Projekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet

Transkript

1 Hvd er tetik? C ISBN Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl. x E udvidelse f otesbegrebet, så et udtryk so er defieret for lle reelle tl x, kræver i virkelighede, t vi hr styr å defiitioe f de reelle tl. Det får vi først å A iveu. Me vi k gå et lgt stykke f veje og få e god.7 foreelse for, hvorfor vi ku hr et bestet vlg, år vi fx vil defiere, hvd vi forstå ved. Dette rojekt er således et ekseel å, hvord tetik obygges: Det er et lille ksiotisk deduktivt forløb, hvor vi er ohyggelige ed defiitioer, ed beviser, og hvor vi i hvert tri ku udytter hvd vi hidtil hr bevist. Vi strter ed de turlige tl.. Poteser og otesregler for de turlige tl Defiitio: Poteser For lle tl, og lle turlige tl defieres:... (å højre side står der i lt ' er ) Ekseel: Bevis for de otesregeregler for de turlige tl Geerelle forel Ekseel 8. Bevis for (ggereteser k sættes og hæves so vi fordi ggereteser k sættes og hæves so vi øsker): øsker: (... ) (... ) 'er 'er (... ) + 'er Forudsætiger: Ige, gælder for lle,,. Bevis for (vi k forkorte brøker, år tæller og æver er skrevet so rodukter): ( ) 'er (... ) 'er ( ) 'er Forudsætiger: og. ( ) Bevis for (ggereteser k sættes og hæves so vi øsker): ( ) (... ) ' er (... ) (... )... (... ) 'er 'er 'er reteser ( ) i lt er ' Forudsætiger: Ige, gælder for lle,, 8 ()() 7 L&R Uddelse A/S Voggergde DK 48 Købehv K Tlf: 4 Eil: ifo@lru.dk 4. b b Bevis for 4 (brøker gges se ved t gge tæller ed tæller, æver ed æver): (... ) 'er... b ( bb... b) b'er b b b brøker b Forudsætiger: b 4 fordi vi k forkorte brøker, år tæller og æver er skrevet so rodukter: fordi ggereteser k sættes og hæves so vi øsker: ()() fordi brøker gges se ved t gge tæller ed tæller, æver ed æver:

2 Hvd er tetik? C ISBN Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet. b b, 4 (, 4) Bevis for (ggereteser k sættes og hæves so vi øsker, og ultiliktio er kouttiv, så vi k bytte o: bb): b (... ) 'er ( bb... b) b'er (... bb... b) 'er og b'er ( b ) ( b )...( b ) b reteser Forudsætiger: Ige, gælder for lle,b, fordi ggereteser k sættes og hæves so vi øsker, og fordi ultiliktio er kouttiv (dvs: vi k bytte rudt:,4 4, ) :,4 (,,,,,) (44444),,,,,44444 (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) (,4). Udvidelse f otesbegrebet, så lle rtiole tl k otræde so eksoet (De rtiole tl er lle brøker, so fx. I et rojekt i kitel 7 beviser vi, t ægde f lle brøker 7 svrer til ægde f lle deciltl, der ete er edelige, so tllet,4 eller er eriodiske so tllet: Tl so og π er ikke rtiole, de otler vi i fsit ). I rojekt. geeføres et rguet for udvidelse f otesbegrebet ud fr e betrgtig f det øster so otesere teger og e geerliserig f dette. Her vil vi gå e de vej: Vi vil rguetere for, t hvis vi øsker t otesreglere skl være let gyldige, dvs. også gælde for de ye oteser, vi defierer, så er der ku é ulighed for dee udvidelse. Vi vil secielt hve fokus å de første f otesreglere... Tilfældet =. Hvilke værdi skl vi tillægge tllet? Vi tger først, t For et vilkårligt tl skl der ifølge første otesregel gælde: er e ukedt størrelse, hvis værdi vi er i færd ed t fstlægge. Ld os klde for x. Så er ligige ltså: x, hvorf vi får: x Koklusio: Hvis otesreglere skl gælde, er vi ødt til t fstlægge værdie f x til. For ikke t hve udtgelser fr regle vælger vi, t dette også skl gælde år : Defiitio f For ethvert tl fstlægger vi:. Tilfældet = egtivt helt tl. Hvilke værdi skl vi tillægge, hvor er et turligt tl? For et vilkårligt skl der ifølge første otesregel gælde: Me hr vi lige fstlgt til t være, så ligige er: er e ukedt størrelse, hvis værdi vi er i færd ed t fstlægge. Ld os klde for x. Så er ligige ltså: x Vi øsker t isolere x, ved t dividere ed. Derfor ser vi u, t vi å tge. Gør vi det, får vi: 7 L&R Uddelse A/S Voggergde DK 48 Købehv K Tlf: 4 Eil: ifo@lru.dk

3 Hvd er tetik? C ISBN Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet x Koklusio: Hvis otesreglere skl gælde, er vi ødt til t fstlægge værdie f og, til t være. x, hvor er et turligt tl Defiitio f For ethvert tl, og ethvert turligt tl fstlægger vi: Beærkig: Forle er også korrekt, hvis er et egtivt tl. Ld os fx røve ed = 7: ( 7) 7 Vestre side:, g. fortegsreglere Højre side: Gør selv rede for, hvilke regeregler vi hr udyttet i oskrivigere f højre side. Alt i lt ser vi, t vestre side og højre side er es. Så år vi veder defiitioe f, behøver vi ikke tge t er ositiv... Tilfældet. Hvilke værdi skl vi tillægge? Ifølge første otesregel skl der gælde:, eller: er e ukedt størrelse, hvis værdi vi er i færd ed t fstlægge. Ld os klde xx, eller: x D x ser vi, t dette også å gælde for. Dvs k ku defieres for. Hvis dette er ofyldt, dvs, så er løsige å ligige x : x for x. Så er ligige ltså: Koklusio: Hvis otesreglere skl gælde, er vi ødt til t fstlægge værdie f x, hvor, til ete eller. Hvis vi skl udgå udtgelser fr de forskellige regler, er vi ødt til t vælge de ositive: Defiitio f For ethvert tl fstlægger vi: Arguet for, t vi ikke kue hve vlgt det egtive tl : Vi øsker t foretge udvidelse, så der ikke skl være udtgelser fr vores defiitioer, og således t lle otesreglere bliver ofyldt. Ld os sige, vi hvde vlgt de egtive løsig, så ekseelvis: Så ville vi ifølge regel r hve: Me 4 giver ige eig ide for de reelle tl. Dvs vi ville ikke kue give eig til 4, hvilket strider od hele vores rojekt ed udvidelse f otesbegrebet. 7 L&R Uddelse A/S Voggergde DK 48 Købehv K Tlf: 4 Eil: ifo@lru.dk

4 Hvd er tetik? C ISBN Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Dette er også forklrige å de idledede tgelse o, t tllet er ositivt..4. Tilfældet eksoete = vilkårlig stbrøk,. Hvilke værdi skl vi tillægge? Øvelse Geefør selv rgueter å lije ed ukt, og rgueter for følgede defiitioer: Defiitio f For ethvert tl fstlægger vi: Defiitio f For ethvert tl fstlægger vi:. Tilfældet, hvor og er hele tl,. Hvilke værdi skl vi tillægge? For vilkårlige tl og, hvor skl der ifølge. otesregel gælde:, eller skrevet i e de rækkefølge: Me de to højresider f dette udtryk er jo begge defierede ovefor, så derfor hr vi:, og: Defiitio f For ethvert tl fstlægger vi: eller skrevet å e de åde: Ekseel: ) , og 7 7 Du k kotrollere, t de to tl fktisk er es. ) Et edeligt deciltl, so,9 k ltid skrives so e brøk: 9,9.,9 9 9 Derfor hr vi: Kotroller å dit værktøj, t det k udrege,9 9, og t resulttet er eto 7 L&R Uddelse A/S Voggergde DK 48 Købehv K Tlf: 4 Eil: ifo@lru.dk

5 Hvd er tetik? C ISBN Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet.. Tilfældet r, hvor r er et vilkårligt ositivt reelt tl. Hvilke værdi skl vi tillægge r? π Svret å dette sørgsål skl fx give eig til et udtryk so. Dette sørgsål fører os id i, hvd egetlig et reelt tl er. På A iveu fordyber vi os i dette ret vskelige roble. Me koklusioe er, t ethvert reelt tl k skrives so et uedeligt deciltl, og t det k ofttes so e græseværdi for lle de edelige deciltl, der frekoer ved t tge først heltlsdele, så et ciffer ed efter koet, så to, så tre osv i det uedelige. For tllet π er dee række f tl:,.,.4..4,.4, Og for hver f disse deciltl hr vi lige set, t oteser so giver god eig. π Når vi udreger lle disse oteser, vi de kovergere od et bestet tl. Dette tl defierer vi so. M k også sige, t hvis vi i et koorditsyste ville idtege x, for lle rtiole tl x, så ville det se ud so e sehægede grf, fordi de rtiole tl ligger tæt overlt å tllije. Me der er huller, fordi de fleste tl i virkelighede ikke er rtiole. Vores defiitio f x gør iidlertid ræcis det, t de fylder hullere ud, så grfe bliver sehægede. Dered er otesbegrebet udvidet til lle ositive tl. 7 L&R Uddelse A/S Voggergde DK 48 Købehv K Tlf: 4 Eil: ifo@lru.dk