Den frie og dæmpede oscillator

Transkript

1 Ida Nissen Maria Wulff Jacob Bjerregaard Morten Badensø Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske oscillator, der i disse forsøg illustreres ved hjælp af en fjeder og et lod. Fjederen er ophængt i en anden, noget stivere fjeder, der ikke deltager meget i bevægelsen, men nok til at man ved hjælp af en straingauge kan måle loddets bevægelse. Teori Fri harmoniske oscillator Bevægelsesligningen for den frie harmoniske oscillator er: m ẍ= kx som har den generelle løsning x=x 0 cos 0 t hvor vinkelfrekvensen er 0= k m og svingningstiden for en hel periode er T 0 = 0 Fri harmonisk oscillator med hastighedsproportional dæmpning Bevægelsesligningen er for en dæmpet harmonisk oscillator, hvor dæmpningen sker ved en hastighedsproportional gnidning. m ẍ= kx b ẋ ved ikke alt for stor friktion er den generelle løsning hvor frekvensen er t x=x 0 e cos d t 0 d = 1 0 hvor friktionskonstanten er = b m

2 Teoretisk beregning Bestemmelse ω 0 og T 0 for den frie oscillation. Bestemmelse af den samlede fjederkonstant, k, for de fjedere. m lod g= k x Delta x er lig med ændringen af fjederens længde, før og efter vi hang et lod på. Ændringen i længden målte vi til 10,4cm = 0,104m. Loddets masse målte vi til 47g = 0,047kg. Udfra disse værdier finder vi den samlede fjederkonstant. k= m lod g x Bestemmelse af vinkelfrekvensen: k= 0,047kg g 0,104 m = 4,44 N m 0= k = 4,44 N m =9,7 s 1 m 0,047kg Udfra vinkelfrekvensen kan vi beregne perioden. T 0 = 0 = =0,65 s 1 9,7 s

3 Vi har lavet 4 forskellige måleserier ved hver af de 3 forskellige forsøgsopstilling. Her er vi kun gået ud fra en, fordi da vi plottede de andre måleserier så vi, at de var meget ens. Derfor valgte vi at tage en måleserie i stedet for at lave et gennemsnit, som ikke afviger betydeligt af den valgte. Bestemmelse af den praktiske dæmpning og frekvens for den frie oscillation. Parameter: a = 0 b = d c = vinklen er en fase, som afhænger af, hvornår man starter oscillatoren d = er en forskydning e = Som det ses af plottet for den frie oscillation ovenfor, så er oscillationen naturligt dæmpet. Derfor benytter vi funktionen for den hastighedsproportionale dæmpning: Vi har benyttet følgende funktioner i gnuplot: g(x) = a*exp(-e*(x-14,5))+d f(x) = a*exp(-e*(x-14,5))*cos(b*(x-14,5)-c)+d h(x) = -e*(x-14,5)+a+d g1(x) = -a*exp(-e*(x-14,5))+d plot [0:3500] 'test_udaempet_01', f(x), g(x), g1(x), h(x)

4 fit [0:3500] f(x) 'test_udaempet_01' via a, b, c, d, e Usikkerhed på plottet: degrees of freedom (ndf) : 996 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Det giver os værdierne for a, b, c, d, og e: Final set of parameters Asymptotic Standard Error ================ =================== a = / (0.303%) b = / e-06 ( %) c = / (1.45%) d = / (3.95%) e = / e-06 (0.7091%) 14,5 er en forskydelse af funktionens begyndelsespunkt. d er ligeledes en forskydning. Dæmpningen for oscillationen kan findes ved at se på funktionen g(x), som er brugt til at plotte vores oscillation, da denne er et udtryk for en hastighedsdæmpningen. Vi ser på udtrykket for dæmpningen e t, hvor vi i vores funktion g(x), kan se at konstanten e er lig med det teoretiske, x-værdien i g(x) er et udtryk for antallet af prikker, der er afsat, den omregner vi så til tiden i sekunder (der er 50ms imellem hver prik), t =x 0,05 s dvs. vores oscillation klinger af med følgende udtryk: e t e e t =e 0, t =e 0, x 0,05 s Sammenlingning med teori: Vores forsøgsresultater passer ikke med den teoretiske, da vi ser en bremsende gnidning i systemet, som dermed ikke er et idealt system. Fjederens egen gnidning får grafen til at aftage eksponentielt, i stedet for at være konstant, som teorien siger. Papirdæmpet oscillation. I dette forsøg er opstillingen den samme som før, men vi sætter en papirskive på med Diameter = 16cm Masse = 6g Det vil give en hastighedsproportional dæmpning, som har funktionen beskrevet i vores teoriafsnit.

5 Denne eksponentialfunktion falder mere drastisk til nulpunktet end forrige oscillation. f(x)= a*exp(-e*(x-14.5))*cos(b*(x-14.5)-c)+d g(x)=a*exp(-e*(x-14.5))+d Vores nulpunkt ligger omkring 0,5 i stedet for 0,0 i vores strain-gauge. Usikkerheden ved plottet: degrees of freedom (ndf) : 446 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (.9%) b = / e-05 (0.08%) c = / (0.314%) d = / (0.5944%) e = / (1.53%)

6 Friktionsdæmping (væg-dæmpning) Den falder stort set lineær hele vejen indtil nulpunktet, hvor vi kunne se på opstillingen at den stod helt stille. k(x)=-(x/15)+3.15 f(x)= a*exp(-e*(x-14.5))*cos(b*(x-14.5)-c)+d g(x)=a*exp(-e*(x-14.5))+d Vi har plottet en eksponential og en lineær funktion. Det er tydeligt på grafen, at den lineære funktion fitter bedst. Usikkerhed: degrees of freedom (ndf) : 366 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (1.043%) b = / e-05 ( %) c = / (0.1556%) d = / (8.657%) e = / e-05 (1.478%)

7 Sammenlingning af dæmpningsforløbet Vi kalder 1 : den frie oscillator : oscillator med hastighedsproportional dæmpning 3 : oscillator med konstant dæmpning I 1 forløber dæmpningen eksponentialt aftagende ligesom, men aftager hurtigere end 1. Det forklares af at 1 bliver bremset af fjederens egen gnidning, medens bliver påvirket både af den samme gnidning af fjederen plus vindmodstanden. I 3 er dæmpningen konstant, og det passer meget godt med at vi jo har en konstant gnidning! Kommentarer til usikkerheden: Især ved de tvungne dæmpede oscillationer er der større usikkerhed, fordi den hastighedsdæmpningede hurtigere kan blive påvirket af træk, som kan forstyrre svingningen. Ved den konstant dæmpede oscillator er det svært at få en KONSTANT friktion, da loddet kan svinge lidt væk fra væggen eller presses hårdere mod den. Derfor er vores fit stadigvæk lineær, men den passer ikke helt så godt som eksponentialfunktionen i første forsøg (frie oscillator).