Maksimal strømning 1

Transkript

1 Makimal rømning 1

2 Srømningneærk E rømningneærk (eller blo e neærk) N beår af En æge, orienere graf G med ikke-negaie helallige kanæge, hor ægen af en kan e kalde kapacieen c(e) af e To ærlige knder, og i G, der kalde henholdi kilden og dræne (eller erminalen), hor ikke har nogen indgående kaner, og ikke har nogen dgående kaner Ekempel: Kilde Dræn 2

3 Srømning En rømning f for e neærk N er en ildeling af en helallig ærdi f(e) il enher kan e, om ilfrediller følgende egenkaber: Kapaciereglen: For enher kan e, gælder a 0 f(e) c(e) Konereringreglen: For enher knde,, gælder a! f ( e) = " + e# E ( )! e# E ( ) f ( e) hor E - () og E + ( ) er henholdi de indgående og dgående kaner for Srømningærdien, beegne f, er den amlede rømning fra kilden, hilke er de amme om den amlede rømning il dræne Ekempel: f = 8 3/5 2/6 2/2 1/3 3/7 2/9 4/5 3

4 Makimal rømning En rømning for e neærk N ige a ære makimal, hi den ærdi er den øre af alle rømninger for N De makimale rømningproblem (maxflo) beår i a beemme en makimal rømning for e gie neærk Anendeler Hydralike yemer Elekrike kredløb Trafikyemer Frag Planlægning Comperneærk 1/3 2/6 3/7 2/9 4/5 3/5 2/2 Srømning med ærdi 8 = = /6 3/7 2/9 4/5 3/5 2/2 Makimal rømning med ærdi 10 = =

5 Ekempel på anendele 4 MB/ 2 MB/ 1 MB/ Berag en del af Inernee, modellere om en æge, orienere graf, hor her knde arer il en comper, her kan arer il en forbindele imellem o compere, og ægen på en kan er forbindelen båndbredde (mål i MB/). Hi i ønker a ende en meddelele hrig mlig fra en comper il en anden, er de en god ide a opdele meddelelen i pakker og ende die igennem neærke, om angie ed den makimale rømning. 5

6 Sni E ni i e neærk N med kilde og dræn er en opdeling χ = (V,V ) af N knder, hor V and V Fremadree kan for en ni χ : arknde i V og lknde i V Bagdree kan for en ni χ : arknde i V og lknde i V Srømningen f(χ) for e ni χ : den amlede rømning af de fremadreede min den amlede rømning for de bagdreede kaner Kapacieen c(χ ) af e ni χ : den amlede kapacie af de fremadreede kaner Ekempel: f(χ) = = 8 c(χ) = = 24 V χ 6 5 χ 2/6 3/ /2 3 V 7 9 1/3 3/7 2/9 5 4/5 6

7 Srømning og ni Lemma 1: Srømningen f(χ) for eher ni χ er lig med rømningærdien f Lemma 2: Srømningen f(χ) for e ni χ er mindre end eller lig med kapacieen af nie, c(χ) Sæning: Værdien for enher rømning er mindre end eller lig med kapacieen af eher ni. D... for enher rømning f og eher ni χ, gælder a f c(χ) 3/5 2/6 χ 1 χ 2 2/2 1/3 3/7 2/9 4/5 c(χ 1 ) = 12 = c(χ 2 ) = 21 = f = 8 7

8 Forøgende ej Berag en rømning f for e neærk N Lad e ære en kan fra il : Reidalkapacieen af e fra il : Δ f (, ) = c(e) f(e) Reidalkapacieen af e fra il : Δ f (, ) = f(e) Lad π ære en ej fra il Reidalkapacieen Δ f (π) er den minde af reidalkapacieerne af π kaner i rening fra il En ej π fra il kalde en forøgende ej, hi Δ f (π) > 0 2/5 2/6 π 2/2 1/3 2/7 2/9 Δ f (,) = 3 Δ f (,) = 1 Δ f (,) = 1 Δ f (,) = 2 Δ f (π) = 1 f = 7 4/5 8

9 Forøgele af rømning Lemma 3: Lad π ære en forøgende ej for rømning f i neærke N. Der ekierer da en rømning f for N med ærdi f = f + Δ f (π) Bei: Vi beregner rømningen f ed a ændre rømningen på π kaner: Fremadree kan: f (e) = f(e) + Δ f (π) Bagdree kan: f (e) = f(e) Δ f (π) 2/5 3/5 2/6 2/6 π 2/2 π 2/2 1/3 2/7 2/9 4/5 f = 7 Δ f (π) = 1 2/3 2/7 2/9 4/5 f = 8 9

10 Ford-Flkeron algorime Til a begynde med er f(e) = 0 for enher kan e Genag: Søg efer en forøgende ej π Forøg rømningen lang π kaner med Δ f (π) En pecialiering af DFS (eller BFS) øger efer en forøgende ej. En kan (, ) raerere kn, hi Δ f (, ) > 0 Algorihm FordFlkeronMaxFlo(N) for all e G.edge() eflo(e, 0) hile G ha an agmening pah π { compe reidal capaciy Δ of π } Δ for all edge e π { compe reidal capaciy δ of e } if e i a forard edge of π δ gecapaciy(e) geflo(e) ele { e i a backard edge } δ geflo(e) if δ < Δ Δ δ { agmen flo along π } for all edge e π if e i a forard edge of π eflo(e, geflo(e) + Δ) ele { e i a backard edge } eflo(e, geflo(e) Δ) 10

11 11 Ekempel 0/3 0/9 0/3 0/7 0/6 0/5 0/5 0/2 1/3 0/9 0/3 2/7 1/6 1/5 1/5 1/2 1/3 0/9 0/3 1/7 0/6 1/5 1/5 1/2 0/2 0/3 0/9 0/3 1/7 0/6 0/5 1/5

12 12 Ekempel (fora) 2/3 0/9 1/3 2/7 1/6 1/5 1/5 1/2 1/9 3/7 4/6 2/5 1/5 1/2 1/9 2/7 3/6 2/5 1/5 1/2 2/3 0/9 2/7 3/6 1/5 1/5 1/2

13 Ekempel (fora) 2/5 4/6 1/2 4/7 1/9 2/5 3/5 4/6 4/7 1/9 2/2 3/5 13

14 Makimal rømning og minimal ni Terminering af Ford-Flkeron algorime: Der finde ingen forøgende ej fra il med henyn il den akelle rømning f Sæning: Den makimale rømning er lig med kapacieen for e minimal ni Definer V mængden af knder, der kan nå fra med en forøgende ej V mængden af reerende knder Snie χ = (V,V ) har kapacie c(χ) = f Fremadree kan: f(e) = c(e) Bagdree kan: f(e) = 0 Derfor er rømningen f makimal, og nie χ har minimal kapacie V 3/5 4/6 χ 2/2 V 4/7 1/9 3/5 c(χ) = f = 10 14

15 Analye I ære ilfælde dfører Ford-Flkeron algorime f* rømningforøgeler, hor f* er en makimal rømning Ekempel: De forøgende eje, der finde, kifer imellem π 1 og π 2 Algorimen dfører 100 forøgeler 0/50 π 1 1/50 1/50 0/50 Beemmele af en forøgende ej og eferfølgende forøgele af rømningen ager O(n + m) id 1/50 1/50 Køreiden for Ford-Flkeron algorime er O( f* (n + m)) π 2 1/50 1/50 15

16 Edmond-Karp algorime En ariaion af Ford-Flkeron algorime, om gier hrigere køreider Vælg i her ieraion den forøgende ej, der beår af færre kaner En pecialiering af BFS øger efer den forøgende ej. En kan (, ) raerere kn, hi Δ f (, ) > 0 Analye Lemma 1: Længden af en koree forøgende ej blier aldrig formindke Lemma 2: Efer høj m forøgeler blier længden af en koree forøgende ej øge med mind 1 kan Analle af forøgeler er derfor høj nm Her forøgele dføre i O(m) id Gie e neærk med n knder og m kaner il Edmond-Karp algorimen beemme en makimal rømning i O(nm 2 ) id 16

17 Algorimer il beemmele af makimal rømning Edmond-Karp algorime har køreid O(nm 2 ) Kan forbedre il O(n 2 m) ed amidig opdaering af forøgende eje af amme længde (Dini) Ph-relabel (Goldberg) har køreid O(n 2 m) Kan ed alg af paende alg af rækkefølge forbedre il O(n 3 ) Den hrig kende algorime har køreid O(min{n 2/3, m 1/2 } m log(1 + n 2 /m)) log(makimal kapacie) 17

18 Brg af lineær programmering E maxflo-problem kan formlere om e LP-problem Makimer x 50 nder følgende begrænninger x 01 6, x 02 3, x 03 5 x 12 1, x 15 3, x 24 9, x 25 7, x 32 1, x 34 2, x 45 5 x 50 = x 01 + x 02 + x 03 x 01 = x 12 + x 15 x 02 = x 24 + x 25 x 03 = x 32 + x 34 x 12 + x 02 + x 32 = x 25 + x 24 x 15 + x 25 + x 45 = x 50 kapacieregel konereringregel 18

19 Hiorie Year Opfinder Danig Meode Simplex Sore-O mn 2 U Ford, Flkeron Forøgende ej mnu Edmond-Karp Koree ej m 2 n Dini Koree ej mn 2 Edmond-Karp, Dini Kapaciekalering m 2 log U Dini-Gabo Kapaciekalering mn log U Karano Preflo-ph n 3 Sleaor-Tarjan Dynamike ræer mn log n Goldberg-Tarjan FIFO preflo-ph mn log (n 2 / m) Goldberg-Rao Længdefnkion m 3/2 log (n 2 / m) log U mn 2/3 log (n 2 / m) log U 19

20 8 Neærk med flere kilder og dræn perkilde S T perdræn 4 20

21 Makimal parring i en odel graf En odel graf er en graf, hor knderne kan opdele i o mængder V 1 og V 2, og hor her kan forbinder en knde fra V 1 med en knde fra V 2 En parring i en graf er en mængde af kaner, der ikke har endepnker il fælle En makimal parring er en parring med e makimal anal kaner V 1 V 2 V 1 V 2 21

22 En anendele Lad V 1 ære en mængde af makiner og V 2 en mængde af opgaer En kan beyder, a en makine kan dføre en gien opgae En makimal parring gier arbejde il å mange makiner om mlig i parallel 22

23 Løning om e maxflo-problem Tilføj en kilde,, og e dræn, Orienér kanerne fra V 1 il V 2 Indæ en orienere kan fra il enher knde i V 1 Indæ en orienere kan fra enher knde i V 2 il Tildel alle kaner kapacieen 1 V 1 V 2 23

24 Billige makimale rømning Der er normal flere løninger il maxflo-probleme Vi kan da ære inereere i a finde den af de makimale rømninger, der er billig Anag a der il her kan e er knye en omkoning, (e), for a ranporere 1 enhed igennem kanen. Vi kan da definere omkoningen af en rømning f om " ( f ) = (e) f (e) e!e, 1 1/3, 3 2/3, 1 2/3, 3 1/3, 4 0/3, 4 2/4, 2 1/2, 1 2/4, 2 2/2, 1 0/3, 1 0/3, 1 2/2, 1 2/2, 2 = 21 2/2, 1 2/2, 2 = 20 24

25 Forøgende cykel En forøgende cykel er en forøgende ej, hor føre og ide knde er den amme, 1 2/4, 2 2/2, 1 Hi i adderer reidalkapacieen for en forøgende cykel il rømningen for her af cyklen kaner, ændre rømningærdien ikke, men de gør omkoningen af rømningen i neærke mligi 1/3, 3 1/3, 4 1/2, 1 0/3, 1 2/2, 2 = 21 Hi der finde en forøgende cykel med negai omkoning, kan i ænke omkoningen for neærke den a ændre rømningærdien 2/3, 1 0/3, 4 2/4, 2 0/3, 1 2/2, 1 2/3, 3 2/2, 1 2/2, 2 = 20 25

26 Algorime il beemmele af den billige makimale rømning Sæning: En rømning f har en minimal omkoning af alle rømninger med ærdi f, hi og kn hi der ikke finde en negai forøgende cykel med henyn il f 1. Beem en makimal rømning 2. Så længe der finde en negai forøgende cykel: Adder cyklen reidalkapacie il rømningen for her af den kaner Analye: En negai forøgende cykel kan beemme i O(nm) id ed hjælp af Bellman-Ford koree-ej algorime Omkoningen ænke med mind 1 for her ådan cykel Køreiden er derfor O(*nm), hor * er den billige omkoning for en makimal rømning 26

27 Brg af lineær programmering 0 6, 1 5, 3 1 3, 2 1, 8 3 1, 2 2 2, 3 3, 6 7, 4 9, , 2 Minimer c = x x x x x 15 + x x x x 50 nder følgende begrænninger x 01 6, x 02 3, x 03 5 x 12 1, x 15 3, x 24 9, x 25 7, x 32 1, x 34 2, x 45 5 x 50 = x 01 + x 02 + x 03 x 01 = x 12 + x 13 x 02 = x 24 + x 25 x 03 = x 32 + x 34 x 12 + x 02 + x 32 = x 25 + x 24 x 15 + x 25 + x 45 = x 50 kapacieregel konereringregel 27