Bør Olieproduktionen i Nordsøen begrænses? en indledende undersøgelse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bør Olieproduktionen i Nordsøen begrænses? en indledende undersøgelse"

Transkript

1 Bør Olieroduktionen i Nordsøen begrænses? en indledende undersøgelse Lrs Gårn Hnsen* og Niels Nnneru** * AKF, Amternes og Kommunernes Forskningsinstitut, Nyrosgde 37, 1602 Københvn V, e-mil: lgh@k.dk ** SDU, Økonomisk Institut, Syddnsk Universitet, Odense, Cmusvej 556, 5230 Odense M, e-mil: nn@sm.sdu.dk AKF Forlget November

2 2

3 Forord I dette ir oretges en indledende undersøgelse mulighederne or t remme billige CO 2 -reduktioner i udlndet gennem en ktiv udbudsolitik å energimrkederne. Umiddelbrt synes en CO 2 -olitik, der sigter mod t begrænse udbuddet energi å energimrkederne, t være et interessnt lterntiv til trditionelle tiltg rettet mod energiorbruget og måske især til såkldte»joint imlimenttion«-rojekter. Piret er udrbejdet Lrs Gårn Hnsen og Niels Nnneru, og vi tkker AFK, SDU og SSF, som hr innsieret den medgåede tid. Endvidere tkker vi Christin Hjort-Andersen, Anders Lrsen og Jørgen Birk Mortensen or kommentrer til tidligere versioner iret. Ansvret or ejl, mngler og misorståelser er nturligvis lene vores. Lrs Gårn Hnsen November 2004 Niels Nnneru 3

4 Indhold Resume Indledning Regulering globle miljøroblemer og lækgevirkninger En nlyse CO 2 -olitik å oliemrkedet Konklusioner og imliktioner Aendiks: Bevis resultt 1 og Reerencer English Summry Noter

5 Resume I dette ir oretges en indledende undersøgelse mulighederne or t remme billige CO 2 -reduktioner i udlndet gennem en ktiv udbudsolitik å energimrkederne. Hovedresulttet eger å, t regulering, der sigter mod begrænsning olieroduktionen i Nordsøen, kn være et mere omkostningseektivt styringsmiddel end trditionelle etersørgselsbegrænsende tiltg, hvis vurderingen nlægger et globlt ersektiv. Om end mn skl være orsigtig med t drge håndste imliktioner, bør resulttet i indeværende ir nsore til yderligere undersøgelse udbudsbserede styringsmidler i CO 2 -olitikken. Vi er ikke bekendte med ndre nlyser, der hr nærværende okus i klimdebtten. Ligeledes hr det miljørgument, som rtiklen åeger, ikke været remørt i den dnske debt om besktning Nordsøolien. 5

6 1 Indledning Øget besktning olieroduktionen i Nordsøen er jævnligt å den olitiske dgsorden, og rgumenterne heror er overvejende ordelingsmæssige og sttsinnsielle. I regeringens nye tle r eteråret 2003 med A.P. Møller og oliertnerne i DUC hr målsætningen r regeringens side klrt været t øge de sttslige indtægter r Nordsøolien, hvilket ligeledes vr bggrunden or det olitiske ønske om en genorhndling r oositionen. Hovedunktet i tlen er, t sttens del overskuddet r olie og gs orøges med c. 20% rem mod 2012, og r 2012 indtræder stten reelt som medejer DUC, der som bekendt besidder retten til udvinding Nordsøolien 1. Der kn imidlertid også være et hidtil uågtet miljørgument or t øge oliebesktningen, som tillige kn hve imliktioner or, hvordn denne mere ræcist bør indrettes. Formålet med dette ir er t oretge en (indledende) undersøgelse dette rguments tyngde og imliktioner. Dette miljørgument udsringer, t de miljøvirkninger, der søges begrænset gennem den dnske miljøolitik å CO 2 -området, er globle. Det er således den smlede CO 2 -udledning å verdensln og ikke dens geogriske ordeling, der er gørende or miljøvirkningerne. Dette indebærer, t såvel Dnmrks CO 2 -strtegi som den CO 2 -strtegi, Dnmrk tler med ndre lnde, nturligt bør okusere å den globle eekt. Når orskellige virkemidler til begrænsning CO 2 -udledningen skl vurderes, bliver det dermed relevnt t inddrge rektionerne i udlndet (eller de lnde, der ikke hr tilsluttet sig en interntionl CO 2 -tle) smt t overveje mulighederne or målrettet t åvirke udledningerne i disse lnde. 6

7 Både i den dnske og den interntionle CO 2 -debt hr muligheder or og ordelene ved t udnytte billige CO 2 -reduktioner i udlndet været åeget. I henhold til Kyoto-rotokollen tilldes det x, t tlelnde kn åvirke udledningerne i lnde uden or tlen gennem interntionle meknismer som»joint imlementtion«. Således kn tlelnde, der innsierer CO 2 -reduktioner i lnde uden or tlen (x i den tredje verden), år godskrevet disse i orhold til deres egne reduktionsmål. Tnkegngen er t udnytte otentilet or omkostningsbesrelser ved t gennemøre reduktioner i lnde uden or tlen, såremt indstsen er billigere her. D klimvirkningen neto er uhængig CO 2 -reduktionens geogriske lcering, sker dette uden t svække miljøeekten. I modsætning hertil hr der ikke været megen okus å de indirekte åvirkninger, som CO 2 -olitikken kn hve vi risændringer å de interntionle brændselsmrkeder. I den dnske CO 2 -debt og i nlyser virkningerne dnske energibesrelsesrojekter er det således normen t ntge ste verdensmrkedsriser å brændsler som olie og kul og dermed orudsætte, t de indirekte riseekter er ubetydelige. D dnske energibesrelsesrojekter kun medører en beskeden reltiv åvirkning energietersørgslen å verdensmrkedet, kn ntgelsen virke nturlig men i neto denne smmenhæng er den roblemtisk. Prisvirkningen et energibesrelsesrojekt å verdensmrkedet or brændsel står ltid i orhold til rojektets initile orbrugsændring. Som eksemel (illustreret i igur 1.1) kn mn ntge, t olieudbuddet å verdensmrkedet er risuelstisk. D vil et rojekts initile orbrugsreduktion (den»direkte virkning«etersørgselskurvens orskydning mod venstre i igur 1.1) øre til, t olierisen lder indtil det unkt, hvor etersørgselsstigningen i omverden neto neutrliserer den initile etersørgselsreduktion (den»indirekte virkning«i igur 1.1). Selv om den dnske CO 2 -udledning lder, hr rojektet ingen virkning å den globle CO 2 -udledning og deror ingen miljøvirkning. I denne sitution kunne mn deror overveje i stedet t reducere den dnske olieroduktion r Nordsøen (illustreret i igur 1.2). Med det orudstte uelstiske olieudbud vil en Dnsk udbudsbegrænsning (som ngivet i igur 1.2) å olierisen å verdensmrkedet til t stige, indtil orbruget i omverden neto er ldet svrende til den dnske roduktionsbegrænsning (den»indirekte risvirk- 7

8 ning«i igur 1.2). Selv om den dnske CO 2 -udledning ikke lder nævneværdigt, svrer virkningen å den globle CO 2 -udledning til den initile roduktionsbegrænsning. Figur 1.1 Figur 1.2 Verdensmrkedet or olie (etersørgsels- Verdensmrkedet or olie (udbudsbegrænsbegrænsning, når udbuddet er uelstisk) ning, når udbuddet er uelstisk) Pris Dnsk etersørgselsbegrænsning Udbud Pris Dnsk udbudsbegrænsning Udbud Direkte virkning Indirekte ris virkning Indirekte ris virkning Etersørgsel Etersørgsel Nett o virkning = 0 Mængde Netto virkning = Udbudsbegræ nsning Mængde Eksemlet illustrerer, t det er udbuds-/etersørgselsorholdene å det relevnte verdensmrked or energi, der er gørende or et energibesrelsesrojekts globle CO 2 -virkning, unset om rojektet er stort eller lille set i orhold til dette mrked. Om end dette or så vidt er indlysende, er der meget lidt omærksomhed å de indirekte risvirkninger over brændselsmrkederne i såvel den dnske som den interntionle CO 2 -debt og orskningsindsts. Nvnlig er det åldende, hvor lidt omærksomhed der er å mulighederne or t åvirke udenlndske CO 2 -udledninger gennem ktivt t åvirke risdnnelse å de interntionle brændselsmrkeder. For et olieroducerende lnd som Dnmrk (ligesom or en olieroducerende grue lnde, som tler en ælles CO 2 -strtegi x EU) er det nærliggende t overveje en begrænsning olieroduktionen som lterntiv til rojekter, der nedsætter olieorbruget og måske nvnlig som lterntiv til joint imlementtionrojekter, der neto sigter mod t nedsætte olieorbruget i udlndet 2. Den ointe, vi gerne vil understrege, er, t mulighed or t remme billige CO 2 -reduktioner i udlndet gennem en ktiv udbudsolitik å energimrkederne bør undersøges orskningsmæssigt å linje med det store r- 8

9 bejde, der i dg udoldes i orhold til orskellige direkte åvirkningsmuligheder herunder joint imlementtion. Vi hr ikke kendskb til ndre undersøgelser udbudsbegrænsningens muligheder i CO 2 -olitikken, og ormålet med denne rtikel er t oretge en indledende nlyse her. Mere konkret vil vi med en teoretisk model klre, under hvilke betingelser en CO 2 - olitik, der begrænser udbudet å oliemrkedet, er mere omkostningseektiv end trditionelle tiltg, der begrænser olieetersørgslen. Modellen er orholdsvis enkel, men der skelnes mellem et indlnd og et udlnd, således t indirekte virkninger og såkldte lækgeeekter ved ensidig CO 2 -olitik kn nlyseres. Smtidig sejler modellen det orhold, t oliemrkedet er ræget et oligoolistisk udbud, hvilket viser sig t være vigtigt i neto denne smmenhæng. Den ølgende nlyse indikerer, t begrænsninger i orhold til olieroduktionen kn være et mere omkostningseektivt styringsmiddel end begrænsninger olieorbruget set ud r en globl betrgtning. Men nlysen demonstrerer også, t det er usndsynligt, t en grue CO 2 - tlelnde omkring EU vil oretrække et sådnt styringsmiddel, hvis vlget lene sker ud r tlekolitionens egeninteresse. Om end mn skl være orsigtig med t drge rktiske imliktioner, er resulttet interessnt og bør nsore til yderligere undersøgelse udbudsbserede styringsmidler i CO 2 -olitikken. I rinciet kn udbudsbegrænsning være relevnt i en dnsk smmenhæng, og ligeledes rinciielt relevnte or lle energiroducerende lnde/gruer lnde, der tler t øre ælles CO 2 - olitik (x EU). I næste snit diskuteres nyere resultter og tilgnge i den gren litterturen, der okuserer å miljøreguleringens ledte eekter i omverdenen. I snit 3 ræsenteres den teoretiske model, og vi udleder virkningerne en CO 2 -olitik, der begrænser olieudbudet hhv. olieetersørgslen. I snit 4 beregnes velærdsbserede mål or instrumenternes omkostningseektivitet, ligesom nlysens centrle resultter udledes. I snit 5 diskuterer vi resultternes imliktioner og mulige modeludvidelser. 9

10 2 Regulering globle miljøroblemer og lækgevirkninger Om end der udoldes store bestræbelser å t etblere interntionle tler om regulering CO 2 -udledningen, synes det t være et grundvilkår, t mn kun onår delvis dækning, idet der resterer en grue lnde, som ikke vil orligtige sig over or verdenssmundet. Denne grue lnde kldes ote»ree rider«-lnde, ordi de nyder godt den tlte CO 2 - olitik, der jo virker globlt, uden selv t bidrge hertil. I dette ir vil vi bruge betegnelsen»indlnd«om det lnd eller den grue lnde, der gennemører CO 2 -olitik, mens betegnelsen»udlnd«bruges om de lnde, der ikke gennemører CO 2 -olitik (de såkldte»ree rider«-lnde). Grossmn og Krueger (1991) ostiller en nyttig dekomonering de indenlndske virkninger. Således vil or eksemel en CO 2 -git øge risen å energi i indlndet, og virkningen her å indenlndsk orbrug og roduktion odeles Grossmn og Krueger (1991) i: en teknikeekt, der omtter orbrugernes substitution væk r energiintensive vrer og industriens substitution væk r energi-inut (men betinget hidtidigt roduktionsniveu og outut-smmensætning og den hidtidige relindkomst), en komositionseekt, der omtter den ændring i industriens oututsmmensætning, der ølger en mindre etersørgsel eter energiintensiv roduktion, ordi sådnne goders ris stiger reltivt til ndre, og en skleekt, der omtter den lvere smlede roduktion som ølge indlndets relindkomsttb og orringede konkurrence i orhold til udlndet. 10

11 Det er imidlertid velkendt, t miljøregulering, der begrænser udledningen globlt virkende orurening (som x CO 2 ) i»indlndet«, kn hve den bivirkning, t udledningen her øges i udlndet, hvis smhndlen er liberliseret. Sådnne bivirkninger kldes lækgevirkninger, og den dekomonering, som Grossmn og Krueger (1991) oreslår, kn også bruges i orhold hertil. En CO 2 -git, der øger risen å energi og dermed roduktionsomkostninger or energiintensive vrer i indlndet, vil betyde, t den indenlndske etersørgsel eter energi lder, og dermed t energirisen å verdensmrkedet lder. Smtidig vil de udenlndske omkostninger ved roduktion energiintensive vrer lde og deres udbud her stige. Virkningen i udlndet kn tilsvrende odeles i en teknik-, komositions- og skleekt, men nu tyisk med modst ortegn virkningerne i indlndet (og neto her nvnet lækgevirkning). For eksemel vil teknikeekten i udlndet nu omtte industriens substitution mod energiinut og de udenlndske orbrugeres substitution i orhold til energiintensive vrer 3 (igen betinget hidtidig roduktionsniveu, outut-smmensætning og relindkomst). Med udgngsunkt i denne dekomonering hr en række nyere studier estimeret de smlede lækgevirkninger Kyoto-rotokollens imlementering i lnde, der ikke hr en CO 2 -orligtigelse under rotokollen. Således hr Brrett (1998) vurderet, t Kyoto-rotokollens gennemørelse vil betyde et ld i olierisen å 6% i orhold til uændret olitik i de Kyotoorligtede lnde. I Kuik og Gerlgh (2003) smmenholdes Kyoto-tlens lækgevirkninger med den seneste tle under WTO, Uruguy-runden. I studiet nvendes en multisektor og multiregion generel ligevægtsmodel til t simulere den øgede emission i lnde, der står uden or Kyoto-tlen. Lækgevirkningen ses i orhold til uændret olitik i de Kyoto-orligtede lnde. Dette udgngsunkt smmenholdes med Kyoto-tlens imlementering både med og uden Uruguy-rundens liberliseringer. Herved ås et estimt or, hvordn den øgede liberlisering verdenshndlen vil åvirke globle lækgevirkninger. Kuik og Gerlgh (2003) estimerer, t Kyototlen lene vil skbe en globl lækge å 11% den tlte reduktion. Tillægges Uruguy-rundens konsekvenser, ås herudover en lækge å 4% 4, og dermed en smlet eekt å 15% 5. A denne eekt udgør ørnævnte teknikeekt lene de 13 rocentoint, ltså mere end 85% den smle- 11

12 de lækge. Kuik og Gerlgh inder dermed en ikke ubetydelig lækgeeekt, og t denne ørst og remmest skyldes substitution i roduktionsinut og orbrug ledt ldende brændselsriser. På tilsvrende generelle ligevægtsmodeller med lere sektorer og regioner simulerer en række ndre studier lækgevirkningen rimært ved imlementering Kyoto-tlen bl.. Weynt (1999), Pltzev (2001), Burniux og Oliveir-Mrtins (1999), Böhringer et l. (2000), Bollen et l. (2000). Der nvendes orskellige orudsætninger med hensyn til elsticiteter or udbud og etersørgsel eter ærdigvrer, hlvbrikt og brændsler, hvoror grden lækge også vrierer mellem studierne men teknikeekten orårsget brændselsrisld er i næsten lle irer den dominerende årsg til lækge. 6 Der indes endvidere en række studier miljømæssige styringsmidler og brændselsorbrug, der tger højde or uuldkommen konkurrence å mrkederne, bl.. i orm et sælgerkrtel (som OPEC) og/eller en monosonstruktur hos tgerlndene (x reræsenterende en koordineret gitsolitik å energi i de vestlige tgerlnde) 7. Omvendt indes kun å studier styringsmidler, der inddrger lækgeeekter, og disse okuserer næsten lle å komositionseekten 8 kun et enkelt studie undersøger den teknikeekt, der iølge de emiriske undersøgelser er den dominerende. Anderson og Mckibbin (2000) nlyserer således konsekvenserne t reducere subsidier til kulroduktion som lterntiv til besktning energietersørgere. Anlysen åeger en globl velærdsorøgelse ved reduktion subsidier. Pointen er, t sådnne tiltg ud over miljøvirkningen også vil mindske subsidiernes globle roduktionsorvridning. Dette studies tilgng er dog væsentligt nderledes end det nærværende. I det ølgende er mbitionen lene t oretge en indledende undersøgelse udbuds- hhv. etersørgselsbegrænsende styringsmidlers omkostningseektivitet. 12

13 3 En nlyse CO 2 -olitik å oliemrkedet I snittet ostilles en simel teoretisk model oliemrkedet. Der skelnes mellem et indlnd og et udlnd, der begge omtter såvel olieroducenter som -orbrugere. Indlndet består lnde, der hr orligtet sig til t reducere udledning CO 2 r oliebrænding. Udlndet består»ree rider«- lnde, der ikke hr åtget sig en sådn orligtelse. Regultor i indlndet ntges t kunne vælge mellem to instrumenter til t nedsætte udledning CO 2 r oliebrænding: en CO 2 -git å indenlndsk olieorbrug og en CO 2 -git å indenlndsk olieroduktion. I det ølgende smmenligner vi virkningerne disse to instrumenter. Vi ostiller en een-eriode-model, hvormed der ses bort r den trditionelle ressourceøkonomiske roblemstilling vedrørende den otimle tidsmæssige ordeling udnyttelsen den ikke-ornybr olieressource. En stor del den teoretiske littertur, der orholder sig til oliemrkedet, nlyserer neto dette sørgsmål i dynmiske modeller. 9 Udgngsunktet her er et ndet, idet miljøolitikkens mbition neto er, t ossile brændsler å grund drivhuseekten skl udses, inden de obruges. Dermed orsvinder behovet or t otimere den tidsmæssige ordeling olieorbruget nturligvis ikke, men det bliver sekundært i orhold til t stlægge, hvor meget og med hvilke styringsmidler det smlede olieorbrug skl begrænses. Frværet dynmik orsimler vores model og gør, t nlysen okuseres å det rimære miljøreguleringsroblem. 10 Oliemrkedet i vores model er krkteriseret ved oligoolistisk Nsh- Cournot-udbudsdærd. Antgelsen muliggør nlyse et mrked under imerekt konkurrence med å ktører og tilhørende overroitter å udbudssiden hvilket sejler centrle træk ved nutidens globle oliemr- 13

14 ked. Mn kn imidlertid indvende, t en Stckelberg leder-ølger struktur kunne udgøre en mere relevnt nlysermme or neto dette mrked. Emiriske studier eger således å, t oliemrkedet bedst beskrives med OPEC-lndene eller lene Sudi Arbien som Stckelberg leder. 11 I vores nlyse kn Cournot-dærden onge de bsle kvlittive orskelle mellem de to besktningsormer under imerekt konkurrence, men en mere udenslet Stckelberg-struktur ortjener omærksomhed som en relevnt udvidelse nlysen, d det ikke kn udelukkes, t en sekventiel trækstruktur i mrkedet vil kunne ændre å instrumenternes reltive omkostningseektivitet. A denne grund bør den eterølgende nlyse ottes som en indledende undersøgelse med en generel, men muligvis or simel model. Egentlige olicy-nbelinger orudsætter nlyser med mere komlekse modeller, der kn tge højde or den ræcise trækstruktur å oliemrkedet. Mere ormelt ntger vi et sekventielt sil mellem regultor og Cournot-roducenterne. Først ålægger regultor en orbrugs- eller roduktionsgit. Dernæst vælger lle roducenter smtidigt roduktionsomng givet denne git, og hereter reliseres olieris og -orbrug. For i øvrigt t gøre nlysen så simel som mulig indeholder modellen ikke mrkeder or ærdigvrer, hlvbrikt eller ndre ossile brændsler. Gennem oliemrkedet kn modellen sejle det, der ovenor betegnedes som tekniklækge. D hndel med hlvbrikt og ærdigvrer omvendt ignoreres i nlysen, inddrges komositionslækge ikke. Som nævnt synes de emiriske nlyser, der er ortget å området, (j. orrige snit), næsten entydigt t ege å tekniklækge som den dominerende eekt. Denne orsimling modellen orekommer deror ikke t være restriktiv. D der ikke modelleres ndre ossile brændselsmrkeder, kn lene betrgtes olitikker, der sigter å t begrænse CO 2 -udsli i orbindelse med olieorbrug. Et lnds CO 2 -olitik (ligesom interntionle CO 2 -tler) vil imidlertid normlt omtte lle ossile brændsler (ud over olie også kul og gs) smt udsli ndre drivhusgsser (lttergs mv.). Et reduktionsmål å olieområdet må deror ottes som et delmål i en smlet CO 2 -strtegi, og smmenligninger omkostningseektivitet bør deror tge højde or ledte eekter å ndre energimrkeder. Det er klrt restriktivt, t disse 14

15 ledte eekter ikke onges i den ormelle model, og det er deror vigtigt, t de inddrges omhyggeligt ved ortolkningen de udledte resultter. Endelig ntges konstnte, mrginle roduktionsomkostninger i olieindustrien. Om end dette kn orsvres, så længe roduktionen ikke nærmer sig kcitetsgrænsen, bør denne orudsætnings relisme og imliktionerne også inddrges ved resultternes ortolkning. Modellen Etersørgselssiden oliemrkedet består n = n + nidentiske orbrugere, hvor n betegner ntllet olieorbrugere i tlelndene (indlndet) og n ntl olieorbrugere i ree rider-lndene (udlndet). Indlndet og ud- lndets ndel olieorbruget betegnes hhv. α = og α =. De reræsenttive indenlndske og udenlndske orbrugeres olieetersørgsel (e og e ) er givet som: e b( P t) = + og e bp = (1) n n n n hvor P er mrkedsrisen å olie, t er giten å indenlndsk olieorbrug (der kn være nul) og og b er rmetre. Bemærk, t udenlndske orbrugere ikke ålægges en orbrugsgit. Idet E = ne + ne er den smlede olieetersørgsel å verdensmrkedet, bliver smmenhængen mellem mrkedsris og etersørgslen: 1 P αt E b bn =, (2) hvorved: P 1 = E bn. (3) D CO 2 -udledning r olieorbrænding er roortionl med orbruget, er E tillige et mål or den CO 2 -udledning, der søges begrænset. Udbudssiden mrkedet består m = m + m identiske roducenter, hvormbetegner ntllet olieroducenter i indlndet og m ntl olie- 15

16 roducenter i udlndet. Den reræsenttive indenlndske hhv. udenlndske roducent mksimerer roitten ( π hhv. π ) givet som: π = ( P τ) e ce og π = Pe ce (4) hvor e hhv. e er roducentens olieroduktion, τ er giten å indenlndsk olieroduktion (der kn være nul), og c er de mrginle olieroduktionsomkostninger, der ntges konstnte. Bemærk igen, t udenlndske roducenter ikke ålægges en roduktionsgit. Der hersker Cournotkonkurrence å oliemrkedet, hvorved ørsteordensbetingelsen or roducenternes roitmksimering bliver: P ( P τ ) + e = c e hhv. P P + e = c e. (5) Idet dærden i Nsh-Cournot-ligevægten betrgtes, ås ved nvendelse (3): e bn( P c τ ) = hhv. e = bn( P c). (6) Eter indsættelse (1) og (6) og omrokering giver mrkedsligevægtsbetingelsen m e + m e = n e + n e ølgende centrle smmenhæng mellem mrkedsligevægtsrisen og olitikvriblerne t og τ : P= ( / b+ mc α t+ mτ)/( m+ 1) (7) Endelig kn den smlede indenlndske velærd ogøres som den uvægtede sum nettokonsumentoverskud, gitsrovenu og roit: W n de P t e n te m P c e e e = ( ) ( + ) ( τ ) b b 0 e W n e Pe m P c e b 2b 2 = + ( τ ) (8) 16

17 I ørste ligning er integrlet den reræsenttive orbrugers brutto-konsumentoverskud (relet under den individuelle etersørgsel), hvorr trækkes udgiten til olie. De næste led er det smlede sktterovenu og de indenlndske olieroducenters smlede roit. På tilsvrende vis ogøres udlndets velærd som: e W n e Pe m P c e b 2b 2 = + ( ). (9) En orbrugsgit Ld den indenlndske regultor indøre en git å indenlndsk olieorbrug (d.v.s. t > 0 og τ = 0). Fr (7) ås umiddelbrt den mrginle virkning her å ligevægtsrisen: dp dt α = m +1 (10) Ved dierention (1) og (6) og nvendelse (10) ås gitens mrginle virkning å olieorbrugere og -roducenter, (idetτ = 0): ( m + ) de b α de =, bα =, de de nb = =, dt m +1 dt m + 1 dt dt m + 1 (11) og dermed gitens mrginle virkning å det smlede olieorbrug: de de de bnm = n + n = dt dt dt m 1 +. (12) Det ses (10) og (12), t orbrugsgiten medører ldende ris (eksklusive giten) og ldende smlet olieorbrug. A (11) ses, t orbruget lder i indlndet, men dette ld ovejes delvist en lækgeeekt i udlndet, der som ølge risldet øger orbruget. Vi ser endvidere, t risldet øges med stigende indenlndsk ndel orbruget, hvilket sejler, t etersørgselsldet og dermed risrektionen er stærkere jo lere orbrugere, der udsættes or besktningen. Tilsvrende stiger også den globle emissionsændring med stigende indenlndsk orbrugerndel. Endelig kn 17

18 ntllet olieroducenter m ortolkes som monoolgrden i mrkedet. Når m er stor, er risvirkningen lille, idet denne sitution nærmer sig uldkommen konkurrence, hvor risen er tæt å mrginlomkostningerne c og udbudskurven tilnærmelsesvis vndret. Hermed bliver lækgeeekten, der ostår som ølge risldet, også lille. Det smme gælder or roducenternes udbudsændring. Velærdsændringen i ind- og udlnd ved en mrginl gitsændring indes nu ved totldierention velærdsudtrykkene (8) og (9), idet τ = 0. Den indenlndske velærdsændring bliver: dw dt W = e de dt W + e de dt W + P ( ) dp dt = b m+α nb α n( / b e / b P) m( P c) + ( ne me ) m 1 m 1 m (13) D t / b e / b P = j. (1) hr vi t: dw dt ( α ) ( ) α ( ) tn b m+ mnb P c + ne me = m+ 1. (14) Den tilsvrende udenlndske velærdsændring bliver: dw dt m nb ( P c) + α( ne me ) W = e de W de + dt e dt W + P dp = dt m + 1 (15) Den indenlndske velærd åvirkes negtivt det lvere orbrugeroverskud grundet lvere olieorbrug, men ositivt den ldende mrkedsris å olie (idet sktterovenuet tillder indlndet), mens de indenlndske olieroducenters roit lder. Hvorvidt den smlede velærdseekt er ositiv eller negtiv, hænger udbuds- og etersørgselselsticiteterne smt indlndets ndel olieroduktionen. Det, der kn øre til en ositiv velærdsudvikling, er, t giten reducerer olieroducenternes monoolgevinst. Hvis denne reduktion er stor, smtidig med t roduktionen rimært er udenlndsk, kn nettovelærdsvirkningen være ositiv. De uden- 18

19 lndske orbrugere vinder tilsvrende å de lvere riser, mens de udenlndske roducenters roit entydigt lder, og den smlede eekt igen er uklret. En roduktionsgit Vi lder nu regultor i indlndet indøre en git å indenlndsk olieroduktion (d.v.s. t = 0 og τ = 0). Ligesom ovenor ås umiddelbrt r (7) den mrginle virkning å ligevægtsrisen: dp = dτ m m + 1. (16) Ved t dierentiere (1) og (6), idet t = 0, og indsætte (16), ås de mrginle virkninger å olieorbrugere og -roducenter: de de bm = = dτ dτ m 1 +, de nb( m + 1) = d m + 1 τ, de nbm dτ = m + 1 (17) og å det smlede olieorbrug (der er lig den smlede olieroduktion): de de de nbm = m + m = dτ dτ dτ m 1 +. (18) de dt Den smlede mrginle eekt å roduktionen en roduktionsskt (18) er således negtiv. Reduktionen bliver, i overensstemmelse med intuitionen, større, jo større en ndel roducenterne der underlægges besktning. A (16) remgår, t en roduktionsskt medører en stigende mrkedsris modst tilældet med orbrugsbesktning. Herved vil»lækgeeekt«i udlndet understøtte i stedet or t modvirke den indenlndske miljøolitik (idet < 0). Velærdsændringer ved en mrginl ændring i skttestsen τ beregnes ligesom ovenor ved t totldierentiere (8) og (9): 19

20 ( + 1) dw nb m m = m( P c) + ( me ne) dτ m+ 1 m+ 1 og dw nbm m m ( P c) ( me ne ) dτ = m+ 1 + m+ 1 (19) (20) I begge ligninger udtrykker det ørste led roducenternes roitændring. Denne er negtiv i indlndet, men ositiv i udlndet svrende til olitikkens åvirkning den olieris, roducenterne olever (ris eksklusive git). Andet led reræsenterer orbrugernes velærdstb som ølge risstigningen. Resultter Det er klrt r en smmenligning (11) og (17), t de to gitsinstrumenter er gørende orskellige med hensyn til deres lækgevirkning. Benyttes en orbrugsgit, vil mrkedsrisen å olie lde, og som ølge her vil udlndet øge sit olieorbrug og dermed sin CO 2 -emission, hvorved der ostår en lækgeeekt, der modvirker olitikkens ormål. Pålægges derimod en roduktionsgit, vil mrkedsrisen å olie stige, og som ølge her vil orbrug og emission i udlndet lde. Med en roduktionsgit ostår ltså en»negtiv«lækgeeekt, der orstærker den direkte virkning i indlndet. Det centrle sørgsmål er imidlertid, hvilket de to instrumenter der er mest omkostningseektivt. D vi betrgter et globlt miljøroblem, kunne et nturligt mål or omkostningseektivitet være de globle velærdsomkostninger er enhed globl emissionsreduktion. Dette mål, som vi vil klde globl omkostningseektivitet, kn betrgtes som et idelmål i den orstnd, t en»globl«regultor vil otte det som relevnt. Endvidere er det ltid interessnt t vurderer, hvordn den smlede globle velærd åvirkes den olitik, der gennemøres. Det er imidlertid kun de lnde, der deltger i en CO 2 -tle (indlndet), der beslutter, hvilket styringsmiddel der skl nvendes i CO 2 -olitikken, og or denne grue lnde vil et mere relevnt mål or omkostningseektivitet være indlndets velærdsomkostninger er enhed globl emissionsreduktion (som vi vil klde indenlndsk omkostningseektivitet). Vi vil deror oretge smmenligningen or begge disse mål

21 Idet globl velærd deineres som W glo = W + W, bliver de relevnte dwglo mrginle mål or globl omkostningseektivitet / I orhold hertil kn vises ølgende klre resultt: dt de dt dwglo de hhv. / dτ dτ. Resultt 1: I orhold til et globlt mål or omkostningseektivitet er en roduktionsgit mere omkostningseektiv end en orbrugsgit (dvs. t dw dt glo de / dt ), nårα < 1. For α =1 er de to giter lige omkostningseektive. dwglo > / d de τ dτ Bevis: se endiks Resulttet betyder, t det i orhold til t mksimere den smlede globle velærd ltid er bedst t benytte en roduktionsgit, ( α < 1). Bggrunden er, t roduktionsgiten i modsætning til orbrugsgiten sikrer smme orhøjede olieris or lle orbrugere over verdensmrkedet, hvorved lle orbrugere reducerer deres oliekøb til smme mrginle omkostningsniveu, hvilket neto er den eiciente ordeling en given orbrugsbegrænsning. Produktionsgitens skæve ordeling roduktionsbegrænsningen (der ellers kunne modvirke roduktionsgiten eiciens) hr ikke nogen negtiv velærdsvirkning i modellen, d lle roducenter hr smme konstnte mrginle roduktionsomkostninger. (Denne centrle ntgelse diskuteres i næste snit). I orhold til et mål om t mksimere indenlndsk velærd bliver de relevnte mrginle mål or indenlndsk omkostningseektivitet dw de / dw hhv. / dτ de dτ, hvor ølgende resultt kn vises: Resultt 2: I orhold til et indenlndsk omkostningseektivitetsmål er en orbrugsgit mere omkostningseektiv end en roduktionsgit (dvs. t dw de dw de / < / ), når α > 2 m / m 1, og gitsstserne er små. Hvis dt dt dτ dτ mrkedet er ræget monoolistisk dærd, gælder dette resultt også or store gitsstser. Hvis mrkedet ligner et uldkommen konkurrence- dt dt 21

22 mrked, kn roduktionsgiten blive mere omkostningseektiv ved højere gitsstser. Bevis: se endiks Det ses, t tlekolitionen (indlndet) skl roducere mindst hlvdelen olieudbudet, ør end en roduktionsgit bliver ordelgtig or kolitionen ved små gitsstser. Betænker mn, t CO 2 -tle-kolitioner i rksis består vestlige industrilnde med begrænset olieroduktion, vil orbrugsgiten i rksis ltid være den oretrukne ved små gitsstser. Resulttet betyder, t det i orhold til t mksimere den indenlndske velærd er bedst t benytte en orbrugsgit, i hvert ld så længe CO 2 -olitikken hr et mere begrænset mbitionsniveu. D oliemrkedet er ræget monoolistisk dærd, er det sndsynligt, t dette også vil gælde ved høje CO 2 -mbitionsniveuer. 22

23 4 Konklusioner og imliktioner De centrle modelresultter er reltivt klre: I orhold til en målsætning om t mksimere globl velærd er roduktionsgiten det bedste styringsmiddel, mens det or Dnmrk eller or en grue vestlige lnde, x EUlnde, der gennem CO 2 -olitikken ønsker t mksimere deres egen velærd, er bedst t bruge orbrugsgiten. Selv om modellen sejler odelingen i ind- og udlnd og den centrle oligoolistiske struktur å oliemrkedet smt inddrger den dominerende lækgetye (tekniklækge), oretges der tre orsimlende ntgelser, som kn være kritiske: 1) Modellen omtter lene oliemrkedet (og ltså ikke CO 2 -belstende energisubstitutter som kul og gs), 2) der ntges konstnte (og ens) mrginle roduktionsomkostninger or lle olieroducenter og 3) det ntges, t oliemrkedet er krkteriseret ved Nsh- Cournot-ligevægt. De mnglende mrkeder or nære CO 2 -belstende energisubstitutter er som sådn gnske restriktive. Imidlertid er den nlyse, vi oretger, en smmenligning mellem orskellige måder hvorå mn kn nå den smme reduktion det globle olieorbrug. Om end ordelingen orbrugsreduktionen å indenlndske og udenlndske orbrugere vrierer mellem styringsmidlerne, er det ikke urelistisk t orvente nogenlunde rllelle substitutionseekter i orhold til ndre energityer og dermed nogenlunde rllelle indirekte CO 2 -virkninger. Rngordnen eter omkostningseektivitet er deror ormodentlig robust over or indirekte CO 2 -virkninger, men dette udgør et vigtigt orbehold i orhold til resultterne. Antgelsen om konstnte mrginle roduktionsomkostninger i olieindustrien kn nok orsvres, så længe roduktionen ikke nærmer sig k- 23

24 citetsgrænsen, men det er klrt urelistisk t ntge, t disse er ens or indenlndske og udenlndske roducenter. Det er således velkendt, t olieroduktionens omkostninger i en sndsynlig tlekolition omkring EU (Nordsøolien) er væsentligt højere end omkostningerne i x Mellemøsten. Imidlertid svækker dette orhold næe resulttet væsentligt, d det i givet ld vil være eicient t reducere roduktionen r elter i Nordsøen som noget det ørste hvilket neto er, hvd der vil ske, hvis Nordsøelterne blev ålgt en roduktionsskt. Antgelsen om, t oliemrkedet er krkteriseret ved Nsh-Cournotligevægt, er givet den mest kritiske. Nogle emiriske studier eger således å, t oliemrkedet bedst kn beskrives med OPEC-lndene eller Sudi Arbien som Stckelberg-leder. I vores nlyse onger Cournotdærden de bsle kvlittive orskelle mellem de to besktningsormer under imerekt konkurrence, men det kn ikke udelukkes, t en sekventiel trækstruktur i mrkedet vil kunne ændre å instrumenternes reltive omkostningseektivitet. Om end de to ørste orudsætninger giver nledning til, t vores resultterne skl tges med orbehold, er der ikke umiddelbrt grund til t tro, t en nlyse, der slækker å disse orudsætningerne, vil nå et væsentligt nderledes resultt. Derimod kn den ntgne trækstruktur å oliemrkedet være kritisk. Egentlige olicy-nbelinger orudsætter deror nlyser med mere komlekse modeller, der kn tge højde or den ræcise trækstruktur å oliemrkedet, smt t denne struktur bliver stlgt emirisk med tilstrækkelig sikkerhed. Med dette orbehold i mente eger vores nlyse dog å, t roduktionsbesktning kn være det oretrukne styringsmiddel ud r en globl betrgtning, smtidig med t dette instrumentvlg næe er det ortrukne or industrilnde, hvis de søger t mksimere egen velærd (ordi roduktionssktten ørst bliver ttrktiv, hvis et lnd eller en kolition lnde står or en betydelig del olieroduktionen). I givet ld giver dette en ny vinkel å diskussionen om Nordsøoliebesktningen, som indledte iret. Hvis dnsk CO 2 -olitik tilrettelægges ud r et globlt velærdskriterium, er der et hidtil overset miljørgument i orhold til besktning Nordsøolien (hvor rgumenterne hidtil udelukkende hr været iskle og ordelingsmæssige). Dette rgument kunne eventuelt begrunde en højere 24

25 besktning end den, der gælder i dg men nok mindst lige så vigtigt indikerer dette rgument ndre rincier or, hvordn sktten skl udormes, end dem, der er retningsgivende i dg. Lidt irkntet sgt hr et vigtigt hensyn ved udormning den nuværende oliebesktningen (j. Sttens tlen r eteråret 2003 med A.P. Møller og oliertnerne i DUC, se odnote 1) været t undgå t give (orvridende) incitmenter til t begrænse indvinding og eterorskning. Miljørgumentet vil imidlertid imlicere, t gitens ormål bør være t give neto sådnne incitmenter til t begrænse indvinding og eterorskning hensyn til miljøvirkningen. Et konkret eksemel herå er det sttslige medejerskb, der er tlt r Dette giver (ormodentligt) en sttslig indtægt, men uden t ændre de mrginle økonomiske incitmenter med hensyn til roduktionens størrelse. Dette er i tråd med det gældende ikke-orvridningshensyn. Miljørgumentet vil omvendt imlicere, t en højere roduktions- eller kulbrintebesktning, der tilskynder til t begrænse indvindingen, er t oretrække g. den der ølgende ositive globle miljøeekt. Hvis miljørgumentet i orhold til Nordsøolien holder, kn det tillige hve videre imliktioner or dnsk CO 2 -olitik og Dnmrks orhndlingsstrtegi i orbindelse med interntionle CO 2 -tler. I dg udoldes der ihærdige bestræbelser or t sikre, t lnde som USA og Jn indtræder i de interntionle CO 2 -tler. Hvis mn imidlertid r dnsk side ønsker t mksimere globl velærd, synes nlysen t ege å, t store olieroducenter (som x Sudi Arbien, Irn og Irk) er mere interessnte som tlertnere end store olieorbrugere som USA og Jn. Under lle omstændigheder eger vores nlyse å, t mulighederne or t remme billige CO 2 -reduktioner i udlndet gennem en ktiv udbudsolitik å energimrkederne kn udgøre et gnske ttrktivt lterntiv til den store og vnskelige indsts, der i dg udoldes i orhold til orskellige direkte åvirkningsmuligheder i orbindelse med x joint imlementtion. Selv om resultterne skl tges med orbehold, illustrerer den simle modelrmme, t der kn være et hidtil uågtet otentile or t øre CO 2 - olitik vi roduktionsbegrænsende tiltg rem or som hidtil gennem en orbrugsbegrænsende olitik. Artiklens rimære ormål er således t nsore til yderligere undersøgelse udbudsbserede styringsmidler i CO 2 - olitikken. Det kunne or eksemel være relevnt t nlysere en model 25

26 med en mere nunceret trækstruktur, der giver mulighed or modrektioner r omverdenen ved miljøolitiske tiltg. Her kunne både olieroducenter og olitiske beslutningstgere i ree rider-regionen introduceres som sillere og betydningen eventuelle symmetriske udenlndske rektioner å roducent- og orbrugsbesktning nlyseres. Endvidere hr vi i ovenstående model nlgt en enten-eller-betrgtning å besktning roduktion eller orbrug. Dette kunne rineres ved t studere den otimle kombintion de to instrumenter i en mere generel model med ikke-liniære unktionsormer. 26

27 Aendiks Bevis resultt 1: Fr (12), (14), og (15) hhv. (18), (19) og (20) smt r virksomhedernes ørsteordensbetingelse kn orholdet mellem globl velærdsændring og globl emissionsændring udtrykkes: dw de glo t = dw dt glo / de dt = b ( m + 1) e 2e P + og bm nb dw de glo τ = dw glo dτ de / = dτ b ( m + 1) e P + τ nb [ e ] ( m + 1) 2 m e ( m 1) Udtrykkene er ens i ligevægtene uden intervention med t = 0, henholdsvis τ = 0, hvor vi hr: dw de t glo t=0 = dw glo e c =. de τ τ =0 bm Betrgt nu udviklingen i orholdet mellem velærdsændring og emissionsændring or stigende reduktion i udsli ledt stigende skttestser. Vi ønsker t smmenligne de to instrumenter or ens emissionsændring. Ved dierentition de to udtryk med de resektive skttestser ås 27

28 dwglo dwglo d d de m t det de + α α = = dt de dt m m+ 1 dwglo dwglo d d deτ deτ de m = = dτ de dτ m + 1. og Emissionsændringen er d globlt dyrest, når den imlementeres vi orbrugsgiten, hvis orholdet mellem Idet t de dτ = m de dt α m hr vi d: dwglo d de t de og dwglo d de τ de er større end 1. m + α α m m+ 1 m > 1 m αm m + 1 m + α α m α med eller m + α α m > m m+ 1 αm m, som er ensbetydende m + 1 >, hvilket er sndt or α 1, mens lighed er gældende or 1 = 1. Desuden ølger, t orskellen mellem venstreside og højreside i uligheden og dermed orskellen i globl velærdsomkostning mellem de to instrumenter er ldende i. 1 1 < α Hermed er resultt 1 bevist. Bevis resultt 2: Den mrginle velærdsændring i tlelndene i orhold til en mrginl ændring i globl emission giver under de to instrumenter: de t m+ 1 e m +α 2α m = + [ bp] + e og bm bm n bm dw ( ) α 1 1 e m+ e m + e = + ( m + 1) τ + 2 de τ b nb nb dw ( ) ( ) I ligevægt uden intervention med t = 0, henholdsvis τ = 0, ås: 28

29 dw e 2m de bm m α = t t= 0 dw de e = 2 + 1,. bm og ( m mα ) τ τ= 0 Her ølger, t hvis 2 m m α < 2 m 1, + mα som er ensbetydende med α > 2 m / m 1, vil en initil mrginl reduktion være billigst, når den imlementeres vi en orbrugsgit. Det ses, t tlekolitionen skl roducere mindst hlvdelen olieudbudet, ør end en roduktionsgit kn blive ordelgtig or kolitionen. Betænker mn, t CO 2 -tle-kolitioner i rksis består vestlige industrilnde med begrænset olieroduktion, vil orbrugsgiten ltid være den oretrukne ved små gitsstser. Hvorvidt ordelen or orbrugsgiten består ved højere gitsstser, kn undersøges ved dierentition de to udtryk med hensyn til E. Hvis dwglo dwglo d d de t de τ <, vil velærdstbet ved yderligere CO 2 -reduktioner det deτ vokse lngsommere ved orbrugsgiten end ved roduktionsgiten, hvoror orbrugsgiten beholder sit orsring med hensyn til omkostningseektivitet. Ved nvendelse smme rocedure som ovenor ås, t dw d de ( 2 t m + α α m+ α m ) m + 1 = + det m m( m+ 1) bnm dw d de τ 2 m ( m m + 1) α m m + 1 = deτ m + 1 m + 1 bnm og hvorved ovennævnte betingelse bliver: 29

30 ( m+ α m ) ( ) m + α α 2 m+ 1 2m m m + 1 αm m+ 1 + < m m( m + 1) bnm m + 1 m + 1 bnm 2 ( m α ) ( m 1) α( m α 2m) m > 2m( m m + 1) αm αm ( ) m + 2m+ α + α α 2α m m > 2 m m + 1 α α m m m + 2 m+ (1 α) + α(1 α) 2αm > [ α] α [ ] ( m m)/ α α + 2m 2 2 m m m m m + 2m+ 1 α 2α m > 2m 2m + 2 α α m > ( m) ( α + 2 m) m Vi ser, t or store m (dvs. m ) er betingelsen ikke oyldt, og orbrugsgiten er deror ikke nødvendigvis den mest omkostningseektive or store gitsstser. Hvis m og α derimod er små (x hvis m=1 og α < 1 eller hvis m=2 og α < 1), ser vi, t betingelsen er oyldt, hvoror orbrugsgiten er mere omkostningseektiv også or store gitsstser. 2 30

31 Reerencer Alhjji og D. Heutner (2000): OPEC nd World Crude Oil Mrkets : Crtel, Oligooly or Cometitive?, The Energy Journl 21 (3). Anderson, K. og McKibbin, W.J. (2000): Reducing Col Subsidies nd Trde Brriers: Their Contribution to Greenhouse Gs Abtement. Environment nd Develoment Economics 5, Brrett, S. (1998): Politicl Economy o the Kyoto Protocol, Oxord Review o Economic Policy, Volume 14, No. 4. Bollen, J.; T. Mnders og H. Timmer (2000): Decomosing Crbon Lekge, Third Annul Conerence on Globl Economic Anlysis, June 27-30, Melbourne. Burniux, J.-M. og J. Olivier-Mrtins (1999): Crbon Emission Lekge: A Generl Equilibrium View ECO/WKP (2000)15, Economics Dertment Working Per No 242, Pris, OECD. Böhringer C. og T.F. Rutherord (2000): Decomosing the Costs o Kyoto: A Globl CGE Anlysis o Multilterl Policy Imcts, Per resented to the Tenth Annul Conerence o the EAERE, Crete. Coelnd, B.R. og M.S. Tylor (1997): A Simle Model o Trde, Citl Mobility, nd the Environment, NBER Working Per Cmbridge. Fisher, A.C. (1981): Resource nd Environmentl Economics, Cmbridge: Cmbridge University Press. 31

32 Grossmn, G.M og A.B. Krueger (1991): Environmentl Imcts o North Americn Free Trde Agreement, Cmbridge NBER Working Per. Hoel, Michel (1996): Should crbon tx be dierentited cross sectors? Journl o Public Economics 59, IEA, Interntionl Energy Agency (2001): Monthly Oil Mrket Reort (Juni 2001). Kr, L. (1984): Otimlity nd Consistency in Dierentil Gme With Nonrenewble Resources, Journl o Economic Dynmics nd Control, 8, side Kr, L. og D. Newberry (1993): Intertemorl Consistency Issues in Deletble Resources, i: A.V: Kneese, J.L. Sweeney (eds.), Hndbook o Nturl Resource nd Energy Economics Vol III, North Hollnd, Amsterdm. Kuik, O. og R. Gerlgh (2003): Trde liberliztion nd Crbon Lekge, The Energy Journl, Vol. 24, No. 3. Liski, M og O. Thvonen (2004): Cn Crbon Tx Et OPEC's rents?, Journl o Environmentl Economics nd Mngement 47, side Munksgrd, J. og K.A. Pedersen (2001): CO 2 ccounts or oen economies: roducer or consumer resonsibility? Energy Policy 29, Newberry, D.M.G. (1981): Oil Prices, Crtels, nd the Problem o Dynmic Inconsistency, The Economic Journl, 91, Pltzev, S.V. (2001): The Kyoto Protocol: Regionl nd Sectorl Contributions to the Crbon Lekge, The Energy Journl 22(4), Pindyck, R.S. (1978): The Otiml Exlortion nd Production o Nonrenewble Resources, Journl o Politicl Economy, 86,

33 Slnt, S.W. (1976): Exhustible Resources nd Industril Structure: A Nsh-Cournot Aroch to the World Oil Mrket, Journl o Politicl Economy, 84, Stiglitz, J.E. (1976): Monooly nd The Rte o Extrction o Exhustible Resources, Americn Economic Review, Stiglitz, J.E. og P. Dsgut (1982): Mrket Structure nd Resource Deletion: A Contribution to the Theory o Intertemorl Monoolistic Cometition, Journl o Economic theory, 28, Thvonen, O. (1995): Interntionl CO 2 Txtion nd the Dynmics o Fossil Fuel Mrkets, Interntionl Tx nd Public Finnce 2, side Thvonen, O. (1996): Trde with Polluting Nonrenewble Resources, Journl o Environmentl Economics nd Mngement 30, side Wirl, F. (1995): The Exloittion o Fossil Fuels under the Thret o Globl Wrming nd Crbon Txes; Dynmic Gme Aroch, Environment nd Resource Economics 5, side Wirl, F. og E. Dockner (1995): Levithn Governments nd Crbon Txes: Costs nd Potentil Beneits, Euroen Economic Review 39, side Weynt, J.P. (ed.) (1999): The Costs o the Kyoto Protocol: A Multi Model Evlution, The Energy Journl, secil issue. 33

34 34

35 Summry CO 2 Policy nd Energy Production Txes reliminry study Issued November 2004 by Lrs Gårn Hnsen og Niels Nnneru This er resents reliminry study o the scoe or romoting lowcost CO 2 reductions in other countries through n ctive suly-side olicy in the energy mrkets. The rincil inding o the study indictes tht, rom globl ersective, regultion tht ims t limiting oil roduction my be more cost-eective mens o control thn trditionl demnd-limiting inititives. It is however imrobble tht grou o countries centred on the EU tht hd entered into CO 2 greement would reer this mens o control, i the choice were to be bsed on tht colition s own interests lone. Although one should be cutious bout drwing hrd nd st inerences, the indings o the resent er should encourge urther exmintion o suly-side mens o control in the re o CO 2 olicy-mking. We do not know o other studies in the climte debte tht hve the sme ocus. Nor hs the environmentl rgument ut orwrd in the er been discussed in the Dnish debte bout higher txtion o North Se oil. 35

36 Noter 1. En beskrivelse tlen kn indes å energistyrelsens hjemmeside: under unktet»olie og gs«. 2. D Nordsøolieroduktionen udgør en ikke ubetydelig ndel den smlede verdensroduktion (or tiden 12-13% iølge IEA (2001)), er udbudsbegrænsning en reel olitikmulighed or EU i orbindelse med interntionle CO 2 -tler. 3. Nettovirkningen det ldende indenlndske og stigende udenlndske udbud energiintensive vrer er dog ikke entydig. 4. En række lnde vil som ølge Uruguy-rundens liberlisering oleve ldende energiriser å grund reduktion imorttrier å energi. 5. Hertil kommer en orøgelse CO 2 -mission å 5,3% hos lnde, der er med i Kyototlen uden t hve en bindende orligtigelse, de såkldte Annex-Ib-lnde, som rimært er østeuroæiske ntioner og de tidligere sovjetstter. Smlet ås således iølge Kuik og Gerlgh (1993) en lækge å over 20% Kyoto-tlens reduktionsorligtigelse. 6. En undtgelse er Burniux og Oliveir-Mrtins (1999), der inder, t økonomisk ineiciens i miljøolitikken i de reducerende lnde i høj grd åvirker lækgen i ree riderlnde. Således vil x indørelse et omsætteligt kvoterogrm blndt Kyoto-tlens stter kunne bidrge til en væsentligt lvere lækge. Dette indikerer, t komositionseekten dominerer i dette studie. 7. Denne littertur udsringer r bl.. Slnt (1976) og Newberry (1981). Kr (1984) og Kr og Newberry (1993), viser t tgerlnde vi giter kn åvirke købskrtellets»ressourcerente«(overroit) r energiudvindingen. Senere rtikler (x Thvonen (1995, 1996), Wirl (1995), Wirl og Dockner (1995) og Liski og Thvonen (2004)) hr med bggrund i dette resultt (og under orskellige orudsætninger med hensyn til udvindingsomkostninger, besktning og olitisk»commitment«) nlyseret, hvordn OPEC-lndene med det ormål t øge ressourcerenten med ordel kn regere strtegisk å en interntionl CO 2 -besktning energi. Aledt her beskrives det or tgerlndene otimle design besktningen over tiden. Ud over selve ressourceroblemet tger disse rtikler således, som nærværende rtikel, højde or mrkedsrektioner i nlysen otiml energibesktning. Denne littertur ignorerer dog helt vort okus: velærds- og miljøimliktionerne eksistensen ree rider-lnde uden åtget CO 2 - begrænsning. 8. Der indes et r teoretiske studier komositionseekten. Coelnd og Tylor (1997) viser, t hvis energi og kitl er komlementære, vil øget rihndel kunne mindske orureningen i»ree rider«-regionen idet rihndel i deres model ører til øget roduktion orurenende kitlintensive goder i de regulerede lndene, mens ree riderlndene øger roduktionen rene rbejdskrtintensive goder. Hoel (1996) oererer 36

37 med vrierende energiintensivitet i industrisektorer og viser, t det kn være globlt velærdsorøgende, t tlelnde dierentierer en CO 2 -skt mellem sektorer or derved t reducerer komositionslækge. Endelig hr de ledte CO 2 -virkninger imorteret vreorbrug (x elimort) været nlyseret i lere emiriske dnske bidrg (se bl.. Munksgrd og Pedersen, 2001). Der eges å, t CO 2 -virkningen en olitik, der reducerer dnsk roduktion energiintensive vrer, vil være begrænset, hvis den dnske etersørgsel eter de ågældende vrer oretholdes og tilredsstilles gennem øget udenlndsk roduktion. I stedet or regulering roduktionen oreslås regulering orbruget or derved t undgå komositionslækge. 9. Den otimle udnyttelse ikke-ornybre ressourcer er orindeligt nlyseret i dynmiske modeller med mere simle mrkedsstrukturer som uldkommen konkurrence og monool og under diverse komliktioner, hvd ngår teknologi, udvindingsomkostninger og orskellige ormer or usikkerhed mv. Her kn nævnes Stiglitz (1976), Pindyck (1978), Fisher (1981) og Stiglitz og Dsgut (1982). Se odnote 7 or dynmiske modeller med uuldkommen konkurrencestruktur. 10. Imlicit ntges således i nlysermmen, t en såkldt bcksto-teknologi (der under den givne regulering introducerer en erekt substitut or olie til dennes mrkedsris) orventes t være tilgængelig å mrkedet, inden selve kcitetsroblemet or ressourcen or lvor vil åvirke mrkedsrisen. 11. Bl.. bidrger Alhjji og Heutner (2000) med emirsk evidens heror. Stckelberg strukturen indgår også i mnge teoretiske nlyser energimrkedet 12. Velærdsændring i orhold til emissionsændring svrer til en omkostnings-eektnlyse som rioriteringsmetode. Det ntges, t en beslutningstger mksimerer globl/indenlndsk velærd under en bindende bibetingelse, der ngiver et mksimum or globlt CO 2 -udsli, dvs.: Mx W u.b.b. E E. Fr ørsteordensbetingelsen or dette roblem ses, t lgrnge-multiliktoren λ = dw/dt / de/dt. Denne kn ortolkes som skyggerisen å velærd ved en mrginl strmning restriktionen, og det mest omkostningseektive instrument bliver d den gitsorm, der hr lvest omkostning (velærdsskyggeris) til et givet E. 37

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Det dobbelttydige trekantstilfælde

Det dobbelttydige trekantstilfælde Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med

Læs mere

Eksemplificering af DEA-metodens vægtberegning

Eksemplificering af DEA-metodens vægtberegning nlyseinstitut for Forskning Finlndsgde DK-800 rhus N Tel + 89 9 Fx: + 89 99 Mil: fsk@fsk.u.dk Web:.fsk.u.dk Eksemplificering f DE-metodens vægtberegning Peter S. Mortensen Kmm Lngberg Crin Sponholtz Nott

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Projekt Det udelukkede tredjes princip

Projekt Det udelukkede tredjes princip ISBN 978 87 7066 87 9 Projekter: Kitel 10 Projekt 10.11. Det udelukkede tredjes rinci Indhold Indirekte beviser... Eksemel 1. Bevis for t ikke kn skrive som en brøk, dvs er inkommensurbel med tllet 1...

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

ANALYSE 1, 2015, Uge 2

ANALYSE 1, 2015, Uge 2 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Bæreevne af Wirebokse i elementsamlinger - Kalibrering af partialkoefficienter

Bæreevne af Wirebokse i elementsamlinger - Kalibrering af partialkoefficienter Bæreevne Wirebokse i elementsmlinger - Klibrering prtilkoeiienter Udrbejdet : Proessor John Dlsgrd Sørensen Adjunkt Henrik Brøner Jørgensen Dto: ugust 2016 Smmentning Dette nott beskriver undersøgelser

Læs mere

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6 Side f Betonelementforeningen Vibrtionskomfort i dækkonstruktioner Bernt Suikknen COWI A/S,. udgve. Oktober 00. Indledning Komfortkriterier Lstmodel Konstruktionsmodeller 5. Generliseret system 5. Betonelementdæk

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2 Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Implicit differentiation Med eksempler

Implicit differentiation Med eksempler Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Analyse af varegrupper i det kommunale indkøb

Analyse af varegrupper i det kommunale indkøb Anlyse f vregrupper i det kommunle Afrpportering 16. jnur 2008 Fortroligt Frederiksgde 21, st. 1265 Københvn K Indholdsfortegnelse Anlyse f vregrupper i det kommunle 1. INDLEDNING OG OPSUMMERING... 3 2.

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

K9-K10 projekter i strukturel mekanik

K9-K10 projekter i strukturel mekanik April 2006 K8 Studerende K9-K10 projekter i strukturel meknik K8-studerende med interesse i t lve K9 eller K10 projekter inden for områderne Strukturel dynmik og erodynmik f store konstruktioner Aeroelsticitet,

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 23. novemer 20 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Valg mellem forbrug og fritid og modelleringen af timebeslutningen

Valg mellem forbrug og fritid og modelleringen af timebeslutningen Dnmrks Sttistik MODELGRUPPEN Arbejdsppir[Udkst] Morten Werner og Rsmus H. Mdsen 25. november 2003 Vlg mellem forbrug og fritid og modelleringen f timebeslutningen Resumé: I ppiret udvides modellen for

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

kompositkonstruktioner

kompositkonstruktioner Ingeniørhøjskolen i Århus Bygningsteknik Bygningsdesign Nott om kompositkonstruktioner BK401 Jnur 2009 Peter Ehlers Lrs Germn Hgsten Indledning Eurocode 4, Kompositkonstruktioner, bygger videre på og henviser

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Bruun-Petersen, J.: Det brune grundvand i Ribe amt. Dansk geol. Foren., Årsskrift for 1987-89, side 103-107, København 15. januar 1990.

Bruun-Petersen, J.: Det brune grundvand i Ribe amt. Dansk geol. Foren., Årsskrift for 1987-89, side 103-107, København 15. januar 1990. et brune grundvnd i Ribe mt JENS BRUUN-PETERSEN GF Bruun-Petersen, J.: et brune grundvnd i Ribe mt. nsk geol. Foren., Årsskrift for 1987-89, side 103-107, Københvn 15. jnur 1990. Ground-wter from deep

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen

Læs mere

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S bc Resultt f fornlysen vedrørende en reduktion f den dnske stts ktiepost i Post Dnmrk A/S Mj 2003 Vigtigt Oplysningerne i dette dokument er uddrg fr eller bseret på oplysninger, som NM Rothschild & Sons

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Generatorstyring SEKTOR FOR INFORMATIONS - OG ELEKTROTEKNOLOGI INGENIØRHØJSKOLEN ODENSE TEKNIKUM PROJEKTRAPPORT FOR 4. SEMESTER STÆRKSTRØM

Generatorstyring SEKTOR FOR INFORMATIONS - OG ELEKTROTEKNOLOGI INGENIØRHØJSKOLEN ODENSE TEKNIKUM PROJEKTRAPPORT FOR 4. SEMESTER STÆRKSTRØM Genertorstyring SEKTOR FOR INFORMATIONS - OG ELEKTROTEKNOLOGI INGENIØRHØJSKOLEN ODENSE TEKNIKUM PROJEKTRAPPORT FOR 4. SEMESTER STÆRKSTRØM EFTERÅRSSEMESTER 3 KURSUSKODE E-RED1 STAMHOLD 4EP GRUPPE A PROJEKTPERIODE

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p + x) + p 2 f (p 2 x). Først ser vi t hvis x = p p 2 så får vi og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p 2 ) + p 2 f (p ) (p 2 p ) (f (p 2 ) f (p )), hvilket viser

Læs mere