Sætning 9.32 Lad F : U! R m være en funktion og lad x 0 2 U. Antag, at de partielt afledte af F s koordinatfunktioner eksisterer i alle punkter i en åben kugle B r (x 0 ) U, og at de derved fremkomne funktioner @F j @x i : B r (x 0 )! R, j =1, 2,..., m, i =1, 2,...,n alle er kontinuerte i x 0.SåerF differentiabel i x 0.
Sætning 9.34 (Kædereglen, 3. udgave) Lad U R n og V R m være åbne mængder og lad F : U! R m og G : V! R k være to funktioner således, at F (U) V. Lad u 2 U være et punkt, hvori F er differentiabel, og antag, at G er differentiabel i punktet F (u) 2 V. Så er den sammensatte funktion G F : U! R k differentiabel i u, og D(G F )(u) =DG(F (u))df(u). Sætning: Kædereglen
Korollar 9.18 Hvis U R n er en åben mængde og f : U! R er en funktion, hvis blandede partielt afledte af anden orden findes på hele U og er kontinuerte funktioner, så er for alle i, j 2 {1, 2,...,n} og alle z 2 U. @ 2 f (z) = @2 f (z) @x i @x j @x j @x i
Sætning: ABC-kriteriet Sætning 9.25 (ABC-kriteriet) Lad D R 2 og lad f : D! R være en funktion. Antag, at z 0 =(x 0,y 0 ) 2 D er et kritisk punkt for f, dvs. at z 0 ligger i det indre af D og rf(z 0 )=0. Antag yderligere, at de partielt afledte af f af anden orden eksisterer og er kontinuerte i en åben kugle B r (z 0 ).Sæt A = @2 f @x 2 (z 0), B = @2 f @x@y (z 0), C = @2 f @y 2 (z 0). (a) Hvis B 2 > AC, har f et saddelpunkt i z 0,og (b) hvis B 2 < AC, har f et strengt lokalt ekstremum i z 0. Det lokale ekstremum i (b) er et strengt lokalt minimum, hvis A>0 og C>0, og det er et strengt lokalt maksimum, hvis A<0 og C<0 (A og C har samme fortegn, fordi AC > 0). (c) Hvis B 2 = AC, giverabc-kriteriet ingen oplysning om f s opførsel i nærheden af z 0.
Definition 9.27 (Differentiabilitet) Lad U være en åben delmængde af R n og F : U! R m en funktion. Lad x 0 2 U. Vi siger, at F er differentiabel i x 0, hvis der findes en lineær afbildning L : R n! R m og en o-funktion : B r (0)! R m således, at F (x 0 + h) =F (x 0 )+L(h)+ (h) khk (9.38) for alle h 2 B r (0). Vi siger, at F er differentiabel, når F er differentiabel i ethvert punkt af U. Definition: Differentiabilitet
Sætning: Jacobimatricen Sætning 9.2 (Jacobi-matricen) Lad U være en åben delmængde af R n og F : U! R m en funktion. Hvis F er differentiabel i punktet x 0 2 U, så eksisterer de partielt afledte @Fj @x i (x 0 ), i =1, 2,..., n, af F s koordinatfunktioner F j, og Jacobi-matricen for F i x 0 er givet ved 0 @F 1 (x 0 ) @x 1 @F 2 (x 0 ) DF(x 0 )= @x 1 B. @@F m (x 0 ) @x 1 1 @F 1 @F 1 (x 0 ) (x 0 ) @x 2 @x n @F 2 @F 2 (x 0 ) (x 0 ) @x 2 @x n...... C @F m @F m A (x 0 ) (x 0 ) @x 2 @x n
Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled). Lad k P N, x 0,x P A Ä R, x x 0 og f : A Ñ R opfylde, at den j te afledede f pjq af f eksisterer og er kontinuert på det lukkede interval mellem x 0 og x og di erentiabel på det åbne interval mellem x 0 og x for alle j k. Så findes et punkt c strengt mellem x 0 og x så kÿ f pjq px 0 q fpxq px x 0 q j ` f pk`1q pcq j! pk ` 1q! px x 0q k`1. (1) j 0
Sætning 2.2 (Taylors Sætning med restled). Lad k P N, x 0,x P A Ä R n, x x 0 og f : A Ñ R opfylde, at B f eksisterer og er di erentiabel på linjestykket L tp1 tqx 0 ` tx P R n t Pr0, 1su mellem x 0 og x for k. Så eksisterer et y Ptp1 tqx 0 ` tx P R n t Pp0, 1qu så fpxq ÿ B fpx 0 q px x 0 q ` ÿ B fpyq px x 0 q.!! k k`1
Definition 2.1 (Multi-indeks-notation). Et multi-indeks er en n-tupel af ikke-negative heltal P N n 0. For to multi-indices p 1, 2,..., n q, p 1, 2,..., nq PN n 0 og et x px 1,x 2,...,x n qpr n defineres: 1. Sum/di erens: p 1 1, 2 2,..., n nq. 2. Absolutværdi: n i 1 i. 3. Fakultet:! ± n i 1 i!. 4. Potens: x ± n i 1 x i i. 5. Partielt afledet af højere orden: B ± n i 1 B i i hvor B i i B i Bx i i.
Definition 3.2 (Taylorrække). Lad x 0 P A Ä R og f : A Ñ R være uendeligt ofte di erentiabel. Så kaldes 8ÿ f pkq px 0 q px x 0 q k k! for Taylorrækken for f i punktet x 0. k 0
Definition 3.3 (Analytisk funktion). Lad A Ä R og f : A Ñ R være uendeligt ofte di erentiabel. Hvis der for ethvert x 0 P A findes et R 0så fpxq for x P B R px 0 q, så kaldes f (reel) analytisk. 8ÿ k 0 f pkq px 0 q px x 0 q k k!
Sætning 4.6. Antag at A Ä R n er åben, at f P C 2 paq, at x 0 P A er et kritisk punkt for f og at alle Hesse-matricen Hpx 0 q s egenværdier er positive. Så er x 0 et lokalt minimumspunkt for f. Hvis alle Hpx 0 q s egenværdier omvendt er negative, er x 0 et lokalt maksimumspunkt for f.
Sætning 4.7. Antag at A Ä R n er åben, at f P C 2 paq, at x 0 P A er et kritisk punkt for f og at Hesse-matricen Hpx 0 q har både positive og negative egenværdier. Så er x 0 et saddelpunkt for f.
Theorem 1.1. We have that exp( x)exp(x) =1and exp(x) > 0 for all x 2 R. Moreover, exp(a + b) =exp(a)exp(b) for all a, b 2 R. Define the logarithm function ln(x) := Z x 1 1 dt, x > 0. t Then we have ln(exp(x)) = x for all x 2 R, andexp(ln(x)) = x for all x>0.
Corollary 1.2. We have ln(ab) =ln(a)+ln(b) for all a, b > 0. Moreover, ln(y x )=x ln(y) for all y>0 and x 2 R. Thusify>0 and x 2 R, we have y x =exp(x ln(y)). Proof. Since exp(ln(ab)) = ab =exp(ln(a)) exp(ln(b)) = exp(ln(a)+ln(b)),
Let {a n } n 0 R such that lim sup n!1 a n 1/n < 1. Define r = 1/{lim sup n!1 a n 1/n } if lim sup n!1 a n 1/n > 0 and r = 1 if lim sup n!1 a n 1/n = 0. Let 0 <R<rand define f :(x 0 R, x 0 + R) 7! R given by: f(x) := X n 0 a n (x x 0 ) n. The series is absolutely convergent because lim sup n!1 a n (x x 0 ) n 1/n = x x0 r < 1. Theorem 4.1. Let b 2 (x 0 R, x 0 + R) be an arbitrary point. Then f is indefinitely di erentiable at b, and for every t 2 (x 0 R, x 0 + R) with t b <R b x 0 we have: f(t) = X m 0 where the Taylor series is absolutely convergent. f (m) (b) (t b) m, m!
Sætning 2.13 (Ækvivalens af kompakthed og følgekompakthed i metriske rum). Lad px, dq være et metrisk rum og K Ä X en delmængde. Så er K kompakt hvis og kun hvis K er følgekompakt.
Theorem 5.2. Let (X, d) be a complete metric space and F : X! X a contraction. Then F has a unique fixed point.
Proposition 6.1. Let (A, d) be a metric space, (Y, ) a normed space, and H an arbitrary non-empty subset of A. We define B(H; Y ):={f : H! Y : sup f(x) < 1}. x2h Define 1 : B(H; Y )! R +, f 1 := sup x2h f(x). Then the space (B(H; Y ), 1 ) is a normed space, and the map d 1 (f,g) := f g 1 defines a metric.
Proposition 6.2. Denote by C(H; Y ) the subset of B(H; Y ) where the functions are also continuous. Assume that (Y, ) is a Banach space (a complete normed space). Then (C(H; Y ), 1 ) is a Banach space, too.
Sætning. Lad I Ä R være et interval, U Ä R d en åben mængde, og t 0 P I, y 0 P U, r 0, 0 0 opfylde, at Ö B r0 py 0 q Ä U og rt 0 0,t 0 ` 0s Ä I. Lad f : IˆU Ñ R d være en kontinuert funktion, som opfylder følgende Lipschitzbetingelse på mængden H 0 rt 0 0,t 0 ` 0s ˆÖB r0 py 0 q: der eksisterer et L 0 så kfpt, xq fpt, yqk Lkx yk @t Prt 0 0,t 0 ` 0s, @x, y P Ö B r0 py 0 q. Definér M sup pt,xqph0 kfpt, xqk og 1 mint 0, r 0 M,L 1 u. Så findes netop én løsning y : pt 0 1,t 0 ` 1q Ñ Ö B r0 py 0 q til begyndelsesværdiproblemet y 1 ptq fpt, yptqq, ypt 0 q y 0.
Theorem 7.4. Let U R d be an open set and h : U 7! R m be a C 1 (U; R m ) function. Assume that there exists a point a =[u a, w a ] 2 U such that h(a) =0and the m m partial Jacobi matrix [D u h(a)] is invertible. Then there exists an open set E R n containing w a and a map f : E 7! R m which obeys f(w a )=u a and h([f(w), w]) = 0 for all w 2 E. Moreover, the matrix [D u h([f(w), w])] is invertible if w 2 E and all entries of its inverse are continuous on E. Finally, f is continuously di erentiable on E and we have: [Df(w)] = [D u h([f(w), w])] 1 [D w h([f(w), w])] 2 L(R n, R m ), 8w 2 E. (7.4)
Theorem 8.3. Let O R m be an open set containing u 0. Let g 2 C 1 (O; R m ) such that [Dg(u 0 )] 2 L(R m, R m ) is invertible, and g is injective on O. Then there exists an open ball E R m which contains w 0 := g(u 0 ), and a function f : E 7! O such that the following facts hold true: (i). The set V = f(e) equals g 1 (E) and is open in R m ; (ii). g(f(w)) = w on E and f(g(u)) = u on V, hence they are local inverses to each other; (iii). The function f is a C 1 (V ) function, [Dg(f(w))] is invertible on E and we have: [Df(w)] = [Dg(f(w))] 1.