bruge en formel-samling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "bruge en formel-samling"

Transkript

1 Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål Omkreds og areal af rektangler og kvadrater Omkreds og areal af andre figurer Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber og redskaber Målestoksforhold og ligedannethed Rumfang Omregning mellem rumfangsenheder Massefylde Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning)... 7 Rumfang ()... 7 Regne baglæns I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. Geometri Side 55

2 Længdemål og omregning mellem længdemål Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: - decimeter (dm). Der går 0 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. - centimeter (cm). Der går 00 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. - millimeter (mm). Der går 000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse herunder. m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Her er sammenhængen mellem måleenhederne stillet op i en tabel: m = 0 dm = 00 cm =.000 mm dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm mm Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. - en kilometer (km) er.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. Der er altså samme størrelsesforhold mellem en km og en m, som der er mellem en m og en mm. Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. Eksempler på opgaver Omregn 97,5 cm til mm. Omregn.50 m til km. I skemaet står der 0 fordi, hver cm svarer til 0 mm. 97,5 cm = 97,5 mm 0 = 975 mm I skemaet står der :. 000 fordi, hver km svarer til.000 m..50 m =.50 km :.000 =,50 km Geometri Side 56

3 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater Et rektangel er en firkant, hvor: - siderne er parvis lige lange - hjørnerne er rette vinkler Eksempler på rektangler: Et kvadrat er en firkant, hvor: - alle sider er lige lange - hjørnerne er rette vinkler Eksempler på kvadrater: Et kvadrat er et særligt pænt rektangel Eksempler på opgaver Find omkreds og areal af et rektangel med længden 4 m og bredden m. Find arealet af et rektangel med længden 50 cm og bredden,50 m. Omkredsen findes ved: - enten at sige: 4 m + m + 4 m + m = 4 m - eller at sige: 4 m + m = 4 m Arealet findes ved at bruge formlen: Areal = længde bredde eller blot A = l b A = 4 m m = m Tegningen viser, at rektanglet svarer til kvadrater, som måler m på hver led. Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter ( m ) 4 m Man kan ikke regne med både m og cm, så 50 cm laves om til,50 m. A =,50 m,50 m = 8,75 m Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m. 50 cm =,50 m,50 m m Hvis du er usikker på, hvorledes man omregner længdemål, så blad en side tilbage. Der er et par eksempler. Geometri Side 57

4 Omkreds og areal af andre figurer Tegningen til højre er en skitse af et hus. Find husets areal. 6 m m For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. Det kan f.eks. gøres således: 7 m 0 m Der mangler tilsyneladende nogle mål for det nederste rektangel, men ved at kikke på tallene på skitsen kan man regne ud at: - arealet af det øverste rektangel må være: - arealet af det nederste rektangel må være: I alt er huset derfor: A = m 6 m = A = 5 m 4 m = 7 m 0 m 9 m Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde cm. A = h g = 5 cm cm = 7,5 cm Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden cm. A = h g højde grundlinie Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde uden for. Geometri Side 58

5 Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde cm. A = h g = 4 cm cm = cm A = h g Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden cm. Du klipper venstre ende af og flytter stykket mod højre. højde grundlinie Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og cm og højden er 4 cm. A = h (a + b) = 4 cm (6 cm + cm) = 8 cm Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm. A = h (a + b) a højde b Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være skæve. Geometri Side 59

6 Find omkredsen af en cirkel med en radius på,5 cm. (Det svarer til en diameter på cm) - enten O = π d = π cm = 9,4 cm - eller O = π r = π,5 cm = 9,4 cm O = π d eller O = π r radius diameter Tegningerne viser en cirkel, der rulles ud. Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. Dette tal kaldes π (læses pi). π er et uendeligt decimaltal, som starter med,4 Mange regnemaskiner har en π -knap. radius diameter radius diameter omkreds Find arealet af en cirkel med en radius på,5 cm. A = π r = π,5 = 9,6 cm På regnemaskinen tastes: π X,5 x = På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt omvendt. Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. Resultatet vil ligne et rektangel. Længden bliver en halv omkreds - altså π,5 Højden bliver lig med radius - altså,5 cm Arealet bliver derfor π,5,5 = π,5 = A = π r cm 7,85.. cm 9,6 cm radius Geometri Side 60

7 Skitsen viser en lille løbebane. Banen (det grå område) er 0 m bred. Find banens længde langs indersiden og banens areal. 5 m 45 m 5 m Indersiden består af to halvcirkler og to linjestykker. Banens omkreds bliver: Omkreds af cirkel: O = π d = π 5 0 m Linjestykker: 45 = 90 m Omkreds i alt 00 m Når man skal finde banens areal, må man først finde arealet af hele området (hvid + grå) og derefter trække midten (hvid) fra. Begge dele består af to halvcirkler med et rektangel i midten. Prøv selv at beregne målene på hele området, og se om dine tal passer med tallene herunder. Areal af hele området: Cirkel: A = π r = π 7,5 =.76 m Rektangel: A = l b = =.475 m Areal i alt: 4.85 m Areal af det midterste område: Cirkel: A = π r = π 7,5 = 96 m Rektangel: A = l b = 45 5 =.575 m Areal i alt: Arealet af banen bliver derfor: m =.4 m.57 m Find arealet af en trekant, hvor sidelængderne er 5 cm, 6 cm og 7 cm. Man kan ikke bruge den almindelige formel for arealet af en trekant ( A = h g ), fordi man ikke kender en højde. a b Men man kan i stedet for bruge Herons formel. c Først findes den halve omkreds. A = s (s a) (s b) (s c) a + b + c s = = = = 9 cm Hvor s er den halve omkreds: a + b + c Derefter findes arealet. s = A = s (s a) (s b) (s c) = 9 (9 5) (9 6) 9 7) = 9 4 = 6 = 4,7 cm Geometri Side 6

8 Omregning mellem arealenheder Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. Når der skal 0 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 0 dm til en m, men tegningen herunder viser bl.a., at der går 0 0 = 00 dm til en m. Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse. m = 00 dm dm = 00 cm cm = 00 mm mm Her er sammenhængen mellem arealenhederne stillet op i en tabel: m = 00 dm = cm = mm dm = 00 cm = mm cm = 00 mm Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. Eksempler på opgaver Omregn 500 cm til m. Omregn,5 cm til mm. I skemaet står der : fordi, hver m svarer til cm. 500 cm = 500 m :0.000 = 0,5 m I skemaet står der 00 fordi, hver cm svarer til 00 mm.,5 cm =,5 mm 00 = 50 mm Geometri Side 6

9 Nogle geometriske begreber og redskaber. Når man arbejder med geometriske figurer, har man ud over lineal ofte brug for en passer og en vinkelmåler. Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan også anvendes til andre tegneopgaver. Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. Når man arbejder med geometriske figurer, kan man i dag også bruge et computerprogram som fx Geogebra i stedet for at tegne og måle i hånden. Et bestemt sted kaldes på matematik-sprog et punkt. Et punkt fylder ingenting - det har ingen størrelse. Men i praksis er man nødt til at tegne et kryds eller en prik som vist her. Et punkt kan også være et hjørne i fx en trekant eller en firkant. Man giver punkter bogstav-navne med store bogstaver. A B En linje er en lige streg, der i princippet er uendelig lang, men det kan man naturligvis ikke tegne. Et linjestykke er en lige streg, der går fra et punkt til et andet. Altså en streg med en bestemt længde. Linjestykket på tegningen hedder PQ, fordi det går fra P til Q. Hvis man skriver PQ, betyder det længden af PQ. To linjer - eller linjestykker - kan være parallelle, hvis der er et fast afstand mellem dem. Ligesom et par togskinner. P Q To linjer - eller linjestykker - kan stå vinkelret på hinanden, hvis de danner en ret vinkel (se næste side). Randen af en cirkel kaldes cirklens periferi. Afstanden fra periferi til periferi gennem centrum kaldes cirklens diameter. Afstanden fra centrum til periferi kaldes radius. Man skal kende radius for at tegne cirklen med en passer. Periferi Korde Radius Et linjestykke fra periferi til periferi, der er mindre end diameteren, kaldes en korde. En linje, der lige akkurat rører en cirkel i et punkt, kaldes en tangent. Diameter Tangent Geometri Side 6

10 En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen af et hjørne (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. En cirkel måler 60 (læses 60 grader) hele vejen rundt. Et lige hjørne måler 90 og kaldes en ret vinkel. Det er en kvart cirkel. En vinkel på mindre end 90 kaldes en spids vinkel. Den viste vinkel er 60 En vinkel på mere end 90 kaldes en stump vinkel. Den viste vinkel er 0 Nogle særligt pæne trekanter har specielle navne: I en ligesidet trekant er alle siderne lige lange, og alle vinklerne er 60. I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange og to af vinklerne lige store. I en retvinklet trekant er en af vinklerne ret - altså 90. Tegningen til højre viser, at de tre vinkler i en trekant altid er 80 tilsammen. A = D, B = E og C = F. Og D, E og F svarer tilsammen til halvvejs rundt i en cirkel. E F C D Man kan altid dele en firkant op i to trekanter som vist nedenfor. På den måde kan man vise, at vinklerne i en firkant altid er 80 = 60 tilsammen. A B Man kan fortsætte og opdele en femkant i tre trekanter osv. På den måde kan man vise, at der gælder denne formel for vinklerne i en mange-kant: v = (n ) 80 hvor v er vinkelsummen (alle vinklerne lagt sammen), og n er antal kanter. En mange-kant kaldes også en polygon. Geometri Side 64

11 Særligt pæne figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: Regulær sekskant I en regulær figur er alle sider og alle vinkler lige store. Symmetrisk figur med vandret symmetriakse (eller spejlingsakse). Man tegner nogle gange disse linjer i trekanter: Midtnormaler Vinkelhalveringslinjer Medianer Midtnormaler går gennem midtpunktet på siderne, og de står vinkelret på siderne. Vinkelhalveringslinjerne deler vinklerne op i to lige store vinkler. Medianerne går fra vinkelspidserne til midten af de modstående sider. Alle tre typer af linjer mødes i et punkt. Det gælder også for højderne i en trekant. Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Prøv selv at tegne. Konstruer en trekant ABC som vist på skitsen, hvor a = 4,5 cm, c = 6 cm og A = 40. A b c a C B ) Derefter afsættes A = 40, og siden b skitseres som vist. ) Derefter tegnes en cirkelbue med centrum i B og radius på 4,5 cm. C a = 4,5 cm A 40 ) Først tegnes c = 6 cm. 40 c = 6 cm B A B 4) Til sidst tegnes siden a, og de overflødige steger viskes ud. Geometri Side 65

12 Målestoksforhold og ligedannethed Man bruger målestoksforhold, når man arbejder med fx arkitekttegninger og kort. Tegningerne og kortene er præcise formindskede kopier af virkeligheden, selv om man naturligvis ikke altid kan få alle detaljer med, når man laver tegninger og kort. Et målestoksforhold skrives fx således: : 00. Det betyder at en længdeenhed (mm, cm ) på tegningen eller på kortet svarer til 00 længdeenheder i virkeligheden. Tegningen viser et hus i målestoksforhold :00. Find husets længde og bredde. Find også husets areal. Grundrids af hus :00 Først måles længde og bredde på tegningen. Man får 7,5 cm og 4,0 cm. Så beregnes de rigtige mål ved at gange med længde: 7,5 cm 00 =.500 cm = 5,00 m - bredde: 4,0 cm 00 = 800 cm = 8,00 m Arealet beregnes til: 5 m 8 m = 0 m På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 00 gange mindre end i virkeligheden. Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 00 gange større end på tegningen. Men arealet af det rigtige hus er = gange større end arealet af tegningen. Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! En byggegrund har form som et rektangel. Længden er 0 m og bredden er 0 m. Lav en tegning i målestoksforhold :500 Tegningens mål findes ved at dividere med længde: 0 m : 500 = 0,06 m = 6 cm - bredde: 0 m : 500 = 0,04 m = 4 cm Tegningen ser ud som til højre. Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 0 m 0 m :500 Geometri Side 66

13 Nogle gange kan tegningen godt være større end virkeligheden. Tegningen viser et tværsnit af en knappenål. I hvilket målestoksforhold er tegningen lavet? Først måler man på tegningen. 0 mm - hovedets diameter: 5 cm = 50 mm - nålens længde: 4 cm = 40 mm 8 mm Nu kan man finde målestoksforholdet på to måder: Enten som 50 :0 = 5 : eller som 40 :8 = 5 : Bemærk: Når tegningen er større end virkeligheden, skriver man det største tal først. I eksempler passer det jo med at 5 mm på tegningen svarer til mm i virkeligheden. Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede. Vinklerne er ens i de to figurer. De to trekanter I og II er ligedannede. II Find længden af c og d. I Først finder man størrelsesforholdet ved at sammenligne siderne b og e. Størrelsesforholdet er 4:5 (eller 5:4). Det betyder, at hver gang man har 4 længdeenheder på trekant I, så har man 5 længdeenheder på trekant II. Det er lettest at omregne forholdet til et tal. e : b = 5 : 4 =,5 b = 4 cm Siderne i trekant II er altså,5 gange større end siderne i trekant I. Derefter får man: d =,5 a =,5 9,6 = cm og c = f :,5 = :,5 = 0,4 cm a = 9,6 cm c d e =5 cm f = cm Bemærk: Når man arbejder med målestoksforhold, arbejder man også med ligedannethed. Tegningen og den virkelige ting er jo præcise formindskede/forstørrede kopier af hinanden. Geometri Side 67

14 Rumfang Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange m (kubikmeter) kan det rumme? Rumfanget findes ved at bruge formlen: Rumfang = længde bredde højde eller blot V = l b h (Bogstavet V bruges for rumfang) V = 7 m m m = 8 m Det betyder, at ladet kan rumme 8 terninge-formede kasser, som måler m på hver led. En sådan terning kaldes en kubikmeter (m ). m 8 X m m 7 m En kasse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange liter kan den rumme? Liter er det samme som kubikdecimeter (dm ). (se evt. næste side om rumfangsenheder) Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. V = = 7,5 dm dm 4 dm 90 dm eller 90 liter 40 cm 75 cm 0 cm 5 cm En dåse har de mål, som er vist på skitsen. Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme? 9 cm Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm ) og dåsen har form som en cylinder. V = π r h = π 5 9 = 707 cm eller 707 ml På regnemaskinen tastes: π X 5 x X 9 = V = π r h radius Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. Der findes en række andre formler, som du også kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. højde Geometri Side 68

15 Omregning mellem rumfangsenheder Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. Tegningen herunder viser bl.a., at der går =.000 dm til en m. dm =.000 cm m =.000 dm cm Her er sammenhængen mellem rumfangsenhederne vist i en tabel: m =.000 dm = cm = mm dm =.000 cm = mm cm =.000 mm Man måler også rumfang med liter-enheder: liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. Det er vigtigt at vide, at: liter dl cl ml - dm er det samme som en liter (l) - cm er det samme som en milliliter (ml) Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: liter = 0 dl = 00 cl =.000 ml dl = 0 cl = 00 ml cl = 0 ml Omregn,5 m til liter. En liter er det samme som en dm. Derfor skal man gange med.000.,5 m = =,5 dm dm =.500 liter Geometri Side 69

16 Massefylde Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen kan også omskrives som vist herunder: Massefylde = Vægt Rumfang Vægt = Rumfang Massefylde eller Rumfang = Vægt Massefylde Hvis et materiale har massefylden,5 g pr. cm, betyder det, at en cm (en kubikcentimeter-terning) vejer,5 g. Vand har en massefylde på g pr. cm. Massefylde er vægt pr. rumfangsenhed. Fx vægt pr. cm. Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under g pr. cm. Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), har en massefylde på over g pr. cm. Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og vægtenhederne. ton =.000 kg = g ton kg =.000 g kg g Eksempler på opgaver En metalklods vejer g og har et rumfang på 85 cm. Hvad er massefylden? Hvor meget vejer 5 m grus, når massefylden for gruset er, tons pr. m? Hvor meget fylder 0,5 kg alkohol, når massefylden er 0,8 kg pr. liter? g Massefylde = 85 cm =,8 g pr.cm Vægt = 5 m =,5 tons, tons pr.m 0,5 kg Rumfang = 0,8 kg pr. liter = 0,65 liter I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! Geometri Side 70

17 Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras sætning) Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. Han levede i Grækenland for mere end.000 år siden. B Det mest enkle eksempel er en såkaldt -4-5-trekant. Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler cm, 4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet. Det gælder naturligvis også, hvis man bruger andre måleenheder. Fx m, 4 m og 5 m. Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: A c = 5 cm b = 4 cm a = cm C Man navngiver hjørner med store bogstaver og sider med små bogstaver. a + b = c Hvis du regner efter, får du at: og det er jo ganske rigtigt. = eller = 5, Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel. Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b. Eksempler på opgaver Tegningen viser en retvinklet trekant. A c = a = cm B b = 5 cm Find den manglende sidelængde c. C Skitsen viser en stige, der er stillet op ad en høj mur. Stigens længde er 4,50 m. 0 cm Hvor højt når stigen op? Man sætter ind i formlen og løser en ligning: + 5 = c = c 69 = c c = 69 = cm a + b = c Stigen, muren og jorden danner en retvinklet trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider er 0 cm =,0 m. Denne side kaldes a. Siden langs muren kaldes b og findes således:,0 + b,+ b b = 4,50 = 0,5 = 0,5, = 9,04 b = 9,04 = 4,6 m Geometri Side 7

18 Rumfang () Her er et eksempel på en mere kompliceret opgave med rumfang og overfladeareal: Skitserne viser to kaffekrus. Det ene er sammensat af en cylinder og en halvkugle. Det andet har form som en keglestub. Sammenlign rumfang og indvendig overfladeareal på de to krus. 8 cm 5 cm 8 cm 9 cm Først finder man de nødvendige formler. De er vist til højre undervejs. 6 cm Vi starter med at finde rumfanget af kruset til venstre. Rumfang af cylinder: V = π r h = π 4 5 = 5, cm 4 Rumfang af halvkugle: V = π r = π 4 = 4,0 cm Rumfang i alt: 85, cm Man kan naturligvis også skrive rumfanget som 85, ml, da cm og ml jo er det samme. Nu finder vi overfladearealet af kruset til venstre. Krum overflade af cylinder: Overflade af halvkugle: O = π r h = π 4 5 = 5,7 cm O π = 4 r = 4 = 00,5 cm Overflade i alt: 6, cm Når man regner på overfladen af en cylinder, skal man være opmærksom på, at formlen giver den krumme overflade. Top og bund er ikke med. I denne opgave skal man heller ikke bruge top og bund, men det skal man måske i andre opgaver. Pas på med ikke at lade dig snyde af formlen. π Rumfang cylinder: V = π r h Krum overflade af cylinder: O = π r h h er højden r er radius radius Rumfang kugle: 4 V = π r Overflade af kugle: O = 4 π r r er radius radius højde Geometri Side 7

19 Nu finder vi rumfanget af kruset til højre. Rumfang: V = = π h (R π 9 (4 = 48,7 cm + r + + R r) + 4 ) Her kan man naturligvis også skrive 48,7 ml. Beregningen ovenfor er lidt kompliceret. Man kan godt indtaste π 9 ( ) i en beregning på regnemaskine på denne måde: X π X 9 X ( 4 x + x + 4 X ) = Men hvis du er usikker på, hvorledes du skal gøre, kan du roligt dele beregningen op i flere dele. Nu finder vi overfladearealet af kruset, men først må vi finde den skrå side. Det gør vi på denne måde vha. Pythagoras sætning: Man kan lave en retvinklet trekant i siden af kruset som vist. Den skrå side er hypotenusen. Den ene katete er højden, og den anden katete er forskellen på R og r. h 9 Det er fristende blot at runde af til 9 cm eller 9, cm, men man bør medtage nogle flere decimaler i sine mellemregninger. Nu er vi parate til at finde overfladearealet af kruset til højre. Her skal vi være opmærksomme på, at der både er en krum overflade og en bund. Krum overflade af keglestub: O = π ( R + r) s = π (4 + ) 9, = 99, cm Areal af bund: + (R r) + (4 - ) A π = s = s 8 + = s 8 = s s = 8 = 9, cm π Rumfang af keglestub: V = π h (R = r = = 8, cm Overflade i alt: 7,4 cm h R-r + r + R r) Krum overflade af keglestub: O = π (R + r) s h er højden R er den store radius r er den lille radius s er den skrå side skrå side s r R 8 cm 6 cm højde 9 cm Til sidst skal vi sammenligne tallene, og man får, at rumfanget af kruset til venstre er 85, - 47,8 = 7,5 cm større end kruset til højre. Overfladearealerne er næsten lige store, men arealet af kruset til højre er dog 7,4-6, =, cm større end kruset til venstre. Geometri Side 7

20 Regne baglæns Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning) som vist herunder. Der findes dog også andre metoder end den viste. Man kan fx prøve sig frem i et regneark. Eksempler på opgaver Find bredden af et rektangel med arealet m og længden 4,8 m. Formlen for arealet af et rektangel er: A = l b Man sætter de kendte tal ind i formlen og regner baglæns (løser en ligning): A = l b = 4,8 b 4,8 = b,5 = b b =,5 m Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m og har længden 45 cm og bredden 80 cm. Rumfangs-formlen lyder: V = l b h For at enhederne kan passe sammen laves 45 cm om til,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m 0,87 =,45 0,80 h 0,87 =,6 h 0,87,6 V = l b h = h 0,75 = h h = 0,75 m = 75 cm Eksempler på opgaver Find arealet af en cirkel der har en omkreds på 44 cm. Der er ingen formel, der direkte forbinder omkreds og areal, men man kan finde radius med denne formel: O = π r 44 6,8 44 = π r 44 = 6,8 r = r r = 7,0 cm Nu findes arealet med formlen: A = π r = π 7,0 = A = π r 5,9 cm Find radius i en cylinder der er 60 cm høj og kan rumme 8 liter. Rumfangs-formlen lyder: V = π r h For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm om til 6 dm (husk at liter = dm ). 8 = π r 6 8 = 8,85 r 8 8,85 V = π r h = r 6,6 = r r = 6,6 =,5dm = 5cm Geometri Side 74

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde rundt system rod orden nøjagtig

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Omkreds af kvadrater og rektangler

Omkreds af kvadrater og rektangler Omkreds af kvadrater og rektangler Nr. 72 Gæt omkreds Mål længde Mål bredde Beregn omkreds Beregn omkreds dm Gæt omkredsen på kvadraterne og rektanglerne i centimeter. Mål længde og bredde. Beregn omkredsen

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr. 2-2005 Folkeskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Lektion 8s Geometri Opgaver

Lektion 8s Geometri Opgaver Matematik på Åbent VU Lektion 8s Geometri Indholdsfortegnelse Sammensatte figurer Kunstruktionsopgaver Trigonometri Lavet af Niels Jørgen ndreasen, VU Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVU Lektion 8s Side

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åbent VU Lektion 8 Geometri Omregning af længdemål... Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... Omkreds og areal af andre figurer... rbejdstegninger og sammensatte figurer... Symmetrier

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger. Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Matematik. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n. Formlen for et Kugleafsnit: Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r)

Matematik. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n. Formlen for et Kugleafsnit: Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r) Matematik Vi har fået til opgave at bygge en ballon hvis volume mindst må være 1,2 Kubikmeter og max 1,5 kubikmeter. Så for at løse dette problem valgte vi at finde formlerne for en kugle, kugleafsnit

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Regning med enheder. Måleenheder... 11 Kg-priser... 13 Tid og hastighed... 15 Valuta... 17. Regning med enheder Side 10

Regning med enheder. Måleenheder... 11 Kg-priser... 13 Tid og hastighed... 15 Valuta... 17. Regning med enheder Side 10 Regning med enheder Måleenheder... 11 Kg-priser... 13 Tid og hastighed... 15 Valuta... 17 Regning med enheder Side 10 Måleenheder Du skal kende de vigtigste måleenheder for vægt, rumfang og længde. Vægt

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Blandede opgaver (2) Maler-Biksen. Matematik på VUC Modul 3c Opgaver

Blandede opgaver (2) Maler-Biksen. Matematik på VUC Modul 3c Opgaver Blandede opgaver (2) 1: Tegningen viser et værelse med skråvæg. To af væggene kaldes A og B. a: Find arealet af væg A. b: Find arealet af væg B. A B 1 m 465 cm 4 m c: Tegn væggene i målestoksforhold 1:50.

Læs mere

Titalssystemet. Vi har 10 cifre at gøre brug af, nemlig 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9

Titalssystemet. Vi har 10 cifre at gøre brug af, nemlig 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 VUCFYN Odense januar 2010 Titalssystemet Vi har 10 cifre at gøre brug af, nemlig 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 Pladsen et ciffer står på i et tal viser os hvilken værdi cifret har! 1. 0 0 0. 0 0 0. 0

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang,f ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Omkredsspil. Måling. Format 5. Nr. 75. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77

Omkredsspil. Måling. Format 5. Nr. 75. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77 Omkredsspil Nr. 75 Paraktivitet. Kast på skift med to -sidede terninger, og gang øjentallene. Gæt, hvilken figur der har denne omkreds. Mål og udregn omkredsen. Ved rigtigt gæt: Skriv initialer i figuren.

Læs mere

Thomas Kaas Heidi Kristiansen. Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE

Thomas Kaas Heidi Kristiansen. Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE Thomas Kaas Heidi Kristiansen 8 KO L O R I T Gyldendal MATEMATIK KOPIMAPPE Thomas Kaas Heidi Kristiansen KOLORIT 8 Gyldendal KOLORIT 8 KOLORIT 8 MATEMATIK KOPIMAPPE 1. udgave, 1. oplag 2011 2011 Gyldendal

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Geometri. Geometri Side 89

Geometri. Geometri Side 89 Geometri Længdemål... 90 Tegninger... 92 real og omkreds af kvadrater og rektangler... 93 real og omkreds af andre figurer... 97 real og omkreds af sammensatte figurer... 101 Symmetri og ligedannethed...

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik 3. klasse Årsplan

Matematik 3. klasse Årsplan Matematik 3. klasse Årsplan Årets overordnede mål inddelt i faglige kategorier: Tal og algebra Kende positionssystemet. Kunne veksle mellem titusinder og hundredetusinder. Kunne gange med 10. Kunne gange

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik undervisningsplan 4-6. klassetrin Årsplan 2015 & 2016

Matematik undervisningsplan 4-6. klassetrin Årsplan 2015 & 2016 Materialer Grundbog: kontext Arbejdsbog: kontext Rema Matematik undervisningsplan Matematikmappe til opgaveark, tilpasset elevernes individuelle niveau Tabeltræning og anden basistræning efter behov Supplerende

Læs mere

kilogram (kg) passer isometrisk liter veje kvadratmeter kasse

kilogram (kg) passer isometrisk liter veje kvadratmeter kasse i tredje 3 i anden kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) efter bagved foran placering beholder fylde passer ben sds bredde deci centi tiendedel isometrisk centicube stoksforhold prikpar længere

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres. .01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og

Læs mere

Facitliste til MAT X Grundbog

Facitliste til MAT X Grundbog Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat6 Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan. Syv

Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan. Syv Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Syv Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ betyder at være sur og positiv betyder at

Læs mere

Omkreds af polygoner. Måling. Format 6. Nr. 82. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77

Omkreds af polygoner. Måling. Format 6. Nr. 82. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77 Måling Omkreds af polygoner Nr. 82 5 10 15 Par/gruppeaktivitet. Klip de fem polygoner ud. Læg to eller flere polygoner side mod side, så der dannes en ny polygon. Beregn de 13 forskellige omkredse, der

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 4. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier!!!* Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER

MULTI 7 A1 LÆS MATEMATIK FØR UNDER EFTER LÆS OG SKRIV MATEMATIK A1 LÆS MATEMATIK Brug de tre rammer i modellen, når du skal løse en matematikopgave. Det er ikke sikkert, du skal bruge alle punkter i hver ramme til alle opgaver. Find ud af, hvilke

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

potenstal og præfikser

potenstal og præfikser brikkerne til regning & matematik potenstal og præfikser trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenser og præfikser, trin 1 ISBN: 978-87-92488-03-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

8 cm 0,7 m 3,1 m 0,25 km. 38 mm 84 dm 24,8 km 35.660 cm. 527.125 mm 32,1 m 0,2 cm 84,37 m. 47,25 km 45,27 m 0,875 km 767,215 m

8 cm 0,7 m 3,1 m 0,25 km. 38 mm 84 dm 24,8 km 35.660 cm. 527.125 mm 32,1 m 0,2 cm 84,37 m. 47,25 km 45,27 m 0,875 km 767,215 m 8.01 Enheder 8 cm 0, m 3,1 m 0,25 km 38 mm 84 dm 24,8 km 35.660 cm 52.125 mm 32,1 m 0,2 cm 84,3 m 4,25 km 45,2 m 0,85 km 6,215 m 2.500 dm 2 48 m 2 2 km 2 56.000 cm 2 0,45 km 2 6,2 ha 96.000 cm 2 125.000.000

Læs mere