Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Naturlige potenser 2 3 Differentiation af en vilkårlig potensfunktion 5 4 En lille udfordring 7
Resumé Vi beviser hvordan man differentierer en potensfunktion i de punkter hvor den er differentiabel. 1 Introduktion Potensfunktioner er en lille smule tricky med hensyn til differentiation. For det første har man besværet med at huske hvorhenne de er definerede, og for det andet er nogle af dem definerede, men alligevel ikke differentiable i nul. Heldigvis arbejder man som regel med en begrænsning af definitionsmængden til de positive reelle tal, hvor alle potensfunktioner er definerede og differentiable. I disse tilfælde behøver man kun at huske på reglen for hvordan potensfunktioner differentieres, og den er heldigvis meget let at huske. Forudsætninger For at forstå indholdet af dette dokument er det vigtigt at have styr på definitionerne af potensfunktioner hvor potensen kan være både negativ, en brøk eller ligefrem irrationel 1. Derudover er det nødvendigt at kende definitionen på at en funktion er differentiabel 2, og i den sidste del af dokumentet får man både brug for at kunne differentiere sammensatte funktioner 3, den naturlige eksponentialfunktion 4 og den naturlige logaritmefunktion 5. 1 Læs om potenser her 2 Læs om differentiation her 3 Læs om regneregler for differentiation her 4 Læs om differentiation af eksponentialfunktioner her 5 Læs om differentiation af logaritmer her side 1
2 Naturlige potenser Hvis f er en potensfunktion givet ved forskriften: f(x) = x a og a {1, 2, 3,...}, så er det meget lettere at arbejde med funktionen end hvis potensen er mere eksotisk. Derfor tager vi dette tilfælde først. Sætning 1 Hvis f er en potensfunktion givet ved: f(x) = x a hvor a {1, 2, 3,...}, så er f differentiabel, og f (x) = a x a 1 For at gennemføre beviset har vi brug for et såkaldt lemma (en hjælpesætning). Hvis man kigger meget grundigt efter kan man genkende lemmaet som en avanceret udgave af tredie kvadratsætning 6. Lemma 2 Hvis p og q er to reelle tal, og a {2, 3, 4, 5,...} og vi sætter U til at være udtrykket: U = p a 1 + p a 2 q + p a 3 q 2 +... + p 2 q a 3 + p q a 2 + q a 1 så gælder omskrivningen: (p q) U = p a q a 6 Læs om kvadratsætningerne her side 2
Bevis. Det hele handler om at forstå udtrykket: U = p a 1 + p a 2 q + p a 3 q 2 +... + p 2 q a 3 + p q a 2 + q a 1 Dette gøres lettest ved at opskrive udtrykket i de specialtilfælde hvor a er lig 4, 3 og 2. (Gør det i den foreslåede rækkefølge). Inden du går videre skal du være helt sikker på følgende: Der er i alt a led. Både p og q optræder i alle mulige potenser mellem nul og a 1. I hvert led er der en potens af p og en potens af q som er ganget sammen, og de to potenser giver tilsammen a 1. Det smarte ved dette udtryk er at hvis man ganger det hele med p, så hæves alle potenserne af p med 1, hvilket giver: p U = p a + p a 1 q + p a 2 q 2 +... + p 2 q a 2 + p q a 1 Og hvis vi ganger det med q, så giver det næsten det samme, nemlig: q U = p a 1 q + p a 2 q 2 +... + p 2 q a 2 + p q a 1 + q a Hvis man således ganger udtrykket med (p q), giver det: (p q) U = p U q U = p a q a Nu kan vi bevise sætning 3: Bevis for sætning 3. Antag at a {2, 3, 4,...}. Vi vil vise at funktionen: f(x) = x a er differentiabel i ethvert reelt tal, x 0. side 3
Derfor ser vi på en differenskvotient: d(x) = f(x) f(x 0) = xa a x 0 x x 0 x x 0 Ved at bruge lemma 2 på udtrykket i tælleren (idet x spiller rollen som p, og x 0 spiller rollen som q) kan vi omskrive: d(x) = (x x 0) U x x 0 = U hvor U i dette tilfælde bliver: U = x a 1 + x a 2 x 0 +... + x x a 2 a 1 0 + x 0 Men når x nærmer sig x 0, vil U nærme sig: x a 1 a 2 0 + x 0 x 0 +... + x 0 x a 2 a 1 0 + x 0 hvilket ganske enkelt er lig med: x a 1 0 + x a 1 0 +... + x a 1 0 + x a 1 a 1 0 = a x 0 Vi har altså vist at d(x) a x 0 a 1, når x x 0 Dermed er f differentiabel i x 0 og: f (x 0 ) = a x 0 a 1 side 4
3 Differentiation af en vilkårlig potensfunktion Som nævnt er det mere besværligt at differentiere generelle potensfunktioner, for det første fordi definitionsmængden er mere besværlig, og for det andet fordi nogle af potensfunktionerne ikke er differentiable i nul. Her er sætningen i al sin rædsel: Sætning 3 Hvis f er en potensfunktion givet ved: f(x) = x a (hvor a R \ {0} er et givet tal), så er f differentiabel i følgende punkter: 1. Hvis a {1, 2, 3,...}, er f differentiabel i alle reelle tal x. 2. Hvis a { 1, 2, 3,...} er f differentiabel i alle x undtagen nul (hvor f slet ikke er defineret). 3. Hvis a er en brøk med et lige tal i nævneren, så er f differentiabel i alle positive tal x (men ikke i nul). 4. Hvis a er en brøk med et ulige tal i nævneren, så er f differentiabel i alle reelle tal x undtagen nul (selvom f selv er defineret i nul). 5. Hvis a er et irrationelt tal, så er f differentiabel i alle positive tal, x. I alle tilfælde er: f (x) = a x a 1 for alle de x hvor f er differentiabel. side 5
For overskuelighedens skyld vil vi ikke bevise hele denne sætning, men i stedet vælge at begrænse definitionsmængden til R + i alle tilfældene 7. Dette skyldes at beviset bryder sammen hvis man tillader negative værdier af x. (Find selv ud af hvorhenne!) Dermed siger sætningen følgende: Sætning 4 Lad a være et reelt tal, som ikke er nul. Funktionen: f(x) = x a, x R + er differentiabel, og dens afledede funktion er: f (x) = a x a 1, x R +. Bevis. Vi omskriver: f(x) = x a = e ln(xa) = e a ln(x) (1) Det første skridt er definitionen af f. Det næste benytter at eksponentialfunktionen og logaritmen er hinandens inverse. Det sidste benytter en regneregel for logaritmer. Hvis man bedre kan lide regneregler for eksponentialfunktioner, kan man i stedet omskrive sådan her: f(x) = x a = ( e ln(x)) a = e ln(x) a I begge tilfælde får vi skrevet f som en sammensat funktion der er sammensat af differentiable funktioner (nemlig den naturlige logaritme, mulitiplikation med en konstant og til sidst den naturlige 7 Bemærk dog at tilfælde 1 allerede er bevist i sætning 3, og at de øvrige tilfælde (2 og 4) hvor funktionen kan defineres i negative tal nemt kan udvides idet man indser af funktionen er enten lige eller ulige. side 6
eksponentialfunktion). Dermed er f differentiabel, og vi kan differentiere ved hjælp af kædereglen: f (x) = e a ln(x) a 1 x = xa a 1 x = a xa 1 Hvor vi i det næstsidste skridt har benyttet omskrivningen (1) baglæns. 4 En lille udfordring Øvelse 1 Hvordan differentierer man mon denne funktion: f(x) = x x, x R + side 7