ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3. Se også tillægget til sidste ugeseddel. Desuden ser vi på Afsnit 5 om Fourierrækker med udelukkende cosinus eller sinus i leddene. Den væsentligste pointe her er at undgå den komplekse eksponentialfunktion i leddene. Vi kigger til sidst ganske kort på Afsnit 6 om varmeledningsligningen, som viser en væsentlig anvendelse af teorien. Hovedresultatet er Sætning 6.. De andre sætninger (6.2 og 6.3) springes over. Formålet er først og fremmest motivation. Torsdag Vi begynder kursets sidste emne, metriske rum. Hovedformålet er at udvide begreber som konvergens, kontinuitet o.s.v. til mere generelle rum end R. Det første vi skal se på afstandsbegrebet. Begrebet tillader os at tale om afstanden x y mellem to tal x og y, men vi har tidligere (TL.3.5) også truffet afstanden mellem to funktioner. Nu dannes et abstrakt begreb, hvor det ikke på forhånd er fastlagt hvilke objekter vi måler afstanden imellem. Et vigtigt eksempel er talrummene R k. Her vil vi gøre brug af den euklidiske afstand d(x, y) mellem to punkter x = (x,..., x k ) og y = (y,..., y k ) i R k, men også se på andre afstandsmål. Afstandsmålet d kan opfattes som en afbildning d : R k R k R. De vigtigste egenskaber ved det Euklidiske afstandsmål er gengivet i et tillæg til denne ugeseddel. I dagens forelæsninger gennemgås Afsnit af Christian Bergs noter, suppleret de to første sider af tillæget (den sidste side gemmer vi til næste uge).
Øvelser NB. Fredag eftermiddag denne uge afholdes 2 timer ekstra øvelser, til erstatning for det mistede den. maj. Programmet for denne dag er eksamensopgaverne fra Reeksamen 20, se http://math.ku.dk/~schlicht/an/203/eksamen/reeksamen.pdf Info: Der er også mulighed for at følge disse øvelser om formiddagen eller den efterfølgende mandag - se skema på Absalon. Programmet for de regulære øvelser denne uge er som følger (regn opgaverne fra bogen først (bortset fra 7.2), og ekstra opgaverne (samt 7.2) i den udstrækning der er tid, og i den rækkefølge de er opført) Tirsdag 7.8, 7.9, 7.20, 7.2 samt Ekstra opgave For hver af nedenstående 2π-periodiske trigonometriske rækker skal man afgøre om rækken er Fourierrække for en stykvis kontinuert 2π-periodisk funktion og i givet fald bestemme funktionens middelværdi. (a) 50 n= 25 (n 3 + )e inx, (b) n= 2 + n einx, (c) n= n 2 + 3 einx Torsdag 7.24, 7.26, 7.28 samt følgende ekstraopgaver (se også næste side) Ekstra opgave 2 For hver af nedenstående stykvis kontinuerte funktioner (a) (c) defineret på [, π] skal man argumentere for, at den dertil hørende 2π-periodiske Fourierrække er punktvis konvergent og angive rækkens sumfunktion. Desuden skal man afgøre om konvergensen er uniform og om rækken kan skrives som en 2π-periodisk ren cosinus- eller sinusrække. (a) f(x) = x 3 + 2πx 2 π 2 x + 5, x [, π] { x π, x ]0, π] (b) f(x) = x + π, x [, 0] (c) f(x) = sin(x/3), x [, π]
Ekstra opgave 3 (a) Vis, at den trigonometriske række n=0 3 n sin(nx) er uniformt konvergent på R og at sumfunktionen f er en ulige, 2π-periodisk, kontinuert funktion. (b) Vis ved hjælp af Eulers formel, at sumfunktionen fra (a) er givet ved f(x) = 3 sin (x) 0 6 cos (x). (c) Vis, at hvis f er sumfunktionen fra (a), da er 2π f(x) 2 dx = 6. (d) Lad igen f være sumfunktionen fra (a). Argumenter for, at f er kontinuert differentiabel og bestem for alle n Z 2π f (x)e inx dx. Ekstra opgave 4 (svær) Lad g : [0, π] C være en C -funktion med g(0) = g(π) = 0. Vis uligheden 0 g(t) 2 dt 0 g (t) 2 dt og afgør for hvilke funktioner der gælder lighedstegn i uligheden. Vink: Vis først det følgende resultat. Lad f være 2π-periodisk, C 2 og med middelværdien 0. Da gælder f(t) 2 dt f (t) 2 dt og der gælder lighedstegn i denne ulighed hvis og kun hvis f er en linearkombination af e ix og e ix. Resultatet gælder også hvis f er C i stedet for C 2. Giv et argument for dette, ud fra påstanden i JPS nederst side 4: man kan vise, at Parsevals identitet (8) o.s.v.. Løs dernæst opgaven.
Tillæg vedr. euklidisk afstand og konvergens i R k. Den euklidiske afstand d(x, y) mellem to punkter x = (x,..., x k ) og y = (y,..., y k ) i R k er givet ved hvor d(x, y) = x y, x = (x ) 2 + + (x k ) 2. I noterne om metriske rum bruges betegnelsen 2, jvf. p..4. Afstandsfunktionen d : R k R k R har følgende grundlæggende egenskaber, som kort kan udtrykkes ved at den er en metrik: (i) d(x, y) 0 for alle x, y R k og d(x, y) = 0, hvis og kun hvis x = y. (ii) d(x, y) = d(y, x) for alle x, y R k. (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) for alle x, y, z, R k. Egenskaberne (i) og (ii) er ligetil at eftervise. Bevis for (iii). Udsagnet er y x z x + y z ( ). for alle x, y, z R k. Ved at skifte variable indses let at det følger af uligheden x + y x + y ( ) for alle x, y R k : Sættes nemlig x = z x og y = y z, så er x + y = y x og derved fremkommer ( ) fra (*). Uligheden (*), som også går under navnet trekantsuligheden, er velkendt for R, jvf. TL side 83, og ligeledes for R 2, jvf. TL side 84. Vi beviser (*) ud fra en anden fundamental ulighed, den såkaldte Cauchy- Schwarz ulighed: x y x y. Her er udtrykket på venstresiden skalarproduktet af x og y, d.v.s. x y = x y + + x k y k.
Vi ser at x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + 2x y + y y = x 2 + 2x y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 hvor Cauchy-Schwarz uligheden blev brugt i sidste linie. Dermed har vi vist at denne ulighed medfører (*). Bevis for Cauchy-Schwarz ulighed. Hvis x eller y er nulvektoren, står der 0 på begge sider af uligheden, og den er dermed opfyldt. Vi kan altså antage at hverken x eller y er nul. Ved division med x og y ses dernæst, at uligheden er ækvivalent med a b hvor a = x og b = y er enhedsvektorer. x y For to vilkårlige enhedsvektorer a og b gælder 0 a b 2 = (a b) (a b) = a 2 + b 2 2a b = 2 2a b, altså a b. Da a også er en enhedsvektor gælder ligeledes a b, hvorefter vi præcis får a b som ønsket. Den følgende sætning er omtalt (og bevist) i Eksempel.0 i noterne om metriske rum: Sætning A. Punktfølgen (x n ) n N i R k, hvor x n = (x n,..., x k n) for hvert n N, er konvergent med grænsepunkt x = (x,..., x k ) R k, hvis og kun hvis hver af koordinatfølgerne (x i n) n N, i =,..., k, er konvergent (i R) med grænseværdi x i.
Cauchyfølger i R k Den følgende definition findes i mere generel form i noterne om metriske rum, Definition 5., og for k = svarer den til TL Definition 4.4.6. Definition B En punktfølge (x n ) n N i R k er en Cauchyfølge, hvis der for hvert ɛ > 0 findes et N N, således at d(x n, x m ) < ɛ for alle n, m > N. I analogi med Sætning A har vi nu: Sætning C. Punktfølgen (x n ) n N i R k, hvor x n = (x n,..., x k n) for hvert n N, er en Cauchyfølge, hvis og kun hvis hver af koordinatfølgerne (x i n) n N, i =,..., k, er Cauchy (i R). Bevis Hvis (x n ) er Cauchy slutter vi af uligheden x i n x i m x n x m at den i-te koordinatfølge også er Cauchy. Hvis omvendt alle koordinatfølgerne er Cauchy, kan vi for givet ɛ > 0 og hvert i =,..., k vælge N i så x i n x i m < ɛ k for alle n, m > N i. Sætter vi N = max{n,..., N k } får vi dermed for alle n N. x n x m 2 = x n x m 2 + + x k n x k m 2 < ɛ 2 Vi kan nu bevise hovedsætningen om Cauchyfølger i R k : Sætning D (Det almindelige konvergensprincip for R k ) En punktfølge (x n ) n N i R k er konvergent, hvis og kun hvis den er en Cauchyfølge. Bevis For k = er det vist i TL Sætning 4.4.0. For k > følger det derefter af Sætning A og C, idet k = tilfældet anvendes på hver af koordinatfølgerne for sig.