SHOR S ALGORITME FOR KVANTE FAKTORISERING

Transkript

1 SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG IELS YGRD Det e velkendt at mens det e meget nemt at få en compute til at gange to tal sammen e det meget svæee at gå den anden vej, at få en compute til at faktoisee et tal i pimfaktoe. Det at det e så svæt at faktoisee buges i de fleste kypteings algoitme til at beskytte kommunikatione ove intenettet. Den hidtil bedste algoitme, de gå unde navnet kvadatisk si buge således omking 6 3 exp( 3 (log ) 3 ) opeatione på at finde ikke tivielle faktoe i et tal. 9 Som det ses vokse antallet af opeatione eksponentielt med. De støste tal de buges i kypteing e af støelsesodenen 000 og det e defo ikke ealistisk at faktoisee dem selv ved hjælp af de hutigste supe-computee. En digital compute vike som bekendt ved at epæsentee tal i binæ fom, som en følge af 0 og, kaldet bits, f.eks. = 0, 3 =,...,0 = 000,...Et tal af støelsesodenen ovenfo skal defo buge omking 000 bits fo at epæsentees i binæ fom, men da en digital compute typisk ha lagingskapacitet af flee milliade bits e det ikke et poblem at abejde med sådanne tal. En modene compute behandle data i bidde (som kaldes od ) af længde 6 bits og pocessen foegå ved at sende data igennem en ække logiske pote som kan implementee multiplikation, addition og ande aitmetiske opeatione. Et eksempel på en logisk pot e ot nd elle D pot som tage to bits ind og spytte en enkelt bit ud efte eglen () () 00 7!, 0 7! 0 7!, 7! 0 Hvis vi opfatte 0 som falsk og som sandt e det pæcis sandhedstavlen fo not (a and b). Det vise sig at man ved at sammensætte D pote på foskellig vis kan konstuee alle logiske pote. å vi nu skal tale om kvante fænomene, e et af dem det meget kaakteistiske at selv patikle kan intefeee med hinanden. Et af de fænomene som føte til opdagelsen af kvantemekanikken va lige pæcis et ekspeiment hvo en ståle af elektone som sendes igennem to spalte udvise et intefeens mønste fuldstændig som en lysståle. Det betyde at et system af flee patikle ikke bae opføe sig som en samling enkelt patikle, men at systemet ha sin egen opføsel som ikke D D D D Figu. XOR pot sammensat at D pote

2 IELS YGRD kan bestemmes ud fa viden om de enkelte patikle. Man tale om at systemet e en ovelejing af de enkelte patikles bølgenatu. Tilsvaende i den matematiske model af en kvante compute, som jo e alt hvad vi ha idag, e de enkelte celle ikke bae en bit, men en ovelejing af de to bits 0 og. å vi tale om bits og od i kvante compute sammenhæng buge vi en notation fa kvantemekanik og skive dem som ket vektoe dvs. we sætte dem in i paantese og i som f.eks. 0i, 00000i. Den fundamentale enhed i en kvante compute e således en qbit som ikke kun kan væe i tilstand 0 elle, men kan væe i en ovelejings tilstand hvo og 0i + i e complekse tal som opfylde + = Et system af n qbits kan vœe i en ovelejings tilstand hvo ligeledes i i + + n n =...i En anden af mækvædighedene ved kvante mekanikken e at nå man måle på et system så influee selve det at fotage målingen på systemets tilstand. Hvis vi måle en enkelt qbit i tilstand 0i + i så få vi esultatet 0i med sandsynlighed og esultatet i med sandsynlighed. Efte målingen e voes qbit i tilstand 0i hvis esultatet af målingen va 0i og i tilstand i hvis målingen gav i. Hvis man så måle igen få man med 00% det samme esultat som den føste måling. Fo et n-qbit system kan man måle f.eks. de sidste m qbits. Hvis vi skive en basis tilstand som xi yi hvo xi en basis tilstand af de føste n m qbits og yi en basis tilstand af de sidste m qbits. Så kan vi skive den ovelejede tilstand på fomen X xy xi yi with xy X xy = xy Hvis vi nu måle de sidste m qbits få vi en basis tilstand zi med sansynlighed Pob(z) = X x xz Efte målingen e de sidste m qbits i basis tilstanden zi og de føste n den ovelejede tilstand X qp xz xz xi Hvis vi f.eks. betagte et 3-qbit system i tilstanden p 000i + i p 00i p 0i x x m qbits i og måle den sidste qbit så få vi esultatet 0i med sandsynlighed 3 og i med sandsynlighed 3. Efte målingen e -qbit systemet af de føste to qbits i føste tilfœlde i tilstanden 3 p3 00i + i p 0i = p 00i + p i 0i 3 og i det andet tilfœlde i basis tilstanden 0i.

3 SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG 3 I den matematiske model af kvante computeen e en pot en n n unitœ matix U dvs. en matix de opfylde U t U = Id. Det betyde bl.a. at søjlene e n dimensionale komplekse vektoe med nom =. Et simpelt eksempel e den såkaldte Hadamad pot som e givet ved maticen 3 p p som vike på en enkelt qbit ved at p p 0i + i 7! p 0i + p i + p 0i p i = p + 0i + p i Vi kan lade Hadamad poten vike på en n-dimensional basistilstand a n a n ved H (n) a n a n...a i = Ha n i Ha n i... Ha i. Fo eksempel H () 0i = H 0ii H ii = p 0i + p ii p 0i p ii...a i = 00i 0i + 0i + i Hvis vi anvende H (n) på basistilstanden i få vi H (n) i = H 0ii H 0ii H 0ii... H 0ii = p 0i + p ii p 0i + p ii... p 0i + p ii = X n xi n/ x=0 dvs. vi ha fået en unifom distibution ove alle tallene fa 0 til n. Hvis vi måle denne tilstand få vi et vikeligt tilfœldigt tal (og ikke bae pseudo-tilfœldigt) mellem 0 og n. u skal vi se lidt på den algeba de ligge til gund fo Sho s algoitme. Lad M = pq hvo p og q e to foskellige pimtal. Voes opgave e givet M at finde p og q. Lad a vœe et vilkåligt tal som e indbydes pimisk med M altså (a, M) = og betagt undeguppen af guppen af enhede (Z/M ) fembagt af a, altså den cycliske undeguppe <a>apple (Z/M ). Lad vœe odenen a a så a mod M. ntag at e et lige tal. Man kan vise at sandsynligheden fo at et vilkåligt valgt tal pimisk med M ha lige oden i guppen (Z/M ) e >. Vi betagte nu b = a / så e b mod M og defo gœlde at M (b )(b+). Fa den kinesiske estsœtning ved vi at Z/M = Z/p Z/q. IZ/p Z/q e de pœcis elemente de tilfedstille b ==(, ). De fie elemente e (, ), (, ), (, ), (, ), da b 6= e det føste element udelukket så de e en sandsynlighed på /3 fo at b e enten (, ) elle (, ). Sandsynligheden fo at et vilkåligt tal tilfedsstille begge betingelse, altså e lige og b e enten (, ) elle (, ) e så mindst /3. Fo et sådant b gœlde at M hveken dividee b elle b +, defo e både (M,b + ) og (M,b ) ikke tivielle faktoe i M. He e et eksempel: M =, a = 5. <a>= {5,, 0, 6, 7, } så a ha oden 6. a 3 = 0 såa tilfedsstillle den føste betingelse, men ikke den anden. Hvis a = 0 e <a>= {0, 6, 3,, 9, }, så igen e odenen af a lig med 6. He e a 3 = b = 3 og (b,m) = (, ) = 3 og (b +,M) = (, ) = 7.

4 IELS YGRD Bemœk at den støste fœlles diviso e meget hutig at beegne ved hjœlp af Euclid s algoitme. Det de e svœt at beegne, e odenen af a i guppen (Z/M ). Vi kan omskive poblemet lidt ved at definee funktionen f : Z! Z, f(k) =a k mod M. Dettee en peiodisk funktion med peiode =, altså f(k + j) =f(k), så poblemet med at beegne e œkvivalent med at beegne peioden a funktionen f. Vi betagte nu et et system af n qbits hvo = n > M,såhvisvivil faktoisee e tal af støesodenen 000 skal vi buge lidt ove 000 qbits, det e et elativt lille antal nå man tœnke på at en modene digital compute ha milliade a bits. Lad os nu antage at vi ha en pot som beegne funktionen f, dvs.enunitœ matix U f så U f xi i = x, f(x)i som vike på od af lœngde n så U f e en matix. Vi state med basistilstanden i af lœngde n og anvende H (n) på de føste n qbits. Det give os ovelejingen X p xi i x=0 så nå vi anvende U f få vi ovelejingen n X p x, f(x)i x=0 Vi ha så lige pludselig et system af n qbits som lage alle f s vœdie. Skulle vi lage alle disse vœdie i en digital compute skulle vi buge n n bits, det e et tal som e mange gange støe end de samlede antal patikle i hele univeset. Det e denne massive paallelisme de gø at en kvante compute vil blive så meget hutigee end en digital compute. Selv om vi ha laget alle vœdiene kan vi ikke få fat i dem, hvis vi måle få vi kun en vilkålig vœdi, så defo skal vi vœe et kløgtige fo at få noget nyttigt ud af denne ovelejingstilstand. u måle vi de sidste n qbits. Resultatet e af fomen f(x 0 )i. Daf e peiodisk med peiode kan vi antage at 0 apple x 0 <. Det eftelade de føste n qbits i ovelejings tilstanden X p x 0 + ji hvo e bestemt ved at x 0 + ( ) < og x 0 + så apple x 0 +( ) <.Da0apple x 0 < få vi < <+ Vi kan ikke aflœse peioden fa denne ovelejingstilstand, måling give os kun en enkelt vœdi og vi kende hveken x 0 elle j. Vi blive defo nødt til at finde på noget andet. Det vi skal buge e den diskete Fouie tansfomation DFT som e defineet ved at den tage en basistilstand af lœngde m, xi og sende den i ovelejings tilstanden DFT xi = X e ix y m yi m/ Den diskete Fouie tansfomation e også defineet ved en unitœ matix of definee defo en pot i kvantecomputeen. y

5 SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG 5 Vi anvende denne pot på den målte tilstand 0 p X x 0 + ji = X X p p e ix 0 y + jy yi y=0 = p X e ix 0 y X e ijy yi y=0 u kan vi måle og vi få esultatet yi med sandsynlighed We have X e ijy X = Pob(y) = (e iy X e ijy y ) j = ei e iy = ei y e i y hvo y = y Vi betagte nu mœngdene {0,,,...,,} og {0,,, 3,..., }. Fo ethvet multiplum a hvo a apple, findesdepœcisety så y apple a apple (y + ) det betyde at fo ethvet a findes de et y så am y apple. Fo ethvet multiplum a vœlge vi et sådant y og vi ha demed foskellige y e med denne egenskab og fo disse vœdie af y gœlde apple y k apple Det e klat at ei y kun afhœnge af y mod så hvad angå beegningen e i y af denne støelse kan vi antage at apple y apple og defo y apple apple Vi ved alleede at < så ( ) < og demed gœlde at < yj< fo j apple. u ha vi e i y e i y = ei y( ) e i y + e i y( ) e i y( ) e i y. I intevallet (0, ) e funktionen y 7! e i y( ) en konkav funktion og den ligge defo altid ove koden som e linien mellem (0, 0) og punktet (, ) dvs. e i y( ) ( ) y På den anden side e e i y apple y så alt i alt ha vi e i y e i y ( ) = ( + )

6 6 IELS YGRD og defo Pob(y) ( + ) = + Da ' 0 e sandsynligheden fo at udfaldet af målingen e en af de tilstande vi ha udvalgt af støelsesodenen ' 0.0 Fo enhve af disse vœdie af y gœlde k apple y apple k + u e de højst et ationalt tal med nœvne <M de ligge inden fo en afstand apple af y. Det e klat fodi afstanden mellem to foskellige ationale tal med nœvne <M, a b og c d e ad bc bd M og M > Dette ationale tal kan beegnes ved hjœlp af kœdebøke, men det vil vi ikke komme ind på he. Hvis nu (k, ) = ha vi fundet, hvis ikke finde vi kun en fakto i. Vi kan så køe beegningen igen og få et andet ationalt tal k0. ntag at (k, k0 )=. Lad = p n pn...pnm m (nogen af eksponentene kan vœe 0) vœe pimtals faktoiseingen af og k = p` p`...p`u u, k 0 = p`u+ u+ p`u+ u+...p`m m. Hvis og e nœvnene i de ationale tal k så ha vi = p n og k0 efte at vi ha fokotet de fœlles faktoe ud, min(n,`) n min(`,n) nu min(nu,`u) p...pu nu+ min(`u+,nu+) nm min(`m,nm) u p p n pn...pnu u+...p det mindste fœlles multiplum. p nu+ u+...pnm m og = m. Vi få defo at =[, ], Hvad e sandsynligheden fo at to vilkålige hele tal k og k 0 e indbydes pimiske? Et pimtal p dividee et givet tal med sandsynligheden. Sandsynligheden fo at p p dividee to givne tal e defo. Sandsynligheden fo at p ikke dividee begge p tal e så ( p ). Vi få at sandsynligheden fo at ingen pimtal dividee begge tallene e Q ( p )= () ' p Ved at køe algoitmen et vist antal gange, uafhœngigt af støelsen af M, kan vi defo med høj sandsynlighed finde og de e meget hutigt at beegne om det vilkålige tal a og den beegnede oden, vike. Sandsynligheden fo at finde a og de vike, e uafhœngig af M og vi kan defo ved at køe algoitmen et bestemt antal gange med meget høj sandsynlighed, finde en løsning