5.8 a) a b) b 5 c) c d) ( ) + e) ( ) + f) ( ) +.9 a) 99,5 b) c) 8,0.0 8 mm. = mm. b = 8 mm. 0, m..5

3 . Ligninger og uligheder. LIGNINGER OG ULIGHEDER.0 a) G= ( R 0) b) G= ( R ) c) G ( R ) G= ( R > 0) e) G= ( R > ) f) G= ( R < ) = d).0 a) G= R: = 8 b) G= R: = 0 c) G= R: =.0 a) - b) =.0 a) G= R: = 5 b) G= ( R ) : = 6 c) G= ( R ) : = 8.05 a) G= R: = b) G: 6, : = c) G: ( 0, ) : =.06 b = 60 mm.0 R =,6 ohm.08 t = 0, C.09 n = 59 omdr / minut.0 a) π dli v = 000 t s b) 000 t v s d = π Li c) π dli s = 000 t v a. a) m = b) z z + z a mz = c) m a mz z = m. 9 kg,08 kg. 55,56,5, , 8 kr.,08 %.8 5, %.9 a) B = 0, 8 C =, D =, 6 b) E =, F =,98 G =,.0 a) G = R : = 5 og y = b) G = R : = og y = c) G = R : =, og y = 6. a) G : {, } og y {, } : = og y = b) G = R : = og y = 0 c) G : 0 og y 0 : = 0, og y = 0,5. 5, 5.,8. 5,0.5 a) G= R: =, y=, z= 0 b) G= R: = 6, y=, z= c) G:, 5, y { 5, }, z R: =,5, y=, 69, z= 5,69.6 a) = 0 eller =,5 b) = 0 eller =, c) = 0 eller = 5,. a) =± 0 b) =± 8 c) =±.8 a) G = R : = eller = 0, 66 b) G= R: = 0, c) G = R : ingenløsning.9 a) G : {, } : =, eller =, 55 b) G : 0 : = eller = 0,66 c) G : { 5,; ;0, } : =,65 eller =,66.0 = 5 og y = eller = og y = 5. = 6

4 TEKNISK MATEMATIK. = og y = eller = og y =. a) G = R : =± eller =± b) G= R: =± 0,950 c) G = R : =, 9 eller =, 50. a) G = R : = og y = eller = 0, og y =, b) G = R : =,5 og y = 5,5 eller = 0, og y =, c) G = R : = og y = 6 eller = 8 og y =.5 a) G: : = b) G:, = c) G: : =.6 a) G= R: = eller = b) G= R: = c) G= R: : = 0,6 eller =, 96 eller =, 055. a) > 5,5 b) < c) < 5.8 a) 5 b) c).9 a) b) 5 c).0 a) L =,6; b) L = 8,5; c) L = 6;. Stigning = 5,8 m. a) Fald,9 % b) = 5, 5 = 5, = 6, 5 = 6,5 c) a= 5, 65 b= 5, 895 c=6,5 a= 6, b= 6, 69 c= 6, 9 6a=, 0 6b=, 90 6c=,0. H = 8 cm, L = cm. a) + 6y= 8 og0+ 8y= 8 b) = cmog y = 6 cm c) Areal = cm, Areal = 5 cm. GEOMETRI.0 a) 65,55 b), c) 8,98 d),0.0 Lille viser : 0, 5 / minut storeviser :6 /minut.0 a) 90 b) 50 c) A= 6,5, B= 6,5, C= a) AogC b) Modstående side er c, hosliggende sider er aogb., 5 cm.,9 m,,9 m,,58 m. 8, 8 cm. 5,.5 6.6,5,6,5.,,.8

5 . Trigonometri a) 5,05 b) 8,5 c) 9,5. AB =, meter.8 a) 5 emner b) 9,5 % c) emner d) 69,95 %. TRIGONOMETRI a) - b) - c) - d) =,, y= 8, 68, z= 6, 8.0 a) B =,, a =,90 cm, b =,60 cm b) A =,, a = 6, cm, c =,95 cm c) A = 5,6, B = 6,, a = 5,5 cm.05 a) B = 5,8, C = 6,6, b =,85 cm b) C = 6,6, a =,6 cm, c = 5,66 cm c) A = 8,6, C = 6,9, b =,5 cm.06 a) m = 6,08 cm a b) v =,5 cm B c) h =,8 cm c.0 a) m = cm s b) v =,9 cm T c) h =, cm s.08 a) v = 6,6, v = 6,6 b) v = 8,, v =,5 c) v = 60,96, v = 9, a) B =,, C = 6,8, c = 6,9 cm b) C = 96,, c = 8, cm, b =, cm c) Løsning : B =,9, A = 5,8, a = 6,8 cm Løsning : B = 6,, A =,6, a =,88 cm... a) A = 0,9, B = 9,, c = 9, cm b) B = 6,, C =,8, a = 9,0 cm c) A= 9,, B= 6,, C= 68,5. a) B =,0, C =,9, a =,6 cm, c =,8 cm b) Løsning : A = 08,9, C = 9,5, b =, cm, c =,5 cm Løsning : A =,08, C, B =,, b =,55 cm, c = 6,80 cm c) A =,8, C = 88,, a =,5 cm, b = 6,5 cm, c =, cm.5 a) Areal = 0,9 m b) Areal =,8 cm c) Areal = 9,6 cm, R = 5,6 cm, r = cm.6 AD = CD =,9 cm, A =,, B = 8,0, C = 6,, Areal = 0,8 cm., m.8 v = 9,5 5

6 TEKNISK MATEMATIK.9 = 0,9 mm.0 s = mm. a =,8 mm, b = 6,5 mm. 9, cm. a =,55 mm. a=,0 mb, =,8 mc, =,9 m.5 a=,0 mb, =,50 m.6 L = 90,55 mm. d = 5 mm.8 h = 6 mm.9 d =,6 cm , 58, ,9,6 9,9 68,,9 y , 86 69,89 6,9 9,9 0,65 60,9 9,. R= 6 Na, =, 6. Areal = 65,9 mm., a =,8 mm, = 5 mm, =,8 mm a =, mm b b. d = 80 mm.5 a = 96,6 mm 5. CIRKLEN 5.0 b =,9 cm 5.0 v = 56, Areal = 0,69 cm 5.0 R = 9,8 cm % 5.06 Areal = 6,8 cm 5.0 v = 6, 5.08 Areal = 0,89 m 5.09 Areal = 0,8 cm 5.0 a) h = 0,68 cm b) 5. 8 mm 5. L = 89 mm 5. L = 09 mm 5. a = 6,5 5.5 Areal =, mm 5.6 Areal = 6,6 cm 5. Areal = 66 mm 5.8 Areal =,9 m 5.9 Areal = 885,6 cm 5.0 Areal = 59, mm 5. Areal = mm 5. Areal =,5 m 5. L= 6,8 m Areal =, cm, Areal =,6 cm 6

7 6. Overfladebestemmelse og udfoldninger 6. OVERFLADEBESTEMMELSE OG UDFOLDNINGER , cm,0,65 m 9,8 m 9, m 6.0 m m Rækkeevne : 0 liter spand Rækkeevne 6 : 5 liter spand liter liter 6.05 a)- b),5 c) 59,86 cm d) 6.06 a) - b) h = 5,9 cm c) 69, 9 d)- 6.0 a) - b) 5,69 c) 58, mm d) 6.08 a) a = 5,6 cm, b =,8 cm, c = 6,8 cm b) 89,9 % 6.09 a),66 cm b) v = 09,, k = 6,6 cm 6.0 a) 96,5 cm b) s =, cm, s = 8, cm, v = 6,0, k = 6,9 cm 6. 6,5 mm 6. d = 6,6 cm 6. R = 8,0 cm 6. a) Grundfladekant =, cm, Sidekant = 8,9 cm b) v = 5, c) v = 6, 5 d) 8,6 cm 6.5 0,5 cm 6.6 y π. 0 = 6, , 0. 5, 0.9 6,, y 0, ,66 50

8 TEKNISK MATEMATIK 6. y 6, π. 0 = 9, ,85 5,,56, 9,6, y 5 5,8 8,,, 6,59, y , π. 00 = 68, 0 : ( 0;,8 ) : ( 5,6;,9 ) : ( 0,;, ) : (5,08;9,) : ( 09, ; 0, ) 5 : ( 6,80;55,55 ) 6 : (,6;50 ) : ( 0; 55,68 ) 8 : ( 5,6; 5,8 ) 9 : ( 0,; 56,9 ) 0 : ( 5,08; 55,0 ) : ( 09,; 5,8 ) : ( 6,80; 59,9 ) : (,6; 598, 5) y 5 6. π. 00 = 68, 0 : ( 0;50 ) : ( 5,6;6,0 ) : ( 0,; 00 ) : ( 5,08; 50 ) : ( 09,; 00 ) 5 : ( 6,80;6,0 ) 6 : (,6; 50) 8

9 6. Overfladebestemmelse og udfoldninger : ( 0,50 ) : ( 9,;50, ) : ( 8, 5; 5,6 ) : (,8;0,0 ) : ( 5,08; 00,8 ) 5 : ( 96,5; 6,0 ) 6 : ( 5,6; 00) 6. a) y = 0, 5 b) 605,9 m 6. a) 85,98 m b) 98,9 mm 6. 9,5 liter 6. a) m b) Cirkelringsudsnit : R =, m, r = 0,8 m, v = 5,8, k =,9 m 6.5 a) 6, m b),0 m 6.6 Del Cirkeludsnit : Centervinkel = 5, 55, Radius = 69,, korde = 0, 09 Del Rektangel : Bredde =, mm, Højde = 00 mm Del Cirkelringsudsnit : R = 50 mm, r = 5 mm, v = 6, k = 5,5 mm Del Rektangel : Bredde = 9,8 mm, Højde = 00 mm Del 5 Tilslutningsstykke y π. 00 = 68, 0 : ( 0;8,0 ) : ( 5,6;,5 ) : ( 0,;08,5 ) : ( 5,08;00) : ( 09,;08,58 ) 5 : ( 6,80;,5 ) 6 : (,6;8,0) Del6 Cirkelringsudsnit : R = 9,6 mm, r = 608, mm, v = 59,, k = 90, mm Del Bøjning y 95, π. 00 = 68, 0 : ( 0;9,5 ) : ( 5,6;6,68 ) : ( 0,;09,0 ) : ( 5,08; 99,6 ) : ( 09,;89,5 ) 5 : ( 6,80;8, ) 6 : (,6; 9, 56 ) : ( 0; 8, ) 8 : ( 5, 6; 8, ) 9 : ( 0,; 88, ) 0 : ( 5,08; 98,8 ) : ( 09,; 08, ) : ( 6,80; 5,59 ) : (,6; 8, 6) : ( 0; 5,0 ) 5 : ( 5,6; 5,50 ) 6 : ( 0,; 50, ) : ( 5,08; 9,0) 9

10 TEKNISK MATEMATIK 8 : ( 09,; 8, ) 9 : ( 6,80; 80,05 ) 0 : (,6;,8 ) : ( 0;66,9 ) : ( 5,6;68,96 ) : ( 0,;686, ) : ( 5,08;696, ) 5 : ( 09,;06, ) 6 : ( 6,80;, ) : (,6; 6, 08). BESTEMMELSE AF RUMFANG liter.0 V = cm, A = 5 cm.0, cm.0 8 m kg.06 a), cm b) 68 cm.0 a) 050 liter b) 50 liter.08 5 kg.09 a) cm b) 6 cm.0 a) 5 cm b) 9 cm. a) 86,9 cm b), 5 cm. a),6 cm b) 9 cm c) cm. a),5 cm b) 6 cm c) m.5 a) 5, cm b) 0,8 cm.6 5,05 %. a) A = 5, b) V = 56,55.8 a) A =, 9 b) V = 669,9.9 a) m b) m.0 5 timer5 minutter sekunder. a) V = 8,65 liter b) 0,89 m c) = mm, y = 600 mm, z = 050 mm. 0,088 liter. a) 9,80 kg b),6 kg c),08 kg 8. ANALYTISK PLANGEOMETRI 8.0 AB =,, AC 0,0,,6 8.0 a) Ingenløsning b) = c) = 8 eller = 8.0 y = 8, eller y =, 8.0 a) m (,5;,5 ), m (,5;0 ), m ( ;,5 AB AC BC ) b) m = 8, 0, m =,, m = 6, 0 a b c 8.05 a) Areal = 8 b) Areal = 59 c) Areal = a) Areal = b) A= 85,60, B=,0, C=,9 8.0 a) Areal = b) A= 9,6, B=,90, C= 0,, D= Areal = 0, a) - b) A(, ), B( ;,5 ), C (,) c) A= 6,5, B= 6,, C= 90 d) Areal =,5 0

11 8. Analytisk plangeometri 8.0 a) - b) A( 0,0 ), B( 5,0 ), C( 5, ), D(, ) c) A= 9,9, B= 6,5, C= 90, D = 0,0 d) Areal = 8. a) (,5 ) b) (,0 ) c) ( 0,;,0) 8. a) - b) A(, ), B( 6, ), C( 6, ), D(, ) c) Areal = 0 8. v =,8 8. v = 66, A= 8,, B= 5, C= 6,5 8.6 a) y= 0,5 b) y= + 6 c) y= 0, a) y= 0, 9, b) y= 0, c) y= 0, 89+, Linjerne er parallelle 8.9 y= y= 0,+ 8. y= 0, 8 8. y= 0, 86+, 9 8. Linjerne står ikke vinkelret påhinanden 8. y=,5+ 0,5 8.5 h : y=, h : y= 0,, h : y=, 5 a b c 8.6 a) y=, 5+ b) Areal = 5 8. a) ( ;, 5 ) b) R = 5,5 8.8 a) (,6;, ) b) r =, 8.9 (,9; 5,) 8.0 a) A(, ), B(, ), C( 0, ) b) A= 6, 86, B= 5,, C= 90 c) y = + 9 d) y=,08+ 9,5 e) y= 0, a) r=, ( ab, ) = ( 0,0) b) r=, ( ab, ) = (, ) c) Ligningen fremstiller ikke encirkel a) y =,6 eller y =,6 b) ( 6,8; 0 ),( 0,8; 0 ),( 0;,65 ),( 0;.65) 8. a) y= 0, 9 y, = 0, b) v = 58,0 8.5 ( ) + ( y+ ) =,6 8.6 a) - b) B(,96;,0 ), C(,0; 6,55) c) Areal = 5,5 8. a) - b) - c) Kl..0 d) StationE e) - f) Kl a) - b) - c) - d) LysI : 8 8 sek. LysII : sek. LysIII : 6 sek. km km LysIV : sek. e) 55, 6 time time 8.9 a) ( 90, 65) + ( y+ 500) = 500 b) A( 9,5; 9 ), B( 90,65;0) c) 8,08 m 8.0 a) R=,5 m b) ( ) + y+ 5,5 =,5 c) Stængerne nummereres fra venstre: stang = 0 m, stang =,0 m, stang = 6,50 m, stang =,8 m, stang 5 = 0,69 m stang 6 = 0 m, stang = 0,69 m, stang 8 =,8 m, stang 9 = 6,50 m, stang0 =,0 m stang = 0 m, stang = 5,8 m

12 TEKNISK MATEMATIK 9. FUNKTIONER 9.0 a) nej b) ja 9.0 a) Dm( f ) = ;, Dm( g) = ; c) f( ) f( ) g( ) g( ) =, =, =, = 9.0 a) Dm( f) R Vm( f) R f( ) =, =, = = ;, = ; b) Vm( f ) Vm( g) =, = 0, = 0, 5 Dm f = R, Vm f = ;, f = b) Dm( f) R Vm( f) { y Ry } f( ) c) ( ) ( ) ( ) = = = d) Dm( f) { R }, Vm( f) ; og 0;, f( ) e) Dm( f) R Vm( f) f( ) =, = ;, = 5 f) Dm( f) R Vm( f) f( ) =, = 0; = 0, 9.0 a) f er aftagende i 5; og ; 5, f er voksende i ; b) Lokalt ma : (, ) og lokalt min : (, ) c) g er voksende i 5; og ;, g er aftagende i ; d) Lokalt ma : (, ), Lokalt min : (, ) 9.05 a) f er aftagendei ;, f er voksendei ; b) g er aftagende i ; og 0;, g er voksende i ;0 og ; c) h er voksende i ; og ;, h er aftagende i ; 9.06 a) A(, ), B( 6, ), C( 6, ) b) ( ) c) m : f( ) =, 5, d) ( ) v : f = 6,65+ h : f = 0,5+,5 b a 9.0 a) Lige b) Lige c)ulige d)ulige 9.08 a) Ulige b) Hverkenlige ellerulige c) Lige d) Ulige 9.09 a) ( 0, ) b) (,0 ) c) (, ) d) ( 0,8 ) e) ( 8,0) f) ( 8,) 9.0 f( ) ( ) = 0, c

13 9. Funktioner 9. f( ) ( ) = 0, : a) =,0, (,0; 0,5) b) ( 0;8,9 ) c) ( 5,9;0 ),(,;0) : a) =, (, ) b) ( 0; 5 ) c) (,0 ), ( 5,0) : a) =, ( ;,5) b) ( 0;0,5 ) c) (,5; 0 ), (,5;0) 9. a) f( ) =,8 + 6, 5 b) (,05;,0 ), ( 0,8;,) 9. a) f( ) = + + b) f( ) = (,; 8, ), (,;0,) 9.6 : (,;0 ), (,;0) : (,;0 ), ( 0,9;0 ), (,9;0) : (,0 ),(,0 ),(,0 ),(,0) 9. a) L =,;0, b) L =,5;0,5 c) L = ; d) L= R 9.8 a) L = 5; b) L = 5;,5 9.9 a) G: 0,5, = b) G:, = 9.0 f( ) c) G :,5, = eller = 9. a) f( ) 0,5+ for 8 = 0,5 for < 8 8 for i ; og 6; + = ( 8 + ) for i ; 6 b) =, 8 eller = 6, eller =, 8 eller =, 88 ( )( ) ( )( ) 9. aob = 0,5+,5, boa = 0,5 + m 9. ( cod )( ) =, Dm ( cod ) = 9. a) ( ) 9.5 a) ( ) f 0,5 0,5 c) L = ; eller,5; +, { R 0},( doc)( ) = Dm( doc) = { R } = b) Dm( f ) = { R < 0} f = + b) Dm( f ) = { R < } 9.6 a) = 0 cm b) V = cm 9. = 00 my, = 6,6 m 9.8 a= mb, =,5 m 9.9 Stængernenummereres fravenstre : = 5,00 m, =,8 m, = 0,5 m, = 9, m 5 = 8,8 m, 6 = 8,00 m, = 8,8 m, 8 = 9, m, 9 = 9,5 m, 0 =,8 m, = 5,00 m = 8,08 m, =, m 9.0 a) m b) 8, sek. c) 0 m d) 5 sek.