for C-niveau i stx udgave 2

Transkript

1 fo C-niea i sx dgae B D h a A C 01 Kasen Jl

2 1. En sides modsäende inkel Ensinklede ekane Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense 7. Cosins, sins, angens og Nsie Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel e kend 9. Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel ikke e kend 10. De e egle fo cos, sin og an i einkle ekan cos i einkle 1. sin i einkle 1. an i einkle 1. Fie billede af samme ekan 15. NÄ d skal egne en ogae 1. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan Ogae: 18. Ogae: 19. Ogae: 0. Ogae: 1. Ogae:. Sinselaionen HonÄ bge i sinselaionen?. Udegn side med sinselaion 5. Udegn inkel med sinselaion. Cosinselaionen HonÄ bge i cosinselaionen? 8. Udegn side med cosinselaion 9. Udegn inkel med cosinselaion 0. HÉjde Median Vinkelhaleingslinje... 7 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan... 8 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 9 De ogaeye i lése ed hjçl af cosinselaionen elle sinselaionen Tekansbeegning fo C-niea i sx, dgae, Ä 01 Kasen Jl /10-01 Nyese esion af dee häfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm HÄfe må benyes i ndeisningen his läeen sende en il kj@ma1.dk som olyse hold, niea, läe og skole.

3 1. En sides modsäende inkel e modsäende inkel il siden l fodi l ikke séde o il. w Vi se a m og n séde o il, sä m og n e ikke modsäende il. l m e modsäende il m. w e modsäende il n. n. Ensinklede ekane De o ekane ha samme inkle, sä - de o ekane ha samme fom - den soe ekan e en foséelse af den lille 18 Udegne fosåelsesfakoen NÄ i gange sidene i den lille med foséelsesfakoen k, sä fä i sidene i den soe: 1k = 18 Vi diidee begge ligningens side med 1 og fä k = 1,5 1 Hofo e fosåelsesfakoen ikke? Vi kan ikke bge sidene 1 og il a degne foséelsesfakoen fodi sidene 1 og ikke ha ens modsäende inkle. Vi bge fosåelsesfakoen 1,5 il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e ens. Defo e 1,5 = Vi degne ensesiden og fä = Vi bge fosåelsesfakoen 1,5 il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e lens. Defo e 1,5 = Vi diidee begge side med 1,5 og fä = 1 Hofo gange i ikke med 1,5? De e sidene i den lille ekan de skal ganges med foséelsesfakoen. Tekansbeegning fo C-niea i sx 1 01 Kasen Jl

4 . Od fo sidene i en einkle ekan Siden e en kaee fodi den séde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke séde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de séde o il inkel. Siden e den modsäende kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke séde o il inkel. Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsäende kaee il inklen Ä e modäende kaee il d e modäende kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense. Pyhagoas séning d g n w 7 8 h k Pyhagoas sçning gçlde kn i einklede ekane. Pyhagoas séning som fomel nä og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas séning i od Den ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden. 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee Ogae: Besem Ä figen. 0 og 8 e kaee, og e hyoense, sä = Nsie lése ligningen = mh. fo sée end 0 og fä = = 5. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense Ogae: Besem a Ä figen. og a e kaee, og 0 e hyoense, sä + a = 0 Nsie lése ligningen + a = 0 mh. a fo a sée end 0 og fä a = a 0 = Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

5 7. Cosins, sins, angens og Nsie. I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. 8. Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel e kend I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Ä Mac) : NÄ i lçse denne ligning, sige i: cosins il e 0, Flee degninge: NÄ i lçse disse ligninge, sige i sins il 18 e 0,911 og angens il 15, e 0, Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel ikke e kend His e en inkel i en ekan og 7cos() =, sä skal i lése denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie lésninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 180. Nsie lése ligningen 7cos() = mh. fo 0<<180 og fä = 55,1501. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 90. HUSK: Oe sole-linjen skie i med sädanlig maemaiksog had de foegå i solelinjen. HUSK alid: HÇjeklik, Aibe, Gade fo a Äe hel sikke. 10 De e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan. NÄ e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee Se TYPE 1-9 e ' s modsäende kaee side sä gçlde: 11 cos( ) ds. hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee 1 sin( ) ds. hyoense gange sin() e 's modsäende kaee 1 an( ) ds. 's hosliggende kaee gange an() e 's modäende kaee I mange ilfçlde hedde inklen og sidene noge ande end,,,. Defo e de ofe en fodel a dykke eglene i od som i ha gjo il ense fo fomlene. 1 Fie billede af samme ekan: Af de e egle 11-1 fä i a félgende seks fomle gçlde fo ekanen anse hodan den ende: cos( ) sin( ) an( ) cos( ) sin( ) an( ) 15. NÄ d skal egne en ogae med kende al: IndsÇ de kende al i en af fomlene. His bogsae sä alene Ä den ene side af lighedsegne: Udegn den anden side af lighedsegne. Elles: Bg sole. I amme 1 e is hodan sädanne besaelse se d. Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

6 1. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan 17. Ogae: Besem inklen Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins:, cos() = 5, Nsie lése ligningen, cos() = 5, mh. fo mellem 0 og 90 og fä = 1,957, 5, = 18. Ogae: Figen ise en sige de nä o il oen af en m héj m. Sigen danne en inkel Ä 55 med jodoefladen. Besem lçngden af sigen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins: s sin(55) = ho s e sigens lçngde Nsie lése ligningen s sin(55) = mh. s fo s sée end 0 og fä s =, sige 55 m Sigens lçngde e, cm 19. Ogae: 0 mee fa e Ç sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e 5. Tekanen il héje e en model af denne siaion. De indgä en inkel og de o kaee, sä i skal bge angens: 0 an(5) = h Nsie degne ligningens ense side: TÇes héjde e 8 m 5 5 0m h 0. Ogae: Besem siden Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins: 8,0 cos(5) = Nsie degne ligningens ense side: =,7 5 8,0 1. Ogae: Besem inklen w Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins:,1 sin(w) =, Nsie lése ligning,1 sin(w) =, mh. w fo w mellem 0 og 90 og fä w = 8,9 w,1, w = 9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

7 . Sinselaionen NÄ e siden e modsäende il inklen siden e modsäende il inklen sin( ) sin( ) Denne egel hedde sinselaionen. Sinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge sinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel.. HonÄ bge i sinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o inkle og en side, og i skal finde en side, sä bge i sinselaionen. His i ikke kende inklen oe fo den side i skal finde, sä degne i fés denne inkel. De kan i da smmen af de e inkle e 180. His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen oe fo en af dem, og i skal finde en inkel, sä bge i sinselaionen. De e inklen oe fo den anden kende side i finde. Den sidse inkel kan i finde da smmen af de e inkle e Udegn side med sinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o inkle og en side, og skal finde en side, sä i bge sinselaionen. Vinklen oe fo e = 8 N kan i bge sinselaionen: sin( 8) sin(105) sin( 8) Nsie lése ligningen mh. fo sée end 0 og fä =,11 sin(105) Denne degning skal i IKKE lae his de o inkle ligge oe fo den kende og den kende side =, 5. Udegn inkel med sinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende o side og inklen oe fo en af dem og skal finde en inkel, sä i bge sinselaionen: sin( ) 5 sin(110) Nsie lése ligningen sin( ) 5 sin(110) og fä = 7,909 elle = 1,091 mh. fo mellem 0 og mä Çe minde end 90 da en af de ande inkle e oe 90, sä = 7,9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 5 01 Kasen Jl

8 . Cosinselaionen NÄ e sidene e, og siden e modsäende il inklen cos( ) Denne egel hedde cosinselaionen. Cosinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge cosinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel. 7. HonÄ bge i cosinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. His ekanen ikke e einkle og i kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen. 8. Udegn side med cosinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. 5 = cos(59) Nsie lése ligningen = cos(59) mh. fo > 0 og fä = 51, = 5,0 9. Udegn inkel med cosinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen. = cos() Nsie lése ligning = cos() mh. fo mellem 0 og 180 og fä = 95, = 95,1 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

9 0 HÅjde. En héjde i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il e nk Ä den modsäende side og e inkele Ä denne side. I enhe ekan e de e héjde. PÄ figen e is héjden ha fa A Ä siden a. F.eks.: His de i en ogae e olys a AD e héjden Ä BC (se fig), sä ha d fäe olys a inkel D e e. SÄ kan d bge eglene fo einkle ekan. A h a B D C 1 Median. En median i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il midnke af den modsäende side. I enhe ekan e de e mediane. D PÄ figen e is medianen mb fa B Ä siden b m b His de i en ogae e olys a BD e median Ä AC (se fig), sä ha d fäe olys a AD og DC e lige lange: A F.eks.: His d kende AD elle kan degne AD, sä kan d degne AC ed a gange AD med. F.eks.: His d kende AC elle kan degne AC, sä kan d degne AD ed a diidee AC med. C B Vinkelhaleingslinje. En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gä gennem en af inkelsidsene og halee inklen. I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÄ figen e is inkelhaleingslinjen C fo inkel C. A w C w C His de i en ogae e olys a CD e inkelhaleingslinje fo inkel C D (se fig), sä ha d fäe olys a inklene og e lige soe: B F.eks.: His d kende elle kan degne, sä kan d degne inkel C i ekan ABC ed a gange med. F.eks.: His d kende inkel C i ekan ABC elle kan degne den, sä kan d degne inkel ed a diidee inkel C med. Tekansbeegning fo C-niea i sx 7 01 Kasen Jl

10 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il héje e sidene med lçngde og kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med lçngde 5 e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsäende kaee. 5 Tye 1 Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. 5 cos(7) Nsie degne ense side Tye Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Hyoensen. cos( 7) Nsie lése mh. Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Vinklen mellem disse. 5cos( ) inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Nsie lése mh. fo inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Tye Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens modsäende kaee. 5 sin (7) Nsie degne ense side Tye 5 Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Hyoensen. Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Kaeens modsäende inkel. sin ( 7) 5 sin ( ) inklens sids inkel hyoensen inklens sids inkel hyoensen modsäende kaee Nsie lése mh. modsäende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel hyoensen Tekansbeegning fo C-niea i sx 8 01 Kasen Jl

11 Tye 7 Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Vinklens modsäende kaee. an(7) Nsie degne ense side Tye 8 Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. an( 7) Nsie lése mh. Tye 9 Kend: De o kaee. Udegn: En sids inkel. an( ) inklens sids inkel inklens hosliggende kaee modsäende kaee inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Tye 10 Kend: De o kaee. Udegn: Hyoensen. hyoense kaee Nsie lése mh. fo Tye 11 Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Den anden kaee. 5 Nsie lése mh. fo hyoense kaee De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af félgende fie fomle: I en einkle ekan gçlde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gçlde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee () hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsäende_kaee () inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsäende_kaee Tekansbeegning fo C-niea i sx 9 01 Kasen Jl

12 De ogaeye i låse ed hjél af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En inkel mellem o side og disse o side. Udegn: Siden oe fo inklen. alid 5 5 cos(1,) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo 0 5 1, Tye 1: Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: De e side. Udegn: Vinklen. alid 5 5 cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo Tye 1: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En side og o inkle. Udegn: En af de ande side. sin( 1.) sin( 8.8 ) siden de e siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 enhede, ligge oe fo inklen de e 1, Nsie lése ligningen mh. fo 0 1, His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sä mäe i fés degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e ,8 Tye 15: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. Kend: To side og inklen oe fo en af dem. Udegn: Vinklen oe fo den anden af de o side. sin( ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen af séelse Nsie lése ligningen mh. fo ,8 Nsie gie bäde en lésning nde 90 og en lésning oe 90. Hsk a begnde hilken af lésningene de skal bges. I dee ilfçlde kan begndelsen Çe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den sése i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo C-niea i sx Kasen Jl