ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C

Transkript

1 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 1 af 23 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROPORTIONALITET INDEKSTAL OMVENDT PROPORTIONALITET INDHOLDSFORTEGNELSE 0 Oversigt - formelsamling... side 2 1 Ligefrem proportionalitet (indledende opgaver)... side 3 2 Ligefrem proportionalitet, standardmetoder... side 4 3 Ligefrem proportionalitet. Opgaver med tabeller... side 5 4 Ligefrem proportionalitet. Supplerende opgaver udtrykt i tekst... side 7 5 Indekstal, standardmetoder... side 8 6 Indekstal. Simple eksamensopgaver side 9 7 Indekstal. Sammensatte eksamensopgaver side 11 8 Omvendt Proportionalitet (Indledende opgaver)... side 14 9 Omvendt proportionalitet. Standardmetoder tabeludfyldning... side Omvendt proportionalitet. Tekstopgaver... side Eksamensopgaver , proportionalitet, omvendt proportionalitet, indekstal... side 21

2 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 2 af 23 Oversigt formelsamling Ligefrem proportionalitet, y = a x (eller: proportionalitet) ( Ligefrem) proportionalitet y = a x eller y = k x Grafen er en ret linje gennem (0,0) Formlerne for lineær funktion, y=a x + b kan bruges, idet man sætter b=0, dvs. Omformning af y = a x : x x 1 x 2 y y 1 y 2 Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) (Idet a=a) y x y x ( strikkepind ) Indekstal (Basisår) Størrelse y 1 y 2 Index 100 i Indekstal er proportionale med størrelserne y y y2 100 fås f. eks. i 100 i y Af 1 2 ( strikkepind ) Indekstal respekterer de procentiske ændringer, der er i de oprindelige tal. 1 Omvendt proportionalitet, 1 y b x f (x 1, y 1 ) Omvendt proportionalitet y k x eller y b x eller y b 1 eller x Grafen er en hyperbel. y b x Formlerne for potens-sammenhæng y b x kan a (x 2, y 2 ) bruges (se side 7), idet man sætter a=-1. Man kan omforme til: Omformning af : -0.5 Desuden gælder for to graf- eller tabelpunkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) (Idet b=b) x1 y1 x2 y2

3 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 3 af 23 Ligefrem proportionalitet (indledende opgaver) 101 Mellem de variable x : vægt af oksesteg (kg) y : pris (kr.) er der følgende sammenhæng (en ligefrem proportionalitet) y = 150 x a) Bestem y, når x=3.2 b) Bestem x, når y = c) Tegn grafen for sammenhængen, idet du forklarer at den er en ret linje gennem (0,0) Indtegn og check resultaterne af a) og b) Mellem de variable x : vægt af laks (kg) y : pris (kr.) er der følgende sammenhæng (en ligefrem proportionalitet) y = a x Det oplyses, at y =120, når x=3 a) Bestem proportionalitetskonstanten a b) Bestem y, når x=2 c) Bestem x, når y = 123

4 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 4 af d) Tegn grafen for sammenhængen, idet du forklarer at den er en ret linje gennem (0,0) Indtegn og check resultaterne af b) og c) Ligefrem proportionalitet. Standardmetoder 103 Mellem de variable x : vægt af ostestykke (kg) y : pris (kr.) er der ligefrem proportionalitet y = a x Det oplyses, at y =104, når x=1.6 a) Bestem y, når x=1.25 Løsning metode 1 (ved at bestemme værdien af a) Den kendte oplysning indsættes i sammenhængen y = a x 104= a =. = 65 Så regnes på den nye x-værdi: y = a x = = x (kg ost) y (pris, kr.) 104 Løsning metode 2 (uden at bestemme værdien af a) = Denne udregning giver samme værdi for proportionalitetskonstanten a for det kendte punkt (1.6, 104) som ved den nye x-værdi, 1.25 = (*). =. Af denne ligning findes = Efterskrift: = 1.25 Hvis man vender begge brøkerne på hovedet i (*) gælder lighedstegnet stadig:. =. Og resultatet for y bliver det samme som før (anvendes i afsnit om indekstal).

5 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 5 af 23 b) Bestem y, når x=0.85 ved hjælp af metode 2 c) Bestem x, når y = 140 ved hjælp af metode d) Tegn grafen for sammenhængen, idet du forklarer at den er en ret linje gennem (0,0) e) Indtegn og check resultaterne af a), b) og c) Ligefrem proportionalitet. Opgaver med tabeller 201 Ved et mobilselskab (uden opkaldstakst) er der proportionalitet mellem samtale-længde og pris. Udfyld de tomme felter samtalelængde (min.) pris (kr.) Hr. Hansen går aftenture ad forskellige ruter. Der er proportionalitet mellem turen længde og dens varighed Længde (km) 2.2 Varighed (min.)

6 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 6 af Forbruget af maling er proportionalt med arealet af den væg der skal males Udfyld de tomme felter: Areal (m 2 ) Mængde maling (L) Tekstens længde (antal sider) er proportionalt med antallet at ord. Udfyld de tomme felter: antal ord antal sider (brug metode 2 fra opgave 103) Dieselforbruget er proportionalt med bilturens længde: Udfyld de tomme felter: Turens længde (km) Dieselforbrug (L) Arbejdslønnen for en opgave er proportional med arbejdstidens længde. Udfyld de tomme felter: Arbejdstid (timer) Løn (kr.)

7 Ligefrem Proportionalitet. Opgaver med tekst Fra Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG En printer kan printe 12 sider pr. minut. a) Beskriv sammenhængen mellem tid og antal printede sider med en matematisk formel. x : y : Formel y = b) Hvor mange sider kan printeren printe i løbet af 150 sekunder? c) Hvor lang tid vil printeren være om at printe 200 sider? 0302 Overvej at formlen for trekantens areal udtrykt ved grundlinje og højde blandt andet indeholder oplysning om at arealet er proportionalt med både grundlinjen og højden. a) Tegn tre trekanter med grundlinje 5 og forskellige højder. Beskriv for trekanter med grundlinje 5 sammenhængen mellem areal og højde med en matematisk formel. x : y : Formel y = b) Afbild sammenhængen i et koordinatsystem (0301s ) a) Bestem en ligning for sammenhængen mellem x og y, når det oplyses at y og x er proportionale og at når x er 5 er y 58. b) Hvad er y, når x er 17? c) Hvad er x, når y er 548?

8 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 8 af 23 Indekstal (standardmetoder) Eksempel 1 (tal fra ) BNP pr. indbygger i 2007 Hele Danmark Region hovedstaden kr indeks 100 i Indekstallet betyder, at man skifter måleenhed. De kr. (for hele Danmark; basis ) svarer til 100 af de nye enheder. Når vi skal finde ud hvad kr. svarer til, udnytter vi at der er proportionalitet. Af = finder vi = = Indekstallet for Region hovedstaden er Eksempel 2 Hvordan mon det så ud 7 år tidligere? BNP pr. indbygger i 2000 Hele Danmark Region hovedstaden kr B indeks a) Hvad var BNP pr. indbygger i Region hovedstaden i år 2000? Løsning: Der er proprotionalitet mellem BNP og indeks Af = finder vi =. = BNP pr. indbygger var ca kr. i år 2000 b) Er forskellen i BNP pr. indbygger mellem hovedstaden og hele landet blevet større eller mindre i løbet af de syv år fra 2000 til 2007 Svar: I år 2000 var BNP pr. indbygger i region hovedstaden 20.7% større end landsgennemsnittet. I 2007 var den 24.1% større end landsgennemsnittet. Forskellen er altså vokset i de syv år. Eksempel 3 (tal fra ) Persontransport efter transportmiddel. Her cykel og knallert (30 km/t) Cykel og knallert(30) mio. person-km indeks 100 i a) Bestem indekstallet for år 200, idet indeks for 1 sættes til 100. (1 er basisår ). Løsning: Da der er proportionalitet mellem antal person-km og indekstallet fås: =, hvoraf vi finder : = = 3.5 Svar: Indekstallet for år 2008 er 93.5 Fortolkning: Indeks for antal person-kilometer kørt på cykel/knallert er i perioden 1998 til 2008 faldet fra 100 til Et fald på 6.5% (p= = 6.5 idet udgangspunktet er 100 ) Bemærk at årstallene, 1998 og 2008, ikke indgår i beregningerne.

9 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 9 af 23 Eksempel 4 med opgave: Persontransport efter transportmiddel. Her personbiler og varebiler under 2000 kg. Person- og varebiler mio. personkm indeks 100 a) Bestem indekstallet for 2008, idet 1998 er basisår. b) (se eksempel 3 på forrige side og eksempel 4 her) Beskriv udviklingen i omfanget af både cykeltransport og persontransport i person- og varebiler under 2000 kg i årene Er det samlede transportomfang steget eller faldet? Indekstal. Simple eksamensopgaver fra årene Tabellen viser antallet af cykeltyverier, som blev anmeldt til politiet. År Antal anmeldte cykeltyverier indeks a) Beregn indekstallet for antallet af anmeldte cykeltyverier i 1999 med basisår Tabellen viser indekstal for prisen på ejerlejligheder (basis: 1. kvartal 1996). Tidspunkt 4. kvartal kvartal 1997 Indekstal 107,9 123,8 En ejerlejlighed kostede kr. i 4. kvartal a) Beregn, hvilken pris dette svarede til i 4. kvartal 1996.

10 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 10 af Skemaet viser indeks for høstudbyttet af hvede i Danmark (basisår 1995). År Indeks 86,0 108,0 Det oplyses, at høstudbyttet af hvede i 1990 var 3953 tusinde tons. a) Beregn høstudbyttet af hvede i Tabellen viser indekstal (basisår 1990) for antallet af børn, der var indskrevet i børnehave i Danmark. År Indekstal 103,5 141,4 I år 2000 var der indskrevet børn i børnehave. a) Hvor mange børn var der indskrevet i børnehave i 1992? 405 Størrelsen af biltrafikken i Danmark opgøres i milliarder kørte kilometer. Nedenstående tabel viser indekstal for biltrafikken med 1984 som basisår. År Indekstal I 1989 blev størrelsen af biltrafikken opgjort til 35 milliarder kørte kilometer. a) Beregn størrelsen af biltrafikken i 2001.

11 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 11 af 23 Indektal. Sammensatte eksamensopgaver fra årene Tabellen viser indekstal for antallet af sengepladser på sygehusene i Danmark. År Indekstal ,8 78,9 73,1 I 1990 var der sengepladser. a) Hvor mange sengepladser var der i 1985? b) Beregn det gennemsnitlige årlige procentvise fald i antallet af sengepladser fra 1990 til (Vink: brug metode fra eksponentielle sammenhænge : Løs. = 3.1 og beregn = ( 1) 100 ) c*) Beregn indekstallet for 1995, når indekstallet for 1990 sættes til Tabellen viser indekstal for forbruget af drikkevand i Frederiksborg Amt. Indekstallene er beregnet med 1991 som basisår. År Indekstal 101,3 93,0 80,1 a) Beregn det gennemsnitlige årlige procentvise fald i forbruget af drikkevand i Frederiksborg Amt i perioden Forbruget af drikkevand i Frederiksborg Amt i 1995 var 31,0 millioner kubikmeter. b) Beregn indekstallet for 1999, når det oplyses, at forbruget af drikkevand i Frederiksborg Amt i 1999 var 26,1 millioner kubikmeter. c)* Beregn indekstallet for 1992, når indekstallet for 1998 sættes til 100.

12 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 12 af Figuren ovenfor viser indekstal for biografbilletpriserne og forbrugerpriserne i perioden a) Beregn den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i billetpriserne i denne 9-årsperiode. I 1999 var den gennemsnitlige billetpris 49,03 kr. b) Hvad var den gennemsnitlige billetpris i 1990? c) Hvad ville den gennemsnitlige billetpris have været i 1999, hvis billetpriserne havde fulgt forbrugerprisindekset fra 1990 til 1999?

13 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 13 af Nedenstående tabel viser indekstal for verdens befolkning i 1970, 1990 og Indekstallene er beregnet med 1990 som basisår. År Indekstal I år 2000 var verdens befolkning 6057 mio. a) Hvor stor var verdens befolkning i 1970? En prognose fra FN viser, at verdens befolkning i år 2050 vil være 9322 mio. b) Beregn indekstallet for verdens befolkning i år c)* Beregn indekstallet for verdens befolkning i år 2050 med år 2000 som basisår. 505 Nedenstående tabel viser antal rapporterede tilfælde af gonorré i Grønland i 1987 og i År Gonorré-tilfælde a) Bestem indekstallet for antal gonorré-tilfælde i 2002, når indekstallet i 1987 var 242. Nedenstående tabel viser indekstal for antal rapporterede tilfælde af tuberkulose i Grønland i 1992 og i År Indekstal for tuberkulose I 2002 var der 87 tilfælde af tuberkulose. b) Hvor mange tilfælde var der i 1992? c) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i antal tuberkulosetilfælde i perioden Kilde:

14 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 14 af 23 Omvendt Proportionalitet (Indledende opgaver) Til en fest er der nogle priser, der ofte ligger fast uanset deltager antal. Til en ungdomsfest. bestilte man bus, forsamlingshus og discotek. Prisen for de tre dele var på 6000 kr. Nu manglede man bare at finde ud af, hvor mange der kom med, og hvad prisen for de tre dele blev pr. person. Der kan maksimalt komme 150 med. Antal deltagere Pris pr. deltager Udfyld ovenstående sildeben og tegn det grafiske billede til oplysningerne. Pris pr. deltager Deltagere Hvad kan man fortælle til ovenstående?

15 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 15 af Omvendt proportionalitet. Benzinforbrug. Benzinbiler af forskellige kendte mærker. Variable: x : antal kilometer på literen y : antal liter benzin for at køre 100 km. a) Vælg 6-8 biler, både nogle økonomiske biler, nogle benzinslugere, og nogle midt i mellem og udregn og skriv deres y-værdier i nedenfor. b) Angiv beregningsmetode (formel) for tallet y udtrykt ved x. x Brænd- Brændstof Bil (*) Årgang stof- forbrug (km/l) Audi A3 1,4 TFSI 2009 benzin 16,7 Bentley Continental Flying Spur 2009 benzin 5,8 BMW 1er 116i 2009 benzin 17,2 Cadillac BLS 2,0 T 2009 benzin 12 Citroën C1 1,0i 2009 benzin 22,2 Ferrari California 2009 benzin 7,6 Fiat 500 1,2 aut benzin 21,3 Ford Ka 1,2 SE 2009 benzin 19,6 Mazda 2 1,3 Low Power 2009 benzin 19,2 Mercedes-Benz C 180 Kompressor BE 2009 benzin 15,4 Opel Agila 1, benzin 20 Porsche Boxster PDK 2009 benzin 11,2 Skoda Fabia 1, benzin 16,9 Toyota IQ 1, benzin 23,3 Volkswagen Polo 1, benzin 17,2 Volvo C30 1, benzin 14,3 Fra y Liter pr. 100 km (2 decimaler) x y c) Udregn tallene i kolonnen x y for de 6-8 biler. Er værdien den samme for dem alle? Hvorfor?

16 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 16 af 23 d) Plot (x,y) for de 6-8 udregnede punkter i koordinatsystemet (anfør bilnavn ved hvert punkt), og kommenter grafen. y Liter pr. 100 km km på literen x 603 Omvendt proportionalitet. Pris pr. times TV-kiggeri Hos TeleDanmark - TDC - kan man købe forskellige pakker til kabel-tv. Man kan bl.a. købe en grundpakke til 586 kr. pr. kvartal (90 dage). Ud fra ovenstående kan man jo sige, at time-prisen bliver billigere jo mere man ser fjernsyn. a) Udfyld nedenstående sildeben og sæt tallene ind i koordinatsystemet på næste side. x: Antal timer fjernsynet er tændt pr. kvartal y: Pris pr. time b) Angiv beregningsmetode (formel) for tallet y udtrykt ved x.

17 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 17 af y: pris pr. time x: timer TV-brug Omvendt proportionalitet. Standardmetoder ved tabeludfyldning 701 Færgeoverfart for bil med passagerer koster det samme, uanset hvor mange der sidder i bilen. De variable x og y er omvendt proportionale, hvor x : antal personer i bilen y: færgeudgift pr. person x y Opgave a) Udfyld tabellens tomme felter. Løsning, metode 1 Den omvendt proportionale sammenhæng udtrykkes ved en ligning af typen = (eller skrevet anderledes: = ) Proportionalitetskonstanten, b, kan findes ved hjælp af talsættet (, ) = (3, 120) med følgende formel: =, dvs b = 3 120= 360 y-værdien for x=1 og x=2 (første to tomme felter) findes med formlen = x=1 giver: = = 360 = 360 x=2 giver: = = 360 =.. (OBS: UDFYLD!) x-værdien for y=72 (sidste tomme felt) findes med formlen = y=72 giver: = = = 5

18 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 18 af 23 Løsning, metode 2 (samme spørgsmål) Vi benytter følgende sammenhæng, der gælder for to vilkårlige punkter ved omvendt proportionalitet: = Som det ene punkt bruges hver gang (, ) = ( 3, 120) (hvor både x og y er kendte) Det andet kaldes blot (x, y) og man indsætter, det man kender i = x=1 giver 1 = hvoraf = = 360 x=2 giver 2 = hvoraf = =. (UDFYLD! ) y=72 giver 2 = hvoraf = =. (UDFYLD! ) 702 Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter. x y Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter. x 2.52 y

19 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 19 af Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter. x y Der er omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y, Udfyld de tomme felter. x y Bilturens varighed, t (minutter) er omvendt proportionalt med gennemsnitshastigheden, v (km/t). Udfyld de tomme felter: v (km/t) t (minutter) (*Og hvor lang er strækningen?) 707 Styrken af magnetfeltet B, (målt i mtesla) fra en lang lige ledning med en bestemt strømstyrke, er omvendt proportional med afstanden, r, (målt i mm) fra ledningen. Udfyld de tomme felter. r (mm) B (mtesla)

20 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 20 af 23 Omvendt proportionalitet. Opgaver formuleret i tekst (nedenstående tre opgaver fra Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG ) 801 Et jordstykke på m 2 skal udstykkes til parcelhusgrunde. Beskriv sammenhængen mellem den gennemsnitlige grundstørrelse og antallet parcelhusgrunde med en matematisk formel. x : y : Sammenhæng (formel): 802 Beskriv sammenhængen mellem gennemsnitshastighed og tid for 100-meterløb med en matematisk formel. x : (målt i...) y : Sammenhæng (formel): (målt i.) 803 a) Bestem en ligning sammenhængen mellem x og y, når det oplyses at y og x er omvendt proportionale og at når x er 3 er y 45. b) Hvad er y, når x er 9? c) Hvad er x, når y er 270?

21 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 21 af 23 Eksamensopgaver i proportionalitet, omvendt proportionalitet og indekstal 901 På en guitar ændrer man den svingende strengs længde og dermed tonens frekvens ved at sætte en finger på strengen. Tonens frekvens er omvendt proportional med den svingende strengs længde. a) Udfyld et skema som nedenstående, og begrund svarene. Længde(cm) Frekvens(Hz) I en lokaltelefonbog kan man købe spalteannoncer. Prisen for en sort/hvid spalteannonce er proportional med højden, som måles i millimeter. En 50 mm høj sort/hvid spalteannonce koster 3450 kr. a) Hvad koster en 70 mm høj sort/hvid spalteannonce? Hvor høj en sort/hvid spalteannonce kan man få for 8970 kr.? Mod yderligere betaling af 2710 kr. kan man få en spalteannonce trykt med to farver. b) Opstil en formel til at beregne prisen for en x mm høj spalteannonce med to farver. 903 En panfløjte består af nogle rør, som har forskellig længde, og som har hver sin grundtone. Frekvensen af grundtonen er omvendt proportional med rørets længde. Et rør med længden 9,4 cm har en grundtone med frekvensen 880 Hz. a) Hvor langt skal et rør være for at have en grundtone med frekvensen 588 Hz?

22 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 22 af Størrelserne p og V er omvendt proportionale. p 2 4 V a) Udfyld en tabel som ovenstående. 905 Størrelserne x og y er proportionale. a) Udfyld tabellen. x y Nedenstående tabel viser indekstal for prisen på isen Kung Fu i 1994 og År Indekstal ,7 I 2005 kostede en Kung Fu is 13 kr. a) Hvad kostede en Kung Fu is i 1994? 907 Nedenstående tabel viser indekstal for, hvor mange motorcykler der blev nyregistreret i Danmark. År Indekstal 68, ,2 Det oplyses, at der i 1995 blev nyregistreret 2263 motorcykler i Danmark. a) Hvor mange motorcykler blev der nyregistreret i 2005?

23 Øvehæfte matematik C. Proportionalitet, indekstal, omvendt proportionalitet. Side 23 af Nedenstående tabel viser oplysninger om danskernes samlede forbrug af vin og spiritus, dels målt i mia. kr., dels angivet som indekstal med år 2000 som basisår. Årstal Forbrug af vin og spiritus (mia. kr.) 7,3 9,4 Indekstal a) Bestem forbruget i Bestem indekstallet for b) Hvor mange procent er forbruget af vin og spiritus i gennemsnit vokset om året i perioden ? 909 Tabellen viser antallet af hf-kursister i Danmark i 1996 og År Antal hfkursister a) Omregn tabellens oplysninger til indekstal med 1996 som basisår. Nedenstående tabel viser indekstal for antallet af gymnasieelever i årene Basisåret er År Indekstal for gymnasieelever 113,9 111,6 105,7 101,9 100 b) Undersøg, om antallet af hf-kursister eller antallet af gymnasieelever er faldet procentvis mest fra 1996 til 2000.