GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998

GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 undersøg bevis træn tegn beregn 1 x x x x x 2 x x x x x x 3 x x x x x 4 x x x x x 5 x x x x x x 6 x x x x x x x 7 x x x x x x x 8 x x x x x 9 x x x x x 10 x x x 11 x x x x x 12 x x x x x x 13 x x x x x 14 x x x x x x x x 15 x x x x x GeomeTricks Elevarbejdsark 001 Koordinatsystemet, symmetri, spejling 5.-8. klasse Når du i det følgende skal afsætte punkter, så kan du skrive koordinaterne til punkterne i skrivefeltet, men du kan også i menuen vælge U-objekt/ gitterpunkt og benytte musen. (1) Sæt koordinatsystemet på skærmen. (2) Afsæt punkterne: (2,1) - (2,4) - (2,7) - (6,7) - (5,4) (3) Tegn tre liniestykker, der hver forbinder to af de afsatte punkter, sådan at du får tegnet bogstavet F. (4) Tegn spejlbilledet af F, når der spejles i x-aksen - det kalder vi x(f) (5) Tegn spejlbilledet af F, når der spejles i y-aksen - det kalder vi y(f) (6) Tegn spejlbilledet af x(f), når der spejles i y-aksen - det kalder vi y(x(f)). (7) Tegn spejlbilledet af y(f), når der spejles i x-aksen - det kalder vi x(y(f)). (8) Tegn billedet af F, når du drejer F 180 grader om punktet (0,0). (9) Rens skærmen og afsæt punkterne: (8,0) - (3,1) - (6,6) - (1,3) - (0,8) (10) Forbind (8,0) med (3,1), (3,1) med (6,6), (6,6) med (1,3) og (1,3) med (0,8). Denne figur kalder vi S. (11) Tegn x(s) og y(s) samt x(y(s)) og y(x(s)) - hvad får du? (12) Lav selv en opgave af samme art. (13) Løs selv din opgave. (14) Lad en af dine kammerater løse din opgave. (15) Løs to af dine kammeraters opgaver. 1 2

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 001 GeomeTricks Elevarbejdsark 002 Koordinatsystemet, symmetri, spejling. 5.-8. klasse Koordinatsystemet, retvinklet trekant, areal (ved at tælle tern). 5.-8. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med koordinatsystemet, punkters koordinater, spejling og symmetri. Dette arbejdsark tilbyder blot nogle aktiviteter til opfriskning af nogle begreber. Arbejdsarket forudsætter kendskab til de helt grundlæggende ting i GeomeTricks. Når du i det følgende skal afsætte punkter med heltallige koordinater, så skal du i menuen vælge U-objekt/gitterpunkt og benytte musen. Du skal nemlig bagefter kunne flytte rundt med punkterne, så punkterne hele tiden har heltallige koordinater. (1) Sæt koordinatsystemet på skærmen. (2) Afsæt gitterpunkterne: A=(6,-2), B=(-2,2) og C=(-2,-2) (3) Tegn trekant ABC. (4) Hvilken vinkel er en ret vinkel? (5) Hvor stort er arealet af trekant ABC? (6) Flyt punktet B, så vinkel C stadig er ret, og arealet af trekant ABC bliver 12. (7) Flyt frit rundt med alle tre punkter og lav en retvinklet trekant med arealet 21. Skriv koordinaterne for de tre punkter: (8) Flyt frit rundt med alle tre punkter og lav en retvinklet trekant med arealet 17.5. Skriv koordinaterne for de tre punkter: (9)* Flyt rundt med alle tre punkter og lav en retvinklet ligebenet trekant med arealet 16. Skriv koordinaterne for de tre punkter: (10)**Flyt rundt med alle tre punkter og lav en retvinklet ligebenet trekant med arealet 10. Skriv koordinaterne for de tre punkter: 3 4

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 002 Koordinatsystemet, retvinklet trekant, areal (ved at tælle tern) 5.-8. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med koordinatsystemet, trekanter og rette vinkler. De har bestemt arealer af rektangler og retvinklede trekanter ved at tælle tern. Dette arbejdsark tilbyder nogle aktiviteter til opfriskning af begreberne. Arbejdsarket forudsætter kendskab til de helt grundlæggende ting i GeomeTricks. Det er ikke tanken, at eleverne skal benytte menupunktet Observer i dette arbejdsark, men hvis eleverne opgiver (9) og (10) kunne man foreslå dem at vælge Observer/areal(pk,pk,pk) og således automatisk få udregnet arealet. De kan så bagefter begrunde ved at tælle terner. GeomeTricks Elevarbejdsark 003 Koordinatsystemet, retvinklet trekant. 5.-8. klasse Når du i det følgende skal afsætte punkter med heltallige koordinater, så skal du i menuen vælge U-objekt/gitterpunkt og benytte musen. Du skal nemlig bagefter kunne flytte rundt med punkterne, så punkterne hele tiden har heltallige koordinater. (9) fås ved for eksempel at afsætte C, gå fire til højre og fire ned og afsætte A og fra C at gå fire til venstre og fire ned og afsætte B. (10) fås ved for eksempel at afsætte C, gå fire til højre og to ned og afsætte A og fra C at gå to til venstre og fire ned og afsætte B. På tegningen ser du tre gitterpunkter A, B og C. De bestemmer en trekant ABC. Ved hjælp af menupunktet Observer/afstand(pk,pk) og efterfølgende klik på punkterne A-B, B-C og A-C er sidelængderne i trekanten blevet skrevet i observationsfeltet til højre. Du kan se, at trekanten er retvinklet og alle tre sidelængder er hele tal. Det er klart, at lænden af siden AC er 6, og længden af siden CB er 8, men det er faktisk overraskende, at længden af siden AB er et helt tal nemlig 10. 5 6

Hvis du udregner kvadraterne på de tre sidelængder, får du tallene 36, 64 og 100. Der gælder den simple sammenhæng, at summen af de to første tal giver det sidste tal. (1) Sørg for en passende lille enhed i koordinatsystemet og lav det viste skærmbillede. (2) Prøv om du kan finde andre retvinklede trekanter med heltallige sidelængder. Det kan du gøre ved at flytte rundt med de to gitterpunkter A og B, idet du hele tiden sørger for, at vinkel C er en ret vinkel. Afstandene i observationsfeltet bliver automatisk ændret, når du flytter et punkt. Hver gang du finder en brugbar trekant, skal du skrive sidelængderne ned. CA CB AB 6 8 10 GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 003 Koordinatsystemet, retvinklet trekant. 5.-8. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med koordinatsystemet, trekanter og rette vinkler. De skal vide, hvad kvadratet på et tal er. Arbejdsarket tilbyder nogle aktiviteter til opfriskning af begreberne og giver en introduktion til Pythagoræiske talsæt. Her er mulighed for bagefter at se på Pythagoras generelt, hvor det ikke er heltallige sidelængder. Eleverne kunne benytte en lommeregner. Arbejdsarket forudsætter kendskab til de grundlæggende ting i GeomeTricks. Lærerens kommentarer (3) Undersøg, om sumreglen også gælder for disse retvinklede trekanter. 7 8

GeomeTricks Elevarbejdsark 004 Periferivinkler 9.-10. klasse (10) Du kan også trække i A eller B for at gøre figuren større eller mindre. (11) Hvor stor er <MPB i forhold til andre vinkler? (12) Bevis, at <AMP er dobbelt så stor som <ABP. (1) Afsæt to frie punkter A og B og forbind dem med et liniestykke. (2) Afsæt midtpunktet M af liniestykket AB. (3) Tegn en cirkel, der har AB som diameter. (4) Afsæt et frit punkt P og knyt det til cirklen. -Du knytter P til cirklen ved hjælp af menupunktet Tilknyt/frit punkt til cirkel (ci,pk) (5) Tegn liniestykkerne MP og BP. (6) Prøv at trække P rundt på cirklen og se, hvorledes figuren hænger sammen. (7) Fastlæg observationerne: måltallet for periferivinklen ABP og for centervinklen AMP. -Din figur skulle nu ligne den, du ser ovenfor. (8) Hvad kan du sige om de to vinkler i forhold til hinanden? (9) Prøv atter at trække P rundt på cirklen og læg mærke til de to vinkelmål. 9 (13) Rens skærmen ved at vælge Filer/Glem alt. (14) Afsæt et frit punkt M og tegn en cirkel med centrum i M og en passende radius. (15) Afsæt de frie punkter A, B og C og knyt dem til cirklen. (16) Træk punkterne A, B og C rundt på cirklen, således at C og M ligger på samme side af en linie gennem A og B. (17) Tegn liniestykkerne AM, BM, AC og BC. (18) Observer måltallene for centervinklen AMB og periferivinklen ACB. (19) Din figur skulle nu ligne den ovenfor (20) Træk med punkterne A, B og C, men fortsat således at C og M ligger på samme side af en linie gennem A og B. (21) Bevis, at centervinklen AMB er dobbelt så stor som periferivinklen ACB. -Tegn en hjælpelinie gennem CM og brug resultatet fra foregående side. 10

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 004 Periferivinkler 9.-10. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med vinkler og centervinkler. Dette arbejdsark beskæftiger sig med periferivinkler. Det er vigtigt, at eleverne ved, hvad en periferivinkel er, før de begynder at arbejde med dette materiale. Eleverne skal komme frem til, at en periferivinkel måles ved den halve bue, den spænder over. Arbejdsarket forudsætter et godt kendskab til GeomeTricks. Beviset i (12) kunne forløbe således: Vi sætter <ABP=v. Da trekant PMB er ligebenet er <MPB=v. Da vinkelsummen i en trekant er 180, får vi, at <BMP=180-2v. <AMP =180-<BMP=180-(180-2v)=2v Da <AMP er en centervinkel, er måltallet for <ABP således det halve af den bue, den spænder over. Beviset i (21) følger af resultatet fra (12), idet <ACB=<ACM + <MCB, når <ACB har et ben på hver side af M, ellers skal man se på en differens. GeomeTricks Elevarbejdsark 005 Koordinatsystemet, punkters koordinater og den rette linies ligning. 7.-10. klasse (1) Sæt koordinatsystemet på skærmen. (2) Klik på skrivefeltet og skriv ligninger for mindst seks rette linier, der går gennem punktet (0,0). (3) Skriv ligninger for nogle vandrette linier. (4) Skriv ligninger for nogle lodrette linier. (5) Rens skærmen. (6) Skriv ligninger for mindst fem rette linier, der går gennem (0,4). (7) Skriv ligninger for mindst fem rette linier, der går gennem (0,-3). (8) Rens skærmen. (9) Afsæt punktet A=(2,3) ved at skrive (2,3) i skrivefeltet. (10) Skriv ligninger for mindst fire rette linier, der går gennem A. (11) Rens skærmen. (12) Afsæt punktet B=(-3,-5) ved at skrive (-3,-5) i skrivefeltet. (13) Skriv ligninger for mindst fire rette linier, der går gennem B. (14) Rens skærmen. (15) Afsæt punkterne D=(-3,4) og E=(6,-5). (16) Skriv en ligning for den rette linie, der går gennem D og E. (17) Rens skærmen. (18) Skriv en ligning for den rette linie, der går gennem H=(6,4) og står vinkelret på den linie, der har ligningen y = -x. (19) Rens skærmen. (20) Afsæt gitterpunkterne A=(4,4) og B=(-2,1) og tegn den afhængige linie m, der går gennem A og B. (21) Observer ligningen for linien m. (22) Træk rundt med punkterne A og B, således at følgende ligninger fremkommer i observationsfeltet, idet du for hver ligning noterer koordinaterne for A og B: 11 12

ligning A B y=0.5x+2 (4,4) (-2,1) y=x y=2x y=-0.5x y=-3x+4 y=5 x=-2 y=0.25x-4 GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 005 Koordinatsystemet, punkters koordinater og den rette linies ligning. 7.-10. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med den rette linies ligning. Dette arbejdsark træner eleverne i samspillet mellem ligningen for en ret linie og liniens placering i koordinatsystemet. Arbejdsarket forudsætter et kendskab til de grundlæggende ting i GeomeTricks. 13 14

GeomeTricks Elevarbejdsark 006 GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 006 Tegning af trekanter. 6.-10. klasse Tegning af trekanter. 6.-10. klasse Tegning af trekant, når de tre sider kendes. Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, AC =7 og BC =9. (1) Vælg U-objekt/punktpar med fast afstand (klik) og klik med musen, der hvor du ønsker punktet A afsat. Et vindue kommer nu til syne, og du skriver 10 (længden af liniestykket AB), og trykker ENTER. Et nyt punkt bliver da afsat, og det har en fast afstand til det første punkt på 10 enheder. Denne faste afstand kan ikke ændres. (2) Kald punkterne A og B og forbind A og B med et liniestykke. (3) Tegn en cirkel med centrum i A og radius 7. (4) Tegn en cirkel med centrum i B og radius 9. (5) Find skæringspunkterne mellem de to cirkler. (6) Skjul de to cirkler samt det ene skæringspunkt og kald det andet skæringspunkt for C. (7) Tegn liniestykker, der forbinder A med C og B med C. (8) Træk rundt med A og B og se, hvordan figuren hænger sammen. (Du kan ikke trække med C, for det er et afhængigt punkt (lilla). Du kan kun trække med sorte og blå punkter) (9) Rens skærmen. (10) Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, AC =12 og BC =17. (11) Tegn en trekant ABC, hvor AB =11, AC =11 og BC =11. (12) Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, AC =6 og BC =5. (13) Prøv at tegne en trekant ABC, hvor AB =10, AC =5 og BC =4. (14) Prøv at formulere, hvad der skal gælde om tallene, for at det kan blive en trekant. Eleverne har tidligere arbejdet med trekanter. De ved, hvad en retvinklet, ligebenet og ligesidet trekant er. De har prøvet at arbejde med en passer. Det er ikke tanken, at GeomeTricks skal benyttes i stedet for passer og lineal. GeomeTricks skulle gerne blive et supplement hertil. GeomeTricks skulle gerne benyttes sammen med de øvrige undervisningsmidler, og frihåndsprøvetegninger er altid et naturligt led i enhver konstruktion. Arbejdsarket forudsætter et rimeligt kendskab til GeomeTricks. 15 16

GeomeTricks Elevarbejdsark 007 Tegning af trekanter. 6.-10. klasse (1) Lav tegningen ovenfor. (2) Tegn en trekent ABC, hvor AB =12, <A=45 grader og <B=60 grader. (Lav først en prøvetegning) (3) Tegn en trekant ABC, hvor AB =8, <A=120 grader og <B=30 grader. (Lav først en prøvetegning) (4) Tegn en trekant ABC, hvor AB =11, <A=60 grader og AC =7. (5) Tegn en trekant ABC, hvor AB =10, <B=50 grader og BC =8. (6) Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor <C=90 grader, CA =7 og CB =11. (7) Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC =10. (8) Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC =5. (9) Prøv at tegne en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC =4. (10) Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, AB =9 og BC =4.5. (11) Tegn en trekant ABC, hvor <A=120 grader, AB =6 og BC =10. (12) Tegn en trekant ABC, hvor <A=120 grader, AB =8 og BC =6. Ved tegning af trekanter er der ofte behov for at afsætte en vinkel på et bestemt antal grader. I GeomeTricks regnes vinkler positive mod uret og negative med uret. Det kan lyde lidt indviklet, men det er egentlig ikke så slemt. På figuren ovenfor er først afsat to frie punkter A og B. Dernæst er den afhængige linie n, der går gennem A og B, tegnet. Ved at vælge menupunktet A-objekt/vinkellinie(pk,li,tal) og først klikke på punktet A, dernæst på linien n og tilsidst skrive 60 i vinduet, fremkommer vinkellinien m, der går gennem A og danner en vinkel på 60 grader med linien n, når man går fra n mod uret til m. Linien g er fremkommet ved først at klikke på B, dernæst på n og tilsidst skrive enten 120 eller -60 i vinduet. Linien g danner en vinkel på 120 grader med n, når man går fra n til g mod uret, men man kunne altså også skrive -60, for vinklen fra n til g er 60 grader, når man går med uret. 17 18

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 007 GeomeTricks Elevarbejdsark 008 Tegning af trekanter. 6.-10. klasse Koordinatsystemet og punkters koordinater. 4.-7. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med trekanter. De ved, hvad en retvinklet, ligebenet og ligesidet trekant er. De har prøvet at arbejde med en passer. Det er ikke tanken, at GeomeTricks skal benyttes i stedet for passer og lineal. GeomeTricks skulle gerne blive et supplement hertil. GeomeTricks skulle gerne benyttes sammen med de øvrige undervisningsmidler, og frihåndsprøvetegninger er altid et naturligt led i enhver konstruktion. Det vil være en fordel, hvis eleverne allerede har arbejdet med ark 006. Arbejdsarket forudsætter et rimeligt kendskab til GeomeTricks. (1) Sæt koordinatsystemet på skærmen. (2) Afsæt to gitterpunkter og kald dem A og B. (3) Tegn liniestykket AB. (4) Tegn midtpunktet F af liniestykket AB. (5) Observer de tre punkters koordinater ved hjælp af menupunktet Observer/(x,y) (pk). (6) Træk punkterne A og B rundt på gitteret og noter for hver indstilling koordinaterne for de tre punkter: A B F (-3,4) (5,2) (1,3) (7) Find en regel, der giver koordinaterne for F ved hjælp af koordinaterne for A og B. (8) Rens skærmen. (9) Afsæt tre gitterpunkter A, B og C. (10) Tegn liniestykkerne AB, BC og CA. (11) Tegn midtpunkterne af hver af de tre sider i trekanten. (12) Forbind hver vinkelspids i trekanten med midtpunktet af den modstående side. (Disse liniestykker kaldes for medianerne i trekanten, og de går gennem samme punkt) (13) Træk rundt med A, B og C og se, hvordan det hænger sammen. (14) Tegn skæringspunktet for medianerne og kald det for M. (15) Observer koordinaterne for punkterne A, B, C og M. (16) Find en regel, der giver koordinaterne for M ved hjælp af koordinaterne for A, B og C. A B C M (, ) (, ) (, ) (, ) 19 20

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 008 GeomeTricks Elevarbejdsark 009 Koordinatsystemet og punkters koordinater. 4.-7. klasse Firkanter og midtpunkter 9.-10. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med koordinatsystemet og punkters koordinater. De møder begrebet median i en trekant og skal finde nogle regler. Arbejdsarket forudsætter kendskab til de helt grundlæggende ting i GeomeTricks. (1) Tegn en firkant ABCD ved hjælp af fire frie punkter A, B, C og D samt liniestykker, der forbinder A med B, B med C, C med D og D med A.. (2) Træk rundt med de fire punkter og gør dig klart, hvornår firkanten er konveks og konkav. Er det en firkant, når siderne skærer hinanden? (3) Tegn midtpunktet E af siden AB. (4) Tegn midtpunktet F af siden BC. (5) Tegn midtpunktet G af siden CD. (6) Tegn midtpunktet H af siden DA (7) Tegn firkant EFGH. (8) Træk rundt med A, B, C og D og læg mærke til udseendet af firkant EFGH. (9) Hvad slags firkant er EFGH - bevis det. Hjælp: Du kan for eksempel først tegne liniestykket AC og sammenligne trekant ABC med trekant EBF. Brug din viden om ligedannethed. (10) Når du deformerer firkant ABCD, får firkant EFGH forskelligt udseende. Undertiden er firkant EFGH et rektangel. Hvornår sker det? - begrund det. Hjælp: Du kan for eksempel se på begge diagonaler i firkant ABCD. (11) Undertiden er firkant EFGH et kvadrat. Hvornår sker det? - begrund det. 21 22

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 009 GeomeTricks Elevarbejdsark 010 Firkanter og midtpunkter 9.10. klasse Stjerner 4.-5. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med firkanter, parallelogrammer, rhomber, rektangler og kvadrater. De kender til ligedannethed. De to trekanter, der omtales i hjælpen til (9) er ligedannede. Man får trekant ABC ved at multiplisere trekant EBF om B med 2. Vi ved da, at EF er parallel med AC og halv så stor. Tilsvarende fås, at HG er parallel med AC og halv så stor. Derfor er firkant EFGH et parallelogram. Firkant EFGH er et rektangel netop når diagonalerne i firkant ABCD står vinkelret på hinanden. Firkant EFGH er et kvadrat netop når diagonalerne i firkant ABCD er lige store og står vinkelret på hinanden. Arbejdsarket forudsætter kendskab til de grundlæggende ting i GeomeTricks. (1) Lav tegningen ovenfor. (2) Træk rundt med de fem punkter, så der fremkommer en femstjerne. Liniestykkerne kommer til at skære hinanden. (3) Prøv at trække rundt med de seks punkter, så der fremkommer en seksstjerne. (4) Træk rundt med de syv punkter, så der fremkommer en syvstjerne. Man kan lave to forskellige syvstjerner. (5) Træk rundt med de otte punkter, så der fremkommer en ottestjerne. (6) Prøv også med ni punkter. Hvor mange nistjerner kan du lave. (7) Prøv med 10, 11 og 12 punkter. Nu er det måske lettere at benytte papir. Det kan du selv afgøre. Du kan også prøve at tegne stjernerne straks og ikke først lave liniestykker som en rundkreds. 23 24

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 010 GeomeTricks Elevarbejdsark 011 Stjerner 4.-5. klasse Cirkel, indskreven trekant og areal 8.-10. klasse Eleverne bliver her præsenteret for nogle aktiviteter, der tager udgangspunkt i GeomeTricks, men efter en tid fortsætter med papir og blyant. Når eleverne har arbejdet med arket, er der mulighed for at fortsætte med ekstramaterialer. Man kan udlevere nogle færdigtrykte 10-punktsfigurer eller 20-punktsfigurer, som eleverne kan arbejde videre med og måske komme frem til nogle regler for mulige stjerner. Man kan introducere eleverne til teknikken: Start et sted og spring så et bestemt antal sider i polygonen frem hver gang. På figuren nedenfor er sprunget 4 frem hver gang i en ti-polygon. Som man ser, er det ikke nok, at man springer et antal sider frem, som ikke er divisor i 10, for at få en stjerne, som går gennem alle polygonens hjørner. Det antal sider, man springer frem, skal være indbyrdes primisk med antal sider i polygonen. For en 10-polygon, kan man bruge 3, men 7 dur ikke, for det er jo blot at hoppe 3 den anden vej. For en 20-polygon dur 3, 7 og 9. Arbejdsarket forudsætter kendskab til de helt grundlæggende ting i GeomeTricks. (1) Afsæt et frit punkt midt på skærmen, og tegn en stor cirkel med punktet som centrum. (2) Afsæt tre frie punkter A, B og C og knyt dem til cirklen. (3) Tegn trekant ABC. (4) Træk rundt med A, B og C på cirklen, så din figur ligner den ovenfor. (5) Vælg Observer/areal (pk,pk,pk) og klik på A, B og C. Du får da udskrevet arealet af trekant ABC i observationsfeltet. (6) Hold punkterne A og B fast og træk med C på cirklen og se, hvor stort du kan gøre arealet af trekant ABC. (7) Tegn midtnormalen til AB og gør rede for, hvad slags trekant der her er tale om. (8) Bevis, at når A og B ligger fast, og kun C må flyttes, så er det netop den fundne trekant, som har størst areal. Du kan eventuelt også tegne normalen, der går gennem C og står vinkelret på AB. (9) Nu er det tilladt at trække rundt med alle tre punkter A, B og C. Hvor stort et areal kan du nu få? (10) Hvad slags trekant er det nu, der giver det største areal? (11)* Prøv at give en begrundelse for, at det netop er denne trekant, der giver det støtste areal. 25 26

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 011 Cirkel, indskreven trekant og areal 8.-10. klasse Eleverne skal vide, hvad en højde i en trekant er. De skal vide, at arealet af en trekant er en halv højde gange grundlinie. Arbejdsarket tager udgangspunkt i nogle undersøgelser. Eleverne finder i (7), at der er tale om en ligebenet trekant. Begrundelsen i (8) er, at højden er størst, når trekanten er ligebenet. I (10) finder de, at det er en ligesidet trekant, der gør arealet størst. Begrundelsen i (11) er ikke så let. For det første må vi antage, at der overhovedet findes en trekant med størst areal. Det antager vi. Vi forsøger nu med et indirekte bevis. Antag, at der findes en trekant T med størst areal, der ikke er ligesidet. Vi vil da vise, at det fører til en modstrid. Da trekanten ikke er ligesidet, findes der to sider, der ikke er lige lange. Ved på cirklen at flytte hjørnet, hvor disse to sider støder sammen, kan vi ved at gøre trekanten ligebenet (iflg. (8)) få en trekant med større areal. Altså har trekant T ikke størst areal, hvilket betyder, at vi har en modstrid med vor antagelse. Et sådant indirekte bevis er en stor mundfuld for de fleste elever - men det er vel værd at forsøge! 27 28

GeomeTricks Elevarbejdsark 012 GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 012 Trekanter og firkanter 7.-10. klasse Trekanter og firkanter 7.-10. klasse Ved et punkt A s afstand til en linie m forstås den vinkelrette afstand. I GeomeTricks kan vi finde denne afstand ved at tegne normalen n til linien m gennem punktet A, skære normalen n med linien m og derpå finde afstanden fra punktet A til skæringspunktet. (1) Tegn en uafhængig fast linie m, og afsæt et frit punkt A, der ikke ligger på m. (2) Bestem afstanden fra A til m. Vi siger, at afstanden mellem to parallelle linier overalt er den samme. Det, vi mener, er, at ligegyldigt hvilket punkt P, vi vælger på den ene linie, så er afstanden fra P til den anden linie den samme - det vil sige uafhængig af valget af P. Vi kan derfor tale om afstanden mellem to parallelle linier. (3) Rens skærmen. (4) Tegn en linie m og afsæt et punkt A, der ikke ligger på m. (5) Tegn en linie gennem A som er parallel med m. (6) Rens skærmen. (7) Tegn en linie k, der er parallel med en given linie m, således at afstanden mellem m og k er 5. (8) Rens skærmen. (9) Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, BC =7 og højden fra B på siden AC er 5. Lav en prøvetegning. Når du begynder med GeomeTricks, kan du for eksempel først tegne en fast linie m og afsætte et frit punkt A, som du knytter til m. (10) Tegn en trekant ABC, hvor <A=120 grader, BC =12 og højden fra B på siden AC er 5. (11) Tegn en trekant ABC, hvor <A=30 grader, BC =11 og højden fra B på siden AC er 5. (12) Tegn et parallelogram ABCD, hvor <A=30 grader, afstanden mellem AB og CD er 5 og afstanden mellem AD og BC er 7. (13) Tegn en trekant ABC, hvor <A=60, højden fra B på siden AC er 6, og højden fra C på siden AB er 8. Eleverne har tidligere arbejdet med trekanter og firkanter. De har prøvet at arbejde med en passer. Eleverne har mødt parallelle linier og kender ord som parallelogram og rhombe. Det er en fordel, hvis eleverne har arbejdet med ark 6 og ark 7. Det er ikke tanken, at GeomeTricks skal benyttes i stedet for passer og lineal. GeomeTricks skulle gerne blive et supplement hertil. GeomeTricks skulle gerne benyttes sammen med de øvrige undervisningsmidler, og frihåndsprøvetegninger er altid et naturligt led i enhver konstruktion. Arbejdsarket forudsætter et godt kendskab til GeomeTricks. 29 30

GeomeTricks Elevarbejdsark 013 Afstandsformlen 9.-10. klasse (1) Sæt koordinatsystemet på skærmen og afsæt gitterpunkterne A=(1,3), B=(5,6). (2) Tegn liniestykket AB. Vi ønsker at bestemme længden af liniestykket AB. Det kan vi gøre ved at benytte menupunktet Observer/Afstand (pk,pk), og resultatet vil da komme til syne i observationsfeltet. (3) Bestem lænden AB på denne måde. B s x-koordinat minus A s x-koordinat: 5-1=4. Opløft i anden: 4 2 =16 B s y-koordinat minus A s y-koordinat: 6-3=3. Opløft i anden: 3 2 =9 Summen: 16+9=25 Kvadratroden: 5 Denne regneproces kaldes ofte for afstandsformlen. Vi benytter den til at finde afstanden mellem to punkter, hvor vi kender punkternes koordinater. (7) Benyt regneskemaet ovenfor til at gentage dine beregninger fra (5) og (6). Afstandsformlen: A=(x,y) B=(u,v) AB =kvadratroden af ( (u-x) 2 +(v-y) 2 ) Vi kan også benytte Pythagoras: I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kateternes kvadrater. (4) Afsæt C=(5,3) og tegn liniestykkerne AC og BC. Trekant ABC er retvinklet, og længderne af kateterne er AC =4 og BC =3. Summen af kateternes kvadrater er da 4 2 +3 2 = 16+9 = 25. Kvadratet på hypotenusen er da AB 2 = 25, og længden af hypotenusen (liniestykket AB) er da 5. (5) Benyt Pythagoras til at bestemme afstanden mellem A=(-2,1) og B=(6,7). Kontrollér din beregning ved at lade GeomeTricks foretage beregningen ved hjælp af Observer/Afstand (pk,pk). Nu skal du ikke tro at afstande mellem gitterpunkter altid resulterer i hele tal. (6) Bestem ved Pythagoras afstanden mellem A=(3,2) og B=(8,6). De udregninger, du gennemførte i første eksempel, hvor A=(1,3) og B=(5,6), kunne fastlægges således: 31 32

GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 013 GeomeTricks Elevarbejdsark 014 Afstandsformlen 9.-10. klasse Afstandsformlen og andengradsligningen 9.-12. klasse Eleverne har tidligere arbejdet med Pythagoras. Arbejdsarket fører trinvist frem til afstandsformlen. Det er nok vigtigt, at eleverne bliver fortrolig med regneskemaet, før de benytter den mere formelle afstandsformel nederst på arket. Arbejdet med formlen kunne for eksempel være en klasseaktivitet der efterbehandler og opsamler elevernes erfaringer fra arbejdet med GeomeTricks. Arbejdsarket forudsætter et godt kendskab til GeomeTricks. (1) Afsæt gitterpunkterne C=(0,1) og B=(8,12). (2) Tegn liniestykket CB og afsæt midtpunktet M af liniestykket CB. (3) Tegn cirklen med centrum i M og radius MB. Vi vil nu skære cirklen med x-aksen. Det kan vi ikke, før vi har fastlagt x- aksen som en linie. Det gøres ved for eksempel at skrive ligningen y=0 i skrivefeltet. (4) Find skæringspunkterne mellem cirklen og x-aksen og kald skæringspunkterne for X og Y (jvnf. figuren ovenfor). (5) Tegn liniestykkerne CX og XB. (6) Fastlæg observationerne, som du ser i observationsfeltet på figuren. (7) Gør rede for, at trekant CXB er retvinklet. (8) Find ved hjælp af afstandsformlen CB. I observationsfeltet kan vi aflæse koordinaterne for X, X=(6,0). (9) Find ligeledes ved afstandsformlen CX og XB. (10) Kontroller ved hjælp af Pythagoras anvendt på trekant CXB, at du har regnet rigtigt. 33 34

På figuren har B koordinaterne 8 og 12. Vi indfører nu nogle variable som kordinater for B. Vi kalder B s koordinater for p og q, det vil sige B=(p,q). Ligeledes skriver vi X s koordinater som X=(u,0). Figuren tænker vi os fortsat tegnet på samme vis, men nu blot med nogle tænkte koordinater for B, som vi ikke kender. (11) Find et udtryk for CB 2 ved hjælp af afstandsformlen. (12) Find et udtryk for CX 2 ved hjælp af afstandsformlen. (13) Find et udtryk for XB 2 ved hjælp af afstandsformlen. (14) Pythagoras siger nu, at CX 2 + XB 2 = CB 2 (15) Indsæt (11), (12) og (13) i udtrykket (14) og vis, at ligningen kan reduceres til u 2 - p. u + q = 0. (16) Vis tilsvarende, at hvis vi skriver Y=(v,0), så kan vi opstille en ligning, der kan reduceres til v 2 - p. v + q = 0. Nu kan vi løse andengradsligninger på formen x 2 - p. x + q = 0 ved hjælp af GeomeTricks. (17) Skriv den andengradsligning som svarer til figuren, hvor B=(8,12). Angiv de to løsninger. Hvis vi ønsker at løse x 2-5. x + 4 = 0, skal vi flytte B, så B=(5,4). Punkterne X og Y vil da have x-koordinater, der tilfredsstiller andengradsligningen. GeomeTricks Lærervejledning til elevarbejdsark 014 Afstandsformlen og andengradsligningen 9.-12. klasse Eleverne skal kende Pythagoras og afstandsformlen (for eksempel ved at arbejde med ark 13). Arbejdsarket giver en geometrisk metode til løsning af en andengradsligning på formen: x 2 - p. x + q = 0. Reduktionen i (11)-(15) kan forløbe således: CB 2 = (p-0) 2 +(q-1) 2 = p 2 + q 2 + 1-2q CX 2 = (x-0) 2 +(0-1) 2 = x 2 + 1 XB 2 = (p-x) 2 +(q-0) 2 = p 2 + x 2-2px + q 2 x 2 + 1 + p 2 + x 2-2px + q 2 = p 2 + q 2 + 1-2q 2 x 2-2px + 2q = 0 x 2 - px + q = 0 Det er nok kun de få elever i 9.-10. klasse, der kan magte disse udregninger, men det er jo også muligt at lave dem som klasseaktivitet. (18) Flyt B til den angivne position og aflæs løsningerne for andengradsligningen x 2-5. x + 4 = 0. Kontrollér med din lommeregner, at løsningerne passer i ligningen. (19) Løs ligningen x 2-7. x + 10 = 0. Kontrollér med din lommeregner, at løsningerne passer i ligningen. (20) Løs ligningen x 2 + 7. x + 10 = 0. (21) Løs ligningen x 2-3. x - 10 = 0. (22) Løs ligningen x 2 + 3. x - 10 = 0. (23) Find selv på en ligning og løs den. 35 36

GeomeTricks Elevarbejdsark 015 GeomeTricks Lærervejledning til Elevarbejdsark 015 Koordinatsystemet, areal. 5.-7. klasse Koordinatsystemet, areal. 5.-7. klasse (1) Afsæt gitterpunkterne A=(2,1), B=(8,5) og C=(8,1). (2) Tegn liniestykkerne AB, BC og AC. (3) Hvor stor er vinkel C? (4) Hvad er arealet af trekant ABC? (5) Afsæt gitterpunktet D=(2,5) og tegn liniestykkerne AD og DB. (6) Hvad slags firkant er firkant ACBD? (7) Hvor stort er arealet af firkant ACBD? (8) Hvor stort er arealet af trekant ADB? (9) Tegn liniestykket DC. (10) Find ved hjælp af A-objekt/skæring(li,li) skæringspunktet F mellem AB og DC. (11) Hvor stort er arealet af trekant AFC? (12) Hvor stort er arealet af trekant DFB? (13) Hvor stort er arealet af trekant ADF? (14) Hvor stort er arealet af trekant CFB? (15) Afsæt gitterpunktet E=(2,-3) og tegn liniestykkerne AE og EC. (16) Hvor stort er arealet af trekant EAC? (17) Hvor stort er arealet af firkant ABCE? (18) Hvor stort er arealet af firkant EDBC? (19) Hvor stort er arealet af trekant EDC? (20) Tegn figuren når du spejler den i y-aksen. (21) Rens skærmen og tegn en husgavl ved at afsætte fem gitterpunkter forbundet med fem liniestykker. (22) Find arealet af husgavlen. 37 38