Appendiks- og bilagssamling

Transkript

1 Appendiks- og bilagssamling Appendiks A Udledning af IPAF... I Appendiks B Hvordan findes gammaværdien i Excel?... IV Appendiks C Når risikoaversionen er 1... VI Appendiks D Udledning af IPAF med transformation af den subjektive hazard rate... VII Bilag 1 - Svar fra Jørgen Poulsen (Finanstilsynet) på forespørgsel efter beregningsgrundlaget G IX Bilag 2 Udsnit af G82-grundlaget fra Forsikringstilsynets beretning fra X

2 Appendiks A Udledning af IPAF The Immediate Pension Annuity Factor eller IPAF er den aktuariske nutidsværdi af en livrente, der kontinuert udbetaler $1 i året til en person, der er fyldt x år ved første udbetaling. Den er givet ved: = (1) Fra afsnit 5 ved vi, at den betingede sandsynlighed for at en person, der er fyldt x år, vil overleve til x+t er: = (2) Dødeligheden modelleres med en Gompertz-Makeham (GoMa) hazard funktion givet ved: hvor x, m og b er konstanter, der er større end 0. λ = λ + Ved indsættelse af hazard funktionen i ligning 2 og løsning af integralet fås: Som også kan opskrives: = () (3) =exp +(() )(1 ) (4) Ved indsættelse af ovenstående resultat for dødelighedssandsynligheden (ligning 4) i udtrykket for annuitetsfaktoren (ligning 1) og med en smule omskrivning fås: = (()) ()(())/ (5) Integralet løses ved hjælp af to runder af substitution. Først sættes s=e / således, at = / og =. Så gælder også, at / = dt og s = e. Dermed kan udtrykket i (5) skrives på formen: I

3 = (()) () (()) (6) = (()) () (()) (7) Den nedre grænse i integralet ændres til 1, da s=1 når t=0 i substitutionsudtrykket. Udtrykket er stadig besværligt at arbejde med, så der laves en anden substitution med w = b(λ(x) λ)s, hvormed s=w(b(λ(x) λ)) og dw = b(λ(x) λ)ds. = (()) (((λ(x) λ)) ) (λ) ((λ(x) λ)) (8) (λ()λ) Grænsen ændres igen, da w=b(λ(x) λ) når s = 1. Opløsning af en parentes giver: = (()) (λ) ((λ(x) λ)) (λ) ((λ(x) λ)) (9) (λ()λ) Alle led, der ikke afhænger af w, flyttes udenfor integralet: = (())((λ()λ))(λ) (λ()λ) (λ) (10) (λ()λ) = (()) ((λ(x) λ)) (λ) (11) (λ()λ) (λ) Det ses nu, at udtrykket i integralet er på formen: Γ(x,y) = (). Udtrykket er altså lig med den ukomplette øvre gammafunktion med b(λ(x)- λ) som nedre grænse og ( λ+r)b på x plads, hvormed: Indsæt nu λ =λ+ = (()) ((λ(x) λ)) (λ) Γ( (λ+r)b;b(λ(x) λ)) (12), hvor vi indser, at ((λ(x) λ))(λ) = (bλ+ λb)( λ) = (+ ) () = ()(). Så fås udtrykket: = () ()(λ) Γ( (+); ) (13) II

4 Til sidst bør nævnes, at jeg i disse udledninger har set helt bort fra, at der kan være forskel i den subjektive og den objektive hazard rate. Da udregningerne er baseret på en GoMa hazard funktion, ligger det dog implicit, at her er tænkt på den objektive hazard rate. III

5 Appendiks B Hvordan findes gammaværdien i Excel? () = Hvilket er ækvivalent med: Γ(,)= y e + 1 x x Γ(x+1;y) Syntaksen i Excel bliver dermed: (EKSP(GammaLn(x+1))*(1-Gammafordeling(y;x+1;1;SAND)))/x-((y^x)*EKSP(-y))/x Hvis det ikke er nok, kan man på samme vis udføre endnu en partiel integration, der giver: Γ(,)= (+2;) Hermed bliver syntaksen i Excel: Værdien af den ukomplette gammafunktion kan findes i Excel ved at jonglere lidt med de gammafunktioner, der er tilgængelige i Excel. Jeg kan nå frem til dette: EKSP(GammaLN(X)*(1- Gammafordeling(y,x,1,SAND), som virker på positive værdier af x og y. Værdier af den ukomplette gammafunktion kan findes i Excel, men kun for positive parametre. Da rb er en negativ størrelse, har vi brug for en omskrivning, der gør det muligt at benytte Excel. For -1 < x < 0 kan vi udføre en partiel integration af udtrykket for gamma og på den måde opnå positive værdier. ((-(y^(x+1))*(eksp(-y)))/(x+1)+(eksp(gammaln(x+2))*(1- Gammafordeling(y;x+2;1;SAND)))/(x+1)/x-((y^x)*EKSP(-y))/x Ved høje værdier af risikoaversionen kan det være nødvendigt med en tredje partiel integration: Γ(,)= + 1 ( (+3;)) Med følgende syntaks i Excel: IV

6 ((((y^(x+2))*eksp(-y))/(x+2)+(eksp(gammaln(x+3))*(1- Gammafordeling(y;x+3;1;sand)))/(x+2))/(x+1)-((y^(x+1))*EKSP(-y))/(x+1))/x-((y^x)*EKSP(-y))/x V

7 Appendiks C Når risikoaversionen er 1 Tidligere blev det kort nævnt, at når risikoaversionen γ antager værdien 1, er nyttefunktionen defineret til at være logaritmisk, dvs. ()=ln (). Nogle få udledninger kan findes i M&Y (2002), men der er ikke gjort et stort nummer ud af at forklare modellen, og i de nyere udgaver af artiklen er tilfældet slet ikke nævnt. Den optimale annuiseringsalder udregnes på samme måde for γ =1 som for γ 1, se ligning 11, men der opstår problemer ved definitionen af RODA af en karakter, der har gjort det umuligt for mig at udregne RODA for γ = 1. RODA må være defineret på samme måde som i ligning 12, dvs.: (,;)=(+h,;) Hvis jeg antager, at løsningen til den partielle differentialligning for γ er på formen (,:)= ln()() svarende til den logaritmiske udgave af CRRA nyttefunktionen, så får jeg følgende udtryk for RODA, når h isoleres: (;) h=(;) Udtrykket giver dels værdier af h af enorme dimensioner og dels afspejler det ikke forholdet mellem (;) og (;0), idet den eksponentielle faktor altid er positiv. Forholdet mellem (;) og (;0) er af følgende karakter: (;)=(;0) = (;)>(;0) < (;)<(;0) > Hvor T* er den optimale annuiseringsalder, T er det optimale annuiseringstidspunkt, x er individets alder og ovenstående skal fortolkes således, at når individet er fyldt præcist den alder, hvor det er optimalt at annuisere, så er (;)=(;0). Når individet endnu ikke har rundet den optimale annuiseringsalder, er (;)>(;0), hvorimod (;)<(;0), når individet har passeret det optimale annuiseringstidspunkt. VI

8 Appendiks D Udledning af IPAF med transformation af den subjektive hazard rate Subjektiv hazard rate: λ =(1+f) λ + Sandsynligheden for overlevelse: =exp (1+) (1+) =exp (1+) (1+) =exp (1+) (1+) ()/ (1 ) IPAF: = ()() ( ) Integralet løses ved hjælp af to runder af substitution. Først sættes s=e / således, at = / og =. Så gælder også, at / = dt og s = e. Dermed kan udtrykket i (5) skrives på formen: = ()()/ () ()()/ Den nedre grænse i integralet ændres til 1, da s=1 når t=0 i substitutionsudtrykket. Udtrykket er stadig besværligt at arbejde med, så der laves en anden substitution med v=(1+ f)e ()/ s =(1+) ()/. Så er =(1+)()/ =((1+ ) ()/ ). Nedre grænse ændres igen, da =(1+) ()/ når s=1. ()()/ () ()/ = ((1+) ()/ ) ()() (1+) ()/ = ()()/ (1+) ()/ ()() () ()/ ()() VII

9 Det ses nu, at udtrykket i integralet er på formen: Γ(x,y) = () og dermed fås: = () ()() (1+) Γ( (+)(1+);(1+) ) VIII

10 Bilag 1 - Svar fra Jørgen Poulsen (Finanstilsynet) på forespørgsel efter beregningsgrundlaget G82. Emne: SV: Vedr. G82 Fra: Jørgen Poulsen (FT) (JP@FTNET.DK) Til: cam_ox@yahoo.dk; Dato: tirs, 29 mar :52:54 Kære Camilla Beregningsgrundlaget G82 blev indført i 1982 som et fælles beregningsgrundlag for alle livsforsikringsselskaber. Grundlaget blev gengivet i Forsikringstilsynets beretning for samme år. Jeg sender vedhæftet en kopi af de relevante sider fra beretningen. Du skal være opmærksom på, at G82 beregningsgrundlaget er blevet ændret mange gange siden G82 grundlaget er ikke længere et fælles beregningsgrundlag! Livsforsikringsselskaberne har i tidens løb anmeldt deres egne ændringer til grundlaget. Som hovedregel er opbygningen af de beregningsgrundlag, som selskaberne anvender i dag, på flere punkter den samme som i 1982, men der er også sket en del ændringer, og mange af satserne i G82 grundlaget er ændret i dagens beregningsgrundlag. Bl.a. er satserne for dødelighed typisk ændret, fordi den forventede levetid stiger. Siden 1993 skal alle livsforsikringsselskaber anmelde deres tekniske grundlag og ændringer heri til Finanstilsynet. Anmeldelserne er offentlig tilgængelige. Fra 2007 og frem er anmeldelserne offentliggjort på Med venlig hilsen Jørgen Poulsen Specialkonsulent, cand.act. Kontor for pensionskasser IX

11 Bilag 2 Udsnit af G82-grundlaget fra Forsikringstilsynets beretning fra 1982 X

12 XI

13 XII