Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve at sige noget om, hvor sandsynlige forskellige mulige resultater er Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: mønten kan vise tal- eller symbolsiden, terningen,,, 4, eller 6 øjne, vi noterer efter et kast, hvad mønten viser og hvad terningen viser Udfald Et udfald er resultatet af et stokastisk eksperiment Et muligt udfald ved eksperimentet er feks u = ( talside, øjne eller kort u = ( t, arbejder i notationen med ordnede par, så første del af parret fortæller os, hvad mønten viste, og anden del af parret fortæller os, hvad terningen viste Vi Udfaldsrum Udfaldsrummet er mængden af alle mulige udfald Her i vores eksempel altså med den korte skrivemåde: U = t, s,,,4,,6 = t,, t,, t,, t,4, t,, t,6, s,, s,, s,, s,4, s,, s,6 { } { } {( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( } introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

I tabelform kunne vi beskrive udfaldsrummet: mønt terning u ( t, ( s, ( t, ( s, ( t, ( s, 4 ( t,4 ( s,4 ( t, ( s, 6 ( t,6 ( s,6 t s Hændelse En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet, altså en mængde H, hvor H U I vores eksempel kan vi feks se på den hændelse, at terningen viser øjne Da H = t,, s, gælder {( ( } Sandsynlighedsfunktion Sandsynlighedsfunktionen er en funktion der opfylder følgende krav: Dm ( = U Vm 0;, altså u U : 0 ( u ( [ ] ( u = u U Sandsynlighedsfunktionen fortæller os altså, hvor sandsynligt hvert enkelt udfald i udfaldsrummet er I vores eksempel er det vel rimeligt at gå ud fra, at der er samme sandsynlighed for hver af de to møntsider og samme sandsynlighed for hver af de seks terningesider Samtidigt er det vel rimeligt at antage, at de to objekter ikke udøver indflydelse på hinanden, at talsiden altså feks ikke fører til, at øjne er mere sandsynligt end hvis mønten viste symbolsiden introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

Så kunne vi opstille følgende sandsynlighedstabel til beskrivelse af : mønt terning ( u 4 6 t s t, = Der gælder her altså feks, at ( Sandsynlighedsfelt Når vi har beskrevet udfaldsrummet og sandsynlighedsfunktionen er vores beskrivelse af det stokastiske eksperiment egentlig færdig De to ting betragtet under et kalder vi et sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt er altså ( U,, hvor udfaldsrummet U og sandsynlighedsfunktionen er nærmere beskrevet Endeligt sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt kaldes endeligt, hvis antallet af elementer i udfaldsrummet er endeligt (altså ikke uendeligt I vores eksempel er antallet af elementer i U, så i vores tilfælde er der tale om et endeligt sandsynlighedsfelt Hvis vi i stedet så på det stokastiske eksperiment, tilfældigt at vælge et reelt tal i intervallet ; så ville der ikke være tale om et endeligt sandsynlighedsfelt, da der er uendelig mange reelle tal i intervallet, introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

Symmetrisk sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, hvis alle udfald er lige sandsynlige, altså u, u U u = u hvis der gælder ( ( : Det er tilfældet i vores eksempel, her havde alle udfald jo sandsynligheden, men det er altså langt fra altid tilfældet Hvis vi ser på et endeligt og symmetrisk sandsynlighedsfelt og med antal elementer i U, så må der gælde: u U ( u tilfældet i vores eksempel : = N U N U betegner Det var også netop Sandsynligheden for en hændelse Der gælder: ( H = ( u u H Specielt er ( Ø = 0 og ( U = Feks kan vi igen se på den hændelse, at terningen viser øjne Da gælder H = {( t,,( s, } og ( H = + = = 6 Hvis vi ser på et endeligt og symmetrisk sandsynlighedsfelt og med antal elementer i U og med siger ofte ( H N antal elementer i H, så gælder der ( H N U betegner N H H = Vi N antal gunstige = Men det gælder altså kun i endelige symmetriske antal mulige sandsynlighedsfelter I vores eksempel altså ( H = = 6 U Stokastisk variabel En stokastisk variabel er en funktion X (altså på trods af ordet ikke en variabel, der opfylder følgende betingelser: Dm ( X = U Vm( X R Den stokastiske variabel lægges altså så at sige ovenpå det stokastiske forsøg og oversætter udfaldene til reelle tal efter en nærmere fastlagt forskrift introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 4

Vi kan i vores eksempel feks lave et spil mellem en spiller og en bank ud af det stokastiske forsøg og opstille følgende regler for, hvad spilleren skal gøre i afhængighed af udfaldet: t mønt terning regel betal betal betal betal betal betal 4 betal betal modtag modtag 6 modtag modtag Eller mere kortfattet formuleret: mønt t s X terning ( u - - - - - - 4 - - + + 6 + + s Her gælder altså Vm ( X = {,,} og feks (( t, = X Før man som spiller eller bank kaster sig ud i sådan et spil, kunne det jo være rart at vide, hvad man sådan i gennemsnittet kan forvente at få ud af spillet Faktisk er det spørgsmål af denne type, der har været en væsentlig kilde til, at sandsynlighedsregning overhovedet er blevet udvikletvi taler her om den stokastiske variables gennemsnit (på tysk hedder det faktisk Erwartungswert Symbolet for det E X Hvordan vi beregner det, skal vi se på senere er ( Men allerede nu kan vi se en væsentlig fordel ved vores definition af en stokastisk variabel Udfald ser ikke nødvendigvis ud på en måde, så man kan beregne et gennemsnit (eller noget som helst, men det gør stokastiske variable, de leverer jo reelle tal introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

Sandsynlighed for at en stokastisk variabel antager en bestemt værdi For x R definerer udsagnet X = x faktisk en særlig hændelse, nemlig: H x = u U X u = x { ( } Følgelig gælder der ( X = x = ( H = u U X ( u x ({ = x } = ( u = ( u hvor der her altså bare er tale om forskellige måder at skrive det samme u H x u { u U X ( u = x } I vores eksempel med spillet med mønten og terningen gælder feks 4 4 ( X = = + + + = = eller mere direkte ( X = = =, hvor vi i antal gunstige den sidste regnemåde har brugt regnereglen ( H =, da vi befinder os antal mulige i et endeligt og symmetrisk sandsynlighedsfelt X = = Ø = Og der gælder her feks ( ( 0 å samme måde kan vi se på udsagn (og dermed hændelser af typen X < x, X x, X > x, X x, x < X < x (hvor x, x, x R osv osv I et spil som det ovenfor beskrevne kan det feks være interessant at se på X < 0 (svarende til at spilleren kommer af med penge og X > 0 (svarende til at banken kommer af med penge, Reference: GDS, s -9, s 6-6 introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 6

Lad os se på et stokastisk eksperiment Eksperimentet består i at blande følgende kort og tilfældigt trække ét af kortene: 8 9 0 es R: Ruder 8 D: H: Hjerte 8 9 rød S: Spar 8 9 0 T: K: Klør 8 9 0 es sort Et udfald er altså feks u = 9 [De tyske betegnelser er R: Karo, H: Herz, S: ik, K: Kreuz og Ass for es] Udfaldsrummet er U = {, 8,, 8, 9,, 8, 9, 0,, 8, 9, 0, es } Sandsynlighedsfeltet er endeligt, da der er 4 mulige udfald Det er rimeligt at antage, at sandsynlighedsfeltet er symmetrisk, altså, at hvert af kortene har samme sandsynlighed for at blive trukket u : = 4 Sandsynlighedsfunktionen kan altså beskrives ved U ( u Der gælder altså feks ( 0 = 4 Hændelser Vi kan se på en række hændelser (det vil sige delmængder af udfaldsrummet : det tilfældigt udtrukne kort er en er 8, 9, 0, es defineres tilsvarende R: det tilfældigt udtrukne kort er en ruder H, S, K defineres tilsvarende D: det tilfældigt udtrukne kort er rødt, det vil sige enten en ruder eller en hjerte T: det tilfældigt udtrukne kort er sort, det vil sige enten en spar eller en klør Da vi har et endeligt symmetrisk sandsynlighedsfelt ( U, kan vi bruge princippet antal gunstige ( H = til at beregne sandsynlighederne for de nævnte hændelser antal mulige Der gælder altså: 4 4 (" " = =, (" 8" = = 4 4 ( R = =, ( H = S 4 4 9 ( D =, ( T = 4 4 4 4 4 = = K =, 4, (" 9" =, (" 0" = =, ( es", (, ( 4 introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s " =, 4

Regning med hændelser Da hændelser er delmængder af udfaldsrummet, altså er mængder, kan vi udføre almindelige mængdeoperationer på dem, altså danne fællesmængde, foreningsmængde, komplementærmængde og mængdedifferens Da hændelser er delmængder af udfaldsrummet, er de mængder, som vi får ved disse mængdeoperationer, også delmængder af udfaldsrummet, altså hændelser Hændelsen D "8" beskriver feks den hændelse, at det tilfældigt udtrukne kort er rødt (ruder eller hjerte eller en 8 er (evt begge dele Tilsvarende beskriver hændelsen D "8" den hændelse, at det tilfældigt udtrukne kort er rødt (ruder eller hjerte og samtidig en 8 er, altså, at det er en rød 8 er Hændelsen " 8" \ D er den hændelse, at det tilfældigt udtrukne kort er en 8 er, men ikke er rødt, altså, at det er en sort 8 er Det vil sige " 8" \ D = T "8" (Komplementærhændelsen D er den hændelse, at det tilfældigt udtrukne kort ikke er rødt, altså, at det er sort Det vil sige D = T Derudover gælder der feks D \ R = H Overvej at disse = gælder! D T = Ø, D T = U, R H = D, D H = H og introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 8

Lad os se nærmere på de to første af disse hændelser Vi kan i skemaet markere de udfald, der hører til hændelserne: D "8" 8 9 0 es R: Ruder 8 D: H: Hjerte 8 9 rød S: Spar 8 T: K: Klør 8 sort D "8" 8 9 0 es R: Ruder 8 D: H: Hjerte 8 rød S: Spar T: K: Klør sort 4 Så er det nemt at se, at ( D " 8" = = og ( D 8" 4 Vi husker fra før, at (" D" = og ( 8" og lægger måske mærke til, at altså, at 4 " = =, 4 4 4 = +, 4 4 4 " = = 4 ( D " 8" = ( D + ( "8" ( D "8" Dette sidste gælder helt generelt, altså: SÆTNING I et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, gælder: For alle hændelser A og B i udfaldsrummmet U gælder: eller på kort form: ( A B = ( A + ( B ( A B ( A B = ( A + ( B ( A B A, B U : introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 9

Bevis: A, B U : ( A B = ( u = ( u + ( u ( u = ( A + ( B ( A B u A B Overvej dette argument! u A u B u A B Der følger umiddelbart to specialtilfælde af sætning SÆTNING I et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, gælder: For alle disjunkte hændelser A og B i udfaldsrummmet U gælder: ( A B = ( A ( B + Disjunkte hændelser er hændelser, om hvilke der gælder A B = Ø SÆTNING I et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, gælder: For alle hændelser A i udfaldsrummmet U gælder: A = ( A Bevis disse sætninger! introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 0

Bevis for sætning Betingelserne fra sætning er opfyldt, derudover gælder A B = Ø, vi har så fra sætning : ( A B = ( A + ( B ( A B = ( A + ( B ( Ø = ( A + ( B = ( A ( B 0 +, Ø = jf s 4 idet ( 0 Bevis for sætning Hændelserne A og A opfylder betingelserne fra sætning, idet A A = Ø, derudover gælder A A = U U =, og vi har jf s 4, ( vi har så fra sætning : = ( U = A A = ( A + A ( A = A Betinget sandsynlighed Lad os igen se på det stokastiske eksperiment fra s Lad os se på om (og i givet fald hvordan sandsynlighederne ændrer sig, hvis vi på en eller anden måde har en forhåndsviden Hvis vi feks ved, at det tilfældigt udtrukne kort er et rødt kort, hvad er så sandsynligheden for, at det er en 8 er? Der er i alt røde kort og af dem er 8 ere, da hvert af de røde kort har samme sandsynlighed for at være det udtrukne, må sandsynligheden for at få en 8 er, hvis vi ved, at vi har fået et rødt kort, være I matematisk symbolsprog skriver vi: (" 8" D = og læser: den betingede sandsynlighed for 8 under forudsætning af D er eller kort: sandsynligheden for 8 forudsat D er introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

= = 4 å samme måde kan vi finde ( D "8" Øvelse Bestem selv følgende betingede sandsynligheder: (" 8", ( T "8", (" 0" D, ( D "0", (" 0" T, ( T "0" T Ved at se på de fundne sandsynligheder 4 4 4 (" 8" = =, ( D =, ( D " 8" = =, (" 8" D = og ( D "8" kan vi (måske lægge mærke til to ting: 4 = = 4 Iagttagelse (" 8" D = 4 4 (" 8" = = og ( D "8" = = ( D 4 =, 4 det vil sige, at de betingede sandsynligheder er (her anderledes end de ikke-betingede sandsynligheder, eller formuleret på en anden måde, feks: hvis vi ved, at vi har trukket et rødt kort, så er sandsynligheden for, at det er en 8 er anderledes end, hvis vi ikke havde denne forhåndsviden Iagttagelse ("8" D ( D = 4 = 4 = = ("8" D og ("8" D ( "8" = = = = ( D "8" eller uden mellemregningerne: ("8" D ( D = ("8" D og ("8" D ( "8" = ( D "8" Øvelse røv at tjekke de to iagttagelser herover med udgangspunkt i hændelserne og sandsynlighederne fra øvelse introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

Mens sammenhængen fra iagttagelse ikke altid gælder, gælder iagttagelse (næsten altid Vi definerer: DEFINITION, betinget sandsynlighed Vi betragter et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, A og B er hændelser i udfaldsrummmet U, det vil sige B Vi forudsætter, at ( 0 A, B U Så gælder: Den betingede sandsynlighed for A forudsat B defineres ved: ( A B ( A B ( B = Det forudsættes ikke i definitionen, at sandsynlighedsfeltet ( U, er symmetrisk Der gælder umiddelbart følgende sætning SÆTNING 4 Vi betragter et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, A og B er hændelser i udfaldsrummmet U, det vil sige A Vi forudsætter, at ( 0 A, B U Så gælder: ( B ( A ( B A = ( A B Vi kan altså bruge sætningen til at vende en betingelse om eller beregne de omvendt betingede sandsynligheder Eksempel Hvis vi kender sandsynlighederne for 8, for D og den betingede for D forudsat 8, så kan vi beregne den omvendt betingede sandsynlighed for 8 forudsat D: ( "8" 4 4 4 " = ( D "8" = = = = = ( D 0 4 ( 8" D - et resultat som vi kender fra tidligere, se s introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

Bevis for sætning 4 Vi bruger defintion to gange direkte og efter en lille omflytning: ( B A ( B A ( A ( A B ( A ( A B ( B ( A = = = Overvej de enkelte skridt i dette argument! Uafhængighed Lad os betragte en reduceret o udgave af vores spil, hvor vi kun har nogle ere og 8 ere med Vi har mere præcist følgende kort og hændelser: 8 R: Ruder 8 D: H: Hjerte 8 rød S: Spar 8 T: K: Klør 8 sort Vi har altså Uo = { 8,, 8,, 8, 8 } u Uo : o ( u = 6 Øvelse Bestem i dette sandsynlighedsfelt ( U o, o følgende sandsynligheder o ("8", o ( D, o ( D "8", o ("8" D og o ( D "8" Hvordan forholder det sig her med iagttagelse og fra s? introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 4

Vi ser altså, at en forhåndsviden som den, der er beskrevet i øvelse, her ikke ændrer på sandsynlighederne, at feks sandsynligheden for at få en 8 er altså ikke ændrer sig, hvis vi ved, at vi har et rødt kort Altså i modsætning til situationen ved vores spil fra s ff: o ("8" = o ("8" D Udover, hvad vi har iagttaget i øvelse, kan vi se, at 4 6 6 ( 8" ( D = = = = = = ("8" D o " o o 6 6 Med udgangspunkt heri definerer vi: DEFINITION, uafhængighed Vi betragter et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, A og B er hændelser i udfaldsrummet U, det vil sige A, B U Hændelserne A og B er uafhængige ( A B = ( A ( B Der gælder følgende sætninger: SÆTNING Vi betragter et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, A og B er hændelser i udfaldsrummmet U, det vil sige A og ( B 0 Vi forudsætter, at ( 0 A, B U Hændelserne A og B er uafhængige hvis og kun hvis ( A B ( A eller ( B A = ( B = Øvelse 4 Bevis sætning introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s

Bevis for sætning pr definition gælder generelt: ( A B = ( A B ( B og heraf fås ved omflytning: ( A B = ( A B ( B hvis ( A ( A B ( A B ( B = = B A og B er uafh ( A B = ( A ( kun hvis A og B er uafh ( A B ( B = ( A B = ( A ( B ( A B = ( A Sætning 6, klassedeling af U Vi betragter et endeligt sandsynlighedsfelt ( U, A er en hændelse i udfaldsrummet U H, H, H,, er disjunkte, ikke tomme hændelser i udfaldsrummet U, hvor H n U = H H H H n Så gælder: ( A = ( A H ( H + ( A H ( H + ( A H ( H + + ( A H ( n H n Bevis Der gælder ( A H ( A H ( A H ( A A = og ( A H ( A H, ( A H,, ( A, H n er disjunkte hændelser i U Ved hjælp af sætning får vi så ( A = ( A H + ( A H + ( A H + + ( A H n H n introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s 6

De enkelte led kan vi beregne ved en omstilling af definition : ( A H = ( A H (, ( A H = ( A H ( H Heraf fås så direkte H, osv ( A = ( A H ( H + ( A H ( H + ( A H ( H + + ( A H ( n H n Eksempel Vender vi tilbage til vores kortspil fra s ff, kunne vi feks beregne (" 8" = ( "8" R ( R + ( "8" H ( H + ( "8" S ( S + ( "8" K ( K = 4 + + + 4 + + + = = = 4 4 4 4 4 4 4 og får et resultat, som vi kender fra tidligere sammenlign med s introduktion: sandsynlighedsregning mat9 (JL april-juli 006 s