Matematik H1. Lineær Algebra

Transkript

1 Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August

2 ii 3 oplag, juni 5

3 Forord Gennem en særlig aftale varetages undervisningen i matematik på erhvervsøkonomimatematikstudiet ved Handelshøjskolen i København af Matematisk Afdeling, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Denne undervisning består af to kurser, Matematik H og Matematik H, der følges på henholdsvis første og andet år af studiet Matematik H er opdelt i to dele, nemlig et kursus i lineær algebra og et kursus i matematisk analyse Nærværende notesæt udgør det skriftlige materiale til kurset i lineær algebra Det er beregnet til et halvt års studier med forelæsningstimer, øvelsestimer samt en skriftlig aflevering om ugen Sættet består af forelæsningsnoter, 35 hjemmeopgaver, 46 øvelsesopgaver og en samling af blandede opgaver I forelæsningsnoterne er der lagt vægt på en stringent gennemgang af matematikken Det betyder, at alle definitioner er omhyggeligt og præcist givet, og der bliver ført bevis (argumenteret) for langt de fleste påstande Formålet med at give disse beviser er først og fremmest, at det er gennem arbejdet med dem (naturligvis forenet med øvelsesregning), at den dybe forståelse nås Men formålet er også at præsentere den videnskabelige matematiske metode Det er formålet med de fleste videnskaber at finde frem til sandheder, men matematik adskiller sig ved at kræve absolut sandhed I matematik kan et udsagn ikke være nogenlunde rigtigt I andre teorier, som feks økonomi, ville et sådant krav være absurd; hvis bare virkeligheden beskrives godt (efter en given målestok) betragtes teorien som værende sand Det er efter min mening vigtigt, når man arbejder med matematisk økonomi, at man behersker metoderne fra begge områder, således at man kan overskue hvad der er sandt i hvilken forstand Som regel præsenteres beviserne med mange detaljer, men det er, som med al matematisk læsning, alligevel nødvendigt at læseren hele tiden stopper op og tænker hvert enkelt skridt igennem, før det næste tages Den matematiske sprogbrug er tit meget kortfattet, og der bruges en række faste vendinger, som det er helt afgørende at forstå den præcise betydning af (feks er hvis ikke det samme som hvis og kun hvis ) Det kan være en langsommelig, og af og til måske kedelig, proces, og det kan undervejs blive svært at se skoven for bare træer Forhåbentlig kan øvelser og forelæsninger her bidrage til at fremhæve de centrale (og smukke!) punkter i teorien I denne udgave af forelæsningsnoterne er der foretaget en hel del rettelser i forhold til tidligere, ligesom opgavesamlingerne er let reviderede Afsnittene 4, 5-6, 33, er omskrevet, og der er tilføjet en samling af blandede opgaver Forfatteren til notesættet, Niels Vigand Pedersen, afgik alt for tidligt ved døden i 995 Da det ikke har været muligt at finde filen med kildeteksten, har det været nødvendigt at genskabe kildeteksten (i LATEX) på grundlag af den seneste udgave (998) ved Henrik Schlichtkrull Overassistent Dita Andersen har ydet en forbilledlig indsats ved skrivning af manuskriptet København, juli Asmus L Schmidt iii

4 iv

5 Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n Matricer 6 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 6 5 Invers matrix 3 6 Transponeret matrix 6 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer 3 Række- og søjleoperationer 3 Trappematricer 3 3 Lineære ligningssystemer 35 4 Lineære ligningssystemer og lineære afbildninger 45 5 Operationsmatricer 46 6 Regulære matricer Matrixinversion 49 3 Determinanter 55 3 Determinant af -matrix 55 3 Determinant af 3 3-matrix Permutationer Determinant af n n-matrix Cramers formler Determinant og invers matrix Udvikling af determinant 69 4 Vektorrum 7 4 Definition af vektorrum; eksempler 7 4 Lineære afbildninger; isomorfi 7 43 Endeligdimensionale vektorrum; basis Underrum Lineær afhængighed; lineær uafhængighed 8 46 Udtyndingsalgoritmen; udvidelsesalgoritmen Direkte sum af underrum Rang; dimensionssætningen 9 v

6 Indhold 5 Vektorrum og matricer 94 5 Koordinattransformationer 94 5 Lineære afbildninger og matricer Lineære afbildninger og koordinattransformationer Determinant af endomorfi 6 Diagonalisering af matricer 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer 6 Betydningen af rodmultipliciteterne 9 63 Betydningen af egenværdimultipliciteterne 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser 7 Vektorrum med skalarprodukt 6 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering 6 7 Ortogonale matricer 73 Ortogonalprojektion 74 Diagonalisering af symmetriske matricer 3 75 Kvadratiske former 8 Appendiks 33 A Mængder 33 A Afbildninger 33 A3 Bevis for Sætning Det græske alfabet 37 Hjemmeopgaver 38 Øvelsesopgaver 48 Blandede opgaver 85 Stikord 9 vi

7 Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n De naturlige tal betegnes med N og de reelle tal betegnes med R (jvf A) Lad n være et naturligt tal Mængden af alle n-talsæt x (x,,x n ), hvor x,,x n er reelle tal, betegnes med R n Vi kalder også x for en vektor i R n Tallene x,,x n kaldes koordinaterne for vektoren x Det er ofte bekvemt at skrive x (x,,x n )somenn-talsøjle x x Denne dobbelttydige skrivemåde er kendt fra regning ( ) med (koordinater for) vektorer x i planen, der jo betegnes både med feks (x, y) og y For en vektor x n x x x n i R n og et tal λ R defineres vektoren λx ( x multipliceret med λ ) ved λx λx λx n Med x betegner vi vektoren ( )x, altså x x x n

8 Lineære afbildninger og matricer For to vektorer x y x, y i R n defineres vektoren x + y ( summen af x og y ) ved x + y x + y x n + y n Med x y betegner vi vektoren x +( y), altså x y x y x n y n x n Med disse definitioner af x og x y opnås, at vi kan regne med minustegn på sædvanlig måde Et udtryk af formen λx + µy kaldes en linearkombination af x og y Eksempel Hvis vektorerne x og y er givet ved x 3, y 4 er x + y Nulvektoren o i R n defineres ved o y n En vektor x R n, der ikke er nulvektoren, kaldes en egentlig vektor Vi har nu defineret to operationer på vektorer i R n, nemlig multiplikation af en vektor med et tal (skalarmultiplikation) og dannelse af to vektorers sum (addition) Om disse operationer gælder følgende regneregler, der i tilfældet n er bekendte fra regning med (koordinater for) vektorer i planen 5 3 6

9 Talrummene R n Sætning (Regneregler for vektorer i R n ) For vilkårlige vektorer x, y, z i R n og vilkårlige tal λ, µ i R gælder: V: (x + y)+z x +(y + z) V: x + o x V3: x +( x) o V4: x + y y + x V5: λ(x + y) λx + λy V6: (λ + µ)x λx + µx V7: (λµ)x λ(µx) V8: x x Bevis Disse regneregler følger let af de tilsvarende regneregler for de reelle tal Vi nøjes med et par eksempler Lad x x x n,y y y n,z z være vektorer i R n Der gælder da: x + y z x + y + z (x + y)+z + x n + y n z n x n + y n + z n z n og x y + z x + y + z x +(y + z) + x n y n + z n x n + y n + z n Heraf ses, at (x + y)+z x +(y + z), altså er V opfyldt For feks at indse, at V5 er opfyldt skriver vi x + y λ(x + y ) λx + λy λ(x + y) λ x n + y n λ(x n + y n ) λx n + λy n 3

10 Lineære afbildninger og matricer og λx λy λx + λy λx + λy +, λx n λy n λx n + λy n hvoraf gyldigheden af V5 aflæses De øvrige regneregler bevises efter et tilsvarende mønster Den fælles værdi af (x + y)+z og x +(y + z) (regneregel V) betegnes x + y + z Den fælles værdi af (λµ)x og λ(µx) (regneregel V7) betegnes λµx Eksempel 3 Hvis vektorerne x, y, z er givet ved er For to vektorer x 3 4 x + y 3z,y i R n defineres skalarproduktet x y ved ,z 3 x y x,y x n y n x y x y + + x n y n, også betegnet n j x jy j Om skalarproduktet gælder følgende regneregler, der i tilfældet n er bekendte fra regning med skalarprodukt af vektorer i planen Sætning 4 (Regneregler for skalarprodukt) For vilkårlige vektorer x, y, z i R n og vilkårlige tal λ R gælder: S: (x + y) z x z + y z S: (λx) y λ(x y) S3: x y y x 9 4

11 Talrummene R n S4: x x S5: x x x o Bevis Regnereglerne S, S og S3 følger let af de tilsvarende regneregler for de reelle tal Vi nøjes derfor med et enkelt eksempel Lad x x x n,y y y n,z z være vektorer i R n Der gælder da: x + y z (x + y) z x n + y n z n (x + y )z + +(x n + y n )z n x z + y z + + x n z n + y n z n og z n x z + y z (x z + + x n z n )+(y z + + y n z n ) x z + y z + + x n z n + y n z n Heraf ses, at (x + y) z x z + y z, altså er S opfyldt Beviset for regnereglerne S og S3 følger et tilsvarende mønster Gyldigheden af S4 og S5 følger umiddelbart af, at x x x + + x n For en vektor x R n defineres længden af vektoren x som tallet x x x Denne definition giver mening da x x (S4) Vi bemærker, at x netophvis x o, ogat λx λ x for λ R, x R n En vektor x R n for hvilken x kaldes en enhedsvektor Hvisx R n er en egentlig vektor, da er vektoren y x x en enhedsvektor Vektoren y siges at være fremgået af x ved normering To vektorer x og y i R n siges at være ortogonale, hvis x y 5

12 Lineære afbildninger og matricer Eksempel 5 Hvis x, y er givet ved x 3 6,y 7 er og x y 7+( 3) +6 ( ) x +( 3) , y 7 + +( ) Vektorerne e,,e j j,,e n kaldes standard enhedsvektorerne i R n Der gælder, at e i oge i e j fori j Hvis x x er en vektor i R n gælder, at x n x x e + + x n e n, og at x j x e j Matricer En matrix er et rektangulært talskema af formen a a a n a a a n A a m a m a mn 6

13 Matricer Den i te række i A, der også betegnes A [i, ], er (a i a in ), og den j te søjle i A, der også betegnes A [,j], er a j a mj Tallet a ij står i den i te række og den j te søjle og betegnes også A [i, j] Matricen A har m rækker og n søjler, og består således af mn reelle tal Vi kalder også A for en m n-matrix Vi kan opfatte A som opbygget af nm-talsøjler, og omtaler a a a m,,a n som matricens søjlevektorer Denj te søjlevektor er a j a j a mj a n a mn En matrix, hvori alle elementer er lig kaldes en nulmatrix Nulmatricer betegnes eller m,n Eksempel En 3 -matrix ser således ud a a a a a 3 a 3 Eksempel Matricen ( ) hartorækkerogfemsøjler,ogeraltsåen 5-matrix Her er A [, ] ( ), ( ) A [, ], A [, 4] 8 5 7

14 Lineære afbildninger og matricer I stedet for at opskrive matricen A i et skema bruges også den kortere skrivemåde A (a ij ) i m, j n Som en forkortelse af dette udtryk skriver vi ofte kun A (a ij ) m,n og fremhæver, at dette sidste udtryk altså er ensbetydende med a a n A a m a mn En n n matrix a a n a n a nn kaldes også enkvadratisk matrix I en kvadratisk matrix siges a ij at stå idiagonalen dersom i j, oguden for diagonalen dersom i j En kvadratisk matrix, hvori alle elementer uden for diagonalen er lig kaldes en diagonalmatrix En diagonalmatrix hvori alle diagonalelementer er lig kaldes en enhedsmatrix Enhedsmatricer betegnes E eller E n,n, dersom man ønsker at fremhæve rækkeog søjleantal Enhedsmatricer har altså formen E Detses,atdenj te søjlevektor i E netop er den j te standard enhedsvektor i R n Eksempel 3 De følgende matricer er eksempler på diagonalmatricer: 3, 5, Den sidste af disse matricer er en enhedsmatrix 8

15 Matricer En kvadratisk matrix a a n A a n a nn kaldes en nedre trekantsmatrix hhv øvre trekantsmatrix dersom a ij for alle i og j med i<jhhv i>j En nedre trekantsmatrix hhv øvre trekantsmatrix er altså en matrix af formen a a a a n a a, hhv a a n a n a n a nn a nn Eksempel 4 De følgende matricer er eksempler på nedre trekantsmatricer: 3, 3 5,, 4 3 og de følgende matricer er eksempler på øvre trekantsmatricer: 3 3, 5, 3 En m -matrix har formen a a m eller blot a a m og kaldes en søjlematrix, ogen n-matrix har formen og kaldes en rækkematrix (a a n )ellerblot(a a n ) Detses,atvinuhartomåder på hvilken vi kan navngive en n-talsøjle x x n, 9

16 Lineære afbildninger og matricer nemlig x x x og X x n I første tilfælde kalder vi søjlen for en vektor, og i andet tilfælde kalder vi søjlen for en (søjle-)matrix Det er bekvemt at have disse to muligheder for navngivning af en søjle; det afhænger af sammenhængen hvilken man bruger, men vi vil i øvrigt ikke skelne skarpt mellem de to muligheder På samme måde som vi taler om en matrices søjlevektorer, taler vi om en matrices søjlematricer Matricerne E,,E n kaldes for standard enhedssøjlematricerne Er der givet en m n-matrix A og en m p-matrix B kan man danne en m (n + p)- matrix C ud fra A og B s søjler ved at opskrive B s søjler efter A s søjler Matricen C kaldes en blokmatrix med blokkene A og B og man skriver C (A B ) Tilsvarende kan man slå flere matricer sammen og opnå blokmatricer af formen ( ) A A A n Er specielt A,,A n søjlematricer med m elementer, er ( ) A A A n en m n-matrix, hvis j te søjlematrix er A j Er tilsvarende a,,a n vektorer i R m kan disse opfattes som søjlematricer, og vi benytter da også betegnelsen A ( a a n ) for den m n-matrix A,hvisj te søjlevektor er a j Eksempel 5 Hvis A 3 x n og B ,

17 3 Lineære afbildninger er og hvis er a ( ) A B,a ( ) a a a 3 a 4,a ,,a 4, 3 Lineære afbildninger Lad a a a n a a a n A a m a m a mn være en m n-matrix Til A knyttes en afbildning f : R n R m ved fastsættelsen x f x n a x + + a n x n a m x + + a mn x n Definition 3 En afbildning f : R n R m,derpå denne måde er knyttet til en m n-matrix A,kaldeslineær Eksempel 3 En lineær afbildning f : R R 3 har formen ( ) a x + a x x f a x x + a x a 3 x + a 3 x Eksempel 33 Afbildningen f : R 5 R givet ved x x ( f x 3 x 4 x +4x 3 7x 4 +3x 5 5x +5x +8x 4 +x 5 x 5 )

18 Lineære afbildninger og matricer er lineær, idet den er givet ved matricen ( Eksempel 34 En fabrik fremstiller to varer X og X under anvendelse af tre råvarer Y, Y og Y 3 Hvis der dagligt fremstilles x enheder af X og x enheder af X siger vi, at fabrikkens produktionssæt er (x,x ) Hvis fabrikken dagligt forbruger y enheder af Y, y enheder af Y og y 3 enheder af Y 3 siger vi, at fabrikkens forbrugssæt er (y,y,y 3 ) Om den pågældende produktion gælder, at 3 enheder af Y produktion af en enhed af X kræver enheder af Y enhed af Y 3 og produktion af en enhed af X kræver ) 5 enheder af Y 5 enheder af Y 3 enheder af Y 3 Der er da følgende sammenhæng mellem forbrugssæt og produktionssæt: y 3x +5x y x +5x y 3 x +3x Lader vi f : R R 3 betegne den afbildning, der til et produktionssæt (x,x ) knytter det tilsvarende forbrugssæt (y,y,y 3 )servi,at ( ) y 3x +5x x f y x x +5x, y 3 x +3x og dermed, at f er en lineær afbildning givet ved 3 -matricen Til en given m n-matrix A (a ij ) m,n knytter vi altså en lineær afbildning f : R n R m Viserat a a n f a,,f a n a m a mn

19 3 Lineære afbildninger Med andre ord har vi: Sætning 35 (Søjlereglen) Den j te søjlevektor i A er lig med billedet ved f af den j te standard enhedsvektor Af denne sætning fås umiddelbart: Sætning 36 En lineær afbildning f : R n R m er knyttet til netop en m n-matrix A Eksempel 37 Lad afbildningen f : R R være givet ved f ( ) ( x x + y y x y Vi vil undersøge, om denne afbildning er lineær Er f lineær, må den tilhørende matrix ifølge søjlereglen være ( ) A ) Men den til A hørende lineære afbildning g : R R er så g ( ) x y ( ) x + y x y Det ses umiddelbart, at afbildningerne f og g er forskellige, og derfor er f ikke lineær Idet a j betegner den j te søjlevektor i A kan Sætning 35 udtrykkes: a j a j a mj f(e j )a j, j n For en vektor x x x n 3

20 Lineære afbildninger og matricer i R n finder vi så følgende udtryk for f(x): x a x + + a n x n f x n a m x + + a mn x n a x a n x n + + a m x a mn x n x a a m + + x n a n a mn, altså f(x) x a + + x n a n Eksempel 38 Den lineære afbildning f fra Eksempel kan skrives x x f x 3 x 4 x x 5 ( 5 ) ( ) ( ) ( ) x + x x x 5 ( 3 Den identiske afbildning på R n, dvs den afbildning e : R n R n for hvilken e(x) x for alle x R n, er lineær, idet den er givet ved n n-enhedsmatricen E Sætning 39 Lad f : R n R m være en lineær afbildning Da gælder L: f(λx) λf(x) for alle x R n, λ R L: f(x + y) f(x)+f(y) for alle x,y R n Hvis omvendt f : R n R m er en afbildning, så L og L er opfyldt, da er f en lineær afbildning Bevis Antag først, at f er lineær, og lad A være den tilhørende m n-matrix Idet a,,a n betegner søjlevektorerne i A gælder for en vilkårlig vektor x x x n ) 4

21 3 Lineære afbildninger i R n,at Men da gælder f(x) x a + + x n a n λx λx λx n f(λx) λx a + + λx n a n λ(x a + + x n a n )λf(x) Dette viser, at L er opfyldt For at vise at L er opfyldt bemærker vi, at der for vilkårlige vektorer x y x,y gælder, at og derfor er x n y n x + y x + y, x n + y n f(x + y) (x + y )a + +(x n + y n )a n x a + y a + + x n a n + y n a n (x a + + x n a n )+(y a + + y n a n ) f(x)+f(y) Dette viser, at L er opfyldt Antag nu omvendt at f : R n R m er en afbildning, så LogLeropfyldtSæt a j f(e j ), lad A være m n-matricen A ( a a n ), og lad g : R n R m være den lineære afbildning, der er knyttet til A Der gælder g(x) x a + + x n a n x f(e )+ + x n f(e n ) f(x e )+ + f(x n e n ) (her benyttes L) f(x e + + x n e n ) (her benyttes L) f(x) Dette viser, at afbildningen f er lig med afbildningen g, og dermed at f er lineær 5

22 Lineære afbildninger og matricer Vi slutter med følgende Sætning 3 Hvis f : R n R m er en lineær afbildning knyttet til matricen A (a ij ) m,n gælder, at a ij f(e j ) e i, i m, j n Bevis Hvis a j a j a mj er den j te søjlevektor i A gælder, at a ij a j e i Men da a j f(e j )fås heraf, at a ij f(e j ) e i 4 Matrix algebra For matricer er der 3 regneoperationer: multiplikation med skalar, addition og multiplikation For a a n A a m a mn (a ij ) defineres For λa λa n λa (λa ij ) λa m λa mn a a n b b n A, B, a m a mn b m b mn hvor A og B begge er m n matricer, defineres a + b a n + b n A + B (a ij + b ij ) a m + b m a mn + b mn 6

23 4 Matrix algebra For a a p b b n A, B, a m a mp, b p b pn hvor A er en m p-matrix, og B er en p n-matrix, defineres C A B,somden m n-matrix c c n C c m c mn for hvilken c ij a i b j + + a ip b pj, i m, j n, eller anderledes udtrykt p c ij a ik b kj, i m, j n k Som det ses, er c ij lig med skalarproduktet af den i te række i A med den j te søjle i B, altså c ij (A B )[i, j] A [i, ] B [,j] Dette gør, at det er meget nemt at huske reglen for matrixmultiplikation Bemærk, at for at produktet A B skal være defineret skal antallet af søjler i A være lig med antallet af rækker i B Eksempel 4 Hvis er 3A A ( ( 3 4 ), B ), B ( ( 4 3 Eksempel 4 Hvis a a ( ) A a a b b og B b a 3 a b 3 er en 3 -matrix hhv -matrix er a b + a b a b + a b A B a b + a b a b + a b a 3 b + a 3 b a 3 b + a 3 b ), ) ( 8 7, 3A +B 6 ) 7

24 Lineære afbildninger og matricer Eksempel 43 Vi udregner et produkt af en 3-matrix og en 3 4-matrix Den resulterende matrix bliver en 4-matrix ( ) ( ) Sætning 44 For matrixregning gælder følgende regneregler: M: (A + B )+C A +(B + C ) M: A + A M3: A +( A ) M4: A + B B + A M5: λ(a + B )λa + λb M6: (λ + µ)a λa + µa M7: (λµ)a λ(µa ) M8: A A M9: λ(a B )(λa )B A (λb ) M: A (B + C )A B + A C M: (A + B )C A C + B C M: (A B )C A (B C ) Her er nulmatricen, og A ( )A den matrix, der fremgår af A ved at skifte fortegn for alle elementer i A Sidstnævnte matrix kaldes A s modsatte matrix Bemærk, at det er et krav, at operationerne i M-M skal være definerede Reglerne bevirker, at man stort set kan regne med matricer som med tal, men med en betydningsfuld forskel Der gælder normalt ikke A B B A Derfor må man ikke ændre på rækkefølgen af faktorerne i et matrixprodukt Derimod kan man udelade parenteser ved produkt af 3 eller flere matricer, hvilket er en konsekvens af den vigtige regel M, den såkaldte associative regel for matrixmultiplikation 8

25 4 Matrix algebra Bevis De første regneregler er alle simple at vise For at vise M indfører vi elementære matricer I j,k, hvordererpåplads(j, k) og ellers En vilkårlig m n-matrix A kan derfor skrives A j,k a jk I j,k, hvor alle de indgående elementære matricer er m n Der gælder åbenbart for elementære matricer (der kan multipliceres) { k m I j,k I m,n δ km I j,n, hvor δ km ellers (δ km defineret på denne måde kaldes ofte Kroneckers delta) Det følger nu, at ( ) (A B )C a jk I j,k b mn I m,n c rs I r,s j,k m,n r,s j,k m,n r,s A (B C ) ( ) a jk I j,k bmn I m,n crs I r,s a jk b mn c rs I j,k j,k j,k m,n r,s og derfor er (A B )C A (B C ), såfremt ( ) ( ) I j,k I m,n I r,s I j,k I m,n I r,s Af reglen for produkt af elementære matricer følger, at ( ) I j,k I m,n I r,s δ km I j,ni r,s δ km δ nr I j,s, ) I I I j,kδ nr I m,s δ nr I j,ki m,s δ nr δ km I j,s, j,k ( m,n I r,s og det viser det ønskede Lad f : R n R m være en lineær afbildning knyttet til m n-matricen a a n A a m a mn ) a jk b mn c rs (I j,k I m,n I r,s, ( I m,n I r,s ), 9

26 Lineære afbildninger og matricer Dergælderda x a x + + a n x n f x n a m x + + a mn x n Hvis vi skriver vektorer i R n som søjlematricer x X x n ( ) kan ( ) udtrykkes ved hjælp af matrix multiplikation på følgende måde: eller mere udførligt f(x )A X, x a a n x f x n a m a mn x n Vi skal nu se, at matrix multiplikation hænger nøje sammen med sammensætning af lineære afbildninger Først et eksempel: Eksempel 45 Lad de lineære afbildninger f : R R 3 hhv g : R R være givet ved matricerne ( ) A, hhv B 3 3 Vi vil beregne den sammensatte afbildning h f g : R R 3 Der gælder ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x + x h f g f(g )f x x x x + x (x + x ) ( x + x ) 4x x (x + x )+ ( x + x ) 4x +x 3 (x + x )+3 ( x + x ) 3x +6x Vi ser altså at den sammensatte afbildning h f g er lineær, og at den er givet ved 3 -matricen 4 C Ved udregning ses, at C A B

27 4 Matrix algebra Sætning 46 Lad f : R p R m og g : R n R p være lineære afbildninger Den sammensatte afbildning h f g : R n R m er da ligeledes lineær Hvis f svarer til m p-matricen A og g svarer til p n-matricen B,dasvarerh f g til m n-matricen C A B Bevis Da f : Y A Y, g : X B X er f g : X A (B X )(A B )X,idetvibenyt- ter den associative regel for matrixprodukt Men heraf følger, at f g er den lineære afbildning, der svarer til matricen A B Sætning 47 Idet A er en m n-matrix gælder E m,ma A E n,n A Bevis Dette ses ved en simpel udregning, men følger også umiddelbart ved at opfatte A og E m,m hhv E n,n som matricer for lineære afbildninger For en n n-matrix A og et naturligt tal k defineres den k te potens af A k af A ved A k A A (k faktorer ) Specielt bemærkes, at A A Vi bemærker, at matrixproduktet ikke er kommutativt, idetderforton n-matricer A og B i almindelighed gælder, at A B B A For diagonalmatricer er matrixmultiplikation særlig overskuelig Hvis A λ og B µ λ n µ n er A B λ µ λ n µ n Eksempel 48 Vi ser igen på fabrikkenfraeksempel34råvarerne Y, Y og Y 3 fremstilles af fabrikken selv ud fra to andre råvarer Z og Z Om denne produktion gælder, at { enhed af Z produktion af en enhed af Y kræver, enhed af Z

28 Lineære afbildninger og matricer og og produktion af en enhed af Y kræver produktion af en enhed af Y 3 kræver { 4 enheder af Z 3 enheder af Z, { enheder af Z enheder af Z Ved denne produktion beskrives den fremstillede mængde af varerne Y, Y og Y 3 ved produktionssættet (y,y,y 3 ) og den hertil forbrugte mængde af Z og Z beskrives ved forbrugssættet (z,z ) Mellem disse to sæt gælder følgende sammenhæng: z y +4y +y 3 z y +3y Hvis g : R 3 R betegner den afbildning, der til sættet (y,y,y 3 ) knytter det tilhørende sæt (z,z ), ser vi, at y ( ) ( ) g y z y +4y +y 3, z y y +3y 3 og dermed, at g er en lineær afbildning knyttet til 3-matricen ( 4 3 Idet vi stadig benytter betegnelserne fra Eksempel 34 ser vi, at den sammensatte afbildning g f : R R knytter produktionssættet (x,x ) for varerne X og X til forbrugssættet (z,z )forråvarerne Z og Z Ifølge Sætning 44 er den sammensatte afbildning g f lineær, og den er knyttet til produktmatricen ( 4 3 ) ) ( 55 9 ) Heraf sluttes eller ( z z ) ( 55 9 )( x x ), z x +55x z 9x +x

29 5 Invers matrix 5 Invers matrix Vi ser først på den omvendte til en bijektiv lineær afbildning Der gælder: Sætning 5 Lad f : R n R n være en bijektiv lineær afbildning Den omvendte afbildning f : R n R n er ligeledes lineær Bevis Vi viser, at f opfylder L og L fra Sætning 39 Først L: Lad λ R og y R n,ogsætx f (y), hvoraf y f(x) Der gælder så f (λy) f (λf(x)) f (f(λx)) λx λf (y), altså gælder L Dernæst L: Lad y,y R n,ogsæt x f (y ), x f (y ), hvoraf y f(x ), y f(x ) Der gælder f (y + y ) f (f(x )+f(x )) f (f(x + x )) x + x f (y )+f (y ), altså gælderl Undervejs har vi adskillige gange benyttet at f er lineær Definition 5 En n n-matrix A kaldes regulær (eller invertibel), hvis den tilhørende lineære afbildning f : R n R n er bijektiv I givet fald kaldes den til f hørende n nmatrix for den inverse til A og betegnes A Eksempel 53 Vi betragter afbildningen f : R 3 R 3 givet ved x x + x 3 f x x + x x 3 x x 3 Denne afbildning er lineær, idet den er givet ved matricen A At f er bijektiv vil sige, at ligningen f(x) y har netop en løsning x R 3 for hvert y R 3 I koordinater betyder denne ligning x + x 3 y x + x y x x 3 y 3 Ved addition af første og sidste ligning efterfulgt af division med ses, at x (y + y 3 ), der ved indsættelse i første og anden ligning giver x y + y y 3 x 3 y y 3 3

30 Lineære afbildninger og matricer Det ses heraf (samt ved at gøre prøve), at der for hvert y R 3 findes netop et x R 3 så y f(x), altså erf bijektiv og dermed er matricen A regulær Af de fundne udtryk for x,x,x 3 ses, at y x f : y x y 3 x 3 Den tilhørende matrix A kan herefter nedskrives: y + y 3 y + y y 3 y y 3 A Det bemærkes, at vi senere vil finde mere effektive metoder til at afgøre om en kvadratisk matrix er regulær, og i givet fald finde dens inverse Sætning 54 Der gælder følgende: () Enhedsmatricen E er regulær, og E E () Hvis A er regulær, er A regulær, og (A ) A (3) Hvis A er regulær er A A A A E (4) Hvis A og B er regulære, da er A B regulær, og (A B ) B A Bevis () følger umiddelbart af, at den identiske afbildning er bijektiv, og har sig selv til invers () følger af, at hvis en afbildning f er bijektiv, da er f bijektiv, og (f ) f (3) følger af, at hvis f er en bijektiv afbildning, da er f f og f f begge lig med den identiske afbildning (4) følger af, at hvis afbildningerne f og g er bijektive, da er f g bijektive, og (f g) g f,jvfaforennærmereomtaleafdisseting 4

31 5 Invers matrix Lad os herefter se på hvornår diagonalmatricer er regulære Lad A λ være en diagonalmatrix Den til A hørende lineære afbildning er x λ x f x n λ n x n Det ses umiddelbart, at f er bijektiv netop når tallene λ,,λ n alle er forskellige fra, og i givet fald er den omvendte afbildning givet ved f y y n Af dette slutter vi umiddelbart følgende: λ n λ y λ n y n Sætning 55 En diagonalmatrix λ er regulær netop når alle diagonalelementerne er forskellige fra nul I givet fald er λ λ n λ n λ For en n n-matrix A har vi defineret den k te potens for hvert naturligt tal k Hvis A er regulær definerer vi for hvert naturligt tal k den negative potens A k ved A k (A ) k, λ n og vi sætter endvidere A E Herved har vi opnået, at A k er defineret for alle hele tal k Det er ikke svært at se, at A k A k A k +k for alle hele tal k,k Vi slutter med en nyttig sætning, som vi senere (Sætning 66) skal bevise en forbedret udgave af 5

32 Lineære afbildninger og matricer Sætning 56 Hvis A og B er n n-matricer, således at A B E og B A E, da er A (og B )regulær,oga B (og B A ) Bevis Lad f,g : R n R n være de lineære afbildninger der hører til A,hhvBDaer f g id R n og g f id R n,hvoraffås (A), at f (og g) erbijektiv,ogf g (og g f) Dette viser, at A er regulær, og A B 6 Transponeret matrix For en given m n-matrix a a n A a m a mn definerer vi den transponerede matrix A t som den n m-matrix a a m A t a n a nm hvorom det gælder, at Vi har altså a ij a ji, i n, j m a a m A t a n a mn Matricen A t opstår ud fra A ved at skrive første række i A som første søjle i A t, anden række i A som anden søjle i A t, osv Der gælder derfor A t [i, j] A [j, i] Eksempel 6 Hvis A er 3 -matricen a a A a a a 3 a 3 er A t givet ved 3-matricen ( ) A t a a a 3 a a a 3 6

33 6 Transponeret matrix Eksempel 6 Hvis er Hvis A ( A t x X x n ) er en søjlematrix, er X t rækkematricen givet ved X t (x x n ) Hvis x y X,Y er to søjlematricer, er skalarproduktet af vektorerne x X x n y n og y Y givet ved x y X t Y Om transponering af matricer gælder: Sætning 63 For en vilkårlig m n matrix A gælder (A t ) t A Bevis Dette følger af udregningen (A t ) t [i, j] A t [j, i] A [i, j] Sætning 64 Idet A og B er vilkårlige m p- hhv p n-matricer gælder (A B ) t B t A t 7

34 Lineære afbildninger og matricer Bevis Dette følger af udregningerne (A B ) t [i, j] (A B )[j, i] A [j, ] B [,i], (B t A t )[i, j] B t [i, ] A t [,j]b [,i] A [j, ] Sætning 65 Hvis A er en regulær n n-matrix, da er den transponerede A t ligeledes regulær, og der gælder (A t ) (A ) t Bevis Idet fås af Sætning 64 at A A E og A A E A t (A ) t (A A ) t E t E og (A ) t A t (A A ) t E t E Herefter følger resultatet af Sætning 56 Definition 66 Lad f : R n R m være en lineær afbildning hørende til m n- matricen A Veddentransponerede lineære afbildning til f forstås den lineære afbildning f t : R m R n, der hører til den transponerede matrix A t Om transponeret lineær afbildning gælder følgende vigtige sætning: Sætning 67 Lad f : R n R m være en lineær afbildning Der gælder da f(x) y x f t (y) ( ) for alle vektorer x R n og alle vektorer y R m Erendvidereg : R m R n en afbildning for hvilken f(x) y x g(y) ( ) for alle vektorer x R n og alle vektorer y R m,daerg f t Bevis Idet vi skriver vektorerne x og y som søjlematricer X og Y fås f(x) y (A X ) t Y (X t A t )Y X t (A t Y )x f t (y) Dette viser at ( ) er opfyldt Antag at g : R m R n er en lineær afbildning, der opfylder ( ) for alle vektorer x R n og alle vektorer y R m Daerf(x) y f(x) y x g(y) x f t (y) x (g(y) f t (y)) for alle vektorer x R n og alle vektorer y R m Specielt for x g(y) f t (y) fås g(y) f t (y),hvorafg(y) f t (y) for alle y R m, og det viser, at g f t 8

35 6 Transponeret matrix En matrix A (a ij ) m,n kaldes symmetrisk, hvisa t A Dette er ensbetydende med at m n, oga ij a ji for alle i, j n En lineær afbildning f kaldes symmetrisk hvis den tilhørende matrix er symmetrisk Dette er ensbetydende med at f t f Eksempel 68 Følgende matricer er symmetriske ( ), 3 5, Af Sætning 67 fås umiddelbart Sætning 69 For en symmetrisk lineær afbildning f : R n R n gælder f(x) y x f(y) for alle vektorer x R n og alle vektorer y R n 9

36 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Række- og søjleoperationer En given m n-matrix a a n A a m a mn kan omformes til en ny m n-matrix ved hjælp af de såkaldte række- og søjleoperationer Vi ser først på rækkeoperationer Afsådanne er der tre typer, nemlig Type M: Multiplikation af en række med et tal c Type B: Ombytning af to rækker Type S: Addition af et multiplum af en række til en anden række (Her hentyder M til multiplikation, B til byt og S til sum ) Eksempel Vi viser nu eksempler på de tre typer rækkeoperationer, og demonstrerer samtidig hvorledes rækkeoperationer angives Først multipliceres første række i den nedenfor givne matrix med, dernæst ombyttes første og anden række og endelig adderes den anden række multipliceret med til første række: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 R 3 Eksempel To (eller flere) operationer, der ikke influerer på hinanden (dvs er ombyttelige) kan udføres i samme skridt: 3 R R 5 9 3

37 Trappematricer Til hver rækkeoperation svarer en omvendt rækkeoperation: Den omvendte til den rækkeoperation, der består i at multiplicere den række med en konstant c, er den rækkeoperation, der består i at multiplicere samme række med c Den rækkeoperation, der består i at ombytte to rækker, har sig selv til omvendt rækkeoperation Den omvendte til den rækkeoperation, der består i at multiplicere en række med en konstant c og addere den til en anden række, er den rækkeoperation, der består i at multiplicere den samme række med c og addere den til samme anden række Hvis man udfører en rækkeoperation på en matrix, og på den fremkomne matrix dernæst udfører den omvendte rækkeoperation, kommer man tilbage til den oprindelige matrix Eksempel 3 Vi udfører de omvendte til de i Eksempel udførte rækkeoperationer, og kommer herved tilbage til den oprindelige matrix: ( ) ( ) 3 +R 3 ( ) ( ) Tilsvarende er der tre typer søjleoperationer, nemlig Type M: Multiplikation af en søjle med et tal c Type B: Ombytning af to søjler Type S: Addition af et multiplum af en søjle til en anden søjle Eksempel 4 Vi viser nu eksempler på de tre typer søjleoperationer, og demonstrerer samtidig hvorledes søjleoperationer angives: ( ) ( ) ( ) ( ) S Trappematricer Lad A (a ij ) m,n være en m n-matrix Definition Matricen A kaldes en trin- matrix, hvisdenharformen a A, 3

38 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer hvor a,oghvor betyder, at der på depågældende pladser kan stå vilkårlige tal Tallet a kaldes da for matricens første trin Positionen (i, j) for første trin i en trin- matrix er (,j )for j n Matricen A, der fremkommer af A ved at slette første række kaldes restmatricen for trin- matricen A Hvis restmatricen A også er en trin- matrix kaldes A for en trin- matrix I givet fald kaldes første trin i A for andet trin i A Positionen (i, j) for andet trin i en trin- matrix er (,j )forj <j n Restmatricen A for trin- matricen A kaldes også restmatricen for trin- matricen A Tilsvarende defineres trin-3, trin-4, matricer Matricen A kaldes en trappematrix, hvis den er en trin-d matrix for et d,, 3,, og hvis den tilsvarende restmatrix enten er tom (dvs uden elementer) eller en nulmatrix Hvis A er en trappematrix kaldes tallene j < <j d for trinpositionerne for A Vi definerer nulmatricen til at være en trappematrix Eksempel Følgende matricer er trin- matricer Første trin er indrammet Det ses, at j,hhvj , De tilhørende restmatricer er , Eksempel 3 Følgende matricer er trin- matricer Trinnene er indrammet Det ses, at j ogj 3,hhvj ogj , Eksempel 4 Følgende matricer er (trin-3 hhv trin-4) trappematricer Trinnene er indrammet Det ses, at j,j 3ogj 3 6,hhvj,j 4,j 3 5ogj ,

39 Trappematricer For at afgøre om en given matrix er en trin- matrix opsøger man altså første søjle, a der ikke er nulsøjlen Har denne søjle formen er matricen en trin- matrix Man kan så danne restmatricen, og undersøge om den er en trin- matrix Er dette tilfældet kan man fortsætte, og ender man til sidst med en nulmatrix eller den tomme matrix, er den givne matrix en trappematrix Nedenstående Sætning 7 siger, at enhver matrix ved hjælp af rækkeoperationer kan omformes til en trappematrix Vi giver først et par eksempler på, at det er tilfældet Som det vil fremgå af det følgende, er man normalt interesseret i, at trinnene i en trappematrix har værdien, og det kan man naturligvis altid opnå (ved hjælp af rækkeoperationer af Type M) Eksempel 5 En matrix omdannes til en (trin-) trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R +R Eksempel 6 En matrix omdannes til en (trin-4) trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R R R 3 8 3R 3 33

40 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Sætning 7 Enhver m n-matrix kan ved hjælp af rækkeoperationer omformes til en trappematrix Bevis Lad A (a ij ) m,n være den givne matrix Vi kan antage, at A ikke er nulmatricen Lad j være det mindste tal, så denj te søjle ikke er nulsøjlen Vi sørger først for, at a j, ved om nødvendigt at foretage en rækkeombytning Det kan lade sig gøre, da den j te søjle ikke er nul Dernæst skaffer vi nuller under a j ved at addere række multipliceret med a j a j tilrække,rækkemultipliceretmed a 3j a j til3rækkeetc På denne måde bliver A omdannet til en trin- matrix Idet rækkeoperationer, der ikke involverer række, i en trin- matrix ikke ødelægger, at matricen er en trin- matrix, kan vi nu behandle restmatricen A på samme måde, og når herved frem til en trin- matrix Således fortsættes, indtil restmatricen enten er tom eller en nulmatrix, og den fremkomne matrix er en trappematrix For at omdanne en given matrix til en trappematrix opsøges altså den første søjle forskellig fra nul, og ved hjælp af rækkeoperationer omdannes matricen til en matrix, der har nuller i denne søjle, undtagen på første plads Herved er fremkommet en trin- matrix Restmatricen behandles nu på samme måde, og fortsættes på den måde fremkommer til sidst en trappematrix Bemærk, at antallet d af trin i en m n-matrix trappematrix naturligvis altid er mindre end eller lig med både række- og søjleantallet Der gælder, at m d netop hvis sidste række ikke er en nulrække, og d n netop hvis der om trinpositionerne gælder, at j,j,,j d n d Definition 8 En reduceret trappematrix er en trappematrix, således at trinnene alle har værdien, og således, at der er nuller ikke blot under, men også over trinnene Sætning 9 Enhver m n-matrix kan ved hjælp af rækkeoperationer omformes til en reduceret trappematrix Bevis Det drejser sig om at vise, at en trappematrix kan omformes til en reduceret trappematrix (Sætning 7) Først skaffes -taller i trinnene ved rækkeoperationer af type M Dernæst begynder vi bagfra, idet der først skaffes nuller over sidste trin ved hjælp af rækkeoperationer af Type S Dette influerer ikke på de søjler, der står til venstre for den søjle, der indeholder sidste trin, og de rækker der står under den række, der indeholder sidste trin Herefter fortsættes på samme måde med næstsidste trin, og vi ender til slut med en reduceret trappematrix Eksempel Matricen fra Eksempel 5 videreomformes til en reduceret trappematrix: 4 4R 5 34

41 3 Lineære ligningssystemer Eksempel Matricen fra Eksempel 6 videreomformes til en reduceret trappematrix: +R 4 R 3 +R 4 R 3 R 4 +R 3 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte har formen a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a m x + a m x + + a mn x n b m En løsning til ligningssystemet er et talsæt (x,x,,x n ), som tilfredsstiller alle ligningssystemets ligninger Mængden af alle løsninger kaldes løsningsmængden Hvis alle b i -erne er lig med kaldes ligningssystemet homogent, ellers kaldes det inhomogent Et homogent ligningssystem har altid løsningen (x,,x n )(,, ) Eksempel 3 Ligningssystemet x 3x + x 3 x + x x 3, 3x +x +x 3 3 der består af 3 ligninger med 3 ubekendte, er inhomogent Det tilhørende homogene ligningssystem er x 3x + x 3 x + x x 3 3x +x +x 3 Matricen a a a n a a a n A a m a m a mn 35

42 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer kaldes for ligningssystemets koefficientmatrix Tilføjes søjlematricen b B der kaldes ligningssystemets konstantsøjle efter sidste søjle i A,fås ligningssystemets totalmatrix a a a n b C, a m a m a mn b m b m, dererenm (n + )-matrix Bemærk, at C kan skrives som blokmatricen C ( A B ) Det er klart, at enhver m (n + )-matrix C kan opfattes som totalmatrix for et lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte Eksempel 3 Totalmatricen for det inhomogene ligningssystem fra Eksempel 3 er Af hensyn til overskueligheden er der her sat en skillelinie mellem ligningssystemets koefficientmatrix og dets konstantsøjle Sætter vi ser vi, at ligningssystemet kan skrives x X x n A X B, Sætning 33 Hvis det om totalmatricerne for to lineære ligningssystemer gælder, at den ene fremgår af den anden ved udførelse af rækkeoperationer, da har de to lineære ligningssystemer samme løsningsmængde 36

43 3 Lineære ligningssystemer Bevis Vi illustrerer sætningen på et ligningssystem bestående af 3 ligninger med 4 ubekendte Vi skriver totalmatricen under ligningssystemet: a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 b 3 a a a 3 a 4 b a a a 3 a 4 b a 3 a 3 a 33 a 34 b 3 ( ) Hvis vi udfører en rækkeoperation af type M på totalmatricen, feks multiplicerer vi tredie række med c,får vi følgende ligningssystem og totalmatrix a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 3 b a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 3 b ca 3 x + ca 3 x + ca 33 x 3 + ca 34 x 3 cb 3 a a a 3 a 4 b a a a 3 a 4 b ca 3 ca 3 ca 33 ca 34 cb 3 ( ) Det er klart, at de to ligningssystemer ( ) og( ) har samme løsningsmængde; ligningen ( ) fremkommer jo fra ligningen ( ) ved multiplikation af tredie ligning med c Hvis vi udfører en rækkeoperation af type B på totalmatricen, svarer det til at to af ligningerne ombyttes, og det ændrer naturligvis ikke på løsningsmængden Hvis vi udfører en rækkeoperation af type S på totalmatricen, feks multiplicerer vi tredie række med c og adderer den til første række, får vi følgende ligningssystem og totalmatrix (a + ca 3 )x +(a + ca 3 )x +(a 3 + ca 33 )x 3 +(a 4 + ca 34 )x 4 b + cb 3 a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 b a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 + a 34 x 4 b 3 a + ca 3 a + ca 3 a 3 + ca 33 a 4 + ca 34 b + cb 3 a a a 3 a 4 b a 3 a 3 a 33 a 34 b 3 ( ) Igen er det klart, at en løsning til ligningen ( ) også er løsning til ligningen ( ); den sidste ligning i ( ) er jo blot multipliceret med c og adderet til den første ligning Omvendt er en løsning til ( ) også løsning til ( ), idet ( ) jo fremkommer fra ( ) ved at multiplicere tredie ligning med c og trække den fra første ligning 37

44 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Vi vil nu give en række eksempler på, hvorledes man ved hjælp af Sætning 33 på behændig måde kan løse lineære ligningssystemer Fremgangsmåden er, at man omdanner det givne lineære ligningssystems totalmatrix til en trappematrix Eksempel 34 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x 3x + x 3 x + x x 3 3x +x +x 3 3 Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: 3 3 +R R R Vi opskriver herefter ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x x + x 3 x + x 3 3 x 3 4 Heraf aflæses, at x 3 4 Dette indsættes så i den anden ligning, og vi finder x 4 3, hvoraf x, og indsættes så endelig i den første ligning fås x 4, hvoraf x 3Vislutteraltså, at ligningssystemet har netop en løsning, nemlig (x,x,x 3 ) (3,, 4) Eksempel 35 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x x 5x 3 3 x +3x +8x 3 4 x +6x +4x 3 Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R 6 4 +R 4 4 +R 38

45 5 3 3 Lineære ligningssystemer 5 3 Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x +x +5x 3 3 x +x 3 Her har vi kun nedskrevet ligningerne, der kommer fra de to første rækker; den sidste række giver jo ligningen, og den kan vi derfor se bort fra Det ses, at for hvert valg af en værdi t af x 3 har systemet en løsning (x,x,x 3 ), nemlig x x 3 t og x 3 x 5x 3 3 ( t) 5t t Løsningsmængden er altså x x x 3 t t t t R Vi siger, at løsningsmængden er beskrevet ved en parameterfremstilling med parameter t Bemærk, at en løsning også kanskrives x x + t x 3 Eksempel 36 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x x 5x 3 3 x +3x +8x 3 4 x +6x +4x 3 5 Dette ligningssystem har samme koefficientmatrix som ligningssystemet i Eksempel 35, men konstantsøjlen er en anden Vi opskriver igen totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af de samme rækkeoperationer som i Eksempel 35: R +R R Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x +x +5x 3 3 x +x

46 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Da den sidste ligning aldrig er opfyldt, idet venstresiden altid er, har ligningssystemet ingen løsninger Eksempel 37 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem 4x 6y +z x 3y + z Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet, og omdanner denne til en trappematrix: ( ) ( ) ( ) R Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x 3y + z Sætter vi her z t og y s fås x 3s + t, hvoraf x + 3s t Der gælder altså, at der for hvert valg af en værdi t af z og en værdi af s af y findes en løsning (x, y, z), nemlig x + 3s t y s z t 3 + s + t Vi siger, at løsningsmængden er beskrevet ved en parameterfremstilling med parametrene (s, t) Eksempel 38 Vi vil bestemme løsningsmængden til det lineære ligningssystem x 3 x 4 +8x 5 3 x x +3x 3 +x 4 + x 5 3x 6x +x 3 +6x 4 +5x 5 7 Vi opskriver totalmatricen for ligningssystemet og omdanner denne til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: R R 4

47 Lineære ligningssystemer Vi opskriver så ligningssystemet, der har den herved fremkomne matrix til totalmatrix: x x +3x 3 +x 4 + x 5 x 3 +x 5 3 x 4 4x 5 7 Sætter vi her x 5 t,sesatx 4 7+4t og x 3 3 t Sætter vi videre x t ses, at x t +3( 3 t )+(7+4t )+t, hvoraf x 5+t 3t Der gælder altså, at der for hvert valg af en værdi t af x 5 og en værdi t af x findes en løsning (x,x,x 3,x 4,x 5 ), nemlig x 5+t 3t 5 3 x x 3 x 4 t 3 t 7+4t t 4 x 5 t Det ses, at løsningsmængden er beskrevet ved en parameterfremstilling med parametrene (t,t ) Den i eksemplerne illustrerede metode, der består i at omdanne totalmatricen for et givet lineært ligningssystem til en trappematrix, og hermed opnå et simplere ligningssystem, der har de samme løsninger som det oprindelige, kaldes Gauss-elimination Af og til går man videre og benytter Gauss-Jordan elimination, der består i at omdanne totalmatricen til en reduceret trappematrix Herved opnår man, at løsningsmængden umiddelbart kan opskrives Når man alligevel normalt foretrækker at nøjes med Gausselimination hænger det sammen med, at det samlede skrive- og regnearbejde i reglen er mindre end når der benyttes Gauss-Jordan elimination Eliminationsmetoderne er opkaldt efter den store tyske matematiker CF Gauss ( ), og den tyske geodæt W Jordan (84-899) Eksempel 39 Vi ser på ligningssystemet i Eksempel 34 Dets totalmatrix blev i nævnte eksempel omformet til en trappematrix Vi går nu videre og omformer det til en reduceret trappematrix: 3 4 R 3 R 3 Det hertil hørende ligningssystem er 4 x 3 x, x 3 4 +R 3 4 4

48 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer der netop angiver løsningen Eksempel 3 Vi ser på ligningssystemet i Eksempel 38 Dets totalmatrix blev i nævnte eksempel omformet til en trappematrix Vi går nu videre og omformer den til en reduceret trappematrix: R Det hertil hørende ligningssystem nedskrives: Indsættes heri x t, x 5 t fås x x +3x 5 5 x 3 +x 5 3 x 4 4x 5 7 x t +3t 5 x 3 +t 3 x 4 4t 7, 3R hvoraf vi finder, som ovenfor x 5+t 3t x x 3 x 4 t 3 t 7+4t x 5 t Vi kan opsummere den beskrevne løsningsmetode for lineære ligningssystemer på følgende måde: () For et givet lineært ligningssystem A X B, ( ) hvor A er en m n-matrix og B er en søjlematrix, opskrives totalmatricen C ( A B ) Denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til en trappematrix C ( A B ) 4

49 3 Lineære ligningssystemer Det hertil hørende lineære ligningssystem A X B ( ) har de samme løsninger som det oprindelige system ( ) () Betragt så det tilfælde, hvor totalmatricen C for ligningssystemet ( ) er en trappematrix med d trin og med trinpositioner j < <j d Hvis sidste trin står i sidste søjle af C er der ingen løsninger (jvf Eksempel 36) Antag så, at sidste trin ikke står i sidste søjle Hvis antallet af trin er lig antallet af søjler i A,altså n d, erdernetop en løsning (jvf Eksempel 34), og hvis antallet af søjler i A er større end antallet af trin, altså n>d, sættes de variable x j,hvorj ikke er en af trinpositionerne j,,j d lig med parametrene t,,t n d, og dernæst udtrykkes de variable x j,,x jd svarende til trinpositioner, ved parametrene t,,t n d (jvf Eksempel 35, 38) Sætning 3 Lad A være en m n-matrix, og antag at A ved hjælp af rækkeoperationer er omdannet til en trappematrix A med d trin Der gælder da: () Hvis m>dfindes der en søjle B,så ligningssystemet A X B ingen løsninger har () Hvis n>dhar ligningen A X en løsningsmængde givet ved parameterfremstilling med n d parametre, og ligningen har altså uendeligt mange løsninger (3) Hvis m n d har ligningssystemet A X B netop en løsning for hvert valg af B Bevis (): Hvis m > d sætter vi B e d+,hvore d+ er den (d + ) te standard enhedsvektor Ligningssystemet A X B har da ingen løsninger, idet totalmatricen C C ( A B ) er en trappematrix, der har sidste trin i sidste søjle Udfører vi nu på de omvendte til rækkeoperationer, der førte A over i A,vilC blive overført i en ( ) matrix C A B, og det ligningssystem A X B,derharC til totalmatrix, har da heller ingen løsninger Dette viser, at () gælder () og (3): Dette følger umiddelbart af ovenstående opsummering af løsningsmetoden for lineære ligningssystemer Eksempel 3 Vi betragter 3 3-matricen (jvf Eksempel 35 og 36) A

50 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til en trappematrix: R 6 4 +R 4 +R 5 5 Idet antallet af trin er mindre end antallet af rækker i matricen findes ifølge Sætning 3 en søjle B b b b 3, så ligningen A X B ingen løsninger har Vi vil finde en sådan søjle B Ligningssystemet, der har totalmatricen 5 har ingen løsninger Vi udfører nu de omvendte rækkeoperationer på denne matrix 5 5 R 5 5 R R 6 4 Ligningssystemet, der hardenne matrix til totalmatrix, har heller ingen løsninger Som søjlen B kan vi da bruge Sætning 33 Lad A være en m n-matrix, og antag at A ved hjælp af rækkeoperationer er omdannet til en trappematrix A med d trin Der gælder da: () Hvis ligningssystemet A X B har mindst en løsning for hvert valg af B,daer d m () Hvis ligningssystemet A X kun har en løsning (nemlig ), da er d n (3) Hvis ligningssystemet A X B har netop en løsning for hvert valg af B,daer d m n Bevis () og () følger umiddelbart af () og () i den foregående sætning (3) følger af () og () 44

51 4 Lineære ligningssystemer og lineære afbildninger 4 Lineære ligningssystemer og lineære afbildninger Vi skal nu drage nogle konklusioner om lineære afbildninger på baggrund af den viden om lineære ligningssystemer vi har opnået i afsnit 3 Lad A være en m n-matrix Et lineært ligningssystem med A som koefficientmatrix har formen A X B, ( ) hvor B er en given søjlematrix, og det drejer sig om at finde de søjler X, der tilfredsstiller ligningen Lader vi så f : R n R m være den lineære afbildning der hører til A,og skriver vi x X, b B lyder ligningen f(x) b ( ) At ligningen ( ) har en løsning for hvert valg af B betyder derfor, at f er surjektiv, og at ligningen ( ) harhøjst en løsning for hvert valg af B betyder at f er injektiv Endelig er f bijektiv når ligningen ( ) harnetop en løsning for hvert valg af B Om injektivitet af lineære afbildninger gælder følgende Sætning 4 En lineær afbildning f : R n R m er injektiv netop når ligningen f(x) o kun har løsningen x o Bevis For en lineær afbildning gælder altid, at f(o) o Hvisf er injektiv er det derfor klart, at f(x) o medfører at x o Antag omvendt at f(x) o medfører at x o Hvis x og x er løsninger til ligningen f(x) b, gælderatf(x )b f(x ), hvoraf o f(x ) f(x )f(x x ) Men så erx x o ifølge forudsætningen, og dermed er x x Viharhermedvist,atf er injektiv Bemærk, at vi undervejs benyttede at f er lineær Sætning 4 Lad f : R n R m være en lineær afbildning Der gælder () Hvis f er surjektiv er m n () Hvis f er injektiv er m n (3) Hvis f er bijektiv er m n Bevis Lad A være den m n-matrix der er knyttet til f Vi omdanner A til en trappematrix A med d trin (): Hvis f er surjektiv følger det af Sætning 33, at m d n (): Hvis f er injektiv følger det af Sætning 33, at n d m (3):Hvisf er bijektiv er den surjektiv og injektiv, hvoraf m n ( d) ifølge () og () 45

52 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer 5 Operationsmatricer Definition 5 Ved en operationsmatrix forstås en matrix, der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved udførelse af en rækkeoperation Svarende til de tre typer rækkeoperationer er der tre typer operationsmatricer () Type M: Matricerne M i(c)(c ), der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved multiplikation af i te række med c De tilsvarende rækkeoperationer betegnes M i (c) () Type B: Matricerne B ij(i j), der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved ombytning af i te og j te række (i j) De tilsvarende rækkeoperationer betegnes B ij (3) Type S: Matricerne S ij(c)(i j), der fremkommer ud fra enhedsmatricen ved addition af j te række multipliceret med c til i te række De tilsvarende rækkeoperationer betegnes S ij (c) Disse matricer er alle n n matricerforetellerandetndetvilfremgå af sammenhængen hvilket n der i en given situation er tale om Eksempel 5 Betragter vi 4 4-matricer er feks M (c) c, B 4, S 4(c) c Operationsmatricerne kan på simpel måde udtrykkes ved de i afsnit 4 indførte elementære matricer: M i(c) E +(c )I i,i, B ij E I i,i I j,j + I i,j + I j,i, S ij(c) E + ci i,j 46

53 5 Operationsmatricer Sætning 53 Lad A være en m n-matrix Hvis A ved rækkeoperationen P (som er M i (c), B ij eller S ij (c)) omdannes til B P (A),daerB P A,hvorP er den til P svarende operationsmatrix (som er m m) Bevis Da I r,s A a s a sn r, hvor I r,s er en m m-matrix, udregner man umiddelbart, at M i(c)a A +(c ) a i a in i M i (c)(a), B ija A a i a in i a j a jn j + a j a jn i + a i a in j B ij (A), S ij(c)a A + c a j a jn i S ij (c)(a) Sætning 54 Lad A være en m n-matrix Hvis A ved successive rækkeoperationer P,,P k omdannes til B,daerB P k P A,hvorP,,P k er de tilsvarende operationsmatricer (alle m m) 47

54 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Bevis Gentagen anvendelse af Sætning 53 Sætning 55 Operationsmatricerne er regulære, og () M i(c) M i ( c), () B ij B ij, (3) S ij(c) S ij( c) ( Bevis Enhver m n-matrix A omdannes ved hver af operationerne M i c) Mi (c) ( og M i (c) M i c) til A Ifølge Sætning 54 er derfor A P A P A,hvorP ( M ( i c) M i(c), P M i(c)m i c) DaA P A P A for enhver m n-matrix A (specielt ( A E m,m), og P,P er uafhængige af A,erP P E m,m AltsåerM i c) M i(c) ( M i(c)m i c) E m,m, og () følger derfor af Sætning 56 Tilsvarende vises () og (3) Vi skal kort omtale søjleoperationer og de dertil svarende operationsmatricer Sætning 56 Idet M i (c) s, B s ij, S ij(c) s betegner de tre typer af søjleoperationer (altså feks S ij (c) s den søjleoperation, der består i til i te søjle i A at addere j te søjle i A multipliceret med c) gælder: () Matricen, der fås ud fra enhedsmatricen ved at anvende M i (c) s,erm i(c) t M i(c) () Matricen, der fås ud fra enhedsmatricen ved at anvende Bij s er B t ij B ij (3) Matricen, der fås ud fra enhedsmatricen ved at anvende S ij (c) s er S ij(c) t S ji(c) Bevis Lad P s være en vilkårlig søjleoperation og P den tilsvarende rækkeoperation Da er P s (E )P (E t ) t P (E ) t P t, hvor P er operationsmatricen (jvf Definition 5) der svarer til rækkeoperationen P Sætning 57 Lad A være en m n-matrix Hvis A ved successive søjleoperationer Q,,Q k omdannes til B,daerB A Q Q k,hvorq,,q k er de tilsvarende operationsmatricer i henhold til Sætning 56 (alle n n) 48

55 6 Regulære matricer Matrixinversion Bevis Vi lader P,,P k være de tilsvarende rækkeoperationer Ifølge Sætning 54 vil successive rækkeoperationer P,,P k omdanne A t til B t,hvor B t P k P A t Qk Q A t (A Q Q k ) t Altså erb A Q Q k Eksempel 58 Matricen ( ) 4 A 5 7 omdannes ved rækkeoperationerne P S ( ), P S ( ) til ( ) 6 B Dette stemmer med at ( )( )( ) 4 P P A S ( )S ( )A t t ( 5 )( ) B Tilsvarende omdannes A ved søjleoperationerne Q S 3 ( ) s, Q S ( ) s til ( ) C 3 Dette stemmer med at A Q Q A S 3( )S ( ) ( ) ( ) C 6 Regulære matricer Matrixinversion Vi har i afsnit 4 set, at hvis f : R n R m er en bijektiv, lineær afbildning, da er m n (Her finder vi forklaringen på, at vi i afsnit 5 kun betragtede bijektive, lineære afbildninger fra R n til R n og ikke fra R n til R m for m n) Vi skal i dette afsnit se på hvordan man afgør om en given lineær afbildning f : R n R n er bijektiv, eller, ækvivalent hermed, om en given n n-matrix er regulær (jvf afsnit 5) Desuden skal vi se på, hvorledes man finder den inverse til en regulær matrix 49

56 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Sætning 6 At en n n-matrix A er regulær betyder, at ligningen A X Y har netop en løsning X for hvert valg af søjle Y Bevis Lad f være den til A hørende lineære afbildning At A er regulær betyder ifølge definitionen, at f er bijektiv Men at f er bijektiv betyder at ligningen f(x) y har netop en løsning x for hvert valg af y Menhvisx X og y Y betyder f(x) y netop at A X Y Bemærk, at hvis A er regulær, da er den entydigt bestemte løsning X til ligningen A X Y givet ved X A Y ; thi A X A (A Y )(A A )Y E Y Y Sætning 6 Hvis A og A er n n-matricer, og A fremgår af A ved udførelse af rækkeoperationer, da er A regulær netop når A er regulær Bevis Da A fremgår af A ved k rækkeoperationer, er A P k P A P A, hvor P,,P k er operationsmatricer Da en operationsmatrix er regulær ifølge Sætning 55, er også P P k P regulær ifølge Sætning 54 At A og A er samtidigt regulære følger derfor af Sætning 54 Sætning 63 En n n-trappematrix er regulær netop hvis den har n trin Bevis Det følger umiddelbart af afsnit 3 (Sætning 3 og 33) Sætning 64 En n n-matrix er regulær netop når den ved udførelse af rækkeoperationer kan overføres i enhedsmatricen Bevis Hvis den givne matrix kan overføres i enhedsmatricen er den regulær ifølge Sætning 6 Hvis omvendt den givne matrix antages regulær, kan den overføres i en trappematrix, der ifølge Sætning 6 og Sætning 63 må have n trin Men det ses u- middelbart at hvis man omdanner en sådan trappematrix til en reduceret trappematrix, da når man netop frem til enhedsmatricen Sætning 65 Lad f : R n R n være en lineær afbildning Følgende betingelser er ækvivalente: 5

57 6 Regulære matricer Matrixinversion () f er bijektiv, () f er surjektiv (3) f er injektiv Bevis Lad A være matricen knyttet til f Vi omformer A til en trappematrix med d trin Det fremgår af Sætning 3 og 33 at de tre betingelser (), () og (3) alle er ensbetydende med, at d n Hermed er sætningen vist Vi udnytter nu Sætning 65 til at vise følgende skærpelse af Sætning 56: Sætning 66 Lad A og B være n n-matricer og antag, at A B E Da er A (og B )regulær,oga B (og B A ) Bevis Lad f og g være de lineære afbildninger der hører til A hhv B Der gælder da, at f g id R n hvoraf vi slutter, at f er surjektiv Men da er f bijektiv ifølge Sætning 65 og dermed er A regulær Sætning 67 Hvis A og B er n n-matricer således at A B er regulær, da er A (og B )regulær Bevis Idet E A B (A B ) A (B(A B ) ) slutter vi af Sætning 66, at A er regulær Vi vil beskrive hvordan man i praksis kan bestemme den inverse A til en regulær matrix A Ifølge Sætning 64 findes rækkeoperationer og tilhørende operationsmatricer P,,P k,såatp A P k P A E Anvendes disse rækkeoperationer på blokmatricen (A E ), omdannes den til (P A P E )(E A ), hvoraf A kan aflæses Til- svarende kan man finde søjleoperationer og tilhørende operationsmatricer Q,,Q l, såata Q A Q Q l E Anvendes disse søjleoperationer på blokmatricen (A E ), E Q)(E A ), hvoraf A ligeledes kan aflæses omdannes den til (A Q Deterpå sin plads at advare mod at sammenblande række- og søjleoperationer ved denne metode Antag, at der er rækkeoperationer og tilsvarende operationsmatricer P,,P k samt søjleoperationer og tilsvarende operationsmatricer Q,,Q l,såat P A Q P k P A Q Q l E Anvendes disse operationer på blokmatricen (A E ), omdannes den til (P A Q P E Q) (E P Q) Her er P A Q matricen (E P Q E,hvorforA P Q (Q )aflæservip Q, som i almindelighed ikke er Q P ),altså A QP,meni P A 5

58 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer Eksempel 68 Lad os igen se på matricen A fra Eksempel 53 Først omdanner vi A til en trappematrix A R R der er en trappematrix med 3 trin Vi ser altså påny, at A er regulær Vi vil så finde den inverse: Vi opskriver blokmatricen (A E ), og omdanner den ved hjælp af rækkeoperationer til matricen (E A ): R R Heraf aflæses, at A i overensstemmelse hvad vi fandt tidligere Vi ser så på det lineære ligningssystem, R 3 +R 3, x + x 3 x + x x x 3 3 Dette kan naturligvis løses ved som sædvanligt at omdanne dets totalmatrix til en trappematrix Men bemærker vi at koefficientmatricen netop er den givne matrix A kan vi med vores kendskab til A umiddelbart skrive løsningen ned: x x A x

59 6 Regulære matricer Matrixinversion Eksempel 69 Vi ser på matricen 4 3 A 5 6 3, 3 5 og vi vil undersøge om den er regulær, og i givet fald finde dens inverse Vi går direkte løs på at finde den inverse; hvis den alligevel ikke findes viser det sig under vejs (ved at vi når frem til en trappematrix med mindre end 3 trin): R 3 R Heraf aflæses, at A er regulær og A +R Eksempel 6 Vi vil undersøge om matricen R 3R R R er regulær Vi omdanner den til en trappematrix ved hjælp af rækkeoperationer: 3 R R R

60 Række- og søjleoperationer Lineære ligningssystemer 4 4 R 4R 4 4 R 3 4 Dette er en 4 4-matrix med 3 trin; en sådan er ikke regulær, og dermed er den oprindelige matrix heller ikke regulær Antag, at A er en regulær n n-matrix og antag, at der er givet en n p-matrix B Vi ønsker at finde en n p-matrix X således at A X B Det ses umiddelbart, at der findes netop en sådan matrix X, nemlig X A B 54

61 3 Determinanter 3 Determinant af -matrix For en -matrix ( ) a a A a a defineres determinanten af A som tallet det A a a a a For determinanten af A benyttes også betegnelserne A og a a a a 3 Determinant af 3 3-matrix For en 3 3-matrix a a a 3 A a a a 3 a 3 a 3 a 33 defineres determinanten det A af A som tallet det A a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 For determinanten af A benyttes også betegnelserne A og a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 55

62 3 Determinanter 33 Permutationer Med henblik på definition af determinant af en vilkårlig n n-matrix, behandles i dette afsnit de såkaldte permutationer Definition 33 Ved en permutation (af tallene,, n)forstås en bijektiv afbildning af mængden {,, n} på sig selv Mængden af samtlige permutationer af tallene,,n betegnes S n Hvis σ : {,,n} {,,n} er en permutation, angiver vi σ på følgende måde: ( ) n σ, hvor j j j j i σ(i) n Da σ er bijektiv, er tallene j,j,,j n en omordning af tallene,,,n Eksempel 33 Først angives en permutation σ med n 3 og dernæst angives en permutation τ med n 6: ( ) ( ) σ, τ Idet den omvendte til en bijektiv afbildning igen er en bijektiv afbildning ses, at hvis σ er en permutation, da er også σ en permutation Eksempel 333 Den omvendte til permutationen ( ) σ er permutationen ( ) σ Idet sammensætning af bijektive afbildninger igen giver en bijektiv afbildning ses, at hvis σ og τ er permutationer i S n, da er også σ τ en permutation i S n Ved udregning af σ τ skal man (jvf A) først udføre permutationen τ og dernæst σ Eksempel 334 Den sammensatte permutation af permutationerne ( ) ( ) σ og τ er permutationen ( ) σ τ Den identiske afbildning af {,, n} på sig selv kaldes den identiske permutation eller enhedspermutationen, og betegnes e Den er givet ved skemaet ( ) n e n 56

63 33 Permutationer Definition 335 Lad der være givet en permutation σ af {,,n} Ettalpar(i, j), hvor i<j n, siges at svare til en inversion i σ, hvisσ(i) >σ(j) Antallet af inversioner kaldes I(σ) Hvis I(σ) er lige kaldes σ for en lige permutation, oghvisi(σ) er ulige kaldes σ for en ulige permutation Definition 336 Fortegnet sign σ for en permutation σ er tallet +, hvis σ er en lige permutation, og tallet, hvis σ er en ulige permutation Altså ersignσ ( ) I(σ) Eksempel 337 Vi betragter permutationen ( ) σ Vi ser, at talparrene (, 4), (, 5), (, 4), (, 5), (3, 4), (3, 5) og (4, 5) svarer til inversioner, altså eri(σ) 7, og dermed er σ ulige, og sign σ Definition 338 Ved en naboombytning forstås en permutation af formen ( ) i i+ n σ ; i + i n med andre ord er σ(k) k for alle k i, k i +, medens σ(i) i +ogσ(i +)i For naboombytninger benytter vi også betegnelsen [ ] i i+ σ i + i Det ses umiddelbart, at hvis σ er en naboombytning, da er I(σ), og dermed at σ er en ulige permutation Endvidere er σ σ e, hvorafσ σ Sætning 339 Enhver permutation σ fremkommer ved sammensætning af et antal naboombytninger ( ) n Bevis Lad være en given permutation Lad i være tallet så σ(i) j j j i n, n [ ] i i+ og lad τ være naboombytningen Daer i + i ( ) i i+ n σ τ j j i+ n j n På denne måde har vi opnået en ny permutation σ σ τ,hvorn (i anden række) er rykket en plads til højre Således fortsættes indtil vi efter n i skridt har opnået en permutation σ n i σ τ τ n i således at σ n i (n) n Herefter fortsættes med at bringe n på plads, dernæst n etc indtil vi har fundet naboombytninger τ,τ,,τ p således at σ τ τ p e Men så er σ τp τ τ p τ 57

64 3 Determinanter Eksempel 33 Vi ser på permutationen σ fra Eksempel 333, og omdanner den skridt for skridt til enhedspermutationen ved multiplikation fra højre med naboomskrivninger: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) Heraf sluttes, at [ ] 3 σ 3 [ ] [ ] [ ] 3 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Sætning 33 Hvis permutationen σ er sammensat af p naboombytninger, da er sign σ ( ) p ; med andre ord, σ er lige hvis p er lige, og σ er ulige hvis p er ulige ( ) [ ] n i i+ Bevis Hvis σ og hvis τ er naboombytningen er σ τ ( j j n ) i + i i i+ n Heraf fremgår I(σ τ) I(σ) ± ; men heraf følger, at j j i+ j i j n sign (σ τ) sign σ Ernuσ τ p τ sammensat af p naboombytninger, er σ τ τ p e, og ved gentagen anvendelse af bevisets indledende bemærkninger fås signe sign(σ τ τ p ) sign(σ τ τ p )( ) p sign σ, hvoraf sign σ ( ) p Dette viser sætningen Sætning 33 Lad [ ] i j σ, i j, j i være en transposition, dvs en permutation i S n, der ombytter tal i, j {,,,n}, og lader de øvrige urørte Da er sign σ Bevis For en transposition med j i + eller j i følger dette af Sætning 33 (med p ) For en vilkårlig transposition henvises til øvelsesopgave 6 Sætning 333 Hvis σ og τ er permutationer er sign (σ τ) signσ sign τ 58

65 34 Determinant af n n-matrix Bevis Skriv σ σ p σ som en sammensætning af naboombytninger, og skriv τ τ q τ ligeså; da er sign σ ( ) p og sign τ ( ) q Menσ τ σ p σ τ q τ, hvoraf sign (σ τ) ( ) p+q ( ) p ( ) q signσ sign τ Sætning 334 Hvis σ er en permutation, da er sign σ sign(σ ) Bevis Da sign e sign(σ σ )signσ sign(σ ) følger sætningen Sætning 335 Afbildningen σ σ er en bijektiv afbildning af S n For ethvert (fast) τ S n er afbildningen σ τ σ en bijektiv afbildning af S n Forn er der lige mange ( n!) lige og ulige permutationer i S n Bevis Da S n er en endelig mængde, er det tilstrækkeligt at vise, at afbildningerne σ σ og σ τ σ er injektive Dette følger af at σ σ σ (σ ) (σ ) σ, τ σ τ σ σ e σ (τ τ) σ τ (τ σ ) τ (τ σ )(τ τ) σ e σ σ Antag n, og lad σ,,σ p være de lige permutationer i S n og σ p+,,σ n være de ulige permutationer i S n Ladτ være en (fast) ulige permutation i S n,feksen transposition Da er τ σ,,τ σ p alle ulige permutationer, τ σ p+,,τ σ n alle lige permutationer ifølge Sætning 333 Men det medfører netop, at der må være lige mange lige og ulige permutationer i S n 34 Determinant af n n-matrix Til enhver n n-matrix A det A eller A knyttes et bestemt tal, determinanten af A, der betegnes Definition 34 Determinanten af n n-matricen A (a ij ) n,n defineres som det A σ S n sign σa σ() a σ() a nσ(n) For n ogn 3 genfindes determinanten som den er defineret i afsnit 3 og 3 Sætning 34 For en vilkårlig n n-matrix A gælder, at det A deta t 59

66 3 Determinanter Bevis Vi skriver A (a ij ) n,n og A t (a ij) n,n, og der gælder så a ij a ji For simpelheds skyld antager vi nu, at n 3 Det generelle tilfælde behandles efter samme mønster Determinanten af A er givet ved det A σ S 3 sign σa σ() a σ() a 3σ(3) Ordner vi nu faktorerne i produktet a σ() a σ() a 3σ(3) efter andet indeks i stedet for efter første indeks, fås a σ() a σ() a 3σ(3) a σ ()a σ ()a σ (3)3 a σ () a σ (3) a 3σ (3), og da sign σ sign (σ ), finder vi så det A σ S 3 sign (σ )a σ () a σ () a 3σ (3) Idet nu σ σ er en bijektiv afbildning af S 3 på sig selv, (jvf Sætning 335) finder vi endelig det A σ S 3 sign σa σ()a σ()a 3σ(3) deta t Hermed er sætningen vist Vi skal nu se, hvad der sker med determinanten for en matrix når vi udfører rækkeoperationer på matricen Ved hjælp af Sætning 34 udleder vi tilsvarende resultater for søjleoperationer Sætning 343 Lad A være en n n-matrix Antag, at B er en matrix der er dannet ud fra A ved () multiplikation af en række (søjle) i A med et tal c; daerdet B c det A ; () ombytning af rækker (søjler); da er det B det A ; (3) addition af et multiplum af en række (søjle) til en anden række (søjle); da er det B deta Bevis Vi skriver A (a ij ) n,n og B (b ij ) n,n Vi illustrerer beviset på en3 3-matrix Det generelle tilfælde behandles efter samme mønster (): Hvis feks den anden række i A multipliceres med c gælder for j 3atb j ca j medens b ij a ij for i Men så er det B σ S 3 sign σb σ() b σ() b 3σ(3) σ S 3 sign σa σ() ca σ() a 3σ(3) c σ S 3 sign σa σ() a σ() a 3σ(3) c det A 6

67 34 Determinant af n n-matrix (): Vi ser på ombytning af to søjler Hvis feks anden og tredie søjle ombyttes gælder for i 3atb i ( a i, b i ) a i3 og b i3 a i,altsåatb ij a iτ(j),hvorτ er 3 naboombytningen τ Mensåer 3 det B σ S 3 sign σb σ() b σ() b 3σ(3) σ S 3 sign σa τ σ() a τ σ() a 3τ σ(3) σ S 3 sign (τ σ)a τ σ() a τ σ() a 3τ σ(3) σ S 3 sign σa σ() a σ() a 3σ(3) det A, idet afbildningen σ τ σ er en bijektiv afbildning af S 3 på sig selv, jvf Sætning 335 (3): Antag nu, at den tredie række er multipliceret med c og adderet til den anden række Da gælder for j 3, at b j a j, b j a j + ca 3j og b 3j a 3j,ogdermed det B σ S 3 sign σb σ() b σ() b 3σ(3) σ S 3 sign σa σ() (a σ() + ca 3σ() )a 3σ(3) σ S 3 sign σa σ() a σ() a 3σ(3) + c σ S 3 sign σa σ() a 3σ() a 3σ(3) deta + c det C, hvor a a a 3 C a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 Der gælder imidlertid det C det C,daC fremgår af sig selv ved ombytning af to rækker; men så erdetc, og dermed er det B deta Sætning 344 Lad A være en øvre (nedre) trekantsmatrix (specielt en diagonalmatrix); determinanten for A er lig med produktet af diagonalelementerne Bevis Antag feks at A (a ij ) n,n er en nedre trekantsmatrix Da er a ij fori<j Hvis så σ er en permutation i S n, der ikke er den identiske permutation, findes der i n, så i<σ(i); men det betyder, at produktet a σ() a nσ(n) er nul, thi det indeholder faktoren a iσ(i) Konklusionen er, at det eneste led i summen det A σ S n sign σa σ() a nσ(n), 6

68 3 Determinanter der eventuelt ikke er nul, kommer fra den identiske permutation; altså er det A a a nn Resultatet for en øvre trekantsmatrix følger nu af Sætning 34 Sætning 345 Lad A være en n n-matrix af formen a a a n A B, hvor B er en (n ) (n )-matrix Da er det A a det B Bevis Ved hjælp af rækkeoperationer af type S overfører vi B til en øvre trekantsmatrix B Vi udfører så de samme rækkeoperationer på A,hvorvedA overføres i en øvre trekantsmatrix a a a n A B Idet rækkeoperationer af type S ikke ændrer determinanten skal vi blot vise, at det A a det B Men det er klart ifølge Sætning 344 Eksempel 346 Vi beregner determinanten R 5 3 R R ( 8) R 4 Vi har undervejs anvendt Sætning 343 og 345 Sætning 347 Lad A være en n n-matrix Da er A regulær netop hvis det A 6

69 35 Cramers formler Bevis Matricen A kan ved hjælp af rækkeoperationer overføres i en trappematrix B, og der gælder (det A det B ) ifølge Sætning 343 Men der gælder også at (A regulær B regulær) ifølge Sætning 6 Vi kan derfor nøjes med at se på tilfældet, hvor A er en trappematrix Men en kvadratisk trappematrix er specielt en øvre trekantsmatrix, og derfor er dens determinant lig med produktet af diagonalelementerne Men dette produkt er forskellig fra nul netop hvis alle diagonalelementer er forskellige fra nul, der netop er betingelsen for at en øvre trekantsmatrix er regulær Sætning 348 Lad A og B være n n-matricer Der gælder det(a B )deta det B Bevis Antag først, at A er en operationsmatrix Det ses da umiddelbart ved hjælp af Sætning 343, at identiteten er opfyldt Antag dernæst, at A ikke er regulær Da er A B heller ikke regulær ifølge Sætning 67, og dermed er højreside og venstreside i identiteten begge lig med nul Antag så endelig, at A er regulær Da kan A skrives som et produkt af operationsmatricer A P P k, og under anvendelse af første del af beviset fås så det A detp det(p P k) detp det P k,ogdet(a B ) det(p P kb ) det(p )det(p P kb )detp det P k det B deta det B Hermed er sætningen vist Sætning 349 For en regulær matrix A gælder, at det(a ) det A Bevis Da A A E,erdetA det(a )dete Heraf fremgår sætningen ifølge den foregående sætning 35 Cramers formler Vi ser på et lineært ligningssystem bestående af n ligninger med n ubekendte a x + + a n x n b () a n x + + a nn x n b n Idet A betegner ligningssystemets koefficientmatrix kan () skrives A x x n b b n () 63

70 3 Determinanter Vi antager nu, at A er regulær Ligningssystemet har da netop en løsning, nemlig x x n A b b n Vi vil finde en formel for x j, j,,n Med henblik herpå bemærkervi,at a a n a n a nn x x j x n a b a n a n b n a nn (3) j j Af Sætning 345 (anvendt j gange) og Sætning 344 fås x x j x n x j x j j Af Sætning 348 fås så, at determinanten af venstresiden i (3) er lig med det A x j, og dermed er det A x j a b a n a n b n a nn j hvoraf x j a b a n a n b n a nn a a n a n a nn,j,,n, 64

71 35 Cramers formler hvor altså b erne er skrevet i den j te søjle Disse udtryk for x,,x n kaldes Cramers formler, efter den schweiziske matematiker G Cramer (74-75) For n lyder ligningssystemet a x + a x b a x + a x b, og Cramers formler giver de velkendte udtryk b a b a x a, x a a a a b a b a a a a For n 3 lyder ligningssystemet a x + a x + a 3 x 3 b a x + a x + a 3 x 3 b, a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 b 3 og Cramers formler giver b a a 3 b a a 3 b 3 a 3 a 33 x, x a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a b a 3 a b a 3 a 3 b 3 a 33,x a a a 3 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a b a a b a 3 a 3 b 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Eksempel 35 Vi betragter ligningssystemet x x +3x 3 x +x + x 3 x + x Determinanten for koefficientmatricen er 3 65

72 3 Determinanter Ligningssystemet kan altså løses ved hjælp af Cramers formler; vi finder x x x , 6, 6 36 Determinant og invers matrix Vi skal i dette afsnit udlede en formel for den inverse til en regulær matrix Lad A (a ij ) n,n være en n n-matrix Ved komplementet til a ij forstås tallet A ij a a n a n a nn j i A ij er altså determinanten af matricen, der fremkommer af A ved at skrive på pladsen (i, j) ogpå de øvrige pladser i i te række og j te søjle For hvert i, j n defineres matricen A ij som matricen der fremkommer af A ved at slette i te række og j te søjle Sætning 36 Der gælder A ij ( ) i+j det A ij Bevis Ved (i ) rækkeombytninger efterfulgt af (j ) søjleombytninger overføres 66

73 36 Determinant og invers matrix matricen a a n i a n a nn j i matricen A ij Men så er A ij ( ) i ( ) j A ij ( ) i+j det A ij ifølge Sætning 343 og Sætning 345 Hermed er sætningen vist Sætning 36 For enhver n n-matrix A gælder Bevis Af definitionen på determinant det A a i A i + + a in A in, a j A i + + a jn A in, j i det A σ S n sign σa σ() a nσ(n) fremgår, at det A a i A i + + a ija ij + + a ina in, (4) hvor A i,,a in ikke afhænger af elementerne i i te række af A Ændrer vi A,således at a i a i,j a i,j+ a i,n, a ij, 67

74 3 Determinanter fås derfor a a n a a j a n A ij i i A ij a n a nn a n a nj a nn j idet overensstemmelsen mellem de determinanter fremgår ved n rækkeoperationer Den første formel følger derfor af (4) Ændrer vi derimod A,således at i te række i A erstattes af j te række i A,fås a i a n a j a jn i a j A i + + a jn A in a j A i + + a jn A in, a j a jn j a n a nn idet en n n-matrix med ens rækker har determinant, og vi benytter det tidligere viste resultat A ij A ij Sætning 363 For komplementmatricen A A n K(A ) A n A nn hørende til en n n-matrix A gælder Bevis Af Sætning 36 fås A K(A ) t (deta )E A K(A ) t [i, j] A [i, ] K(A ) t [,j]a [i, ] K(A )[j, ] j og det viser påstanden a i A j + + a in A jn { det A for j i for j i, 68

75 37 Udvikling af determinant Sætning 364 For en regulær matrix A gælder A [i, j] A ji det A dvs den inverse matrix til A er givet ved formlen A det A K(A ) t ( ) i+j det A ji det A, Bevis Når A er regulær viser Sætning 363, at ( ) A K(A ) t E det A Af Sætning 66 følger heraf, at A det A K(A ) t Eksempel 365 Vi betragter matricen A Vi udregner det A, og dermed er A regulær Vi udregner så det A, det A, det A 3 det A, det A, det A 3 det A 3, det A 3, det A 33, hvoraf (idet fortegnsfaktorerne ( ) i+j skal huskes) A 37 Udvikling af determinant Sætning 37 Lad A være en n n-matrix Da gælder for hvert i n, at det A a i A i + + a in A in ( ) i+ a i det A i + +( ) i+n a in det A in, det A a i A i + + a ni A ni ( ) +i a i det A i + +( ) n+i a ni det A ni 69

76 3 Determinanter Bevis Den første formel blev vist i Sætning 36, og den alternative version følger af Sætning 36 Den anden formel fås af den første formel anvendt på A t, idet vi benytter, at det A deta t (jvf Sætning 34) Disse formler kaldes for udviklingen af det A efter i te række hhv i te søjle Vi har på denne måde udtrykt det A ved determinanter af lavere orden For i fås specielt det A a det A a det A + +( ) n+ a n det A n det A a det A a det A + +( ) n+ a n det A n Normalt vil man vælge at udvikle efter rækker eller søjler med mange nuller Eventuelt må man først ved række- eller søjleoperationer skaffe nuller (jvf Eksempel 373) Eksempel 37 Vi beregner en determinant ved udvikling efter første række: ( 3) ( ) ( ) ( )( ) + 3(4 + 8) 9 Til sammenligning giver udvikling efter række: ( )( ) ( ) ( ) ( 3)( )+3 6 (( ) 3(4 + 8)) 9 Eksempel 373 Vi beregner en determinant ved først at udføre rækkeoperationer, og dernæst udvikle efter første søjle 5 4 5R R R Bemærk, at Sætning 345, der blev benyttet på afgørende måde ved udledning af tidligere sætninger, er et specialtilfælde af Sætning 37 (udvikling efter søjle) 7

77 4 Vektorrum 4 Definition af vektorrum; eksempler Lad V være en mængde, hvori der er givet to operationer, nemlig multiplikation af et element med en skalar og dannelse af to elementers sum; dette betyder, at der til et reelt tal λ R og et element x V er knyttet et nyt element λx V kaldet x multipliceret med λ, og til to elementer x,y V er der knyttet et nyt element x + y V kaldet summen af x og y Definition 4 (Regneregler i et vektorrum) Mængden V udstyret med de to givne operationer siges at være et vektorrum, hvis følgende regneregler er opfyldt: For vilkårlige vektorer x,y,z i V og vilkårlige tal λ, µ i R gælder V: (x + y)+z x +(y + z) V: x + o x V3: x +( x) o V4: x + y y + x V5: λ(x + y) λx + λy V6: (λ + µ)x λx + µx V7: (λµ)x λ(µx) V8: x x Elementerne i et vektorrum kaldes også for vektorer Regnereglen V skal forstås således, at der findes en vektor o, kaldetnulvektoren, så V er opfyldt Det ses let, at der kun findes en nulvektor i et vektorrum Regnereglen V3 skal forstås således, at der for hver vektor x V findes en vektor y V så x + y o Det ses let, at der kun findes et sådant element y Dette element kaldes så x Det ses let, at x ( )x og at x o for alle vektorer i vektorrummet V For to vektorer x, y sættes x y x+( )y Det ses let, at hvis x + y z er x z y Vi indfører betegnelsen R {} Dette er et eksempel på et vektorrum, der kun indeholder et element, nemlig nulvektoren o 7

78 4 Vektorrum Eksempel 4 Talrummet R n, n,,, er et vektorrum Det følger af Sætning Bemærk udseendet af o og x Eksempel 43 Med M m,n betegnes mængden af alle m n-matricer Med de i afsnit 4 indførte matrixoperationer multiplikation med skalar og addition, er M m,n et vektorrum, jvf regnereglerne M-M8 i Sætning 44 Eksempel 44 Lad Pol (R) betegne mængden af polynomier i en variabel, dvs funktioner p af formen p(x) a + a x + a x + + a n x n,x R, hvor a,a,a,,a n R, ogn N ViudstyrerPol(R) med sædvanlig addition og med sædvanlig multiplikation med skalarer Herved bliver Pol (R) et vektorrum med nulpolynomiet som nulvektor Hvis feks p og q er polynomierne givet ved p(x) 3 x + x 4 5x 6, q(x) x +x 6 + x 7, er p + q givet ved (p + q)(x) 3+x 4 3x 6 + x 7 4 Lineære afbildninger; isomorfi Lad U og V være vektorrum Definition 4 Ved en lineær afbildning f fra U til V forstås en afbildning f : U V, så L: f(λx) λf(x) for alle x U, λ R L: f(x + y) f(x)+f(y) for alle x,y U En lineær afbildning kaldes også for en homomorfi Tilsammen kaldes L og L for linearitetsbetingelserne HvisU R n og V R m,ses, at der er overensstemmelse med vores tidligere betegnelser (Sætning 39) Bemærk, at vi for U R n og V R m har to måder på hvilken vi kan udtrykke at en afbildning f : U V er lineær, nemlig dels at f er givet ved en matrix, og dels at f opfylder linearitetsbetingelserne L og L Hvis U og V er vilkårlige vektorrum kan vi ikke umiddelbart definere linearitet af en afbildning f : U V ved hjælp af matricer, men må benytte L og L Det ses let, at der for en lineær afbildning f : U V gælder, at f(o) o Lad U, V og W være vektorrum Sætning 4 Hvis f : W V og g : U W er lineære afbildninger, da er den sammensatte afbildning f g : U V ligeledes lineær 7

79 4 Lineære afbildninger; isomorfi Bevis Det vises uden komplikationer, at f g opfylder L og L, når f og g gør det Lad V være et vektorrum Vi vil et øjeblik se på lineære afbildninger f : R n V Idet vi sætter a j f(e j ), j,,n hvor e,,e n er standard enhedsvektorerne i R n,får vi for en vektor at altså x x x n x e + + x n e n, f(x) f(x e + + x n e n ) x f(e )+ + x n f(e n )x a + + x n a n, f(x) x a + + x n a n Hvis V R m genfinder vi udtrykket fra afsnit 3, og i dette tilfælde er a j den j te søjlevektor for matricen A hørende til f Sætning 43 Lad a,,a n være vektorer i vektorrummet V Afbildningen f : R n V givet ved x f x a + + x n a n x n er lineær, og alle lineære afbildninger f : R n V har denne form Der gælder a j f(e j ) Bevis Hvis f er lineær har vi ovenfor set, at f har formen ( ), og det er klart, at a j f(e j ) Antag nu omvendt, at a,,a n er givne vektorer i V, og definer afbildningen f : R n V ved formlen ( ) Det eftervises så umiddelbart, at f opfylder L og L, og dermed er f lineær Lad U og V være vektorrum Definition 44 En bijektiv lineær afbildning f : U V kaldes for en isomorfi fra U til V To vektorrum U og V kaldes isomorfe, hvis der findes en isomorfi fra U til V Sætning 45 Lad U, V og W være vektorrum () Den identiske afbildning id U : U U er en isomorfi ( ) 73

80 4 Vektorrum () Hvis f : U V er en isomorfi, er f : V U en isomorfi (3) Hvis f : W V og g : U W er isomorfier, er f g : U V en isomorfi Bevis (): Den identiske afbildning er oplagt lineær og bijektiv, altså en isomorfi(): Hvis f : U V er bijektiv, er f : V U bijektiv At yderligere f er lineær, hvis f er det, ses ved at vise, at f opfylder L og L; dette gøres på nøjagtigt samme måde som i beviset for Sætning 5 (3): Hvis f : W V og g : U W er isomorfier, da er f g bijektiv og lineær, da sammensætning af to bijektive afbildninger igen er bijektiv (A), og da sammensætning af to lineære afbildninger igen er lineær (Sætning 4) 43 Endeligdimensionale vektorrum; basis Sætning 43 Hvis R m er isomorft med R n,daerm n Bevis Hvis f : R n R m er bijektiv og lineær, da er m n ifølge Sætning 4 Definition 43 Et vektorrum V kaldes endeligdimensionalt, hvis det er isomorft med et talrum R n, n,,, Dimensionen dim V sættes i givet fald til n Bemærk, at hvis et vektorrum er isomorft med R m og med R n,daerr m og R n isomorfe ifølge Sætning 45, og dermed er m n ifølge Sætning 43 Dimensionen dim V af et endeligdimensionalt vektorrum er derfor veldefineret Bemærk også, at hvis dim V,daerV {o} Lad V være et vektorrum Definition 433 Et sæt af vektorer a, a n i V kaldes en basis for V,hvishvervektor a i V på netop en måde kan skrives på formen a x a + + x n a n, hvor (x,,x n ) R n Antag, at a,,a n er en basis i V Skrives en vektor a V påformena x a + +x n a n kaldes tallene x,,x n for koordinaterne for vektoren a med hensyn tilbasen x a,,a n ; tilsvarende taler vi om koordinatsættet (x,,x n )ogkoordinatsøjlen for a Lad e,,e n være standardenhedsvektorerne i R n Idet det gælder x x e + + x n e n x n, x n 74

81 43 Endeligdimensionale vektorrum; basis ses, at e,,e n er en basis for det n-dimensionale vektorrum R n Denne basis kaldes for den naturlige basis i R n Koordinatsøjlen for vektoren x x med hensyn til den naturlige basis er vektoren x selv Eksempel 434 Vektorrummet M m,n af m n-matricer er et mn-dimensionalt vektorrum I specialtilfældet m,n 3 ses, at en isomorfi f : R 6 M,3 er givet ved x ( ) x x f : x 3 x 4 x 5 x 6 x 6 Tilsvarende opskrives let en isomorfi fra R mn til M m,n for vilkårlige m og n En basis for M,3 er ( ) ( ) ( ) a, a, a 3, ( ) ( ) ( ) a 4, a 5, a 6 I M m,n udgør de elementære matricer I i,j, i m, j n en basis Sætning 435 Lad a,,a n være et sæt af vektorer i vektorrummet V Denlineære afbildning f : R n V givet ved x f x n x n x a + + x n a n er en isomorfi netop når a,,a n er en basis Bevis At f er en isomorfi betyder, at f er bijektiv, altså, at der for hver vektor a V findes netop en vektor x R n,så f(x) a Men det betyder netop, at a, a n er en basis Sætning 436 Et vektorrum V har en basis netop hvis det er endeligdimensionalt I givet fald indeholder enhver basis for V netop dim V elementer Bevis Antag, at V er endeligdimensionalt med dim V n Der findes da en isomorfi f : R n V, og denne har formen x f x n x a + + x n a n ( ) 75

82 4 Vektorrum ifølge Sætning 43 Men da f er en isomorfi, er a,,a n en basis ifølge Sætning 435 Hvis omvendt a,,a n er en basis for V, er den lineære afbildning givet ved formlen ( ) en isomorfi også ifølge Sætning 435, og dermed er V isomorft med R n,ogdermed endeligdimensionalt med dim V n Sætning 437 Et sæt a,,a n af n vektorer i R n er en basis netop hvis n n- matricen A ( a ) a n er regulær Bevis Sættet a,,a n er en basis netop når den lineære afbildning f : R n R n givet ved x f x n x a + + x n a n er bijektiv Men f er den lineære afbildning givet ved matricen A,ogf er bijektiv netop når A er regulær Eksempel 438 I R 3 er der givet vektorerne a 3, a 8, a Vi ønsker at undersøge om a,a,a 3 er en basis i R 3 Vi opskriver matricen A 3 8 7, 7 9 og finder, at det A Matricen A er altså regulær,ogdermedera,a,a 3 en basis Der er så yderligere givet vektoren 4 a 3 Vi ønsker at finde koordinaterne for a med hensyn til basen a,a,a 3 Viskalaltsåløse ligningen a x a + x a + x 3 a 3, altså ligningen x x x Dette gøres på sædvanlig måde, og man finder at det søgte koordinatsæt er (x,x,x 3 ) (5,, 3) ( ) 76

83 44 Underrum 44 Underrum Lad V være et vektorrum Definition 44 En ikke-tom delmængde U V kaldes for et underrum hvis følgende to betingelser er opfyldt U: Hvis x U og λ R gælder λx U U: Hvis x,y U gælder x + y U Bemærk, at hvis U er et underrum er o U; hvis nemlig x er et element i U er ifølge U også vektoren x o et element i U Vi udtrykker U og U ved at sige, at et underrum er stabilt ved vektorrumsoperationerne I et underrum U af vektorrummet V gælder naturligvis regnereglerne V-V8 (Definition 4), så U er i sig selv et vektorrum Vi kan derfor specielt tale om, at et underrum kan have endelig dimension, og i givet fald om dets dimension samt om baser herfor Bemærk specielt, at {o} og V begge er underrum i vektorrummet V Disse to underrum kaldes trivielle Eksempel 44 I R 3 betragtes mængden x N x x + x + x 3 x 3 Det verificeres let at U og U er opfyldt for N,ogdermedatN er et underrum Derimod er mængden x M x x + x + x 3 x 3 ikke et underrum; faktisk er hverken U eller U opfyldt for M, idetfeksx M medens x / M og y M medens x + y / M Definition 443 Lad V være et vektorrum, og lad a,,a n være et sæt af vektorer i V Envektora af formen a λ a + + λ n a n, hvor λ,,λ n R, siges at være en linearkombination af vektorerne a,,a n 77

84 4 Vektorrum Bemærk, at et sæt af vektorer a,,a n i vektorrummet V er en basis netop når enhver vektor a V påentydigmåde kan skrives som linearkombination af a,,a n Eksempel 444 I R 3 er der givet vektorerne a 3 og a Idet 3 5 3a a 3, ses, at er en linearkombination af a og a Vi betragter så vektoren 4 a k hvor k R Vi ønsker at undersøge, for hvilke værdier af k vektoren a er en linearkombination af a,a Det drejer sig altså om at finde x,x så altså så x 3, a x a + x a, + x 5 5 hvilket igen betyder, at vi skal løse ligningssystemet 3 ( ) x x 5 k Dette gøres på sædvanlig måde, og man finder at dette ligningssystem kan løses netop når k 8 For denne værdi af k er løsningen (x,x )(, ) For k 8 era altså ikke en linearkombination af vektorerne a og a Fork 8 erderimoda a +a Sætning 445 Lad M være en ikke-tom delmængde af V Mængden af alle linearkombinationer af vektorer i M udgør et underrum i V Det kaldes det af M frembragte underrum, og betegnes span M k, 78

85 44 Underrum Bevis Hvis a λ a + + λ n a n, hvor λ,,λ n R og a,,a n M, gælderforλ R at λa λλ a + + λλ n a n, dereri spanm; dette viser, at span M opfylder U Antag så, at a λ a + + λ n a n, og b µ b + + µ m b m, hvor λ,,λ n R og a,,a n M, µ,,µ m R og b,,b m M; daer a + b λ a + + λ n a n + µ b + + µ m b m, der er i span M; dette viser at U er opfyldt Hermed er vist, at span M er et underrum Hvis U er et underrum i vektorrummet V,ogM er en delmængde af U ses det let, at span M U Endvidere ses let, at M er et underrum netop hvis span M M Lad U og V være vektorrum, og lad f : U V være en lineær afbildning Definition 446 Ved kernen ker f for f forstås mængden ker f {x U f(x) o} Sætning 447 Kernen ker f for den lineære afbildning f : U V er et underrum i U Ligeledes er billedet f(u) af U ved f et underrum i V Bevis Først ser vi på kernenk kerf Hvisx K og λ R er f(λx) λf(x) λo o; dette viser, at U er opfyldt Hvis x,y K er f(x+y) f(x)+f(y) o+o o; dette viser, at U er opfyldt Hermed er vist, at K er et underrum Dernæst ser vi på f(u) Hvis λ R og y f(u) findes x U så y f(x), og dermed er λy λf(x) f(λx) f(u); dette viser, at U er opfyldt Hvis y,y f(u) findes x,x U, så f(x )y og f(x )y,ogdermedery + y f(x )+f(x )f(x + x ) f(u); dette viser, at U er opfyldt Hermed er vist, at f(u) er et underrum Sætning 448 Den lineære afbildning f : U V er injektiv netop når ker f {o} Bevis Dette bevises nøjagtigt som Sætning 4 79

86 4 Vektorrum Lad f : R n R m være en lineær afbildning, og lad A (a ij ) m,n være den tilhørende matrix Idet x a a n x f, x n a m a mn x n ses, at kernen for f netop er løsningsmængden til ligningssystemet a a n x a m a mn x n Hvis a,,a n er søjlevektorerne i A,er x f x n hvoraf ses, at f(u) span{a,,a n } x a + + x n a n, Eksempel 449 En lineær afbildning f : R 5 R 3 er givet ved matricen 8 A Vi vil bestemme kernen K kerf for f Viskalaltså løse ligningssystemet A X, hvor X R 5 Dette gøres på sædvanlig måde, og vi finder at løsningsmængden beskrives ved parameterfremstillingen x t 3t 3 x x 3 x 4 t t 4t t + t 4, t,t R x 5 t Hermed har vi fundet K Sætter vi a og a ses, at enhver vektor x i K kan skrives på netop en måde på formenx t a + t a, altså era,a en basis for K 3 4, 8

87 45 Lineær afhængighed; lineær uafhængighed 45 Lineær afhængighed; lineær uafhængighed Lad V være et vektorrum Definition 45 Et sæt af vektorer a,,a n i V kaldes lineært uafhængigt, hvis ligningen x a + + x n a n o kun har løsningen (x,,x n ) (,, ) Hvis sættet ikke er lineært uafhængigt kaldes det lineært afhængigt Bemærk, at en basis for V (eller for et underrum heraf) består af lineært uafhængige vektorer Eksempel 45 I R 4 er der givet vektorerne 3 a, a 3 4, a Vi vil undersøge om sættet a,a,a 3 er lineært uafhængigt Vi skal løse ligningen x a + x a + x 3 a 3 o, altså ligningssystemet x 4 7 x x 5 3 Dette gøres på sædvanlig måde, og man finder at der kun er løsningen (x,x,x 3 ) (,, ) Det givne sæt er altså lineært uafhængigt Sætning 453 Et sæt a,,a n af vektorer i vektorrummet V er lineært afhængigt netop hvis en af sættets vektorer kan skrives som linearkombination af de øvrige Bevis Antag, at en af sættets vektorer, feks a n, kan skrives som linearkombination af de øvrige Der findes da x,,x n R så a n x a + + x n a n ; men så er x a + + x n a n a n o, og dette viser, at sættet er lineært afhængigt Antag omvendt, at sættet er lineært afhængigt Da findes et sæt (x,,x n ) (,, ), så x a + + x n a n o 8

88 4 Vektorrum Ikke alle tallene x,,x n kan være nul Hvis feks x n får vi a n x a + + x n a n, x n x n og altså era n en linearkombination af de øvrige Eksempel 454 I R 3 er der givet vektorerne a, a, a 3 Det ses umiddelbart, at a 3 a a, og dermed er det givne sæt af vektorer lineært afhængigt Et sæt bestående af en vektor a er lineært uafhængigt netop hvis a Etsæt bestående af to vektorer a,a er lineært uafhængigt netop hvis de to vektorer ikke er proportionale Sætning 455 Et sæt af vektorer a,,a n i vektorrummet V er lineært uafhængigt netop hvis den lineære afbildning f : R n V givet ved er injektiv x f x n x a + + x n a n Bevis Løsningsmængden for ligningen x a + +x n a n o er netop kernen ker f for f Derfor gælder, at sættet a,,a n er lineært uafhængigt netop hvis ker f {o}; men det er tilfældet netop hvis f er injektiv (Sætning 448) Sætning 456 Et sæt af vektorer a,,a n i vektorrummet V er lineært uafhængigt netop hvis det udgør en basis for span {a,,a n } Bevis Sæt U span {a,,a n } Det er klart, at hvis sættet a,,a n er en basis i U, da er det lineært uafhængigt Antag så, at sættet er lineært uafhængigt Da er den lineære afbildning f : R n U givet ved x f x n x a + + x n a n injektiv; da f ifølge definitionen af U er surjektiv, er f bijektiv og altså enisomorfimen såera,,a n en basis i U (Sætning 435) 8

89 45 Lineær afhængighed; lineær uafhængighed Sætning 457 Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad a,,a n være et sæt af lineært uafhængige vektorer i V Der gælder da, at n dim V,oga,,a n er en basis netop når n dimv Bevis Sæt m dimv,ogladϕ : R m V være en isomorfi Lad f : R n V være den lineære afbildning givet ved x f x n x a + + x n a n Denne afbildning er injektiv, da a,,a n er lineært uafhængige Men så er afbildningen ϕ f : R n R m også injektiv,hvorforn m (Sætning 4) Videre gælder, at ϕ f er bijektiv netop når n m (jvf Sætningerne 3, 33() og 4), og da ϕ f er bijektiv netop når f er det, er sætningen vist Sætning 458 Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad a,,a n være et sæt af vektorer i V, der frembringer V Der gælder da, at n dim V,oga,,a n er en basis netop når n dimv Bevis Sæt m dimv,ogladϕ : R m V være en isomorfi Lad f : R n V være den lineære afbildning givet ved x f x n x a + + x n a n Denne afbildning er surjektiv, da a,,a n frembringer V Menså er afbildningen ϕ f : R n R m også surjektiv,hvorforn m (Sætning 4) Videre gælder, at ϕ f er bijektiv når n m, ogdaϕ f er bijektiv netop når f er det, er sætningen vist Sætning 459 Lad a,,a n være et sæt af lineært uafhængige vektorer i vektorrummet V,oglada n+ være yderligere en vektor i V Daera n+ span {a,,a n } netop hvis sættet a,,a n,a n+ er lineært afhængigt Bevis Antag, at sættet a,,a n+ er lineært afhængigt Da findes et talsæt (x,,x n,x n+ ) (,,, ) så x a + + x n a n + x n+ a n+ o Hvis x n+,er x a + + x n a n o, og dermed er (x,,x n )(,, ), da a,,a n er lineært uafhængige Men det giver modstrid; altså gælder,atx n+,ogdermeder a n+ x a x n a n x n+ x n+ 83

90 4 Vektorrum Heraf ses, at a n+ span {a,,a n } Hvis omvendt a n+ span {a,,a n } er det klart, at sættet a,,a n,a n+ er lineært afhængigt Hermed er sætningen vist Definition 45 Lad M være en delmængde af vektorrummet V Ved et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M forstås et sæt af lineært uafhængige vektorer a,,a n M, der ikke kan udvides til et større lineært uafhængigt sæt a,,a n,a n+ M Eksempel 45 Vi betragter delmængden M {a,a,a 3,a 4 } R 3,hvor a, a 4, a 3, a 4 Idet a 3 o ikke kan være indeholdt i et lineært uafhængigt sæt af vektorer må et lineært uafhængigt delsæt af M være indeholdt i {a,a,a 4 }Ideta og a er lineært afhængige kan disse ikke samtidigt være indeholdt i et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M Derfor er der to maksimalt lineært uafhængige delsæt af M, nemlig {a,a 4 } og {a,a 4 } Sætning 45 Lad M være en delmængde af det endeligdimensionale vektorrum V Ethvert lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M (specielt det tomme sæt) kan udvides til et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M Bevis Lad a,,a p være det givne sæt af lineært uafhængige vektorer fra M Hvis ikke allerede dette sæt selv er maksimalt, findes der en vektor a p+ M, således at også sættet a,,a p,a p+ er lineært uafhængigt; hvis heller ikke dette sæt er maksimalt tilføjes på samme måde endnu en vektor etc Til sidst når vi frem til et maksimalt lineært uafhængigt sæt, da et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra V højst kan indeholde dim V lineært uafhængige vektorer (Sætning 457) Sætning 453 Lad M være en delmængde af det endeligdimensionale vektorrum V Ethvert maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M er en basis for span M Bevis Lad a,,a n være et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M, og a M Idet sættet a,,a n,a ikke er lineært uafhængigt, altså lineært afhængigt, er a span {a,,a n } ifølge Sætning 459 Hermed har vi vist, at M span {a,,a n };mensåer spanm span {a,,a n },altsåer span{a,,a n } span M, ogdetviser,ata,,a n er en basis for span M (Sætning 456) Sætning 454 Et underrum U af et endeligdimensionalt vektorrum V er endeligdimensionalt og dim U dim V Bevis Et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra det givne underrum U er en basis for span U U Sætning 455 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer i det endeligdimensionale vektorrum V kan udvides til en basis for V Bevis Det følger af Sætning 45 84

91 46 Udtyndingsalgoritmen; udvidelsesalgoritmen 46 Udtyndingsalgoritmen; udvidelsesalgoritmen Lad a,,a n være et sæt af vektorer i et endeligdimensionalt vektorrum Der findes da et delsæt af a,,a n, der er en basis for span {a,,a n } (nemlig et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer i {a,,a n } ifølge Sætning 453) Vi skal nu se på hvorledes man i praksis finder et sådant delsæt i tilfældet V R m Lad a,,a n være et sæt af vektorer fra R m Vi opskriver matricen A der har a,,a n til søjlevektorer: A ( ) a a n Udfører vi nu rækkeoperationer på A,så der herved fremkommer en ny matrix A ( a a n), gælder, at delsættet a j,,a jd svarende til søjlenumrene j,,j d i matricen A er lineært uafhængigt netop når delsættet a j,,a j d svarende til de samme søjlenumre i matricen A, er lineært uafhængigt; thi ligningen har samme løsningsmængde som ligningen x a j + + x d a jd o x a j + + x d a j d o, og dermed har de specielt samtidigt løsningsmængden (x,,x d )(,, ) Omdanner vi specielt A til en trappematrix A ses, at hvis vi vælger j,,j d til at være trinpositionerne i A,daera j,,a j d en basis for span {a,,a n },altsået maksimalt lineært uafhængigt delsæt af a,,a n Mensåera j,,a jd et maksimalt lineært uafhængigt delsæt af a,,a n,altsåenbasisfor span{a,,a n } Den angivne metode til at finde et delsæt af a,,a n, der udgør en basis for span {a,,a n }, kalder vi her for udtyndingsalgoritmen Eksempel 46 I R 4 er der givet vektorerne a 3, a 4 3, a 3 9 5, a , a Vi vil finde en basis for underrummet frembragt af disse vektorer ved hjælp af udtyndingsalgoritmen Vi opskriver matricen, der har de givne vektorer til søjlevektorer:

92 4 Vektorrum Denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til en trappematrix: Det ses heraf, at a,a,a 4 er en basis for span {a,,a 5 } Ønsker vi at udtrykke vektorerne a 3 og a 5 som linearkombination af den fundne basis, er det bekvemt at gå videre og omdanne den fundne trappematrix til en reduceret trappematrix: Heraf aflæses umiddelbart, at a 3 7a 3a og a 5 39a +3a 7a 4 Lad a,,a n være et lineært uafhængigt sæt af vektorer i et endeligdimensionalt vektorrum Dette sæt kan udvides til en basis for V (Sætning 455) Vi skal nu se på, hvorledes man i praksis finder en sådan udvidelse i tilfældet V R m : Vi opskriver vektorsættet a,,a n, e,,e m,hvore j betegner den j te standardenhedsvektor Dette sæt frembringer V, da allerede vektorerne e,,e m gør det Udtyndingsalgoritmen anvendt på sættet a,,a n,e,,e m giverderforenbasisforv,hvisførsteelementer er a,,a n,altså den søgte udvidelse af det lineært uafhængige sæt a,,a n til en basis for V Vi kalder her denne procedure for udvidelsesalgoritmen Eksempel 46 I R 4 er der givet vektorerne a, a 3 Disse ses let at være lineært uafhængige Vi vil udvide sættet a,a til en basis for R 4 Vi opskriver matricen 3, og omdanner denne til en trappematrix 4 7 Heraf aflæses, at a,a,e,e 3 er en basis for R 4 86

93 47 Direkte sum af underrum 47 Direkte sum af underrum Lad V være et vektorrum, og lad U og U være to underrum i V Definition 47 Vektorrummet V siges at være direkte sum af underrummene U og U,hvishvervektorv V på netop en måde kan skrives på formen v u + u, hvor u U og u U ; er dette tilfældet skrives V U U Vektoren u kaldes projektionen af v på U langs U, og vektoren u kaldes projektionen af v på U langs U At V er direkte sum af U og U udtrykkes også ved at sige, at de to underrum er komplementære i V Eksempel 47 I R 3 er der givet vektorerne a, a, a 3 Lad U være underrummet udspændt af a,ogladu være underrummet udspændt af a,a 3 Vihar t t a t og t a + t 3 a 3 t t 3 Detses,atenhvervektorx x x x x 3 x x 3 på netop en måde kan skrives på formen t + t t t 3 t + t t t 3, idet nemlig t 3 x 3, t x og t x x Det aflæses heraf, at projektionen u af x på U langs U hhv projektionen u af x på U langs U er x x x u hhv u x x 3 Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad U og U være to underrum i V 87

94 4 Vektorrum Sætning 473 Hvis a,,a m er en basis for U og b,,b n er en basis for U,da er U og U komplementære netop hvis a,,a m,b,,b n er en basis for V Bevis Antag at a,,a m,b,,b n er en basis for V Envektorv V kan da skrives og sættes v λ a + + λ m a m + µ b + + µ n b n, u λ a + + λ m a m, u µ b + + µ n b n, er u U og u U,ogv u + u Ernuv u + u med u U og u U kan vi skrive u λ a + + λ ma m, u µ b + + µ n b n, hvorfor v λ a + + λ ma m + µ b + + µ nb n, og dermed er λ j λ j for j m, µ j µ j for j n, daa,,a m,b,,b n er en basis Men så eru u og u u Alt i alt har vi vist, at v påentydigmåde kan skrives v u + u,hvoru U og u U Antag så omvendt at U og U er komplementære Hvis v er en vektor i V kan vi skrive v u + u,hvoru U og u U Viskriverså u λ a + + λ m a m, u µ b + + µ n b n, hvoraf Hvis så også er v λ a + + λ m a m + µ b + + µ n b n v λ a + + λ m a m + µ b + + µ n b n, u λ a + + λ m a m U, u µ b + + µ n b n U, hvoraf u u og u u,dau og U er komplementære Men så er også λ j λ j for j m, µ j µ j for j n, daa,,a m er en basis i U og b,,b n er en basis i U Menviharså vist, at enhver vektor v V påentydigmåde kan skrives på formen v λ a + +λ m a m +µ b + +µ n b n, og dette viser, at a,,a m,b,,b n er en basis i V 88

95 47 Direkte sum af underrum Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad U og U være to underrum i V Sætning 474 Underrummene U og U er komplementære netop hvis følgende to betingelser er opfyldt: () U U {o} () dim U +dimu dimv Bevis Lad a,,a m være en basis i U og lad b,,b n være en basis i U Antag først, at de to underrum er komplementære Der gælder da, at a,,a m,b,,b n er en basis i V,ogdermederdimU +dimu n + m dimv,altså er () opfyldt Hvis v U U gælder, at o v +( v), og v U og v U,hvorafv o ifølge definitionen af direkte sum Hermed er vist at () er opfyldt Antag så omvendt at betingelserne () og () er opfyldt Hvis vi kan vise at a,,a m,b,,b n er et lineært uafhængigt sæt, følger det af () at det er en basis (jvf Sætning 457), og dermed er de to underrum komplementære ifølge Sætning 473 Lad så λ a + + λ m a m + µ b + + µ n b n o Da er λ a + + λ m a m (µ b + + µ n b n ), og da venstresiden er i U og højresiden i U er de begge indeholdt i U U {o}, og dermed er λ a + + λ m a m o, µ b + + µ n b n o, hvoraf (λ,,λ m )(,, ) og (µ,,µ n )(,, ) Dette viser, at sættet a,,a m,b,,b n er en basis i V, og dermed er de to underrum komplementære ifølge Sætning 473 Eksempel 475 I R 4 er der givet vektorerne a, a 3, a 3, a 4 Vi sætter U span {a,a } og U span {a 3,a 4 } Idet matricen ( ) a a a 3 a

96 4 Vektorrum ses at være regulær (den har determinant ), finder vi, at underrummene U og U danner direkte sum Vi vil finde projektionen af vektoren v på U langs U Hertil opskriver vi ligningen x a + x a + x 3 a 3 + x 4 a 4 v ( ) Dette er et lineært ligningssystem med totalmatrix 3 Heraf finder vi på sædvanlig måde, at ligningen ( ) har løsningen (x,x,x 3,x 4 ) ( 3,, 8, 4) Herefter kan projektionen u af v på U langs U nedskrives: 7 u x a + x a ( 3) +( ) 3 Tilsvarende kan projektionen u af v på U langs U beregnes: 8 u x 3 a 3 + x 4 a Som kontrol verificerer vi, at v u + u 48 Rang; dimensionssætningen Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum Definition 48 Ved rangen rgf af en lineær afbildning f : U V forstås dimensionen af billedrummet f(u), altså rgf dimf(u) 9

97 48 Rang; dimensionssætningen Definition 48 Ved rangen rga af en m n-matrix A forstås rangen af den til A hørende lineære afbildning f : R n R m Hvis A er en m n-matrix med søjlevektorer a,,a n og f : R n R m den til A hørende lineære afbildning gælder, at f(u) span{a,,a n },idetjo x f x n x a + + x n a n, Altså er rga dim(span{a,,a n }), og dermed har vi (Sætning 453): Sætning 483 Rangen af m n-matricen A ( a ) a n er lig med antallet af vektorer i et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra {a,,a n } Det ses umiddelbart, at hvis A er en trappematrix, da er rangen af A lig med antallet af trin i A Eksempel 484 Matricen er en trappematrix med 3 trin, og dens rang er altså 3 Sætning 485 Rangen af en matrix ændres ikke ved udførelse af række- og søjleoperationer Bevis Hvis A ( ) a a n og A ( a a n),oga fremgår af A ved udførelse af søjleoperationer, er span {a,,a n } span {a,,a n}, ogdermederrga rga HvisA fremgår af A ved udførelse af rækkeoperationer, har vi i indledningen af afsnit 46 set, at et delsæt a j,,a jd af {a,,a n } er lineært uafhængigt netop hvis delsættet a j,,a j d af a, a n er lineært uafhængigt Heraf fås, at rga rga (Sætning 483) 9

98 4 Vektorrum Eksempel 486 Vi betragter matricen A Denne omformes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen 3 A ; da rga 3 er dermed også rga 3 Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum Sætning 487 (Dimensionssætningen) For en lineær afbildning f : U V gælder rgf +dim(kerf) dimu Bevis Idet U hhv V er isomorft med R n hhv R m ses, at vi kan nøjes med at se på tilfældet, hvor f : R n R m er den lineære afbildning knyttet til matricen A Vi omdanner A ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen A med d trin Der gælder, at x ker f X A X x n x X A X, x n og dette er et underrum af dimension n d (jvf kapitel ) Endvidere er rgf rga rga d, sårgf +dim(kerf) d +(n d) n dimr n Dette viser sætningen Eksempel 488 Vi betragter matricen A fra Eksempel 486 Vi så, at rga 3Vivil nu bestemme kernen for den lineære afbildning f : R 5 R 4 hørende til A Viomdanner A til trappematricen ; 9

99 48 Rang; dimensionssætningen vi skal så løse ligningssystemet x +x + x 3 +3x 4 +x 5 x 3x 3 +5x 4 4x 5 x 4 7x 5 Vi indfører parametrene t x 3 og t x 5 og får x 4 7t, x 3t 3t, x 7t +39t,altså x 7t +39t 7 39 x x 3 x 4 3t 3t t 7t t 3 + t 3 7 x 5 t Det ses heraf, at en basis for ker f er a,a,hvor 7 3 a og a Hermed har vi verificeret at rgf +dim(kerf) dimr 5 Sætning 489 For en m n-matrix A gælder, at A har samme rang som den transponerede A t,altså rga rga t Bevis Sætningen ses umiddelbart at gælde, hvis A er en trappematrix (brug Sætning 483; rangen er antallet af trin) Hvis A er en vilkårlig matrix, omdannes A til trappematricen A ved hjælp af rækkeoperationer; udføres så på A t de analoge søjleoperationer fremkommer matricen (A ) t MensåharvirgA rga rg(a ) t rga t Bemærk specielt følgende konsekvens af dimensionssætningen: Sætning 48 For en lineær afbildning f : U V,hvordim U dimv, er følgende tre udsagn ækvivalente: () f er surjektiv () f er injektiv (3) f er bijektiv Dette følger også af Sætningerne 3, 33 og 4 93

100 5 Vektorrum og matricer 5 Koordinattransformationer Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum med dim V n, oglada,,a n være en basis i V Den lineære afbildning ϕ : R n V givet ved x ϕ x n x a + + x n a n er da en isomorfi, den såkaldte koordinatafbildning Antag nu, at ã,, ã n er en anden basis i V Denne anden basis giver da også anledning til en isomorfi ϕ : R n V givet ved x ϕ x n x ã + + x n ã n Lad så v være en vektor i V, og antag at v har koordinaterne x x n medhensyntil x basen a,,a n ( den gamle basis ), og koordinaterne med hensyn til basen x n ã,, ã n ( den nye basis ) Vi skal se på sammenhængen mellem de to koordinatsæt x x og x n x n Idet x x ϕ v ϕ x n x n 94

101 5 Koordinattransformationer gælder, at x x ϕ ϕ x n xn Sætter vi τ ϕ ϕ : R n R n er τ en isomorfi Men så erτ givet ved en regulær matrix S, og der gælder hvor vi har sat X S X, ( ) x x X og X x n x n Indsætter vi for X den j te enhedssøjle E j iformlen( ), er X den j te søjle i S Men vektoren a j har koordinatsøjlen E j med hensyn til den gamle basis, altså er den j te søjle i S koordinatsøjlen for vektoren a j medhensyntildennyebasis Matricen S kaldes for koordinattransformationsmatricen for overgang fra basen a,,a n til basen ã,, ã n Af ( ) fås, at X S, X hvoraf ses, at S er koordinattransformationsmatricen for overgang fra basen ã,, ã n til basen a, a n,dvsdenj te søjle i S er koordinatsøjlen for vektoren ã j mht basen a,,a n Altialtharvivist: Sætning 5 Hvis X hhv X er koordinatsøjlen for vektoren v V med hensyn til den gamle hhv nye basis, er X S X, hvor S er den regulære n n-matrix, hvis søjlevektorer er koordinatsøjler for vektorerne i den gamle basis med hensyn til den nye basis Endvidere er søjlevektorerne i S lig med koordinatsøjlerne for vektorerne i den nye basis med hensyn til den gamle basis Hvis a,,a n er en basis i R n,oge,,e n betegner den naturlige basis i R n er koordinattransformationsmatricen for overgang fra a,,a n til e,,e n ifølge Sætning 5 lig med matricen A ( ) a a n ; koordinattransformationsmatricen for overgang fra e,,e n til a,,a n er derfor lig med matricen A 95

102 5 Vektorrum og matricer Eksempel 5 I R er givet basen ( ) a, a 3 ( 4 ), og basen ( ã ) (, ã ) Vi vil finde koordinattransformationsmatricen S for overgang fra a,a til ã, ã Idet er a ã +ã, a ã +3ã, S ( 3 Koordinattransformationsmatricen for overgang fra ã, ã til a,a er ) S ( ) 5 Lineære afbildninger og matricer Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum med dim U n, dim V m Lad a,,a n være en basis i U og lad b,,b m være en basis i V,ogladϕ : R n U og ψ : R m V være de tilsvarende koordinatafbildninger, altså x ϕ x n y ψ y m x a + + x n a n, y b + + y m b m For en given lineær afbildning f : U V definerer vi afbildningen α : R n R m ved diagrammet: R n ϕ U α f R m ψ V 96

103 5 Lineære afbildninger og matricer vi sætter altså α ψ f ϕ Vi ser, at α : R n R m er lineær, altså er den givet ved en m n-matrix A Hvis x X x n betegner koordinatsøjlen for vektoren x med hensyn til basen a,,a n, y og Y y m betegner koordinaterne for vektoren y f(x) med hensyn til basen b,,b m kan vi nedskrive følgende diagram Med andre ord har vi x x n x x n α y y m x α ψ f ϕ x n ϕ x ψ f ; y ψ f(x) ψ (y) y y m, altså A X Y Indsætter vi i dette udtryk for X den j te enhedssøjle E j,ery den j te søjle i A Men vektoren a j har koordinatsøjlen E j med hensyn til basen a,,a n,altså er den j te søjle i A koordinatsøjlen for vektoren f(a j ) med hensyn til basen b,,b m Matricen A siges at repræsentere f ibasernea,,a n,b,,b m Altialtharvivistden generelle søjleregel: Sætning 5 Hvis X hhv Y er koordinatsøjlerne for vektoren x hhv y f(x), er Y A X, hvor A er den m n-matrix, hvis søjlevektorer er koordinatsøjlerne for vektorerne f(a ),,f(a n ) med hensyn til basen b,,b m 97

104 5 Vektorrum og matricer Bemærkning Lad U være et n-dimensionalt vektorrum med gammel basis a,,a n og ny basis ã,, ã n,oglads være koordinattransformationsmatricen for overgang fra gammel til ny basis Da er S også er den matrix der repræsenterer id U : U U ibaserne a,,a n ;ã,, ã n Bemærkning Lad U, V, W være endeligdimensionale vektorrum med baser a,,a n ; b,,b m ; c,,c p Ladf : W V og g : U W være lineære afbildninger, og antag at f ved de givne baser i W og V repræsenteres ved m p-matricen A,ogatg ved de givne baser i U og W repræsenteres ved p n-matricen B Da vil den lineære afbildning f g : U V være repræsenteret ved m n-matricen C A B ved de givne baser i U og V Jævnfør Sætning 46 og beviset for denne, som overføres uændret til den mere generelle situation Eksempel 5 I det todimensionale vektorrum U er der givet basen a,a og i det tredimensionale vektorrum V er der givet basen b,b,b 3 Om den lineære afbildning f : U V vides, at f(a )b b, f(a )b + b b 3 I de givne baser repræsenteres f så ved matricen A Vi vil feks beregne billedet af vektoren x a + a ved f Idet(y,y,y 3 ) betegner koordinaterne for y f(x) fås y y y 3 ( ) Dette stemmer med at f(x) f( a +a ) f(a )+f(a ) b +b +b +b b 3 b +b b 3 Hvis f : V V er en lineær afbildning fra et vektorrum ind i sig selv, og hvis der er givet en basis a,,a n i V taler vi om at f er repræsenteret ved matricen A i basen a,,a n Det er da underforstået, at basen a,,a n anvendes i V både når V anvendes som definitionsmængde for f og som dispositionsmængde for f 98

105 53 Lineære afbildninger og koordinattransformationer 53 Lineære afbildninger og koordinattransformationer Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum med dim U n, dim V m Lad a,,a n hhv b,,b m være baser ( de gamle ) i U hhv V Vitænkerosnu,atder i U hhv V er givet andre baser ( de nye ) ã,, ã n hhv b,, b m ViladerS hhv T betegne koordinattransformationsmatricerne for overgang fra basen a,,a n til basen ã,, ã n hhv fra basen b, b m til basen b,, b m Sætning 53 Hvis den lineære afbildning f : U V er repræsenteret ved matricen A hhv à i de gamle baser hhv de nye baser, er Bevis Vi har diagrammet à T A S U f,a V a,,a n b,,b m id U,S id V,T U ã,, ã n f, ea V b,, b m Ifølge bemærkningerne til Sætning 5 er f id V f : U V repræsenteret ved T A, og f f id U : U V er repræsenteret ved à S, i begge tilfælde mht basen a,,a n i U og basen b,, b m i V DerforerT A à S eller à T A S Lad f : V V være en lineær afbildning og lad der i V være givet en gammel basis a,,a n og en ny basis ã,, ã n IdetA hhv à betegner matricen, der repræsenterer f i den gamle hhv nye basis, og S betegner koordinattransformtionsmatricen for overgang fra a,,a n til ã,, ã n, gælder ifølge Sætning 5, at à S A S Eksempel 53 I det tredimensionale vektorrum U er der givet baserne a,a,a 3 og ã, ã, ã 3,hvor ã a a, ã a +a +3a 3 ã 3 a + a a 3, 99

106 5 Vektorrum og matricer og i det todimensionale vektorrum V er der givet baserne b,b og b, b,hvor b 5b b, b b + b En lineær afbildning f : U V repræsenteres i baserne a,a,a 3,b,b (de gamle) ved matricen ( ) 3 A Vi vil finde den matrix Ã, der repræsenterer f ibaserneã, ã, ã 3, b, b (de nye) Vi aflæser umiddelbart, at koordinattransformationsmatricerne S hhv T for overgang fra gamle til nye baser opfylder, at S 3 ( ) 5 T Idet à T A S udregner vi og vi finder så T (T ) ( )( ) 3 à 5 ( 5 3 Bemærk, at det er unødvendigt at udregne S ) ( ), 5 ( ) 54 Determinant af endomorfi Lad V være et vektorrum En lineær afbildning f af V ind i sig selv kaldes også for en endomorfi Antag nu, at vektorrummet V er endeligdimensionalt, og at a,,a n er en basis for V Definition 54 Ved determinanten det f af endomorfien f : V V forstås determinanten det A af den matrix A, der repræsenterer f i den givne basis

107 54 Determinant af endomorfi Den netop givne definition af det f afhænger ikke af den valgte basis Er nemlig ã,, ã n en ny basis, og er S koordinattransformationsmatricen for overgang fra basen a,,a n til basen ã,, ã n, og repræsenteres f i den nye basis ved matricen Ã,er à S A S ifølge Sætning 53 Men så er det à det(s A S ) dets det A det S dets det A (det S ) deta, hvor vi har anvendt Sætning 348 og 349 Sætning 54 Den lineære afbildning f : V V er bijektiv netop når det f Bevis Vælg en basis a,,a n i V,ogladf være repræsenteret ved matricen A i denne basis Da er f bijektiv netop når A er regulær, dvs netop når det f deta Hvis A er en n n-matrix, og f : R n R n den tilhørende lineære afbildning (endomorfi), repræsenteres f ved A i den naturlige basis, og dermed er det f deta

108 6 Diagonalisering af matricer 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Lad f : R n R n være en lineær afbildning hørende til n n-matricen A DersomA er en diagonalmatrix, altså A λ hvor alle elementerne i A uden for diagonalen er lig med nul, er virkningen af f særlig simpel, idet nemlig x λ x f x n λ n x n Hvis nu V er et endeligdimensionalt vektorrum, og f : V V er en lineær afbildning (endomorfi af V ) er vi derfor interesserede i at finde en basis a,,a n for V,således at f i denne basis repræsenteres af en diagonalmatrix Herved får vi et særligt godt overblik over virkningen af f Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum Definition 6 En lineær afbildning f : V V kaldes diagonaliserbar, hvis der findes en basis a,,a n således at f i denne basis repræsenteres af en diagonalmatrix Hvis f : V V er diagonaliserbar, og a,,a n er en basis for V i hvilken f repræsenteres af en diagonalmatrix D λ λ n λ n,, gælder, at f(a )λ a,,f(a n )λ n a n Der gælder med andre ord, at f(a j )er proportional med a j, og proportionalitetsfaktoren er λ j

109 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Definition 6 Ved en egenvektor for den lineære afbildning f : V V forstås en vektor x V,så x o og så f(x) er proportional med x Proportionalitetsfaktoren kaldes den til egenvektoren x hørende egenværdi At x er egenvektor for f med tilhørende egenværdi λ betyder altså, at Med disse betegnelser fås så: x o og f(x) λx Sætning 63 Den lineære afbildning f : V V er diagonaliserbar netop hvis der findes en basis for V bestående af egenvektorer for f Vi indfører nu yderligere nogle betegnelser Lad f : V V være en lineær afbildning Definition 64 Ved egenrummet V λ hørende til λ R forstås underrummet V λ {x f(x) λx}, og ved egenværdimultipliciteten em λ hørende til λ R forstås tallet em λ dimv λ Lad e : V V betegne den identiske afbildning e : x x; denne er klart lineær For hvert λ R lader vi f λe betegne den lineære afbildning af V ind i sig selv defineret ved, at (f λe)(x) f(x) λe(x) f(x) λx Med denne betegnelse har vi Sætning 65 For λ R gælder () V λ ker(f λe) () em λ +rg(f λe) dimv Bevis Idet f(x) λx f(x) λx o x ker(f λe) ses, at () er opfyldt Af dimenssionssætningen (Sætning 487) fås, at rg(f λe)+dimker(f λe) dimv, hvoraf og hermed er () vist em λ +rg(f λe) dimv, Sætning 66 Lad λ R Da er følgende betingelser ensbetydende 3

110 6 Diagonalisering af matricer () λ er egenværdi for f () V λ {o} (3) em λ> (4) f λe er ikke bijektiv (5) det(f λe) Bevis Der gælder λ egenværdi V λ {o} dim V λ > em λ>, og det(f λe) f λe ikke bijektiv ker(f λe) {o} V λ {o} Hermed er sætningen vist Definition 67 Det karakteristiske polynomium P f hørende til den lineære afbildning f : V V defineres ved P f (λ) det(f λe) Nedenfor gøres rede for, at P f faktiskeretpolynomium Af Sætning 66 fremgår umiddelbart: Sætning 68 Egenværdierne for den lineære afbildning f : V V er netop rødderne i det karakteristiske polynomium P f (λ) Hvis A er en n n-matrix og f : R n R n den tilhørende lineære afbildning, taler vi i det følgende om egenværdier for A, egenvektorer for A,detkarakteristiske polynomium P A for A,omatA er diagonaliserbar etc Hermed menes naturligvis de tilsvarende begreber defineret som ovenfor for f Specielt er P A (λ) det(a λe ) Endvidere er egenrummet V λ givet ved V λ {X R n (A λe )X }, og der gælder em λ +rg(a λe )n Hvis f : V V er en endomorfi, og a,,a n er en basis for V,oghvisf repræsenteres ved matricen A ibasena,,a n,daerp f (λ) det(a λe )P A (λ) (se afsnit 54), og det fremgår heraf, at P f (λ) eretpolynomiumiλ Vi vil nu et øjeblik se specielt på lineære afbildninger fra R n til R n 4

111 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Sætning 69 En n n-matrix A er diagonaliserbar netop hvis der findes en regulær n n-matrix S,så D S A S er en diagonalmatrix I givet fald er den j te søjle i S en egenvektor for A med tilhørende egenværdi lig med det j te diagonalelement i D Bevis Lad f : R n R n være den lineære afbildning der hører til matricen A Antag først, at S er en regulær n n-matrix, så D S A S er en diagonalmatrix Skriver vi S ( ) a a n er a,,a n en basis i R n,ogs er koordinattransformationsmatricen for overgang fra naturlig basis til basen a,,a n Menså repræsenteres f ved matricen D S A S ibasena,,a n (Sætning 53) Skrives D λ, λ n er derfor f(a j )λ j a j Dette viser den ene halvdel af sætningen Antag dernæst at A er diagonaliserbar Da findes en basis a,,a n for R n bestående af egenvektorer for f I denne basis repræsenteres f af en diagonalmatrix D, og der gælder D S A S,hvorS er koordinattransformationsmatricen for overgang fra naturlig basis til basen a,,a n Dette viser den anden halvdel af sætningen Eksempel 6 En lineær afbildning f : R R er givet ved matricen ( ) Vi vil finde egenværdierne og de tilhørende egenvektorer for f Først opskrives det karakteristiske polynomium P f (λ) P A (λ) det(a λe ) ( ) 5 λ 7 det (5 λ)( 4 λ)+4λ λ 6, 4 λ og rødderne i ligningen P f (λ) findes; rødderne er λ 3ogλ Vi finder så egenvektorerne hørende til λ : Vi skal løse ligningen (A λe )X 5

112 6 Diagonalisering af matricer Vi opskriver matricen ( 7 7 A λe A +E ) ; denne matrix omformes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen ( ), hvoraf aflæses, at en basis for egenrummet V er ( ) Vi finder dernæst egenvektorerne hørende til λ 3Viopskriver ( ) 7 A λe A 3E, 7 der ved hjælp af rækkeoperationer omformes til trappematricen ( ) 7, hvoraf aflæses, at en basis for egenrummet V 3 er ( ) 7 Idet sættet ( ), ( 7 udgør en basis i R,ses,atf og dermed A er diagonaliserbar Koordinattransformationsmatricen for overgang fra naturlig basis til denne basis bestående af egenvektorer opfylder, at ( ) 7 S, og dermed er S ( 7 Der gælder så, at ( 3 hvilket også ses ved direkte udregning ) ) ) S A S, ( )

113 6 Diagonaliserbare matricer; egenværdier og egenvektorer Eksempel 6 Det karakteristiske polynomium for matricen ( ) 3 5 A 5 3 er ( ) 3 λ 5 P A (λ) (3 λ)( 3 λ)+5λ +6, 5 3 λ der ingen rødder har (inden for de reelle tal R) Altså hara ingen egenværdier Vi slutter specielt, at matricen A ikke er diagonaliserbar Eksempel 6 Det karakteristiske polynomium for matricen ( ) 3 A er ( ) λ 3 P A (λ) det ( λ), λ der har (dobbelt-) roden λ Matricen A har altså kun den ene egenværdi λ For at finde det tilhørende egenrum V opskrives matricen ( ) 3 A λe A E, og vi ser, at en basis for V er ( ) Vi slutter, at matricen A ikke er diagonaliserbar Eksempel 63 Vi vil finde egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen 4 A 3 Først opskrives det karakteristiske polynomium: 4 λ P f (λ) det(a λe )det λ det 3 λ 4 λ ( λ)det ( λ)det 3 λ ( ) 4 λ ( λ)(3 λ)det ( λ) (3 λ) 4 λ +λ λ 3 λ 4 λ 3 λ 7

114 6 Diagonalisering af matricer Rødderne er altså λ ogλ 3 Først findes egenrummet V hørende til λ Matricen A λe opskrives: 4 A λe A E ; 3 denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen Vi skal så løse ligningen x x + x 3 Sættes x s og x 3 t fås x s t x x 3 s t s + t, hvoraf fremgår, at sættet a, a udgør en basis for V Dernæst findes egenrummet V 3 hørende til λ 3 Matricen A λe opskrives: 4 3 A λe A 3E denne omdannes ved hjælp af rækkeoperationer til trappematricen: Vi skal så løse ligningssystemet x x + x 3 x x 3 ; Sættet x 3 t fås x t x t t, x 3 t 8

115 6 Betydningen af rodmultipliciteterne hvoraf fremgår, at vektoren a 3 udgør en basis for V 3 Sættet a,a,a 3 udgør en basis i R 3, og koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til denne nye basis opfylder, at S, hvoraf Der gælder, at S S A S Betydningen af rodmultipliciteterne Lad x P (x) være et polynomium Vi siger som bekendt, at et reelt tal x er rod i P hvis P (x ) I givet fald er P deleligt med (x x ), dvs der findes et polynomium Q, så P (x) (x x )Q(x) Vi siger, at en rod x har (rod-)-multipliciteten k, hvisp er deleligt med (x x ) k,menikkemed(x x ) k+ Eksempelvis gælder for polynomiet x 6 3x 5 +6x 3 3x 3x +, at det kan skrives (x +) (x ) 3 (x ) Derfor er x rod med multiplicitet to (ogsåkaldetdobbeltrod), x er rod med multiplicitet tre, og x er rod med multiplicitet én Rodmultipliciteten af en rod x ietgivet polynomium betegnes rm x At skrive et polynomium som produkt af led af formen (x x ) k kalder man at faktorisere polynomiet fuldstændigt En sådan fuldstændig faktorisering er entydig (bortset selvfølgelig fra faktorernes rækkefølge) Imidlertid er det ikke alle polynomier der lader sig fuldstændigt faktorisere Feks kan polynomiet x 3 x + x skrives(x )(x + ), men leddet x + har ingen reelle rødder og kan derfor ikke faktoriseres I dette polynomium er x altså den eneste rod, og den har multiplicitet rm x Der gælder for ethvert polynomium, at summen af rodmultipliciteterne er mindre end eller lig med graden af polynomiet Summen er lig med graden netop når polynomiet kan faktoriseres fuldstændigt I praksis bestemmes rodmultipliciteterne for et polynomium ved hjælp af rodbestemmelse samt polynomiers division, jvf nedenstående eksempel 9

116 6 Diagonalisering af matricer Eksempel 6 For polynomiet P (x) x 5 +4x 4 +7x 3 +x +x finder vi, at x og x er rødder Ved division med x og x+ fås P (x) x(x+)(x 3 +x +3x+6) Den sidste faktor heri har roden x ogkanskrivesx 3 +x +3x+6 (x+)(x +3) Leddet x +3 har ingen rødder AltsåerP (x) x(x+) (x +3), og dermed er rm, rm ( ) Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum Sætning 6 Lad f : V V være en lineær afbildning For hvert reelt tal λ gælder, at em λ rm λ, hvor rm λ er rodmultipliciteten af λ i det karakteristiske polynomium P f for f Bevis Lad λ R, ogladv λ være egenrummet hørende til λ Ladp em λ dim V λ og lad a,,a p være en basis for V λ Udvid denne til en basis a,,a n for V Idetdeførstep vektorer i basen er egenvektorer for f med egenværdi λ, har matricen A, der repræsenterer f i denne basis, følgende form: ( D B A C, hvor D λ E er p p-diagonalmatricen med λ i diagonalen, og er (n p) p- nulmatricen Matricerne B og C har dimension p (n p), henholdsvis (n p) (n p) Der gælder så (Sætning 345) P f (λ) det(a λe )det(d λe )det(c λe )(λ λ) p det(c λe ) Heraf fremgår, at λ har multiplicitet mindst p som rod i P f Bemærk,atE indretter sin størrelse efter behov Sætning 63 Hvis summen af rodmultipliciteterne for den lineære afbildning f : V V er (skarpt) mindre end dim V, eller hvis der findes en egenværdi λ med em λ < rm λ,daerf ikke diagonaliserbar Bevis Antag f er diagonaliserbar Lad a,,a n være en basis for V bestående af egenvektorer med tilhørende egenværdier λ,,λ n I denne basis repræsenteres f ved diagonalmatricen D med diagonalelementerne λ,,λ n,ogderforer P f (λ) det(d λe )(λ λ) (λ n λ) Herved er P f fuldstændigt faktoriseret For ethvert tal λ gælder altså, at rodmultipliciteten rm λ er lig det antal gange λ optræder blandt tallene λ,,λ n Summen af alle disse rodmultipliciteter er netop n )

117 63 Betydningen af egenværdimultipliciteterne Hvis λ optræder p gange blandt λ,,λ n, findes der p basisvektorer som tilhører egenrummet V λ,ogdermåderforgældep dim V λ em λ Vikanaltså konkludere at rm λ em λ Ifølge Sætning 6 gælder så endda rm λ em λ Sammenfattende har vi vist, at hvis f er diagonaliserbar er summen af rodmultipliciteterne n, og der gælder rm λ em λ for alle egenværdier λ Sætningens udsagn fås umiddelbart heraf ved kontraponering Eksempel 64 I Eksempel 6 har det karakteristiske polynomium slet ingen rødder, derfor er summen af rodmultipliciteterne I Eksempel 6 er λ dobbeltrod, og summen af rodmultipliciteterne er dermed lig n, som er Men egenværdimultipliciteten af λ er kun, altså gælder emλ < rm λ I begge tilfælde konkluderede vi at f ikke er diagonaliserbar Dette er i overensstemmelse med Sætning Betydningen af egenværdimultipliciteterne Lad V være et endeligdimensionalt vektorrum, og lad f : V afbildning V være en lineær Sætning 63 Hvis summen af rodmultipliciteterne for f er n dimv, og der gælder em λ rm λ for alle λ,daerf diagonaliserbar En diagonaliserende basis fås i så fald ved at vælge en basis for hvert af egenrummene og sammenstille disse baser Bevis Vi vælger en basis for hvert egenrum og sammenstiller disse Det følger af antagelserne om f, at det fremkomne sæt af egenvektorer har præcis n dimv elementer Vi betegner sættet a,,a n, og de tilhørende egenværdier λ,,λ n Viskalvise, at dette sæt er lineært uafhængigt, idet det så udgør en basis ifølge Sætning 457, og dermed diagonaliserer f Antag sættet er lineært afhængigt Der findes da et tal k < n således at sættet a,,a k er lineært uafhængigt, mens sættet a,,a k+ er lineært afhængigt Da er a k+ span {a,,a k } ifølge Sætning 459, altså Vi anvender f, ogfår dels (fordi a k+ er egenvektor), og dels a k+ x a + + x k a k f(a k+ )λ k+ a k+ λ k+ x a + + λ k+ x k a k f(a k+ )x f(a )+ + x k f(a k )x λ a + + x k λ k a k (fordi f er lineær og a,,a k er egenvektorer) Vektoren f(a k+ )ernupåtomåder fremstillet som linearkombination af sættet a,,a k ; da dette sæt er lineært uafhængigt må koefficienterne i de to udtryk stemme overens, dvs λ k+ x i x i λ i for i,,k

118 6 Diagonalisering af matricer Dette er kun muligt hvis x i hver gang λ i λ k+ Fjerner man nullerne i ligningen a k+ x a + + x k a k, udtrykkes a k+ altså som linearkombination af andre basisvektorer fra det samme egenrum V λk+ Dette strider mod at sættet var sammensat af baser for de enkelte egenrum: vektorer fra sættet som tilhører samme egenrum er på forhånd lineart uafhængige Vi har dermed nået en modstrid og kan konkludere, at antagelsen at sættet er lineært afhængigt, var forkert Eksempel 63 I Eksempel 63 fandt vi basen a,a for egenrummet V og basen a 3 for egenrummet V 3 Ifølge Sætning 63 er så a,a,a 3 en basis for V R 3 Idet nævnte eksempel blev dette verificeret ved direkte udregning: det nyttige ved Sætning 63 er netop, at man kan udelade denne verificering Sætning 633 Hvis det karakteristiske polynomium P f for f har n dimv forskellige rødder λ,,λ n,daerf diagonaliserbar En diagonaliserende basis a,,a n fås i dette tilfælde ved for hver rod λ i at vælge en egenvektor a i med egenværdien λ i Bevis For hver af rødderne λ,,λ n gælder nødvendigvis rm λ i (ellers ville summen af rodmultipliciteterne jo overstige n) Ifølge Sætning 6 gælder dermed em λ i, og da hver rod ifølge Sætning 68 er egenværdi, er em λ i Altså er em λ i rm λ i Det følger nu af Sætning 63, at f diagonaliseres af den omtalte basis a,,a n 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser Lad A være en n n-matrix Af og til har man brug for at udregne potensen A k for k,, 3, HvisA er diagonaliserbar kan potensopløftning bekvemt gøres ved at diagonalisere A først Hvis nemlig S er en regulær matrix, så matricen D S A S er en diagonalmatrix gælder, at D k S A k S, (thi D (S A S )(S A S )S A S etc ) ogdermeder A k S D k S Man udnytter så, at D k er meget let at udregne Eksempel 64 Vi betragter matricen A 4 3

119 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser fra Eksempel 63 Vi vil finde A 5 Naturligvis kan vi udregne den direkte; men vi kan også bemærke,at A 5 S D 5 S, hvor D,S 3 3,S ifølge Eksempel 63 Men så er 3 A Eksempel 64 Lad os antage at Københavns befolkningstal (gennem en årrække) konstant er million Byen opdeles i to dele, city og forstæderne Lad C n betegne befolkningstallet i city, og lad F n betegne befolkningstallet i forstæderne efter n år (regnet i millioner) Befolkningsfordelingen mellem city og forstæderne angives ved en befolkningsvektor ( ) Cn B n Antag, at 5% af befolkningen i city flytter til forstæderne, og at % af befolkningen i forstæderne flytter til city hvert år Der må gælde,at F n, C n+ 85C n +F n F n+ 5C n +9F n ( ) Dette gælder for n,,, Denne sammenhæng kan skrives ( ) ( )( ) Cn+ 85 Cn 5 9 Matricen F n+ A ( ) ( 7 3 kaldes overgangsmatricen Vi kan skrive formlen ( ) som B n+ A B n F n 9 ) 3

120 6 Diagonalisering af matricer Specielt får vi, at B A B, B A B A B etc, således at B n A n B Vi vil undersøge, hvorledes befolkningsfordelingen udvikler sig efter et stort antal år Vi har altså brug for at beregne A n for store værdier af n Vi forsøger at diagonalisere A : Det karakteristiske polynomium skrives op: ( 7 λ ) P A det(a λe )det 3 9 λ λ 7 4 λ Rødderne heri er λ ogλ 3 Matricen A er altså diagonaliserbar 4 Vi finder egenrummet hørende til egenværdien λ : ( ) 3 A λe, 3 der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til ( ) 3, hvoraf vi finder, at vektoren a ( ) 3 er en basis for V Dernæst finder vi egenrummet hørende til egenværdien λ 3: 4 ), A λe ( der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til ( ), hvoraf vi finder, at vektoren a 3 ( er en basis for V 3 4 Om koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til basen a,a gælder så, at S 3 ) ( 3 ), 4

121 64 Potensopløftning af matricer; anvendelser hvoraf og dermed er S 5 ( 3 ) ( 5 D S A S, ), hvor ( ) D 3 4 Men så er ( ) A n S D n S S ( ) 3 n S ( ( + ( 3 3 ) n ( 3 n ) ) ) n 3 ( 3 3 ) n 3 + ( )( )( ( ) 3 n 3 4 ) Hvis nu feks n er ( 3 4) n tilnærmelsesvis lig med 37 (lommeregner), hvorefter vi finder følgende tilnærmede værdi for A : A ( ) Vi finder så, idet M er million, ( B A B ( (C ) 5 + F ) 3 (C 5 + F ) )( C 5 3 F 5 M ( ) ( C 5 + F ) 5 3 C 5 + 3F 5 ) ( ) 4 M 6 Efter et antal år vil befolkningsfordelingen altså være stabil, og 4% af befolkningen vil bo i city, og 6% vil bo i forstæderne 5

122 7 Vektorrum med skalarprodukt 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Lad V være et vektorrum Definition 7 Ved et skalarprodukt (eller indre produkt i V forstås en forskrift hvorved der til hvert par af vektorer x,y i V knyttes et tal x y, skalarproduktet af x og y, således at der for vilkårlige vektorer x,y,z i V og vilkårlige tal λ R gælder: S: (x + y) z x z + y z S: (λx) y λ(x y) S3: x y y x S4: x x S5: x x x o Vektorrummet V udstyret med et skalarprodukt kaldes for et euklidisk vektorrum Eksempel 7 I talrummet R n defineres et skalarprodukt ved for to vektorer i R n at sætte x x x n, y y y n x y x y + + x n y n Det følger af Sætning 4 Dette skalarprodukt kaldes for det sædvanlige skalarprodukt på R n Lad V være et euklidisk vektorrum For en vektor x V defineres længden af vektoren x som tallet x x x 6

123 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Denne definition giver mening, da x x ifølges4vibemærker,at x netophvis x o, ogat λx λ x for λ R, x V En vektor x V for hvilken x kaldes en enhedsvektor Hvisx V er en egentlig vektor, da er vektoren y x x en enhedsvektor Vektoren y siges at være fremgået af x ved normering To vektorer x og y siges at være ortogonale hvis x y Dette skrives også x y Definition 73 Et sæt af vektorer a,,a n i V kaldes et ortogonalsæt, hvishveraf vektorerne er forskelligt fra nulvektoren, og hvis de er indbyrdes ortogonale, altså hvis a i o for i n og a i a j for i, j n, i j Sættet kaldes et ortonormalsæt, hvis der yderligere gælder, at alle vektorerne er enhedsvektorer, altså a i for alle i n Definition 74 En basis a,,a n for V kaldes for en ortonormalbasis hvis sættet a,,a n er et ortonormalsæt En basis a,,a n er altså en ortonormalbasis, hvis a i a i for i n og a i a j for alle i, j n, i j Det ses umiddelbart, at den naturlige basis e,,e n i R n er en ortonormalbasis i R n Sætning 75 Hvis a,,a n er en ortonormalbasis fordet euklidiske vektorrum V, og hvis vektoren x hhv y har koordinatsøjlen a,,a n,daer x x n hhv x y x y + + x n y n Bevis Vi ser på tilfældet n Der gælder så y y n med hensyn til basen x y (x a + x a ) (y a + y a ) x y a a + x y a a + x y a a + x y a a x y + x y Sætning 76 Lad a,,a n være et ortogonalsæt i det euklidiske vektorrum V Sættet a,,a n er lineært uafhængigt, og for a span {a,,a n } gælder a a a a a a + + a a n a n a n a n 7

124 7 Vektorrum med skalarprodukt Bevis Hvis a span {a,,a n } findes tal λ, λ n,så a λ a + + λ n a n, Heraf fås ved at multiplicere skalært med a j,at a a j λ j a j a j, idet vektorerne a,,a n er indbyrdes ortogonale Idet a j a j erså λ j a a j a j a j Dette viser formlen for a Hvis en linearkombination a λ a + +λ n a n er o, viser formlen at λ j o a j a j a j for j n, og det viser at sættet a,,a n er lineært uafhængigt Sætning 77 Lad b,,b n være et ortogonalsæt i det euklidiske vektorrum V,og lad a n+ V være yderligere en vektor i V Sættes b n+ a n+ a n+ b b a n+ b n b n, b b b n b n er b n+ o netop hvis sættet b,,b n, a n+ er lineært uafhængigt; endvidere er b n+ ortogonal på b,,b n Under alle omstændigheder er span {b,,b n,a n+ } span {b,,b n,b n+ } Bevis Hvis b n+ o har vi klart, at a n+ {b,,b n },ogdermederb,,b n,a n+ lineært afhængigt Hvis omvendt b,,b n,a n+ er lineært afhængigt, er b n+ o ifølge Sætning 76 Antag så, at b n+ o Ved skalær multiplikation af b n+ med b j, j n, fås b n+ b j a n+ b j a n+ b j b j b j b j b j Det er klart, at span {b,,b n,a n+ } span {b,,b n,b n+ } Hermed er sætningen vist Hvis a,,a n er et sæt af lineært uafhængige vektorer i vektorrummet V,ogvi sætter b a, og dernæst danner vektoren b ud fra sættet b,a som i Sætning 77, og dernæst danner vektoren b 3 ud fra sættet b,b,a 3 som i denne sætning etc, opstår der herved et ortogonalsæt b,,b n,med span{b,,b n } span {a,,a n } Sættet b,,b n siges at fremgå af sættet a,,a n ved Gram-Schmidt ortogonalisering Hvis vi ydermere normerer vektorerne b,,b n taler vi om Gram-Schmidt ortonormalisering Metoden er opkaldt efter JP Gram (85-96), dansk forsikringsmatematiker og E Schmidt (845-9), tysk matematiker Sætning 78 Ethvert endeligdimensionalt euklidisk vektorrum V har en ortonormalbasis Bevis Lad a,,a n være en basis for V Ved Gram-Schmidt ortonormalisering af denne basis opstår en ortonormalbasis b,,b n for V 8

125 7 Skalarprodukt; Gram-Schmidt ortogonalisering Eksempel 79 I R 4 er der givet de tre vektorer a, a, a 3 Vi udfører Gram-Schmidt ortogonalisering på dette sæt: Vi begynder med at sætte b a Dernæst sættes b a a b b b b For nemheds skyld omdefinerer vi nu b idet vi fjerner faktoren, og vi sætter altså 5 b Herefter findes b 3 : b 3 a 3 a 3 b b b b a 3 b b b b Vi omdefinerer så b 3, idet faktoren b fjernes, og vi sætter altså Hermed har vi fundet en ortogonalbasis for underrummet udspændt af a,a,a 3, nemlig 7 b, b 6 3, b Ønsker vi at finde en ortonormalbasis normerer vi blot disse vektorer, og får 7, ,

126 7 Vektorrum med skalarprodukt 7 Ortogonale matricer Definition 7 En n n-matrix S kaldes ortogonal, hvis dens søjler udgør en ortonormalbasis i R n Eksempel 7 Matricen ( S ses umiddelbart at være en ortogonal matrix 3 3 Sætning 73 For en n n-matrix S er følgende betingelser ensbetydende () S er ortogonal () S t S E (3) S er regulær, og S S t Bevis Først () (): Da (S t S )[i, j] S t [i, ] S [,j]s [,i] S [,j], udgør søjlerne i S et ortonormalsæt hvis og kun hvis (S t S )[i, j] ) { for i j for i j, og det er ensbetydende med S t S E Dette viser () () Dernæst () (3): Hvis S t S E er S regulær, og S S t ifølge Sætning 66 Hvis omvendt S er regulær, og S S t er S t S S S E Dette viser () (3) Eksempel 74 Idet matricen S fra Eksempel 7 er ortogonal, finder vi umiddelbart den inverse S S t til S : ( ) S 3 Lad V være et euklidisk vektorrum 3 Sætning 75 Koordinattransformationsmatricen S for overgang fra en ortonormalbasis a,,a n til en anden ortonormalbasis ã,, ã n er en ortogonal matrix

127 73 Ortogonalprojektion Bevis Skriver vi matricen s s n S ( s s n s nn ) s n er s j s nj koordinatsøjlen for vektoren a j med hensyn til basen ã,, ã n Mendaa,,a n og ã,, ã n er ortonormalbaser fås så, at s j s j s j + + s nj a j a j, og s i s j s i s j + + s ni s nj a i a j for i j Her har vi anvendt Sætning 75 Dette viser sætningen 73 Ortogonalprojektion Lad V være et euklidisk vektorrum Definition 73 For en delmængde M V sættes M {x V x y for alle y M} {x V x y for alle y M} Det ses umiddelbart, at M er et underrum i V,ogat M (spanm) Sætning 73 Lad U være et underrum i V Underrummet U er komplementært til U, altså V U U ; endvidere er (U ) U Hvis dim V n, dim U p, såerdim U n p

128 7 Vektorrum med skalarprodukt Bevis Lad a,,a p være en ortonormalbasis for U og udvid a,,a p til en ortonormalbasis a,,a n for V Ideta V skrives a λ a + + λ n a n gælder, at a a j λ j,hvorafses,ata U netop hvis λ j forj,,pmen det betyder, at U span {a p+,,a n },hvoraffås, at U og U er komplementære (Sætning 473) På samme måde ses, at (U ) span {a,,a p },derviser,at (U ) U Definition 733 Lad U være et underrum i V Vedortogonalprojektionen af vektoren a på U forstås projektionen af a på U langs U Underrummet U kaldes for det ortogonale komplement til U Bemærk, at ortogonalprojektionen af a på underrummet U er den entydigt bestemte vektor x U for hvilken vektoren y a x tilhører U Af beviset for Sætning 73 fremgår følgende sætning: Sætning 734 Hvis a,,a p er en ortonormalbasis for underrummet U i V er ortogonalprojektionen x af vektoren a på U givet ved x (a a )a + +(a a p )a p Er der i et underrum U givet en ortonormalbasis kan man direkte nedskrive ortogonalprojektionen af en vektor a på U ved hjælp af den foregående sætning Er der derimod blot givet en basis a,,a p,der(måske) ikke er en ortonormalbasis, kan man gå frem på følgende måde: Idet ortogonalprojektionen af a på U kaldes x skrives x x a + + x p a p Det bemærkes så, at a x U,hvoraf(a x) a j for j p Men dette betyder, at a j x a j a, hvoraf for j p Dette kan også skrives eller x a j a + + x p a j a p a j a (a a )x + +(a a p )x p a a (a p a )x + +(a p a p )x p a p a, a a a a p x a a a p a a p a p x p a a p Af dette ligningssystem kan så tallene x,,x p bestemmes, og dermed kan ortogonalprojektionen x bestemmes Bemærk, at den kvadratiske matrix der figurerer i formlen ( ) ersymmetrisk Den kaldes i øvrigt Gram-matricen hørende til basen a,,a p ( )

129 74 Diagonalisering af symmetriske matricer Eksempel 735 I R 3 er der givet vektorerne a, a Vi vil bestemme ortogonalprojektionen af vektoren a 3 på underrummet U udspændt af a,a Idet vektorerne a,a klarterlineærtuafhængige, udgør de en basis for U Viopskriverså ligningssystemet ( ) svarende til den forhåndenværende situation: ( )( ) ( 5 x 5, x ) der har løsningen ( ) ( ) x 5 x Ortogonalprojektionen x af a på U er da x x a + x a Som kontrol verificerer vi, at vektoren a x er ortogonal til a og a 74 Diagonalisering af symmetriske matricer Lad A være en m n-matrix, og lad f : R n R m være den tilhørende lineære afbildning Vi har i afsnit 6 set, at hvis f t : R m R n er den lineære afbildning, der hører til den transponerede matrix A t,dagælder f(x) y x f t (y) 3

130 7 Vektorrum med skalarprodukt for alle x R n, y R m ErnuA en symmetrisk n n-matrix, gælder A t A,og dermed gælder for den lineære afbildning f : R n R n,at for alle x,y R n Lad V være et euklidisk vektorrum f(x) y x f(y) Definition 74 En lineær afbildning f : V V kaldes symmetrisk hvis for alle x,y V f(x) y x f(y) Sætning 74 En symmetrisk lineær afbildning f : V V repræsenteres i en ortonormalbasis af en symmetrisk matrix Bevis Lad a,,a n være den givne ortonormalbasis, og lad A (a ij ) n,n være matricen der repræsenterer f i denne basis Der gælder så: a ij f(a j ) a i a j f(a i )f(a i ) a j a ji Her har vi anvendt Sætning 5, og at f er symmetrisk Sætning 743 Hvis x og y er egenvektorer for den symmetriske lineære afbildning f : V V hørende til forskellige egenværdier, er x og y ortogonale Bevis Der gælder, at f(x) λx og f(y) µy, hvorλ µ Mensåerλx y (λx) y f(x) y x f(y) x (µy) µx y Heraf ses, at (λ µ)x y,ogdermederx y, da λ µ Symmetriske matricer har en afgørende egenskab, givet i den følgende sætning Beviset anføres i appendiks, idet det benytter et resultat fra analysen Sætning 744 Det karakteristiske polynomium for en symmetrisk matrix har (mindst) én rod Af Sætning 744 fås, at hvis f : V V er en symmetrisk lineær afbildning, da har f en egenværdi (medmindre V {o}) I en ortonormalbasis repræsenteres f nemlig ved en symmetrisk matrix A,ogdaP f P A,harP f en rod, som så eregenværdiforf ifølge Sætning 68 Sætning 745 Lad f : V V være en symmetrisk lineær afbildning Da er f diagonaliserbar En diagonaliserende ortonormalbasis fås ved at vælge en ortonormalbasis for hvert egenrum og sammenstille disse baser 4

131 74 Diagonalisering af symmetriske matricer Bevis Lad M være mængden af samtlige egenvektorer for f og sæt U M Vipåstår, at underrummet U er invariant ved f, hvilket vil sige at y U medfører f(y) U Lad x M Daerx egenvektor, altså f(x) λx forettalλ Dermedgælderfory U f(y) x y f(x) y λx λ(y x) Altså erf(y) x for alle x M, dvsf(y) M U Dette viser påstanden Lad nu g : U U betegne restriktionen af f til U Da ses fra Definition 74 at g også er symmetrisk Ifølge bemærkningerne efter Sætning 744 har g en egenvektor, medmindre U {o} Men en egenvektor for g er også egenvektor for f og vil derfor tilhøre M Da M U er dette udelukket Altså må U {o} Altså udspænder M hele V (Sætning 73) Heraf sluttes, at vi kan finde en basis bestående af egenvektorer, og dermed er f diagonaliserbar At fremgangsmåden anført til sidst i sætningen fører til en diagonaliserende ortonormalbasis, følger af sætningerne 63 og 743 Af den netop viste sætning fås så følgende sætning om symmetriske matricer: Sætning 746 En symmetrisk n n-matrix A er diagonaliserbar, og der findes en ortogonal n n-matrix S så D S A S er en diagonalmatrix Bevis Lad f : R n R n være den lineære afbildning der hører til A Der findes da en ortonormalbasis a,,a n for R n bestående af egenvektorer for f (Sætning 745) Koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til basen a,,a n er da en ortogonal matrix (Sætning 75), og der gælder, at D S A S,hvorD er matricen, der repræsenterer f ibasena,,a n (Sætning 53) Men D er en diagonalmatrix, da vektorerne a,,a n er egenvektorer for f Dette viser sætningen Bemærkning Omvendt til Sætning 746 gælder: Hvis en n n-matrix A er diagonaliserbar mht en ortogonal matrix S, såera symmetrisk Af D S A S fås A S D S,ogherafsesat hvoraf symmetrien af A fremgår A t S t D t (S ) t S D S A, Eksempel 747 Der er givet den symmetriske matrix 8 4 A 4 8 5

132 7 Vektorrum med skalarprodukt Vi vil finde en basis for R 3 bestående af egenvektorer for A, og en ortogonal matrix S så D S A S er en diagonalmatrix Vi opskriver først det karakteristiske polynomium: 8 λ 4 P A (λ) det(a λe ) λ 4 8 λ λ λ λ 4 8 λ ( λ) λ ( λ) λ λ 4 4 λ ( λ) λ 4 4 λ ( λ)(λ 5λ + 36) ( λ) (3 λ) Det karakteristiske polynomium har altså rødderne λ 3ogλ (dobbeltrod) Vi finder dernæst de tilhørende egenrum For λ 3fås: 5 4 A λe 8, 4 5 der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til matricen 4 Vi opskriver så ligningssystemet hørende hertil: x 4x x 3 x + x 3 Dette løses, og vi finder x x x 3 t t t t, t R Vektoren a er altså en basis for egenrummet V 3 hørende til egenværdien λ 3 6

133 74 Diagonalisering af symmetriske matricer For λ fås: A λe der ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til matricen Vi opskriver så ligningssystemet hørende hertil: x + x x 3, Dette løses, og vi finder x s + t x x 3 s t s + t,s,t R Vektorerne a, a 3 er altså en basis for egenrummet V hørende til egenværdien λ Vi har nu fundet en basis a,a,a 3 for R 3 bestående af egenvektorer for A Viskal så finde en ortonormalbasis bestående af egenvektorer for A Vibemærker,atvektoren a er ortogonal på vektorerne a,a 3 i overensstemmelse med Sætning 743 Ved hjælp af Gram-Schmidt omdanner vi så sættet a,a 3 til en ortonormalbasis for V : Vi sætter b a,og b 3 a 3 a 3 b b b b 4 Vi omdefinerer så b 3 til b 3 4, og sætter b a Hermed har vi opnået et ortogonalsæt b, b, b 3 4 7

134 7 Vektorrum med skalarprodukt bestående af egenvektorer for A Den søgte ortonormalbasis fås nu ved normering af dette sæt: 3,, Om koordinattransformationsmatricen S for overgang fra naturlig basis til denne nye ortonormalbasis gælder: og dermed er S (S ) (S ) t S t, Der gælder så, at hvor D D S A S, 3 75 Kvadratiske former Lad B (b ij ) n,n være en symmetrisk n n-matrix For x X R n sættes K B (x) X t B X Funktionen K B For n er og : R n R kaldes den til B hørende kvadratiske form ( ) b b B, b b ( )( ) b b K B (x,x )(x x ) x b b x b x + b x +b x x 8

135 75 Kvadratiske former og For n 3er b b b 3 B b b b 3, b 3 b 3 b 33 b b b 3 x K B (x,x,x 3 )(x x x 3 ) b b b 3 x b 3 b 3 b 33 x 3 b x + b x + b 33 x 3 +b x x +b 3 x x 3 +b 3 x x 3 Generelt gælder K B (x) n b ii x i + i<j i b ij x i x j Eksempel 75 a Funktionen K : R R givet ved K(x,x )x 4x x + x er en kvadratisk form; thi sættes B ( ) er K K B b Funktionen K : R 3 R givet ved er en kvadratisk form; thi sættes er K K B K(x,x,x 3 ) 3x + x x 3 x x 3 +x x 3 B 3 Definition 75 Lad K B matrix B Visiger,at være den kvadratiske form hørende til den symmetriske () K B er positivt definit, hvisk B (x) > for alle x o () K B er positivt semidefinit, hvisk B (x) for alle x 9

136 7 Vektorrum med skalarprodukt (3) K B er negativt definit, hvisk B (x) < for alle x o (4) K B er negativt semidefinit, hvisk B (x) for alle x Hvis ingen af disse betingelser er opfyldt siges K B at være indefinit Hvis en kvadratisk form K B er positivt definit er den også positivt semidefinit At K B er indefinit betyder, at der findes en vektor x, så K B (x) > ogenvektory, så K B (y) < Hvis K B er negativt definit er K B positivt definit Hvis K B er positivt definit siges matricen B at være positivt definit etc Vi er interesserede i at kunne afgøre om en given kvadratisk form er positivt (semi)definit, negativt (semi)definit eller indefinit Først ser vi på tilfældet, hvor B er en diagonalmatrix, altså da er B λ λ n ; K B (x) λ x + + λ n x n Heraf fremgår klart, at K B er positivt definit netop hvis λ j > for alle j n, positivt semidefinit netop hvis λ j for alle j n, negativt definit netop hvis λ j < for alle j n, negativt semidefinit netop hvis λ j for alle j n og indefinit netop hvis der findes et j, så λ j > ogetk ( j) så λ k < Antag så, at B er en vilkårlig symmetrisk n n-matrix Der findes da en ortogonal matrix S,så matricen D S B S er en diagonalmatrix: D her er λ,,λ n egenværdierne for B λ For en vektor x X skriver vi x X S X (jvf Sætning 5) Idet X S X gælder så: λ n ; Heraf fås K B (x) X t B X (S X ) t B S X X t (S ) t B S X X t S B S X X t D X K D ( x) 3

137 75 Kvadratiske former Sætning 753 Den kvadratiske form K B hørende til en symmetrisk matrix B er positivt definit (hhv positivt semidefinit, hhv negativt definit, hhv negativt semidefinit) netop hvis samtlige egenværdier for B er positive (hhv positive eller nul, hhv negative, hhv negative eller nul), og den er indefinit netop hvis der findes både positive og negative egenværdier Eksempel 754 En kvadratisk form K : R 3 R er givet ved K(x,x,x 3 )8x +x +8x 3 4x x +8x x 3 +4x x 3 Den tilhørende symmetriske matrix er B Denne matrix blev i Eksempel 747 vist at have egenværdierne 3 og, altså erden kvadratiske form K positivt definit Hvis B er en symmetrisk matrix, og S er en ortogonal matrix, så D S B S er en diagonalmatrix, da er det D detb HvisderforB er positivt definit, er det B >, idet jo så alle diagonalelementerne i D er positive, og determinanten for D er produktet af egenværdierne Lad B (b ij ) n,n være en symmetrisk matrix Ved den i te ledende undermatrix forstås den i i-matrix B i der fremgår ved sletning af de sidste n i rækker og søjler Altså er B b ( ) b b B, b b b b i B i b i b ii Specielt er B n B Det er klart, at K (x B i,,x i )K B (x,,x i,,, ) Hvis derfor B er positivt definit er B i positivt definit, og dermed er også denledende underdeterminant det B i > for alle i n Dette viser den ene halvdel af følgende sætning Den anden del af sætningen beviser vi ikke her Sætning 755 En symmetrisk matrix er positivt definit netop hvis alle dens ledende underdeterminanter er positive 3

138 7 Vektorrum med skalarprodukt Eksempel 756 Vi betragter igen matricen 8 4 B 4 8 fra Eksempel 754 De ledende underdeterminanter beregnes til det B 8,detB 84, det B 3 detb 43 Idet disse alle er positive, fås igen at B er positivt definit 3

139 Appendiks Mængder De grundlæggende begreber fra mængdelæren forudsættes bekendt Her indskrænker vi os til at minde om følgende standardbetegnelser: N betegner de naturlige tal, dvs tallene,, 3, N betegner de naturlige tal med tilføjelse af, dvs tallene,,, 3, Z betegner de hele tal, dvs tallene, 3,,,,,, 3, Q betegner de rationale tal, dvs mængden af alle brøker p,hvorp og q er hele tal, q q R betegner de reelle tal Disse tal svarer til mængden af punkter på en tallinie Afbildninger Ved en afbildning af en mængde af X ind i en mængde Y, eller en funktion fra X til Y,forstås en forskrift, hvorved der til hvert element x X knyttes et bestemt element y Y En afbildning betegnes i reglen ved et enkelt bogstav Af f er en afbildning af X ind i Y skrives f : X Y Mængden X kaldes afbildningens definitionsmængde og mængden Y kaldes dens dispositionsmængde Dettiletelementx X svarende element af Y betegnes f(x) Det kaldes billedet af x ved f eller den til x hørende funktionsværdi Atf(x) svarertilx skrives hyppigt x f(x) For en vilkårlig delmængde A af X udgør billederne af alle x A en delmængde af Y, der kaldes billedet af A ved f og betegnes f(a), altså f(a) {f(x) x A} 33

140 Appendiks Bemærk, at medens f(x) forx X er et element i Y,erf(A) fora X en delmængde af Y Billedet f(x) kaldesbilledmængden eller værdimængden for f En afbildning f : X Y kaldes surjektiv eller en afbildning af X på Y,hvisf(X) Y Den kaldes injektiv, hvis der for vilkårlige indbyrdes forskellige x,x X gælder f(x ) f(x ) Sagt anderledes er f injektiv, hvis f(x )f(x ) x x Afbildningen kaldes bijektiv, hvisdenbåde er surjektiv og injektiv, altså hvis ethvert y Y er billede af et og kun et x X Er der givet en afbildning f : X Y kan vi for givet y Y betragte ligningen y f(x) Der gælder da: a Ligningen har mindst en løsning for hvert valg af y netop hvis f er surjektiv b Ligningen har højst en løsning for hvert valg af y netop hvis f er injektiv c Ligningen har netop en løsning for hvert valg af y netop hvis f er bijektiv Til en bijektiv afbildning f : X Y hører en omvendt afbildning f : Y X Denne er defineret ved, at billedet af y Y ved f er det (entydigt bestemte) element x X for hvilket y f(x) Sagt anderledes er f (y) den entydigt bestemte løsning x til ligningen y f(x) Den omvendte afbildning til den bijektive afbildning f kaldes også fordeninverse afbildning til f Det er klart, at hvis f : X Y er en bijektiv afbildning, da er den omvendte afbildning f : Y X også bijektiv,og(f ) f Lad X, Y, Z være mængder og lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger Den sammensatte afbildning g f : X Z defineres da som den afbildning, der til hvert element x X lader svare elementet g(f(x)) i Z, altså g f(x) g(f(x)) For sammensætning af afbildninger gælder den associative regel: Hvis X, Y, Z, W er mængder og f : X Y, g : Y Z, h : Z W er afbildninger, er h (g f) (h g) f Dergældernemlig,ath (g f) og(h g) f begge er afbildninger af X ind i W,ogpå ethvert element x X har begge disse afbildninger værdien h(g(f(x))) Man kan derfor udelade parenteserne og simpelthen skrive h g f Lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger Da gælder: Hvis f og g begge er surjektive, er g f surjektiv Hvis f og g begge er injektive, da er g f injektiv Hvis f og g begge er bijektive, da er g f bijektiv,ogdaer(g f) f g En speciel afbildning af en mængde X ind i sig selv er den identiske afbildning id X : X X, der lader ethvert element x X svare til sig selv: id X : x x For enhver bijektiv afbildning f : X Y gælder f f id X og f f id Y 34

141 Appendiks Hvis X og Y er mængder og f : X Y og g : Y X er afbildninger, så g f id X og f g id Y,dagælderatf er bijektiv, og f g For at indse det bemærker vi, at g(f(x)) x for alle x X og f(g(y)) y for alle y Y Heraf ses umiddelbart, at f er henholdsvis injektiv og surjektiv, altså bijektiv; og da f(g(y)) y slutter vi, at f (y) g(y) for alle y Y,altså f g Eksempel Afbildningen Cpr : X Y, hvor X er mængden af danske statsborgere (og udlændinge på længerevarende ophold idanmark)ogy er mængden af -cifrede naturlige tal, har stor praktisk betydning Det er vigtigt, at denne afbildning er injektiv, altså at forskellige personer har forskellige Cpr-numre Derimod er afbildningen ikke surjektiv For det første kan ikke alle 4-cifrede naturlige tal forekomme som de 4 første cifre i et Cpr-nummer men kun 366 af i alt muligheder Men derudover har man for ethvert Cpr-nummer af formen c 9 c 8 c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c c c c + c + c + + c 9 9, c j <, forlangt, at tallet 4c 9 +3c 8 +c 7 +7c 6 +6c 5 +5c 4 +4c 3 +3c +c + c er deleligt med Dette har den gode virkning, at ombytning af to nabocifre i et lovligt Cpr-nummer gør det til et ulovligt Cpr-nummer Prøv at teste dit eget Cpr-nummer for denne betingelse! Bevis for Sætning 744 I beviset benyttes Lagranges multiplikatorsætning Vi minder først om hvad den siger, idet vi henholder os til den upræcise formulering givet i K Sydsæter, Matematisk Analyse I, afsnit 99 Der er givet en funktion f : R n R Der er endvidere givet et antal m < n, bibetingelser af formen g j (x) b j,hvorg j : R n R og b j R for j,,mom funktionerne f og g j skal gøres nogle antagelser, som vi ikke kommer nærmere ind på (se K Sydsæter, Matematisk Analyse II, Afsnit 84; i nedenstående anvendelse er det let at konstatere, at disse betingelser faktisk er opfyldt) Problemet består i at finde (lokalt) ekstremum for f blandt de punkter x R n, som opfylder bibetingelserne Til dette problem er knyttet den såkaldte Lagrangefunktion L For hver bibetingelse indføres en hjælpevariabel λ j, som kaldes en Lagrangemultiplikator Funktionen L er givet ved L(x,,x n,λ,,λ m )f(x,,x n ) m λ j (g j (x,,x n ) b j ) j 35

142 Appendiks Lagranges sætning siger, at hvis x (x,,x n ) er en løsning til det ovennævnte problem, da findes λ,,λ m således, at (x,,x n,λ,,λ m ) er et stationært punkt for L, hvilket vil sige L/ x i fori,,n og L/ λ j forj,,m (de sidstnævnte ligninger betyder blot at x opfylder bibetingelserne) Vi vil anvende denne sætning til at bevise Sætning 744 Lad A være en symmetrisk matrix, og lad K A : R n R være den til A hørende kvadratiske form (se side 9), altså n n K A (x,,x n ) a ik x i x k Mængden S {x R n x } er afsluttet (fordi x x er kontinuert) og begrænset (fordi x for alle x S) Idet K A er kontinuert, antager den et ekstremum på S (den antager naturligvis både minimum og maksimum) Ifølge Lagranges sætning, med f K A, m ogg (x) x x x, b eksisterer der derfor et stationært punkt (x,λ) S R for funktionen i k L(x,λ)K A (x) λ(x x ) De partielle afledede af L beregnes som følger Lad os bestemme L/ x Idet n n K A (x,,x n )a x + a i x i x + a k x x k + i k n n a ik x i x k, i k ses (under anvendelse af symmetrien af A ), at K A x a x + n n n a i x i + a k x k a k x k, i k k hvilket netop er førstekoordinaten af A xidet (x x)/ x x følger det, at L/ x er førstekoordinaten af (A x λx) Tilsvarende fås, at L/ x i er i-koordinaten af (A x λx) At punktet (x,λ) S R er stationært for L betyder altså ata x λx o, dvs at x er egenvektor for A med egenværdien λ Dermed følger eksistensen af en egenvektor og en egenværdi for A af Lagranges sætning Da egenværdien er rod i det karakteristiske polynomium, har dette dermed en rod 36

143 Det græske alfabet A, α: alfa B,β: beta Γ,γ: gamma, δ: delta E,ɛ, ε: epsilon Z, ζ: zeta H, η: eta Θ,θ, ϑ: theta I, ι: iota K, κ: kappa Λ, λ: lambda M, µ: my N, ν: ny Ξ,ξ: ksi Π,π, ϖ: pi R,ρ, ϱ: ro Σ, σ, ς: sigma T,τ: tau Υ,υ: ypsilon Φ, φ, ϕ: fi X, χ: ki Ψ,ψ: psi Ω,ω: omega 37

144 Hjemmeopgaver Afgør hvilke af følgende afbildninger der er lineære, og angiv i givet fald den tilhørende matrix a b c f ( ) x + x y y x + y x x + y f y y z x z f ( ) ( x x + x y y y ) Om den lineære afbildning f : R R 4 vides at ( ) ( ) f 3 3 4,f 3 Bestem matricen for f Der er givet matricerne a c d f A b, B e, C r, D u t s w v Beregn matrixprodukterne A B, B A, C D, D C, A C 38

145 Hjemmeopgaver 4 En fabrik producerer tre varer X, X og X 3 udfradetoråvarer Y og Y De tilhørende produktionssæt hhv forbrugssæt betegnes (x,x,x 3 )hhv(y,y ) Om den pågældende produktion gælder, at { enheder af Y produktion af en enhed af X kræver 5 enheder af Y og og produktion af en enhed af X kræver { 3 enheder af Y 6 enheder af Y produktion af en enhed af X 3 kræver { 4 enheder af Y 7 enheder af Y a Opskriv sammenhængen mellem forbrugssæt og produktionssæt b Idet f : R 3 R betegner den afbildning, der til produktionssættet (x,x,x 3 ) knytter det tilsvarende forbrugssæt (y,y ) skal der redegøres for, at f er lineær, og matricen A for f skal opskrives 5 Den lineære afbildning f : R 3 R 3 er givet ved x x +z f y y z z x +3y + z a Gør rede for, at f er bijektiv b Bestem den inverse afbildning f : R 3 R 3 til f c Angiv matricerne for f,f og f, samt produktet af de to førstnævnte matricer 6 Vis, at den lineære afbildning ϕ : R 3 R 3 som er givet ved x y ϕ y z, z hverken er injektiv eller surjektiv Anfør matricen C for ϕ, og find C 3 7 Der er givet en øvre trekantsmatrix af formen a c A b 39

146 Hjemmeopgaver hvor a, b, c er vilkårlige relle tal Gør rede for, at en sådan matrix er regulær, og find et udtryk for A 8 Løs det lineære ligningssystem x x +x 3 x 4 x +4x 3x 3 +6x 4 x 3x 3 x + x 3 +x Løs det lineære ligningssystem 3x 6x + x 3 +3x 4 5 3x 6x +3x 3 +x 4 x 4x +5x 3 +6x 4 3 For ethvert a R betegner L a løsningsmængden til det lineære ligningssystem: x + x + 5x 3 7 x x x 3 3x x +(a + a)x 3 a + a Bestem L og L b Bestem L a for ethvert a R En afbildning f : R 4 R 4 er givet ved x f x x 3 x 4 4x + x 3 + x 4 3x + x +3x 3 + x 4 x +x 3 3x +x +4x 3 + x 4 Gør rede for, at f er lineær og undersøg om f er bijektiv Find i givet fald f,idet dennes matrix angives Der er givet matricerne A 3, B 3 4

147 Hjemmeopgaver Gør rede for, at der findes netop én løsning til matrixligningen og find denne 3 Givet matricen A A X A B, a +a Omform A ved hjælp af rækkeoperationer til en øvre trekantsmatrix og afgør herved, for hvilke værdier af a den givne matrix er regulær 4 Der er givet permutationerne ( ) σ og τ ( ) a Find fortegnet for σ hhv τ b Find permutationerne σ τ og τ σ c Find permutationen σ 5 Givet matricen A Find det A for enhver værdi af a a +a 6 Der er givet matricen A a a + 4 a 4 a Bestem de værdier a R for hvilke matricen er regulær b Idet B a + a a+ a, a R 4

148 Hjemmeopgaver skal man bestemme de værdier af a R for hvilke matrixligningen A X B har mindst en løsning (Vink: I det tilfælde hvor A ikke er regulær, undersøg da determinanten på begge sider af ligningstegnet) c Løs ligningen for a 7 Løs følgende ligningssystem ved hjælp af Cramers formler: 3x x 5x 3 3 4x 4x 3x 3 4 x 5x Find den inverse til matricen A ved hjælp af determinantformlen for invers matrix 9 Udregn værdien af determinanten a a a b a a b a a b a a b a a a (Vink: Begynd eventuelt med at trække sidste række fra de øvrige rækker) I R 3 er der givet vektorerne a 7 4, a 5 4 For hvilke værdier af k er vektoren a k 5 4

149 Hjemmeopgaver indeholdt i span{a,a }? Vis at vektorerne a 3 4, a 3 5, a 3 4, a udgør en basis i R 4, og fremstil vektoren a 4 3 som linearkombination af disse vektorer Vis at vektorerne a 3 4, a 3 5, a 3 4, a i R 4 er lineært afhængige, og fremstil o som en linearkombination af disse vektorer med koefficienter der ikke alle er nul 3 I R 4 er der givet vektorerne u, u, u 3 a Vis, at u,u,u 3 er lineært uafhængige b Udvid sættet (u,u,u 3 )tilenbasisforr 4 ved tilføjelse af en af vektorerne fra den naturlige basis e,e,e 3,e 4 Find også enderikkekanbruges c Find projektionen v af e på span {u,u,u 3 } langs span {e 4 },idetv angives som linearkombination af u,u,u 3, og derefter udregnes som talsæt i R 4 4 Lad U og U være komplementære underrum i vektorrummet V Vi definerer en afbildning P : V V på følgende måde: Vi skriver x V (entydigt!) som x u + u, hvor u U og u U Vi definerer så P (x) u 43

150 Hjemmeopgaver a Vis, at P er en homomorfi b Vis, at P P (altså P P P ) c Vis, at P (V )U 5 Find et maksimalt lineært uafhængigt sæt fra sættet (A,A,A 3,A 4)hvor A ( ), A ( ), A 3 ( ), A 4 ( ), idet A,A,A 3,A 4 betragtes som elementer i vektorrummet M, 6 Idet a og b er reelle tal, er der givet matricen 3 4 A 4 3 a b Udregn det A, og angiv rangen rg A for ethvert sæt (a, b) R 7 I det tredimensionale vektorrum U er der givet basen (a,a,a 3 ), og i det todimensionale vektorrum V er der givet basen (b,b ) a Homomorfien f : U V er fastlagt ved at f(a )b + b, f(a )b b og f(a 3 )3b Bestem den matrix A der repræsenterer f idenævntebaser b Bestem en basis for ker f c Gør rede for, at f er surjektiv d I U og V indføres nye baser (ã, ã, ã 3 )og( b, b )således: ã a + a 3, ã 3a + a + a 3, ã 3 a + a ; b b + b, b b + b Bestem koordinattransformationsmatricerne T,hhvS fra gammel til ny basis i U hhv V e Bestem nye koordinatsøjler for vektorerne u a a hhv v b b i U hhv V f Find den matrix Ã, der i de nye baser repræsenterer homomorfien f fra punkt a 44

151 Hjemmeopgaver g Bestem den nye koordinatsøjle for f(u) h En homomorfi g : V U er givet ved g(y b + y b )(y 3y )a +(y + y )a +(y y )a 3 Find den matrix B der repræsenterer g i de gamle baser 8 Afgør i hvert af følgende tilfælde, om den angivne matrix er diagonaliserbar, og find i bekræftende fald en diagonaliserende koordinattransformationsmatrix a ( 5 b ( c ) ) En lineær afbildning f : R 4 R 4 er givet ved matricen 3 A a Gør rede for, at ker f har dimensionen b Bestem egenværdier og egenvektorer for A c Angiv en basis for R 4 i hvilken den til A hørende homomorfi repræsenteres ved en diagonalmatrix, og angiv en sådan diagonalmatrix 3 I vektorrummet R 3 er givet de lineært uafhængige vektorer a, b, c En endomorfi f : R 3 R 3 er fastlagt ved f(a) b, f(b) a, f(c) o 45

152 Hjemmeopgaver a Opskriv den matrix der repræsenterer f i basen(a,b,c) b Gør rede for at f er diagonaliserbar c Find den matrix der repræsenterer f i den naturlige basis for R 3 3 Find i det euklidiske vektorrum R 4 en ortonormalbasis for løsningsrummet til ligningssystemet: 3x x x 3 + x 4 x +x 3x 3 x 4 3 Find i hvert af følgende to tilfælde ortogonalprojektionen af x på underrummet U: a b hvor hvor a x x a 3 3, U span {a,a },, a 5 3 3, U span {a,a,a 3 },, a 3, a I det euklidiske vektorrum R 3 er der givet vektorerne a (,, ),a (,, ),x(,, ) a Gør rede for, at a og a er lineært uafhængige b Find ortogonalprojektionen af x på underrummet U span {a,a } 46

153 Hjemmeopgaver c Ortonormer sættet a,a til en ortonormalbasis b,b for U d Suppler b,b op til en ortonormalbasis b,b,b 3 for R 3 34 Lad f : R 3 R 3 være den lineære afbildning som er knyttet til matricen A a Find dimensionen af f(r 3 ), og angiv en basis for f(r 3 ) b Find dimensionen af ker f, og find en basis for ker f c Begrund, at der findes en ortonormalbasis (a,a,a 3 ) som diagonaliserer f, og find en sådan d Angiv en diagonalmatrix D og en ortogonal matrix T således at D T A T 35 En lineær afbildning f : R 4 R 4 er givet ved matricen a Find kernen ker f for f, og eftervis at dimensionen af ker f er b Find en ortonormalbasis a,a for ker f c Suppler den fundne ortonormalbasis a,a op til en basis for R 4 ved at udvælge to passende vektorer fra den naturlige basis e,e,e 3,e 4 i R 4 d Ortonormer den i punkt c fundne basis for R 4 til en ortonormalbasis for R 4 e Find ortogonalprojektionen af x påkerf og på (kerf) 47

154 Øvelsesopgaver Idet skal man beregne a 3x 4y b x +3y 5z x 7,y 3 4,z 5 8 c x y, x (z + y) Find de reelle tal x, y og z, når x + y + z Bestem de reelle tal k, så vektorerne x og y er ortogonale, når a x k, y b x 3k 4 5, y k 4 De lineære afbildninger f,g : R 3 R 3 hører til matricerne A hhv B 3 48

155 Øvelsesopgaver Bestem f, f og g, g 5 Gør i hvert af følgende tilfælde rede for, at den angivne afbildning f er lineær, idet den tilhørende matrix angives: ( ) ( ) x x a f x x x x b f x x 3 x 3 x 6 Der er givet en lineær afbildning f : R R 3 med den egenskab, at ( ) 3 ( ) 3 f 3 og f 9 Find matricen A for f 7 Lad afbildningerne f : R 4 R 3 og g : R 3 R være givet ved x f x x + x x 4 x 3 x x 4 x x + x + x 3 + x 4 4 og g x x x 3 ( x + x + ) x 3 x + x + x 3 a Gør rede for, at f er lineær idet den tilhørende matrix angives b Gør rede for, at g ikke er lineær (Vink: Benyt Sætning 39) 8 Findes der en lineær afbildning f : R R 3 således at ( ) ( ) ( ) f 4,f 4,f 8? 49

156 Øvelsesopgaver 9 Angiv samtlige lineære afbildninger f : R 3 R med den egenskab, at ( ) ( ) f,f, ved at angive de tilhørende matricer Idet a,a er vektorer i R n og b,b er vektorer i R m defineres en afbildning f : R n R m ved f(x) (a x)b +(a x)b a Gør rede for at f opfylder linearitstsbetingelserne L og L, og at f er lineær b Idet nu a ( ) (,a ), og b,b 3 skal man opskrive matricen for f Der er givet tre matricer A,B Udregn matrixprodukterne A B, C A, B C, C B, C B C,C ( ) 3 Betragt matricerne ( ) a b A c d µ,b,c ( ) a Hvilke matrixprodukter X Y kan dannes, hvor X og Y er en af matricerne A, B eller C? b Udregn alle sådanne matrixprodukter 3 Udregn følgende matrixprodukter ( 3) 3 og ( 3) 3 5

157 Øvelsesopgaver 4 Løs matrixligningerne ( ) ( ) ( ) 3 (a) X, (b) X, 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 (c) X, (d) X Bestem altså for hver matrixligning mængden af matricer X, der opfylder ligningen 5 Denne øvelse viser, at multiplikationen af reelle tal har nogle egenskaber som ikke deles af matrixmultiplikation Kommenter i hvert tilfælde resultatet set i lyset af de reelle tals egenskaber: a Idet A skal man udregne A B og B A ( ) og B ( ) 3 b Idet skal man udregne A B c Idet skal man udregne A A ( ) A ( og B ( ) ) d Idet skal man udregne A A ( ) e Idet A ( ) skal man udregne A 5

158 Øvelsesopgaver 6 Idet f : R n R m er en lineær afbildning skal man gøre rede for, at a f(λx + µy) λf(x)+µf(y) forx,y R n, λ, µ R b f(λ x +λ x +λ 3 x 3 )λ f(x )+λ f(x )+λ 3 f(x 3 )forx,x,x 3 R n, λ,λ,λ 3 R c f(λ x + +λ k x k )λ f(x )+ +λ k f(x k )forx,,x k R n, λ,,λ k R 7 Udregn følgende to matrixprodukter, idet der redegøres for den anvendte strategi: a b Idet skal man udregne A a A, A 3, A A 3, A 5 b B c C 3 ( ), B ( ) og C 3 9 Afgør i hvert af følgende tilfælde om den angivne afbildning f er injektiv, surjektiv, bijektiv, og angiv billedmængden ved f I de tilfælde hvor den angivne afbildning er bijektiv, skal man angive den omvendte afbildning a f : R R, f(x) x b f : R R, f(x) x 3 c f : R R, f(x) x 3 x d f : R R, f(x) e x e x e f : R \{} R, f(x) x 5

159 Øvelsesopgaver e f : R \{} R \{}, f(x) x f f : R R, f(x, y) xy g f : R R, f(x, y) (x + y, x y) h f : R R, f(x, y) (y + x, x) i f : R R, f(x, y) (x + y,x y ) Der er givet en afbildning g : R R 3 ved ( ) u + v u g u v, v u +v og en afbildning h : R 3 R ved x h y z ( ) x + y y + z a Gør rede for, at g er injektiv men ikke surjektiv b Gør rede for, at h er surjektiv men ikke injektiv c Gør rede for, at g og h er lineære afbildninger, idet de tilsvarende matricer anføres d Gør rede for, at de sammensatte afbildninger g h og h g er lineære og anfør de tilsvarende matricer Lad X, Y og Z være mængder, og lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger a Gør rede for, at hvis f og g er injektive, da er også g f injektiv b Gørredefor,athvisf og g er surjektive, da er også g f surjektiv c Gør rede for, at hvis f og g er bijektive, da er også g f bijektiv, og (g f) f g d Gørredefor,athvisg f er injektiv, da er også f injektiv e Gør rede for, at hvis g f er surjektiv, da er også g surjektiv 53

160 Øvelsesopgaver Gør rede for, at den lineære afbildning f : R 4 R 4 som er givet ved x x f x x 3 x + x x + x + x 3 x 4 x + x + x 3 + x 4 er bijektiv, og find matricen for den omvendte afbildning 3 De lineære afbildninger f,g : R 3 R 3 er givet ved x x + x x x + x +x 3 f x x + x 3, gx x + x 3 x 3 x + x 3 x 3 x + x 3 a Gør rede for, at f er bijektiv, og at g ikke er bijektiv b Angiv den inverse afbildning til f c Angiv matricerne for f, f 4 Givet matricerne ( A A A 7 ) (, A 3, A 5 ( 3 ), A 8 ) (, A 3, A 6 For hvilke værdier af i og j er A i A j? (Undersøg om A ia j E ) 5 Der er givet matricen C ), 3 Eftervis, at C 3 E, og gør rede for at dette medfører, at C er regulær med C C, 6 Der er givet matricerne ( ) ( cos t sin t A, B 3 4 sin t cos t ), t R 54

161 Øvelsesopgaver a Find determinanten og den inverse matrix til hver af matricerne A og B b Find den inverse til hver af afbildningerne f,g : R R,hvor f ( x x ) ( x +x 3x +4x ), g ( x x ) ( x cos t x sin t x sin t + x cos t ) c Bestem A, B og B 3 (Vedrørende B, B 3 : Benyt additionsformlerne cos(u + v) cosu cos v sin u sin v sin(u + v) sinu cos v +cosu sin v) 7 Afgør om følgende er rigtigt eller forkert: a Når A B og B A begge eksisterer er både A og B kvadratiske b A (B C )(A B )C c A B B A,når A og B er kvadratiske n n-matricer d A B O A O eller B O e Hvis A er regulær og A B er regulær, så erb regulær 8 Der er givet matricen A 4 3 Gør rede for, at den til A hørende lineære afbildning f er bijektiv, og find f Find herved A 9 Der er givet matricen λ A λ λ 3 Undersøg hvornår den til A hørende lineære afbildning er bijektiv, og find i de fundne tilfælde f Gør herefter rede for, hvornår A er regulær, og find i de fundne tilfælde A 55

162 Øvelsesopgaver 3 Der er givet tre matricer A, B Opskriv de transponerede matricer til A, B og C 3 Der er givet matricen A 5 7, C ( ) 3 Idet a,a er søjlevektorerne i A defineres afbildningen f : R 3 R ved ( ) x a f(x) x a Gør rede for, at f er lineær idet den tilhørende matrix opskrives 3 Der er givet en 3 -matrix A Ideta,a betegner søjlevektorerne i A defineres afbildningen f : R 3 R ved ( ) x a f(x) x a a Gør rede for, at f er lineær idet den tilhørende matrix opskrives b Der er nu yderligere givet en 3 -matrix B med søjlevektorer b,b Afbildningen h : R 3 R 3 defineres ved h(x) (x a )b +(x a )b Gør rede for, at h er lineær og find den tilhørende matrix (Vink: Afbildningen h kan opfattes som den sammensatte afbildning g f,hvorg er den lineære afbildning der hører til B ) 33 Lad A være 3-matricen ( 3 ) Udregn matricerne A A t og A t A 34 Lad A være en m n-matrix Gør rede for, at A t A er en symmetrisk n n-matrix, og at A A t er en symmetrisk m m-matrix 56

163 Øvelsesopgaver 35 Der er givet den symmetriske matrix og den symmetriske matrix A ( ) ( ) a b B b c Undersøg under hvilke betingelser matricen A B er symmetrisk 36 Omform ved hjælp af rækkeoperationer matricen til en trappematrix 37 Omform ved hjælp af rækkeoperationer matricen til en reduceret trappematrix 38 Hvad sker der, når man ganger en 4 4-matrix foran hhv bagved med en af matricerne c, c, c c 3 c 4 39 Løs følgende 3 lineære ligningssystemer: a b x x + x 3 3 x +x +4x 3 6 x + x +5x 3 9 x x + x 3 4 x +x +4x 3 6 x + x +5x

164 Øvelsesopgaver c x x +x 3 4 x +x +4x 3 6 x + x +5x Løs det lineære ligningssystem x x +x 3 + x 4 4x 5x +7x 3 7x 4 7 x + x x 3 +3x 4 3 x 5x +8x 3 3x Løs det lineære ligningssystem x + y +z 3 x y +4z x +3y z 3 3x y + z 4 Vis, at ligningssystemet x + y z x + y + z a x +z 3 ikke har nogen løsning (x, y, z) hvisa 5, men derimod uendeligt mange løsninger hvis a 5, idet disse angives 43 Løs det lineære ligningssystem x +4x x 3 x 4 +x 5 6 x +3x +x 3 7x 4 +3x 5 9 5x +8x 7x 3 +6x 4 + x Der er givet to matricer

165 Øvelsesopgaver og 3 Gør rede for, at begge matricer er regulære og find deres inverse 45 Undersøg hvilke af følgende matricer der er regulære: 3 3,, 5 3 3, En afbildning f : R 3 R 3 er givet ved x x +5x + x 3 f x x +5x x 3 x +7x + x 3 Gør rede for, at f er lineær og undersøg, om f er bijektiv Find i givet fald f,idet dennes matrix angives 47 Om en lineær afbildning f : R 3 R 3 med matrix X vides, at 3 f 5, 3 4 f 5 7, 4 f 7 a Gør rede for, at b Find X X c Gør rede for at X 3 E 59

166 Øvelsesopgaver 48 Betragt matricerne A og B (Bemærk, at a ij b ij for alle i, j, hvorj 3) Afgør, om A er invertibel og find A, hvis A er invertibel Udfør det samme for B 49 Lad A være en matrix og lad f være den tilhørende lineære afbildning Gør rede for, at hvis A indeholder en nulsøjle, da er f ikke injektiv og hvis A indeholder en nulrække, da er f ikke surjektiv Specielt er en matrix, der indeholder en nulrække eller en nulsøjle ikke regulær 5 Gør rede for, at en matrix med to ens rækker eller to ens søjler ikke er regulær 5 Der er givet matricerne 3 4 A, B, C 3 Vis ved udregning, at A B 3, A C Hvad kan heraf sluttes om regularitet af matricerne A, B og C? 4 5 Gør rede for, at hvis blot en af n n-matricerne C,,C k ikke er regulær, så er produktet C C k heller ikke regulært 53 Idet A er matricen skal man finde en regulær matrix P,så P A er en trappematrix Skriv dernæst P som et produkt af operationsmatricer 54 Idet A er matricen

167 Øvelsesopgaver skal man finde en regulær matrix P,så P A er en reduceret trappematrix Bestem den inverse matrix til P 55 Udregn, 3 4 3, 56 Udregn ( ) ( ) 3 3 a 3 3 b c d ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) Find i hvert af følgende tilfælde antallet af inversioner og fortegnet for den angivne permutation ( ) a ( ) b Fremstil i hvert af følgende tilfælde den angivne permutation som sammensætning af naboombytninger ( ) a ( ) b Opskriv samtlige permutationer i S og S 3 og angiv disses fortegn 6 Vi betragter mængden S 3 af permutationer af tallene,, 3 6

168 Øvelsesopgaver a Beskriv afbildningen f : S 3 S 3 givet ved f : σ σ, idet billedet af hvert element opskrives Verificer herved, at afbildningen f er bijektiv b Idet τ er permutationen ( ) 3, 3 skal man opskrive afbildningen g : S 3 S 3 givet ved g : σ σ τ, idet billedet af hvert element opskrives Verificer herved, at afbildningen g er bijektiv 6 En permutation σ, der ombytter to tal i og j og lader de øvrige tal urørte kaldes en transposition Der gælder altså atσ(i) j og σ(j) i medens σ(k) k for k i, k j a Naboombytninger er transpositioner b Opskriv nogle eksempler på transpositioner, der ikke er naboombytninger, og find antallet af inversioner for disse c Gør rede for, at antallet af inversioner i transpositionen σ ovenforer(j i )+, og vis herved, at en transposition altid er ulige 6 Bestem determinanterne af følgende matricer: , Bestem de tal t R for hvilke matricen t t t er regulær 64 For hvilke værdier af a har det lineære ligningssystem ax y +3z 4x +(a 4)y +6z x ay +5z egentlige løsninger, dvs løsninger (x, y, z) Angiv for de fundne værdier af a systemets fuldstændige løsning 65 Besvar følgende spørgsmål: 6

169 Øvelsesopgaver a Hvad kan man sige om værdien af determinanten af en matrix, der indeholder ens rækker? b Hvad sker der med værdien af en determinant, når man skifter fortegn på alle elementer i en række, og hvad hvis man skifter fortegn på alle elementer i matricen? c Hvad er forskellen på en determinant og en matrix? d Er det rigtigt, at en determinant er, hvis alle elementerne i matricen er? 66 Er følgende rigtig eller forkert? a b c b e a d f c d a b c d a b c d abc abcd abcd 67 Vis, at a a b b c c bc a ca b ab c (a b)(a c)(b c) 68 Udregn 63

170 Øvelsesopgaver a b Udregn a a b a a 7 Find de værdier af a R for hvilke matricen givet ved a a A a a a a a a a er regulær 7 Givet matricen a Beregn det A A b Gør rede for at A er regulær c Anvend Cramers formel til at løse ligningssystemet A X B,hvor B 64

171 Øvelsesopgaver 7 Givet matricen t A t t t a Beregn det A b Gør rede for, at A er regulær for alle værdier af t pånær± c Anvend Cramers formel til for hvert t pånær ± at løse ligningssystemet A X B,hvor t B t 73 Lad 3 4 A og B a Udregn det(a B ) b Udregn det(a B ) 74 Lad A (a ij ) n,n være en n n-matrix Med A betegnes matricen ( a ij ) n,n a Gør rede for, at det( A )( ) n det A Matricen A kaldes skævsymmetrisk hvis A t A b Gørredefor,athvisA er skævsymmetrisk og regulær, daern lige 75 Find den inverse til matricen A ved hjælp af determinantformlen for invers matrix 65

172 Øvelsesopgaver 76 For ethvert c R betragtes matricen: S c + c + Bestem de værdier af c, for hvilke S er invertibel og bestem S for disse værdier af c 77 Udregn determinanten Udregn determinanten a b a b b a b a 79 Udregn følgende determinanter,, 8 Udregn +a a +a a a +a a +a 8 Find de værdier af λ R for hvilke λ λ λ λ 66

173 Øvelsesopgaver 8 Angiv for hver værdi af a den fuldstændige løsning til ligningssystemet: x +x +3x 3 x 4 5 x +3x x 3 6 3x +7x +4x 3 x 4 4 x 5x 3 + x 4 a 83 Der er givet matricerne A 3, B a Gør rede for, at A er regulær og find A 3 3 b Gør rede for, at der findes netop en løsning til matrixligningen og find denne A X A B 84 Givet matricen hvor a R, a FindM a M a a a a, a 85 Der er givet matricerne A Find de værdier af a for hvilke matrixligningen a, B a A X B har en løsning, og løs ligningen for disse værdier af a 86 Gør rede for, at matricen A a a 3 a 67

174 Øvelsesopgaver er regulær, og find A Idet skal man beregne B b b 3 b A B A B 87 Lad V være et vektorrum, og lad a,,a n være vektorer i V Idet afbildningen f : R n V defineres x f x a + + x n a n, x n skal man gøre rede for, at f er lineær ved at vise at f opfylder L og L 88 Lad U og V være vektorrum Idet f : U V er en lineær afbildning skal man gøre rede for, at a f(λx + µy) λf(x)+µf(y) forx,y U, λ, µ R b f(λ x +λ x +λ 3 x 3 )λ f(x )+λ f(x )+λ 3 (x 3 )forx,x,x 3 U, λ,λ,λ 3 R c f(λ x + + λ k x k )λ f(x )+ + λ k f(x k )forx,,x k U, λ,,λ k R 89 Lad V være et vektorrum Gør rede for, at følgende er rigtigt: a Der findes kun én nulvektor i V b For hver vektor x V findes der kun én vektor y V,så x + y o c For hver vektor x V er x o d For hvert λ R er λo o e Hvis x + y z er x z y Der er nu givet yderligere et vektorrum U f Gør rede for, at hvis f : U V er en lineær afbildning da er f(o) o 68

175 Øvelsesopgaver 9 Lad V M, være mængden af -matricer udstyret med den i noterne angivne multiplikation med skalarer og addition a Eftervis, at V er et vektorrum b I V er der givet vektorerne a ( ) 4 og b ( 4 ) Find de vektorer x og y i V for hvilke x +y a og x y b 9 For ethvert c R er der i vektorrummet R 3 givet vektorsættet a (,, ), a (,c,), a 3 (x,, ) Bestem de værdier af c, for hvilke dette sæt er en basis i R 3 9 Lad V være mængden af -talsøjler R Gør i hvert af følgende tilfælde rede for, at V ikke er et vektorrum med hensyn til den angivne multiplikation med skalarer og addition ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x + y a + x λx og λ b c x ( x x ( x x ) + ) + y ( y y ( y y x + y ) ( ) x + y og λ x ) ( ) x + y og λ x + y x ( x x ( x x x ) ( λx λx ) ( λ x λ x ) ) 93 Undersøg i hvert af følgende tilfælde om den angivne mængde er et underrum i R 4 a Mængden af alle vektorer hvis førstekoordinat er et helt tal b Mængden af alle vektorer hvis førstekoordinat er lig nul c Mængden af alle vektorer hvori mindst en af de to første koordinater er nul d Mængden af alle vektorer hvori de første to koordinater tilfredsstiller ligningen x +x e Mængden af vektorer hvori de to første koordinater tilfredsstiller ligningen x + x 69

176 Øvelsesopgaver 94 Undersøg om vektorsættet a (,,, ), a (,,, ), a 3 (,,, ), a 4 (,,, ) udgør en basis i R 4 95 Undersøg i hvert af følgende tilfælde om det angivne vektorsæt er lineært afhængigt, lineært uafhængigt, eller udgør en basis i R 3 a a (,, ), a (,, ) b a (,, ), a (,, ), a 3 (,, ) c a (,, ), a (,, ), a 3 (,, ) 96 Lad V være et vektorrum og lad U være et underrum i V Gør rede for, at a λx + µy U for x,y U, λ, µ R b λ x + λ x + λ 3 x 3 U for x,x,x 3 U, λ,λ,λ 3 R c λ x + + λ k x k U for x,,x k U, λ,,λ k R Antag nu yderligere, at M er en delmængde af U d Gør rede for, at hvis M U da er span M U e Gør rede for, at M er et underrum netop hvis span M M 97 Lad der være givet et ligningssystem a x + + a n x n a m x + + a mn x n Gør rede for, at mængden af løsninger x (x,,x n ) til dette ligningssystem udgør et underrum i R n 98 Find en basis for løsningsrummet til ligningssystemet x +3x 3 x 4 + x 5 x 3 x 4 5x 5 x + x x 3 +x 4 +6x 5 99 Undersøg i hvert af følgende tilfælde om det angivne vektorsæt er lineært afhængigt, lineært uafhængigt, eller udgør en basis i R 4 I de tilfælde hvor sættet er lineært afhængigt skal man angive en af vektorerne som linearkombination af de øvrige 7

177 Øvelsesopgaver 4 a a, a, a 3 6 8, a b a, a, a 3 3 c a, a 3, a 3, a d a, a 5 5, a Lad f : U V være en homomorfi fra vektorrummet U ind i vektorrummet V Lad b V og lad L være mængden L {x U f(x) b} Gør rede for, at L ikke er et underrum når b o Lad x U være en vektor og antag, at f(x )b IdetK betegner kernen for f skal man gøre rede for, at hvis x U også opfylder f(x) b, da findes der en vektor y K, så x x + y (Dette resultat kan kort udtrykkes således: L x + K) Graden af et polynomium f(x) a x + + a n x n, x R, ipol(r) erdetstørstetalj så a j Ladforn,,, Pol n (R) betegne mængden af polynomier af grad højst n a Vis, at Pol n (R) er et underrum i Pol (R) b Vis, at afbildningen φ : R n+ Pol n (R) givetved a φ : a n f, hvor f(x) a + a x + + a n x n, er en isomorfi Hvad er dimensionen af Pol n (R)? 7

178 Øvelsesopgaver c Gør rede for, at polynomierne x j, j,,,n er en basis for Pol n (R) d Vis, at mængden af polynomier af grad lig med n ikke er et underrum i Pol (R) Lad A være matricen Vis ved udregning, at A ( ) 3 4 A span (E,A ), idet E betegner -enhedsmatricen (Vi arbejder her i vektorrummet M, ) Skriv A som linearkombination af E og A 3 Underrummet U i R 5 udspændes af a (,,,, 5), a (, 4, 5,, 3), a 3 (3,, 5,, ), a 4 (,,,, ), dvs U span (a,a,a 3,a 4 ) Find et delsæt af a,a,a 3,a 4 der er en basis for U, og skriv de øvrige vektorer som en linearkombination af vektorer fra den fundne basis 4 I R 4 er der givet vektorerne a (,,, ), a (,,, ), a 3 (,,, ), a 4 (,,, ), a 5 (3,,, ) Bestem en basis for U span (a,,a 5 ) der indeholder a og a 5 Bestem dernæst en basis for U, der indeholder a 3 og a 4 Skriv i begge tilfælde hver af vektorerne a,,a 5 som linearkombination af de fundne basisvektorer 5 Lad V være et vektorrum a Vis, at hvis U,U er underrum i V, da er også et underrum U U U 7

179 Øvelsesopgaver b Vis, at hvis U,,U p er underrum i V, da er også et underrum U U U p 6 Idet U og U er underrum i vektorrummet V defineres summen U + U af U og U som mængden U + U {x + y x U,y U } a Gør rede for, at U + U er et underrum i V b Idet (a,,a m )eretfrembringersætforu og (b,,b n )eretfrembringersæt for U skal man gøre rede for, at (a,,a m,b,,b n ) er et frembringersæt for U + U Lad nu U være underrummet i R 4 frembragt af vektorerne a, a, og lad U være underrummet i R 4 frembragt af vektorerne b 5 3, b c Bestem en basis for U + U d Bestem en basis for U U 7 I R 3 er der givet vektorerne a, a, a 3, a 4 Angiv samtlige maksimalt lineært uafhængige sæt af vektorer fra mængden {a,a,a 3,a 4 } 8 I R 4 er der givet vektorerne a,a,a 3,a 4,a 5,a 6 73

180 Øvelsesopgaver Angiv samtlige maksimalt lineært uafhængige sæt af vektorer fra mængden {a,a,a 3,a 4,a 5,a 6 } 9 Der er givet følgende vektorer i R 5 : a (,,,, ), a (,,,, ), a 3 (,,,, ), a 4 (,,,, ), a 5 (,,,, ) a Gør rede for, at (a,a,a 3,a 4,a 5 )erenbasisforr 5 b Udregn projektionen af x (,,,, ) på span (a,a ) langs span (a 3,a 4,a 5 ) Projektionen angives som linearkombination af vektorerne a og a, og udregnes derefter som talsæt i R 5 I R 4 er der givet vektorerne a, a a Gør rede for, at U span (a,a ) er et to-dimensionalt underrum b Find et underrum U i R 4 der er komplementært til U (Vink:SomU kan man bruge underrummet udspændt af passende valgte vektorer fra den naturlige basis) I R 4 er der givet vektorerne a, a a Find en basis for U span (a,a,a 3 ) 3 4, a 3 b Find et underrum U i R 4 der er komplementært til U 74

181 Øvelsesopgaver c Find projektionen af på U langs U x Undersøg om de to vektorer a (,,,,, ), a (,,,,, ) udspænder samme underrum i R 6 som de to vektorer b (4, 5,, 5,, 5), b ( 3,,,,, ) 3 Bestem rangen af følgende matricer: ( ) 3 4 A, B 3 3, 4 ( ) C, O, D 5 6, E 4 Lad f : R 4 R 4 være den lineære afbildning der hører til matricen A 5 5 a Bestem rga b Bestem en basis for ker f c Bestem en basis for f(r 4 ), altså for billedet af R 4 ved f 75

182 Øvelsesopgaver d Bestem en basis a,a,a 3,a 4 for R 4 og en basis b,b,b 3,b 4 for R 4,således at hvor r rga f(x a + x a + x 3 a 3 + x 4 a 4 )x b + + x r b r, 5 Lad U og V være endeligt dimensionale vektorrum, og lad f : U V være en homomorfi Der er valgt en basis b,,b r for f(u) a Gør rede for, at der findes vektorer a,,a r U, så f(a )b,,f(a r )b r b Gør rede for, at a,,a r er lineært uafhængige c Sæt U span (a,,a r ), og sæt U kerf Gør rede for, at U og U er komplementære underrum 6 For ethvert t R er der givet matricen t B t t a Bestem for ethvert t R determinanten det B b Bestem for ethvert t R rangen af B c Bestem for ethvert t R løsningsmængden til ligningen B X d Bestem for ethvert t {,, } løsningsmængden til ligningen B X 7 I vektorrummet U R 3,hhvV R betragtes den naturlige basis (( ) ( )) ε 3,,, hhv ε,, samt sættet α, 3 3,, hhv β (( ) (, )) 76

183 Øvelsesopgaver a Gør rede for at α, hhvβ er en basis for U, hhvv Denne basis kaldes den nye basis for U, hhvv b Vektoren u U har den nye koordinatsøjle (altså koordinatsøjlen i basen α) Find u c Bestem koordinattransformationsmatricen S,hhvT, for overgang fra naturlig basis til ny basis i U, hhvv 3 d Bestem nye koordinatsøjler for vektorerne x og x 5 3 e Den lineære afbildning f : U V repræsenteres i de naturlige baser af matricen ( ) 3 4 A Bestem den matrix à der repræsenterer f idenyebaser f Bestem vektorerne f(u) ogf(x) iv g Bestem disse vektorers nye koordinatsøjler påtomåder (dvs ved benyttelse af matricen T og ved benyttelse af matricen à ) h Den lineære afbildning g : U V repræsenteres i de nye baser af matricen ( ) Bestem den matrix B, der repræsenterer g idenaturligebaser 8 En lineær afbildning (homomorfi) f : R R er givet ved matricen ( ) A (dette er altså matricen for f hørende til den naturlige basis), og vektorerne a og a er givet ved a (, ), a (, ) a Vis, at a,a er en basis for R 77

184 Øvelsesopgaver b Find matricen for f med hensyn til basen a,a 9 Lad f : R 3 R 3 være en lineær afbildning, og lad vektorerne b,b,b 3 være givet ved b (,, ), b (,, ), b 3 (,, ) a Vis, at b,b,b 3 udgør en basis i R 3 b Det vides, at den lineære afbildning f har matricen mht basen b,b,b 3 Find matricen for f mht den naturlige basis e,e,e 3 for R 3 Lad f : R 3 R 3 være den lineære afbildning hvis matrix med hensyn til den naturlige basis er 3 Lad desuden q 4, q, q 3 a Vis, at sættet Q (q,q,q 3 ) udgør en basis for R 3 b Udregn f(q i )(i,, 3), og bestem dens koordinatsæt med hensyn til Q c Benyt resultatet i (b) til at bestemme matricen for f medhensyntilq d Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet f(x) q (Vink:Deterlettest at udføre regningerne i Q-koordinater) Find i hvert af følgende tilfælde eventuelle egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen A Undersøg endvidere om matricen er diagonaliserbar, og find i givet fald en basis der diagonaliserer matricen, samt en matrix T,så T A T er en diagonalmatrix a A ( )

185 Øvelsesopgaver b c d A A A ( 4 3 ( 4 5 ) ) Lad A ( 6 t t 6 ) og B t t, t R Bestem de værdier af t, for hvilke A hhv B er diagonaliserbare 3 Find egenværdier og egenvektorer for matricen A Afgør i hvert af følgende tilfælde, om den angivne matrix er diagonaliserbar, og find i bekræftende fald en diagonaliserende koordinattransformationsmatrix: a b c A A A ( 5 ) 79

186 Øvelsesopgaver 5 Lad endomorfierne f og g af talrummet R 3 have matricerne henholdsvis A og B med hensyn til den naturlige basis for R 3 FindenbasisforR 3 med hensyn til hvilken matricerne for f og g begge er diagonalmatricer, og opskriv en matrix T,så T A T og T B T begge er diagonalmatricer 6 Antag, at x er egenvektor for matricen A med tilhørende egenværdi λ, ogatx er egenvektor for matricen B med tilhørende egenværdi µ Gør rede for, at x er egenvektor for matricerne A + B og A B, og angiv de tilsvarende egenværdier 7 Hvert år optræder den frygtede MØK-influenza som man har 4% chance for at få, idet chancen dog kun er % hvis man har haft den året før I en given stor befolkningsgruppe beskrives sundhedstilstanden (hvad angår MØKinfluenzaen) efter n år ved en sundhedsvektor X n ( Pn hvor P n er antallet der får MØK-influenzaen, og N n er antallet der ikke får MØKinfluenzaen i år n a Find en matrix A,så X n+ A X n N n b Gør rede for, at A er diagonaliserbar, og find en regulær matrix S så D S A S er en diagonalmatrix c Udregn ved hjælp af punkt b en tilnærmet værdi for X, og find hvorledes sygdomsfordelingen udvikler sig efter et stort antal år ), 8 I R 3 er der givet vektorerne 3 a, a 3 Find en ortonormalbasis for underrummet U i R 3 udspændt af a,a Udvid dernæst den fundne ortonormalbasis til en ortonormalbasis for R 3 8

187 Øvelsesopgaver 9 I R 4 er der givet vektorerne 3 4 a, a, a 3 Find en ortonormalbasis for underrummet U i R 4 udspændt af a,a,a 3 Udvid dernæst den fundne ortonormalbasis til en ortonormalbasis for R 4 3 I R 3 er givet vektorerne a og a a Eftervis, at a og a er ortogonale enhedsvektorer b Find en vektor a 3,så a,a,a 3 er ortogonale enhedsvektorer c Idet S er 3 3-matricen ( a a ) a 3 skal man eftervise, at t S S E,dvsatS er regulær med S S t d Bestem koordinaterne af standardenhedsvektorerne med hensyn til basen (a,a,a 3 ) 3 I R 4 er der givet vektorerne a 3, a, a 3 53 a Eftervis, at a,a,a 3 er ortogonale enhedsvektorer b Find en vektor a 4 så a,a,a 3,a 4 er ortogonale enhedsvektorer c Idet S er 4 4-matricen ( a a a 3 ) a 4 skal man eftervise, at t S S E,dvsat S er regulær med S S t Lad M være følgende delmængde af R 4 : 3 M,, 8

188 Øvelsesopgaver a Bestem en basis for span M b Bestem en basis for M c Bestem ortogonale baser for de to ovennævnte underrum af R 4 33 Er følgende udsagn sandt? Et sæt bestående af n indbyrdes vinkelrette egentlige vektorer i et n-dimensionalt euklidisk vektorrum, er en basis for vektorrummet 34 Gør rede for, at hvis S er en ortogonal matrix, så erdets enten + eller 35 Gørredefor,athvisS og T er ortogonale n n-matricer, da er S T ligeledes en ortogonal n n-matrix 36 I det euklidiske vektorrum R 3 er givet 4 a 5, a, a 5 Bestem ortogonalprojektionen af a på span {a,a } 37 I det euklidiske vektorrum R 4 er givet 5 a, a Bestem ortogonalprojektionen af a på span {a,a } 38 I det euklidiske vektorrum R 4 er givet vektoren 3 a samt vektorerne a, a, a, a 3 Bestem ortogonalprojektionen af a på span {a,a,a 3 } 3 39 En lineær afbildning f : R 3 R 3 er givet ved den symmetriske matrix 3 A

189 Øvelsesopgaver a Bestem egenværdierne for f b Find en ortonormalbasis b,b,b 3 for R 3 (med hensyn til det sædvanlige skalarprodukt på R 3 )bestående af egenvektorer for f c Find en ortogonal matrix S således at S A S er en diagonalmatrix, og opskriv denne diagonalmatrix 4 En lineær afbildning f : R 3 R er med hensyn til den naturlige basis i R 3 givet ved matricen 5 A 5 5 a Bestem en ortonormalbasis b,b,b 3 for R 3 således at f i denne basis repræsenteres ved en diagonalmatrix, og opskriv denne diagonalmatrix b Opskriv koordinattransformationsmatricen for overgang fra den naturlige basis til basen b,b,b 3 4 En lineær afbildning f : R 3 R 3 er givet ved matricen C 6 3 a Undersøg om f er diagonaliserbar, og find i givet fald en basis bestående af egenvektorer b Findes der en ortonormalbasis bestående af egenvektorer? 4 Der er givet matricen hvor a betegner et givet reelt tal A a Find samtlige egenværdier for A ( ) a +a, a +a b Find de værdier af a for hvilke A er diagonaliserbar c Gør rede for, at hvis a, da findes en ortogonal matrix S,så S A S er en 3 diagonalmatrix, og find en sådan matrix S 83

190 Øvelsesopgaver 43 Vi betragter en kvadratisk form k ved x k x ax + ax +(a +6)x 3 +x x +8x x 3 +ax x 3 x 3 Bestem de værdier af a for hvilke k er positivt definit 44 Lad B være den symmetriske 4 4-matrix til hvilken der svarer den kvadratiske form k(x,x,x 3,x 4 )x + x + x 3 + x 4 +x x +x x 3 +x x 3 x x 4 x x 4 x 3 x 4 a Bestem egenrummet V R 4 svarende til egenværdien for B b Bestem en basis for V c Diagonaliser B (vink: benyt a og b), og afgør definitheden af k 45 Lad B være en symmetrisk matrix Gør rede for, at B er negativt definit hvis og kun hvis B er positivt definit Benyt dette samt Sætning 755 til at indse gyldigheden af følgende udsagn: B er negativt definit netop hvis der om de ledende underdeterminanter gælder det B i < for i ulige det B i > for i lige Undersøg dernæst definitheden af matricen 3 B 5 46 Find et eksempel påen symmetrisk matrix B, hvis ledende underdeterminanter det B og det B begge er, uden at B er positivt semidefinit 84

191 Blandede opgaver Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem x +4x +3x 3 +4x 4 x + x x 3 5 x + x 3 +x 4 6 3x + x x 3 + x 4 6 Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet x + x x 4 3x x + x 3 x 4 x x 4x 3 +3x 4 3 Angiv for hver værdi af a den fuldstændige løsning til ligningssystemet: x +x +3x 3 x 4 5 x +3x x 3 6 3x +7x +4x 3 x 4 4 x 5x 3 + x 4 a 4 Der er givet matricen A a Find samtlige egenværdier for A b Find en basis for hvert af egenrummene for A c Undersøg, om der findes en regulær matrix S,således at S A S er en diagonalmatrix, og find i givet fald en sådan matrix S 85

192 Blandede opgaver 5 I talrummet R 4 er der givet vektorerne a, a, a 3 a Gør rede for, at vektorerne a,a,a 3 er lineært uafhængige b Idet R 4 udstyres med det sædvanlige skalarprodukt skal man bestemme ortogonalprojektionen af vektoren 7 påspan(a,a,a 3 ) 6 En homomorfi f : R 3 R 3 er givet ved x 4x + x 3 f : x x 3 3x x +4x 3, x x R 3 x 3 a Opskriv matricen, der repræsenterer f i den naturlige basis for R 3 b Gør rede for, at f er diagonaliserbar i en ortonormalbasis c Bestem egenværdierne for f d Find en ortonormalbasis i R 3 (med hensyn til det sædvanlige skalarprodukt) bestående af egenvektorer for f e Find en egenvektor, der er vinkelret på vektoren 7 En funktion k : R 3 R er givet ved x k : x (x + x + x 3 ) (x x ) (x x 3 ) x 3 86

193 Blandede opgaver a Gør rede for, at k er en kvadratisk form, og opskriv den tilhørende symmetriske matrix B b Bestem antallet af positive og negative karakteristiske rødder og rangen af B 8 Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem x +x 3 3 x + x +3x 3 6 x + x 3 x + x + x Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem x +x 3 3 x + x +3x 3 6 x + x 3 x + x + x 3 4 Find den fuldstændige løsning til følgende lineære ligningssystem Hilbertmatricen H (n) 3 n n+ x +x 3 3 x + x +3x 3 6 3x + x +5x 3 9 x + x + x n 4 n+ n+ n ( ) i + j i,j n Det kan vises, at H (n) erregulærforn Endvidere er (det H (n)) et naturligt tal som vokser meget hurtigt med n Derfor benyttes H (n) ofte til at teste programmer til brug i lineær algebra Find H (n) for n,, 3, 4 En cyklisk permutation af længde p (en p-cykel) er en permutation i S n (n p), hvor x,,x p er forskellige tal i {,,,n} og x x x p x p, x p x, og alle øvrige n p tal er uberørte Den skrives kort (x x x p ) 87

194 Blandede opgaver a Vis, at en p-cykel kan fås ved sammensætning af en (p )-cykel og en -cykel b Vis, at sign (x x x p )( ) p 3 Skriv permutationen σ ( som sammensætninger af cykliske permutationer, der ikke berører fælles elementer, og beregn herved fortegnet for σ 4 Fibonaccitallene er defineret ved f,f,f,f 3,f 4 3, hvor f n+ f n + f n for n Vis (ved induktion), at ( ) n ( ) A n fn+ f n for n f n f n Find en regulær -matrix S,såat ( S A S ( + ) 5) ( 5) Find herved følgende formel for f n : f n (( ( )) n ( ) ( )) n ) 5 Vis, at f n+ f n ( + 5) for n Tallet ( + 5) kaldes det gyldne snit, og er kendt fra den europæiske kunsthistorie 5 I vektorrummet V Pol 3 (R) betragtes den naturlige basis (e,e,e 3,e 4 )(,x,x,x 3 ) Vis, at (α,α,α 3,α 4 )(, +x, +x + x, +x + x + x 3 ) 88

195 Blandede opgaver også er en basis forv og angiv koordinattransformationsmatricerne ved basisskift mellem de to baser 6 Idet c(t) (et + e t ), s(t) (et e t ), er V span(c(t),s(t)) Vis, at dim V Lad D d Vis,atD : V V er en lineær afbildning, og angiv den matrix A,der dt repræsenterer D ibasen(c(t),s(t)) Find en basis for V bestående af egenvektorer for D, og angiv den matrix, der repræsenterer D iensådan basis 89

196 9

197 Stikord Stikord basis 74 karakteristisk polynomium 4 bijektiv 45, 34 kerne 79 billede 79, 33 komplement 66 blokmatrix komplementær 87, Cramers formler 64 koordinatsæt 74 definit 9 koordinattransformationsmatrix 95 determinant 55, 59, kvadratisk form 8 diagonaliserbar ledende underdeterminant 3 diagonalisering, 5,,, 4 lige permutation 57 diagonalmatrix 8, 5 linearkombination 77 dimension 74 lineær afbildning, 7 dimensionssætningen 9 lineært afhængig 8 direkte sum 87 lineært ligningssystem 35 egenrum 3 lineært uafhængig 8 egentlig vektor længde 5, 6 egenvektor 3 løsningsmængde 35, 43 egenværdi 3 matrix 6 egenværdimultiplicitet 3 matrixprodukt 7 elementær matrix 9, 46, 47 naboombytning 57 endeligdimensional 74 naturlig basis 75 endomorfi normering 7 enhedsmatrix 8 nulmatrix 7 enhedsvektor 5, 7 nulvektor, 7 euklidisk vektorrum 6 operationsmatrix 46 faktorisering 9 ortogonal 5, 7 fortegn 57 ortogonal matrix frembragt 78 ortogonalprojektion Gram-Schmidt 8 ortogonalt komplement homogen 35 ortonormalbasis 7 homomorfi 7 parameterfremstilling 39 identisk afbildning 4, 34 permutation 56 inhomogen35 projektion87 injektiv 45, 79, 34 rang 9, 9 inversion 57 reduceret trappematrix 34 invers matrix 3, 5 regulær matrix 3, 49, 63 isomorfi 73 rodmultiplicitet 9 9

198 Stikord rækkematrix 9 talrum rækkeoperation 3 totalmatrix 36 semidefinit 9 transponering 6, 8 skalarprodukt 4, 6 transposition 58 span 78 trappematrix 3 standardenhedsvektor 6 trekantsmatrix 9, 6 surjektiv 45, 34 udtyndingsalgoritmen 85 symmetrisk 9, 4 udvidelsesalgoritmen 86 søjlematrix 9 ulige permutation 57 søjleoperation 3 underrum 77 søjlereglen 3 vektorrum 7 9