Transienter og RC-kredsløb

Transkript

1 Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009)

2 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske baggrund Formålet med dette eksperiment er todelt. Vi ønsker at undersøge transient opførsel i et RC-kredsløb, mere specifikt ønsker vi at bestemme tidskonstanten τ = RC og sammenligne med den teoretiske værdi. Vi ønsker også at bestemme hvordan et RC-kredsløb kan bruges som frekvensfilter. Her vil vi bestemme overføringsfunktionen g(f) og faseforskydningen θ(f) for henholdsvis et lavpas- og et highpasfilter og sammenligne med de teoretiske kurver. Når vi tænder for strømmen i kredsløbet til højre, går der et stykke tid inden strømmen indfinder en ligevægt. Efter en karakteristisk tid τ er kapacitoren ladet op til forsyningsspændingen U. Vha. Krichhoffs love kan vi finde at op- og afladningen kan beskrives med følgende ligninger: Transient opførsel er et begreb der dækker over hvordan strømmen opfører sig i et RC-kredsløb når man tænder for strømmen og indtil der opstår en ligevægtsstiuation. Vi har tegnet vores opstilling i fig A og vi kan så opstille Krichhoffs love og løse efter strømmen, vi får følgende ligning: For at undersøge hvordan RC-kredsløbet kan bruges som frekvensfilter, vil vi undersøge henholdvis et lavpasfilter og et højpasfilter. Vi kan følge sammen fremgangsmåde som før og opstille Krichhoffs love for kredsløbene og løse efter strømmen. Når vi arbejder med højpasfilteret finder vi så ud af at amplituden bliver dæmpet med en faktor g, og at udgangssignalet bliver faseforskudt: Det vil sige at amplituden af udgangssignalet er tilnærmelsesvis lig indgangssignalet for frekvenser meget højere end den karakteristiske tid τ = RC, men går mod nul for ω gående mod nul. For lavpasfilteret finder vi at der gælder:

3 Opsætning og forsøgsgennemgang Opstilling bestod af et RC-kredsløb, som havde en modstand på 10 kω og en transistor på 47 nf. Højpasfilter ser således ud: Lavpasfilter ombytter sådan set bare kapacitor og resistor: For at undersøge den transiente opførsel og finde den karakteristiske tid τ = RC bruges en firkantspulsspænding, og pulslængden justeres så den er markant højere end den karakteristiske tid. En picoskop aflæser både spændingen over stræmforsyningen og spændingen over henholdsvis resistor (HPF) og kapacitor (LPF). Picoskopet er forbundet en computer og giver os datasæt af formen tid spænding. Frekvensen af strømforsyningen kan også aflæses på computeren. For at undersøge kredsløbenes frekvensfiltrering tilsluttede vi kredsløbene en vekselstrømforsyning, der giver en spændingsforskel af typen ε = ε 0 cos(ωt + θ), hvor vi kunne variere på frekvensen. For at se på gain-funktionen g tog vi så en række målinger ved forskellige frekvenser på begge kredsløb. Amplitudeforholdet mellem indgangsspænding og udgangsspænding kunne aflæses direkte på computeren. Disse kredsløb introducerer også en faseforskydning i forhold til indgangsspændingens fase dette kunne aflæses indirekte for hver af de afprøvede frekvenser ved at kigge på U-nulpunkter i outputdataen for hhv. spændingen over strømforsyningen og resistor / kapacitor.

4 Lidt om rettelserne i fitningen af den karakteristiske tid I første omgang kunne vores rapport ikke godkendes fordi vi havde fittet til produktet R*C som to variable, selvom vi kun har informationer om dem som produkt vi bør have fittet til en enkel variabel, τ. Dette gjorde ikke nogen forskel mht. den fittede værdi, men gav nogen fuldstændige ubrugelige usikkerheder det giver jo slet ikke mening at snakke om usikkerheder på de to størrelser R og C når de er afhængige af hinanden i fitningen på denne måde. Efter aftale med labøvelses-instruktørene har vi lavet fitningen om og fået nogen brugbare resultater for det ene delforsøg i undersøgelsen af den transiente opførsel (kredsløb B), og det ene delforsøg i undersøgelsen af filtreringsegenskaberne (highpas-filter faseforskydningen). De andre steder har vi bare bemærket fejlen i fitningen undervejs. Måleresultater Transient opførsel: I første omgang undersøger vi hvordan spændingen over resistoren i kredsløb A udvikler sig i tid, mens kapacitoren bliver opladt. U(t) = = 1) Vi fitter spændingen over resistoren i highpass-filteren til ovennævnte U(t) funktion.

5 Vi får følgende fitningsresultater: U = 3 V +/ (0.2047%) R = ohm +/ e+014 C = e-008 Farad +/ Hvilket giver τ = 10kOhm * 47nF = 470μs. I denne fitning bør vi have fittet til τ, det giver ikke mening at snakke om individuelle usikkerheder på R og C. Det kan oplyses at indgangsspændingen havde en værdi, der flukturerede lidt (og aftog lidt med tiden muligvis et problem med pulsgeneratoren) men var i gennemsnit på 1.6 V. U 0 er på ca. det dobbelte, grundet kapacitorens placering i kredsløbet når den skal oplades får vi en tilsvarende negativ ladning på den side, der er i forbindelse med resistoren, hvilket giver en ekstra spændingsforskel over resistoren. Derfor bør vores U 0 også være lidt højere, ca 3.2 V. Man kan se at Gnuplot ikke har haft lyst til at sætte U 0 højere end 3, selvom datapunktene rent faktisk skærer her. Grunden til, at den fittede kurve ikke helt følger datapunkterne, er formentligt at mange af vores datapunkter i bunden af kurven ligger en lille smule under U=0 muligvis grundet en lidt skæv kalibrering af picoskopen. Den fitning vi får er den bedste fitning, Gnuplot kan give os, til en funktion der IKKE dykker ned under U=0. Værdien for τ = RC passer meget godt til produktet af de to komponenters påskrevne egenskaber, τ = 10kOhm * 47nF = 470μs. Vi aflæser 469μs, en meget lille afvigelse. Se næste side for diskussion omkring usikkerhederne i denne teoretiske værdi.

6 2) Vi fitter spændingen over kapacitoren i lavpasfilteret til en funktion af typen U(t) = U 0 (1-exp(-t/(RC))). Da vi kom til at udføre denne del af forsøget med picoskopet sat til at aflæse AC-strøm, er vi nødt til at inddrage en konstant A i vores beregninger, som bruges som gennemsnittet af den konstante (men ikke helt konstante alligevel ) indgangsspænding. Vi ser at kapacitoren bliver opladt, når der tændes for strømmen, og at der efter et stykke tid så opstår en ligevægt over kapacitoren. Vi får følgende fitningsresultater: Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== U = / ( %) t = / e-007 (0.1075%) A = / ( %) Vi får altså en karektaristisk tid τ = 0.43 ms ± 11%.

7 Beregner vi den forventede værdi ud ved hjælp af de anvendte komponenters påskrevne værdier, får vi τ = 0.47 ms ± σ(rc), hvor usikkerheden σ(rc) af denne teoretiske værdi er givet ved de relative usikkerheder δ R, δ C fra produktionen af komponenterne: δ R = 5% δ C = 20% Den teoretiske usikkerhed er givet ved den sædvanlige formel for ophobning af usikkerheder: σ(rc) = = 0.097ms Det vil sige at vores fittede karektaristiske tid passer til den teoretiske værdi indenfor de givne usikkerheder, både med hensyn til kredsløb A og B.

8 Undersøgelse af amplitudedæmpningen ved forskellige vekselstrøm-frekvenser: Nu tilkobler vi vekselstrømkilden til kredsløbene. Ved frekvensen f= 40 Hz ser vi en markant dæmpning af udgangsamplituden i forhold til amplituden af spændingsforskellen over strømforsyningen.

9 Ved f = 98 Hz ser vi at udgangsspændingen ikke er dæmpet i så høj grad.

10 Vi fitter en dæmpningsfunktion g(ω) = U(ud)/U(ind) = til dataen for højpasfilterets udgangsspænding i forhold til indgangsspænding ved forskellige frekvenser i intervallet 40-98Hz. Set i bakspejlet skulle vi helt sikkert have taget et bredere frekvensområde for at få et bedre billede af frekvensdæmpningen, men gain-funktionen bør ifølge teorien komme op mod 1 for høje frekvenser. Vores fitningsresultater bliver: R = / e+015 (1.679e+013%) C = 4.554e-008 +/ e+004 (1.679e+013%) Her skulle vi igen have fittet til den karektaristiske tid, da det ikke giver mening at snakke om de individuelle usikkerheder på R og C givet de informationer, vi har. Vi aflæser den karakteristiske tid, τ = RC = 455μs. Vores målepunkter ser ud til at passe fint til linjen for g(ω), men desværre gør vores lidt for snævert frekvensområde, at vi ikke kan se så meget af frekvensafhængigheden det kunne være mere interessent at se på yderpunkter hvor g nærmede sig 0 eller 1.

11 Vi udarbejder et datasæt for faseforskydningen ved forskellige frekvenser i intervallet 40Hz 100Hz, og fitter til en funktion af typen Vores fitningsresultat bliver: tau = / (1.877%) Denne karakteristiske tid er alt, alt for stor i forhold til vores opgivne R*C. Dette skyldes måske, at vi ikke har nok af de lave frekvenser med til at Gnuplot kan fitte funktionen særlig godt. Det antydes af grafen, af faseforskydningen aftager ved højere frekvenser. Highpass-filtret lader derved høje frekvenser passere uden faseforskydning eller amplitudedæmpning, mens lave frekvenser bliver dæmpet og forskudt.

12 Lavpasfilter: Vi fitter til gain-funktionen Vi ser at amplituden dæmpes for høje frekvenser, som forventet. Vores fitningsresultater bliver: R = /- 5.17e+014 (5.17e+012%) C = e-008 +/ (5.17e+012%) Her skulle vi igen have fittet til den karektaristiske tid, da det ikke giver mening at snakke om de individuelle usikkerheder på R og C givet de informationer, vi har.

13 Vi aflæser den karakteristiske tid til en 3% afvigelse fra den forventede RC-værdi. Vi udarbejder et datasæt for faseforskydningen og fitter til funktionen R = Ohm +/ e+015 (2.142e+013%) C = 4.293e-008 Farad +/ e+004 (2.142e+013%) Her skulle vi igen have fittet til den karektaristiske tid, da det ikke giver mening at snakke om de individuelle usikkerheder på R og C givet de informationer, vi har. Vi aflæser den karakteristiske tid til en 9% afvigelse fra vores forventet karakteristisk tid. Det ses at faseforskydningen vokser ved højere frekvenser. Konklusion Vi har vist kredsløbenes anvendelsesmulighed som frekvensfilter, og fået underbygget vores teoretisk udledt formel for karakteristiske tider for den transiente op/afladning. Vi har også i nogen grad påvist de formler for gain- og faseforskydningsfunktioner, vi har regnet os frem til, selvom dette lider lidt under

14 at vi ikke har kigget på et bredt nok frekvensområde med hensyn til highpass-filtret - især grafen til dennes faseforskydning kan ikke siges at være så overbevisende.