Kompendium over testteorien

Transkript

1 Kompenium ove testteoien L 7HRUHWLNWDWLWLNIRU NRRPHU 9HULR Uabejet af imon Reusch Maj

2 Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Inhol Op- %LRPLDOIRUGHOLJH Test i én...3 ammenligning af...3 ammenligning af k...3 3RLRIRUGHOLJH Test i én...4 ammenligning af...4 ammenligning af k...4 Test fo multiplikativitet i -imensional stuktu...5 +\HUJHRPHWULNIRUGHOLJ Test i én...5 ammenligning af...5 RUPDOIRUGHOLJH Test i én Test af mielvæi i NF me NHGW vaians... Test af mielvæi i NF me XNHGW vaians... Test af vaians... ammenligning af uafhængige Test fo vaianshomogenitet...7 Test fo ens mielvæi ve vaianskrprjhlwhw 7 Test fo ens mielvæi ve vaianskhwhurjhlwhw 8 Test fo ens mielvæi ve kent vaians...8 ammenligning af pavist samhøene...8 ammenligning af k uafhængige Batlett s test fo vaianshomogenitet...9 Test fo ens mielvæi 9 Estimation af paamete i én fælles nomalfoeling...9 XOWLRPLDOIRUGHOLJH Test i én... ammenligning af... ammenligning af k... WLNU YHWHRUL impel uvælgelse Altenativ vaiation... Geneelle tilfæle... tatificeet uvælgelse Altenativ vaiation... Geneelle tilfæle...3 Popotional allokeing...3 timal allokeing...4 ie af 4

3 Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Binomialfoelingen 7HWLELRPLDOIRUGHOLJ H : θ = θ ignifikanssansynlighe (%HUHJHHNDNWYHGRODJL%LRPLDOWDEHOKYLPXOLJW: H : θ > θ p = P(X x [ ½ θ φ θ ( θ H : θ < θ p = P(X x [ + ½ θ φ θ ( θ H : θ θ p = min{p, p } DPPHOLJLJDIELRPLDOIRUGHOLJHU H : θ A = θ B LJLILNDDG\OLJKHG Basees på at foelingen af en ene binomialfoeling, betinget summen af em begge, e hypegeometisk foelt X - hyp(n=n A +n B, M=n A, n=x A +x B, hvo X e en obseveee væ i af X A. H : θ A > θ B p = P(X x φ [ ½ ( ( H : θ A < θ B p = P(X x φ H : θ A θ B p = min{p, p } [ + ½ ( ( DPPHOLJLJDINELRPLDOIRUGHOLJHU H : θ = θ = = θ k H : Minst to θ e foskellige Hypotesen afpøves ve en kontingenstabelanalyse, hvo e specifikt uføes et homogenitetstest. Dette test bygge på en sammenligning af k multinomialfoelinge, hvo binomialfoelingen jo netop e et specialtilfæ le af multinomialfoelingen. ; %L(, θ ~ (, θ = θ, θ = θ ~ HPHUHXGHU DPPHOLJLJDINPXOWLRPLDOIRUGHOLJHU ie 3 af 4

4 Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Poissonfoelingen 7HWLRLRIRUGHOLJ H : λ = λ (NHPHO Bemæ k, at valiiteten af neenståene tests e betinget af, at e testes i én peioe. Betagt opgavefomuleingen "Efaingsmæ ssigt omkomme 35 pesone åligt ve tafikulykke. Rået fo støe fæ selssikkehe ivæ ksæ tte en kampagne fo at minske antallet af æ bte i tafikken. I e to eftefølgene å ø gennemsnitligt 7 pesone p. å. Have kampagnen en signifikant effekt?" Fo koekt at anvene neenståene testøelse skal man sammenligne antal hæ nelse i hele obsevationspeioen me en totale foventning. He iagttages sålees 54 æ bte. H : λ = 7 (Hæ nelsesintensiteten ove en peioe på e betagtee å. H : λ < 7 ignifikanssansynlighe (%HUHJHHNDNWYHGRODJLRLRWDEHOKYLPXOLJW.: H : λ > λ p = P(X x ½ λ φ [ λ H : λ < λ p = P(X x + ½ λ φ [ λ H : λ λ p = min{p, p } DPPHOLJLJDIRLRIRUGHOLJHU H : λ A = λ B LJLILNDDG\OLJKHG Basees på, at foelingen af en ene poissonfoeling, betinget summen af em begge, e binomialfoelt X - bin(n=x A +x B, p=½, hvo X e en obseveee væ i af X A. H : λ A > λ B p = P(X x [ ½,5 φ,5(,5 H : λ A < λ B p = P(X x φ H : λ A λ B p = min{p, p } [ + ½,5,5(,5 DPPHOLJLJDINRLRIRUGHOLJHU H : λ = λ = = λ k H : Minst to λ e foskellige Testet bygge på at foelingen af k poissonfoelinge betinget me summen af em, e multinomialfoelt ; λ, ;,..., ; ~ (, θ, θ,..., θ, iet θ =. λ HPHUHXGHUWHWLPXOWLRPLDOIRUGHOLJH ie 4 af 4

5 Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj 7HWIRUPXOWLOLNDWLYLWHWLGLPHLRDORLRWUXNWXU Moel: ; ~ 3( λ, hvo λ e hæ nelsesintensiteten i en LM te celle. {,,...,,}, M {, -} + : λ = γδ ε L,...,, hvo γ e en niveaufakto (=n, δ æ kkesansynligheen og ε søjlesansynligheen. + : (M + 7HWW UUHOH 4 = = = (; ˆ δ ˆ ε ˆ δ ˆ ε [ [ ~ χ ((, ( -, hvo, e antal æ kke og - e antal søjle i poissonstuktuen, og ˆ.. δ = og ˆ ε = e mielette estimate fo æ kke- og søjlesansynlighee. LJLILNDDG\OLJKHG = 3( 4 > T Hypegeometisk foeling 7HWLK\HUJHRPHWULNIRUGHOLJ H : θ = θ = ignifikanssansynlighe (%HUHJHHNDNWKYLPXOLJW.: H : θ > θ p = P(X x [ ½ θ φ, iet θ = θ ( ( θ H : θ < θ p = P(X x [ + ½ θ φ, iet θ = θ ( ( θ H : θ θ p = min{p, p } DPPHOLJLJDIK\HUJHRPHWULNHIRUGHOLJHU Bemæ k: pensum give ingen fomle til enne test. Man kan og u fa pensum (p.78 ulee følgene appoksimative test mo et obbeltsiet altenativ: H : θ A = θ B H : θ A θ B ignifikanssansynlighe: θˆ ˆ θ Β p [ [ * φ, hvo θˆ = og θˆ = ˆ θ ˆ ˆ ˆ A (-θ A θ ( θ + Mo enkeltsiet altenativ kan signifikanssansynligheen efinees på vanlig vis. ie 5 af 4

6 Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Nomalfoelingen 8WHWIRUPLGGHOY UGLLPHGNHGWYDULD H : µ = µ 8 = ; µ σ LJLILNDDG\OLJKHGHUILGHYHGRODJL8IRUGHOLJH H : µ > µ p = P(U>u = - P(U u = ( - P(U µ p = P(T > t = - P(T < t H : µ < µ p = P(T < t H : µ µ p = (P (T > t = ( - P(T < t 4WHWIRUYDULDHL H : σ = σ ( 4 = ~ χ (n- σ LJLILNDDG\OLJKHGHDJLYHHYWLLWHUYDOHIWHURODJLχ IRUGHOLJH H : σ > σ p = P( > q = - P( < q H : σ < σ p = P( < q H : σ σ p = * min{p, p } ie af 4

7 " %! $!! # Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj ammenligning af nomalfoelinge X og Y Det kan testes sepaat hvovit vaiansene σ X og σ Y e ens. Uanset esultatet kan man teste hvovit niveauet (mielvæ ien µ X og µ Y i e to foelinge e ens. (He skelne pensum mellem 3 tilfæ le: A. Foelingene ha ukente vaianse, som kan antages at væ e ens. B. Foelingene ha ukente vaianse, som kan antages at væ e foskellige. C. Begge foelinge X og Y ha kente vaianse σ X og σ Y åfemt hypotese om ens vaianse og ens mielvæ ie begge acceptees kan et antages at e vaiable X og Y følge samme nomalfoeling, hvo µ og σ estimees på gunlag af samtlige n=n x +n y obsevatione. 7HWIRUHYDULDLRUPDOIRUGHOLJHU H : σ X = σ Y e HLGHW test efinees teststøelsen sålees: 9 = ~ F(f = n tæ lle -, f = n næ vne -, KYRUI HUDWDOIULKHGJUDGHULW OOHUHI L YHUH. LJLILNDDG\OLJKHGHDJLYHHYWLLWHUYDOHIWHURODJLIRUGHOLJH H : σ X > σ Y p = P( > v = - P( < v H : σ X < σ Y p = P( < v e GREEHOWLGHW test efinees teststøelsen sålees: max{, } 9 = min{, } LJLILNDDG\OLJKHGHDJLYHHYWLLWHUYDOHIWHURODJLF(f = n tæ lle -, f = n næ vne -, KYRUI HUDWDOIULKHGJUDGHULW OOHUHI L YHUH. H : σ X σ Y p = * P( > v = * (- P( < v 7HWIRUHPLGGHOY UGLLPHGXNHGWYDULDRPNDDWDJHHWLOI OGH$ e at foetage test fo ens vaianse i NF kan et afgøes hvovit vaiansene kan antages ens. En fæ lles vaians f kan heefte sammenvejes sålees: ( + ( = + H : µ X = µ Y 7 = ; < ~ 7& ' + LJLILNDDG\OLJKHGHDJLYHHYWLLWHUYDOHIWHURODJL7IRUGHOLJH H : µ X > µ Y p = P(T > t = - P(T < t ie 7 af 4

8 - + + ( ( * *, Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj H : µ X < µ Y p = P(T < t H : µ X µ Y p = (P (T > t = ( - P(T < t 7HWIRUHPLPHGXNHGWYDULDRPNDDWDJHIRUNHOOLJWLOI OGH% Hvis man få fokastet en hypotese om ens vaianse i NF angive pensum at man ikke kene en eksakte foeling af iffeensen ; < (Fishe-Behens poblemet. Man må efo nøjes me neenståene appoksimative test til at vuee en hypotese om at niveauet i foelingene e ens. De e pincipielt intet poblematisk ve at vuee om to foelinge ha samme niveau selvom ees vaianse e foskellige (et femgå f.eks. enkelt af tilfæ le A. H : µ X = µ Y ; < 8 = + LJLILNDDG\OLJKHGHUILGHYHGRODJL8IRUGHOLJH H : µ X > µ Y p = P(U>u = - P(U u = ( - P(U µ Y p = P(U>u = - P(U u = ( - P(U < u = (-Φ( u 7HWIRUPLGGHOY UGLYHGDUYLWDPK UHGHREHUYDWLRHU åfemt en stikpøve e insamlet me pavist samhøene obsevatione af to foskellige vaiable kan et unesøges om mielvæ ien af e foelinge e ens. Dette gøes ve at betagte iffeensen mellem e to vaiable ', = ; <, mellem e talpa. Man kan heefte teste om mielvæ ien af enne iffeens kan antages at have en given væ i: H: µ D = µ D ' µ 7 = - ~ 7LGHW ' RJ. HUKKYJHHPLWWHWRJUHGLJnGLIIHUHHUH LJLILNDDG\OLJKHGHDJLYHHYWLLWHUYDOHIWHURODJL7IRUGHOLJH H : µ D > µ D p = P(T > t = - P(T < t H : µ D < µ D p = P(T < t H : µ D µ D p = (P (T > t = ( - P(T < t ie 8 af 4

9 D C ; : ; ; 5 G K F G G J I J A I > = Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj ammenligning af flee nomalfoelinge X, X,.., X k %DUWOHWWWHWIRUHYDULDLIOHUHRUPDOIRUGHOLJHU H : σ = σ = = σ / H : Minst en vaians e foskellig fa e ane De empiiske vaianse j estimees på vanlig vis i e k nomalfoelinge. Den fæ lles væ gtee vaians - YDULDHLGHIRUIRUGHOLJHUH - beegnes heefte sålees: 3 = ( N = Batlett's teststøelse: =, hvo = % = ( Nln( 7 ( ln( ~ χ (k- ignifikanssansynligheen angives evt. i inteval efte opslag i χ -foelingen: p = P(B>b = - P(B<b 7HWIRUHPLGGHOY UGLLIOHUHRUPDOIRUGHOLJHU H : µ = µ = = µ 8 H : Minst en mielvæ i e foskellig fa e ane Gennemsnittene ; 9 estimees på vanlig vis fo mielvæ iene i e k nomalfoelinge. Man betagte YDULDWLRHPHOOHPJHHPLWWHH utykt ve < = ; N ; (, = hvo ; e et sammenvejee gennemsnit, efineet som ; = > ; >. = -teststøelse: 9 = ~ F(k-, n-k ignifikanssansynligheen angives evt. i inteval efte opslag i F-foelingen. p = P( > v = - P( < v (WLPDWLRDIDUDPHWUHGHUEHNULYHUpI OOHRUPDOIRUGHOLJ åfemt hypotese om ens vaianse og ens mielvæ ie begge acceptees kan et antages at e vaiable X X k følge samme nomalfoeling, hvo µ og σ B så estimees på gunlag af samtlige = = D obsevatione. Denne estimation kan let foetages ve at unytte at µ estimees ve [ = σ H estimees ve H [ K = = = ( N + ( N = ie 9 af 4

10 O N W R R O O X O L M T Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Multinomialfoelingen Moel: ; ;,..., ; ~ (, θ, θ,..., θ, L 7HWLPXOWLRPLDOIRUGHOLJH + : θ = θ, θ = θ,..., θ = θ M (Dvs. at multinomialfoelingen følge en given sansynlighesfoeling. Ofte testes specifikt om sansynlighesfoelingen e en OLJHIRUGHOLJ på e J ufal. + : (M + 7HWW UUHOH (; θ 4 = ~ χ (- U, hvo - e antal kategoie og U e antal estiktione i en paametiske multinomialfoeling. = θ LJLILNDDG\OLJKHG = 3( 4 > T Bemæ k at DWDOUHWULNWLRHUe elevant nå multinomialfoelingen buges til numeisk kontol af om et atasæ t følge en given foeling. Hvis et e nomalfoelingen e kontollees estimees paamete µ og σ,følgelig fås =. e binomial-, poisson- elle eksponentialfoeling fås = DPPHOLJLJDIPXOWLRPLDOIRUGHOLJHU + θ P = θ P M,,..., - : + : (M + 7HWW UUHOH 4 = = = (; θˆ ˆ θ { } ~ χ (( ( -, hvo - e antal kategoie, og ˆ. θ = e et mielet estimat fo sansynligheen fo et j te ufal une H. LJLILNDDG\OLJKHG = 3( 4 > T DPPHOLJLJDI,PXOWLRPLDOIRUGHOLJHU + θ U = θ U L,,...,,, M,,..., - { } { } :. + : (M + [ T 7HWW UUHOH 4 = = = (; θˆ ˆ θ ~ χ ((, ( -, hvo, e antal multinomialfoelinge og - e antal [ X. kategoie, og θ ˆ = e et mielet estimat fo sansynligheen fo et j te ufal une H. LJLILNDDG\OLJKHG = 3( 4 > T ie af 4

11 Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj tikpøveteoien Pensum skelne mellem impel tilfæ lig uvæ lgelse tatificeet uvæ lgelse (heune geneelt, popotional all. samt optimal all. (kusoisk samt mellem Altenativ vaiation (Binæ vaiabel, man estimee anel/antal af mæ kee enhee. Geneel vaiation (Alle ane type vaiable en binæ. Man estimee vaiablens niveau. Altenativ vaiation e natuligvis bae et specialtilfæ le af Det geneelle tilfæ le. LPHOWLOI OGLJXGY OJHOHPHGDOWHUDWLYYDULDWLR Den sane anel θ =, anel af mæ kee enhee M i hele population N. [ Et estimat fo enne anel e θˆ =, vs. anel mæ kee enhee x i stikpøven n. X ~ Hyp.geo (N,M,n, ((; =, 9DU ([ = θ ( θ Fo anelen θ gæ le at (( ˆ θ = θ, og 9DU( θ ˆ = ( I, som estimees ve et mielette skøn 9DU ˆ( ˆ θ = ( I, hvo uvalgsbøken I = θ (ˆ θ ˆ Antallet af mæ kee i populationen Nθ estimees ve θˆ. 9DU ( θ ˆ = 9DU( ˆ θ Konfiensinteval fo θ: θˆ ± ˆ( ˆ α 9DU X / θ Hvis N e sto, og n e lille e HGHOLJKHGNRUUHNWLRH (-f. Bestemmelse af stikpøvestøelse, som tilfesstille et givet pæ cisionskav: Hvis et e kæ vet at 9DU ( θ ˆ σ, gæ le at stikpøvestøelsen bestemmes som: θ ( θ minste tal fo hvilket σ + θ ( θ / Hvis et e kæ vet at et konfiensinteval højest ha been L, kan et unyttes at σ = X α / θ skal bestemmes ve et kvalificeet skøn, evt. ve at sæ tte θ = ½, hvilket sike maksimal populationsvaians, og eme et mest fosigtige skøn ove stikpøvestøelsen. ie af 4

12 b a _ e b e ] ^ ^ ^ ] c ` ` \ [ Z Y Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj LPHOWLOI OGLJXGY OJHOHGHWJHHUHOOHWLOI OGH om estimat fo populationsgennemsnittet anvenes stikpøvegennemsnittet [ = om estimat fo populationsvaiansen τ anvenes stikpøvevaiansen = om estimat ove vaiansen på gennemsnittet [ anvenes 9DU ˆ( [ = ( I Et appox. konfiensinteval fo et sane gennemsnit ; e [ ± X α / 9DU ˆ( [ Populationstotalen estimees ve [. aiansen på populationstotalen e 9 DU ˆ( [ = 9DU ˆ( [ Bestemmelse af stikpøvestøelse, som tilfesstille et givet pæ cisionskav: Hvis et e kæ vet at 9DU ([ σ, gæ le at stikpøvestøelsen bestemmes som: minste tal fo hvilket s jo e voes skøn ove. τ σ + τ = = [Z ([\ [, hvo τ e et kvalificeet bu på populationsvaiansen, som Hvis et e kæ vet at et konfiensinteval højest ha been L, kan et unyttes atσ WUDWLILFHUHWXGY OJHOHDOWHUDWLYYDULDWLR Populationen opeles i M stata. Den sane anel i et statum θ = ], anel af mæ kee enhee M j i statum N j. [ Et estimat fo enne anel e θˆ =, vs. anel mæ kee enhee x j i stikpøvestatum n j. aiansen på anelen i et enkelte statum kan estimees ve et mielette skøn ˆ( θ θˆ 9DU ˆ ( ˆ θ = ( I, hvo uvalgsbøken I = ` om skøn ove anel mæ kee θ i populationen anvenes θ ˆ= :b θˆ, hvo statumvæ gten : c = = Et mielet skøn ove vaiansen på estimatet fo populationsgennemsnittet e θˆ( ˆ θ 9DU ˆ( ˆ θ = : 9DU ˆ( θˆ = : ( I = = Et appox. konfiensinteval fo en sane anel θ e θˆ ± X ˆ( ˆ α / 9DU θ Populationstotalen estimees ve [. aiansen på populationstotalen e 9 DU ˆ( [ = 9DU ˆ( [. = / X α / ie af 4

13 p o n m i g f h s k j l n n hi lm n m s q y y x x x Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj WUDWLILFHUHWXGY OJHOHGHWJHHUHOOHWLOI OGH Populationen opeles i M stata. om estimat fo populationsgennemsnittet i et j. statum anvenes stikpøvegennemsnittet [ i = [ = om estimat fo populationsvaiansen i et j. statum anvenes stikpøvevaiansen m = ( [ [ = aiansen på gennemsnittet i et enkelte statum kan estimees ve 9DU ˆ( [ = ( I om skøn ove populationsgennemsnittet ; anvenes [ = :p [p, hvo statumvæ gten : q = = Et mielet skøn ove vaiansen på estimatet fo populationsgennemsnittet e 9DU ˆ( [ = : 9DU ˆ( [ = : ( I = = Et appox. konfiensinteval fo et sane gennemsnit ; e [ ± X α / 9DU ˆ( [ Populationstotalen estimees ve [. aiansen på populationstotalen e 9 DU ˆ( [ = 9DU ˆ( [ 3URRUWLRDODOORNHULJ Bemæ k: Alle fomle heune e fomuleet i et geneelle tilfæ le. Hvis man analysee en binæ vaiabel kan man blot estatte: [ = θˆ og va( [ = va( θˆ. Nå man foetage en statificeet uvæ lgelse, e et natuligvis af inteesse at minimee 9DU (;. En popotional allokeing unytte YDULDWLRHPHOOHPWUDWD til at minske vaiansen på estimatoen. (YDULDWLRHPHOOHPWUDWD bestå i foskellige niveaue af en kontinuet vaiabel elle foskellige anele me et givet kaakteistika hvis vaiablen e binæ. Dvs. at 9DU( ; tvu w t 9DU( ;. Den popotionale allokeing e kenetegnet ve ens uvalgsbøk fo alle stata Fo hvet statum skal sålees uvæ lges y = = : enhee. I = =. ie 3 af 4

14 ˆ { ˆ z ƒ z ƒ z ƒ z ƒ z ƒ z ƒ Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj z %HP UNKHUXGHU9HGDOWHUDWLYYDULDWLRKDYH τ = θ ( θ θ ( θ Bestemmelse af stikpøvestøelse, som tilfesstille et givet U FLLRNUDY: Hvis et e kæ vet at 9DU ([ σ, gæ le at stikpøvestøelsen bestemmes som: minste tal fo hvilket : τ = { σ + =, hvo : τ skøn ove (efo kan man i mangel af bee anvene τ } e populationsvaiansen, som } som estimat fo τ }. Hvis et e kæ vet at et konfiensinteval højest ha been L, kan et unyttes atσ WLPDODOORNHULJ } jo e voes = / X α / Bemæ k: Alle fomle heune e fomuleet i et geneelle tilfæ le. Hvis man analysee en binæ vaiabel kan man blot estatte: [ = θˆ og va( [ = va( θˆ. Givet at vaiansen inenfo statummet e ens fo voes stata, så sike en popotionale allokeing at vaiansen på estimatoen minimees. Men vaiansen inenfo stata e sjæ lent ens, og isse vaiansfoskelle unyttes af en optimale allokeing til at minimee vaiansen på estimatoen i fohol til en popotionale allokeing. Dvs. at 9DU (; ~ 9DU( ; ~v ~ 9DU( ;. ƒ %HP UNKHUXGHU9HGDOWHUDWLYYDULDWLRKDYH τ = θ ( θ θ ( θ Fo hvet statum skal sålees uvæ lges som = : τ : τ enhee, hvo = jo e voes skøn ove (efo kan man i mangel af bee anvene Bestemmelse af stikpøvestøelse, som tilfesstille et givet U FLLRNUDY: Hvis et e kæ vet at 9DU ([ σ, gæ le at stikpøvestøelsen bestemmes som: minste tal fo hvilket : τ =, hvo σ + : τ skøn ove (efo kan man i mangel af bee anvene = τ e populationsvaiansen, som som estimat fo τ. τ e populationsvaiansen, som estimat fo Hvis et e kæ vet at et konfiensinteval højest ha been L, kan et unyttes atσ τ. jo e voes = / X α / ie 4 af 4