Reevejlednng l Solow-modellen med undhed Der var nogle rykfejl opgaveeken, om blev ree på undervnnghjemmeden. Trykfejlene lgnngerne () og (4) har næppe vold problemer, hvormod fejlene øvere lgnng på. 4 am lgnng (5) kan have være mere problemake, åfrem de uderende kke har checke hjemmeden. Bevarelen af de relevane pørgmål bør derfor bedømme overbærende, åfrem de fremgår, a de uderende kke har være opmærkom på rykfejlene. Som udgangpunk for bevarelen kan modellen opkrve gen: Y (A L ), 0 <<, 0 <<, + <. () Y, 0 < < (2) + Y δ, 0 < < (3) L + (+n) L (4) A + (+g) A (5) Spørgmål. Fakoraflønnngerne er gve ved: w ( ) L r j A A ( ) k z (A L ) k z (A L ) z (Den de omkrvnng l lde-varable behøver kke a ndgå en bevarele, men er medage, ford den bruge Spørgmål 3 l a ve a økonomen følger balancere væk eady ae). Inuon: fakoraflønnnger er lg margnalproduk fa. fuldkommen konkurrence. For hver udryk e de, a en øgnng af komplemenære npufakorer eller en k
Reevejlednng Ekamen januar 2007 2 øgnng af TFP (A ) vl øge produkveen mh. den pågældende npufakor og hermed aflønnngen. Lønandele følger af a dvdere amle fakorndkom med Y : w L Y ( ) L A ( ) (A L ) r Y (A L ) (A L ) j (A L ) (A L ) Spørgmål 2. Af () følger ỹ k z af (2) følger z ỹ. Den de nda den føre gver: ỹ k ( ỹ ) ỹ k For a udlede ranonlgnngen omkrve kapalakkumulaonlgnngen: + Y +( δ) k + ³ ỹ +( δ) ( + n)(+g) k k +( δ) ( + n)(+g) k (6) Bev for konvergen: Bemærk a k + k ( + n)(+g) k For a konruere de ædvanlge dagram kræve:. urven kærer (0,0). Dee e ved a ndæe k 0(6) +( δ) > 0 2. ældnng ørre end nul (e ovenående udryk for hældnngen) Der er flere måder a ve, a ovenående dfferenlgnng medfører konvergen mod abl eady ae. F.ek. kan enen 3. eller 4. udkfe med e krav om a der er en enydg kærng med 45-graderlnen. Alernav kan både 3. og 4. udkfe med krave om enydgkærngamekravomahældnngen evaluere eady ae er mndre end.
Reevejlednng Ekamen januar 2007 3 3. ældnngen konvergerer mod en konan mndre end en når k : lm k + k k ( δ) < 2 ( + n)(+g) Bengelen ( δ) < er den amme, om den der kræve for a ranonlgnngen for Solow-modellen uden undhedydeler (kapel 5 penumbogen) er (+n)(+g) abl. Punk 3. kan ev. udkfe med krave om eken af e menngfuld k k k + eller med bengelen om a hældnngen evaluere eady ae er under en. 4. ældnngen er ørre end en når k går mod 0. De e a lm k + k k 0 hv < 0 <. Dee gver de ædvanlge ranondagram (e f.ek. Fgure 5.2 penumbogen) og konvergen kan ve grafk. Seady ae: Indæele af k k + ranonlgnngen gver: k k ( + n)(+g) +( δ) k + ( + n)(+g) ( δ) k + k k k + De e a for a k > 0 må > 0 være opfyld, hvlke er de amme om ( δ) < der kræve bengele 3. ovenfor. Bekrvelen af konvergenproceen med ord: Anag f.ek. a økonomen arer ˆk 0 < k (+n)(+g).ervlmargnalproduke 2 Bemærk a de føre led pareneen udrykke for hældnngen gr mod nul de ekponenen er negav: < 0 <, hvlke ald gælder.
Reevejlednng Ekamen januar 2007 4 mh. kapal være lav og derfor vl opparngeffeken overge effeken fra kapaldlluon og -nedldnng, ålede a k er vokende. Eferhånden om k ger vl den margnale effek af en ekra enhed kapal blve mndre, og vækraen k vl gå mod nul. For a fnde eady ae nveaue for ỹ ndæe ỹ k : ³ k ỹ ỹ (+ ) Ide ỹ k,erỹ en monoon, pov funkon af k, hvorfor konvergen af k medfører konvergen af ỹ. ³ Spørgmål 3. Bemærk a z ỹ. Seady ae-udryk for fakoraflønnnger beregne: n+g+δ+ng w A ( ) ³ k ( z ) A ( ) r ³ k w A ( ) w A ( ) ( z ) Ã r j ( )( )+ Ã ( )+( ) ( )!!
Reevejlednng Ekamen januar 2007 5 j ( )( )+ ( )+( ), de udryk for k og z er nda hvor de er nødvendg. /Y eady ae fnde:! Ã k k ³ k Y ỹ ³ k. Ved ndæele af udrykke for k få: Y Forbrug per effekv arbejder er gve ved c ( )ỹ ( ) Derved blver eady ae vækbanen for forbrug per arbejder: c A ( ) For a opfylde balancere væk kal (jævnfør penumbogen de 54). BNP per arbejder, forbrug per arbejder, reallønnen og kapalneneen voke med amme vækrae. De e af ovenående udryk for c og w a de voker med amme vækrae om A, g. Day A ỹ og k A k,hvorafỹ og k er konane, må y og k ogå voke med g. 2. Arbejdyrken L voke med n, hvlke følger dreke af (4). 3. BNP, forbrug og kapalbeholdnngen voke med g + n. For en gven varabel, X gælder de: X x L.Brugaflog-dff rcke dkre d gver g X g x + g L g + n eady ae. Ved udkfnng af X med hhv. Y, C og få de a hver af de voker med g + n eady ae. 4. Realrenen være konan. Dee følger af udrykke for r udled ovenfor.
Reevejlednng Ekamen januar 2007 6 Spørgmål 4. Makmerng af forbrug per effekv arbejder: c ( ) ln c 0 (7) + ( ) ( ) ( ) ( ) ln c ( ) ( ) 0 (8) + ( ) ( ) ( ) ( ) Dvder (7) med (8): Indæ (9) og oler: Indæele (9) gver ( ) ( ) ( ) ( ) Inuonen bag de o effeker på forbruge af en gnng :Denføreeffek går gennem y. er vl e højere nveau af undhedudgfer øge produkveen hvorved y og dermed c ger.denandeneffek er, a når opparngen ger er der mndre l forbrug. (9) Spørgmål 5. Seady ae-vækbanen for BNP per arbejder er: y A
Reevejlednng Ekamen januar 2007 7 ag ln: ln y lna + (ln ln ()) + ln En gnng eller vl påvrke eady ae BNP per arbejder pov. Inuon: Mere opparng fyk kapal øger kapalneneen eady ae hvorved den margnale produkve af hver arbejder og hermed oupu per arbejder ger. øjere gver flere undhedudgfer og herved øge effekve og oupu per arbejder. Mere n vl få eady ae kapalneneen l a falde gennem øge kapaldlluon, alå flere arbejdere l amme mængde kapal. Lavere kapalnene beyder lavere margnalprodukve af hver arbejder, og dermed lavere oupu per arbejder. Spørgmål 6. V anager a alle nkluderede lande der er medage regreonen:. Er eady ae 2000, 2. ar amme A og 3. ar amme g +δ +ng om æe l 0,075. De anageler gver anlednng l følgende emaonlgnng: ln y 00 β 0 + β ln ln n +0, 075 + β 2 ln de OLS gver 3 β og β 2 ln y 00 0, 03 +, 25 (0,5) ln ln n +0, 075 +0, 78 ln, adj R 2 0, 6 (0,23) 3 Angående valg af lande der er med regreonen: Fre af landene fra abellen l denne opgave har kke daa for BNP per arbejder 2000, hvlke fremgår af noerne ud for de pågældende lande landekoder. I ede for 2000-daa er daa for e af de foregående år nda. I penumbogen beyder dee a de lande fraorere daa der ndgår l fremllng af regreoner af eady ae lgnngen (men kke daa l fremllng af konvergenlgnngen). Da der kke er lag væg på denne dealje penum forvene de kke a de uderende fraorerer de lande. v de gør få mdlerd flg. regreon: ln y00 0, 20 +, 22 ln ln n +0, 075 +0, 84 ln (0,6) (0,24) De e a emaerne kke ændrer g ynderlg, og alle kvalave konkluoner bbeholde da ogå.
Reevejlednng Ekamen januar 2007 8 Ifølge eoren kulle β β 2 0, 25, og de e a både β og β 2 lgger udenfor konfdennervaller. Udfra de emerede koeffcener kan og fnde: β β 2 β β 2 β 2 β β 2 β 2 +β + β 2 β +β + β 2 Indæele af ˆβ, 25 og ˆβ 2 0, 78 gver 0, 4 og 0, 26. Dv. der er amme problem om ved amme emaonerne den generelle Solowmodel kapel 5: er al for høj. De er vær a vurdere om modellen klarer g bedre, da den eorek mplcerede værd for har ændre g. Godnok er adj. R 2 6% mod 55% emaonen kapel 5, men de er vær a konkludere noge på baggrund af å må forkelle R 2. I Solowmodellen med humankapal kapel 6 når eorek forudage værder og emerede værder væenlg æere på hnanden end den denne opgave beragede model. Adj. R 2 nårogåoppåca. 0,80, hvlke er mege høj. Den opmærkomme uderende bemærker a probleme med for høj emere er de amme om den generelle Solowmodel og mulgv kan løe ved nkluderng af humankapal (ålede a modellen både nkluderer humankapal og undhedydeler). Probleme yne a være a opparngkvoer humankapal og fyk kapal er æ korrelerede, ålede a ved udeladele af humankapal vl emae for β være opad baed. Da de uderende har begræne erfarng med OLS, vl de kun være de ekra opmærkomme, om kommer med en ådan kommenar. Spørgmål 7. Lnearerng ager udgangpunk (3) fra penumbogen (de uderende kal elvfølgelg elv forklare hvordan man kommer frem l denne lgnng): ln k + ln k G 0 (k ) ³ln k ln k (0)
Reevejlednng Ekamen januar 2007 9 ³ k de G ln k + er defnere om højreden af (6). De e a den ỹ k ln ỹ + ln ỹ og venreden af (0) få er ln ỹ ³ln k ln k. v dee ndæe på højre ln ỹ + ln ỹ G 0 (k )(lnỹ ln ỹ ) () En lneær føreordendfferenlgnng ln ỹ om er abl og konvergerer mod ln ỹ den 0 <G 0 (k ) <. Trækln ỹ fraoglægln ỹ l () for a få: ln ỹ + ln ỹ ³ G 0 (k ) (ln ỹ ln ỹ ) (2) onvergenhagheden kan nu udrykke ved λ ³ G 0 (k ³ k ) ( + n)(+g) +( δ) λ ( + n)(+g) λ λ ( + n)(+g) λ ( + n)(+g) ( + n)(+g) λ ( + n)(+g) λ om approkmere med + +( δ) +( δ) ()+( δ) +n + g + ng n + g + ng + δ ( + n)(+g) λ () ( δ) () () (n + g + δ)
Reevejlednng Ekamen januar 2007 0 Svarende l (36) penumbogen kapel 5: ln ỹ + λ ln ỹ +( λ)lnỹ Lø for T,frarækln ỹ 0 og del med T gver penumbogen (38) ln y T ln y 0 T ln A T ln A 0 T + ( λ)t T (ln A 0 +lnỹ ln y 0 ) Indæ ln ỹ : ln y T ln y 0 T ln A T ln A 0 + T ln A 0 + ( λ)t T (ln ln ()) + ln ln y 0 Inuon bag ammenhængen med de rukurelle varable: E fald de nale ndkomnveau, y 0, vl al ande lge øge væken. Jo længere væk økonomen er fra eady ae, deo ørre vl neoeffeken af kapalopparng være og deo hurgere vl BNP per arbejder voke. En gnng eller eller e fald n vlfåvækenlage.inuonen er a de øger produkveen eady ae jævnfør pm 5, hvorved afanden l eady ae blver øge og væken dermed øge. (Alernav kan nuonen forklare ved den dreke effek en ændrng af de forkellge varable har på væken. F.ek. a en gnng beyder mere opparng, hvlke øger effeken af øge kapal og hermed væken) Spørgmål 8. OLS-emaon gver: g y 60 00 0, 04 0, 0046 0,007 ln y 60 +0, 095 0,0025 ln ln n +0, 075 0, 0057 ln 0,004 De e a koeffcenen foran ln kke er gnfkan, men de o andre emaer er. Som de anyde opgaven er probleme, a daa for er beregne om en gennemn af undhedudgfer fra årene 998-2002. Gve a mange lande har ændre dere undhedudgfer om procen af BNP gennem peroden 960-2000, vl de have or beydnng, om man bruger gennemne fra 960-2000 (om de er lfælde med daa for, og
Reevejlednng Ekamen januar 2007 n) eller gennemn fra 998-2002. I lfælde med eady aelgnngen er gennemn fra 998-2002 fakk de bede mål, da v forøger a forklare BNP 2000. Når de er konvergenlgnngen der kal emere, vl v forklare den gennemnlge væk fra 960-2000, hvorfor måden er defnere på dee daaæ er uhengmæg. Dee er en plaubel forklarng på, a der kke fnde nogen korrelaon denne regreon. Bemærk a dee pørgmål mulgv vl være vær for en del af de uderende, der kke har å mege rune med regreonanalye mv., men bemærk amdg, a der er gve e relav krafg hn opgaveeken. Spørgmål 9. En fornufg kalbrerng vl være /6og /3. Udregnngerne l modellen med humankapal er gve appendk. De kal underrege a de på ngen måde kan forvene af de uderende a de gver g ka med en gennemregnng af modellen. Seady ae-lgnngen blver: ln y lna + (ln ln ()) + (ln ln ()) + ln ln y 00 β 0 + β ln ln n +0, 075 + β 2 ln ln n +0, 075 + β 3 ln OLS emaon gver 4 ln y 00 0, 6+0, 46 (0,4) ln ln n +0, 075 +0, 90 (0,) ln ln n +0, 075 +0, 53 ln, adj. R 2 0, 82 (0,7) Indæele af /6 og /3 gver β β 3 0, 5 og β 2.Alleerndenfor konfdennervalle! De emerede koeffcener kan ogå benye l a beregne emaer 4 Emaonen hvor landene der kke har daa for BNP 2000 ekludere (e noe ) gver: ln y 00 0, 38 + 0, 4 (0,4) ln ln n +0, 075 +0, 93 (0,0) ln ln n +0, 075 +0, 6 ln (0,7)
Reevejlednng Ekamen januar 2007 2 af, og - e lunngen af appendk: 0, 6, 0, 3 og 0, 8. Emaerne lgger mege æ på eorek apror forvennng. Sammenlgne med pørgmål 6, e de a probleme med for høj korrelaon mellem og y forhold l den eoreke forudgele er lø ved ndførlen af human kapal. Der er ogå ke en klar forbedrng forhold l Solowmodellen med humankapal jævnfør kapel 6, hvor den emerede koeffcen foran (ln ln (n +0, 075)) er gnfkan forkellg fra n eoreke modpar. De vl formenlg kke være nem for de uderende a æe en krk fnger på de emaoner, men e bud på en fornufg kommenar er: De kan måke vrke urealk a værderne af elaceerne produkonfunkonen for kapalydeler og undhedydeler er lge ore. Umddelbar er de måke mere realk a kapal er mere produkv end undhedydeler dv. a >. E blk på abellen denne opgave ver ogå a opparngkvoer kapal er lang ørre end "opparngkvoer" undhed, hvlke underbygger påanden om a kapal er mere effekv (dee gælder elvfølgelg kun økonomer hvor og er mere eller mndre markedbeem, hvlke en højere opparngkvoe bør hænge ammen med en højere elace, jf. Golden Rule). Under alle omændgheder vlle modellen reulaer klar være ærkere, hv kalbrerngen af, og var mere emprk fundere, om f.ek. er lfælde med kalbrerngen Solowmodellen uden undhedydeler. 2 Appendk: Gennemregnng af modellen med human kapal og undhedydeler Y (A L ) ỹ h k z L + (+n) L + Y δ
Reevejlednng Ekamen januar 2007 3 + Y δy Y ỹ h k ( ỹ ) z ỹ ỹ h k De o dynamke lgnnger oplle: k + ³ỹ +( δ) ( + n)(+g) k h k +( δ) ( + n)(+g) k k + k h k (δ + n + g + ng) ( + n)(+g) k h + ³ ỹ +( δ) ( + n)(+g) h h k +( δ) ( + n)(+g) h h + h h k () ( + n)(+g) h Seady ae når k + 0og h + 0: 0 h k (δ + n + g + ng) k h (δ + n + g + ng) (δ + n + g + ng) k 0 h k k h δ + n + g + ng () h k () h k h k k Da >+ + må < og <, dv. der er konvergen.
Reevejlednng Ekamen januar 2007 4 Sæ de o lgnnger lg hnanden δ + n + g + ng k k ( )( ) δ + n + g + ng k ( )( ) ( ) 2 ( ) δ + n + g + ng k ( )2 ( ) ( ) k ( )2 ( ) ( ) ( ) k ( ) k ( )2 ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) h ( ) ( ) + + ( ) ( + ) k ( )( ) k ( ) ( )2 ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) k à h à à h () h Ã! () ( ) () à ( ) ( )! ( ) () ()! + ( )( )! ( )! ( )( ) ( )( ) ( )( )+ ( )( ) (3) ( )( )
Reevejlednng Ekamen januar 2007 5! Ã h ( )( )+ ( )( ) () ( )( ) ( )+ ( )( ) Ã! h () (4) Indæ (4) og (3) ỹ h ỹ Ã () ỹ ( )+ ( )( ) ỹ ( ) ỹ k :! ( )( ) Ã ( )+ ( )( ) ( ) ( ) Endelg eady ae-lgnng: ( ) Ã ()! ( )( )! + ( )( ) () + ( )+(+) ( )( ) + ln y lna + (ln ln ()) + (ln ln ()) + ln β β 2 β 3 β β 2 β β 2 β β 3 β 3 β
Reevejlednng Ekamen januar 2007 6 β 2 β 3 β 2 β 3 ( ) β β 2 β 3 β β β β β β 2 β 3 +β + β 2 + β 3 β